Матрицы экзамен по высшей математике - Exhelper.top

Список теоретических
вопросов к экзамену по высшей математике,

курс I

Понятие матрицы. Типы матриц. Способы
представления матриц.
Арифметические операции над матрицами.
Свойства линейных операций.
Произведение матриц. Свойства
произведения. Транспонирование матриц.
Элементарные преобразования матриц.
Эквивалентные матрицы.
Понятие определителя матрицы.
Вычисление определителей второго и
третьего порядка.
Основные свойства определителей.
Миноры и алгебраические дополнения
матриц.
Теорема Лапласа. Пример применения.
Понятие обратной матрицы. Методы
вычисления обратных матриц.
Ранг матрицы. Методы вычисления ранга.
Системы линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ). Основные определения
и типы.
Ранг расширенной СЛАУ. Теорема
Кронекера-Капелли.
Решение однородных СЛАУ.
Решение СЛАУ матричным методом.
Решение СЛАУ методом Крамера.
Решение СЛАУ методом Гаусса.
Общее понятие вектора. Вектор в
N-мерном пространстве.
Линейные операции над векторами.
Скалярное произведение векторов.
Свойства скалярного произведения.
Определение угла между векторами.
Ортогональные вектора.
Действия над векторами, заданными в
геометрической форме. Взаимное
расположение векторов.
Прямоугольные координаты в пространстве.
Расстояние между двумя точками в
пространстве. Координатная форма
вектора. Скалярное произведение в
координатной форме.
Векторное произведение, геометрическая
интерпретация. Основные свойства
векторного произведения. Векторное
произведение в координатной форме.
Смешанное произведение векторов.
Геометрическая интерпретация.
Линейная зависимость векторов.
Свойства линейно зависимой системы
векторов.
Понятие базиса в векторном пространстве.
Разложение вектора по базису.
Понятие постоянной и переменной
величин. Определение функции. Способы
задания функций.
Основные задачи аналитической
геометрии. Расстояние между двумя
точками на плоскости, деление отрезка
в заданной пропорции, площадь треугольника
с заданными вершинами.
Геометрическое место точек. Уравнение
линии на плоскости. Уравнение прямой
на плоскости. Виды расположения прямой.
Каноническое уравнение прямой и его
частные случаи.
Пучок прямых, проходящих через заданную
точку. Прямая, проходящая через две
заданные точки. Уравнение прямой с
угловым коэффициентом.
Взаимное расположение прямых на
плоскости. Геометрическая интерпретация
решения СЛАУ.
Основные характеристики функций.
Понятие обратной функции.
Основные элементарные функции и их
графики.
Понятие сложной функции. Способы
преобразования
Приращение аргумента и приращение
функции.
Определение предела функции в точке.
Основные теоремы о пределах. Теорема
о двух милиционерах.
Односторонние пределы. Пределы функции
при
.
Понятие числовой последовательности.
Понятие сходимости последовательности.
Свойства сходящихся последовательностей.
Бесконечно большие и бесконечно малые
функции. Основные свойства и связь.
Вычисление пределов функций. Раскрытие
неопределенностей вида
.
Вычисление пределов функций. Раскрытие
неопределенностей вида
.
Замечательные пределы. Основные
соотношения при использовании
замечательных пределов.
Сравнение бесконечно малых функций.
Понятие эквивалентных бесконечно малых
и их свойства.
Определение непрерывности функции
в точке. Свойства функций, непрерывных
в точке. Непрерывность элементарных
функций.
Понятие точки разрыва. Классификация
точек разрыва.
Определение касательной к кривой в
точке.
Определение производной функции в
точке. Односторонние производные
функции в точке. Геометрический смысл
производной.
Связь между непрерывностью и
дифференцируемостью функции. Основные
теоремы о производной.
Производные элементарных функций.
Вывод производных для
.
Производные элементарных функций.
Вывод производных для
.
Производные элементарных функций.
Вывод производных для
.
Производная обратной функции. Вывод
производной
.
Производная обратной функции. Вывод
производной
.
Производная сложной функции.
Дифференцирование неявно заданных
функций. Логарифмическое дифференцирование.
Производные высших порядков.
Производные высших порядков.
Понятие дифференциала функции.
Геометрический смысл дифференциала.
Основные теоремы о дифференциалах.
Инвариантность дифференциала.
Дифференциалы высших порядков.
Применения дифференциала к приближенным
вычислениям.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши
и их геометрическая интерпретация.
Правило Лопиталя. Условия применения
и формы представления.
Понятие монотонности функции, связь
с касательными. Необходимое и достаточное
условия.
Экстремумы функции и их типы. Понятие
гладкой функции. Необходимое условие
существования экстремума.
Понятие стационарных и критических
точек функции, геометрическая
интерпретация.
Первое и второе достаточные условия
существования экстремума.
Понятие выпуклой функции, типы
выпуклости. Точки перегиба.
Необходимое и достаточное условие
существования точки перегиба.
Понятие асимптоты графика функции.
Типы асимптот и способы их построения.
Общая схема исследования явной функции
и построения ее графика.

СОДЕРЖАНИЕ
ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА

Два теоретических вопроса.
Шесть задач по темам:

матричное исчисление
векторная алгебра
вычисление пределов
вычисление производных
исследование функций
аналитическая геометрия

Производные

Пределы.

Матрицы.

Решить СЛАУ
методом Крамера

Решить СЛАУ
методом Гаусса

Решить СЛАУ
методом обратной матрицы

Определить ранг
матрицы

Вектора.

Для заданных
векторов
,
,

найти вектор

и выразить его в базисе
.
(-1,1) *
Для заданных
векторов
,
,

найти вектор

и выразить его в базисе
. (1,3)*
Для заданных
векторов
,
,

найти вектор

и выразить его в базисе
. (3,5)*

Найти компланарные
векторы среди
.
Найти компланарные
векторы среди
.
Найти компланарные
векторы среди
.
Найти компланарные
векторы среди
.*
Найти компланарные
векторы среди
.
Найти компланарные
векторы среди
.
Найти компланарные
векторы среди
.*
Найти компланарные
векторы среди
.

Найти представление
вектора

в базисе
.
Найти представление
вектора

в базисе
.
Найти представление
вектора

в базисе
.
Найти представление
вектора

в базисе
.

Функции.

Определить
экстремумы функции и их тип.
1. Определить
  
  и их тип. *
2. Определить
  экстремумы функции
  
  и их тип. *
3. Определить
  экстремумы функции
  
  и их тип. *
4. Определить
  экстремумы функции
  
  и их тип. **
5. Определить
  экстремумы функции
  
  и их тип. *
6. Определить
  экстремумы функции
  
  и их тип. *
7. Определить
  экстремумы функции
  
  и их тип. *
8. Определить
  экстремумы функции
  
  и их тип. *

Определить
экстремумы функции и промежутки
выпуклости функции.

.
вторая производная
.
вторая производная
.
вторая производная

Найти асимптоты
функции.
1. Найти асимптоты функции.
  *

асимптота

Найти асимптоты функции
.
*

асимптота

Найти асимптоты функции
.
*

асимптота

Найти асимптоты функции
.
*

асимптота

Найти асимптоты функции
.
*

асимптота

Найти асимптоты функции
.
*

асимптота

Найти асимптоты функции
.
*

асимптота

Вычислить
приближенно с помощью дифференциала
.
*
Вычислить
приближенно с помощью дифференциала
.
*
Вычислить
приближенно с помощью дифференциала
.
*
Вычислить
приближенно с помощью дифференциала
.

Аналитическая
геометрия

Определить проекции на координатные
оси перпендикуляра к прямой
,
опущенного из начала координат. (45, 60)
*
Определить проекции на координатные
оси перпендикуляра к прямой
,
опущенного из начала координат. (70,
168) *
Определить проекции на координатные
оси перпендикуляра к прямой
,
опущенного из начала координат. (60, 45)
*
Определить проекции на координатные
оси перпендикуляра к прямой
,
опущенного из начала координат. (72, 21)
*
Определить проекции на координатные
оси перпендикуляра к прямой
,
опущенного из начала координат. (285,
152) *

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Основные теоретические сведения

Матрицы

К оглавлению…

Матрицей называют прямоугольную таблицу, заполненную числами. Важнейшие характеристики матрицы – число строк и число столбцов. Если у матрицы одинаковое число строк и столбцов, ее называют квадратной. Обозначают матрицы большими латинскими буквами.

Сами числа называют элементами матрицы и характеризуют их положением в матрице, задавая номер строки и номер столбца и записывая их в виде двойного индекса, причем вначале записывают номер строки, а затем столбца. Например, a₁₄ есть элемент матрицы, стоящий в первой строке и четвертом столбце, a₃₂ стоит в третьей строке и втором столбце.

Главной диагональю квадратной матрицы называют элементы, имеющие одинаковые индексы, то есть те элементы, у которых номер строки совпадает с номером столбца. Побочная диагональ идет «перпендикулярно» главной диагонали.

Особую важность представляют собой так называемые единичные матрицы. Это квадратные матрицы, у которых на главной диагонали стоят 1, а все остальные числа равны 0. Обозначают единичные матрицы E. Матрицы называют равными, если у них равны число строк, число столбцов, и все элементы, имеющие одинаковые индексы, равны. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Обозначается нулевая матрица О.

Простейшие действия с матрицами

1. Умножение матрицы на число. Для этого необходимо умножить каждый элемент матрицы на данное число.

2. Сложение матриц. Складывать можно только матрицы одинакового размера, то есть имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. При сложении матриц соответствующие их элементы складываются.

3. Транспонирование матрицы. При транспонировании у матрицы строки становятся столбцами и наоборот. Полученная матрица называется транспонированной и обозначается A^T. Для транспонирования матриц справедливы следующие свойства:

4. Умножение матриц. Для произведения матриц существуют следующие свойства:

Умножать можно матрицы, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
В результате получится матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.
Умножение матриц некоммутативно. Это значит, что от перестановки местами матриц в произведении результат меняется. Более того, если можно посчитать произведение A∙B, это совсем не означает, что можно посчитать произведение B∙A.
Пусть C = A∙B. Для определения элемента матрицы С, стоящего в i-той строке и k-том столбце необходимо взять i-тую строку первой умножаемой матрицы и k-тый столбец второй. Далее поочередно брать элементы этих строки и столбца и умножать их. Берем первый элемент из строки первой матрицы и умножаем на первый элемент столбца второй матрицы. Далее берем второй элемент строки первой матрицы и умножаем на второй элемент столбца второй матрицы и так далее. А потом все эти произведения надо сложить.

Свойства произведения матриц:

Определитель матрицы

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А называется число, которое обозначается detA, реже |A| или просто Δ, и вычисляется определённым образом. Для матрицы размера 1х1 определителем является сам единственный элемент матрицы. Для матрицы размера 2х2 определитель находят по следующей формуле:

Миноры и алгебраические дополнения

Рассмотрим матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Составим квадратную матрицу из элементов, стоящих на пересечении полученных строк и столбцов. Минором матрицы А порядка s называют определитель полученной матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Дополнительным минором к минору порядка s называют определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания данных строк и столбцов.

Алгебраическим дополнением к элементу a_ik квадратной матрицы А называют дополнительный минор к этому элементу, умноженный на (–1)^i+k, где i+k есть сумма номеров строки и столбца элемента a_ik. Обозначают алгебраическое дополнение A_ik.

Вычисление определителя матрицы через алгебраические дополнения

Рассмотрим квадратную матрицу А. Для вычисления ее определителя необходимо выбрать любую ее строку или столбец и найти произведения каждого элемента этой строки или столбца на алгебраическое дополнение к нему. А дальше надо просуммировать все эти произведения.

Когда будете считать алгебраические дополнения, не забывайте про множитель (–1)^i+k. Чтобы счет был более простым, выбирайте ту строку или столбец матрицы, который содержит наибольшее число нулей.

Расчет алгебраического дополнения может сводиться к расчету определителя размером более чем 2х2. В этом случае такой расчет также нужно проводить через алгебраические дополнения, и так далее до тех пор, пока алгебраические дополнения, которые нужно будет считать, не станут размером 2х2, после чего воспользоваться формулой выше.

Обратная матрица

К оглавлению…

Рассмотрим квадратную матрицу А. Матрица A^–1 называется обратной к матрице А, если их произведения равны единичной матрице. Обратная матрица существует только для квадратных матриц. Обратная матрица существует, только если матрица А невырождена, то есть ее определитель не равен нулю. В противном случае обратную матрицу посчитать невозможно. Для построения обратной матрицы необходимо:

Найти определитель матрицы.
Найти алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы.
Построить матрицу из алгебраических дополнений и обязательно транспонировать ее. Часто про транспонирование забывают.
Разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы.

Таким образом, в случае, если матрица А имеет размер 3х3, обратная к ней матрица имеет вид:

Матрицы. Вся теория и задачи с решениями или ответами

К оглавлению…

Источник

Подборка по базе: ОБЖТестовые вопросы к разделу 1_ просмотр попытки.pdf, englishТестовые вопросы к разделу 7_ просмотр попытки.pdf, Сборник вопросов Газоспасатели с литературой. С выделениями.(1)., Контрольная работа _Разделительные вопросы_ (1).doc, Самые популярные вопросы о Чичикове из поэмы.docx, Примерные вопросы к дифференцированному зачету_Психология общени, Тестовые вопросы к разделу 5_ просмотр попытки.pdf, Тестовые вопросы к разделу 8_ просмотр попытки.pdf, 13 вопросов.docx, Организация на рынке труда 42 вопроса — 1. Рынок труда представл

Вопрос №1

Матрицы и многомерные векторы. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая n строк и m столбцов.

Виды матриц.

Две матрицы называются равными, если их соответствующие элементы равны.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (n=m), то матрица называется квадратной.

Матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали равны 0, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной.

Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой.

Если в квадратной матрице все элементы стоящие ниже (выше) главной диагонали равны 0, то она называется верхний (нижний) треугольник.

Если в матрице А строки записать столбцами с теми же номерами, то полученная матрица будет называться транспонированной к матрице А.

Если матрица А равна транспонированной, то она называется симметричной.

Действия над матрицами:

1) Умножение матрицы на число. В результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего элемента исходной матрицы на число. Мы получим одинаковый результат, умножая число на матрицу, или матрицу на число. Из определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

2) Сложение и вычитание матриц. Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковой размерности. Суммой (разностью) двух матриц называется матрица той же размерности, что и исходные, каждый элемент которой определяется как сумма (разность) соответствующих элементов матриц. Очевидно, результат сложения не изменится, если слагаемые матрицы поменять местами. Если к матрице прибавить или от нее отнять нулевую матрицу той же размерности, то получим исходную матрицу.

3) Умножение матрицы на матрицу. Умножать друг на друга можно только те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. Результатом умножения является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов совпадает с числом столбцов второго сомножителя. Иными словами, перемножать можно те матрицы, у которых совпадают средние индексы. Крайние индексы определяют размерность получаемого результата.

Свойства операций над матрицами.

1) В общем случае . Если то матрицы А и В называются перестановочными по отношению друг к другу.

2) Ассоциативность;

3) Дисрибутивность;

4) При умножении любой квадратной матрицы на единичную первоначальная матрица не меняется .
Вопрос №3

Перестановки. Расположение n элементов набора в произвольном порядке называется перестановка. Транспозицией называется перестановка двух каких либо элементов. Инверсией в перестановке называется наличие пары чисел, в которое большее число предшествует меньшему. Если число инверсий в перестановке честное, то она называется четной и наоборот.

Определитель произвольного порядка. Определителем квадратной матрицы n-го порядка, называется число равное алгебраической сумме n факториал слагаемых, каждый из которых является произведением n элементов матрицы взятых по одному из каждой строки и столбца, при этом каждое слагаемое умножается на (-1) в степени число инверсий в перестановке j если первые индексы взяты в порядке нарастания.

Вопрос №2

Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства. Если квадратная матрица имеет определитель, отличный от нуля (Δ ≠ 0), то говорят, что матрица невырожденная, в противном случае — матрица вырожденная или особая.

Определителем квадратной матрицы 2-го порядка, называется число равное разности произведений элементов главной и побочной диагонали матрицы.

Определителем квадратной матрицы 3-го порядка, называется число равное:

Таким образом, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.

Свойства определителей:

1) Если строка (столбец) матрицы состоит из 0, то ее определитель равен 0.

2) Если все элементы, какой либо строки (столбца) матрицы умножить на одно и тоже число, то и ее определитель умножится на это же число.

3) При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

4) При перестановки, каких либо двух строк (столбцов) матрицы знак матрицы меняется на противоположный. Доказательство вытекает из того, что при перестановке одной транспозиции четность инверсии меняется.

5) Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то её определитель равен 0.

6) Сумма произведений элементов, какой либо строки (столбца) на алгебраические дополнения какой либо строки (столбца) равно 0.

7) Если элементы, какой либо строки (столбца) равны сумме двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы) кроме указанных, те же что и в исходном определителе, а рассматриваемая k-строка (столбец) в первом определителе содержит первые слагаемые, во втором вторые.

Определитель матрицы не изменится если к элементам какой либо строки (столбца) прибавить элемент какой либо строки (столбца) предварительно умноженные на одно и то же число.
Вопрос №4

Миноры и алгебраические дополнения. Минором элемента a_ij квадратной матрицы |A| n-ного порядка, называется определителем матрицы, полученной из матрицы |A| вычеркиванием i-той строки j-того столбца.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij квадратной матрицы |A|, называется минор этого элемента, умноженный на (-1) в степени.

Вычисление определителей произвольного порядка (теорема Лапласа). Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: (разложение по элементам i-й строки); (разложение по элементам j-го столбца).

Вопрос №5

Ранг матрицы, его нахождение. Рангом матрицы А (обозначается r(A)) называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы принимают равным нулю.

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы.

Ранг матрицы не изменится от следующих преобразований, называемых элементарными преобразованиями матрицы:

— замены строк столбцами, а столбцов соответствующими строками;

— перестановки строк матрицы;

— вычеркивания строки, все элементы которой равны нулю;

— умножения строки на число, отличное от нуля;

— прибавления к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на одно и то же число.

Подчеркнем, что сама матрица при элементарных преобразованиях меняется, но ранг матрицы не изменится.

Пример. Определить ранг матрицы . Решение. Все миноры второго и третьего порядков данной матрицы равны нулю, т.к. элементы строк этих миноров пропорциональны. Миноры первого порядка (сами элементы матрицы) отличны от нуля. Следовательно, ранг матрицы равен единице.
Вопрос №6

Системы линейных уравнений. Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные в первой степени и не содержит их произведений.

Запись в матричной форме.

— система линейных уравнений.

Обозначим, — матрица коэффициентов, — вектор неизвестных,

— вектор свободных членов. A_mn X_n1 + B_m1 = 0 — матричная запись системы уравнений.

Если система уравнений имеет решение, она называется совместной, не имеет – несовместной. Совместная система, имеющая одно решение, называется определенной, если много – неопределенной. Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если каждое решение является решением уравнения системы или наоборот.
Вопрос №8

Решение систем линейных уравнений с помощью определителей (формулы Крамера). Пусть Δ = |A| определитель матричной системы n линейных уравнений с n неизвестных, а Δ_j определитель матрицы, полученный из матричной системы заменой j-того столбца на столбец правых частей. Тогда если Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, определенное по формулам x_j = Δ_j / Δ (j = 1,2,…n) – формула Крамера.

Вопрос №7

Обратная матрица. Матрицей, обратной матрице А, называется матрица A^-1 такая, что A^-1A = A A^-1 = E.

Обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы. Причем сама является той же размерности, что и исходная матрица.

Можно показать, что для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, она должна быть невырожденной (т.е. Δ ≠ 0 ). Это условие является и достаточным для существования A^-1 матрице А. Итак, всякая невырожденная матрица имеет обратную, и, притом, единственную.

Сформулируем правило нахождения обратной матрицы на примере матрицы А.

1. Находим определитель матрицы. Если Δ ≠ 0, то матрица A^-1существует.

2. Составим матрицу В алгебраических дополнений элементов исходной матрицы А. Т.е. в матрице В элементом i — ой строки и j — го столбца будет алгебраическое дополнение A_ijэлемента a_ij исходной матрицы.

3. Транспонируем матрицу В и получим B^T.

Теорема существования и единственности обратной матрицы. Для квадратной матрицы А существует и при том единственная обратная матрица А^-1 тогда и только тогда, когда эта матрица не вырождена.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Матричным методом могут быть решены только те системы, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля (матрица А невырожденная). Из этих условий следует, что и, следовательно, система совместна и определена. Решение системы можно получить так: . Используя свойства произведения матриц и свойство обратной матрицы . Т.е., для получения столбца неизвестных нужно обратную матрицу матрицы коэффициентов системы умножить на столбец свободных членов.

Пример. Решить систему матричным методом. Решение. Найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы .

Вычислим определитель, раскладывая по первой строке: . Поскольку Δ ≠ 0, то A^-1 существует.

Обратная матрица найдена верно.

Найдем решение системы .

Следовательно, x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3.

Матричный метод годится для решения любых систем, у которых матрица А квадратная и невырожденная.
Вопрос №10

Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. RgA = RgA*.

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Исследование системы линейных уравнений.

Вопрос №9

Решение и исследование систем линейных уравнений методом Гаусса. Этот метод решения систем линейных уравнений пригоден для решения систем с любым числом уравнений и неизвестных.

Суть метода Гаусса заключается в преобразовании заданной системы уравнений с помощью элементарных преобразований в эквивалентную систему ступенчатого треугольного вида.

Полученная система содержит все неизвестные в первом уравнении. Во втором уравнении отсутствует первое неизвестное, в третьем уравнении отсутствуют первое и второе неизвестные и т. д.

Если система совместна и определена (единственное решение), то последнее уравнение содержит одно неизвестное. Найдя последнее неизвестное, из предыдущего уравнения находим еще одно — предпоследнее. Подставляя полученные величины неизвестных, мы последовательно найдем решение системы.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений, используемыми для приведения системы к треугольному виду, являются следующие преобразования:

— перестановка местами двух уравнений;

— умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;

— прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число.

Элементарные преобразования переводят данную систему линейных алгебраических уравнений в эквивалентную систему.

Две системы называются эквивалентными, если всякое решение первой системы является решением другой системы и наоборот.
Вопрос №11

Базис и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Базисом линейного пространства L называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства L является линейной комбинацией этих векторов. В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.

В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.

Линейное пространство L, в котором существует базис, состоящий из n векторов, называется — n мерным линейным или векторным пространством. Число n называется размерностью пространства и обозначается dimL. Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.

Общее решение неоднородной системы линейных уравнений. Систему неоднородных уравнений запишем в матричном виде Ax = b, где матрица A имеет размеры mxn.

[T] Система линейных уравнений Ax = b может иметь либо бесконечно много решений, либо одно решение, либо не иметь решений.

[D] Пусть система имеет решение x⁽⁰⁾ . Если однородная система Ax = 0 имеет только одно решение, то из формулы общего решения будет следовать, что x⁽⁰⁾ — единственное решение неоднородной системы. Если однородная система имеет хотя бы одно ненулевое решение, то ее фундаментальная система решений будет состоять не менее, чем из одного решения. В формуле общего решения неоднородной системы будет произвольный коэффициент С1 , и при различных его значениях мы будем получать различные решения неоднородной системы.

Вопрос №12

Векторы на плоскости и в пространстве. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Ортом вектора а называется вектор а⁰, который имеет единичную длину и то же направление, что и вектор а.

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными.

Два вектора считаются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине.

Пусть даны два вектора. Параллельным переносом приведем их к общему началу. Наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения с другим, называется углом между векторами.

1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

3) Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

Три вектора, a,b,c, называются линейно-независимыми, если они не лежат в одной плоскости.

Базисом в трехмерном пространстве R³ называется упорядоченная тройка любых линейно-независимых векторов.

Источник

Вопрос №1: «Матрицы и алгебра матриц».

Матрицы и многомерные векторы. Матрицей называется
прямоугольная таблица чисел, содержащая n строк и m столбцов.

Виды матриц.

Две матрицы называются равными, если их
соответствующие элементы равны.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (n=m), то матрица называется квадратной.

Матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной
диагонали равны 0, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы
равны 1, называется единичной.

Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой.

Если в квадратной матрице все элементы стоящие ниже (выше)
главной диагонали равны 0, то она называется верхний (нижний)
треугольник.

Если в матрице А строки записать столбцами с теми же
номерами, то полученная матрица будет называться транспонированной
к матрице А.

Если матрица А равна транспонированной, то она называется симметричной.

Действия над матрицами:

1) Умножение матрицы на число. В результате умножения
матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная,
каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего
элемента исходной матрицы на число. Мы получим одинаковый результат, умножая
число на матрицу, или матрицу на число. Из определения следует, что общий
множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

2) Сложение и вычитание матриц. Складывать и вычитать можно
только матрицы одинаковой размерности. Суммой (разностью) двух матриц
называется матрица той же размерности, что и исходные, каждый элемент которой
определяется как сумма (разность) соответствующих элементов матриц. Очевидно,
результат сложения не изменится, если слагаемые матрицы поменять местами. Если
к матрице прибавить или от нее отнять нулевую матрицу той же размерности, то получим
исходную матрицу.

3) Умножение матрицы на матрицу. Умножать друг на друга
можно только те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя равно
числу строк второго сомножителя. Результатом умножения является матрица, у
которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов
совпадает с числом столбцов второго сомножителя. Иными словами, перемножать
можно те матрицы, у которых совпадают средние индексы. Крайние индексы
определяют размерность получаемого результата.

Свойства операций над матрицами.

1) В общем случае . Если то матрицы А и В называются перестановочными по
отношению друг к другу.

2) Ассоциативность;

3) Дистрибутивность;

4) При умножении любой квадратной матрицы на единичную
первоначальная матрица не меняется .

Вопрос №2: «Определители. Вычисление
определителей».

Определители 2-го и 3-го порядка и их
свойства. Если
квадратная матрица имеет определитель, отличный от нуля (Δ ≠ 0), то говорят,
что матрица невырожденная, в противном случае — матрица вырожденная или особая.

Определителем квадратной матрицы 2-го порядка,
называется число равное разности произведений элементов главной и побочной
диагонали матрицы.

Определителем квадратной матрицы 3-го
порядка, называется число равное:

Таким образом, вычисление определителя третьего порядка
сводится к вычислению определителей второго порядка.

Вопрос №3: «Свойства определителей».

Свойства определителей:

1) Если строка (столбец) матрицы состоит из 0, то ее
определитель равен 0.

2) Если все элементы, какой либо строки (столбца) матрицы
умножить на одно и тоже число, то и ее определитель умножится на это же число.

3) При транспонировании матрицы ее определитель не
меняется.

4) При перестановки, каких либо двух строк (столбцов)
матрицы знак матрицы меняется на противоположный. Доказательство вытекает из
того, что при перестановке одной транспозиции четность инверсии меняется.

5) Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки
(столбца), то её определитель равен 0.

6) Сумма произведений элементов, какой либо строки
(столбца) на алгебраические дополнения какой либо строки (столбца) равно 0.

7) Если элементы, какой либо строки (столбца) равны сумме
двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все
строки (столбцы) кроме указанных, те же что и в исходном определителе, а рассматриваемая
k-строка (столбец) в первом определителе
содержит первые слагаемые, во втором вторые.

Определитель матрицы не изменится если к элементам какой
либо строки (столбца) прибавить элемент какой либо строки (столбца)
предварительно умноженные на одно и то же число.

Вопрос №4: «Обратная матрица и её
вычисление».

Обратная матрица. Матрицей, обратной матрице А,
называется матрица A^-1 такая, что A^-1A = A A^-1
= E.

Обратная матрица может существовать только для квадратной
матрицы. Причем сама является той же размерности, что и исходная матрица.

Можно показать, что для того, чтобы квадратная матрица
имела обратную, она должна быть невырожденной (т.е. Δ ≠ 0 ). Это условие
является и достаточным для существования A^-1 матрице А. Итак, всякая
невырожденная матрица имеет обратную, и, притом, единственную.

Сформулируем правило нахождения обратной матрицы на примере
матрицы А.

1. Находим определитель матрицы. Если Δ ≠ 0, то матрица A^-1существует.

2. Составим матрицу В алгебраических дополнений элементов
исходной матрицы А. Т.е. в матрице В элементом i — ой строки и j — го столбца
будет алгебраическое дополнение A_ijэлемента a_ij исходной
матрицы.

3. Транспонируем матрицу В и получим B^T.

Теорема существования и единственности обратной матрицы. Для
квадратной матрицы А существует и при том единственная обратная матрица А^-1
тогда и только тогда, когда эта матрица не вырождена.

Вопрос №5: «Системы линейных уравнений,
их решение матричная запись».

Системы линейных уравнений. Уравнение называется линейным,
если оно содержит неизвестные в первой степени и не содержит их произведений.

Запись в матричной форме.

— система линейных уравнений.

Обозначим, — матрица коэффициентов, —
вектор неизвестных,

— вектор свободных членов. A_mn
X_n1 + B_m1 = 0 — матричная запись системы уравнений.

Если система уравнений имеет решение, она называется совместной,
не имеет – несовместной. Совместная система, имеющая одно
решение, называется определенной, если много – неопределенной.
Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными,
если каждое решение является решением уравнения системы или наоборот.

Вопрос №6: «Решение систем линейных
уравнений с помощью обратной матрицы». Матричным методом могут быть решены
только те системы, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и
определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля (матрица А невырожденная). Из
этих условий следует, что и,
следовательно, система совместна и определена. Решение системы можно получить
так: . Используя
свойства произведения матриц и свойство обратной матрицы . Т.е., для получения столбца
неизвестных нужно обратную матрицу матрицы коэффициентов системы умножить на
столбец свободных членов.

Пример. Решить систему матричным методом. Решение. Найдем
обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы .

Вычислим определитель, раскладывая по первой строке: . Поскольку Δ ≠ 0, то A^-1
существует.

Обратная матрица найдена верно.

Найдем решение системы .

Следовательно, x₁ = 1, x₂ = 2, x₃
= 3.

Матричный метод годится для решения любых систем, у которых
матрица А квадратная и невырожденная.

Вопрос №7: «Теорема Крамера, формулы
Крамера».

Пусть Δ = |A| определитель матричной системы
n линейных уравнений с n
неизвестных, а Δ_j определитель матрицы,
полученный из матричной системы заменой j-того
столбца на столбец правых частей. Тогда если Δ ≠ 0, то система имеет
единственное решение, определенное по формулам.

Вопрос №8: «Решение систем линейных
уравнений методом Гаусса».

Решение и исследование систем линейных
уравнений методом Гаусса.
Этот метод решения систем линейных уравнений пригоден для решения систем с
любым числом уравнений и неизвестных.

Суть метода Гаусса заключается в преобразовании заданной
системы уравнений с помощью элементарных преобразований в эквивалентную систему
ступенчатого треугольного вида.

Полученная система содержит все неизвестные в первом
уравнении. Во втором уравнении отсутствует первое неизвестное, в третьем
уравнении отсутствуют первое и второе неизвестные и т. д.

Если система совместна и определена (единственное решение),
то последнее уравнение содержит одно неизвестное. Найдя последнее неизвестное,
из предыдущего уравнения находим еще одно — предпоследнее. Подставляя
полученные величины неизвестных, мы последовательно найдем решение системы.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений,
используемыми для приведения системы к треугольному виду, являются следующие
преобразования:

— перестановка местами двух уравнений;

— умножение обеих частей одного из уравнений на любое
число, отличное от нуля;

— прибавление к обеим частям одного уравнения
соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число.

Элементарные преобразования переводят данную систему
линейных алгебраических уравнений в эквивалентную систему.

Две системы называются эквивалентными, если
всякое решение первой системы является решением другой системы и наоборот.

Вопрос №9: «Понятие вектора. Сложение
векторов, умножение вектора на скаляр».

Векторы на плоскости и в пространстве. Вектором
называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам
относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Векторы и линейные операции над ними. Линейными операциями над
векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой двух векторов a и b называется вектор c, направленный из начала вектора a в конец вектора b при условии, что начало b совпадет с концом вектора a.
Если векторы заданы их разложениями по базисным ортам, то при сложении векторов
складываются их соответствующие координаты.

Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по
правилу многоугольника: чтобы построить сумму конечного числа
векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом
предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом
последнего.

Вопрос №10: «Декартова и полярная
система координат на плоскости».

Декартовы прямоугольные координаты на
плоскости и в пространстве.

Системы координат на плоскости.

Декартовы прямоугольные координаты (рис.
4.1). О — начало координат, Ох — ось абсцисс, Оy — ось ординат, — базисные векторы, — абсцисса точки M ( — проекция точки M на ось Ох
параллельно оси Оy), —
ордината точки M ( —
проекция точки M на ось Oy параллельно оси Ox).

Системы координат в пространстве.

Декартовы прямоугольные координаты (рис.
4.4). О — начало координат, Ох — ось абсцисс, Оy — ось ординат, Оz — ось
аппликат , — базисные
векторы. Oxy, Oxz, Oyz — координатные плоскости, — абсцисса точки M ( — проекция точки M на ось Ох параллельно
плоскости Оyz), —
ордината точки M ( —
проекция точки M на ось Oy параллельно плоскости Oxz), — ордината точки M ( — проекция точки M на ось Oz параллельно
плоскости Oxy).

Полярные координаты на плоскости. О — полюс, Ox — полярная ось, — полярный радиус, — полярный угол. Главные
значения и : (иногда ).

Выражение декартовых прямоугольных координат через полярные:

Выражение полярных координат через декартовы прямоугольные:

Вопрос 11: «Цилиндрическая и сферическая
системы координат в пространстве».

Сферические и цилиндрические координаты
в пространстве.

Цилиндрические координаты. Главные значения , , :

Связь между декартовыми прямоугольными и цилиндрическими
координатами:

Сферические координаты. Главные значения , , θ:

Иногда вместо θ рассматривают :

Вопрос №12: «Скалярное произведение
векторов и его свойства».

Скалярное произведение и его свойства.

Скалярным произведением двух векторов называется число,
равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. Из определения следует где φ — угол между векторами.

В зависимости от значения угла между векторами, проекция
может принимать отрицательные, положительные или нулевые значения.

Свойства скалярного произведения.

Вопрос №13: «Векторное произведение
векторов и его свойства».

Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор , определяемый следующим образом:

1) длина его равна площади параллелограмма, построенного на
векторах и , т.е. где φ — угол между векторами и ;

2) вектор перпендикулярен векторам и ;

3) векторы после приведения к общему началу образуют правую
тройку векторов.

Свойства векторного произведения

Вопрос №14: «Смешанное произведение
векторов и его свойства».

Смешанным произведением трех векторов называется число

Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен
объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Свойства смешанного произведения:

Вопрос №15: Двойное векторное
произведение».

Вопрос №16: «Уравнение прямой с угловым
коэффициентом».

Вопрос №17: «Угол между прямыми. Условия
параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Определение. Если заданы две прямые y = k₁x
+ b₁, y = k₂x + b₂, то острый угол между
этими прямыми будет определяться как . Две прямые параллельны, если k₁ = k₂.
Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х
+ В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны
коэффициенты А₁ = lА, В₁ = lВ. Если еще и С₁
= lС, то прямые совпадают.

Координаты точки пересечения двух прямых находятся как
решение системы уравнений этих прямых.

Вопрос №18: «Общее уравнение прямой».

Вопрос №19: «Общее уравнение плоскости.
Нормальный вектор плоскости».

Вопрос №20: «Угол между двумя
плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей».

Вопрос №21: «Канонические уравнения
прямой в пространстве».

Вопрос №22: «Угол между прямыми в
пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Вопрос №23: «Условие параллельности
прямой и плоскости в пространстве».

Вопрос №24: « Условие перпендикулярности
прямой и плоскости в пространстве».

Вопрос №25: «Угол между прямой и
плоскостью».

Вопрос №26: «Каноническое уравнение
эллипса. Исследование формы эллипса».

Вопрос №27: «Каноническое
уравнение гиперболы. Исследование формы гиперболы».

Вопрос №28: «Каноническое
уравнение параболы. Исследование формы параболы».

Вопрос №29: «Общее уравнение
линии второго порядка. Понятие типа линии второго порядка».

Уравнение такого вида может определять: 1) эллипс (в
частности, окружность), 2) гиперболу, 3) параболу, 4) пару прямых
(параллельных, пересекающихся либо совпадающих), 5) точку или не определять
никакой линии.

В простейшем случае, при В = 0, тип кривой можно
определить, выделив полные квадраты переменных.

Вопрос №30:
«Числовые последовательности и операции над ними, ограниченные и неограниченные
последовательности».

Вопрос №31: «Бесконечно большие
и бесконечно малые последовательности, основные свойства бесконечно малых последовательностей».

Вопрос №32: «Сходящиеся
последовательности: предел последовательности, основные свойства сходящихся
последовательностей».

Вопрос №33: «Монотонные
последовательности, число е».

Вопрос №34: «Определение
функции. Способы задания функций».

Вопрос №35: «Предел функции.
Односторонние пределы. Свойства пределов. Два замечательных предела».

Предел функции (предельное
значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, —
такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной
точке.

Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел,
подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с
определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке
тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый
пределы.

Вопрос №36: «Непрерывность и
разрывы и функций».

Вопрос №37: «Обратные функции».

Пусть X и Y – некоторые
множества и пусть задана функция f, т.е. множество пар чисел (x;y) (x ϵ X; y ϵ Y), в котором каждое
число x входит в
одну и только одну пару, а каждое число y – по крайней мере в одну пару.
Если в каждой паре этого множества числа x и y поменять
местами, то получим множество пар чисел (y;x), которое называется обратной функцией φ к
функции f.

Вопрос №38: «Сложные функции».

Если на некотором множестве X определена
функция z = φ(x) со множеством
значений Z, а на
множестве Z – функций
y = f [φ(x)] называется сложной
функцией от x [или
суперпозицией (иногда композицией) функций φ(x) и f(z)], а переменная z – промежуточной переменной
сложной функции.

Вопрос №39: «Производная. Ее
физический и геометрический смысл».

Вопрос №40: «Правила
дифференцирования».

Вопросы 41: «Производные от
элементарных функций. Таблица производных».

Вопрос №42: «Дифференциал.
Определение и геометрический смысл».

Вопрос №43: «Производные и
дифференциалы высших порядков».

Вопрос №44: «Раскрытие
неопределенностей. Правило Лопиталя».

Вопрос №45: «Формулы Тейлора и
Маклорена».

Вопрос №46: «Разложение в ряд
Маклорена элементарных функций, вычисление числа е».

Источник

1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого — определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!

Определение матрицы

Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.

Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A, матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n, где m – количество строк, а n – количество столбцов.

Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.

Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать, умножать на число, умножать между собой, транспонировать. Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.

Операции сложения и вычитания матриц

Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы. Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.

Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.

Умножение матрицы на число

На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:

Операция умножения матриц

Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы — A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго. Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:

И пример с реальными числами. Умножим матрицы:

Операция транспонирования матрицы

Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:

Определитель матрицы

Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!

Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.

А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.

Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.

Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот — столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис. Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.

Источник

Содержание:

Определение: Матрицей называется таблица чисел (выражений), имеющая m строк и n столбцов:

В дальнейшем будем писать матрицу в сокращенном виде

Определение: Если матрица содержит 1 строку и n столбцов, то она называется матрицей-строкой

Определение: Если матрица содержит m строк и 1 столбец, то она называется матрицей-столбцом

Пример:

Следующие таблицы являются матрицами

Определение: Матрица, у которой совпадает количество столбцов с количеством строк, называется квадратной.

Всякой квадратной матрице соответствует определитель, составленный из тех же матричных элементов, который в теории матриц называется детерминантом матрицы

Определение: Транспонированной к исходной квадратной матрице называется такая матрица, строки которой заменены на соответствующие столбцы, а столбцы — на соответствующие строки.

Замечание: Согласно свойству 1. для определителей (см. Лекцию № 1) для квадратных матриц детерминант исходной матрицы равен детерминанту транспонированной матрицы.

Определение: Матрицу, у которой все элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю, будем называть треугольной

Определение: Матрица, все элементы которой равны нулю, за исключением элементов, стоящих на главной диагонали, называется диагональной

Определение: Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой на главной диагонали все элементы равны единице, а остальные элементы равны нулю:

Действия над матрицами

1. Суммой (разностью) двух матриц и одинаковой структуры называется матрица той же размерности элементы которой вычисляются по формуле:

Пример:

Найти сумму (разность) матриц

Решение:

Из приведенных матриц складывать (вычитать) можно только матрицы А и С, которые имеют одинаковую структуру. Найдем сумму:

и разность этих матриц:

2. При умножении вещественного числа k на матрицу все элементы матрицы умножаются на это число.

Пример:

Умножить (-2) на матрицу

Решение:

Результат умножения имеет вид

3. Произведением матриц и называется матрица элементы которой вычисляются по формуле:

Замечание: Перемножать можно лишь те матрицы, для которых количество столбцов первой перемножаемой матрицы совпадает с количеством строк второй перемножаемой матрицы. Матрица, получаемая в результате перемножения, имеет количество строк равное количеству строк первой матрицы и количество столбцов равное количеству столбцов второй матрицы.

Пример:

Найти (возможные) произведения матриц

Решение:

Матрица А имеет структуру 2×3, матрица В — 2×2, матрица С — 3×2. Согласно определению можно найти произведения Не существуют произведения Вычислим произведение Прежде всего, определим структуру результирующей матрицы: имеем размерности и убирая подчеркнутые цифры, получим структуру результирующей матрицы 2×3. Вычислим ее элементы. Для того чтобы найти элементы возможных произведений, надо просуммировать произведения элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы:

Остальные возможные произведения найти самостоятельно.

Замечание: Из приведенного примера видно, что в общем случае произведение матриц некоммутативно (неперестановочно), т. е.

Определение: Обратной матрицей к исходной квадратной матрице называется матрица той же структуры, произведение которой с матрицей А коммутативно и равно единичной матрице, то есть

Рассмотрим схему построения обратной матрицы

Замечание: Обращаем внимание на то, что матрица алгебраических дополнений записана в транспонированном виде.

Пример:

Найти обратную матрицу к матрице

Решение:

Вычислим детерминант данной матрицы раскроем этот определитель по элементам первой строки:

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов определителя: Запишем обратную матрицу

Проверим правильность нахождения обратной матрицы, для чего воспользуемся ее определением. Умножим найденную матрицу на исходную матрицу, вычислим элементы результирующей матрицы

Таким образом, т.е. найдена верно.

Основные сведения о матрицах

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики — матричная алгебра — имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное — компактной матричной форме.

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, А, В, С, …, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: , где — номер строки, — номер столбца.

Например, матрица

или, в сокращенной записи,

Например, Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы:

Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. для любых

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.)

может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

В этой записи, например, матричный элемент показывает, сколько электроэнергии потребляет промышленность, а элемент — сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

Виды матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца — матрицей (вектором)-столбцом: — матрица-строка;

— матрица-столбец.

Матрица называется квадратной -го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно .

Например, — квадратная матрица третьего порядка.

Элементы матрицы , у которых номер столбца равен номеру строки , называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например,

—диагональная матрица третьего порядка.

Если у диагональной матрицы -го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей -го порядка, она обозначается буквой Е.

Например,— единичная матрица третьего порядка.

Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю:

Операции над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые — специфические.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А на число называется матрица элементы которой для

Например, если , то

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Например,

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, т.е.

Сложение матриц

Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица , элементы которой для (т.е. матрицы складываются поэлементно).

Например,

В частном случае A + 0 = A.

Вычитание матриц

Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции:

Умножение матриц

Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -й строки матрицы А на соответствующие элементы -го столбца матрицы В:

Пример №1

Вычислить произведение матриц , где

Решение:

1. Найдем размер матрицы-произведения (если умножение матриц возможно):

2. Вычислим элементы матрицы-произведения С, умножая элементы каждой строки матрицы А на соответствующие элементы столбцов матрицы В следующим образом:

Получаем ►

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (что следует из определений этих операций):

этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

а)Если произведение матриц существует, то после перестановки сомножителей местами произведения матриц может и не существовать. Действительно, в примере 1.1 получили произведение матриц , а произведения не существует, так как число столбцов первой матрицы не совпадает с числом строк второй матрицы.

б)Если даже произведения и существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

Пример №2

Найти произведения матриц и :

Решение:

► в) В случае, когда оба произведения и существуют и оба — матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц А и В одного порядка), коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется, т.е.

Пример №3

Найти произведения матриц и , где

Решение:

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А -гo порядка на единичную матрицу Е того же порядка, причем это произведение равно А:

Таким образом, единичная матрица играет при умножении матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

г) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что , не следует, что или,. Например,

Возведение в степень

Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, равных , т.е.

Заметим, что операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.

По определению полагают Нетрудно показать, что

Пример №4

Найти , где

Решение:

Обращаем внимание на то, что из равенства еще не следует, что матрица ►

Транспонирование матрицы

Транспонирование матрицы — переход от матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица называется транспонированной относительно матрицы : Из определения следует, что если матрица имеет размер , то транспонированная матрица имеет размер .

Например,

В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например, .

Свойства операции транспонирования:

Рекомендуем читателю доказать их самостоятельно. Рассмотренные выше операции над матрицами позволяют упростить решения некоторых экономических задач.

Пример №5

Предприятие выпускает продукцию трех видов: и использует сырье двух типов: . Нормы расхода сырья характеризуются матрицей

где каждый элемент показывает, сколько единиц сырья

-го типа расходуется на производство единицы продукции -го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой , стоимость единицы каждого типа сырья (ден. ед.) — матрицей-столбцом

Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции, и общую стоимость сырья.

Решение:

Затраты 1-го сырья составляют ед. и 2-го — ед., поэтому матрица-строка затрат сырья может быть записана как произведение

Тогда общая стоимость сырья ден. ед. может быть записана в матричном виде Общую стоимость сырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вычислим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу продукции, т.е. матрицу

а затем общую стоимость сырья

На данном примере мы убедились в выполнении свойства 7 (см. с. 13) — ассоциативного закона произведения матриц:

Определители квадратных матриц

Необходимость введения определителя — числа, характеризующего квадратную матрицу , — тесно связана с решением систем линейных уравнений (см. гл. 2). Определитель матрицы обозначается или

Определителем матрицы первого порядка , или определителем первого порядка, называется элемент :

Например, пусть тогда

Определителем матрицы второго порядка , или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Произведения а и называются членами определителя второго порядка. Например, пусть тогда

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка: Определителем матрицы третьего порядка , или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из 6 слагаемых, или 6 членов определителя. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу (1.4), легко запомнить, пользуясь схемой (рис. 1.1), которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса.

Пример №6

Вычислить определитель третьего порядка

Решение:

►

Для того чтобы ввести понятие определителя более высокого порядка, потребуются некоторые дополнительные понятия. Рассмотрим квадратную матрицу -гo порядка:

Из общего числа элементов этой матрицы выберем набор, содержащий элементов, таким образом, чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Например, набор элементов или соответственно главной и побочной диагоналей матрицы.

Любой такой набор можно упорядочить, записав сначала элемент из 1-й строки, затем из 2-й и т.д., т.е.

Номера столбцов образуют при этом перестановку из чисел: Всего существует различных перестановок из натуральных чисел.

Введем понятие беспорядка, или инверсии, в перестановке Это наличие пары чисел, в которой большее число предшествует меньшему. Например, в перестановке из трех чисел имеется одна инверсия (2; 1), а в перестановке — три: (3; 2), (3; 1), (2; 1). Обозначим через количество инверсий в перестановке

Возвращаясь к наборам (1.5) из элементов матрицы мы можем каждому такому набору поставить в соответствие произведение его элементов:

и число , равное количеству инверсий в перестановке из номеров соответствующих столбцов.

Определение. Определителем квадратной матрицы -го порядка, или определителем -го порядка, называется число, равное алгебраической сумме членов, каждый из которых является произведением элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как , где — число инверсий в перестановке из номеров столбцов элементов матрицы, ест при этом номера строк записаны в порядке возрастания:

где сумма берется по всем перестановкам Проверим, например, что при мы получаем введенный ранее определитель третьего порядка (1.4):

то же число, что и по формуле (1.4).

Заметим, что с ростом резко увеличивается число членов определителя поэтому даже для использование формулы (1.7) весьма трудоемко (получим 24 слагаемых!).

На практике при вычислении определителей высоких порядков используют другие формулы. Для их рассмотрения необходимо ввести новые понятия.

Пусть дана квадратная матрица -го порядка.

Минором элемента матрицы -го порядка называется

определитель матрицы -го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием -й строки и го столбца.

Например, минором элемента матрицы третьего порядка будет: Каждая матрица -го порядка имеет миноров -го порядка.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы -го порядка называется его минор, взятый со знаком

т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца — четное число, и отличается от минора знаком, когда — нечетное число.

Например,

Пример №7

Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы (из примера 1.6):

Решение:

Важное значение для вычисления определителей имеет следующая теорема.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по элементам -й строки; );

(разложение по элементам -го столбца; ).

Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере определителя матрицы третьего порядка. Разложим его вначале по элементам первой строки:

Точнее данная теорема является частным случаем теоремы Лапласа.

После преобразований (представляем их сделать читателю) нетрудно убедиться в том, что полученное выражение совпадает с определением (1.4). Аналогичный результат получаем разложением определителя матрицы по любой строке или столбцу.

Пример №8

Вычислить определитель треугольной матрицы:

Решение:

Раскладывая по первому столбцу, получаем:

На частном примере мы убедились в том, что определитель треугольной (и, очевидно, диагональной) матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Значение теоремы Лапласа состоит в том, что позволяет свести вычисление определителей -го порядка к вычислению более простых определителей -го порядка.

Свойства определителей

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число .

Пусть определитель исходной матрицы равен . Для определенности первую строку матрицы умножим на , получим новый определитель , который разложим по элементам первой строки:

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель элементов любой строки или столбца в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель лишь всех ее элементов. Например, , но

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется:

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

□ Предположим вначале, что переставлены две соседние строки матрицы: Разложим определитель исходной матрицы по элементам -й строки, а определитель новой матрицы (с переставленными строками) — по элементам -й строки. Разложения будут отличаться только знаком, так как в формуле (1.9) для каждое алгебраическое дополнение будет иметь противоположный знак (множители сменятся на множители , поэтому

Если переставить не соседние строки, а, скажем, -ю и -ю, то такую перестановку можно представить как последовательное смещение -й строки на строк вниз (при этом каждый раз знак определителя меняется), -й строки на вверх, что тоже сопровождается изменением знака, т.е. знак поменяется нечетное число раз: .

Доказательство для столбцов аналогично.

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки {столбца), то ее определитель равен 0.

□Действительно, переставим эти строки (столбцы). С одной стороны, определитель не изменится, но, с другой стороны, по свойству 4 поменяет знак, т.е. , откуда

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

□ Пусть для определенности пропорциональны первая и вторая строки. Тогда, вынося коэффициент пропорциональности , получаем по свойству , где имеет две одинаковые строки и по свойству 5 равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е.

Рассмотрим квадратную матрицу и вспомогательную матрицу , полученную из матрицы заменой -й строки на -ю:

т.е. матрица имеет две одинаковые строки, поэтому согласно свойству 5 ее определитель равен 0. Вычисляя его разложением по элементам -й строки, получаем:

Замечание. Объединяя результат теоремы Лапласа и свойство 7, получаем:

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

Пусть для определенности к элементам -Й строки матрицы прибавим элементы -й строки, умноженные на Тогда первая строка матрицы имеет вид: Определитель полученной матрицы вычислим разложением по элементам -й строки:

где — алгебраические дополнения элементов -й строки исходной матрицы Раскроем скобки и получим после преобразования:

Используя формулу (1.12), получаем, что первая сумма равна определителю исходной матрицы, а вторая — 0, т.е.

9. Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа .

Свойство вытекает непосредственно из теоремы Лапласа.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: где —матрицы -го порядка.

Замечание. Из свойства 10 следует, что даже если то

Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисление, особенно для определителей высоких порядков. При вычислении определителей целесообразно так преобразовать исходную матрицу с помощью свойств 1—9, чтобы преобразованная матрица имела строку (или столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом найти определитель разложением по этой строке (столбцу).

Пример №9

Вычислить определитель четвертого порядка:

Решение:

Преобразуем матрицу так, чтобы в 3-й строке все элементы, кроме одного, обращались в 0. Для этого умножим, например, элементы 3-го столбца на (-4) и на 2 и прибавим их соответственно к элементам 1-го и 2-го столбцов. Раскладывая полученный определитель по элементам третьей строки, найдем Полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников или с помощью теоремы Лапласа, однако можно продолжить упрощение матрицы. «Обнулим» в матрице третьего порядка элементы 2-й строки (кроме одного). Для этого элементы 3-го столбца матрицы, предварительно умножив на (—13) и на 4, сложим с элементами 1-го и 2-го столбцов соответственно:

Раскладывая по элементам множители, получаем:

Обратная матрица

Для каждого числа существует обратное число такое, что произведение Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если является необходимым и достаточным условием существования числа то для существования матрицы таким условием является требование

Если определитель матрицы отличен от нуля то такая квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при )— вырожденной, или особенной.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Необходимость. Пусть матрица имеет обратную , т.е . По свойству 10 определителей имеем

Достаточность. Пусть Рассмотрим квадратную матрицу -го порядка, называемую присоединенной*, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы , транспонированной к Тогда элементы произведения матриц определяются по правилу умножения матриц: Поэтому матрица является диагональной, элементы ее главной диагонали равны определителю исходной матрицы:

Аналогично доказывается, что произведение на равно той же матрице Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу.

то произведения и равны единичной матрице -го порядка:

Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что существуют еще матрицы такие, что и , где матрица получена по формуле (1.14), и выполняются равенства: и . Тогда, умножая наслева первое из них, получаем: , откуда , т.е. . Аналогично, умножая второе равенство на справа, получаем . Единственность доказана.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

Пример №10

Найти матрицу, обратную к данной:

Решение:

1°. Определитель матрицы (см. пример 1.6), т.е. матрица — невырожденная и обратная матрица существует.

2°. Находим матрицу , транспонированную к :

3°. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них присоединенную матрицу , учитывая, что

4° . Вычисляем обратную матрицу

5°. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы по формулам:

(рекомендуем в этом убедиться самому читателю). ►

Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

Ранг матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

В матрице размера вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы -то порядка, где . Определители таких подматриц называются минорами -го порядка матрицы .

Например, из матрицы можно получить подматрицы первого, второго и третьего порядков.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы обозначается или

Из определения следует: а) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. ;

б) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. ;

в) для квадратной матрицы -го порядка тогда и только тогда, когда матрица — невырожденная.

Пример №11

Вычислить ранг матрицы

Решение:

Матрица имеет четвертый порядок, поэтому Однако так как матрица содержит нулевой столбец, поэтому Все подматрицы третьего порядка тоже содержат нулевой столбец и поэтому имеют нулевые определители, значит Все подматрицы второго порядка либо имеют нулевой столбец (второй или четвертый), либо имеют пропорциональные столбцы (первый и третий), поэтому тоже имеют нулевые определители; таким образом Поскольку матрица содержит ненулевые элементы, т.е. невырожденные подматрицы первого порядка, то . ►

Пример №12

Вычислить ранг матрицы

Решение:

Для матрицы .

Проверим, равен ли ранг 3-м, для этого вычислим все миноры третьего порядка, т.е. определители всех подматриц третьего порядка (их всего 4, они получаются при вычеркивании одного из столбцов матрицы):

Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, Так как существует ненулевой минор второго порядка, например,

►

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются преобразования, сохраняющие ранг матрицы.

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

Отбрасывание нулевой строки (столбца).
Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.
Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

При изучении свойств определителей было показано, что при преобразованиях квадратных матриц их определители либо сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. В результате сохраняется наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы, т.е. ее ранг не изменяется.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.

Матрица называется ступенчатой, если она имеет вид: где .

Замечание. Условие всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен , так как имеется минор -го порядка, не равный нулю:

Покажем на примере алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Пример №13

Найти ранг матрицы

Решение:

1°. Если , то при перестановке строк или столбцов добиваемся того, что . В данном примере поменяем местами, например, 1-ю и 2-ю строки матрицы (см. ниже).

2°. Если , то умножая элементы 2-й, 3-й и 4-й строк на подходящие числа (именно на ) и прибавляя полученные числа соответственно к элементам 2-й1, 3-й и 4-й строк, добьемся того, чтобы все элементы 1-го столбца (кроме ) равнялись нулю:

3°. Если в полученной матрице (у нас ), то умножая элементы 3-й и 4-й строк на подходящие числа (а именно, на ), добьемся того, чтобы все элементы 2-го столбца (кроме ) равнялись нулю. Если в процессе преобразований получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из нулей (как в данном примере), то отбрасываем эти строки (или столбцы):

Последняя матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры второго порядка, не равные нулю, например,

Поэтому ранг полученной ступенчатой, а следовательно, и данной матрицы равен 2. ►

Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:

5) если — квадратная матрица и

6) где — число столбцов матрицы или строк матрицы .

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.

матрице обозначим ее строки следующим образом:

Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы: , если

Арифметические операции над строками матрицы (умножение строки на число, сложение строк) вводятся как операции, проводимые поэлементно:

Строка е называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:

где — любые числа.

Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа .т, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

где 0 = (0 0…0).

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Действительно, пусть для определенности в формуле (1.17) , тогда

где

Таким образом, строкаявляется линейной комбинацией остальных строк.

Если линейная комбинация строк (1.17) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т.е. , то строки называются линейно независимыми.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки {столбцы).

Пусть матрица размера имеет

Это означает, что существует отличный от нуля минор -го порядка. Всякий ненулевой минор -го порядка будем называть базисным минором. Пусть для определенности это минор

Тогда строки матрицы линейно независимы. Действительно, предположим противное, т.е. одна из этих строк, например , является линейной комбинацией остальных:

Вычтем из элементов -й строки элементы 1-й строки, умноженные на , элементы 2-й строки, умноженные на , и т.д., наконец, элементы -й строки, умноженные на . На основании свойства 8 (см. § 1.4) при таких преобразованиях матрицы ее определитель не изменится, но так как теперь г-я строка будет состоять из одних нулей, то — противоречие, и наше предположение о том, что строки матрицы линейно зависимы, неверно.

Строки назовем базисными.

Покажем, что любые строк матрицы линейно зависимы, т.е. любая строка выражается через базисные.

Рассмотрим минор -го порядка, который получается

при дополнении рассматриваемого минора элементами еще одной строки и столбца

Этот минор равен нулю, так как ранг матрицы равен , поэтому любой минор более высокого порядка равен нулю.

Раскладывая его по элементам последнего (добавленного) столбца, получаем , где последнее алгебраическое дополнение совпадает с базисным минором и поэтому отлично от нуля, т.е. .

Разделив последнее равенство на , можем выразить элемент как линейную комбинацию:

где

Фиксируем значение и получаем, что для любого элементы -й строки линейно выражаются через элементы строк т.е. -я строка есть линейная комбинация базисных:

Теорема о ранге матрицы играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности при исследовании систем линейных уравнений.

Матрицы в линейной алгебре

Прямоугольная таблица:

(9.1)

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размера m х n или (n,m)-матрицей.

Матрицу (9.1) будем обозначать А или . Числа называются элементами матрицы, индекс i обозначает номер строки, а индекс j — номер столбца, на пересечении которых расположен элемент.

Если m = n, то матрица (9.1) называется квадратной матрицей порядка n.

В квадратной матрице n-го порядка диагональ, состоящая из элементов называется главной диагональю, состоящая из элементов а,п, — побочной диагональю.

Квадратная матрица:

называется диагональной. Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны, т.е. , то такая матрица называется скалярной. Скалярная матрица, у которой называется единичной и обозначается буквой Е. Например, единичная матрица третьего порядка:

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается через 0.

Матрицы А и В называются равными, если их размеры одинаковы и элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, равны.

Операции над матрицами

Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица того же размера с элементами, равными суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е.

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

Коммутативность, т.е. А + В = В + А.
Ассоциативность, т.е. (А + B)+ С = А + (В + С).
Для любых двух матриц А и В одинакового размера существует единственная матрица X такая, что А + X = В. Матрица X обозначается X = В-А и называется разностью матриц В и А. Урав-=нение А + Х = 0 имеет решение Х = 0-А, получающаяся при этом матрица называется противоположной А и обозначается — А.

Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на число .

Умножение матрицы на действительное число обладает следующими свойствами:

Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В этом случае произведением матрицы на матрицу называется матрица

т.е. элемент, стоящий в n -той строке и j-том столбце матрицы произведения равен сумме произведений элементов n’-той строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.

Свойства умножения:

Если матрица А согласована с матрицей В, а матрица В согласована с матрицей С, то А • В• С = (А В)- С = А (В С) — ассоциативность умножения;
(А + ВС = АС + ВС, А-(В + С)= АВ + АС — свойство дистрибутивности;
Умножение матриц не коммутативно, т.е., как правило,

Транспонированием матрицы А называется операция замены местами строк и столбцов с сохранением порядка их следования, т.е. i-я строка матрицы А становится i -тым столбцом транспонированной матрицы. Матрица, транспонированная к матрице А обозначается .

Свойства транспонирования:

Определитель матрицы

Далее будем рассматривать только квадратные матрицы. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие действительное число, называемое определителем матрицы и вычисляемое по определенному правилу.

Определитель матрицы естественно возникает при решении систем линейных уравнений, или в свернутой форме , или в свернутой форме

Предыдущая формула получается разложением определителя по первой строке.

Возьмем теперь квадратную матрицу n -го порядка

Для записи определителя n-го порядка матрицы А будем применять обозначения . При n = 1 матрица A состоит из одного элемента и ее определитель равен этому элементу. При n = 2 получаем определитель

Минором элемента матрицы A называют определитель матрицы (n-1)-го порядка, получаемого из матрицы Л вычеркиванием i-той строки и j-го столбца.

Пример №14

Найти минор матрицы:

По определению, минор элемента есть определитель матрицы, получаемой из матрицы А вычеркиванием первой строки и второго столбца. Следовательно,

Алгебраическим дополнением элемента матрицы А называется минор взятый со знаком Алгебраическое дополнение элемента обозначается следовательно,

Пример №15

Найти алгебраическое дополнение элемента , матрицы А из примера 7.

Определителем квадратной матрицы А n-го порядка называется число:

где аи — элементы первой строки матрицы (9.2), а их алгебраические дополнения .

Запись по формуле (9.3) называется разложением определителя но первой строке.

Рассмотрим свойства определителей.

Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

Это свойство устанавливает равноправность строк и столбцов определителя, поэтому определение определителя можно сформулировать так:

Определителем квадратной матрицы А n-го порядка называется число:

(9.4)

где — элементы первого столбца матрицы (9.2), а их алгебраические дополнения.

Свойство 2. Если поменять местами две строки или два столбца матрицы А, то ее определитель изменит знак на противоположный.

Свойства 1 и 2 позволяют обобщить формулы (9.3) и (9.4) следующим образом:

Определитель квадратной матрицы n-го порядка (будем в дальнейшем говорить определитель n-го порядка) равен сумме попарных произведений любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Свойство 3. Определитель, y которого две строки или два столбца одинаковы, равен нулю.

Действительно, поменяем в определителе две одинаковые сроки местами. Тогда, по свойству 2 получим определитель , но с другой стороны, определитель не изменится, т.е.. Отсюда.

Свойство 4. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя умножить на число , то определитель умножится на .

Умножим элементы i-той строки на . Тогда получим определитель:

Следствие 1. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Следствие 2. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 5. Определитель, у которого две строки (два столбца) пронорциональныу равен нулю.

Пусть i-я строка пропорциональна j-ой строке. Вынося коэффициент пропорциональности за знак определителя, получим определитель с двумя одинаковыми строками, который по свойству 3 равен нулю.

Свойство 6. Если каждый элемент строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: у одного из них i-той строкой (столбцом) служат первые слагаемые, а у другого — вторые.

Разложив определитель по i -той строке получим:

Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Прибавив к элементам i-той строки определителя соответствующие элементы j-ой строки, умноженные на число , получим определитель Определитель равен сумме двух определителей: первый есть, а второй равен нулю, так как у него i-тая и j-тая строки пропорциональны.

Свойство 8. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, т.е.:

Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Рассмотрим вспомогательный определитель , который получается из данного определителя заменой j-той строки i-той строкой. Определитель равен нулю, так как у него две одинаковые строки. Разложив его по j-той строке получим:

Большое значение имеет следующий критерий равенства определителя нулю. Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если одна (один) из них является линейной комбинацией с действительными коэффициентами остальных.

Теорема об определителе произведения двух квадратных матриц. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих квадратных матриц, т.е. .

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы А обозначают rankA или rА.

Если все миноры порядка к данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка данной матрицы также равны нулю. Это следует из определения определителя. Отсюда вытекает алгоритм нахождения ранга матрицы.

Если все миноры первого порядка (элементы матрицы А) равны нулю, то rankA = 0. Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то rankA = 1. Причем, достаточно просмотреть только те миноры второго порядка, которые окаймляют ненулевой минор первого порядка. Если найдется минор второго порядка отличный от нуля, исследуют миноры третьего порядка, окаймляющие ненулевой минор второго порядка. Так продолжают до тех пор, пока не придут к одному из двух случаев: либо все миноры порядка к, окаймляющие ненулевой минор (A-l)-ro порядка равны нулю, либо таких миноров нет. Тогда rankA = к -1.

Пример №16

Вычислить ранг матрицы

Минор первого порядка (элемент ) отличен от нуля. Окаймляющий его минор тоже не равен нулю.

Далее рассмотрим миноры, окаймляющие минор М :

Все эти миноры равны нулю, значит rankA = 2. Приведенный алгоритм нахождения ранга матрицы не всегда удобен, поскольку связан с вычислением большого числа определителей. Наиболее удобно пользоваться при вычислении ранга матрицы элементарными преобразованиями, при помощи которых матрица приводится к столь простому виду, что очевидно, чему равен ее ранг.

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

> умножение какой-нибудь строки (столбца) матрица на число, отличное от нуля;
> прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на произвольное число.

Полужордановым преобразованием строк матрицы:

с разрешающим элементом называется следующая совокупность преобразований со строками матрицы:

> k первой строке прибавить k-ю, умноженную на число и т.д.;

> k последней строке прибавить k — го, умноженную на число После выполнения этих преобразований получается матрица:

Полужордановым преобразованием столбцов матрицы с разрешающим элементом называется следующая совокупность преобразований со столбцами матрицы:

После выполнения этих преобразований получается матрица:

Полужорданово преобразование строк или столбцов квадратной матрицы не изменяет ее определителя. Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. Покажем на пример, как вычислить ранг матрицы, пользуясь элементарными преобразованиями.

Пример №17

Вычислить ранг матрицы

Применим к матрице А элементарные преобразования: первую строку матрицы, умноженную на (-3) прибавим ко второй и третьей и ее же вычтем из последней.

Вычитая далее вторую строку из третьей и последней, имеем:

Последняя матрица содержит отличный от нуля минор третьего порядка, определитель же самой матрицы А равен нулю. Следовательно,

Отметим два важных свойства ранга матрицы:

Ранг матрицы не меняется при ее транспонировании;
Если ранг матрицы равен г, то любые ее г + 1 строк (столбцов) линейно зависимы.

Обратная матрица

Пусть А — квадратная матрица порядка n. Матрица В называется обратной матрицей к матрице А, если выполняются равенства А-В = В■ А = Е, где Е — единичная матрица порядка n.

Теорема 1. Если для данной матрицы существует обратная матрица, то она единственная.

Пусть — матрицы, обратные к матрице А. Тогда с другой стороны,

Откуда . Обратную матрицу к матрице А обозначают .

Теорема 2. Матрица А имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда .

Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда и, применяя теорему об умножении определителей, получаем или

Следовательно, .

Пусть . Укажем явное выражение матрицы через элементы матрицы А, а именно: если , то:

здесь — алгебраическое дополнение к элементу . Матрица (9.5) получается из матрицы А следующим образом. Сначала вместо каждого элемента пишется его алгебраическое дополнение, затем полученная матрица транспонируется и получается т.н. присоединенная матрица. Для получения обратной матрицы присоединенная матрица умножается на величину, обратную

Непосредственное умножение А на матрицу (9.5) слева и справа дает единичную матрицу, что подтверждает, что (9.5) — матрица, обратная к А.

Пример №18

Найти обратную матрицу к матрице

Так как , то существует. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Матрицу находим в два приема, согласно формуле (9.5). Сначала запишем матрицу В, состоящую из алгебраических дополнений элементов Затем матрица В транспонируется и умножается на число обратное , в данном случае — на (-1). Окончательно получаем:

Матрица называется неособенной или невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Отметим свойства обратных матриц. Если А и В — невырожденные матрицы одинакового порядка, то:

Матрицы и определители

Определение и типы матриц

Определение 3.1.1. Прямоугольная таблица (3.1.1) состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размером .

Числа называются элементами матрицы. Каждый элемент матрицы имеет два индекса, первый индекс i обозначает номер строки, второй индекс j — номер столбца.

Матрицы удобно обозначать в виде , при . Фигурные (круглые) скобки, двойные прямые вертикальные линии показывают, что — типовой элемент матрицы А, в котором индексы i и j последовательно принимают все значения от 1 до указанных конечных величин.

Превратим в матрице (3.1.1) строки в столбцы, а столбцы в строки, получим матрицу которая называется транспонированной по отношению к А. Если размер А , то размерности . Повторное транспонирование приводит к исходной матрице: .

Пример №19

Рассмотрим матрицу

элементы которой характеризуют зависимость средних розничных цен на автомобили от срока их службы в 1998, 1999 и 2000 гг. Строки матрицы соответствуют продолжительности эксплуатации автомобиля, а столбцы — годам. Содержательное значение каждого элемента матрицы определяется его местом в данном массиве чисел. Например, число 3100 во второй строке и втором столбце, элемент с/22> представляет среднюю розничную цену автомобиля прослужившего два года в 1999 г. Следовательно, числа, записанные в строку, характеризуют цены автомобилей, прослуживших один и гот же срок службы в разные годы 1998-2000 гг., а числа в столбце — цены автомобилей различного срока службы в данном году.

В той мере, в какой это связано с характеристикой цен па автомобили, такой выбор строк матрицы полностью произволен, и мы могли бы сразу же поменять местами строки и столбцы без какой-либо потери информации, получив строки для отдельных лет и столбцы для сроков службы, т.е. получили бы транспонированную матрицу по отношению к матрице Р:

Хотя элементы матрицы те же, что и матрицы Р, обе матрицы не одинаковые. Взаимосвязь этих матриц проявляется в том, что строки матрицы Р являются столбцами матрицы .

Если, элементы матрицы А неотрицательные (положительные) действительные числа , то матрица А называется неотрицательной (положительной) и записывается .

Матрица Р в примере 3.1.1 является положительной матрицей, так как её элементы положительные действительные числа.

Матрица, состоящая из одной строки , называется матрицей-строкой. Матрица, состоящая из одного столбца

называется матрицей-столбцом. Транспонированием переводят матрицу-строку в матрицу-столбец, и наоборот.

Если m=n, то матрица называется квадратной, при этом число строк (столбцов) называется порядком квадратной матрицы.

Рассмотрим некоторые виды квадратных матриц.

Квадратная матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Она обозначается символом:

Если в диагональной матрице то она называется скалярной. Скалярная матрица, у которой диагональные элементы равны 1, называется единичной:

Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю, называется верхнетреугольной («матрица А). Аналогично, если в квадратной матрице нулю равны все элементы, стоящие выше главной диагонали, то она называется нижнетреугольной (матрица В).

Например,

Матрица A — верхнеугольная, а В — нижнетреугольная. Квадратная матрица называется ленточной, если все её элементы, не стоящие на главной диагонали и в соседних с ней косых строках, равны нулю. Например,

В ленточной матрице не равные нулю элементы заполняют «ленту», осью которой служит главная диагональ. Ленточная матрица называется модулированной, если в каждой косой строке стоят одинаковые элементы:

Квадратная матрица называется симметрической, если её элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, одинаковы: ; если же, то матрица А называется кососимметрической. Симметрическая матрица совпадает с транспонированной матрицей, т.е. .

Например, матрица, характеризующая влияние факторов на инвестиции и запасы, является симметрической матрицей вида:

Элемент =0,29, характеризующий зависимость использования мощностей и изменения объёмов запасов, совпадает с элементом =0,29, характеризующим зависимость между изменением объёмов запасов и использованием мощностей; элемент =0,15, характеризующий зависимость между изменением общей величины хозяйственных запасов и суммой совокупного оборота с поправкой на сезонность, совпадает с элементом =0,15, характеризующим зависимость между суммой совокупного оборота с поправкой на сезонность и изменением общей величины хозяйственных запасов; элемент =0,71, характеризующий зависимость между степенью использования производственных мощностей и суммой совокупного оборота с поправкой на сезонность, совпадает с элементом =0,71, характеризующим зависимость между суммой совокупного оборота с поправкой на сезонность и степенью использования производственных мощностей.

Очевидно, что транспонированная симметричная матрица равна самой матрице.

Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоит одно и го же число и все элементы одного ряда выше диагонали равны единице, а все другие элементы равны нулю, называется клеткой Жордана:

Матрица, у которой на главной диагонали стоят любые клетки Жордана, а все элементы вне этих клеток равны нулю, называется Жордаповой матрицей. Например, матрица является Жордановой.

Она содержит четыре клетки Жордана: две клетки второго порядка с числом 3 на диагонали, одну клетку третьего порядка с числом нуль на диагонали и одну клетку первого порядка с числом нуль на диагонали.

Из приведенных примеров следует, что понятие матрицы широко используется в экономике. Кроме того, можно подчеркнуть, что планирование производства должно основываться на надлежащим образом упорядоченной системе информации, записанной в виде матрицы, с помощью которой просто и сжато описываются зависимости, имеющие место в материальном производстве. Так, например, планирование на предприятии основывают, пользуясь нормами как системой информации. Если на предприятии производится четыре продукта и для их производства используются материалы , то система норм материальных затрат, которая представляет собой основу плана снабжения, может быть представлена в виде таблицы (матрицы):

где есть норма расхода i-го материала на производство единицы j-го продукта. Так норма расхода материала на производство единицы продукта соответственно равна и т.д.

Можно привести следующий пример использования матриц: два предприятия передают свою продукцию на три оптовых склада, причём расходы на перевозку единицы продукции с предприятия 1 на отдельные склады соответственно равняются 2,3,4; а с предприятия 2 они составляют 1,5,2. Тогда матрица

есть матрица удельных транспортных расходов.

Следует отметить использование матриц в межотраслевом балансе производства (матрица технологических коэффициентов производства), в определении совокупных затрат труда (матрица коэффициентов материальных затрат) и т.д.

Пример №20

Продавец мороженого решает вопрос о том, сколько пакетов мороженого ему следует закупить. К покупке пакетов мороженого он может прибегнуть один раз. Каждый пакет стоит 10 ден.ед. и может быть продан за 12 ден.ед. Пакеты мороженого, оставшиеся не распроданными, никакой стоимости не представляют. Известно, что количество пакетов мороженого, которое он сможет продать, колеблется от 1 до 5. Составим матрицу денежных сумм, выручаемых в зависимости от его решения и от результатов продажи. По строкам расположим результаты того или иного решения продавца мороженого, а по столбцам — возможный исход продаж.

Решение:

Предположим, что продавец мороженого закупает один пакет. Тогда он его продаст и получает прибыль в 2 ден.ед.

Следовательно, первая строка матрицы будет иметь вид: 2 2 2 2 2. Сели он закупит 2 пакета, то продав один, он потеряет 8 ден.ед.; продав 2 пакета, он получит прибыль 4 ден.ед. Следовательно, вторая строка примет вид: -8 4 4 4 4. Рассуждая аналогичным образом, получаем матрицу:

Арифметические операции над матрицами

Матрицы А и В считаются равными, если они одинаковой размерности и всс элементы матрицы А совпадают с соответствующими элементами матрицы В, т.е. выполняются скалярные равенства , которые равносильны равенству А=В.

Определение 3.2.1. Суммой матриц А а В размерности называется матрица S=A+B той же размерности, элементы которой Sik равны суммам соответствующих элементов матриц А и В:

Из определения следует, что складывают матрицы с одинаковыми размерами, при этом сумма будет матрицей с теми же размерами.

Например,

Определение 3.2.2. Произведением матрицы А на скаляр называется матрица той же размерности, что и А, элементы которой получены из элементов матрицы А умножением на . Например,

Матрица (-1)A записывается -А и называется матрицей, противоположной матрице А. Если все элементы матрицы равны нулю, го она называется нуль-матрицей и обозначается 0.

Введенные операции сложения матриц и умножения матрицы на скаляр обладают свойствами:

А + В = В + А — (перемсстительный) коммутативный закон.
(А + В) + С = А + (B + C);
.
.
.
.

Определение 3.2.3. Разностью матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности: , её элементы равны разностям соответствующих элементов матриц А и В: .

Например,

Как и при операции сложения, можно вычитать друг из друга только те матрицы, которые имеют одинаковую размерность.

Прежде чем вводить произведение матриц, рассмотрим произведение векторов. И для пояснения общего метода воспользуемся числовыми примерами.

Предположим, что объем различных продаж за месяц некоторого товара некоторой компании «а» составил 58, 26, 12, 25 единиц за первую, вторую, третью и четвертую недели соответственно, и что цена этого товара по неделям соответственно равна 3, 5, 10, 4 ден.ед. Следовательно, общий доход за месяц от продажи товара равен 58-3 + 26-5+ 12-10 + 25-4 = 524ден.ед. Представим данные

о продажах при помощи матрицы-строки:

а соответствующие цены с помощью матрицы-столбца:

Тогда общий доход от продажи товара, равный 524 ден.ед., представляет собой сумму произведений элементов матрицы-строки A (количество проданного товара по неделям) на соответствующие элементы матрицы-столбца В (цены по неделям на товар):

Приведенный пример помогает уяснить общую методику вычисления произведения матрицы-строки на матрицу-столбец: для этого каждый элемент матрицы-строки А нужно умножить на соответствующий элемент матрицы-столбца В и сложить полученные произведения.

Предположим теперь, что компания «а» имеет отделения в трёх различных регионах. Данные о количестве проданного товара по регионам запишем в виде матрицы С:

Цена по неделям за месяц была такой же. Доход от розничной продажи в первом регионе был вычислен; аналогичные расчёты могут быть произведены и по двум другим регионам:

Представим итоговые данные по выручке в виде матрицы-столбца:

Взглянув на вычисления, можно убедиться в том, что элементы этой матрицы-столбца получаются так же, как и описанное ранее произведение матрицы-строки А на матрицу-столбец В, причем в качестве матрицы-строки А в каждом случае взята последующая строка матрицы С. Полученный результат представляет произведение СВ:

В общем случае произведение матрицы С на матрицу-столбец В, это вектор-столбец,i-Й элемент которого представляет сумму произведений каждого из элементов i-й строки матрицы С на соответствующие элементы вектора-столбца В.

Из этого примера следует, что произведение существует только в том случае, когда число элементов в строках матрицы С (т.е. число столбцов) равно числу элементов, составляющих вектор-столбец В (т.е. числу строк). При соблюдении этого равенства, произведение образует вектор-столбец, содержащий столько элементов, сколько строк насчитывается в матрице С. Следовательно, если в матрице С содержится т строк и q столбцов и порядок матрицы-столбца В равен q, тогда произведение представляет собой матрицу-столбец порядка т, причем i-й элемент этого вектора равен

Аналогичным образом определяется произведение матрицы-строки на матрицу Р. Оно существует в том случае,

если число элементов матрицы-строки D равно числу элементов в столбцах матрицы Р (т.е. равно числу строк этой матрицы). В этом случае произведении образует матрицу-строку, содержащую столько же элементов, сколько столбцов насчитывается в матрице Р. При этом произведение равно , произведение может к не существовать, несмотря на то что, существует произведение , и наоборот.

Пример №21

Пусть матрица

характеризует переход подписчика от одной газеты к другой в зависимости от продолжительности подписки. В этой матрице перехода данные сгруппированы по строкам и столбцам в соответствии с продолжительностью подписки: до одного года, от одного года до двух лет, более двух лет и, наконец, аннулирование подписки. Элементы первой строки характеризуют состояние подписчиков газет с продолжительностью подписки до одного года; второй строки — с продолжительностью подписки от одного года до двух лет; третья строка — с продолжительностью подписки более двух лет; элементы четвертой строки характеризуют аннулирование подписки. Элементы первого столбца характеризуют возможность остаться в категории подписчиков до одного года; элементы второго столбца — возможность продолжить подписку от одного до двух лет, если подписчик имеет продолжительность подписки до одного года; элементы третьего столбца- возможность продолжить подписку более двух лет: элементы четвертого столбца — возможность аннулировать подписку.

Предположим, что известно распределение 5000 подписчиков по продолжительности подписки на газеты: 3000 имеют продолжительность подписки до одного года (категория 1), 800 — имеют продолжительность подписки от одного до двух лет (категория 2), 1200 подписчиков имеют, продолжительность подписки более двух лет (категория 3). Представим эти данные в виде матрицы-строки Q =.

Для того чтобы определить возможное количество подписчиков в каждой из этих категорий через год, умножим матрицу-строку Q на матрицу Р:

Матрица-строка, полученная в результате умножения, показывает, что из I категории через год возможно 2100 подписчиков будут принадлежать к категории II, 1720- к категории III, и 1180 возможно аннулируют подписку.

Учитывая введенные операции, умножение двух матриц А и В можно представить как многократное умножение матрицы А на матрицы-столбцы, рассматривая вторую матрицу В как набор мат-риц-столбцов. При этом произведение матриц А и В может иметь смысл только в том случае, когда j-й столбец матрицы В (а, следовательно, и все ее столбцы) насчитывают тоже число элементов, что и i-я строка матрицы А (а, следовательно, и все ее строки). Поскольку количество элементов в столбце матрицы равно числу строк в ней (а количество элементов в строке равно количеству столбцов) это означает, что в матрице В должно быть столько же строк, сколько столбцов содержит матрица А.

Таким образом, произведение матрицы определено, когда число столбцов в А равно числу строк в В. Тогда произведение содержит то же количество строк, что и матрица А, и то же количество столбцов, что и матрица В.

Если число столбцов в А равно числу строк в В, то матрицы называются согласованными для умножения А на В. При этом если А размерности т * п, а В размерность , то произведение является матрицей размерности , т. е.:

Определение 3.2.4. Произведением матрицы А размерности на матрицу В размерности называется матрица Р размерности , элементы которой определяется формулами:

, при , т.е. элемент равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В.

Заказать решение задач по высшей математике

Пример №22

Пусть Матрица А содержит три столбца, а В содержит три строки. Следовательно, матрицы А и В согласованные для умножения. Тогда

Произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно, т.е. А В не всегда равно . Например,

Из приведенного примера следует, что, перемножая матрицы А и В, можно получить два произведения к . Если размеры матрицы A равны , то оба произведения существуют только в том случае, когда размеры матрицы В равны . Тогда произведение образует квадратную матрицу порядка m, а произведение — квадратную матрицу n. Поэтому размеры АВ могут быть равны ВА в том случае, когда m = n, т.е. когда обе матрицы квадратные и имеют один и тот же порядок равный m. При этом указанные произведения матриц могут не иметь ни одного одинакового элемента, полученного в результате суммирования произведений соотвстствующих элементов исходных матриц. Поэтому, если даже существуют оба произведения АВ и ВА и оба они имеют одинаковый порядок, вообще говоря, они не обязательно должны быть равны между собой, что и показывает приведенный выше пример.

Из сказанного не следует, что АВ и ВА всегда должны различаться между собой, в отдельных случаях они могут быть равны. Например,

В двух случаях, имеющих особо важное значение, произведение матриц обладает свойством коммутативности:

1) в случае умножения на нулевую матрицу: если представляет собой квадратную матрицу п-ого порядка, а — аналогичную матрицу, все элементы которой составляют нули, тогда

Нулевая матрица выполняет роль нуля в матричной алгебре;

2) в случае умножения на единичную матрицу: если представляет собой квадратную матрицу n-ого порядка, а — аналогичную единичную матрицу, то

Единичная матрица того же порядка служит единицей в матричной алгебре. Например,

Отметим, что произведение матрицы на скалярную величину так же коммутативно:

Матрицу А можно умножить саму на себя тогда и только тогда, когда она квадратная. Если n — натуральное число, больше единицы, то есть произведение n матриц равных А. Для действий со степенями матриц справедливы следующие правила: ,если АВ = ВА.

Значением многочлена

с числовыми коэффициентами от матрицы А или значением многочлена при х = А называется матрица

где Е- единичная матрица.

Многочленной матрицей называется прямоугольная (в частности квадратная) матрица А, элементы которой являются многочленами от одной переменной х с числовыми коэффициентами. Матричным многочленом называется выражение вида

где х- переменное и — квадратные матрицы с числовыми элементами одного и того же порядка n. Число n называется порядком многочлена F(x). Если , то число m называется степенью матричного многочлена F{x). Если матрица не вырождена, т.е. , то матричный многочлен F(x) называется регулярным.

Два матричных многочлена одинакового порядка можно складывать, вычитать и умножать аналогично обычным многочленам с числовыми коэффициентами, с той разницей, что умножение числовых матриц, а потому и матричных многочленов не обязательно коммутативно.

Операцию умножения для матриц можно ввести иначе. Пусть задана матрица размерности :

Обозначим столбцы матрицы А следующим образом:

их называют векторами-столбцами; а строки:

которые называют векторами-строками.

Пример №23

Пусть число трёх типов игрушек, которые нужно изготовить, равно соответственно 20, 30, 40. Определим число деталей каждого вида, необходимых для сборки игрушек при полном удовлетворении заказа на них.

Решение:

Составим матрицу А, в которой по строкам укажем число деталей одного вида, необходимых для производства трёх типов игрушек, а по столбцам — число деталей трех видов, необходимых для производства одной игрушки трёх типов:

Число деталей каждого вида, необходимых для сборки игрушек при полном удовлетворении заказа определим умножением матрицы А на матрицу-столбец, характеризующую число игрушек:

Зная количество деталей, необходимых для производства одной игрушки, можно определить потребность в сырье для производства одной игрушки, если известны нормы расхода сырья для производства одной детали, которые приведены в таблице 3.2.2.

Эти потребности в сырье определяются умножением матриц

Умножив результат произведения матриц на количество игрушек, определим потребности в сырье для выполнения заказа

Приведенный пример иллюстрирует простоту решения задачи при помощи умножения матриц.

Пример №24

Предположим, что затраты рабочего времени в часах на каждом рабочем месте и на каждое изделие заданы в таблице 3.2.3. Количество изделий (в штуках) в каждом заказе задано в таблице 3.2.4. Часовая заработная плата (в рублях) на каждом рабочем месте задана в таблице 3.2.5

Решение:

Рассчитаем заработную плату, приходящуюся при производстве различных изделий на каждый заказ.

Решение. Введем в рассмотрение следующие матрицы:

где А — матрица затрат, В — матрица спроса, С — матрица почасовой зарплаты.

Так как матрица С задает зависимость между величиной заработной платы и затратами рабочего времени на каждом рабочем месте, а матрица А — между затратами времени на каждом рабочем месте и выпуском изделий, то произведение АС задает линейную зависимость между выпуском одного изделия и величиной заработной платы. Поскольку матрица В определяет количество изделий в каждом заказе, то произведение В(АС) определяет выполнение каждого заказа. Поэтому, вычислив произведение В (АС):

находим заработную плату, приходящуюся на заказ равную 23920 руб., на заказ — 23640 руб. и на заказ — 24850 руб.

Блочные матрицы и действия над ними

Для упрощения действий над матрицами больших размеров выполняют переход к матрицам меньших размеров путём разбиения их на клетки горизонтальными и вертикальными прямыми, пересекающими всю матрицу.

Например, проведём в матрице А две горизонтальные и две вертикальные прямые:

Получим 9 клеток, каждая из которых будет некоторой матрицей. Введём для них обозначения:

Тогда матрицу А можно записать в виде:

Полученную матрицу называют блочной, или клеточной. Любую матрицу множеством способов можно представить в блочной форме. Особый интерес представляют блочные матрицы, имеющие квадратные диагональные клетки. Например,

В матрице В клетки — квадратные матрицы третьего, второго и первого порядка соответственно.

Если у блочных матриц число диагональных клеток одинаково, причём соответственные диагональные клетки имеют один и тот же порядок, то такие матрицы называются конформными.

Блочная матрица, у которой все клетки, кроме стоящих на главной диагонали, являются нуль-матрицами, называется квазидиагональной. Примером квазидиагональной матрицы является матрица

вида: Квазидиагональная матрица обозначается , где

— её диагональные квадратные клетки.

Если к квадратной матрице а добавить снизу матрицу-строку, справа — матрицу-столбец и в правом нижнем углу добавить элемент, то полученная блочная матрица называется окаймлённой.

Арифметические операции над блочными матрицами выражаются через операции над клетками матриц. Такое выражение возможно для конформных матриц.

1) Сложение блочных матриц производится аналогично правилу сложения обычных матриц: Подчеркнем, что можно складывать только конформные матрицы. В противном случае равенство не имеет смысла.

2) При умножении блочной матрицы на скаляр все клетки блочной матрицы умножаются на этот скаляр:

3) Произведение конформных блочных матриц формально совпадает с правилом умножения обычных матриц:

При умножении матриц соответственные диагональные клетки умножаемых матриц должны иметь одинаковый порядок. В противном случае блочные матрицы не будут конформными и их умножать нельзя.

Произведением конформных квазидиагональных матриц является квазидиагональная матрица с той же структурой, причём каждая диагональная клетка произведения является произведением соответствующих диагональных клеток сомножителей:

При транспонировании квазидиагональной матрицы получаем квазидиагональную матрицу, диагональные клетки которой являются транспонированными матрицами:

Матрица А, которую одновременной перестановкой строк и столбцов можно привести к блочному виду

где — квадратные блоки, включающие ненулевые элементы; О — блок, состоящий только из нулей; В — блок, элементы которого могут принимать любые значения, называется разложимой матрицей.

Матрица неразложима если для неё не существует таких одновременных перестановок строк и столбцов, которые приводили бы сё к разложимой форме.

Оператор суммирования и его свойства

В экономических исследованиях часто употребляются переменные, определенные на дискретных множествах

или и рассматриваются их суммы. Символом операции

суммирования служит заглавная греческая буква (сигма). Тогда,

например, сумму можно записать в видех . Числа сточщие под знаком и над ним, называются пределами суммирования и указывают наибольшие и наименьшие значения индекса суммирования, между которыми расположены его промежуточные значения.

Для оператора суммирования справедливы следующие тождества:

Существует также способ записи операции умножения с помощью прописной греческой буквы «пи» — П : Так, например, произ-ведение пяти множителей можно сокращенно записать:

Перестановки

Рассмотрим n целых чисел (элементов) . Их можно располагать в различном порядке. Всевозможные расположения этих чисел называются перестановками. Перестановка , в которой числа идут в порядке возрастания, называется натуральной. Например, из трех чисел можно составить 6 перестановок: (123), (132), (213), (231), (312), (321). Справедливо следующее утверждение: «Из n чисел можно составить n! перестановок». Символ n! читается юн факториал» и обозначает произведение последовательных натуральных чисел: 0!=1; 1!=1; ; ; … .

Назовем беспорядком (или инверсией) в перестановке тот факт, что большее число стоит перед меньшим. Если перестановка имеет четное число инверсий, то она называется четной, в противном случае — нечетной. Обмен местами двух элементов в перестановке называется транспозицией. Например:

Транспозиция переводит одну перестановку в другую и меняет четность перестановки.

Определение определителя

Рассмотрим квадратную матрицу размерности п и составим из ее элементов таблицу вида

или более компактно: . Каждый элемент имеет два индекса, первый из которых указывает, какой строке принадлежит элемент, а второй — какому столбцу.

Этой таблице соотнесем число, называемое определителем, вычисляемое по правилу, сформулированному в следующем определении.

Определение 3.6.1. Определителем n-го порядка называется алгебраическая сумма n! членов, каждый из которых представляет собой произведение n элементов , взятых по одному из каждой

строки и каждого столбца; при этом член определителя берется со знаком «+», если вторые индексы его элементов образуют чётную перестановку, и со знаком «—», если эта перестановка нечетная, а первые индексы образуют натуральную перестановку.

Определитель n-то порядка обозначается в виде таблицы (3.6.1), где горизонтали — строки, а вертикали — столбцы.

Введем величину:

Тогда в силу определения 3.6.1 определитель n-то порядка запишется в виде:

Суммирование распространяется на все перестановки из n чисел 1,2,…,n, что условно обозначили символом n!

В частности, определителем второго порядканазывается алгебраическая сумма двух слагаемых , каждое из которых равно произведению двух элементов. Согласно определению 3.6.1, первое слагаемое имеет знак «+», а второе — знак «-». Следовательно, для нахождения определителя второго порядка, нужно из произведения элементов, стоящих на главной диагонали вычесть произведение элементов стоящих на побочной диагонали:

Таким образом, каждой квадратной матрице А можно поставить в соответствие некоторое число, называемое определителем матрицы и обозначаемое .

Свойства определителя n-го порядка

Свойствами, сформулированными ниже, обладают определители любого порядка, в частности второго и третьего порядков.

. Величина определителя при его транспонировании (т. е. при замене его строк соответствующими столбцами) не меняется.

Доказательство. Рассмотрим определитель . Протранспонируем его; получим определитель , т. е. элементы строки и i-го столбца определителя совпадают с элементами из i-й строки и k-го столбца определителя D. Тогда по определению

В каждом слагаемом формулы (4.1) переставим сомножители таким образом, чтобы их первые индексы составили натуральную перестановку; вторые индексы образуют произвольную перестановку:

Перестановки и разные, но обладают одинаковой четностью, так как одним и тем же числом транспозиций перестановка переводится в натуральную, а перестановку получаем из натуральной. Поэтому , и равенство (3.7.1) принимает вид:

Так как то чтo и требовалось доказать.

Из свойства вытекает, что строки и столбцы определителя равноправны. Поэтому любое свойство доказанное для строк, справедливо и для столбцов.

. Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то у него изменится только знак, а абсолютная величина останется прежней.

Доказательство. Рассмотрим определитель , в котором переставим l-ую и m-ую строки. При этом считаем, что . Получим определитель , элементы которого связаны с элементами определителя соотношениями

В силу равенств (3.7.2) преобразуем определитель

к виду

Выполним в перестановке одну транспозицию , в результате четность перестановки изменится на противоположную:

Затем поменяем местами сомножители и в произведении . Произведение при этом не изменится, а равенство (3.7.3) примет вид

В равенстве (3.7.4) первые индексы элементов образуют натуральную перестановку , т. к. , а перестановка из

вторых индексов такая же, как и в выражении . Поэтому сумма правой части формулы (3.7.4) равна определителю , т. е. . что и требовалось доказать.

. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Так как по условию две строки одинаковы, то их перестановка не меняет величины определителя. С другой стороны, по свойству в результате перестановки знак определителя изменится, т. с. . Следовательно, .

. Если все элементы строки (столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Доказательство. Пусть в определителе l-тая строка содержит общий множитель, тогда по определению его можно записать в виде:

Из (3.7.5) следует, что каждое слагаемое содержит множителем число , его можно вынести за знак суммы, т. с. преобразовать

Из свойства вытекает:

Следствие 3.7.1. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

Действительно, по свойству общий множитель у одной из строк, пропорциональной другой, можно вынести за знак определителя. Получим определитель с двумя одинаковыми строками, а в силу свойства он равен нулю.

. Если все элементы строки (столбца) являются суммами из одинакового числа слагаемых, то определитель равен сумме определителей, у которых элементами этой строки (столбца) служат отдельные слагаемые.

Доказательство. Пусть все элементы i-той строки определителя являются суммами из одинакового числа слагаемых: . Тогда определитель имеет вид:

В силу определения его можно записать:

но так как

то

что и требовалось доказать.

Следствие 3.7.2. Величина определителя не изменится, если /с элементам любой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умножив их предварительно на один и тот же множитель.

Действительно, если мы рассмотрим определитель

полученный из прибавляем к элементам l строки соответствующие элементы m строки, то в силу свойства его можно представить в виде суммы двух определителей, т. е.

так как второе слагаемое равно 0 как определитель с двумя пропорциональными строками.

Миноры и алгебраические дополнения

Определение 3.8.1. Если в определителе n-го порядка вычеркнем i-ую строку и k-ый столбец, на пересечении которых находится элемент , то полученный определитель (n-1)-го порядка называется минором исходного определителя , соответствующего элементу , и обозначается . Например, если

Определение 3.8.1. Минор с определенным знаком, зависящим от четности суммы i+k номеров строки и столбца, на пересечении которых находится элемент называется алгебраическим дополнением элемента в определителе и обозначается

С помощью алгебраических дополнений определитель порядка п может быть выражен через определители порядка n-1. Этот факт справедлив для определителей имеющих специальную структуру, т. е. имеют место

Лемма 3.8.1. Если в определителе порядка n все элементы последней строки (столбца), кроме элемента, стоящего в правом нижнем углу, равны нулю, то определитель равен произведению этого элемента на соответствующий ему минор.

Лемма 3.8.2. Если в определителе порядка n все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение.

Из сформулированных лемм вытекают следующие теоремы:

Теорема 3.8.1. (теорема разложения). Определитель порядка п равен сумме парных произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: .

Доказательство. Так как строки и столбцы равносильны, то достаточно проверить справедливость равенства:

Представим каждый элемент i-й строки определителя в виде суммы n слагаемых, из которых n-1 слагаемое равно нулю

тогда его можно представить в виде суммы определителей (по свойству ):

Определитель по лемме 2 равен произведению элемента на его алгебраическое дополнение в этом определителе. Но так как определитель отличается от лишь элементами i-й строки, го это алгебраическое дополнение совпадает с алгебраическим дополнением элемента , определителя , так как эта строка и столбец будут вычеркнуты, а все остальные элементы определителя , и совпадают.

Следовательно,.

Аналогично и поэтому (т. к.

Теорема 3.8.2. (теорема аннулирования). Сумма парных произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения параллельной строки (столбца) равна нулю:

, где i, j — строки определителя .

Вычисление определителей

Укажем некоторые способы вычисления определителей.

1) По теореме 3.8.1 определитель любого порядка п выражается через n определителей (n-1)-го порядка. Применяя эту теорему несколько раз, можно преобразовать исходный определитель к некоторому числу определителей третьего порядка, вычисление которых не представляет труда. Однако для упрощения вычислений целесообразно предварительно преобразовать определитель так, чтобы в одном из его рядов все элементы, кроме одного, обратились в нуль. Тогда данный определитель сведется к определителю более низкого порядка, и т. д.

2) Пользуясь свойствами определителя, приводят его к треугольному виду, когда все элементы, стоящие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Полученный определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали, т. е.

Если удобнее получить нули по одну сторону от побочной диагонали, то где приведен уже к треугольному виду.

3) Если определитель порядка n после разложения по строке или столбцу и после преобразования, выражается через определители того же вида, но более низких порядков, то полученное равенство называется рекуррентным. Вычисляют столько определителей данного вида начальных порядков, сколько их входит в правую часть рекуррентного соотношения. Далее вычисляют определители высших порядков, используя рекуррентные соотношения, до тех пор, пока не удастся заметить общую закономерность для получаемых выражений. Для общего случая доказывают индукцией по п эту закономерность.

Определитель квазидиагональной матрицы равен произведению определителей её диагональных клеток:

Определитель второго порядка, согласно определению 3.6.1 равен произведению диагональных элементов минус произведение элементов побочной диагонали. Например,

Определитель третьего порядка по определению 3.6.1. равен алгебраической сумме шести слагаемых. Построение этой суммы можно выполнить по правилу Саррюса. Со знаком «+» и рассматривая произведение элементов определителя, обозначенных на схеме точками

Hстример,

Определители выше третьего порядков вычисляются либо сведением к треугольному виду, либо используя теорему разложения или используя рекуррентную формулу. Например,

(последовательно умножим первую строку на 2; 4; 3 и вычтем получающиеся при этом строки из второй, третьей и четвертой строк)

(умножим третью строку на 20/34 и вычтем из четвертой строки; сомножитель четвертой строки 1/34 вынесем за знак определителя; в результате получим определитель верхнетреуголыюго вида, который равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали) .

Матрицы и операции над матрицами

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел вида состоящая из m строк и n столбцов. Числа называются элементами матрицы, где i — индекс строки, j — индекс столбца. Обозначение:

Например, элемент (читается «а три пять») в таблице будет расположен в третьей строке и пятом столбце.

Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и

Например,

Произведением матрицы на действительное число . называется такая матрица что

Например,

Если количество столбцов первой матрицы (множимой) равно количеству строк второй матрица (множителя), то матрицы называются согласованными.

Внимание! Умножаются только согласованные матрицы.

Произведением матрицы А размера (n столбцов) на матрицу В размера (n строк) называется матрица С размера каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-ro столбца матрицы В, т.е. («i-ю строку первой матрицы умножаем на j-й столбец второй матрицы»). Число строк матрицы произведения С равно числу строк матрицы А, а число столбцов матрицы С равно числу столбцов матрицы В.

Пример:

Даны матрицы

Найти то из произведений АВ, В А, которое существует.

Решение:

Найдем произведение матриц АВ. Оно существует, т.к. количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В и равно двум.

Например, элемент произведения матриц с индексом 12 равен по определению сумме произведений элементов 1-й строки матрицы А на соответствующие элементы 2-го столбца матрицы В:

Тогда

Рассмотрим произведение матриц ВА. Число столбцов матрицы В (n=3) не совпадает с числом строк матрицы А (m=2). Произведение матриц ВА не существует.

Вывод. В общем случае произведение матриц не коммутативно, т.е. не всегда АВ=ВА.

Если АВ=ВА, то матрицы А и В называются перестановочными.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной. Обозначение: или

Например,

Линейный оператор — свойства и определение
Многочлен — виды, определение с примерами
Квадратичные формы — определение и понятие
Системы линейных уравнений с примерами
Прямая — понятие, виды и её свойства
Плоскость — определение, виды и правила
Кривые второго порядка
Евклидово пространство

Источник

Матрицы
Операции над матрицами
- Сложение матриц
- Умножение матрицы на число
- Линейное пространство строк
Линейная зависимость
- Правило сокращенного суммирования
Умножение матриц
- О порядке суммирования
- Транспонирование матрицы
- Элементарные преобразования матрицы
- Матрицы элементарных преобразований
Определители
Свойства определителя
- Линейность
- Антисимметричность
- Транспонирование определителя
- Определитель произведения квадратных матриц
Вычисление определителя
Обратная матрица
- Метод Жордана
- Способ построения обратной матрицы
Ранг матрицы
Система линейных уравнений
- Эквивалентные линейные системы
- Метод Гаусса
Правило Крамера
- Однородные линейные системы
Матрицы в линейной алгебре
- Действия над матрицами
- Элементарные преобразования матриц
- Произведение матриц
Определители
- Свойства определителей
Невырожденные матрицы
- Обратная матрица
Ранг матрицы
Виды матриц и операции над матрицами
- Действия над матрицами
  - Равенство матриц
  - Сложение матриц
  - Умножение матрицы на число
  - Произведение матриц
  - Транспонирование матриц
- Обратная матрица
  - Критерий существования обратной матрицы
Как найти матрицу — подробная инструкция
- Определитель квадратной матрицы
- Свойства определителей
- Алгебра матриц
- Обратная матрица
- Ранг матрицы

Понятие матрицы имеет большое значение. Объясняется это тем. что многие математические модели процессов и состояний в технике записываются в простой и компактной матричной форме.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, переменных, функций, или других математических объектов. Эти математические объекты (числа, переменные и т.д.) называются элементами матрицы и в общем виде снабжаются двойной индексацией для обозначения места элемента в матрице.

Матрица обозначается круглыми скобками по бокам таблицы. Матрицы также обозначают большими латинскими буквами

Примеры матриц:

Здесь показаны различные типы матриц. Матрица — прямоугольная, размерностью (2×3), первая цифра указывает количество строк, вторая цифра — количество столбцов.

Матрица — квадратная, у неё число строк равно числу столбцов.

Матрица состоит из одного столбца (матрица-столбец), матрица состоит из одной строки (матрица-строка).

Различают также диагональные матрицы — квадратные матрицы, у которых все элементы, кроме элементов, стоящих в главной диагонали, равны нулю.

Единичные матрицы — диагональные матрицы, у которых в главной диагонали стоят единицы. Например,

Здесь — диагональная матрица; — единичные матрицы разной размерности.

Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:

Высшая математика для 1 курса

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Матрицы

Терминология и обозначения:

Матрицей А размера m х n называется набор m • n чисел — элементов матрицы

записанных в виде прямоугольной таблицы (1)

или

Символ a_ij читается так: «альфа-и-жи». Набор

называется i-й строкой матрицы А:

а набор

называется j-м столбцом матрицы А:

Таким образом, данная матрица А имеет m строк и n столбцов, а элемент a_ij расположен в i-й строке и в j-м столбце матрицы А — в позиции (i, j) (рис. 1). Числа i и j определяют расположение элемента a_ij в матрице А и являются как бы координатами этого элемента в прямоугольной таблице А.

Если размер матрицы известен, то часто пишут кратко

А = (a_ij)

Матрица размера 1 х n называется просто строкой, а матрица размера m х 1 — столбцом. В случае m = n матрица

называется квадратной матрицей порядка n. В частности, квадратной матрицей первого порядка является одноэлементная матрица А = ( a₁₁ ). Набор элементов

образует главную диагональ матрицы А.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой, а квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, (2)

называется единичной. Подчеркнем, что для каждого размера m х n существует своя нулевая матрица, а для каждого числа n — своя единичная матрица порядка n.

Множество всех матриц размера m х n часто обозначают через R_mxn. Введенное обозначение требует дополнительных пояснений (для определенности мы ограничиваемся здесь рассмотрением только матриц, элементами которых являются вещественные числа). Множество вещественных чисел принято обозначать через R. Отсюда и символ K_mxn (множество матриц размера m х n, элементами которых являются комплексные числа, принято обозначать так: C_mxn см. главу XXV). С учетом этого обозначения матрицу (1) можно записать так

Матрицы А = (a_ij) и В = (β_ij ) называются равными, если они имеют одинаковый размер и их элементы, находящиеся в одинаковых позициях, совпадают, т. е.

Обозначение: А = В.

Операции над матрицами

Сложение матриц

Пусть А и В — матрицы одного размера:

Суммой матриц А и В называется матрица элементы которой вычисляются по формуле (3)

Обозначение: С = A + В.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число λ называется матрица В = ( β_ij) ∈ R_mxn , элементы которой вычисляются по формуле (4)

Обозначение: В = λ А.

Запишем эти операции подробнее:

Линейное пространство строк

Рассмотрим введенные операции сложения и умножения не число на множестве матриц размера 1 х п — п-мерных строках. Пусть

Тогда, согласно формулам (3) и (4), (5)

(6)
Правила (5) и (6) обладают легко проверяемыми свойствам (7)

(здесь λ и μ — произвольные числа; а, b, с и х — n-мерные строки, 0 — нулевая п-мерная строка) и задают на множестве n-строк структуру линейного пространства.

Линейная зависимость

Введем важное понятие линейной зависимости. Пусть а1…, am — n-мерные строки. Строка b, определяемая равенством (8)

называется линейной комбинацией строк al,…, am с коэффициентами λl …, λm. Линейная комбинация (8) называется нетривиальной, если хотя бы одно из чисел λl,…, λm отлично от нуля, и тривиальной, если λm = … = λm = 0 (ясно, что в последнем случае b — нулевая строка). Строки называются линейно зависимыми, если некоторая их нетривиальная линейная комбинация равна нулевой строке 0. Строки называются линейно независимыми, если нулевой строке равна только их тривиальная линейная комбинация.

Покажем, что
если строки линейно зависимы, то одна из них является линейной комбинацией остальных.

Пусть строки al,…, аm линейно зависимы: найдутся числа λl,…, λm, не все равные нулю и такие, что

Пусть, например, λm ≠ 0. Перенесем все слагаемые, кроме последнего, из левой части формулы в правую,

и, поделив обе части полученного равенства на λm ≠ 0, придем к тому, что строка аm является линейной комбинацией остальных строк —

Верно и обратное: если одна из строк является линейной комбинацией остальных, например,

то существует нетривиальная линейная комбинация строк

(коэффициент при аm равен — 1 ≠ 0), равная нулевой строке. Значит, эти строки линейно зависимы.

Аналогичными: свойствами обладает множество R_mxl m-мерных столбцов.
Общее определение линейного пространства будет рассмотрено в главе V.

Правило сокращенного суммирования

Сумму вида

часто удобно записывать так

(знак сокращенного суммирования принято обозначать прописной греческой буквой Σ — «сигма»).

Умножение матриц

Пусть А = (a_ik) и В = (β_kj) — квадратные матрицы порядка n. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица

элементы которой вычисляются по формуле
(9)

Обозначение: С = АВ.

Правило (9) можно проиллюстрировать следующей схемой

С использованием знака сокращенного суммирования формула (9) записывается так:

Порядок матриц-сомножителей существен.

Следующий пример показывает, что, вообще говоря, АВ ≠ ВА. Пример 1. Пусть

Тогда

Аналогичные примеры можно построить для матриц А и В любого порядка.

Пример:

Пусть А — матрица третьего порядка

Покажем, что умножение матрицы А на матрицу

слева меняет местами 2-ю и 3-ю строки. Имеем

Аналогично можно убедиться в том, что умножение матрицы А на матрицу Р₂₃ справа меняет местами 2-й и 3-й столбцы.

Пример:

Для любой матрицы А выполняются равенства (10)

где I — единичная матрица.
Пусть, например,
А — матрица третьего порядка

Тогда

Справедливость равенства
проверяется аналогично.

I • А = А

Доказанные формулы (10) объясняют название матрицы I. Умножение матриц обладает следующими свойствами.

Если А, В, С, D — квадратные матрицы (n-го порядка), то

А. (АВ)С = А(ВС),

Б. А(В+С) = АВ + АС, (В +C)D = BD + CD.

Докажем, например, первую из формул Б.

Нетрудно видеть, что все три матрицы АВ, АС и А(В + С) имеют одинаковый порядок п. Вычисляя их элементы в позиции (i, j), получаем соответственно

Ясно, что

Требуемое равенство доказано.

Похожими рассуждениями доказываются и две другие формулы.

Замечание:

Операцию умножения можно определить и для прямоугольных матриц.
Пусть даны матрицы

Тогда элементы матрицы вычисляются по формуле (11)

Произведение двух прямоугольных матриц существует не всегда: для того чтобы матрицу А можно было умножить на матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов матрицы А совпадало с числом строк матрицы В (см. формулу (11) и рис. 2).

Для прямоугольных матриц справедливы формулы (10), А и Б (при условии, разумеется, что соответствующие произведения имеют смысл).

Пример:

Найти произведение матрицы

на матрицу

Прежде всего, проверяем, что число столбцов матрицы А (два) совпадает с числом строк матрицы В (две). Значит, умножать матрицу А на матрицу В можно. Вычислим это произведение. Имеем

О порядке суммирования

Сумму Н всех элементов прямоугольной матрицы

можно вычислить двумя способами:

1-й способ. Найдем суммы элементов каждого столбца

и сложим полученные числа:

2-й способ. Найдем суммы элементов каждой строки

и сложим полученные числа:

Отсюда вытекает, что

Транспонирование матрицы

Матрица

называется транспонированной по отношению к матрице

Обозначение: А^Т.

Пример:

Транспонировав матрицу

согласно определению, получим

Подчеркнем, что элемент матрицы А^Т, находящийся в позиции (j, i), совпадает с элементом матрицы А, находящимся в позиции (i, j). При транспонировании строки матрицы А переходят в столбцы матрицы А^Т , а столбцы — в строки. Таким образом, если у матрицы А m строк и n столбцов, то у транспонированной матрицы А^Т n строки m столбцов.
Укажем некоторые свойства операции транспонирования:

Элементарные преобразования матрицы

Пусть А и — произвольные матрицы одинакового размера m х n. Обозначим последовательные строки матрицы А через

соответственно.

Будем говорить, что матрица получена из матрицы А

1.перестановкой двух строк, если — последовательные строки матрицы ;

2. умножением строки на не равное нулю число β, еcли — последовательные строки матрицы ;

3. прибавлением к строке матрицы А другой ее строки, умноженной на числом, если — последовательные строки матрицы .

Замечание:

Во всех трех типах преобразований отмеченные многоточием строки не претерпевают никаких изменений.

Преобразования указанных трех типов называются элементарными преобразованиями строк матрицы А. Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матрицы.

Пример:

Матрица

получена из матрицы

перестановкой 2-й и 3-й строк, а матрица

получена из матрицы А перестановкой 1-го и 2-го столбцов.

Если к 1-й строке матрицы А прибавить 3-ю, умноженную на -2, то получим матрицу

Замечание:

Нетрудно увидеть, что если матрица получена из матрицы А элементарным преобразованием строк любого из трех типов, то и матрицу А можно получить из матрицы элементарным преобразованием строк, причем того же типа (либо вновь меняя местами k-ю и l-ю строки, либо умножая k-ю строку на ‘/ β, либо прибавляя к l-Й строке k—ю строку, умноженную на — λ).

Основной процесс:

Опишем метод, который позволяет при помощи элементарных преобразований строк приводить произвольную матрицу к матрице более простого вида.

Пусть — ненулевая матрица.

1-й шаг. То, что матрица А — ненулевая, означает, что в ней есть хотя бы один элемент, не равный нулю. Так как он расположен в какой-то строке, то в матрице А есть ненулевые строки. Выберем ту из них, в которой первый отличный от нуля элемент расположен в столбце с наименьшим номером k1 ≥ 1. Применив к матрице А преобразование 1-го типа, переставим эту строку на место первой строки. В результате этого преобразования матрица А переходит в матрицу

где .

Покажем теперь, как добиться того, чтобы все элементы k1 -го столбца матрицы (12), кроме первого его элемента , оказались равными нулю.

Если к i-й строке матрицы (12) (i = 2,… ,m) прибавить первую строку, умноженную на

(это преобразование 3-го типа), то в результате получим матрицу, у которой элемент в позиции (i, k1) будет равен нулю. Проведя эту операцию с каждой из строк, содержащих ненулевые элементы в k1 -м столбце, приходим к матрице вида
(13)

Конец 1-го шага.

В дальнейших преобразованиях первая строка не участвует.

Возможны два случая:

Все строки матрицы (13), кроме первой, нулевые. В этом случае считаем процесс преобразований завершенным.
У матрицы (13) есть ненулевые строки, кроме первой.

2-й шаг. Выберем ту из них, в которой первый ненулевой элемент располагается в столбце с наименьшим номером, например, k2 (вследствие специального выбора строки на первом шаге и выполненных выше преобразований k1< k2). Применив к матрице (13) преобразование первого типа, переставим эту строку на место второй строки. Имеем (14)

где Прибавляя к i-й строке (i = 3,…, m) матрицы (14) вторую строку, умноженную на

далее действуем по той же схеме, что и при первом шаге. Конец 2-го шага.

В общем случае может возникнуть необходимость 3-го и последующих шагов. Однако суммарное число шагов не превосходит min(m,n). Поэтому обязательно наступит момент, когда процесс преобразований завершится, и мы получим матрицу следующего ступенчатого вида —
(15)

где и

Матрица вида (15) называется ступенчатой. Тем самым, доказано следующее утверждение.

Теорема:

Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице при помощи конечного числа элементарных преобразований строк (1 -го и 3-го типов).

Пример:

Привести матрицу

к матрице ступенчатого вида.

Поменяем местами 1-ю и 4-ю строки матрицы А:

Поменяем местами 3-ю и 4-ю строки матрицы А1.

Матрица А2 — ступенчатая.

Пример:

Привести матрицу

к ступенчатой.

Поменяем местами первую и третью строки

1-й шаг. Вычитаем из второй, третьей и четвертой строк первую строку, умноженную соответственно на числа 5, 3 и 7. Тогда

2-й шаг. Для простоты последующих вычислений воспользуемся элементарным преобразованием строк 2-го типа (хотя они и не использовались в описанном выше процессе, но их применение часто упрощает вычисления): умножим вторую строку на , третью — на , четвертую — на . Тогда

Вычитаем из третьей и четвертой строк вторую строку, умноженную на 1 и 2 соответственно. Тогда

3-й шаг. Замечая, что третья строка нулевая, переставим ее с четвертой. Тогда

Полученная матрица А5 является ступенчатой.
Ступенчатую матрицу при помоши элементарных преобразований ее столбцов можно привести к матрице, имеющей еще более простой вид (16)

(все элементы матрицы, кроме единиц, стоящих в позициях (l, 1), (2,2), (r, r) равны нулю).

Путем перестановки в матрице (15) столбцов с номерами на места первого, второго, …, r-го столбцов соответственно (это преобразования 1-го типа) получаем трапециевидную матрицу

Пример:

Например, переставляя 3-й и 5-й столбцы матрицы А5, получаем, что

Прибавляя к j-му столбцу матрицы (17) первый столбец, умноженный на

(преобразования 3-го типа), получим в результате всех таких преобразований матрицу, первая строка которой содержит только один ненулевой элемент — :

Упрощая аналогично 2-ю, 3-ю, …, r-ю строки, в итоге получим

К виду (16) матрица (18) приводится элементарными преобразованиями 2-го типа.

Пример:

Подвергая матрицу Аб таким преобразованиям, приходим к матрице

и, далее,

Матрицы элементарных преобразований

С элементарными преобразованиями тесно связаны квадратные матрицы — матрицы элементарных преобразований. Так называются матрицы следующих трех типов.

1-й тип. Матрицы, получающиеся из единичной матрицы перестановкой любых двух строк. Например, матрица

получена из единичной матрицы

перестановкой i-й и j-й строк (в матрице все элементы вне главной диагонали кроме тех, которые располагаются в позициях (i, j) и (j, i), равны нулю).

2-й тип. Матрицы, получающиеся из единичной заменой диагонального элемента на произвольное не равное нулю число. Например, матрица

отличается от единичной матрицы лишь элементом β ≠ 0 в позиции (j, j) (в матрице Dj все элементы вне главной диагонали равны нулю).

3-й тип. Матрицы, отличающиеся от единичной матрицы лишь одним внедиаго-нальным элементом. Например, матрица

отличается от единичной лишь элементом γ в позиции (i, j), а матрица

отличается от единичной тоже элементом γ, но в позиции (j, i) (все другие внедиаго-нальные элементы матриц L_ij и R_ij , кроме указанных, равны нулю).

Сформулируем основное свойство матриц элементарных преобразований.
Теорема:

Элементарные преобразования произвольной матрицы равносильны умножению этой матрицы на матрицы элементарных преобразований:

А. Элементарные преобразования строк матрицы А —

Умножение матрицы А на матрицу Р _ij — слева переставляет строки с номерами i и j.
Умножение матрицы А на матрицу D _j — слева равносильно умножению j-й строки матрицы А на число β.
Прибавление к j-й строке матрицы А ее i-й строки, умноженной на число γ, равносильно умножению матрицы А на матрицу L_ij слева.

Б. Элементарные преобразования столбцов матрицы А —

Умножение матрицы А на матрицу Р_ij справа переставляет столбцы с номерами i и j.
Умножение матрицы А на матрицу D_j — справа равносильно умножению j -го столбца матрицы А на число β.
Прибавление к j -му столбцу матрицы А ее i-го столбца, умноженного на число γ, равносильно умножению матрицы А на матрицу R_ij справа.

Для простоты ограничимся случаем m = n = 3. Пусть А — квадратная матрица третьего порядка

В п. 1.4 («Умножение матриц») было показано (см. пример 2), что при умножении матрицы А на матрицу

слева получается матрица

приумножении А на Р₂₃ справа — матрица

Нетрудно заметить, что матрица В отличается от матрицы А порядком строк, а матрица С — порядком столбцов.

Аналогично проверяется справедливость свойства 1 для матриц Р₁₂ и P₁₃ —

2. Умножим матрицу А на

Имеем:

а) приумножении слева

б) при умножении справа

Аналогично проверяется справедливость свойства 2 для матриц D1 и D3. Подобным же образом можно убедиться в справедливости свойства 3.

Определители

Свяжем с каждой квадратной матрицей число — определитель матрицы — по следующему правилу.

Будем считать, что определитель матрицы

первого порядка равен числу .

Определителем матрицы второго порядка

называется число, равное .

Обозначение:
(1)

Определителем матрицы третьего порядка

называется число, равное

С учетом формулы (1) получаем:

Формулу (2) легче запомнить, если воспользоваться двумя правилами для построения слагаемых определителя, символически описанными на рисунке 4. На левом рисунке показано, как выбирать сомножители первых трех слагаемых определителя, а на правом — трех последних.

Предположим теперь, что определители матриц, порядок которых меньше n, уже введены. Определителем матрицы n-го порядка

называется число, равное
(4)

Здесь Mil (i = l,… , n) — определитель матрицы порядка n — 1:

Матрица (5) получена из матрицы А путем вычеркивания первого столбца и i-й строки.
Обозначение:
(6)

Формула (4) называется разложением определителя по первому столбцу. Нетрудно проверить непосредственно, что при n = 2 и n = 3 эта формула дает те же числа, что и формулы (1) и (2) соответственно. Например, при n = 3 имеем

Формула (4) допускает сокращенную запись
(8)

Пример:

Вычислим определитель треугольной матрицы

Имеем

Таким образом,

определитель треугольной матрицы (матрицы треугольного вида) равен произведению ее элементов, стоящих на главной диагонали.

Обратимся к общей ситуации. Пусть теперь i и j — произвольные числа из набора 1,2, … , n — 1, n. Определитель матрицы порядка n — 1, которая получается из матрицы А вычеркиванием элементов i-й строки и j-го столбца, называется дополнительным минором элемента a_ij и обозначается через (рис.5). Таким образом, M_ij — дополнительный минор элемента a_il.

По аналогии с формулой (8) введем числа D_j
(9)

Покажем, что все числа D = D1,D2…., Dn равны между собой.

Для простоты ограничимся рассмотрением случая n = 3. Тогда из формул (9) при j = 2 получаем

Каждый минор М₁₂ (i = 1, 2, 3) является определителем второго порядка —

Вычислим определители (11) в соответствии с правилом (1) и, подставляя результаты

в формулу (10), получим, что

Сравнивая правые части соотношений (7) и (12), убеждаемся в том, что D = D2. Подобным же образом проверяется равенство D = D3.

Замечание:

Равенства D = D1 = …= Dn в общем случае также доказываются путем сведения к вычислению определителей меньшего порядка ((n — 1)-гои (n — 2)-го).
Таким образом, доказана формула
(13)

коротко называемая разложением определителя по j -му столбцу. Придадим полученному результату несколько иной вид. Число
(14)

называется алгебраическим дополнением элемента a_ij в определителе |А|. Заметим, что алгебраическое дополнение А_ij элемента a_ij зависит только от его позиции (t, j) в матрице А. При замене элемента a_ij матрицы на любое другое число алгебраическое дополнение не изменяется. С учетом обозначения (14) формулу (13) можно записать в следующем виде:
(15)

Тем самым, показано, что
определитель квадратной матрицы равен сумме попарных произведений элементов произвольного столбца на их алгебраические дополнения.

По аналогии с формулами (9) вводятся числа (16)

также равные между собой. Чтобы убедиться в этом, достаточно, поменяв ролями строки и столбцы, дословно повторить предыдущие рассуждения. Имеет место следующий замечательный факт.

Теорема:

Для любого i = 1…..n

Иными словами, справедливо разложение определителя по i-й строке.

Достаточно убедиться в том, что (18)

Вновь ограничимся случаем n = 3. Согласно правилу (16), имеем

и далее

Сравнивая полученный результат с формулой (7), убеждаемся в справедливости требуемого равенства (18).

Замечание:

В общем случае равенство также доказывается путем сведения к вычислению определителей меньшего порядка ((n — 1)-го и (n — 2)-то).

С учетом обозначения (14) полученный результат можно записать следующим образом:

— определитель квадратной матрицы равен сумме попарных произведений элементов произвольной строки на их алгебраические дополнения.

Пример:

Вычислим определители матриц элементарных преобразований.

Раскладывая определитель матрицы Р_ij.

по 1-й строке и затем повторяя эту операцию достаточное число раз (n — 2), придем в результате к следующей формуле

Так как матрица Dj элементарных преобразований 2-го типа имеет диагональный вид, то

Для матрицы L_ij третьего Типа получаем

Свойства определителя

Линейность

Пусть в определителе D i-я строка является линейной комбинацией двух n-строк:

Тогда

где определители

отличаются от определителя D только i -ми строками.

Чтобы убедиться в справедливости этого свойства, достаточно разложить определители D, D’ и D» по i-й строке. Так как алгебраические дополнения А_ij элементов i-й строки у всех трех определителей одинаковы, то согласно формуле (19) имеем

Отсюда следует, что

Антисимметричность

Если определитель получен из определителя D перестановкой двух строк,

= -D.

Предположим, что определитель получен из определителя D перестановкой первых двух строк:

Разложим определитель D по второй строке, а определитель — по первой строке. Согласно формуле (17) получим соответственно

Нетрудно видеть, что = — D.

При перестановке любых двух строк определителя D доказательство проводится аналогично.

Транспонирование определителя

При транспонировании матрицы определитель не изменяется

|А^T| = |А|.

Это свойство непосредственно вытекает из доказанной выше теоремы: разложение определителя |А| по первой строке совпадает с разложением определителя | А^T | по первому столбцу.

Заметим, чтосвойства 1 и 2 справедливы и для столбцов (это следует из свойства 3).

Определитель произведения квадратных матриц

Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т. е. если А и В — квадратные матрицы одного порядка, то

|АВ| = |А| • |В|.

Сформулируем свойства определителя, удобные при практических вычислениях.

1. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю.

В самом деле, при перестановке двух любых строк, согласно свойству 2, определитель должен изменить знак на противоположный; с другой стороны, при перестановке двух одинаковых строк определитель не меняется. Значит, D = -D, откуда вытекает, что D = 0.

2. Умножение строки определителя на число равносильно умножению самого определителя на это число.

Это вытекает из свойства 1 при μ = 0.

3. Определитель с нулевой строкой равен нулю.

Достаточно разложить определитель по нулевой строке.

4. Определитель, одна и з строк которого равна произведению другой его строки на число, равен нулю.

В силу свойства 2 множитель можно вынести за знак определителя, после чего остается определитель с двумя равными строками.

5. Если к строке определителя прибавить другую его строку, умноженную на любое число, то полученный определитель будет равен исходному.

Полученный определитель согласно свойству 1 равен сумме двух определителей — исходного и определителя, одна из строк которого равна произведению другой его строки на число.
Итог: определитель не изменится, если к любой его cmроке прибавить линейную комбинацию других строк определителя.

То же самое справедливо и для столбцов определителя.

Задача:

Доказать, что сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки определителя равна нулю.

Заменим в определителе

элементы k-й строки соответствующими элементами i-й строки. Получим определитель

с двумя одинаковыми строками — i -й и k-й. Согласно свойству 1, 5 = 0.

Раскладывая определитель D по k-й строке, получим требуемое равенство

(напомним, что изменение элементов строки определителя не изменяет алгебраических дополнений этих элементов).

Вычисление определителя

Прежде чем обратиться к описанию вычисления определителя при помощи элементарных преобразований, отметим, что при преобразованиях первого типа определитель изменяет знак (свойство I), при преобразованиях второго типа определитель умножается на то же число (свойство 2), а при преобразованиях третьего типа определитель не изменяется.

Пример:

Вычислить определитель матрицы

Элемент а₁₁ ≠ 0. Не все элементы первого столбца делятся на а₁₁ нацело. Чтобы избежать деления элементов матрицы, умножим 2-ю строку на -2, 3-ю на -1 и четвертую на 2. Получим

1-й шаг. Прибавляем ко второй, третьей и четвертой строкам первую строку, умноженную соответственно на 3, 2 и 3. Тогда

2-й шаг. Чтобы избежать деления, умножим последнюю строку на -7. Тогда

Прибавляя к четвертой строке вторую строку, умноженную на 11, получим

3-й шаг. Переставляем третью и четвертую строки:

Вычисляя определитель полученной треугольной матрицы, имеем

Отсюда окончательно получаем, что

|А| = 54.

Обратная матрица

Квадратная матрица называется невырожденной, если определитель этой матрицы не равен нулю.

Пусть А = (a_ij) — невырожденная матрица порядка n. Построим новую квадратную матрицу В порядка п по следующему правилу: в i -ю строку и j -й столбец матрицы В — в позицию (i, j) — помещается число, равное алгебраическому дополнению A_ij элемента a_ij матрицы А:

Матрица В обладает следующим важным свойством:
(1)

Докажем, например, равенство

АВ = |А| • I.

Элемент произведения АВ, находящийся в позиции (i, j) вычисляется по формуле

При i = j получаем разложение определителя матрицы А по i-й строке:

При i ≠ j согласно разобранной выше задаче

Равенство

ВА = |А| • I

обосновывается аналогично. Матрица

называется обратной к матрице А.

Из формулы (1) вытекают равенства
(3)

Это означает, что матрицу А 1 можно рассматривать как решение сразу двух матричных уравнений

АХ = I и ХА = I,

где

— неизвестная матрица.

Покажем, что других общих решений у этих матричных уравнений нет. < Предположим, что для некоторой матрицы С выполняются равенства

АС = I и СА = I.

Умножим обе части каждого из равенств на матрицу А-1: левого — слева, правого — справа. Получим

Пользуясь свойствами операции умножения матриц, преобразуем правые части равенств (4):

В соответствии с формулой (3) и формулами (10) каждое из равенств (4) дает требуемое соотношение: С = А-1.

Метод Жордана

Укажем простой и эффективный способ вычисления обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Начнем с обоснования метода.

Теорема:

Произвольную невырожденную матрицу элементарными преобразованиями строк можно привести к единичной матрице.
Согласно теореме 1 любую матрицу при помощи элементарных преобразований строк (1-го и 3-го типов) можно привести к матрице ступенчатого вида. Если исходная матрица является квадратной и невырожденной, то она преобразуется к матрице, имеющей треугольный вид

Покажем это. Элементарные преобразования строк матрицы равносильны умножению этой матрицы слева на соответствующие матрицы элементарных преобразований (теорема 2). Как показано выше, матрицы элементарных преобразований невырождены. В силу свойства 4 определителя при умножении квадратных матриц их определители перемножаются. Поэтому при умножении невырожденной матрицы на любую из матриц элементарных преобразований вновь получаем невырожденную матрицу. Если ширина хотя бы одной «ступеньки» у получившейся в результате ступенчатой матрицы была бы больше одного элемента (см. рис. 6), то ее определитель равнялся бы нулю. Это противоречит предыдущему рассуждению. Тем самым, матрица (5) оказывается невырожденной, т. е.

Элементарными преобразованиями строк 2-го типа полученная матрица (5) приводится к следующему виду

Единичная матрица получается из матрицы (6) элементарными преобразованиями третьего типа: последовательно прибавляя к первым n — 1 строкам последнюю, умноженную соответственно на — , приводим ее к матрице, у которой все элементы n-го столбца, кроме последнего, равны нулю:

Аналогичным образом, прибавляя к первым n — 2 строкам полученной матрицы (n — 1)-ю строку, умноженную соответственно на придем к матрице, у которой все элементы последних двух столбцов, кроме расположенных на главной диагонали, равны нулю, и т. д. Наконец, прибавляя к первой строке вторую, умноженную на , придем к единичной матрице

Доказанное утверждение позволяет переформулировать теорему 4 в матричной форме:

Теорема:

Для любой невырожденной матрицы (к можно указать матрицы элементарных преобразований такие, что

Умножим обе части равенства (7) на матрицу справа. Получаем, что

Способ построения обратной матрицы

Пусть А — невырожденная матрица порядка n. Составим расширенную матрицу
(АI) (8)
размера n х (2n). Если подвергнуть строки этой матрицы элементарным преобразованиям, соответствующим матрицам , то на месте матрицы А получится единичная матрица l, а на месте единичной матрицы l — матрица , обратная А. Иными словами, элементарными преобразованиями строк матрица (8) преобразуется в матрицу

Таким образом, чтобы построить матрицу, обратную заданной квадратной невырожденной матрице А = (aij), следует поступать так: 1. Составить расширенную матрицу

2. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы (А | I) привести матрицу А к треугольному виду

(см. описание основного процесса, положенного в основу доказательства теоремы 1).

3. Элементарными преобразованиями строк матрицы (А | В) привести матрицу А к единичной

(см. описание сведения матрицы (6) к единичной в теореме 4). 4. Полученная матрица С является обратной к матрице А:

Пример:

Найти матрицу, обратную матрице

Составим расширенную матрицу

1-й шаг. Вычитаем первую строку из всех последующих строк:

2-й шаг. Элемент а22 = 0. Меняем местами вторую и третью строки, затем вычитаем из четвертой строки полученную вторую:

3-й шаг. Вычитаем из четвертой строки третью и делим все строки на их диагональные элементы:

4-й шаг. Вычитаем последнюю строку из первых трех строк:

5-й шаг. Вычитаем третью строку из первой строки:

6-й шаг. Вычитаем вторую строку из первой строки:

Отсюда следует, что

Ранг матрицы

Выберем в матрице

k строк и k столбцов. Пусть

— номера выбранных строк и

— номера выбранных столбцов. Построим матрицу k -го порядка

Определитель Мк этой матрицы называется минором к-го порядка матрицы А. Ясно, что у матрицы размера m х n есть миноры, порядок которых равен 1,2,…, min(m, n).

Пример:

Выберем в матрице А размера 11 х 14 7 строк и 7 столбцов:

1, 3, 4, 6, 8, 9, 10 — номера выбранных строк;

2, 5, 6, 7, 10. 12, 13 — номера выбранных столбцов.

Построим матрицу порядка 7 из элементов, располагающихся одновременно и в отобранных строках и в отобранных столбцах, сохранив их взаимное расположение. Получим матрицу, схематически изображенную на рис. 7 справа. Определитель этой матрицы будет минором 7-го порядка исходной матрицы.

Пусть матрица А ненулевая. Тогда найдется число r такое, что

1) некоторый минор r-го порядка матрицы А отличен от нуля;

2) любой минор порядка s (s > r) матрицы А (если таковой существует) равен нулю.

Число rназывается рангом матрицы А. Обозначение: rang А.

Ранг нулевой матрицы считаем равным нулю. Таким образом, для любой матрицы А размера m х n

Отличный от нуля минор Mr, порядок которого равен рангу матрицы А, называется базисным минором матрицы А. Строки и столбцы матрицы А, которые содержат элементы базисного минора, называются базисными.

Теорема:

Базисные строки матрицы А линейно независимы.
Каждая строка матрицы А может быть представлена в виде линейной комбинации базисных строк.

Аналогичное утверждение справедливо и для базисных столбцов.
Предположим для определенности, что базисный минор матрицы А имеет порядок г и расположен в ее левом верхнем углу:

Тогда первые r строк a1,…, аr будут базисными.

Покажем, что строки a1,…, аr линейно независимы. Будем рассуждать от противного. Пусть строки a1,…, аr линейно зависимы. Тогда согласно утверждению п. 3 одна из строк является линейной комбинацией остальных. Пусть, например,

Это означает, что в базисном миноре r-я строка является линейной комбинацией остальных строк Мr. Отсюда в силу свойства определителя вытекает равенство Мr = 0, которое противоречит определению базисного минора. Тем самым, наше предположение о линейной зависимости строк a1,…, аr неверно. Значит, они линейно независимы.

2. Перейдем к доказательству второго утверждения теоремы. Покажем сначала, что для любых i и j () выполняется равенство

В самом деле, при i ≤ r у определителя ∆ две одинаковых строки, при j ≤ r — два одинаковых столбца, а в остальных случаях (при t > г и j > г) ∆ является минором матрицы А порядка г + 1. Тем самым, он оказывается равным нулю при всех обстоятельствах.

Зафиксируем t (1 ≤ t ≤ m) и разложим определитель ∆ по последнему столбцу. Имеем

Полученное равенство (3) выполняется для любого j (l ≤ j ≤ n); при этом числа ∆1,…, ∆r от j не зависят. Полагая

перепишем равенство (3) в следующем виде

или, подробно,

На основании полученных соотношений (4) заключаем, чтo

Тем самым, i-я строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк а1,…, аr. Ввиду произвольности выбора i (1 ≤ i ≤ m) отсюда заключаем, что каждая строка матрицы является линейной комбинацией базисных.

Утверждение:

Элементарные преобразования матрицы не увеличивают ее ранга.
Пусть матрица ранга получена из матрицы А ранга r элементарным преобразованием строк 1-го типа. Рассмотрим в матрице произвольный минор , порядка s и выберем в матрице А минор Мs того же порядка s по следующему правилу. Элементы минора Мs расположены в матрице А в тех же строках и в столбцах с теми же номерами, что и элементы минора в матрице . Так как преобразование 1-го типа, переставляя строки матрицы, не изменяет их, то строки миноров Мs и могут различаться только порядком расположения в минорах. Отсюда вытекает, что либо = +Мs либо = ~Мs.

По определению ранга все миноры матрицы А, порядок которых больше г, равны нулю. Поэтому из полученных равенств вытекает, что любой минор матрицы порядка s > r равен нулю: = 0. Это означает, что ранг матрицы не может быть больше ранга матрицы A: ≤ r.

Похожими рассуждениями можно убедиться в справедливости неравенства

и для случая, когда матрица получена из матрицы А элементарными преобразованиями строк 2-го и 3-го типов.

Для столбцов доказательство проводится аналогично.
Теорема:

Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Достаточно вспомнить, что если матрица получена из матрицы А элементарным преобразованием, то и матрицу А можно получить из матрицы элементарным преобразованием (причем того же типа). С учетом доказанного выше утверждения из этого факта можно заключить, что и

Сопоставляя неравенства получаем требуемое

Замечание:

Число ненулевых строк ступенчатой матрицы равно ее рангу.

В самом деле, минор порядка r ступенчатой матрицы, элементы которого расположены в ее первых r

строках и в столбцах с номерами k1, k2,…, kr, отличен от нуля,

а любой минор порядка s > r содержит нулевую строку и, значит, равен нулю.

Тем самым, элементарные преобразования матрицы предоставляют простой и эффективный способ отыскания ранга произвольной матрицы.

Пример:

Найти ранг матрицы

1-й шаг. Вычитая из второй и третьей строк первую строку, умноженную соответственно на 2 и 1, получим, что

2-й шаг. Вычитаем из третьей строки вторую строку, умноженную на 2. Тогда

Система линейных уравнений

Пусть дана матрица

первые n столбцов которой ненулевые. Совокупность соотношений
(2)

где числа х1,…, хn рассматриваются как величины, подлежащие определению (неизвестные), называется системой m линейных уравнений с n неизвестными, или, коротко, — линейной системой. Числа а_ij (i = 1,…, m; j = 1, … , n) называются коэффициентами линейной системы (2), а числа β_i (i = 1,…, m) — ее свободными членами.

Решением линейной системы (2) называется упорядоченная совокупность чисел γ1,…γn. которая при подстановке в каждое уравнение системы (2) вместо совокупности неизвестных х1,… ,хn обращает его в тождество. Линейная система называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если решений нет. Решения γ1,…γn и γ’ 1,…γ’ n системы (2) называются различными, если нарушено хотя бы одно из равенств

Совместная система называется определенной, если она имеет ровно одно решение, и неопределенной, если она имеет не менее двух различных решений.

Линейная система (2) допускает более компактную (матричную) запись: AX = b (3)

где

Матрица А называется матрицей системы (2), b — столбцом свободных членов, X — столбцом неизвестных. Исходная матрица

А = (А | b)

называется расширенной матрицей системы (2). Решением матричной системы (3) является столбец Г, элементы которого суть

Теорема Кронекера—Капелли:

Линейная система совместна в том и только в том случае, если ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы равны.

Пусть линейная система (2) совместна. Это означает, что некоторый упорядоченный набор чисел обращает каждое из уравнений этой системы в тождество:

Полученные соотношения можно понимать так: столбец свободных членов расширенной матрицы = (А | b) является линейной комбинацией ее первых п столбцов, т. е. столбцов матрицы А. Прибавим к последнему столбцу матрицы первый столбец, умноженный на — γ1, затем второй столбец, умноженный на — γ2,… , и, наконец, n-й столбец, умноженный на — γn. B результате получим матрицу

Ранг матрицы совпадает с рангом матрицы , так как проведенные элементарные преобразования столбцов 3-го типа не изменяют ранга матрицы (теорема 7). С другой стороны, ясно, что ранги матриц и А также равны. Тем самым,

Пусть теперь ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Так как = (А | b), то у матриц А и есть общий базисный минор. Предположим для определенности, что порядок базисного минора равен r, и он расположен в левом верхнем углу обеих матриц. Этого всегда можно добиться путем перестановки уравнений и (в случае необходимости) перенумерации неизвестных. Согласно теореме 6 любой столбец матрицы можно представить в виде линейной комбинации базисных столбцов. В частности, для столбца свободных членов (это последний столбец матрицы ) имеем

Или

Нетрудно видеть, что упорядоченный набор n чисел

обращает каждое из уравнений исходной линейной системы в тождество. Это означает, что система (2) совместна.

Эквивалентные линейные системы

Совокупность всех решений линейной системы будем называть множеством решений системы. Две линейные системы с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений (возможно, пустые) совпадают. Другими словами, всякое решение одной системы является решением другой и, обратно, всякое решение второй системы является решением первой, либо обе системы не имеют решений.

Ясно, что линейная система однозначно задается своей расширенной матрицей. Возьмем две матрицы и одного размера m х (n+ 1) и рассмотрим соответствующие им линейные системы

Будем говорить, что система (*‘) получена из системы (*) при помощи элементарных преобразований, если расширенная матрица системы (*‘) получается из расширенной матрицы системы (*) элементарными преобразованиями строк.
Теорема:

Если линейная система (*’) получена из линейной системы (*) элементарными преобразованиями, то системы (*) и (*’) эквивалентны.

Предположим сначала, что система (*) совместна. Пусть — ее решение. Покажем, что этот набор при подстановке в каждое из уравнений системы (*’) вместо набора неизвестных х1… ,хn обращает его в тождество. Достаточно рассмотреть только те уравнения, которые подверглись преобразованиям.

Пусть система (*’) получена из системы (*) элементарным преобразованием:

1) первого типа — изменение порядка уравнений в системе не лишает набор возможности обратить каждое из них в тождество;

2) второго типа — после умножения fc-ro тождества

на А ≠ 0 получаем соотношение

означающее, что набор обращает уравнение

в тождество;

3) третьего типа ~ выпишем преобразованное уравнение

и тождества, полученные из k-то и l-го уравнений системы (*):

Умножим первое из этих тождеств на μ и, прибавив ко второму, получим тождество

Подстановка набора в уравнение (5) приводит к тому же результату. Таким образом, в каждом из трех случаев система () оказывается совместной, и набор является ее решением — всякое решение системы (*) является решением системы (*’).

Так как система (*) также может быть получена из системы (*’) путем элементарных преобразований, то, повторяя приведенные выше рассуждения для систем (*’) и (*), убеждаемся в том, что всякое решение системы (*‘) является решением системы (*).

В том случае, когда система (*) несовместна, несовместна также и система (*’). В этом легко убедиться, рассуждая от противного: совместность системы (*‘), согласно доказанному выше, неизбежно влечет совместность системы (*), которая по условию не имеет решений.

Ясно, что если система (*’) получена из системы* () при помощи конечного числа элементарных преобразований, то эти системы эквивалентны.

Метод Гаусса

Решить линейную систему — это значит:

1) выяснить, является ли система совместной или несовместной;

2) если система совместна, то найти множество ее решений.

Укажем способ решения линейной системы, состоящий в следующем: элементарными преобразованиями заданная система приводится к системе простого вида, для которой ответить на поставленные вопросы уже нетрудно.

Так как элементарные преобразования системы напрямую связаны с элементарными преобразованиями строк ее расширенной матрицы, будет удобно рассматривать их одновременно:

Как доказано в теореме 1 элементарными преобразованиями строк матрицу можно привести к ступенчатой

Соответственно преобразуется и система (*).

Если свободный член отличен от нуля, то полученная (а значит, и исходная) система будет несовместна. В самом деле, (r + 1)-е уравнение имеет следующий вид:

и никакой набор чисел не может обратить его в тождество.

Обратимся к случаю, когда = 0. Тогда только первые г строк матрицы будут отличными от нуля. Выпишем соответствующие уравнения. Для простоты записи будем считать, что

(этого можно добиться, временно перенумеровав искомые неизвестные: у1 = х1). Имеем

Возможны два случая:

Число неизвестных n и число уравнений r в системе (*’) равны, r — n. Тогда система (*’) имеет вид:

Из последнего уравнения однозначно определяется значение неизвестного хn. Подставляя его в предыдущее (n — 1) -е уравнение, находим значение неизвестного xn_1 и т. д. Наконец, подставляя найденные значения неизвестных x2,…, хn в первое уравнение, однозначно определяем значение неизвестного х1.

Таким образом, в рассматриваемом случае (при r = n) система (*‘) имеет единственное решение. Это же верно и для системы (*).

2. Число неизвестных n больше числа уравнений r, n > r. Придадим неизвестным xr+1,… , хn (их называют свободными) произвольные значения и, перенося соответствующие слагаемые в правые части уравнений системы, получим

Как и выше, мы можем последовательно определить значения главных неизвестных

Поскольку значения были выбраны произвольно, то в рассматриваемом случае множество решений линейной системы бесконечно.

Пример:

Решить систему

Составим расширенную матрицу системы,

и приведем ее при помощи элементарных преобразований строк к ступенчатой матрице.

1-й шаг. Чтобы получить элемент в позиции (1,1) равным 1, вычитаем из второй строки удвоенную первую строку и затем меняем их местами. Тогда

Вычитаем из второй и третьей строк первую, умноженную на 3 и 5 соответственно. Получим, что

2-й шаг. Вычитаем из третьей строки вторую:

Система несовместна, так как rang А = 2, a rang = 3.

Пример:

Решить систему

Составим расширенную матрицу системы:

Прямой ход.

1-й шаг. Переставим первую и четвертую строки. Тогда элемент в позиции (1,1) будет равен I. Вычитая затем из всех строк первую строку, умноженную соответственно на 4 , 2 и 2, получаем

2-й шаг. Во избежание громоздких вычислений вычитаем из второй строки удвоенную третью строку, а из третьей четвертую. Затем у полученной матрицы вычитаем из второй строки третью:

Вычитая из третьей и четвертой строк вторую строку, умноженную на 2 и 11 соответственно, получаем, что

3-й шаг. Вычитаем из четвертой строки третью, умноженную на 4. Затем умножаем элементы третьей строки на :

Система совместна, так как rang А = rang = 3, и имеет единственное решение, так как ранг матрицы равен числу неизвестных.

Таким образом, исходная система эквивалентна системе

Обратный ход.

Из третьего уравнения сразу видим, что x3 = 1. Подставив это значение x3 во второе уравнение, получаем -х2 — 2 = -4, откуда x2 = 2. После подстановки найденных значений для x3 и x2 в первое уравнение получаем х1+ 16 — 7 = 12, откуда х1 = 3.

Система имеет единственное решение:

Пример:

Решить систему

Соcтавим расширенную матрицу системы:

1-й шаг. Вычитаем из второй и третьей строк первую строку, умноженную на 2 и 3 соответственно:

2-й шаг. Вычитаем из третьей строки удвоенную вторую

Система совместна (rang А = rang = 2) и имеет бесконечное число решений (rang А < 4). Исходная система эквивалентна системе следующего вида

Найдем общее решение системы. Придадим свободным неизвестным x2 и х4 произвольные значения γ2 и γ4 соответственно и, перенося соответствующие слагаемые в правые части уравнений, получим

Из последнего уравнения находим

Подставляя выражение для х3 в первое уравнение, получим, что

Общее решение системы имеет вид

где γ2 и γ4 — произвольные числа. Частное решение можно получить из общего, если придать свободным неизвестным конкретные значения. Например, положив γ2 = 1, γ4 = -1, получим, что х1 = х3 = 1. Итак, частное решение системы:

Правило Крамера

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными — квадратную систему
(6)

или, в матричной записи,

АХ = b (7)

Если квадратная матрица А невырождена, то система (6) совместна и имеет единственное решение, так как rang А = n.

Умножая обе части равенства (7) слева на матрицу , обратную к А, получаем, что

С учетом формулы (2) для обратной матрицы имеем

Проведем необходимые вычисления в правой части и получим, что

или, подробнее,

В числителе располагается определитель матрицы, полученной из матрицы А линейной системы путем замены j -го столбца на столбец свободных членов, а в знаменателе — определитель матрицы А.

Важное замечание:

Приведенное правило (8) имеет в значительной степени теоретический интерес, и в практических вычислениях (за исключением квадратных систем с двумя или тремя неизвестными) не применяется ввиду громоздкости.

Замечание:

Необходимость вычисления n + 1 определителя n-го порядка сильно увеличивает количество вычислений по сравнению с методом Гаусса: при непосредственном раскрытии определителей решение квадратной системы с п неизвестными требует порядка п!п арифметических операций. Уже при n = 30 такое число операций для современных ЭВМ недоступно.

Общее число арифметических действий в методе Гаусса имеет порядок n3.

Большинство распространенныхточных методов решения линейных систем можно рассматривать как варианты метода Гаусса, различающиеся между собой лишь некоторыми деталями. Количество арифметических операций для всех таких методов примерно одно и тоже.

Чтобы найти решение линейной системы

АХ = b

с квадратной невырожденной матрицей А, следует поступать так:

1. Составить расширенную матрицу системы:

2. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы привести матрицу системы к треугольному виду:

3. Элементарными преобразованиями строк матрицы привести матрицу А к единичной:

4. Записать линейную систему, соответствующую полученной расширенной матрице (l | с):

Набор

— решение исходной системы.

Однородные линейные системы

Линейная система называется однородной, если все свободные члены системы равны нулю: (9)

Основные свойства однородной системы:

1.Однородная система всегда совместна.

Набор x1 = 0,…, хn = 0 — нулевое решение, существующее у системы (9) всегда.

2. Если число m уравнений однородной системы меньше числа п неизвестных, то эта система имеет ненулевые решения.

Согласно сформулированному условию ранг г матрицы системы (9) удовлетворяет неравенству r ≤ m< n. Это позволяет утверждать, что исходная система является неопределенной (см. п. 1).

3. Сумма решений однородной системы (9) также является ее решением. Пусть — решения системы (9). Это означает, что

для любого i = 1,…, m. Так как

то набор

— сумма решений — решение однородной системы (9).

Произведение решения однородной системы (9) на любое число также является решением этой системы.

Пусть — решение системы (9):

μ — произвольное число. Тогда

Тем самым, набор — произведение решения на число μ — решение системы (9).

Часто оказывается удобной матричная запись однородной системы

или, короче,

АХ = 0. (10)

Проведем доказательство свойств 3 и 4 в матричной записи.

Доказательство свойства 3.

Пусть столбцы Г’ и Г» — решения системы (10): АГ’ = 0 и АГ» = 0. Тогда столбец Г’ + Г» также является решением системы (10), так как

А(Г’ + Г») = АГ’ + АГ» = 0+0 = 0.

Доказательство свойства 4.

Пусть АГ =’ 0. Вычислим А( μГ), где μ — любое число. Имеем

А(μГ) = μ(АГ) = μ0 = 0.

Свойства 3 и 4 означают, что множество решений однородной системы с естественными правилами сложения решений и умножения решения на число является линейным пространством 2′).

Познакомимся с одним важным свойством линейного пространства решений однородной системы.

Применив к однородной системе (9) метод Гаусса, приведем ее к следующему виду:

Здесь мы считаем для простоты, что неизвестные х1,…,хr — главные (напомним, что этого всегда можно добиться путем временной перенумерации неизвестных).
2) Обшеe понятие линейного пространства будет рассмотрено.

Пусть ранг г матрицы системы (11) меньше числа n неизвестных, r < n. Построим п-г решений системы (11), придавая свободным неизвестным хr+1,… ,хn значения в соответствии со следующей таблицей

Каждому набору значений свободных неизвестных соответствует решение системы (11):

Построенная совокупность решений Г1 …, Гn-r линейно независима. Покажем это. м Рассмотрим линейную комбинацию

Легко заметить, что линейная комбинация (13) равна нулевому столбцу в том и только в том случае, когда

Это означает, что нулевому решению системы (11) равна лишь тривиальная линейная комбинация решений Г1 …, Гn-r.

В силу доказанных выше свойств 3 и 4 линейная комбинация (13) является решением системы (11) при любых

Покажем, что любое решение

однородной системы (11) можно представить в виде линейной комбинации вида (13)’.

Умножая решения Г1,…, Гn-r на соответственно и складывая, получим решение системы (11) в виде (13). Сравнивая формулы (13) и (14), нетрудно убедиться в том, что эти решения имеют одинаковый набор значений свободных неизвестных. А так как по заданным значениям свободных неизвестных главные определяются однозначно, то сами решения совпадают:

Таким образом, построенная совокупность решений Г1,…, Гn-r однородной системы (9) обладает следующими свойствами:

оналинейно независима;
любое решение системы (9) можно представить в виде линейной комбинации решений Г1…..Гn-r.

Определение:

Любая совокупность из n — r решений однородной системы (9), удовлетворяюшая условиям 1 и 2, называется фундаментальной системой решений однородной системы (9).
Пример:

Решить систему

Применив метод Гаусса, получим

(см. пример 3 п.З). Свободные неизвестные — х2 и x4. Составим таблицу

Фундаментальную систему решений образуют решения

Любое решение Г заданной системы можно представить в следующем виде:

где μ и v — произвольные постоянные.
Итог. Для того, чтобы описать множество решений однородной системы, достаточно найти ее фундаментальную систему решений (ФСР), так как всевозможные линейные комбинации элементов ФСР и составляют это множество.
Нетрудно заметить, что в таблицу (12) заключена единичная матрица порядка n — r.

Замечание:

Требование (12) на набор свободных неизвестных не является обязательным для построения ФСР. Можно поместить в таблицу (12) любую невырожденную матрицу (n — r).-го порядка.

Замечание:

Любая однородная линейная система, имеющая ненулевые решения, обладает ФСР.

Матрицы в линейной алгебре

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или п столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде

или, сокращенно, , где) строки, — номер столбца

Матрицу А называют матрицей размера m х п и пишут Числа составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера п х п называют матрицей п-го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Пример:

— единичная матрица 3-го порядка.

— единичная матрица n-го порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О. Имеет вид

В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид:

Матрица размера 1 x 1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т. е. есть 5.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается

Так, если

Транспонированная матрица обладает следующим свойством:

Действия над матрицами

Сложение:

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц называется матрица такая, что Записывают

Пример:

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение на число:

Произведением матрицы на число k называется матрица такая, что Записывают

Пример:

Матрица называется противоположной матрице А.

Разность матриц А — В можно определить так: А — В = А + (—В). Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обла-
дают следующими свойствами:

где А, В, С — матрицы, — числа.

Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями матриц являются:

перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;
прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы A и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ~ В.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической, например

Пример:

Привести к каноническому виду матрицу

Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаем

Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что

т. е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

Получение элемента схематично изображается так:

Если матрицы A и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что , где А — квадратная матрица, Е — единичная матрица того же размера.

Пример:

Тогда произведение

не определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2). При этом определено произведение , которое считают следующим образом:

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА. Умножение матриц обладает следующими свойствами:

если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл.

Для операции транспонирования верны свойства:

Определители

Квадратной матрице А порядка п можно сопоставить число det А (или |A|, или ), называемое ее определителем, следующим образом:

Определитель матрицы А также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда (с. 23, свойство 7). При этом заметим, что определители невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

Пример:

Найти определители матриц

Решение:

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

Пример:

Вычислить определитель матрицы

Решение:

Свойства определителей

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.

Свойство 1 («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

Иными словами,

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

Действительно,

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей. Например,

Свойство 6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
Пример:

Доказать, что

Решение:

Действительно, используя свойства 5, 4 и 3, получим

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения

Минором некоторого элемента определителя n-го порядка называется определитель п — 1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается

Так, если

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i+j — четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается

Так,

Свойство 7. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что

В самом деле, имеем

Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.

Пример:

Вычислите определитель матрицы

Решение: Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.

Свойство 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю. Так, например,

Невырожденные матрицы

Пусть А — квадратная матрица n-го порядка

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель не равен нулю: В противном случае матрица А называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице A, называется матрица

где — алгебраическое дополнение элемента данной матрицы А (оно определяется так же, каик и алгебраическое дополнение элемента определителя).

Матрица называется обратной матрице , если выполняется условие

где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица A. Матрица имеет те же размеры, что и матрица A.

Обратная матрица

Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

Составим союзную матрицу

и найдем произведение матриц

т. е.

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2).

Аналогично убеждаемся, что

Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

Отметим свойства обратной матрицы:

Пример:

Найти , если

Решение: 1) Находим det A:

2) Находим

поэтому

Проверка:

Пример:

Определить, при каких значениях существует матрица, обратная данной:

Решение: Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдем определитель матрицы А:

Если т. е. матрица А невырожденная, имеет обратную.

Пример:

Показать, что матрица А является обратной для В,
если

Решение: Найдем произведение матриц А и В:

Аналогично . Следовательно, матрица А является обратной для В.

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размера m х п.

Выделим в ней k строк и k столбцов ). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k -гo порядка. Все такие определители называются ми-норами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить штук, где — число сочетаний из п элементов по k.)

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается или rang A.

Очевидно, что , где — меньшее из чисел тип.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример:

Найти ранг матрицы:

Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля Значит, r (А) = 2.
Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.

Отметим свойства ранга матрицы:

При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы (см. с. 18).

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

Пример:

Найти ранг матрицы

используя результаты примера 1.4.

Решение: В примере 1.4 показано, что

то есть

Таким образом, ранг матрицы А равен r(A) = 2.

Виды матриц и операции над матрицами

Матрицей А называется таблица чисел. Матрицы обозначаются различными способами:

или сокращенно Числа составляющие матрицу, называются ее элементами. Первый индекс указывает номер строки, второй — номер столбца. Если матрица состоит из m строк и n столбцов, то говорят, что размерность матрицы есть m на n. Количество элементов в такой матрице равно произведению

Матрица называется прямоугольной, если Если то матрица называется квадратной и число n — порядком матрицы. Матрица, содержащая один столбец, называется матрица-столбец. Матрица, состоящая из одной строки, — матрица-строка. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Для квадратной матрицы порядка п, т. е. совокупность элементов у которых оба индекса совпадают, образует главную диагональ. Сумма элементов главной диагонали называется следом матрицы и обозначается

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю: при Диагональная матрица обозначается так:

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной и обозначается

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю:

Каждой, квадратной матрице ставится в соответствие число, называемое детерминантом или определителем. Обозначается определитель символами или или Определитель квадратной матрицы А представляет собой числовую функцию, аргументы которой есть элементы этой матрицы. Общее выражение определителя матрицы n-го порядка задается в следующем виде:

В правой части выражения (2.21) стоит сумма всех произведений, которые можно образовать из n элементов матрицы по правилу: по одному из каждой ее строки и из каждого столбца, т. е. в каждом произведении среди всех первых и всех вторых индексов не должно быть одинаковых. Первые индексы располагают в возрастающем порядке. Следовательно, каждое произведение в (2.21) образует подстановку n-ой степени:

Поскольку число подстановок из п чисел равно то в (2.21) входит слагаемых вида Число равно числу инверсий соответствующей перестановки Частные случаи для формулы (2.21)

Пример:

Вычислить определитель матрицы

Очевидно, что определитель единичной матрицы равен единице

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если и вырожденной (особенной), если Легко проверить, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов:

Отсюда следует, что если все диагональные элементы в треугольной матрице отличны от нуля, то матрица невырожденная.

Действия над матрицами

Равенство матриц

Две матрицы называются равными, если они одинаковых размеров и их соответствующие элементы равны

Сложение матриц

Складывать можно лишь матрицы одинакового размера. Суммой двух матриц называется матрица тех же размеров. Элементы матрицы С равны суммам соответствующих элементов матриц А и В, т. е. если

Пример:

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется матрица элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число :

Пример:

Легко проверить, что операции сложения матриц и умножения матриц на число обладают следующими свойствами:

(перестановочный закон);

(сочетательный закон); (распределительный закон);

где матрицы одного размера, числа.

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями.

Замечание:

Пусть А, В — квадратные матрицы порядка Линейные операции над матрицами не переносятся на их определители, т. е.

Произведение матриц

Произведение матриц А • В определено в том и только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Произведением матрицы А размера m • k на матрицу В размера k • n называется матрица размера элементы которой определяются по формуле

Сумма в (2.22) представляет собой скалярное произведение вектора-строки i матрицы А на вектор-столбец j матрицы В (см. главу 2.5). Поэтому говорят, что умножение матриц производится по правилу «строка на столбец», т. е. для получения элемента необходимо скалярно умножить строку i матрицы А на столбец j матрицы В.

Пример:

Требуется перемножить матрицы

Поскольку это матрицы квадратные и одного размера, то умножение таких матриц возможно всегда. В соответствии с (2.22) имеем:

Из примера следует важное правило: «Произведение матриц не-перестановочно», т. е. в общем случае

Пример:

Найти произведение матриц

В соответствии с правилом умножения матриц произведение не существует, а произведение

Можно проверить, что умножение матриц удовлетворяет свойствам:

где — число, А, В, С — матрицы, для которых произведения существуют;

5) если А, В — квадратные матрицы одного порядка, то

Транспонирование матриц

Рассмотрим произвольную матрицу

полученная из матрицы А заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к А. Например,

Можно доказать, что:

где А и В — матрицы, — число;

5) Если А — квадратная матрица, то

Квадратная матрица называется симметрической, если и кососимметрической, если У симметрической матрицы т. е. все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны соответствующим элементам, расположенным выше диагонали. Пример симметрической матрицы.

У кососимметрической матрицы следовательно,

Пример кососимметрической матрицы.

Произведение матрицы А на транспонированную матрицу есть симметрическая матрица. Для доказательства этого факта проверим, что симметрическая матрица. Действительно,

Пусть в определителе матрицы А размером выделено произвольных строк и столько же произвольных столбцов. Элементы, расположенные на пересечении этих строк и столбцов, образуют определитель k-го, порядка называемый минором k-го порядка матрицы А. Например, для матрицы

все ее элементы являются минорами первого порядка: (здесь знак означает минор первого порядка, а не модуль числа -5). Определители

миноры второго порядка, а миноры третьего порядка для этой матрицы следующие:

Число r называется рангом матрицы А (обозначается rgА), если у нее существует хотя бы один минор порядка r, не равный нулю, а все миноры большего порядка, если они существуют, равны нулю. Ранг матрицы не может превышать наименьшего из чисел m, n. Если ранг матрицы равен r, то ее минор порядка r, не равный нулю, называется базисным минором. Базисных миноров у матрицы может быть несколько. Миноры, образованные строками и столбцами с одинаковыми номерами, называются главными.

Пример:

Найти ранг и базисный минор матрицы

Все четыре минора третьего порядка этой матрицы равны нулю. Если же построить определитель из строк 1,3 и столбцов 1,3, то он не равен нулю, т.к. следовательно,

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух строк (столбцов);

2) умножение одной из строк (столбцов) на число, не равное нулю;

3) прибавление к одной из строк (столбцов) другой строки (столбца), умноженной предварительно на произвольный не равный нулю множитель.

Все матрицы, полученные из данной путем элементарных преобразований, — разные матрицы. Вместе с тем все они обладают некоторыми одинаковыми свойствами, например, имеют одинаковый ранг. По этой причине матрицы, полученные в результате элементарных преобразований, называют эквивалентными. При переходе к эквивалентной матрице вместо знака часто используют знак соответствия

Обратная матрица

Пусть А — квадратная матрица n-го порядка, а — единичная матрица того же порядка. Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если выполняются равенства

Матрицу, обратную к матрице А, обозначают символом Если у матрицы А существует обратная матрица, то она единственна.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы А называется определитель, получаемый из определителя исходной матрицы А путем изъятия из него строки i и столбца j и взятый со знаком Например, если матрица А имеет определитель

то алгебраическим дополнением элемента этой матрицы, поскольку является определитель

Присоединенной (или союзной) к матрице А называется матрица элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов исходной матрицы А, расположенные как элементы в транспонированной по отношению к А матрице.

Присоединенная матрица обладает свойством

Критерий существования обратной матрицы

Для того, чтобы для матрицы А существовала обратная, необходимо и достаточно; чтобы матрица А была невырожденной, т. е. Свойства обратной матрицы следуют из ее определения.

Пример:

Найти обратную матрицу для

Определитель матрицы: следовательно, обратная матрица существует. Построим присоединенную к А матрицу А . Для этого вычислим алгебраические дополнения для всех элементов А:

Присоединенная по отношению к А матрица

Обратная к А матрица

Как найти матрицу — подробная инструкция

Матрицей размера m х n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов выражений, называемых элементами матрицы:

Здесь — элемент матрицы, стоящий на пересечении i-й
строки и j-го столбца, i = 1, 2,…, m , j = 1,2,…, n.

Элементами матрицы являются, как правило, числа, но иногда
и другие математические объекты, например векторы. Матрицу
обозначают следующим образом:

Квадратная матрица порядка n — это матрица размера n х n .

Диагональной называется квадратная матрица, у которой
при всех

Единичной называется диагональная матрица, у которой
диагональные элементы равны единице. Например,

Диагональ, проходящая из левого верхнего угла в правый нижний, называется главной диагональю квадратной матрицы. Элементы,
стоящие на этой диагонали, называются главными диагональными. Их сумма называется следом и обозначается SpA (SpurA), ТrА (TraceA).

Матрица (вектор)-строка — это матрица размера 1 х n:

Матрица (вектор)-столбец это матрица размера m х 1:

Матрица размера m x n называется нулевой, если все ее элементы
равны нулю. Обозначается 0.

Транспонированной к матрице называется матрица получаемая расстановкой строк матрицы в столбцы матрицы а столбцов — в строки.
Например,

Определитель квадратной матрицы

Определителем квадратной матрицы порядка n называется число D, которое может быть рассчитано, например, с помощью метода разложения на алгебраические дополнения.

Этот метод рассмотрен в §1.7. Обозначение:

► Пример 1.8. Найти определитель матрицы

Решение. Определитель второго порядка вычисляем по формуле

Свойства определителей

1.Общий для всех элементов строки (столбца) множитель можно выносить за знак определителя.

Действительно,

Заметим, что за знак матрицы можно выносить только общий
множитель всех элементов.

2.При перестановке двух соседних строк (столбцов) матрицы ее
определитель меняет знак на противоположный.

Действительно, разложим определитель n-го порядка по первой
строке:

Поменяем местами первую и вторую строки и разложим новый
определитель n-го порядка по второй строке:

Если сравнить это выражение с предыдущим, то легко увидеть,
что все слагаемые разложения определителей имеют
противоположные знаки. Значит, и сами определители имеют
противоположные знаки. Точно так же доказывается данное свойство определителя для других соседних строк и столбцов.

3.Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки
(столбца), то ее определитель равен нулю.

Действительно, если эти строки соседние, то переставим их.
Знак новой матрицы изменится на противоположный. Но так как
строки одинаковы, то это две одинаковые матрицы. Такая ситуация
возможна, если исходные матрицы равны нулю.

Если эти строки не являются соседними, то путем
последовательных перестановок строк построим определитель с двумя одинаковыми соседними строками. Такой определитель равен нулю. А исходный определитель отличается от него, по крайней мере,
только знаком. Поэтому он тоже равен нулю.

4.От прибавления (вычитания) к строке (столбцу) элементов
другой строки (столбца) или линейной комбинации элементов
другой строки (столбца) величина определителя не изменится.

Пусть определитель разложен по первой строке.

Умножим элементы второй строки на и сложим с первой
строкой. Определитель новой матрицы запишем в виде

Сопоставив D с видим, что где

Определитель равен нулю, так как имеет две одинаковые
строки. Таким образом, что и требовалось доказать.

5.В предыдущем пункте доказано важное свойство определителей.
Сумма произведений всех элементов некоторого столбца
определителя на алгебраические дополнения соответствующих
элементов другого столбца равна нулю.

6.Определитель не изменит своей величины, если заменить его
строки столбцами.

Пример:

Рассчитать определитель

Решение:

Умножим первую строку на -1, а результат сложим со второй и третьей строками:

В последнем столбце получили четыре нуля и единицу. Поэтому
при разложении определителя по последнему столбцу все слагаемые,
кроме первого, будут равны нулю. После разложения по последнему
столбцу получим

Умножим первую строку на -2 и сложим со второй:

Разложим результат по последнему столбцу:

Умножим первый столбец на —1 и сложим со вторым и третьим
столбцами:

Разложим данный определитель по последней строке:

Алгебра матриц

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковый
размер и все элементы, стоящие на одних и тех же местах, равны
между собой.

Суммой двух матриц одинакового размера и
является матрица того же размера с элементами для всех i и j.

Матрицы размера m х n и размера r х s
называются сцепленными, если n = r.

Произведением двух сцепленных матриц размера m х n и
размера n x s является матрица размера m х s, где

т.е. элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце матрицы
произведения, получается в виде скалярного произведения i-го вектора строки матрицы и j-го вектора столбца матрицы .

Пример:

Вычислить произведение матриц А*В и В*А , где

Размер матрицы произведения равен 2×3. Вычислим элементы
матрицы С, скалярно перемножая i-й вектор строки матрицы А и
соответствующий j-й вектор столбца матрицы В:

Матрица С имеет вид

Матрица В*А не существует, так как количество столбцов матрицы
В не равно количеству строк матрицы А. ►

Многие операции, совершаемые над числами, справедливы и
для матриц. К ним относятся:

А+В=В+А;

Однако

Для единичных матриц Е справедливы равенства ЕА = АЕ = А.
Иными словами, произведение любой матрицы на единичную
матрицу не изменяет исходной матрицы.

Обратная матрица

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при перемножении этих матриц получается единичная матрица Е, т.е.

Вырожденной называется матрица, определитель которой равен нулю. В противном случае матрица называется невырожденной.

Необходимое и достаточное условие существования обратной
матрицы состоит в следующем: обратная матрица существует и
единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Обратной матрицей по отношению к матрице
называется матрица

где — алгебраическое дополнение элемента в определителе матрицы транспонированной к матрице А. (Напомним, что
алгебраическое дополнение есть умноженный на минор, полученный из вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.)

Пример:

Найти матрицу, обратную данной:

Решение. Определитель матрицы А

Составим определитель матрицы транспонированной к матрице А:

Находим алгебраические дополнения определителя матрицы

Составляем матрицу обратную матрице А:

Проведем проверку, умножив А на

Ранг матрицы

Пусть дана матрица

где m — количество строк, n — количество столбцов.

Выбираем в матрице А произвольные k строк и k столбцов,
Элементы, стоящие на пересечении данных строк и столбцов, составляют квадратную матрицу k-го порядка матрицы А . Определитель квадратной матрицы А называется минором. Нас интересуют порядки тех миноров матрицы А, которые отличны от нуля.

Наивысший порядок минора, отличного от нуля, называется рангом матрицы.

Обозначается rang А или r(А).

При отыскании ранга матрицы полезно знать, что если все миноры k-го порядка матрицы А равны нулю, то равны нулю и все миноры более высоких порядков.

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-го порядка D, отличный от нуля, то требуется вычислить лишь миноры (k + 1)-го порядка, окаймляющие минор D. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Пример:

Найти ранг матрицы

Решение:

Возьмем отличный от нуля минор второго порядка

Минор третьего порядка окаймляющий минор
отличен от нуля. Два минора четвертого порядка, окаймляющие
минор равны нулю. Действительно,

Таким образом, ранг матрицы А равен трем (rang А = 3). ►

Решение заданий и задач по предметам:

Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

Тождественные преобразования алгебраических выражений
Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Прогрессии в математике
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Формулы и правила дифференцирования
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательная функция
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Взаимно обратные функции
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Разложение многочленов на множители
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Числовые множества
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Комбинаторика
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функциональные ряды
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Векторы
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Операции над векторами
Непрерывность функций
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат

Источник

Оглавление:

Основные теоретические сведения

Матрицы

Простейшие действия с матрицами

Определитель матрицы

Миноры и алгебраические дополнения

Вычисление определителя матрицы через алгебраические дополнения

Обратная матрица

Матрицы. Вся теория и задачи с решениями или ответами

Определение матрицы

Операции сложения и вычитания матриц

Умножение матрицы на число

Операция умножения матриц

Операция транспонирования матрицы

Определитель матрицы

Действия над матрицами

Основные сведения о матрицах

Виды матриц

Операции над матрицами

Умножение матрицы на число

Сложение матриц

Вычитание матриц

Умножение матриц

Пример №1

Пример №2

Пример №3

Возведение в степень

Пример №4

Транспонирование матрицы

Пример №5

Определители квадратных матриц

Пример №6

Пример №7

Пример №8

Свойства определителей

Пример №9

Обратная матрица

Пример №10

Ранг матрицы

Пример №11

Пример №12

Пример №13

Матрицы в линейной алгебре

Операции над матрицами

Определитель матрицы

Пример №14

Пример №15

Ранг матрицы

Пример №16

Пример №17

Обратная матрица

Пример №18

Матрицы и определители

Определение и типы матриц

Пример №19

Пример №20

Арифметические операции над матрицами

Пример №21

Пример №22

Пример №23

Пример №24

Блочные матрицы и действия над ними

Оператор суммирования и его свойства

Перестановки

Определение определителя

Свойства определителя n-го порядка

Миноры и алгебраические дополнения

Вычисление определителей

Матрицы и операции над матрицами

Матрицы

Операции над матрицами

Сложение матриц

Умножение матрицы на число

Линейное пространство строк

Линейная зависимость

Правило сокращенного суммирования

Умножение матриц

О порядке суммирования

Транспонирование матрицы

Элементарные преобразования матрицы