Область определения функции егэ математика

Поиск

Всего: 31    1–20 | 21–31

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 31    1–20 | 21–31

Цели: систематизировать, обобщать знания
учащихся, проверить уровень знаний по теме.

Развивать целеустремленность в достижении
поставленной задачи, честность в оценке своих
знаний и знаний товарищей, умения объяснять и
доступно рассказывать подготовленный материал.

Воспитывать познавательную активность,
культуру общения.

Цитата занятия: “Пока законы математики
остаются определенными, они не имеют ничего
общего с реальностью; как только у них появляется
нечто общее с реальностью, они перестают быть
определенными”.

Альберт Эйнштейн.

Ход занятия

1. Орг. момент. Проверить готовность учащихся
к занятию.

2. Теоретическая часть вопроса. Материал
подготовил и отвечал ученик.

Я хотел бы напомнить общие сведения о понятии
области определения функции.

– Рассмотрим числовое множество Х и
правило f, позволяющее поставить в
соответствие каждому элементу х на множестве
Х определенное число у, то говорят, что
задана функция у = f(x) с областью определения Х.
Пишут

у = f(x), х Х.

Областью определения функции, заданной
некоторым выражением, называется множество
значений аргумента, при которых можно выполнить
все действия в записи функции. Значения
аргумента, принадлежащие области определения
функции, называются допустимыми значениями.

Для области определения функции используют
обозначение D(y).

Если f(x) – алгебраическое выражение и
область определения функции у = f(x) совпадает
с областью определения этого выражения (такую
область определения называют естественной), то
вместо записи у = f(x), х Х используют более короткую
запись: у = f(x).

Для нахождения области определения функции
следует исключить те значения аргумента, при
которых указанные действия невозможно
выполнить. Невозможно, например, делить на нуль;
извлекать корень четной степени из
отрицательного числа; вычислять логарифм
отрицательного числа и нуля; вычислять логарифм
по отрицательному основанию и основанию, равному
нулю и единице; возводить нуль в степень нуля;
возводить отрицательное число в иррациональную
степень; вычислять arcsin x, arсcos x, если |x|>1.

3. Рассмотрение вопроса на примерах. Материал
подготовил и рассказывал ученик.

Я хотел бы рассмотреть некоторые важные
моменты при нахождении области определения:

1) знаменатель дробного выражения не должен
обращаться в нуль. Например: у = 1/х,
область определения состоит из всех х 0;

у = sin x/cos x, область определения
состоит из всех х, для которых cos x 0, т.е. из (n = 0, 1, 2, …):

2) выражение, находящееся под знаком корня
четной степени, должно быть неотрицательным.
Например: у = , область определения x-50, x5;

у = ,
область определения + 2х – 3 0, т.е. х -3 и х
1;

3) выражение, находящееся под знаком логарифма
должно быть положительным. Например: у = lg(2-х),
область определения 2-х >0, т.е. х < 2.

4) основание логарифма должно быть больше нуля и
не равным единице. Например: у = log_х+27,
область определения х + 2 > 0 и х + 2 1, т.е. х > -2 и х
– 1;

5) выражение, возводимое в иррациональную
степень, должно быть неотрицательным. Например: у
= ,
область определения х 0;

6) выражение стоящее под знаком функций arcsin и
arсcos, по абсолютной величине не должно быть
больше единицы. Например: у = arcsin(lg х),
область определения |lg x| 1 т.е. 0,1 х 10;

7) выражение, стоящее под знаком тангенса и
секанса, не должно равняться , где k = 0, 1, 2, 3, …;

8)выражение, находящееся под знаком котангенса
или косеканса, не должно равняться , где k =0, 1, 2, 3, …;

9)степенно-показательная функция считается
определенной, когда основание положительно.
Точки, в которых основание равно нулю, включаются
в область определения, если показатель в этих
точках отличен от нуля.

Этот вопрос я подготовил пользуясь пособием по
математике (авторы: М.Н.Горейко, А.Б. Антоневич)

4. Примеры нахождения D(y). Материал
подготовил и рассмотрел перед классом ученик.

Найти области определения функций:

1. у = (.

Решение. Так как sin x принимает и
иррациональные значения, то x + 0, т.е. х . Кроме того, х не
должен обращаться в , так как при х = и основание, и показатель
степени обращаются в нуль. Область определения
функции

у = (
есть х > .




2. у = .

Решение. Области определения этой функции
принадлежат те х, при которых определен и 0. Для этого
нужно, чтобы 1.
Но последнее неравенство справедливо лишь в
точках х = 0, 1, 2, … . Таким образом,
только в этих точках можно выполнить все
действия в записи функции и, значит, область
определения этой функции состоит только из целых
чисел.

3. у = log_{х – 1}(х² + х – 2).

Решение. Логарифм определен только для
положительных оснований, не равных единице.
Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно
дыть положительным. Поэтому получаем систему:

х -1 > 0;

х² – х – 2 > 0;

х – 1 1.

Решая эту систему, находим область определения:

х > 1, х 2.

5. Метод Мажорант (метод оценки). Решение
уравнений.

Материал рассмотрен учителем вместе с
учениками.

Метод, который имел место быть во всех ЕГЭ по
математике. Отметим этот метод, как начальный
олимпиадный.

Основная идея метода мажорант состоит в
следующем:

Пусть мы имеем уравнение и существует такое число М,
что для любого х из области определения имеем . Тогда уравнение
равносильно
системе

Пример 1 Решите уравнение .

Решение. Оценим обе части уравнения.

При всех значениях х верны неравенства . Следовательно,
данное уравнение равносильно системе . Полученная
система не имеет решений, так как не удовлетворяет второму
уравнению.

Ответ: нет решений.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Оценим обе части уравнения.

Поскольку ,
равенство
выполняется тогда и только тогда, когда . Решением
первого уравнения системы являются значения . При этих х
найдем .
Следовательно, решение системы.

Ответ: .

Пример 3 Решить уравнение .

Решение.

Пусть , тогда
уравнение примет вид . Поскольку и ,
неравенство выполняется тогда и только тогда,
когда .
Обратная замена: х + 1 = 0 .

Ответ: – 1.

Пример 4. Найти все значения параметра а,
при каждом из которых уравнение имеет решения. Найдите эти
решения.

Решение.

Перепишем уравнение в виде . При всех значениях х
выражение
поэтому .

При всех значения х выражения и . Поэтому .

Следовательно, левая часть уравнения не меньше
4, а правая часть – не больше 4.

Получаем систему:

Ответ: при .

Разновидностью метода мажорант являются
задачи (“встреча на краю”) в которых множества
значений левой и правой частей уравнения или
неравенства имеют единственную общую точку,
являющуюся наибольшим значением для одной части
и наименьшим для другой. 

Прежде всего – привести заданные уравнения или
неравенства к более простому виду: путем
разложения на множители, избавлением от модулей,
логарифмов и т.д. Затем необходимо ещё раз
внимательно прочитать задание, попробовать
нарисовать графический образ функций входящих в
задачу.

Пример 1. Решить уравнение .

1 способ.

Решение: Заметим, что левая часть уравнения
не превосходит единицы, в то время как правая
часть не меньше единицы. Следовательно, исходное
уравнение имеет решение, только если обе его
части равны единицы. Это возможно только при .

Ответ: .

2 способ. Данное уравнение можно решить
графически. Для этого построим в одной системе
координат графики правой и левой частей
уравнения, т.е график функции и график функции . Из рисунка видно, что
исходное уравнение имеет решение, только при .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Так как при любом значении х: то данное уравнение
выполняется только в том случае, если
выполняется система . Первое уравнение системы имеет
единственный корень х = 1, но этот корень не
удовлетворяет второму уравнению. Поэтому
система решений не имеет.

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение:

Так как , то
левая часть уравнения принимает значение от до 2. Для правой
части (в силу неравенства для суммы двух взаимно
обратных чисел) выполнено .

Поэтому уравнение имеет решения, если и только
если одновременно выполнены два условия . Решая эту
систему, получаем

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Левая часть уравнения не больше 2, так как , значит . Равенство
возможно при условии .

Правая часть должна быть положительна, так как , а значит .

Кроме того, .

Тогда равенство обеих частей уравнения
возможно лишь при условии .

Отсюда находим, что .

Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение .

Решение.

Для решения уравнения оценим его части: и . Поэтому равенство
возможно только при условии.

Сначала решим второе уравнение.

Получаем: , , , или . Корни этого уравнения и .

Проверим справедливость первого
равенства, подставив эти корни.

При
получаем:
(верное равенство).

Для
имеем: (неверное
равенство).

Итак, данное уравнение имеет
единственный корень .

Ответ: 0.

6. Подведем итоги занятия. Оценим выступление
учащихся.

Исследование графика функции

На рисунке изображен график функции . Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

• область определения функции;
• область значений функции;
• нули функции;
• промежутки возрастания и убывания;
• точки максимума и минимума;
• наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Уточним терминологию:

Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
Ордината — координата по вертикали.
Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось X.
Ось ординат — вертикальная ось, или ось Y.

Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается x.
Другими словами, мы сами выбираем x, подставляем в формулу функции и получаем y.

Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента x, при которых функция существует.
Обозначается: D(f) или D(y).

На нашем рисунке область определения функции  — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок  — от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .

Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества  можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция возрастает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.

Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению  соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции.

Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке  — точка максимума.

Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке  — точка минимума.

Точка  — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и  на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это  и .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .

Можно сказать, что экстремумы функции равны  и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно  и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно разбираться в определенных понятиях и находить весомые аргументы и методы решения, что и предложено данной статьей. Будут рассмотрены  различные сложнейшие комбинации функций вида y=x+x-2 или y=5·x2+1·x3, y=xx-5 или y=x-15-3. Рассмотрим теорию  и решим несколько примеров с подобными заданиями, чтобы вам больше не нужно было определять все это онлайн.

Что значит найти область определения

После того как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y=f(x) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.

Область определения и область значения можно найти и для кубического корня (куб. √), к примеру, для x+2. 

Ограничение области определения

Область определения функции или ООФ рассматривается еще в школьном курсе алгебры. У действительных чисел она может быть (0, +∞) или такой [−3, 1)∪[5, 7). Еще по виду функции можно визуально узнавать ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:

При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом (и это не с калькулятором). Рассмотрим пример функции вида y=x4+2·x2-x+12+223·x. Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.

Правила нахождения области определения

Для примера рассмотрим функцию типа y=2·x+1. Для вычисления ее значения можем определить x. Из выражения 2·x+1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.

Если задана функция типа y=3x-1, а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3x-1знаменатель равняется нулю при х=1, поэтому искомая область определения данной функции примет вид (−∞, 1)∪(1, +∞) и считается числовым множеством.

На рассмотрении примера y=x2-5·x+6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x2−5·x+6≥0. После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как (−∞, 2]∪[3, +∞).

При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно иметь следующее утверждение:

Когда функция ff считается суммой n функций f1, f2, …, fn_, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y=f1(x)+f2(x)+…+fn(x), тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций  f1, f2, …, fn_. Данное утверждение можно записать как:

D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)

Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом, чтобы понимать понимания перечисления числовых множеств.

Чтобы найти  область определения произведения функций необходимо применять правило:

Необходимо остановиться на нахождении области определения y=C·f(x), где С является действительным числом.  Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими. 

Функция y=C·f(x) – произведение постоянной функции и f. Область определения – это все действительные числа области определения D(f). Отсюда видим, что область определения функции y=C·f(x) является -∞, +∞D(f)=D(f).

Естестввенным образом получили, что область определения y=f(x) и y=C·f(x), где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y=x считается [0, +∞), потому как область определения функции y=-5·x — [0, +∞).

Области определения y=f(x) и y=−f(x) совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.

Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 является множество действительных чисел.

Рассмотрим y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, где  в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы (n+1)-ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R.

Область определения сложной функции

Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида  y=f1(f2(x)). Известно, что D(f) является множеством всех x из определения функции f2, где область определения f2(x) принадлежит области определения f1.

Видно, что область определения сложной функции вида y=f1(f2(x)) находится на пересечении двух множеств таких, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). В стандартном обозначении это примет вид

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y=f1(f2(…fn(x)))). Область определения такой функции ищется из x∈D(fn)fn(x)∈D(fn-1)fn-1(fn(x))∈D(fn-2)…f2(f3(…(fn(x)))∈D(f1).

При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.

Область определения дроби

Рассмотрим функцию вида f1(x)f2(x). Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f2(х) не должна обращаться  в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Запишем функцию y=f1(x)f2(x) в виде y=f1(x)·(f2(x))-1. Тогда получим произведение функций вида y=f1(x) с y=(f2(x))-1. Областью определения функции y=f1(x) является множество D(f1), а для сложной y=(f2(x))-1 определим из системы вида x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f2)f2(x)≠0.

Значит, x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Действия с корнями

Корни в математике, в частности, функцию с корнем можно определить следующим образом:

y=n√x. N здесь — натуральное число, большее за единицу.

Область определения корня зависит от того, каков показатель: четный или нечетный.

Если n является четным числом (n=2m). Это значит, что область определения представляет собой множество всех неотрицательных действительных чисел.

Если показатель корня — нечетное число, большее за единицу (n=2m+1 и m принадлежит к n), то областью определения корня будет множество всех действительных чисел.

Также важным является вопрос, как складывать корни.

Сложение и вычитание корней возможно при условии наличия одинакового подкоренного выражения. К примеру, сложение и вычитание корней возможно 2√3 и 4√3. Можно ли складывать корни или вычитать в случае 2√3 и 2√5? Ответ — нет.

Как решать корни во втором случае? Вы можете упростить подкоренное выражение и привести их корни к одинаковому подкоренному выражению. После этого вы сможете как считать корни, так и вычитать корни.

К основным действиям с корнями относят:

• умножение корней;
• деление корней;
• корень минус корень или плюс.

Область определения логарифма с переменной в основании

К аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1. После чего можно приступать к области определения дробной функции.

Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y=logaf1(x) и y=logaf2(x) можно определить из получившейся системы вида x∈D(f1)f1(x)>0 и x∈D(f2)f2(x)>0. Иначе эту область можно записать в виде y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1, что означает нахождение y=logf2(x)f1(x) из самой системы вида

x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0logaf2(x)≠0=x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1

Область определения показательно-степенной функции

Показательно-степенная функция задается формулой вида y=(f1(x))f2(x).  Ее область определения  включает в себя такие значения x, которые удовлетворяют системе x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.

Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y=aloga(f1(x))f2(x)=af2(x)·logaf1(x), где где a>0, a≠1.

В общем случае

Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.

Таблицы основных результатов

Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.

Расположим функции и их области определения.

Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y=x2-4x-2 и y=x+2 являются разными функциями, так как первая определяется на (−∞, 2)∪(2, +∞),  а вторая из множества действительных чисел.  Из преобразования y=x2-4x-2=x-2x+2x-2=x+2 видно, что  функция имеет смысл при x≠2.

• Курс