Памятка по геометрии для егэ

Алгебра — ЕГЭ                Тригонометрия — ЕГЭ                Геометрия — ЕГЭ                Стереометрия — ЕГЭ                Алгебра — ОГЭ                Геометрия — ОГЭ

Шпаргалка по геометрии для ЕГЭ

Формулы по геометрии для ЕГЭ

Сборник формул по геометрии

Формулы для четырехугольников

Формулы для окружности

Геометрия на ЕГЭ по математике

Геометрия на профильном ЕГЭ по математике — одна из сложных тем для абитуриентов. Дело в том, что когда-то экзамен по геометрии в школе был обязательным, а сейчас — нет. В результате у большинства абитуриентов знания по геометрии близки к нулю.

Геометрия на профильном ЕГЭ — это три задачи в части 1 (сюда входит и планиметрия, и стереометрия), а также задача 14 (стереометрия) и для многих недосягаемая задача 16 (геометрия) из второй части. Как же научиться их решать?

Начнем с планиметрии. Прежде всего, выучите основные формулы геометрии.

На нашем сайте вы найдете курс геометрии с нуля — основные определения, формулы и теоремы, а также разбор множества экзаменационных задач по геометрии из части 1.

Для решения задач по геометрии из части 2 нужна более серьезная подготовка.

Первый этап — теория. Необходимый материал есть в учебнике по геометрии за 7-9 класс (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян). Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.

Программа по геометрии.

1. Треугольники. Элементы треугольника. Вершины и стороны. Высоты, медианы, биссектрисы (определения).

2. Построение треугольника: практические задания.
а) Три стороны треугольника равны  и  сантиметров соответственно. Постройте треугольник с помощью циркуля и линейки.
б) В треугольнике угол  равен  градусов, сторона  равна ,  равна . Постройте треугольник .
в) В треугольнике сторона  равна , угол  равен , угол  равен . Постройте треугольник .

3. Три признака равенства треугольников. Неравенство треугольника.

4. Постройте с помощью циркуля и линейки:
а) серединный перпендикуляр к отрезку;
б) биссектрису угла.

5. Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Их определение и свойства.

6. Теорема о сумме углов треугольника.

7. Внешний угол треугольника.

8. Постройте в одном и том же треугольнике
а) Три высоты. Рассмотрите также случаи тупоугольного и прямоугольного треугольника.
б) Три биссектрисы.
в) Три медианы.

9. Равнобедренный треугольник. Определение и свойства. Высота в равнобедренном треугольнике.

10. Средняя линия треугольника и ее свойства.

11. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

12. Определения синуса, косинуса и тангенса:
— для острого угла прямоугольного треугольника;
— для произвольного угла.

13. Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника.

14. Параллелограмм. Определение и свойства. Площадь параллелограмма.

15. Виды параллелограммов и их свойства (ромб, прямоугольник, квадрат).

16. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции.

17. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников.

18. Площадь треугольника. Формулы    и  .

19. Теоремы синусов и косинусов.

20. Чему равно отношение площадей подобных фигур.

21. Свойство медианы (в каком отношении делятся медианы в точке пересечения?)

22. Свойство биссектрисы (в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?)

23. Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга. Длина дуги и площадь сектора.

24. Теорема о радиусе, проведенном в точку касания.

25. Центральный и вписанный углы. Связь между ними.

26. Теоремы о вписанных углах.

27. Теорема о пересекающихся хордах.

28. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной точки.

29. Теорема о секущей и касательной.

30. Дан треугольник . Постройте:
а) окружность, вписанную в данный треугольник;
б) окружность, описанную вокруг данного треугольника.
Где находятся центры этих окружностей?

31. Еще три формулы площади треугольника (через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формула Герона).

32. Когда можно вписать окружность в четырехугольник? Когда — описать вокруг четырехугольника?

Программа по стереометрии

Разбирая и решая задания ЕГЭ по геометрии, вы заметите очень интересную вещь. Простые задачи из части 1, разобранные на нашем сайте, часто оказываются базовыми схемами, на которых строятся сложные задачи из части 2 профильного ЕГЭ.

Решая на ЕГЭ задачи по геометрии, обращайте особое внимание на оформление. Помните совет, который дал абитуриентам автор бестселлера «Математика — абитуриенту» В. В. Ткачук. Вот он, этот ценнейший совет:

«Подробность решения должна быть такова, чтобы его мог понять человек в 10 (десять) раз глупее вас».

Треугольник

Треугольник — это замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев, и часть плоскости, ею ограниченная.

В дальнейшем используются следующие обозначения:

a ,b, c  — длины сторон DC, AC, AB треугольника ABC соответственно;

 — полупериметр треугольника ABC;

Неравенство треугольника — в любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны: a + b > c, b +c > a, a + c > b

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине: , .

Пусть c — наибольшая из трех сторон треугольника, тогда:  если c² < a²  + b² , то треугольник остроугольный; если,   c² = a² +b²,  то треугольник прямоугольный; если c² > a² +b² , то треугольник тупоугольный.

Теорема. Сумма углов треугольника равна : .

Следствие: В треугольнике не может быть более одного тупого или прямого угла.

Внешний угол — угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника.

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Теорема синусов. Отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла для данного треугольника есть величина постоянная и равная диаметру описанной около треугольника окружности: 

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: .

Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине: , .

Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Длины высот находятся по следующим формулам: , .

Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

Теорема. Если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от его концов.

Верно и обратное утверждение: если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, описанной вокруг треугольника.

Если треугольник остроугольный, центр описанной окружности лежит строго внутри треугольника. Если треугольник прямоугольный, центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Если треугольник тупоугольный, центр описанной окружности лежит вне треугольника.

Радиус описанной окружности может быть найден по формулам: , .

Биссектриса треугольника

Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий  угол на две равные части.

Биссектрисой угла треугольника называется отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

Теоремы:

  Биссектриса угла треугольника — множество точек, равноудаленных от сторон угла.

  Биссектриса делит сторону, к которой она проведена на отрезки, пропорциональные боковым сторонам: .

  Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношении суммы сторон треугольника, образующих угол, в котором проведена биссектриса, к третьей стороне: .

  Длина биссектрисы равна: .

  Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной в треугольник окружности. Радиус вписанной окружности может быть найден по формулам: 

Медиана треугольника

Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой ее противоположной стороны.

Теоремы:

  Медиана, проведенная из вершины треугольника, делит его на два равновеликих: .

  Медианы пересекаются в одной точке, называемой центроидом треугольника, и точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.

  Отрезки медиан, соединяющие вершины с центроидом, делят треугольник на три равновеликих: .

  Пересекаясь, медианы делят треугольник на шесть равновеликих: .

  Длина медианы, проведенной к стороне  равна: .

Признаки равенства и подобия треугольников

Признаки равенства треугольников

Теорема (первый признак равенства треугольников). 
Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (второй признак равенства треугольников). 
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (третий признак равенства треугольников). 
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки подобия треугольников

Подобными называются треугольники, у которых углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: , , где  — коэффициент подобия.

I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

II признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

III признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Следствие: Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: .

Равносторонний треугольник и его свойства

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны: .

Теоремы:

Равнобедренный треугольник и его свойства

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием треугольника.

Теоремы:

Прямоугольный треугольник и его свойства

Теорема Пифагора: .

Решение прямоугольного треугольника:

;

;

.

Теоремы:

  Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки: . Эти отрезки являются проекциями катетов на гипотенузу.

  Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу: .

  Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных и подобных исходному треугольнику

  Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна отношению произведения длин катетов и гипотенузы: .

  Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Ее основание является центром описанной около прямоугольного треугольника окружности. Радиус описанной окружности равен этой медиане и равен половине гипотенузы: .

  Радиус вписанной окружности равен половине суммы катетов, уменьшенной на гипотенузы: .

  Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:  или вычисляется по любой из  формул для вычисления площади произвольного треугольника.

Формулы для   вычисления площади треугольника

  Площадь треугольника равна: . 

  Площадь треугольника равна: . 

  Формула Герона: . 

  Площадь треугольника равна: . 

  Площадь треугольника равна: . 

Если в треугольнике одну из сторон изменить в  раз, а другую в  раз, оставив без изменения угол между ними, то площадь получившегося треугольника изменится в  раз. 

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения длин сторон, заключающих равные углы.

Справочник

«ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ГЕОМЕТРИИ»

Содержание:

1.    
Теоремы базового уровня……………………………………….3 – 11 стр.

1.1.                
Теорема Фалеса Милетского……………………………..……3 стр. 1.2. Теорема
Пифагора………………………………………………3 стр. 1.3.
Теорема синусов………………………………………………..4 стр. 1.4. Теорема косинусов……………………………………………..4 стр.

1.5.         
Теорема биссектрис…………………………………………….5 стр.

1.6.         
Теорема о пересечении медиан треугольника……………..…5 стр. 1.7. Теорема о высотах
треугольника………………………………5 стр. 1.8.
Площади треугольников……………………………….………6 стр.

1.9.            
Вписанный и центральный углы……………………………….7 стр.

1.10.       
Вписанная окружность треугольника………………………..8 стр.

1.11.       
Описанная окружность треугольника……………………..…8 стр.

1.12.       
Вневписанная окружность треугольника……………………..8 стр. 1.13.  Площади
четырехугольников……….……………………..….9 стр.

1.14.       
Вписанный четырехугольник………………..………………10 стр.

1.15.       
Описанный четырехугольник…………..……………………10 стр.

1.16.       
Теорема о двух секущих……..………………………………11 стр. 1.17. Теорема о касательной и
секущей……………………………11 стр.

1.18. Теорема
о двух хордах………………………………………..11 стр.

2.    
Теоремы профильного уровня…………………………………12 – 13  стр.

2.1.                
Теорема Менелая………………………………………………12 стр. 2.2. Теорема
Чевы…………………………………………………..12 стр.

2.3.         
Теорема Ван – Обеля………………………………………….12 стр.

2.4.         
Теорема Стюарта………………………………………………13 стр.

2.5.         
Теорема Птолемея…………………………………………….13 стр.

2.6.         
Теорема Аполлония……………………………………………13 стр.

Теорема Фалеса
Милетского «Несколько параллельных прямых a║b║c║d и т.д., отсекающие на
одной из сторон угла равные отрезки, и на другой стороне угла также отсекающие
на одной из сторон угла равные отрезки, и на другой стороне угла также отсекают
равные отрезки»

 

Теорема Пифагора

1.     Квадрат
гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

2.     Если
квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то
треугольник – прямоугольный.

 

 

Теорема синусов

Пусть a, b, c – стороны треугольника; α, β, γ –
противолежащие им углы; R – радиус описанной окружности. Тогда: 

 

Теорема косинусов

Пусть a, b, c – стороны треугольника; α –  угол,
противолежащий стороне a. Тогда: 

α

Теорема биссектрис

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на два
отрезка, длины которых относятся так же, как длины соответствующих сторон.

Теорема о пересечении медиан треугольника

В треугольнике три медианы пересекаются в одной точке. Точка
пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, если считать от вершины, из
которой проведена медиана. 

 

Теорема о высотах треугольника

В треугольнике высоты пересекаются в одной точке.

Площади треугольников

 

 ;

;

;

 

(формула
Герона)

 где:

•            
a,b,c – стороны треугольника

•            
h_a – высота треугольника

•            
p – полупериметр треугольника

•            
r – радиус вписанной окружности

•            
R – радиус описанной окружности

•            
β – угол между сторонами 

Вписанный и центральный углы

Угол называется вписанным в окружность, если его вершина
лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

На рисунке вписанным углом является ABC.  

Центральным называется угол вершиной в центре окружности. На
рисунке центральным углом является угол AOC.

 

Вписанная окружность треугольника

В любой треугольник можно
вписать единственную окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник, совпадает
с точной пересечения его биссектрис. 

Описанная окружность треугольника

Около любого треугольника можно описать
единственную окружность. Центр окружности, описанной около треугольника,
совпадает с точкой пресечения серединных перпендикуляров к его сторонам

  

Вневписанная окружность треугольника

В любом треугольнике биссектрисы двух
внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются
в одной точке.

Площади четырехуголников

— площадь любого четырехугольника, где

•     
d₁ – первая диагональ

•     
d2 – вторая диагональ

•     
α – угол между диагоналями

    —     площадь     четырехугольника,

вписанного в окружность (формула Герона), где

•     
p – полупериметр четырехугольника

•     
a, b, c и d – стороны четырехугольника

S = ah_a – площадь паралелограмма, где

•     
a – основание паралелограмма

•     
h_a – высота, проведенная к основанию

S = ab sinβ – площадь параллелограмма, где

•     
a и b – стороны паралелограмма

•     
β – угол между смежными сторонами

S = ab – площадь прямоугольника, где

 a и b – стороны квадрата

S =  – площадь квадрата, где

 a – сторона квадрата

S = ah_a – площадь ромба, где

•     
a – сторона ромба

•     
h_a – высота, проведенная к стороне

S =   – площадь ромба, где

•     
a – сторона ромба

•     
β – угол между сторонами ромба

Вписанный четырехугольник

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только
тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180.

 

                                                                     

Описанный четырехугольник

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и
только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

 

DC   
+ AB = DA + BC

Теорема о двух секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие,
то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой
секущей на ее внешнюю часть: 

 

MAMB = MC  MD 

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности
проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен
произведению секущей на ее внешнюю часть

                                                                     MC²
= MA  MB

M

                                                 B
                               

Теорема о двух
хордах Если две хорды окружности AB и CD пересекаются в точке S, то
произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. AS  SD = CS  SB                 

                                                           D
                                

AS  SD = CS  SB

A

Теорема Менелая

 

Теорема Чевы

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на
противоположной стороне или ее продолжении, называется  чевианой.

 

Теорема Ван-Обеля

 

Теорема Стюарта

 

py

                                               a
                                                                                               

Теорема
Птолемея

Если
четырехугольник вписан в окружность, то

                                    AB+ AD = AC  

Теорема Аполлония

                                                             A
             Если AD – медиана треугольника ABC, то

Желаем вам успехов!

ЕГЭ по математике профиль