Вариант реального ЕГЭ Профильного уровня 25.06.2018 (резервный день)
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи с параметром из ЕГЭ прошлых лет
Задание
1
#6329
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых система [begin{cases} (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\
y^2=x^2end{cases}]
имеет ровно четыре решения.
(ЕГЭ 2018, основная волна)
Второе уравнение системы можно переписать в виде (y=pm x). Следовательно, рассмотрим два случая: когда (y=x) и когда (y=-x). Тогда количество решений системы будет равно сумме количества решений в первом и во втором случаях.
1) (y=x). Подставим в первое уравнение и получим: [2x^2-2(3a+2)x+(2a+2)^2+a^2-1=0quad(1)] (заметим, что в случае (y=-x) мы поступим так же и тоже получим квадратное уравнение)
Чтобы исходная система имела 4 различных решения, нужно, чтобы в каждом из двух случаев получилось по 2 решения.
Квадратное уравнение имеет два корня, когда его (D>0). Найдем дискриминант уравнения (1):
(D=-4(a^2+4a+2)).
Дискриминант больше нуля: (a^2+4a+2<0), откуда (ain (-2-sqrt2;
-2+sqrt2)).
2) (y=-x). Получаем квадратное уравнение: [2x^2-2(a+2)x+(2a+2)^2+a^2-1=0quad (2)] Дискриминант больше нуля: (D=-4(9a^2+12a+2)>0), откуда (ain
left(frac{-2-sqrt2}3; frac{-2+sqrt2}3right)).
Необходимо проверить, не совпадают ли решения в первом случае с решениями во втором случае.
Пусть (x_0) – общее решение уравнений (1) и (2), тогда [2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=2x_0^2-2(a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1] Отсюда получаем, что либо (x_0=0), либо (a=0).
Если (a=0), то уравнения (1) и (2) получаются одинаковыми, следовательно, имеют одинаковые корни. Этот случай нам не подходит.
Если (x_0=0) – их общий корень, то тогда (2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0), откуда ((2a+2)^2+a^2-1=0), откуда (a=-1) или (a=-0,6). Тогда вся исходная система будет иметь 3 различных решения, что нам не подходит.
Учитывая все это, в ответ пойдут:
[ainleft(dfrac{-2-sqrt2}3; -1right)cupleft(-1;
-0,6right)cupleft(-0,6; -2+sqrt2right)]
Ответ:
(ainleft(frac{-2-sqrt2}3; -1right)cupleft(-1;
-0,6right)cupleft(-0,6; -2+sqrt2right))
Задание
2
#4032
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения (a), при каждом из которых система [begin{cases}
(a-1)x^2+2ax+a+4leqslant 0\
ax^2+2(a+1)x+a+1geqslant 0 end{cases}]
имеет единственное решение.
(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018)
Перепишем систему в виде: [begin{cases}
ax^2+2ax+aleqslant x^2-4\
ax^2+2ax+ageqslant -2x-1
end{cases}] Рассмотрим три функции: (y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2), (g=x^2-4), (h=-2x-1). Из системы следует, что (yleqslant g), но (ygeqslant
h). Следовательно, чтобы система имела решения, график (y) должен находиться в области, которая задается условиями: “выше” графика (h), но “ниже” графика (g):
(будем называть “левую” область областью I, “правую” область – областью II)
Заметим, что при каждом фиксированном (ane 0) графиком (y) является парабола, вершина которой находится в точке ((-1;0)), а ветви обращены либо вверх, либо вниз. Если (a=0), то уравнение выглядит как (y=0) и графиком является прямая, совпадающая с осью абсцисс.
Заметим, что для того, чтобы исходная система имела единственное решение, нужно, чтобы график (y) имел ровно одну общую точку с областью I или с областью II (это значит, что график (y) должен иметь единственную общую точку с границей одной из этих областей).
Рассмотрим по отдельности несколько случаев.
1) (a>0). Тогда ветви параболы (y) обращены вверх. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола (y) касалась границы области I или границы области II, то есть касалась параболы (g), причем абсцисса точки касания должна быть (leqslant
-3) или (geqslant 2) (то есть парабола (y) должна коснуться границы одной из областей, которая находится выше оси абсцисс, раз парабола (y) лежит выше оси абсцисс).
(y’=2a(x+1)), (g’=2x). Условия касания графиков (y) и (g) в точке с абсциссой (x_0leqslant -3) или (x_0geqslant 2): [begin{cases}
2a(x_0+1)=2x_0\
a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \
left[begin{gathered}begin{aligned} &x_0leqslant -3\
&x_0geqslant 2 end{aligned}end{gathered}right. end{cases}
quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
left[begin{gathered}begin{aligned} &x_0leqslant -3\
&x_0geqslant 2 end{aligned}end{gathered}right.\[1ex]
a=dfrac{x_0}{x_0+1}\[1ex]
x_0^2+5x_0+4=0 end{cases}] Из данной системы (x_0=-4), (a=frac43).
Получили первое значение параметра (a).
2) (a=0). Тогда (y=0) и видно, что прямая имеет бесконечное множество общих точек с областью II. Следовательно, это значение параметра нам не подходит.
3) (a<0). Тогда ветви параболы (y) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола (y) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку (B), причем, если парабола (y) будет иметь еще одну общую точку с прямой (h), то эта общая точка должна быть “выше” точки (B) (то есть абсцисса второй точки должна быть (<1)).
Найдем (a), при которых парабола (y) проходит через точку (B): [-3=a(1+1)^2quadRightarrowquad a=-dfrac34] Убеждаемся, что при этом значении параметра вторая точка пересечения параболы (y=-frac34(x+1)^2) с прямой (h=-2x-1) – это точка с координатами (left(-frac13; -frac13right)).
Таким образом, получили еще одно значение параметра.
Так как мы рассмотрели все возможные случаи для (a), то итоговый ответ: [ain left{-dfrac34; dfrac43right}]
Ответ:
(left{-frac34; frac43right})
Задание
3
#4013
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых система уравнений [begin{cases}
2x^2+2y^2=5xy\
(x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 end{cases}]
имеет ровно два решения.
(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 26 января 2018)
1) Рассмотрим первое уравнение системы как квадратное относительно (x): [2x^2-(5y)x+2y^2=0] Дискриминант равен (D=9y^2), следовательно, [x_{1,2}=dfrac{5ypm 3y}4quadRightarrow quad x_1=2y, quad x_2=dfrac12y] Тогда уравнение можно переписать в виде [(x-2y)cdot (2x-y)=0] Следовательно, всю систему можно переписать в виде [begin{cases}
left[begin{gathered}begin{aligned} &y=2x\[1ex]
&y=0,5xend{aligned}end{gathered}right.\[1ex]
(x-a)^2+(y-a)^2=5a^4end{cases}] Совокупность задает две прямые, второе уравнение системы задает окружность с центром в ((a;a)) и радиусом (R=sqrt5a^2). Чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы окружность пересекала график совокупности ровно в двух точках. Вот чертеж, когда, например, (a=1):
Заметим, что так как координаты центра окружности равны, то центр окружности “бегает” по прямой (y=x).
2) Так как у прямой (y=kx) тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси (Ox) равен (k), то тангенс угла наклона прямой (y=0,5x) равен (0,5) (назовем его (mathrm{tg},alpha)), прямой (y=2x) – равен (2) (назовем его (mathrm{tg},beta)). Заметим, что (mathrm{tg},alphacdot
mathrm{tg},beta=1), следовательно, (mathrm{tg},alpha=mathrm{ctg},beta=mathrm{tg},(90^circ-beta)). Следовательно, (alpha=90^circ-beta), откуда (alpha+beta=90^circ). Это значит, что угол между (y=2x) и положительным направлением (Oy) равен углу между (y=0,5x) и положительным направлением (Ox):
А так как прямая (y=x) является биссектрисой I координатного угла (то есть углы между ней и положительными направлениями (Ox) и (Oy) равны по (45^circ)), то углы между (y=x) и прямыми (y=2x) и (y=0,5x) равны.
Все это нам нужно было для того, чтобы сказать, что прямые (y=2x) и (y=0,5x) симметричны друг другу относительно (y=x), следовательно, если окружность касается одной из них, то она обязательно касается и второй прямой.
Заметим, что если (a=0), то окружность вырождается в точку ((0;0)) и имеет лишь одну точку пересечения с обеими прямыми. То есть этот случай нам не подходит.
Таким образом, для того, чтобы окружность имела 2 точки пересечения с прямыми, нужно, чтобы она касалась этих прямых:
Видим, что случай, когда окружность располагается в третьей четверти, симметричен (относительно начала координат) случаю, когда она располагается в первой четверти. То есть в первой четверти (a>0), а в третьей (a<0) (но такие же по модулю).
Поэтому рассмотрим только первую четверть.
Заметим, что (OQ=sqrt{(a-0)^2+(a-0)^2}=sqrt2a), (QK=R=sqrt5a^2). Тогда [OK=sqrt{2a^2-5a^4}] Тогда [mathrm{tg},angle
QOK=dfrac{sqrt5a^2}{sqrt{2a^2-5a^4}}] Но, с другой стороны, [mathrm{tg},angle QOK=mathrm{tg},(45^circ-alpha)=dfrac{mathrm{tg},
45^circ-mathrm{tg},alpha}{1+mathrm{tg},45^circcdot
mathrm{tg},alpha}] следовательно, [dfrac{1-0,5}{1+1cdot 0,5}=dfrac{sqrt5a^2}{sqrt{2a^2-5a^4}}
quadLeftrightarrowquad a=pm dfrac15] Таким образом, мы уже сразу получили и положительное, и отрицательное значение для (a). Следовательно, ответ: [ain {-0,2;0,2}]
Ответ:
({-0,2;0,2})
Задание
4
#3278
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения (a), для каждого из которых уравнение [25^x-(a+6)cdot 5^x=(5+3|a|)cdot 5^x-(a+6)(3|a|+5)]
имеет единственное решение.
(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)
Сделаем замену (t=5^x, t>0) и перенесем все слагаемые в одну часть: [t^2-bigg((a+6)+(5+3|a|)bigg)cdot t+(a+6)(3|a|+5)=0] Получили квадратное уравнение, корнями которого по теореме Виета являются (t_1=a+6) и (t_2=5+3|a|). Для того, чтобы исходное уравнение имело один корень, достаточно, чтобы полученное уравнение с (t) тоже имело один (положительный!) корень.
Заметим сразу, что (t_2) при всех (a) будет положительным. Таким образом, получаем два случая:
1) (t_1=t_2): [a+6=5+3|a| quadLeftrightarrowquad 3|a|=a+1 quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
left[begin{gathered}begin{aligned} & 3a=a+1\
&3a=-a-1 end{aligned} end{gathered} right. \
a+1geqslant 0 end{cases}quadLeftrightarrowquad
left[begin{gathered}begin{aligned} & a=dfrac12\[2ex]
&a=-dfrac14 end{aligned} end{gathered} right.]
2) Так как (t_2) всегда положителен, то (t_1) должен быть (leqslant
0): [a+6leqslant 0 quadLeftrightarrowquad aleqslant -6.]
Ответ:
((-infty;-6]cupleft{-frac14;frac12right})
Задание
5
#3252
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых уравнение [sqrt{x^2-a^2}=sqrt{3x^2-(3a+1)x+a}]
имеет ровно один корень на отрезке ([0;1]).
(ЕГЭ 2017, резервный день)
Уравнение можно переписать в виде: [sqrt{(x-a)(x+a)}=sqrt{(3x-1)(x-a)}] Таким образом, заметим, что (x=a) является корнем уравнения при любых (a), так как уравнение принимает вид (0=0). Для того, чтобы этот корень принадлежат отрезку ([0;1]), нужно, чтобы (0leqslant
aleqslant 1).
Второй корень уравнения находится из (x+a=3x-1), то есть (x=frac{a+1}2). Для того, чтобы это число было корнем уравнения, нужно, чтобы оно удовлетворяло ОДЗ уравнения, то есть: [left(dfrac{a+1}2-aright)cdot
left(dfrac{a+1}2+aright)geqslant 0quadRightarrowquad
-dfrac13leqslant aleqslant 1] Для того, чтобы этот корень принадлежал отрезку ([0;1]), нужно, чтобы [0leqslant dfrac{a+1}2leqslant 1
quadRightarrowquad -1leqslant aleqslant 1] Таким образом, чтобы корень (x=frac{a+1}2) существовал и принадлежал отрезку ([0;1]), нужно, чтобы (-frac13leqslant aleqslant 1).
Заметим, что тогда при (0leqslant aleqslant 1) оба корня (x=a) и (x=frac{a+1}2) принадлежат отрезку ([0;1]) (то есть уравнение имеет два корня на этом отрезке), кроме случая, когда они совпадают: [a=dfrac{a+1}2quadRightarrowquad a=1] Таким образом, нам подходят (ain left[-frac13; 0right)) и (a=1).
Ответ:
(ain left[-frac13;0right)cup{1})
Задание
6
#3238
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых уравнение [xsqrt{x-a}=sqrt{6x^2-(6x+3a)x+3a}]
имеет единственный корень на отрезке ([0;1].)
(ЕГЭ 2017, резервный день)
Уравнение равносильно: [xsqrt{x-a}=sqrt{3a(1-x)}] ОДЗ уравнения: [begin{cases} xgeqslant 0\ x-ageqslant 0\3a(1-x)
geqslant 0end{cases}] На ОДЗ уравнение перепишется в виде: [x^3-a(x^2-3x+3)=0]
1) Пусть (a<0). Тогда ОДЗ уравнения: (xgeqslant 1). Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке ([0;1]), этот корень должен быть равен (1). Проверим: [1^3-a(1^2-3cdot 1+3)=0 quadRightarrowquad a=1.] Не подходит под (a<0). Следовательно, эти значения (a) не подходят.
2) Пусть (a=0). Тогда ОДЗ уравнения: (xgeqslant 0). Уравнение перепишется в виде: [x^3=0 quadRightarrowquad x=0] Полученный корень подходит под ОДЗ и входит в отрезок ([0;1]). Следовательно, (a=0) – подходит.
3) Пусть (a>0). Тогда ОДЗ: (xgeqslant a) и (xleqslant 1). Следовательно, если (a>1), то ОДЗ – пустое множество. Таким образом, (0<aleqslant 1) и при этих (a) ОДЗ: (aleqslant xleqslant
1). Следовательно, если корень подойдет по ОДЗ, то он попадет и в отрезок ([0;1]).
Рассмотрим функцию (y=x^3-a(x^2-3x+3)). Исследуем ее.
Производная равна (y’=3x^2-2ax+3a). Определим, какого знака может быть производная. Для этого найдем дискриминант уравнения (3x^2-2ax+3a=0): (D=4a(a-9)). Следовательно, при (ain (0;1]) дискриминант (D<0). Значит, выражение (3x^2-2ax+3a) положительно при всех (x). Следовательно, при (ain (0;1]) производная (y’>0). Следовательно, (y) возрастает. Таким образом, по свойству возрастающей функции уравнение (y(x)=0) может иметь не более одного корня.
Следовательно, для того, чтобы корень уравнения (точка пересечения графика (y) с осью абсцисс) находился на отрезке ([a;1]), нужно, чтобы [begin{cases} y(1)geqslant 0\
y(a)leqslant 0 end{cases}quadRightarrowquad ain [0;1]] Учитывая, что изначально в рассматриваемом случае (ain (0;1]), то ответ (ain (0;1]).
Итоговый ответ, полученный объединением ответов во всех трех случаях: [ain [0;1]]
Ответ:
([0;1])
Задание
7
#3267
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения (a), при каждом из которых уравнение [sqrt{1-4x}cdot ln(9x^2-a^2)=sqrt{1-4x}cdot ln (3x+a)]
имеет ровно один корень.
(ЕГЭ 2017, основная волна)
Данное уравнение можно переписать как [begin{cases}
sqrt{1-4x}cdot ln dfrac{(3x-a)(3x+a)}{3x+a}=0\[2ex]
3x+a>0end{cases} quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
sqrt{1-4x}cdot ln (3x-a)=0\
3x+a>0end{cases}] Система имеет два корня:
1) (x_1=frac14), если он удовлетворяет (3x+a>0) и (3x-a>0): [begin{cases}
dfrac34+a>0\[1ex]
dfrac34-a>0end{cases} quadLeftrightarrowquad
-dfrac34<a<dfrac34]
2) (x_2=frac{a+1}3), если он удовлетворяет (3x+a>0) и (1-4xgeqslant 0): [begin{cases}
a+1+a>0\[1ex]
1-dfrac43a-dfrac43geqslant 0end{cases}quadLeftrightarrowquad
-dfrac12<aleqslant -dfrac14]
Рассмотрим случаи, когда данная система имеет ровно один корень. Пусть (x_1ne x_2), то есть (ane -frac14).
1. Пусть (x_1=frac14) – единственное решение системы.
(x_1) будет корнем, если (-frac34<a<frac34), (x_2) не будет корнем, если (ain
left(-infty;-frac12right]cupleft(-frac14;+inftyright)). Пересекая эти значения, а также учитывая, что (ane -frac14), получаем: [ain left(-dfrac34;-dfrac12right]cupleft(-dfrac14;dfrac34right)] 2. Пусть (x_2=frac{a+1}3) – единственное решение системы.
(x_1) не будет корнем, если (ain
left(-infty;-frac34right]cupleft[frac34;+inftyright)), (x_2) будет корнем, если (-frac12<aleqslant -frac14). Пересекая эти значения, а также учитывая, что (ane -frac14), получаем: [ain varnothing]
Пусть (x_1=x_2). Тогда (a=-frac14). Заметим, что при этом значении что (x_1), что (x_2) являются решением, следовательно, оно нам подходит.
Итоговый ответ: [ain left(-dfrac34;-dfrac12right]cupleft[-dfrac14;dfrac34right)]
Ответ:
(ain
left(-dfrac34;-dfrac12right]cupleft[-dfrac14;dfrac34right)
)
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
02
Май 2018
Категория: 13 (С2) Стереометр. задачи
2018-05-02
2018-05-03
Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018
Смотрите также задания №13; №15; №16; №17; №18; №19
14. В правильной треугольной призме 
все рёбра равны 
. Точка 
— середина ребра 
.
а) Докажите, что прямые 
и 
перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми и .
Решение:
a) Пусть точка 
принадлежит прямой и 
Тогда 
Докажем, что 
это и будет означать, что прямые и перпендикулярны.
Из треугольника 
Из треугольника 
Из треугольника 
Так как
то по теореме, обратной теореме Пифагора, угол 
в треугольнике 
– прямой.
Итак, прямые и перпендикулярны.
б) Так как прямая 
параллельна плоскости 
то расстояние между прямыми и – есть расстояние от любой точки прямой (пусть от ) до плоскости 
Расстояние 
от до 
– длина высоты пирамиды 
с вершиной 
С одной стороны,
с другой стороны,
где 
– высота пирамиды c вершиной 
Поэтому,
Очевидно, расстояние от точки 
до плоскости 
равно длине высоты треугольника 
то есть 
Итак,
Ответ: б) 
Автор: egeMax |
Нет комментариев
| 1127 | 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей; к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.  Решение |
Основная волна вариант 991 01.06.2018 математика профиль Задание 17 !Задача 17 на банковский процент (резервный день 25.06.2018 вариант 751) | |
| 1123 | Точка E — середина стороны BC квадрата ABCD. Серединные перпендикуляры к отрезкам AE и EC пересекаются в точке O. а) Докажите, что /_AOE=90^@ б) Найдите BO:ODРешение |
Резервный день егэ 2018 математика профиль 25 июня Задание 16 Вариант 992! Ответы 25-06-2018 Задача 16 Вариант 992 | |
| 1122 | Решите неравенство 2log_{2}(1-2x)-log_{2}(1/x-2)<=log_{2}(4x^2+6x-1)Решение  График |
Резервный день егэ 2018 математика профиль 25 июня Задание 15 Вариант 751! Основная волна 01-06-2018 Задача 15 Вариант 991 | |
| 1121 | а) Решите уравнение (cos(x))^2+sin(x)=sqrt(2)*sin(x+pi/4) б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4pi; -(5pi)/2].Решение График |
Резервный день егэ 2018 математика профиль 25 июня Задание 13 вариант 751! 01-06-2018 основная волна Задача 13 Вариант 991 | |
| 1120 | Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение (2x-x^2)^2-4*sqrt(2x-x^2)=a^2-4a имеет хотя-бы один корень Решение График |
Резервный день егэ 2018 математика профиль 25 июня Задание 18 Вариант 502! Ответы 25-06-2018 Задача 18 Вариант 502 | |
| 1119 | В правильном тетраэдре ABC точка H — центр грани ABC, а точка M — середина ребра CD. а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны. б) Найдите угол между прямыми DH и BM.Решение |
Резервный день егэ 2018 математика профиль 25 июня Задание 14 вариант 992! Ответы 25-06-2018 Задача 14 Вариант 992 | |
| 1118 | Решите неравенство 2^(x+1)+0.5^(x-3)>=17Решение График |
Резервный день егэ 2018 математика профиль 25 июня Задание 15 вариант 992! Варианты и ответы 25-06-2018 Задача 15 | |
| 1117 | а) Решите уравнение x-3sqrt(x-1)+1=0 б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [sqrt(3); sqrt(20)].Решение График |
Резервный день егэ 2018 математика профиль 25 июня Задание 13 вариант 992! 25-06-2018 Задача 13 Вариант 992 | |
| 1116 | Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение (4x-x^2)^2-32*sqrt(4x-x^2)=a^2-14a имеет хотя-бы один корень Решение График |
Резервный день егэ 2018 математика профиль 25 июня Задание 18 Вариант 501! Ответы 25-06-2018 Задача 18 Вариант 501 | |
| 1115 | Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, а BH — высота этого треугольника. а) Докажите, что углы ABH и CBO равны. б) Найдите BH, если AB=16; BC=18; BH=BOРешение |
Резервный день егэ 2018 математика профиль 25 июня Задание 16 Вариант 502! Ответы 25-06-2018 Задача 16 Вариант 502 # Ларин 271 Задание 16 | |
Показать ещё…
Показана страница 1 из 2
|
Clear |
13. а) Решите уравнение 
б) Найдите корни, принадлежащие отрезку ![[-7pi/2;-2pi]](http://www.itmathrepetitor.ru/wp-content/plugins/latex/cache/tex_c06ad0f8bf430af17f42e77e88407717.gif)
14. На ребре правильной четырехугольной пирамиды с основанием ABCD отмечена точка Q , причем AQ:QB = 1:2. Точка P ‐ середина ребра AS.
а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды
б) Найдите площадь сечения DPQ , если площадь сечения DSB равна 6.
15. Решите неравенство 
16. Точка О – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника АВС, а ВН – высота этого треугольника.
а) Докажите, что углы АВН и СВО равны.
б) Найдите ВН, если АВ=16, ВС=18, ВН=ВО.
17. Зависимость количества (в шт., 
) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой 
. Затраты на производство Q единиц товара составляют 
рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна заплатить налог рублей 
рублей (
) c каждой произведенной единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет
рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна рублей. Фирма производит такое количество товара, при котором ее прибыль максимальна. При каком значении общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?
18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень
19. За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трех звезд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 9 пунктов при получении трех звезд, на 12 пунктов при получении двух звезд и на 15 пунктов при получении одной звезды. Витя прошел несколько уровней игры подряд.
а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшается ровно на 50 пунктов?
б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 75 пунктов и суммарно было получено 11 звезд?
в) За пройденный уровень начисляется 7000 очков при получении трех звезд, 6000 – при получении двух звезд и 3000 – при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 75 пунктов и суммарно было получено 11 звезд?
смотрите также ЕГЭ Демо 2018 Профильный уровень
Ответы
14. б) 
16. б) 12
18. [0;6]U[8;14]
19. а) нет б) 6 в) 33000
Рекомендации по подготовке к выполнению задания №18 (задачи с параметром) ЕГЭ профильного уровня
Характеристика задания 18 ЕГЭ профильный уровень
Спецификация КИМ
35
минут
2.1. Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы.
2.2. Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков ; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод .
2.3. Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы.
5.1. Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.
Что можно ожидать в качестве задания 18 на экзамене?
Критерии проверки задания №18
Как правило критерии пишутся под определенную задачу. Содержание может быть следующим.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но
4
– или в ответ включены также и одно-два неверных значения (исключено одно-два верных значения);
С помощью верных рассуждений получен верный ответ для одной возможной в задаче ситуации
3
2
Задача сведена к исследованию:
– или решение недостаточно обосновано.
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
1
– или взаимного расположения фигур на плоскости (прямых, окружностей и др.);
– или совокупности уравнений (неравенств) с параметром
0
Пример решения задания 18 из демоверсии ЕГЭ 2018 (профильный уровень)
1
Основу решения составляет теорема о касающихся окружностях.
Алгебраический метод
Как правило, к алгебраическим методам относят методы решения уравнений, неравенств и систем с параметром при всех допустимых значениях параметра, основанные на алгебраических преобразованиях (равносильные переходы, замены, использование необходимых и достаточных условий) и применении формул и приемов для решения простейших уравнений (линейных, дробно-рациональных, квадратичных, показательных, логарифмических, тригонометрических).
Алгебраический метод (теоремы о корнях квадратного трехчлена)
1 выполняется для любого значения х ? б) 4 x – ( a – 3 ) . 2 x +1 + 2 a + 2 не имеет решений? Ответ: а) 1 а б) – 1 ≤ а ≤ 7. 10 » width=»640″
● 13.46. При каких значениях параметра а
неравенство:
а) 9 x – 4 ( a – 1 ) . 3 x + a 1 выполняется для
любого значения х ?
б) 4 x – ( a – 3 ) . 2 x +1 + 2 a + 2 не имеет
решений?
Ответ: а) 1 а
б) – 1 ≤ а ≤ 7.
10
Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена
10
Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена
10
Алгебраический метод
1 8
Решение аналогичного примера участником экзамена.
10
10
Функциональный метод
Функциональный метод решения уравнений и неравенств (в том числе и с параметрами) является составной частью и естественным развитием функциональной линии обучения математике.
Рассмотрение функционального метода в программе средней школы на базовом уровне носит эпизодический характер.
Наиболее часто используются следующие свойства функций:
- свойства ограниченности области определения или области значения функции (в частности, методы оценки и минимакса );
- свойства четности и нечетности входящих в уравнение или неравенство функций;
- кусочная монотонность большинства алгебраических и элементарных трансцендентных функций входящих в уравнение или неравенство (в частности, на этом основан метод рационализации );
- периодичность функций и др..
В отличие от графического метода, знание этих свойств функций позволяет находить точные корни уравнения без построения графиков функций .
10
ЕГЭ профильный уровень (кодификатор)
10
Классификация задач,
решаемых функциональными методами
1. К первому типу отнесем задачи, в условии которых непосредственно требуется исследовать свойства функции y = f ( x, a ) (область определения, монотонность и т.д.) в зависимости от значений параметра a , принимающего допустимые числовые значения.
2. Ко второму типу задач отнесем такие, в которых формулировки свойств функции в точке или на промежутке позволяют рассматривать параметр не только в формуле, но и при задании области существования функции. Например, исследовать на монотонность функцию на промежутке [ t ; t+ 2] при всех значениях t .
3. Третий тип задач связан с постановкой дополнительных условий на свойства функции (количество нулей функции, ограничение на наибольшее значение функции и т.д.).
4. Решение задач четвертого типа опирается на определение свойства функции (непрерывность, дифференцируемость, экстремум, …). Подобные задачи можно переформулировать и свести к уравнению, неравенству или системе уравнений (неравенств), для решения которых используют аналитический или функционально-графический способы (графическую интерпретацию).
Область значений функции
Полезно знать и уметь находить область значений функций на всей области определения и на отрезке.
1
2
3
4
5
Использование ограниченности функции Метод оценки (минимаксные задачи)
Идея метода минимаксов .
Иначе говоря, уравнение можно переписать в виде
min f ( x ) = max g ( x ) , то есть нужно найти такие значения чтобы они одновременно являлись точками минимума для функции и точками максимума для функции g ( x ) .
Поэтому подобные уравнения называют «минимаксными задачами».
Наиболее часто этот метод можно применить в случаях, когда функции, стоящие в левой и правой частях уравнения – разного типа (степенная и логарифмическая, степенная и тригонометрическая и т.д.)
Функциональный метод Метод оценки (минимаксные задачи)
Четность, нечетность функции
Функциональный метод ( монотонность функции)
Пример из пособия
О функционально-графическом методе решения задач с параметрами
В задачах (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств)
вида (1)
где символ заменяет один из знаков часто ставится вопрос исследовать (1) на: – наличие решений или их отсутствие, – единственность решения или наличие определенного количества решений, – наличие решений определенного типа и т.д.
Для решения подобных задачи можно применять графический метод решения ( метод наглядной графической интерпретации ), основанный на использовании графических образов, входящих в (1) выражений .
Графиком функции y = f ( x ), x ∈ D ( f ) называется множество всех точек координатной плоскости Oxy вида ( x, f ( x )), где x ∈ D ( f ) .
О функционально-графических методах решения задач с параметрами
Графический метод применительно к рассматриваемым задачам допускает несколько интерпретаций, имеющих общее название метод сечений . В зависимости от того, какая роль отводится параметру при решении задачи с параметрами с использованием этого метода можно выделить два основных графических приема.
- Построение графического образа на координатной плоскости Oxy .
В этом случае (1) приводится, если это возможно, к виду
- построение графического образа на координатной плоскости Ox a .
В этом случае (1) приводится, если это возможно, к виду
24
Часто используемые семейства функций
Рассмотрим часто встречающиеся в подобных задачах семейства функций или уравнения и их графики.
1. Семейство линейных функций графики которых — прямые, проходящие через точку и имеющие угловой коэффициент, равный (« пучок прямых » – так обычно называют это семейство графиков).
2. Семейство функций , графики которых получаются из графика параллельным переносом на вектор
(семейство « уголков »).
3. Семейство окружностей с центром в точке , радиуса .
При решении уравнения (неравенства) вида на плоскости
строятся график функции (назовем его « неподвижным ») и прямые параллельные оси Далее в соответствии с условием задачи исследуется расположение построенных графиков.
Соответствие формул и геометрических образов
ЕГЭ прошлых лет
Уравнение «пучка» прямых,
проходящих через точку (4; 2).
Плюсы и минусы графических методов в сравнении с аналитическими методами
Применение графических методов оправдано в случаях, когда в условии задачи ставится вопрос о количестве решений в зависимости от значений параметра или нахождения значений параметра, при которых решение отсутствует или единственно.
Плюсы графических методов :
- во-первых, построив графический образ, можно определить, как влияет на
них и, соответственно, на решение изменение параметра;
- во-вторых, иногда график дает возможность сформулировать аналитически необходимые и достаточные условия для решения поставленной задачи;
- в-третьих, ряд теорем позволяет на основании графической информации делать вполне строгие и обоснованные заключения о количестве решений, об их границах и т.д.
Минусы графических методов : при использовании графических методов возникает вопрос о строгости решения. Требования к строгости должны определяться здравым смыслом. Если результат, полученный графическим методом, вызывает сомнения, его необходимо подкрепить аналитически.
Геометрический метод
Требуется знание соответствия формул и геометрических образов, и величин ( формулы расстояний между точками на прямой и на плоскости ).
Геометрический метод
Метод областей
1 8
ЕГЭ 2017
На помощь приходит производная
1 8
Комбинированный метод
1 8
ЕГЭ 2016
Задание №18 ЕГЭ 201 7 (профильный уровень)
18
Задание №18 (тренировочная работа)
18
Задание №18 (ЕГЭ 2018)
18
34
Решение задание №18 (ЕГЭ 2018)
34
Подготовительные задания 18
34
34
Ответы к подготовительным заданиям 18
34
Зачетные задания 18
34
34
Ответы к зачетным заданиям 18
34
Задание №18 ЕГЭ 201 7 (профильный уровень)
18
18
18
18
34
Задание №18 ЕГЭ 201 7 (профильный уровень)
18
18
18
34
Angie Amphibian
1 месяц назад
А почему именно на х делите в первом способе, в не на у?
Салават Гайсин
6 месяцев назад
У меня есть ролик по тому же параметру, но уже с 18 способами)
Irina Prokofieva
6 месяцев назад
👏👏👏👏
Red Rose
7 месяцев назад
а зачем мы в третьем способе и квадрат суммы делаем и квадрат разности?
Galina!!!!!
8 месяцев назад
Хорошо когда одно и то самое разньіми способами . Слелай еще аналитическим способом еге 2022. Тьі там через окружность делал только.
Матвей Коротченков
9 месяцев назад
Все заходим на канал Михаила Советского, похоже правду говорит…
Alsava
9 месяцев назад
Вот способ решения где В и С показался мне сложным из всех, что вы показали:D Но спасибо вам за разные методы решения!
Iona Defoman
10 месяцев назад
ВСем привет, меня зовут Аня, и я ноль.
Sergey Vens
11 месяцев назад
Очередной пересмотр. Я поклонник графического решения. «Кино!», – как говорил наш учитель математики Виктор Израилевич Грудников. Спасибо!
Misha 1364
11 месяцев назад
Можно без экзотики просто понять, что точка касания окружности и гиперболы будет лежать на прямой y = x или y = -x (вроде факт довольно очевиден), значит подставляем y = x в уравнение гиперболы, получаем, что x = ±sqrt(a² — 3a), а из первого уравнения получаем, что x = √2/2a (из прямоугольного треугольника, углы по 45°). Далее просто приравниваем √2/2a = ±sqrt(a² — 3a), учтем знаки и получим верный ответ
Zumrud Yusif
1 год назад
Спасибо Вам большое .
Валерия Валерия
1 год назад
Очень полезное видео,если бы было можно,я поставила бы 10 лайков🔥 Спасибо Вам,Борис
Vime World
1 год назад
При а, равном 3 2 решения, (3;0) и (-3;0)
Ну не красавчик ли я?
1 год назад
очень круто!
Daniil K
1 год назад
жаль не особо понятно почему касание происходит в точке х=у в конце.Было круто увидеть видео с подобным случаем и с другими (касание различных уравнений), если есть желание.
Александр Фомин
1 год назад
А нельзя расписать только квадрат суммы, и при этом оставить в системе первое уравнение? Тогда можно графически решать задачу про окружность и две параллельные прямые, которые иногда совпадают друг с другом, и можно геометрически найти когда они касаются и отдельно рассмотреть случай, когда они совпадают. Тогда почти чисто геометрическое решение получается. Я так решил, с ответом вроде сошлось