Пирамида решение задач егэ презентация 10 класс

Слайд 1

Пирамида в задачах ЕГЭ Тема урока:

Слайд 2

Задача № 1 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SO = 10, BD = 48. Найдите боковое ребро SA . Ответ: 26

Слайд 3

Задача № 2 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SD = 1 3 , BD = 10 . Найдите длину отрезка SO . Ответ: 12

Слайд 4

Задача № 3 Найдите площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4. Ответ: 96

Слайд 5

Задача № 4 В правильной треугольной пирамиде SABC М – середина ребра ВС, S – вершина. Известно, что АВ = 6, а S М = 5. Найдите площадь боковой поверхности. Ответ: 45

Слайд 6

Задача № 5 В правильной треугольной пирамиде SABC М – середина ребра ВС, S – вершина. Известно, что АВ = 6, а площадь боковой поверхности равна 45. Найдите длину отрезка S М . Ответ: 5

Слайд 7

Задача № 6 В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке К. Объём пирамиды равен 42, К S = 18. Найдите площадь треугольника АВС. Ответ: 7

Слайд 8

Задача № 7 Объём тетраэдра равен 1,2. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра. Ответ: 0,6

Слайд 9

Задача № 8 Площадь поверхности тетраэдра равен 1,3. Найдите площадь поверхности многогранника , вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра. Ответ: 0,65

Слайд 10

Задача № 9 Найдите объём правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна . Ответ: 0,25

Слайд 11

Задача № 10 Объём треугольной пирамиды S АВС равен 15. Плоскость проходит через сторону АВ основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке D , делящей ребро S С в отношении 1 : 2, считая от вершины S . Найдите объём пирамиды D АВС. Ответ: 10

Слайд 12

Задача № 11 Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все её ребра увеличить в 2 раза? Ответ: 4

Слайд 13

Задача № 12 Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 . Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды. Ответ: 48

Слайд 14

Задача № 13 Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45 . Найдите объём пирамиды. Ответ : 48

Слайд 15

Спасибо за внимание!

Инфоурок

›

Геометрия

›Презентации›Презентация по геометрии на тему «Решение заданий №8 ЕГЭ. Пирамида»

1


Готовимся к ЕГЭ. Прототипы В9, В11. Пирамида. В создании презентации принимали участие ученики 10АВ классов. Научный руководитель: Шахова Татьяна Александровна год

2


Пирамидой называется многогранник, основанием которой является многоугольник, а боковые грани — треугольники, имеющие общую точку. Общая точка является вершиной пирамиды. Краткие теоретические сведения. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания называются боковыми ребрами. Высотой пирамиды является перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания ( SO ).

3


Правильная пирамида — пирамида, основание которой правильный многоугольник и основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Краткие теоретические сведения. Апофема правильной пирамиды — высота боковой грани, опущенная из вершины ( SH ). H Для правильной пирамиды.

4


В правильной треугольной пирамиде SABC R середина ребра BC, S вершина. Известно, что AB=1, а SR=2. Найдите площадь боковой поверхности. Ответ: 3 SR-апофема.Пирамида правильная. 3 Авдеев Саша 10В

5


В правильной треугольной пирамиде SABC L середина ребра BC, S вершина. Известно, что SL=2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB. Ответ: 5 Маслова Мария 10Б SL медиана р/б треугольника SBC с основанием ВС => высота =>SL – апофема пирамиды по определению.

6


В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3,MS=1. Найдите объем пирамиды. 7 A B C М S Гришина Полина 10В В правильной пирамиде высота проходит через центр основания. М – центр основания (точка пересечения медиан правильного треугольника). Следовательно MS — высота. Ответ: 1

7


В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке O. Объем пирамиды равен 1, OS=1. Найдите площадь треугольника ABC. Ответ: 3 В правильной пирамиде высота проходит через центр основания. О – центр основания (точка пересечения медиан правильного треугольника). Следовательно SO — высота. 8 Талалайкин Саша 10В

8


Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды Ответ: 340 Маслова Мария 10Б

9


Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна. Ответ: 13. H 0,25 Чемерис Виталий 10В

10


A B C S O ? Ответ: Смирнова Ирина 10А Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен. 14

11


h Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза? 4h4h Разделим 2-е на 1-е. Т.е. объем пирамиды увеличится в 4 раза Ответ: 4 15 Авдеев Саша 10В

12


В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем. 16 H AH S Гришина Полина 10В Значит диагональ основания =16 A В С 16 Ответ: 256

13


ASB – основание. СS перпендикулярна прямым SA и SB, лежащим в плоскости ASB. следовательно SC – высота пирамиды. Ответ: 4, 18 Счастьева Анастасия 10А 5 Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды. 18

14


Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды. H А В С 19 Талалайкин Саша 10В

15


Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды. H С Подставим полученные площади и разделим первое на второе. Ответ: 6 19 Талалайкин Саша 10В

16


Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC. 20 Чемерис Виталий 10В Площадь основания пирамиды SABC по условию в 2 раза меньше площади основания пирамиды SABCD=> H К H S BK E ЕК – средняя линия треугольника HSB=>

17


Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC. 20 Чемерис Виталий 10В H К Подставим в формулы объемов и разделим первое на второе. Ответ: 3

18


От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды. 21 Смирнова Ирина 10А A B C D E F O B A C E F Треугольники АВС и ЕВF подобны k=1/2. => Их площади относятся, как k 2 =1/4.

19


От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды. 21 Смирнова Ирина 10А A B C D E F O Подставим полученные площади и разделим первое на второе. Ответ:

20


Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. 22 Фомина Дарья 10А D A B C E Очевидно, что больший объем имеет пирамида ЕAСB в сравнении с пирамидой DECB. R К Она имеет общее основание с пирамидой DABC. D КA R E 1 2 ADK подобен AER.

21


Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. Ответ: Фомина Дарья 10А D A B C E R К Подставим в формулы объемов и разделим первое на второе.

22


Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза. Шипицин Вячеслав 10А. 24 Ответ: 9 Запомни: при увеличении всех линейных элементов фигуры в k раз ее площадь увеличивается в k 2 раз. В нашей задаче ребра увеличились в три раза, значит площадь увеличилась в девять раз.

23


Ответ: 60 Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 и высота равна 4. Найдем апофему пирамиды SH: 25 АВ С D S O H 6 4 O S H 3 4 Треугольник – египетский: SH=5 Счастьева Анастасия 10А

24


Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза? 26 Чунин Павел 10А Ответ: Запомни: при увеличении всех линейных элементов фигуры в k раз ее площадь увеличивается в k 2 раз. В нашей задаче ребра увеличились в два раза, значит площадь увеличилась в четыре раза. 4

25


Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер. 27 Чунин Павел 10А S NK B L C M A Ответ: 0,25 KM – средняя линия АSС => KM=0,5 В правильном тетраэдре сечение, проходящее через середины четырех его ребер, является квадратом. Запомни!

26


Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание- прямоугольник со сторонами 3 и Ответ: Шипицин Вячеслав 10 А

27


В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды. Ответ: Шкарупина Анна 10А O Итак: сторона основания (квадрата)= Диагональ квадрата=

28


Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды. SO-высота пирамиды Ответ: O В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Основание- правильный шестиугольник Cоставлен из 6 равных р/ст треугольников.а а а Шкарупина Анна 10А

29


Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45. Найдите объем пирамиды. 32 Ответ: Булгаков Ильяс 10А Основание- правильный шестиугольник 48 О o k s o K 4)4) h Cоставлен из 6 равных р/ст треугольников. а 4 4 КС ? SO=OK=h 3) а а 2)

30


Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Достроим многоугольник ABCDEF до прямоугольника АВСК Ответ: Карагяур Лилия, 10 А

31


В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SA равно 5, сторона основания равна. Найдите объём пирамиды. Ответ: ) т.к. ABCD-квадрат. 2) Треугольник AOB прямоугольный и рб. Пусть AO=BO=x => BO=3 3)3) S OB 5 3 h=SO= 4) = Булгаков Ильяс 10А

32


Спасибо за работу.

1. Пирамида в задачах ЕГЭ

2.

Задача 1. В правильном единичном тетраэдре
ABCD найдите расстояние от вершины A до
прямой BC.
Решение. Искомое расстояние равно высоте AH треугольника
ABC. Оно равно 3 .
2
3
.
Ответ:
2

3.

Задача 2. В правильной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от вершины S до
прямой AB.
Решение. Искомое расстояние равно высоте SH треугольника
SAB. Оно равно 3 .
2
3
Ответ:
.
2

4.

Задача 3. В правильной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от вершины A до
прямой SB.
Решение. Искомое расстояние равно высоте AH треугольника
SAB. Оно равно 3 .
2
3
Ответ:
.
2

5.

Задача 4. В правильной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от вершины A до
прямой SC.
Решение. Треугольник SAC прямоугольный. Искомое
расстояние равно катету SA и равно 1.
Ответ: 1.

6.

Задача 5. В правильной пирамиде SABCD, боковые ребра
которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите
расстояние от вершины S до прямой AD.
Решение. Искомое расстояние равно высоте SH треугольника
SAD. Оно равно 3.
Ответ:
3.

7.

Задача 6. В правильной пирамиде SABCD, боковые ребра которой
равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от точки A до
прямой SB.
Решение. Искомое расстояние равно высоте AH треугольника
SAB. Оно равно 15 .
4
Ответ: 15 .
4

8.

Задача 7. В правильном тетраэдре ABCD найдите расстояние
от вершины D до плоскости ABC.
Решение. Обозначим E середину BC. Искомое расстояние
равно высоте DH треугольника ADE, для которого DE =
3
3
, HE =
. Следовательно, DH = 6 .
6
2
3
6
Ответ:
.
3

9.

Задача 8. Основанием треугольной пирамиде SABC
является прямоугольный треугольник с катетами,
равными 1. Боковые ребра пирамиды равны 1. Найдите
расстояние от вершины S до плоскости ABC.
2
Ответ:
.
2
Решение. Из равенства боковых ребер
следует, что основанием
перпендикуляра, опущенного из
вершины S на плоскость ABC, является
центр окружности, описанной около
треугольника ABC, т.е. середина D
стороны AC. Треугольник ACS –
прямоугольный и равнобедренный.
Следовательно, искомый
перпендикуляр SD равен 2 .
2

10.

Задача 9. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1,
найдите расстояние от вершины S до плоскости ABC.
Решение. Искомое расстояние равно высоте SO треугольника
SAC, в котором SA = SC = 1, AC = 2. Следовательно, SO = 2 .
2
2
Ответ:
.
2

11.

Задача 10. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SBD.
Ответ:
2
.
2

12.

Задача 11. В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра
которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от
вершины S до плоскости ABC.
Решение. Искомое расстояние равно высоте SO
равностороннего треугольника SAD. Оно равно 3.
Ответ:
3.

13.

Задача 12. В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF,
боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1,
найдите расстояние от точки A до плоскости SBE.
Ответ:
3
.
2

14.

Задача 13. В правильном тетраэдре ABCD найдите
расстояние между прямыми AD и BC.
Решение. Искомое расстояние равно длине отрезка EF, где E, F
– середины ребер AD, GF. В треугольнике DAG DA = 1,
3
2
. Следовательно, EF =
AG = DG =
.
2
2
Ответ:
2
.
2

15.

Задача 14. В правильной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми
SA и BD.
Ответ: 1.

16.

Задача 15. В правильной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и
BD.
Решение. Искомое расстояние равно высоте OH треугольника
SAO, где O – середина BD. В прямоугольном треугольнике SAO
2
1
. Следовательно, OH = .
имеем: SA = 1, AO = SO =
2
2
1
Ответ: .
2

17.

Задача 16. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и BC.
Решение. Плоскость SAD параллельна
прямой BC. Следовательно, искомое
расстояние равно расстоянию между
прямой BC и плоскостью SAD. Оно
равно высоте EH треугольника SEF, где
E, F – середины ребер BC, AD. В
треугольнике SEF имеем:
3
EF = 1, SE = SF =
.Высота SO равна
2
6
2
.
. Следовательно, EH =
3
2
6
Ответ:
.
3

18.

Задача 17. В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF,
ребра основания которой равны 1, найдите расстояние
между прямыми AB и DE.
Ответ:
3.

19.

Задача 18. В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF,
боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1,
найдите расстояние между прямыми SA и BC.
Решение: Продолжим ребра BC и AF до пересечения в точке
G. Общим перпендикуляром к SA и BC будет высота AH
треугольника ABG. Она равна 3 .
2
3
Ответ:
.
2

20.

Задача 19. В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF,
боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1,
найдите расстояние между прямыми SA и BF.
Решение: Искомым расстоянием
является высота GH треугольника SAG,
где G – точка пересечения BF и AD. В
треугольнике SAG имеем:
3
SA = 1, AG =
, высота SO равна 3.
2
Отсюда находим GH =0,75.
Ответ: 0,75.

21.

Задача 20. В правильном тетраэдре ABCD найдите угол
между прямыми AD и BD.
Ответ: 60o.

22.

Задача 21. В правильном тетраэдре ABCD найдите угол
между прямыми AD и BC.
Решение. Через середину E ребра BC и прямую AD проведем
плоскость. Она будет перпендикулярна BC, т.к. AE и DE
перпендикулярны BC. Следовательно, AD перпендикулярна BC,
т.е. искомый угол равен 90о.
Ответ: 90о.

23.

Задача 22. В правильном тетраэдре ABCD точка E –
середина ребра AB. Найдите угол между прямыми AD и CE.
Решение. Через точку E проведем прямую EF, параллельную AD.
Искомым углом будет угол CEF. В треугольнике CEF имеем
1
3
3
.
cos
.
EF = , CE = CF =
Следовательно,
2
2
6
3
.
Ответ: cos
6

24.

Задача 23. В правильном тетраэдре ABCD
точки E, F, G – середины ребер AB, BD, CD.
Найдите угол EFG.
Решение. Прямые EF и FG параллельны прямым AD и BC.
Следовательно, угол между ними равен 90о.
Ответ: 90о.

25.

Задача 24. В правильной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол между прямыми SD и AC.
Ответ: 90о.

26.

Задача 25. В правильной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и SB.
Ответ: 60о.

27.

Задача 26.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все
ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми
AB и SC.
Ответ: 60o.

28.

Задача 27. В правильной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и SC.
Решение. В треугольнике SAC SA = SC = 1, AC =
Следовательно, искомый угол равен 90о.
Ответ: 90о.
2

29.

Задача 28. В правильной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и AC.
Решение. В треугольнике SAC SA = SC = 1, AC = 2
Следовательно, искомый угол равен 45о.
Ответ: 45о.

30.

Задача 29. В правильной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и BD.
Решение. Прямая AC является ортогональной проекцией
прямой SA на плоскость ABC. Она перпендикулярна BD.
Следовательно, SA и BD также перпендикулярны.
Ответ: 90о.

31.

Задача 30. В правильной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точка E – середина ребра SC. Найдите угол
между прямыми AD и BE.
Решение. Искомый угол равен углу CBE. Он равен 30о.
Ответ: 30о.

32.

Задача 31. В правильном тетраэдре ABCD найдите угол
между прямой AD и плоскостью ABC.
Решение. Пусть E – середина ребра BC. Искомый угол равен
углу DAE. В треугольнике DAE имеем: AD = 1, AE = DE = 3 .
3
Используя теорему косинусов, получим cos
.
3
3
Ответ: cos
3
.
2

33.

Задача 32. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой SA и плоскостью ABC.
Решение: Искомый угол равен углу SAC. В треугольнике SAC
имеем: SA = SC = 1, AC = 2. Следовательно, искомый угол
равен 45о.
Ответ: 45о.

34.

Задача 33. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой SA и плоскостью SBD.
Решение: Искомый угол равен углу SOA, где O – середина BD. В
2
прямоугольном треугольнике SOA имеем: SA = 1, AO =
.
2
Следовательно, искомый угол равен 45о.
Ответ: 45о.

35.

Задача 34. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямой AB и плоскостью SAD.
Решение. Пусть E, F – середины ребер AD и BC. Искомый угол
равен углу SEF. В треугольнике SEF имеем: EF = 1, SE = SF = 3 .
3
Используя теорему косинусов, получим cos
.
3
3
Ответ: cos
3
.
2

36.

Задача 35. В правильной 6-ой пирамиде SA…F, боковые
ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите угол
между прямой SA и плоскостью ABC.
Решение. Искомый угол равен углу SAD. Треугольник SAD
равносторонний. Следовательно, = 60о.
Ответ: 60о.

37.

Задача 36. В тетраэдре ABCD, ребра которого равны 1,
найдите угол между плоскостями ABC и BCD.
Решение: Пусть E – середина BC. Искомым линейным углом
является угол AED. В треугольнике AED имеем:
1
3
cos
.
AD = 1, AE = DE =
По. теореме косинусов находим
3
2
1
cos
.
Ответ:
3

38.

Задача 36. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой
равны 1, найдите угол между плоскостями SBC и ABC.
Решение: Пусть E, F – середины ребер BC и AD, O – центр
основания. Искомым линейным углом является угол SEF.
3
1
.
В прямоугольном треугольнике SEO имеем EO = , SE =
2
2
3
.
Следовательно, cos
3
3
cos
.
Ответ:
3

39.

Задача 37. В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые
ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите угол
между плоскостями ABC и SBC.
Решение: Пусть O – центр основания, G – середин ребра BC.
Искомым линейным углом является угол SGO.
15
3
.
В прямоугольном треугольнике SGO имеем: OG = , SG =
2
2
5
Следовательно, cos
. Ответ: cos 5 .
5
5

40.

Задача 38. В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра
которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите косинус
двугранного угла, образованного гранями SAB и SBC.
Решение: В треугольниках SAB и SBC опустим высоты AH и CH на
сторону SB. Искомым линейным углом является угол AHC. В
прямоугольном треугольнике AHC имеем: AC = 3 , AH = CH =
15 По теореме косинусов находим
3
.
cos .
4
5
Ответ: -0,6

41. Задача 39.

Найдите
площадь
боковой
поверхности
правильной
четырёхугольной
пирамиды,
сторона основания которой равна 6 см и высота
равна 4 см.
Ответ: 60 см2.

42. Задача 40.

Найдите
площадь
боковой
поверхности
правильной треугольной пирамиды со стороной
основания 6 см и высотой 1 см.
Ответ: 8 см2.

43. Задача 41.

Найдите
площадь
боковой
поверхности
правильной шестиугольной пирамиды со
стороной основания 4 см и высотой 2 см.
Ответ: 48 см2.

44. Задача 42.

Как изменятся площади боковой и полной поверхностей
пирамиды, если все её рёбра:
а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 5 раз?
Ответ: а) Увеличатся в 4 раза; б) уменьшатся в 25 раз.

45. Задача 43.

Развёртка поверхности правильной треугольной
пирамиды представляет собой равносторонний
треугольник, площадь которого равна 80 см2. Найдите
площадь грани пирамиды.
Ответ: 20 см2.

46. Задача 44.

Чему равна площадь поверхности правильного
тетраэдра с ребром 1?
Ответ: 3.

---

Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ. «Угол между прямой и плоскостью. Правильная пирамида»

Целевая аудитория: для 10 класса

Автор: Каратанова Марина Николаевна
Место работы: МБОУ СОШ №256 ГО ЗАТО Фокино Приморский край
Добавил: KarMaN

© 2007 — 2023 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.

---

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

---

Фотографии предоставлены

Цели урока:

• Образовательные:
  • изучить  мнемонический прием;
  • вывести формулы перехода основных углов в
    правильных пирамидах;
  • научиться применять мнемонический прием для
    доказательства зависимостей между углами в
    правильной пирамиде и решения задач.
• Развивающие:
  • развивать познавательный интерес через
    формирование навыков исследовательской
    деятельности учащихся;
  • развивать образную  память, абстрактное и
     логическое мышление;
  • развивать вычислительные навыки учащихся.
• Воспитательные:
  • прививать коммуникативные навыки,  навыки
    работы с дидактическим материалом (раздаточный
    материал, электронный ресурс);
  • формировать четкое исполнение действий при
    выполнении практической работы и при работе в
    группах.

Оборудование:

• компьютер,
• проектор,
• экран, 
• интерактивная доска SMART Board,
• раздаточный  материал

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

– Откройте, пожалуйста, тетради и запишите 
число и тему урока: Решение задач по теме
«Пирамида». Сегодня на уроке мы с вами при
решении задач научимся применять нестандартный
прием, который назвали мнемоническим,
выведем формулы перехода основных углов в
правильных пирамидах и научимся применять их при
решении задач.
– Для этого нам необходимо повторить некоторые
вопросы из курса геометрии.

II. Актуализация опорных знаний <Приложение 1> 

Устная работа (фронтальный опрос).

Дан прямоугольный треугольник АВС.

Вспомним
основные элементы Пирамиды.

• Какой многогранник называется пирамидой?
• Назовите вершину пирамиды? Основание?
• Какая пирамида называется правильной?
• Куда проектируется высота правильной пирамиды?
• Назовите угол между боковым ребром пирамиды 
  и основанием; Между боковой гранью и основанием;
  угол между боковыми гранями пирамиды?

Рассмотрим решение задачи из учебника.
Внимание на доску.

№ 255. В правильной треугольной
пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский
угол при вершине равен  найдите высоту
пирамиды.

III. Формирование новых знаний

При решении задачи мы имели дело с
треугольниками, которые не лежат в одной
плоскости, и, более того, в каждом из них было
известно не более двух элементов.  Как вы
думаете, есть ли в математике более простой
способ решения задачи?  Я утверждаю, что есть!
Действительно, такой способ существует. И у него
есть название мнемонический прием решения
геометрических задач. Именно с ним я Вас сегодня
познакомлю. Итак …
Мнемоника (от греческого – память) – это
различного рода приемы, способствующие
искусственному запоминанию. Иначе говоря – это
искусство запоминания.  Уже древние народы и
дикари знали уже целый ряд приемов, дававших
точки опоры для памяти. Вам так же известны
некоторые мнемонические приемы, например
запоминание цветов радуги, определение
биссектрисы и другие.
Итак, Мнемонический прием <Приложение
3>  для зависимости между углами в
правильной пирамиде:

Мнемонический прием:

1. Запишем наименования треугольника, в котором
находится неизвестный угол.
2.  Из трех букв S, A, O составим различные пары.
Получили три отрезка.
3. Зачеркнем тот, который не является общим для
треугольников, имеющих известные углы.
4. Добавим по букве, чтобы получить наименование
треугольника, включающего один из данных углов:
 
5. Найдем отрезок, состоящий из общих букв.
6. Для нахождения искомой зависимости разделим
числитель и знаменатель на найденный отрезок.

– Сейчас, с помощью этого мнемонического
приема, я выведу некоторые зависимости между
углами в правильной пирамиде.

1. Зависимость между плоским углом при
вершине правильной пирамиды и углом при ребре
основания (четырехугольная пирамида)

2. Зависимость между плоским углом при
вершине правильной пирамиды и углом при боковом
ребре

IV. Формирование первичных навыков

Уважаемые 10-тиклассники. Сейчас, на
практической работе, Вы исследуете зависимости
между углами в правильной пирамиде, в результате
чего каждая группа должна будет получить формулу
перехода. Каждая группа имеет свое задание. У вас
на столе лежат листы с заданием <Приложение
2> и мнемоническое правило <Приложение 3> , которое
позволит вам быстро найти необходимую
зависимость.

Учащиеся работают в группах. По окончании
работы представитель группы вносит полученную
формулу перехода в таблицу на слайде.

У каждой группе на столе появилась
сигнальная карточка красного цвета. <Приложение 4>  Используя
Ее, Вы можете проверить правильность своих
рассуждений.

В результате практической работы мы получили
таблицу зависимости между  углами в
правильной пирамиде. На следующем этапе нашего
урока мы будем применять полученные формулы при
решении задач, а попутно оценим, насколько
существенно эти формулы облегчают нам жизнь.
Вернемся к задаче, которая была решена в начале
урока. (На экране слайд с решением и за шторкой
решение с применением формул перехода)
Другой способ решения

Очевидно, что с помощью формул перехода
затруднения при решении задач легко
преодолеваются.  У вас на столах лежит таблица
с формулами перехода <Приложение
5> не только для треугольной и
четырехугольной пирамиды, но и для шестиугольной
и   n-угольной. Этими формулами можно и нужно
пользоваться при решении задач.

Формулы перехода

Рассмотрим применение формул для другой задачи
из учебника

Правда, красивое решение?

V. Рефлексия

– Сегодня Вы познакомились с мнемоническим
приемом, позволяющим находить  зависимости 
между углами в правильных пирамидах, и получили с
помощью мнемонического приема несколько таких
зависимостей, и применили их при решении задач.
Решая сложные стереометрические задачи,
зачастую возникают затруднения. Они могут
возникнуть, в частности,  потому, что данные в
условии линейные элементы не принадлежат одной
плоскости, а, значит, нет такого прямоугольного
треугольника, с которого можно было бы начать
решение. Однако, с помощью мнемонического приема
и формул перехода затруднения легко
преодолеваются.

VI. Итоги урока

За работу на уроке оценки получают следующие
учащиеся …

VII. Домашнее задание

В качестве домашнего задания я вам предлагаю
решить задачу  254 (б, г, д) двумя способами:
традиционным  и с помощью мнемонического
приема (формул перехода).

– Всем спасибо за урок