Показательные уравнения с параметром примеры с решением егэ - Exhelper.top

Показательные и логарифмические уравнения с параметром

Показательные уравнения c параметром

Как правило, чтобы решить показательные уравнения с параметром нужно привести их квадратному или линейному уравнению. Обычно это можно сделать при помощи метода замены переменных. Но надо быть внимательным – при замене (t=a^x), новая переменная (t) всегда положительна.

Найдите все значения параметра (a), при которых уравнение ((a+1)(4^x+4^<-x>)=5) имеет единственное решение.

Заметим, что (a+1 > 0), так как (4^x+4^ <-x>> 0). Сделаем замену (t=4^x); (t > 0) $$ (a+1)(t+frac<1>)=5;$$ $$(a+1)t^2-5t+a+1=0$$ $$_<1,2>=frac<5±sqrt<25-4(a+1)^2>> <2(a+1)>.$$
Уравнение будет иметь единственное решение, если $$D=25-4(a+1)^2=0 $$ $$a+1=±frac<5><2>$$ (a=-3.5 -) не подходит;
(a=1.5;)

Логарифмические уравнения с параметром

Чтобы решить логарифмические уравнения, надо обязательно записывать ОДЗ, а затем провести необходимые равносильные преобразования или сделать замену, чтобы свести уравнение к более простому.

Решите уравнение (log_a (x^2)+2log_a (x+1)=2) для каждого (a).

Перейдем от суммы логарифмов к их произведению:

При условии, что (1-4a≥0 ⇔ 0 0).

При условии, что $$ 1+4a>0 ⇔ a>0$$ корень $$x=frac<1><2>-frac<sqrt<1+4a>><2>$$ не подходит, так как ( x>0.)

Найдите все значения параметра (a), при которых уравнение (log_4 (16^x+a)=x) имеет два действительных и различных корня.

При помощи равносильного преобразования приведем наше уравнение к виду:

Сделаем замену: (t=4^x>0 ⇔ t^2-t+a=0,)

Полученное квадратное уравнение должно иметь корни (0 0, \D≥0, \D>0, \ _<0>>0; end $$ $$ begin a>0, \1-4a>0, \ 1/2>0; end $$ $$ begin a>0, \a

Решение показательных уравнений с параметрами

Разделы: Математика

Цели урока: Учащиеся должны знать способы решений уравнений вида – показательная функция и уметь применять при решении задач.

Ход урока.

Для первой группы учащихся выдавались следующие задания.

Для каждого значения a решить уравнения:

Задания для второй группы учащихся.

Указать число решений в зависимости от параметра а.

Третья группа решает уравнения, сводящиеся к квадратным.

Задание 1. Решить уравнение p · 4 x – 4 · 2 x + 1 = 0 и указать число решений в зависимости от параметра p.

Задание 2. При каких a уравнение 9 x + (2a + 4) · 3 x + 8a + 1 = 0 имеет единственное решение.

Задание 3. Указать число решений уравнения 49 x + 2p · 7 x + p 2 – 1 = 0 в зависимости от параметра p.

Задание 4. При каких значениях p уравнение 4 x – (5p – 3) · 2 x + 4p 2 – 3p = 0 имеет единственное решение.

Выступление первой группы – решение показательных уравнений вида

Докладывает лидер первой группы и привлекает к своему докладу участников этой группы. То есть диалог идёт ученик – ученик.

Решение исходного уравнения сводится к решению линейного уравнения с параметрами kx = b.

Если k = 0, b = 0, то 0 · x = 0, – любое действительное число.

Если k = 0, b ≠ 0, то 0 · x = b – нет решений.

Если k ≠ 0, то , один корень.

Задание 1. Решить уравнение .

Докладчик решает у доски с комментариями, остальные записывают в тетрадях.

Значит уравнение (1) можно представить в виде (a – 1)(a + 4)x = (a – 1)(a – 1)(a – 3).

Исследуем полученное уравнение:

Ответ:

На этом выступление первой группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 1.

Выступление второй группы – решение уравнений вида

Докладывает лидер второй группы и привлекает к обсуждению этого вопроса всех учащихся. Исходное уравнение равносильно уравнению ax 2 + bx + c₁ = c₀, или ax 2 + bx + c = 0.

Далее идёт диалог ученик–ученик.

Какое уравнение получили? – Это уравнение степени не выше второй.
При a = 0, bx + c = 0, получили линейное уравнение, которое может иметь одно решение, не иметь корней, или иметь бесконечное множество решений.
При a ≠ 0, ax 2 + bx + c = 0, квадратное уравнение.
От чего зависит число решений квадратного уравнения? – Число решений квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Если D = 0 то квадратное уравнение имеет одно решение. Если D > 0, то два решения. Если D 2 + 2(a + 3)x + a + 2 = 0.

Ответ:

На этом выступление второй группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 2.

Выступление третьей группы – решение уравнений вида af 2 (x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной. f(x) = t, t > 0.

Слово предоставляется выступающему от третьей группы. Он докладывает, что их группа решала уравнения вида: (1) af 2 (x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной. f(x) = t, t > 0.

Исходное уравнение (1) равносильно

Далее докладчик задаёт вопросы, а учащиеся отвечают на них.

При каких условиях уравнение (1) имеет один корень?

При a = 0 уравнение (2) становится линейным, значит может иметь только один корень, и он должен быть положительным.
Если D = 0, уравнение (2) имеет один корень, и он должен быть положительным.
Если D > 0, уравнение (2) имеет два корня, но они должны быть различных знаков.
Если D > 0, уравнение (2) имеет два корня, но один из низ нуль. А второй положительный.

При каких условиях уравнение (1) имеет два корня?

Исходное уравнение имеет два корня, если уравнение (2) имеет два корня и оба они положительны.

При каких условиях уравнение (1) не имеет корней?

Ответим на вопрос: При каких значениях p уравнение (1) имеет один корень?

Если одно решение. Обсуждается вопрос какие ещё могли быть варианты при t = 0 – нет решений, при t 0.

Уравнение будет иметь единственное решение при условии. Что дискриминант уравнения (2) есть число положительное, но корни при этом имеют различные знаки. Эти условия достигаются с помощью теоремы Виета. Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Итак, уравнение (1) имеет единственное решение при p ≤ 0, p = 4.

Теперь остаётся ответить на вопрос. При каких условиях исходное уравнение (2) имеет два решения? Это возможно, если уравнение (2) имеет два корня и оба они положительны. По теореме Виета для того, чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и при этом оба были положительными, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Исходное уравнение имеет два корня при 0 0, то уравнение (2) имеет корни, но они оба отрицательны.

Итак, D 4. При p > 4 – нет решений. Второе условие равносильно следующим соотношениям.

Значит уравнение (1) не имеет решений при p > 4.

Ответ:

При p = 4, p ≤ 0 одно решение.
При 0 4 нет решений.

На этом выступление третьей группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 3.

Домашнее задание.

Задание 1. Найти все значения параметра a, при которых уравнение (a – 3) · 4 x – 8 · 6 x + (a +3) 9 x = 0 не имеет корней.

Задание 2.Указать число решений уравнения p · 2 x + 2 –x – 5 = 0 в зависимости от параметра p.

Задание 3. Выяснить при каких значениях a уравнение . имеет решения, найти эти решения.

Задание 4. Найти все значения p при которых уравнение (p – 1) · 4 x – 4 · 2 x + (p + 2) = 0 имеет хотя бы одно решение.

Задание 5. Указать число решений уравнения a · 12 |x| = 2 – 12 –|x| в зависимости от параметра a.

Показательные уравнения, неравенства и системы с параметром

п.1. Примеры

Пример 1. Решите уравнение:
a) (3cdot 4^+27=a+acdot 4^)
(3cdot 4^-acdot 4^=a-27)
(4^(3-a)=a-27)
(4^=frac<3-a>)
По свойствам показательной функции дробь справа должна быть положительной:
(frac<3-a>gt 0Rightarrowfraclt 0)

(3lt alt 27)
(x-2=log_4frac<3-a>)
(x=2+log_4frac<3-a>)
Ответ:
При (aleq 3cup ageq 27) решений нет, (xinvarnothing)
При (3lt alt 27, x=2+log_4frac<3-a>)

2) (D=0) при (a=1, t=frac22=1)
(11^<|x|>=1=11^0Rightarrow |x|=0Rightarrow x=0) — один корень

3) (Dgt 0) при (alt 1, t_<1,2>=frac<2pm 2sqrt<1-a>><2>=1pm sqrt<1-a>)
Корень (t_2=1+sqrt<1-a>) положительный при всех (alt 1)
Получаем для (x: 11^<|x|>=1+sqrt<1-a>Rightarrow |x|=log_<11>(1+sqrt<1-a>))
(log_<11>(1+sqrt<1-a>)geq 0,) т.к. (1+sqrt<1-a>geq 1), логарифм может быть равен модулю.
Получаем пару решений: (x=pm log_<11>(1+sqrt<1-a>))

Для корня (t_1=1-sqrt<1-a>) решаем неравенство (учитывая (alt 1)):
( 1-sqrt<1-a>gt 0Rightarrowsqrt<1-a>lt 1Rightarrow begin 1-alt 1\ alt 1 end Rightarrow begin agt 0\ alt 1 end Rightarrow 0lt alt 1 )
Тогда (|x|=log_<11>(1-sqrt<1-a>), но log_11⁡(log_<11>(1-sqrt<1-a>lt 0) и не может быть равен модулю. Значит, для корня (t_1) решений нет.

Ответ:
При (agt 1) решений нет, (xinvarnothing)
При (a=1) один корень (x=0)
При (alt 1) два корня (x=pm log_<11>⁡(1+sqrt<(1-a)>)

Пример 2. При каких значениях (a) неравенство (4^x-acdot 2^x-a+3leq 0) имеет хотя бы одно решение?
Замена: (t=2^x)
Функция (f(t)=t^2-at-a+3) – это парабола ветками вверх, которая будет иметь отрицательную область значений, если (Dgt 0) и будет равна 0 при (D=0).
Неравенство будет иметь решение, когда у соответствующего уравнения появятся корни.
(D=a^2-4cdot (-a+3)=a^2+4a-12geq 0)
((a+6)(a-2)geq 0)

(aleq -6cup aleq 2)

Решение квадратного уравнения: (t_<1,2>=frac><2>)
По свойству показательной функции, (t) должно быть положительным.
Для первого корня: begin a-sqrtgt 0Rightarrow sqrtlt aRightarrow begin agt 0\ a^2+4a-12geq 0\ a^2+4a-12lt a^2 end Rightarrow \ begin agt 0\ aleq -6cup ageq 2\ alt 3 end Rightarrow begin 0lt alt 3\ aleq -6cup ageq 2 end Rightarrow 2leq alt 3 end Для второго корня: begin a+sqrtgt 0Rightarrow sqrtgt -aRightarrow left[ begin begin -alt 0\ a^2+4a-12geq 0 end \ begin -ageq 0\ a^2+4a-12gt (-a)^2 end end right. Rightarrow\ Rightarrow left[ begin begin agt 0\ aleq -6cup ageq 2 end \ begin aleq 0\ agt 3 end end right. Rightarrow ageq 2 end Таким образом, у неравенства будет хотя бы одно решение при (ageq 2)
Ответ: (ainleft.left[2;+inftyright.right))

Пример 3. При каких значениях (a) оба корня уравнения (16^x-acdot 4^x+2=0) принадлежат отрезку [0;1]?

Замена: (t=4^xgt 0)
(t^2-at+2=0)
(D=a^2-8)
(Dgeq 0) при (|a|geq 2sqrt<2>)
Решение уравнения: (t_<1,2>=frac><2>)
По условию (0leq x_<1,2>leq 1,) что для замены даёт (4^0leq 4^>leq 4^1, 1leq t_<1,2>leq 4)
Условие выполняется, если одновременно ( begin t_1geq 1\ t_2leq 4 end )
Решаем систему: begin begin frac><2>geq 1\ frac><2>leq 4 end Rightarrow begin a-sqrtgeq 2\ sqrtleq 4-a end Rightarrow\ Rightarrow begin begin a-2geq 0\ a^2-8geq 0\ a^2-8leq (a-2)^2 end \ begin 4-ageq 0\ a^2-8geq 0\ a^2-8leq (4-a)^2 end end Rightarrow begin ageq 2\ aleq 4\ aleq -2sqrt<2>cup ageq 2sqrt<2>\ a^2-8leq a^2-4a+4\ a^2-8leq 16-8a+a^2 end Rightarrow begin 2sqrt<2>leq aleq 4\ aleq 3\ aleq 3 end Rightarrow \ Rightarrow 2sqrt<2>leq aleq 3 end Ответ: (ain[2sqrt<2>;3])

Пример 4. При каких значениях (a) система ( begin 2^x-y+1=0\ |x|+|y|=a end ) имеет ровно одно решение?
Запишите это решение.

Решаем графически.
(y=2^x+1) – это кривая показательной функции (y=2^x), поднятая на 1 вверх.
(|x|+|y|=a) — это множество квадратов с центром в начале координат и вершинами на осях в точках ((pm a;0),(0;pm a)).

Одна точка пересечения при (a=2). Решение – точка ( begin x=0\ y=2 end )
При (alt 2) решений нет.
При (agt 2) — два решения.

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/518184

http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/pokazatelnye-uravneniya-neravenstva-i-sistemy-s-parametrom/

Источник

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи с параметром

Задание
1

#1220

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение (ax+3=0) при всех значениях параметра (a).

Уравнение можно переписать в виде (ax=-3). Рассмотрим два случая:

1) (a=0). В этом случае левая часть равна (0), а правая – нет, следовательно, уравнение не имеет корней.

2) (ane 0). Тогда (x=-dfrac{3}{a}).

Ответ:

(a=0 Rightarrow xin varnothing; \
ane 0 Rightarrow
x=-dfrac{3}{a}).

Задание
2

#1221

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение (ax+a^2=0) при всех значениях параметра (a).

Уравнение можно переписать в виде (ax=-a^2). Рассмотрим два случая:

1) (a=0). В этом случае левая и правая части равны (0), следовательно, уравнение верно при любых значениях переменной (x).

2) (ane 0). Тогда (x=-a).

Ответ:

(a=0 Rightarrow xin mathbb{R}; \
ane 0 Rightarrow x=-a).

Задание
3

#1222

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство (2ax+5cosdfrac{pi}{3}geqslant 0) при всех значениях параметра (a).

Неравенство можно переписать в виде (axgeqslant -dfrac{5}{4}). Рассмотрим три случая:

1) (a=0). Тогда неравенство принимает вид (0geqslant
-dfrac{5}{4}), что верно при любых значениях переменной (x).

2) (a>0). Тогда при делении на (a) обеих частей неравенства знак неравенства не изменится, следовательно, (xgeqslant
-dfrac{5}{4a}).

3) (a<0). Тогда при делении на (a) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, (xleqslant -dfrac{5}{4a}).

Ответ:

(a=0 Rightarrow xin mathbb{R}; \
a>0 Rightarrow xgeqslant -dfrac{5}{4a}; \
a<0 Rightarrow xleqslant -dfrac{5}{4a}).

Задание
4

#1223

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство (a(x^2-6) geqslant (2-3a^2)x) при всех значениях параметра (a).

Преобразуем неравенство к виду: (ax^2+(3a^2-2)x-6a geqslant 0). Рассмотрим два случая:

1) (a=0). В этом случае неравенство становится линейным и принимает вид: (-2x geqslant 0 Rightarrow xleqslant 0).

2) (ane 0). Тогда неравенство является квадратичным. Найдем дискриминант:

(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2).

Т.к. (a^2 geqslant 0 Rightarrow D>0) при любых значениях параметра.

Следовательно, уравнение (ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0) всегда имеет два корня (x_1=-3a, x_2=dfrac{2}{a}). Таким образом, неравенство примет вид:

[(ax-2)(x+3a) geqslant 0]

Если (a>0), то (x_1<x_2) и ветви параболы (y=(ax-2)(x+3a)) направлены вверх, значит, решением являются (xin (-infty; -3a]cup
big[dfrac{2}{a}; +infty)).

Если (a<0), то (x_1>x_2) и ветви параболы (y=(ax-2)(x+3a)) направлены вниз, значит, решением являются (xin big[dfrac{2}{a};
-3a]).

Ответ:

(a=0 Rightarrow xleqslant 0; \
a>0 Rightarrow xin (-infty; -3a]cup big[dfrac{2}{a}; +infty);
\
a<0 Rightarrow xin big[dfrac{2}{a}; -3abig]).

Задание
5

#1851

Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких (a) множество решений неравенства ((a^2-3a+2)x
-a+2geqslant 0) содержит полуинтервал ([2;3)) ?

Преобразуем неравенство: ((a-1)(a-2)x geqslant a-2). Получили линейное неравенство. Рассмотрим случаи:

1) (a=2). Тогда неравенство примет вид (0 geqslant 0), что верно при любых значениях (x), следовательно, множество решений содержит полуинтервал ([2;3)).

2) (a=1). Тогда неравенство примет вид (0 geqslant -1), что верно при любых значениях (x), следовательно, множество решений содержит полуинтервал ([2;3)).

3) ((a-1)(a-2)>0 Leftrightarrow ain (-infty;1)cup (2;+infty)). Тогда:

(xgeqslant dfrac{1}{a-1}). Для того, чтобы множество решений содержало полуинтервал ([2;3)), необходимо, чтобы

(dfrac{1}{a-1} leqslant 2 Leftrightarrow dfrac{3-2a}{a-1}
leqslant 0
Rightarrow ain (-infty; 1)cup [1,5; +infty)).

Учитывая условие (ain (-infty;1)cup (2;+infty)), получаем (ain
(-infty;1)cup (2;+infty)).

4) ((a-1)(a-2)<0 Leftrightarrow ain (1;2)). Тогда:

(xleqslant dfrac{1}{a-1} Rightarrow dfrac{1}{a-1} geqslant 3).

Действуя аналогично случаю 3), получаем (ain (1;
dfrac{4}{3}big]).

Ответ:

(ain (-infty;dfrac{4}{3}big]cup [2;+infty)).

Задание
6

#1361

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Определить количество корней уравнения (ax^2+(3a+1)x+2=0) при всех значениях параметра (a).

Рассмотрим два случая:

1) (a=0). Тогда уравнение является линейным: (x+2=0 Rightarrow
x=-2). То есть уравнение имеет один корень.

2) (ane 0). Тогда уравнение является квадратным. Найдем дискриминант: (D=9a^2-2a+1).

Рассмотрим уравнение (9a^2-2a+1=0): (D’=4-36<0), следовательно, уравнение (9a^2-2a+1=0) не имеет корней. Значит, выражение ((9a^2-2a+1)) принимает значения строго одного знака: либо всегда положительно, либо отрицательно. В данном случае оно положительно при любых (a) (в этом можно убедиться, подставив вместо (a) любое число).

Таким образом, (D=9a^2-2a+1>0) при всех (ane 0). Значит, уравнение (ax^2+(3a+1)x+2=0) всегда имеет два корня: (x_{1,2}=dfrac{-3a-1pm
sqrt D}{2a})

Ответ:

(a=0Rightarrow) один корень

(ane 0 Rightarrow) два корня.

Задание
7

#1363

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решить уравнение (sqrt{x+2a}cdot (3-ax-x)=0) при всех значениях параметра (a).

Данное уравнение равносильно системе:

[begin{cases}
xgeqslant -2a\
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x=-2a \
&3-(a+1)x=0 qquad (*)
end{aligned} end{gathered} right.
end{cases}]

Рассмотрим два случая:

1) (a+1=0 Rightarrow a=-1). В этом случае уравнение ((*)) равносильно (3=0), то есть не имеет решений.

Тогда вся система равносильна (
begin{cases}
xgeqslant 2\
x=2
end{cases} Leftrightarrow x=2)

2) (a+1ne 0 Rightarrow ane -1). В этом случае система равносильна: [begin{cases}
xgeqslant -2a\
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x_1=-2a \
&x_2=dfrac3{a+1}
end{aligned} end{gathered} right.
end{cases}]

Данная система будет иметь одно решение, если (x_2leqslant -2a), и два решения, если (x_2>-2a):

2.1) (dfrac3{a+1}leqslant -2a Rightarrow a<-1 Rightarrow ) имеем один корень (x=-2a).

2.2) (dfrac3{a+1}>-2a Rightarrow a>-1 Rightarrow ) имеем два корня (x_1=-2a, x_2=dfrac3{a+1}).

Ответ:

(ain(-infty;-1) Rightarrow x=-2a\
a=-1 Rightarrow x=2\
ain(-1;+infty) Rightarrow xin{-2a;frac3{a+1}})

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Приложение

Решение заданий первой группы

Задание 2.
Решить уравнение .

Если то
Если то нет
решений
Если один корень

Ответ: 1. При

2.
При нет решений

3. При

Задание 3.
Решить уравнение .

1. Если то

2. Если то нет
решений

3. Если то

Ответ: 1. При

2. При
нет решений

3.
При

Задание 4.
Решить уравнение .

Если то
Если то нет
решений
Если то

Ответ: 1. При

2.
При нет решений

3.
При

Решение заданий второй группы

Задание 2. При каких уравнение имеет
единственное решение.

Исследуем
полученное уравнение.

1. нет решений

Если то уравнение имеет один корень, но

Ответ: При уравнение имеет одно решение.

Задание 3.
Решить уравнение .

Данное уравнение
равносильно

1. одно
решение

а) Если
то одно решение

б) Если

то два решения

в)
Если то нет решений

Ответ: 1. При одно решение

2. При два решения

3. При нет решений

Задание 4. При
каких уравнение имеет
единственное решение.

равносильно

Если то одно решение.
Рассматриваемое уравнение –
квадратное.

Найдём
его дискриминант.

При
исходное уравнение имеет одно решение.

Ответ: При уравнение
имеет единственное решение.

Решение заданий третьей группы

Задание 2. При
каких уравнение имеет
единственное решение.

(1)

Сделаем замену: получим (2)

Обсуждается вопрос, при каких условиях
уравнение (1) имеет единственное решение. Это возможно:

Если уравнение (2) имеет один корень и он
положителен.

Проверим при нет

решений.
При нет решений.

Если уравнение
(2) имеет два действительных корня, но один из них нуль, а второй
положителен.

подставим это значение в исходное
уравнение:

нет
решений.

Исходное
уравнение имеет единственное решение. Если уравнение (2) имеет два
действительных корня, но они имеют различные знаки. Для выполнения этих
условий достаточно выполнение такого неравенства

Ответ: при уравнение имеет единственное
решение.

Задание 3.
Указать число решений уравнения в зависимости от
параметра .

(1) Обозначим Получим
(2)

Уравнение (2) – квадратное уравнение.

От чего зависит
количество решений исходного уравнения? Количество решений уравнения (1)
зависит от дискриминанта уравнения (2) и от области значений функции

Если оба корня
положительны, то уравнение (1) имеет два решения.

Если корни
уравнения (2) имеют различные знаки, или один из корней равен нулю, то
уравнение (1) имеет один корень.

или
нет решений.

Если оба корня
уравнения (2) отрицательны, то уравнение (1) не имеет решений, но про
больший корень можно сказать не положительный.

В
качестве контроля можно на числовой прямой отметить промежутки, на которых
уравнение (1) имеет два корня, один корень. Не имеет корней.

Объединение этих промежутков должно совпадать с областью
допустимых значений параметра.

нет
корней один корень два корня

-1 1

Ответ: 1. При два корня

2.
При один корень

3.
При нет корней.

Задание 4. При
каких значениях уравнение имеет единственное решение.

(1)

Область допустимых
значений параметра :

Замена. (2)

Уравнение (1)
имеет единственное решение при условии, что уравнение (2) имеет
единственный положительный корень.

Проверим: одно
решение.

Уравнение (1) имеет единственное решение,
если уравнение (2) имеет два корня, но один из них нуль, а второй
положителен.

Проверим эти
значения, подставив их в исходное уравнение.

— нет
решений, или — нет решений.

— одно решение.

Уравнение (1)
имеет единственное решение, если уравнение (2) имеет два корня различных
знаков. Для этого достаточно выполнение неравенства

Ответ: При уравнение
имеет единственное решение.

Источник

п.1. Примеры

Пример 1. Решите уравнение:
a) (3cdot 4^{x-2}+27=a+acdot 4^{x-2})
(3cdot 4^{x-2}-acdot 4^{x-2}=a-27)
(4^{x-2}(3-a)=a-27)
(4^{x-2}=frac{a-27}{3-a})
По свойствам показательной функции дробь справа должна быть положительной:
(frac{a-27}{3-a}gt 0Rightarrowfrac{a-27}{a-3}lt 0)

(3lt alt 27)
(x-2=log_4frac{a-27}{3-a})
(x=2+log_4frac{a-27}{3-a})
Ответ:
При (aleq 3cup ageq 27) решений нет, (xinvarnothing)
При (3lt alt 27, x=2+log_4frac{a-27}{3-a})

б) (121^{|x|}-2cdot 11^{|x|}+a=0)
Замена: (t=11^{|x|})
(t^2-2t+a=0)
(D=4-4a=4(1-a))
1) (Dlt 0) при (agt 1), решений нет

2) (D=0) при (a=1, t=frac22=1)
(11^{|x|}=1=11^0Rightarrow |x|=0Rightarrow x=0) — один корень

3) (Dgt 0) при (alt 1, t_{1,2}=frac{2pm 2sqrt{1-a}}{2}=1pm sqrt{1-a})
Корень (t_2=1+sqrt{1-a}) положительный при всех (alt 1)
Получаем для (x: 11^{|x|}=1+sqrt{1-a}Rightarrow |x|=log_{11}(1+sqrt{1-a}))
(log_{11}(1+sqrt{1-a})geq 0,) т.к. (1+sqrt{1-a}geq 1), логарифм может быть равен модулю.
Получаем пару решений: (x=pm log_{11}(1+sqrt{1-a}))

Для корня (t_1=1-sqrt{1-a}) решаем неравенство (учитывая (alt 1)):
( 1-sqrt{1-a}gt 0Rightarrowsqrt{1-a}lt 1Rightarrow begin{cases} 1-alt 1\ alt 1 end{cases} Rightarrow begin{cases} agt 0\ alt 1 end{cases} Rightarrow 0lt alt 1 )
Тогда (|x|=log_{11}(1-sqrt{1-a}), но log_11⁡(log_{11}(1-sqrt{1-a}lt 0) и не может быть равен модулю. Значит, для корня (t_1) решений нет.

Ответ:
При (agt 1) решений нет, (xinvarnothing)
При (a=1) один корень (x=0)
При (alt 1) два корня (x=pm log_{11}⁡(1+sqrt{(1-a)})

Решение квадратного уравнения: (t_{1,2}=frac{apmsqrt{a^2+4a-12}}{2})
По свойству показательной функции, (t) должно быть положительным.
Для первого корня: begin{gather*} a-sqrt{a^2+4a-12}gt 0Rightarrow sqrt{a^2+4a-12}lt aRightarrow begin{cases} agt 0\ a^2+4a-12geq 0\ a^2+4a-12lt a^2 end{cases} Rightarrow \ begin{cases} agt 0\ aleq -6cup ageq 2\ alt 3 end{cases} Rightarrow begin{cases} 0lt alt 3\ aleq -6cup ageq 2 end{cases} Rightarrow 2leq alt 3 end{gather*} Для второго корня: begin{gather*} a+sqrt{a^2+4a-12}gt 0Rightarrow sqrt{a^2+4a-12}gt -aRightarrow left[ begin{array}{l l} begin{cases} -alt 0\ a^2+4a-12geq 0 end{cases} \ begin{cases} -ageq 0\ a^2+4a-12gt (-a)^2 end{cases} end{array} right. Rightarrow\ Rightarrow left[ begin{array}{l l} begin{cases} agt 0\ aleq -6cup ageq 2 end{cases} \ begin{cases} aleq 0\ agt 3 end{cases} end{array} right. Rightarrow ageq 2 end{gather*} Таким образом, у неравенства будет хотя бы одно решение при (ageq 2)
Ответ: (ainleft.left[2;+inftyright.right))

Пример 3. При каких значениях (a) оба корня уравнения (16^x-acdot 4^x+2=0) принадлежат отрезку [0;1]?

Замена: (t=4^xgt 0)
(t^2-at+2=0)
(D=a^2-8)
(Dgeq 0) при (|a|geq 2sqrt{2})
Решение уравнения: (t_{1,2}=frac{apmsqrt{a^2-8}}{2})
По условию (0leq x_{1,2}leq 1,) что для замены даёт (4^0leq 4^{x_{1,2}}leq 4^1, 1leq t_{1,2}leq 4)
Условие выполняется, если одновременно ( begin{cases} t_1geq 1\ t_2leq 4 end{cases} )
Решаем систему: begin{gather*} begin{cases} frac{a-sqrt{a^2-8}}{2}geq 1\ frac{a+sqrt{a^2-8}}{2}leq 4 end{cases} Rightarrow begin{cases} a-sqrt{a^2-8}geq 2\ sqrt{a^2-8}leq 4-a end{cases} Rightarrow\ Rightarrow begin{cases} begin{cases} a-2geq 0\ a^2-8geq 0\ a^2-8leq (a-2)^2 end{cases} \ begin{cases} 4-ageq 0\ a^2-8geq 0\ a^2-8leq (4-a)^2 end{cases} end{cases} Rightarrow begin{cases} ageq 2\ aleq 4\ aleq -2sqrt{2}cup ageq 2sqrt{2}\ a^2-8leq a^2-4a+4\ a^2-8leq 16-8a+a^2 end{cases} Rightarrow begin{cases} 2sqrt{2}leq aleq 4\ aleq 3\ aleq 3 end{cases} Rightarrow \ Rightarrow 2sqrt{2}leq aleq 3 end{gather*} Ответ: (ain[2sqrt{2};3])

Пример 4. При каких значениях (a) система ( begin{cases} 2^x-y+1=0\ |x|+|y|=a end{cases} ) имеет ровно одно решение?
Запишите это решение.

Решаем графически.
(y=2^x+1) – это кривая показательной функции (y=2^x), поднятая на 1 вверх.
(|x|+|y|=a) — это множество квадратов с центром в начале координат и вершинами на осях в точках ((pm a;0),(0;pm a)).

Одна точка пересечения при (a=2). Решение – точка ( begin{cases} x=0\ y=2 end{cases} )
При (alt 2) решений нет.
При (agt 2) — два решения.

Ответ: При (a=2, begin{cases} x=0\ y=2 end{cases} )

Источник

Каталог заданий
Задания Д17 C6. Сложные задачи с параметром. Уравнения с параметром

Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет единственное решение.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 42.

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 44.

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 45.

Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет единственное решение.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 46.

Найдите все целые значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет решения.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 47.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Ход урока.

Для первой группы учащихся выдавались следующие задания.

Для каждого значения a решить уравнения:

Задания для второй группы учащихся.

Указать число решений в зависимости от параметра а.

Третья группа решает уравнения, сводящиеся к квадратным.

Задание 1. Решить уравнение p · 4^x – 4 · 2^x + 1 = 0 и указать число решений в зависимости от параметра p.

Задание 2. При каких a уравнение 9^x + (2a + 4) · 3^x + 8a + 1 = 0 имеет единственное решение.

Задание 3. Указать число решений уравнения 49^x + 2p · 7^x + p² – 1 = 0 в зависимости от параметра p.

Задание 4. При каких значениях p уравнение 4^x – (5p – 3) · 2^x + 4p² – 3p = 0 имеет единственное решение.

Выступление первой группы – решение показательных уравнений вида

Решение исходного уравнения сводится к решению линейного уравнения с параметрами kx = b.

Если k = 0, b = 0, то 0 · x = 0, – любое действительное число.

Если k = 0, b ≠ 0, то 0 · x = b – нет решений.

Если k ≠ 0, то , один корень.

Задание 1. Решить уравнение .

Докладчик решает у доски с комментариями, остальные записывают в тетрадях.

Значит уравнение (1) можно представить в виде (a – 1)(a + 4)x = (a – 1)(a – 1)(a – 3).

Исследуем полученное уравнение:

Ответ:

На этом выступление первой группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 1.

Выступление второй группы – решение уравнений вида

Докладывает лидер второй группы и привлекает к обсуждению этого вопроса всех учащихся. Исходное уравнение равносильно уравнению ax² + bx + c₁ = c₀, или ax² + bx + c = 0.

Далее идёт диалог ученик–ученик.

Какое уравнение получили? – Это уравнение степени не выше второй.
При a = 0, bx + c = 0, получили линейное уравнение, которое может иметь одно решение, не иметь корней, или иметь бесконечное множество решений.
При a ≠ 0, ax² + bx + c = 0, квадратное уравнение.
От чего зависит число решений квадратного уравнения? – Число решений квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Если D = 0 то квадратное уравнение имеет одно решение. Если D > 0, то два решения. Если D < 0, то решений нет.

Задание 1. Решить уравнение .

Данное уравнение равносильно (a – 1)x² + 2(a + 3)x + a + 2 = 0.

Ответ:

На этом выступление второй группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 2.

Выступление третьей группы – решение уравнений вида af²(x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной. f(x) = t, t > 0.

Слово предоставляется выступающему от третьей группы. Он докладывает, что их группа решала уравнения вида: (1) af²(x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной. f(x) = t, t > 0.

Исходное уравнение (1) равносильно

Далее докладчик задаёт вопросы, а учащиеся отвечают на них.

При каких условиях уравнение (1) имеет один корень?

При a = 0 уравнение (2) становится линейным, значит может иметь только один корень, и он должен быть положительным.
Если D = 0, уравнение (2) имеет один корень, и он должен быть положительным.
Если D > 0, уравнение (2) имеет два корня, но они должны быть различных знаков.
Если D > 0, уравнение (2) имеет два корня, но один из низ нуль. А второй положительный.

При каких условиях уравнение (1) имеет два корня?

Исходное уравнение имеет два корня, если уравнение (2) имеет два корня и оба они положительны.

При каких условиях уравнение (1) не имеет корней?

Если D < 0, то исходное уравнение не имеет корней.
Если D ≥ 0.

а) Уравнение (2) имеет один корень, но он отрицательный.

б) Уравнение (2) имеет два корня, но они оба отрицательные.

в) Уравнение (2) имеет два корня. Но один из них нуль, а другой – отрицательный.

Результаты обсуждения этого вопроса заносятся в таблицу.

Далее докладчик решает на доске и класс вместе с ним.

Задание 1. Решить уравнение p · 4^x – 4 · 2^x + 1 = 0 и указать число решений в зависимости от параметра p.

Ответим на вопрос: При каких значениях p уравнение (1) имеет один корень?

Итак, уравнение (1) имеет единственное решение при p ≤ 0, p = 4.

Исходное уравнение имеет два корня при 0 < p < 4.

Осталось выяснить при каких значениях p исходное уравнение не имеет корней. Это возможно в двух случаях. Если D < 0, и если D > 0, то уравнение (2) имеет корни, но они оба отрицательны.

Итак, D < 0, 16 – 4p < 0, p > 4. При p > 4 – нет решений. Второе условие равносильно следующим соотношениям.

Значит уравнение (1) не имеет решений при p > 4.

Ответ:

При p = 4, p ≤ 0 одно решение.
При 0 < p < 4 два решения.
При p > 4 нет решений.

На этом выступление третьей группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 3.

Домашнее задание.

Задание 1. Найти все значения параметра a, при которых уравнение (a – 3) · 4^x – 8 · 6^x + (a +3) 9^x = 0 не имеет корней.

Задание 2.Указать число решений уравнения p · 2^x + 2^–x – 5 = 0 в зависимости от параметра p.

Задание 3. Выяснить при каких значениях a уравнение . имеет решения, найти эти решения.

Задание 4. Найти все значения p при которых уравнение (p – 1) · 4^x – 4 · 2^x + (p + 2) = 0 имеет хотя бы одно решение.

Задание 5. Указать число решений уравнения a · 12^|x| = 2 – 12^–|x| в зависимости от параметра a.

Источник

Показательные уравнения c параметром

Пример 1

Найдите все значения параметра (a), при которых уравнение ((a+1)(4^x+4^{-x})=5) имеет единственное решение.

Решение:

Заметим, что (a+1 > 0), так как (4^x+4^{-x} > 0). Сделаем замену (t=4^x); (t > 0) $$ (a+1)(t+frac{1}{t})=5;$$ $$(a+1)t^2-5t+a+1=0$$ $${t}_{1,2}=frac{5±sqrt{25-4(a+1)^2}}{2(a+1)} .$$

Уравнение будет иметь единственное решение, если $$D=25-4(a+1)^2=0 $$
$$a+1=±frac{5}{2}$$
(a=-3.5 -) не подходит;

(a=1.5;)

Ответ: (a=1.5.)

Логарифмические уравнения с параметром

Пример 2

Решите уравнение (log_a (x^2)+2log_a (x+1)=2) для каждого (a).

Решение:

Найдем ОДЗ: (a>0;) (a≠1); (x>-1); (x≠0).

Перейдем от суммы логарифмов к их произведению:

(x^2 (x+1)^2=a^2 ⇔ |x|(x+1)=a. )

1 случай: (x∈(-1,0).)

Получаем уравнение:

$$-x(x+1)=a ⇔ -x^2-x-a=0,$$
$$D=1-4a;$$
$$ {x}_{1,2}=frac{1±sqrt{1-4a}}{-2};$$

При условии, что (1-4a≥0 ⇔ 0< a ≤ frac{1}{4} )Оба корня лежат в промежутке (x∈(-1,0)).

2 случай: (x>0).

Получаем:

$$ x(x+1)=a, $$
$$ x^2+x-a=0,$$
$$ D=1+4a;$$
$$ {x}_{3,4}=frac{-1±sqrt{1+4a}}{-2};$$

При условии, что $$ 1+4a>0 ⇔ a>0$$ корень $$x=frac{1}{2}-frac{sqrt{1+4a}}{2}$$ не подходит, так как ( x>0.)

Ответ:
При (a≤0) решений нет;
при (0 < a ≤ frac{1}{4}:) $$ {x}_{1,2}=frac{1±sqrt{1-4a}}{-2}$$ $$x_3=frac{-1-sqrt{1+4a}}{-2};$$
при (a > frac{1}{4}:) $$ x_3= frac{-1-sqrt{1+4a}}{-2}.$$

Пример 3

Решение:

При помощи равносильного преобразования приведем наше уравнение к виду:

$$ 16^x+a=4^x, $$
$$ 16^x-4^x+a=0;$$

Сделаем замену: (t=4^x>0 ⇔ t^2-t+a=0,)

Полученное квадратное уравнение должно иметь корни (0 < {t}_{1} < {t}_{2}). Ветки данной параболы направлены вверх. Пусть (f(t)=t^2-t+a).

При помощи таблицы (см. таблицу):

$$ begin{cases} f(0)>0, \D≥0, \D>0, \ {x}_{0}>0; end{cases} $$
$$ begin{cases} a>0, \1-4a>0, \ 1/2>0; end{cases} $$
$$ begin{cases} a>0, \a<1/4. end{cases} $$

Ответ: (a∈(0;1/4).)

Источник

Показательные и логарифмические уравнения с параметром

Показательные уравнения c параметром

Логарифмические уравнения с параметром

Решение показательных уравнений с параметрами

Показательные уравнения, неравенства и системы с параметром

п.1. Примеры

Задачи с параметром

Приложение

Решение заданий первой группы

Решение заданий второй группы

Решение заданий третьей группы

п.1. Примеры

Показательные уравнения c параметром

Логарифмические уравнения с параметром

Новое и интересное на сайте: