Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:
$f'(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$
Дифференцированием называют операцию нахождения производной.
Таблица производных некоторых элементарных функций
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| ${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
| $√x$ | ${1}/{2√x}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | ${1}/{x}$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
| $ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных
$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$
Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$
Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.
$f'(x) = (3x^5 )’-(cos x)’ + ({1}/{x})’ = 15x^4 + sinx — {1}/{x^2}$
2. Производная произведения
$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$
Найти производную $f(x)=4x·cosx$
$f'(x)=(4x)’·cosx+4x·(cosx)’=4·cosx-4x·sinx$
3. Производная частного
$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$
Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$
$f'(x)={(5x^5)’·e^x-5x^5·(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$
$f(x)= cos(5x)$
$f'(x)=cos'(5x)·(5x)’=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Физический смысл производной
Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.
$v(t) = x'(t)$
Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?
Решение:
1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции
$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$
2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:
$3t-3 = 12$
$3t = 15$
$t = 5$
Ответ: $5$
Геометрический смысл производной
Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.
$k = tgα$
Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:
$f'(x_0) = k$
Следовательно, можем составить общее равенство:
$f'(x_0) = k = tgα$
На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Решение:
Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$
Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.
Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)
$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$
$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$
Ответ: $0,25$
Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:
Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.
В ответ запишите количество данных точек.
Решение:
Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.
В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.
Ответ: $2$
Необходимая теория:
Производная функции
Таблица производных
Первообразная функции
Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.
Геометрический смысл производной
Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.
Производная функции 
в точке 
равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.
1. На рисунке изображён график функции 
и касательная к нему в точке с абсциссой 
Найдите значение производной функции 
в точке
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке .
Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:
Ответ: 0,25.
2. На рисунке изображён график функции 
и касательная к нему в точке с абсциссой 
Найдите значение производной функции в точке
Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке образует тупой угол 
с положительным направлением оси 
. Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла 
, смежного с углом .
Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: 
Поскольку 
, имеем:
Ответ: −0, 25.
Касательная к графику функции
3. Прямая 
является касательной к графику функции 
Найдите абсциссу точки касания.
Запишем условие касания функции 
и прямой 
в точке 
При 
значения выражений 
и 
равны.
При этом производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть 
.
Из второго уравнения находим 
или 
Первому уравнению удовлетворяет только 
.
Физический смысл производной
Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.
Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.
Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.
4. Материальная точка движется прямолинейно по закону 
, где 
— расстояние от точки отсчета в метрах, 
— время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени 
с.
Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета: 
Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:
В момент времени 
получим:
.
Ответ: 3.
Применение производной к исследованию функций
Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.
Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.
Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.
И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.
Если 
, то функция 
возрастает.
Если 
, то функция убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
|
возрастает | точка максимума | убывает | точка минимума | возрастает |
 |
 |
0 |  |
0 | |
5. На рисунке изображен график функции 
, определенной на интервале 
Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.
Производная функции 
в точках максимума и минимума функции 
Таких точек на графике 5.
Ответ: 5.
6. На рисунке изображён график 
— производной функции , определённой на интервале 
. В какой точке отрезка ![[-1; 3]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-1%3B%203%5D%20&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-1; 3]")
функция принимает наибольшее значение?
Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?
Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.
На отрезке ![[-1;3]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-1%3B3%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-1;3]")
производная функции положительна.
Значит, функция возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.
Ответ: 3.
7. На рисунке изображён график функции 
, определённой на интервале 
. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой 
Прямая 
параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.
Ответ: 7.
8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале 
Найдите количество точек максимума функции на отрезке ![[-6; 9].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-6%3B%209%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-6; 9].")
Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке ![[-6; 9]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-6%3B%209%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-6; 9]")
такая точка всего одна! Это 
Ответ: 1.
9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале 
Найдите точку экстремума функции 
на отрезке ![[-5; 4].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-5%3B%204%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-5; 4].")
Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке ![[- 5; 4]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-%205%3B%204%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[- 5; 4]")
график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке 
В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.
Значит, 
является точкой экстремума.
Первообразная и формула Ньютона-Лейбница
Функция 
, для которой является производной, называется первообразной функции 
Функции вида 
образуют множество первообразных функции
10. На рисунке изображён график 
— одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале 
Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения 
на отрезке ![[-4; 4] .](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-4%3B%204%5D%20.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-4; 4] .")
Функция 
для которой является производной, называется первообразной функции
Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку ![[-4; 4]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-4%3B%204%5D%20&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-4; 4]")
, в которых производная функции равна нулю. Это точки максимума и минимума функции 
На отрезке ![[-4; 4]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-4%3B%204%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-4; 4]")
таких точек 4.
Ответ: 4.
Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье
Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание №7. Производная. Поведение функции. Первообразная u0026#8212; профильный ЕГЭ по Математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
По мнению выпускников, задание № 11 — самое сложное в первой части ЕГЭ по математике. Ведь там… производная! На деле не стоит бояться — все задания можно решить, зная только 2 алгоритма. В этой статье я о них расскажу! А еще поделюсь полезным лайфхаком, как решать некоторые задания на производную в ЕГЭ, вообще не используя алгоритм и экономя драгоценное время.
Хочешь круто подготовится к ЕГЭ по математике? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий!
Почему задания на производную решает только 40% выпускников?
Ни для кого не секрет, что профильный ЕГЭ по математике состоит из частей с кратким и развёрнутым ответом. В первой части всего 11 заданий. В том числе и интересующее нас задание № 11.
Задание № 11 проверяет, умеют ли выпускники работать с производной. По статистике его решают около 40% всех сдающих экзамен, что для первой части ЕГЭ по математике очень мало.
Проблема этого задания в том, что производную проходят только в середине 11 класса, когда уже активно идет подготовка к ЕГЭ по другим темам. Из-за этого школьники не успевают ее отработать.
Два прототипа задания № 11 ЕГЭ по математике
В этом номере есть всего два типа заданий, которые можно решить с помощью простых алгоритмов. Ученикам нужно лишь запомнить их и выучить таблицу производных.
Сначала необходимо понять, что именно от нас хотят в задании — расскажу небольшой лайфхак. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение». Дело в том, что точка экстремума – это x, а наибольшее или наименьшее значение – это у. Как не запутаться? Обрати внимание на слово-маркер «точка». Если ты видишь его, то речь идет об х, если этого слова нет, то речь об у.
Поиск точек экстремума
Теперь, когда мы разобрались, как не запутаться и понять, что необходимо найти в задаче, приступим к разбору самих заданий и алгоритмов к ним. Начнём с поиска точек экстремума. Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ, определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё, если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Таким образом общий порядок действий будет следующим:
Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума.
Поиск наибольшего / наименьшего значения функции
Перейдём ко второму прототипу, в котором нужно найти наибольшее/наименьшее значение функции. Интересно, что второй прототип можно отличить даже визуально, потому что кроме самой функции вам будет дан ещё промежуток, ограничивающий функцию в двух точках [a; b]. Так как мы про эти точки ничего не знаем, их придётся дополнительно учитывать. В остальном начало этого алгоритма будет совпадать с предыдущим. Начинать всегда будем именно с точек экстремума, потом проверим, как ведёт себя функция в каждой точке экстремума, а также в начале и конце заданного промежутка, и в итоге запишем в ответ нужное значение функции.
Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ
Давайте посмотрим на некоторые задания, которые можно решить гораздо быстрее, не прибегая к использованию алгоритмов. Лайфхаки не работают на абсолютно всех заданиях, поэтому будьте аккуратны, применяя их!
Лайфхак, которые мы рассмотрим сегодня, будет опираться на знание формата экзамена. № 11 – задание из части с кратким ответом, ответ на который мы пишем в клеточки на бланке, а чего в этих клеточках не может быть? Очевидно, что бесконечную дробь, буквы 𝑒, ln(…), log(…), 𝜋, sin𝑥, бесконечность и прочие знаки мы не сможем записать, и это очень сильно упрощает нам задачу.
Разбираем лайфхак на примере
Чтобы выполнить данное задание, необходимо знать таблицу производных и немного порассуждать логически. Если мы пойдём по алгоритму, нам придётся брать производную от e в степени (x-9), а производная от данной функции будет равна тому же самому. И получается, что мы никак не можем избавиться от символа, которого просто не может быть в ответе.
Или можем? Есть замечательная степень, которая абсолютно любое основание может превратить в единицу — это 0. Таким образом, мы можем избавиться от е, если представим её степень (х – 9) равной нулю. Получается х – 9 = 0, тогда х = 9.
Но единственный ли это способ избавиться от «е»? На самом деле нет, так как есть ещё один множитель – скобка. Ее можно занулить, тогда занулится и всё произведение. Получим 10 – х = 0, тогда х = 10. Но не стоит забывать, что найти нас просят наименьшее значение ФУНЦИИ, поэтому теперь подставим найденные х в исходную функцию.
При х = 9 получаем 1, а при х = 10 получаем 0. Видим, что значение 0 меньше, чем 1, а значит именно его мы запишем в ответ. Обратите внимание, что оно достигается при х = 10, поэтому критично важно учитывать как степень экспоненты, так и множитель-скобку.
В этой статье мы рассмотрели два алгоритма, с помощью которых можно решить абсолютно любое задание № 11 ЕГЭ по математике. А еще вы узнали лайфхак, как можно выполнить задание на производную в ЕГЭ, не прибегая к использованию алгоритма, и сэкономить время!
- Учите производную
- Пользуйтесь алгоритмами
- Не забывайте про крутые лайфхаки, но будьте внимательны, применяя их!
Если хочешь разобраться в остальных темах по математике и не только, почитай другие статьи в блоге и обрати внимание на наши онлайн-курсы. Уже более 150 тысяч выпускников подготовились с нами к ЕГЭ. Кстати, у меня на курсах MAXIMUM тоже можно поучиться!
1. Геометрический смысл производной
На рисунке изображён график функции 
и касательная к нему в точке с абсциссой 
. Найдите значение производной функции 
в точке .
2.1. Прямая 
параллельна касательной к графику функции 
. Найдите абсциссу точки касания.
2.2. Прямая 
параллельна касательной к графику функции 
. Найдите абсциссу точки касания.
2.3 Прямая 
параллельна касательной к графику функции 
. Найдите абсциссу точки касания.
2.4 Прямая 
параллельна касательной к графику функции 
. Найдите абсциссу точки касания.
2.5. Прямая 
является касательной к графику функции
. Найдите абсциссу точки касания.
2.6 Прямая 
является касательной к графику функции 
. Найдите абсциссу точки касания.
2.7. Прямая 
является касательной к графику функции
. Найдите абсциссу точки касания.
2.8 Прямая 
является касательной к графику функции 
. Найдите абсциссу точки касания.
3. 1. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале 
. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой 
или совпадает с ней.
3.2. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка 
принимает наименьшее значение.
|
4.1. На рисунке изображен график производной функции |
|
|
4.2. На рисунке изображен график производной функции |
|
|
7.1. На рисунке изображен график функции |
|
|
7.2. На рисунке изображен график функции |
|
|
7.3. На рисунке изображен график функции |
|
|
7.4. На рисунке изображен график функции |
|
|
7.5. На рисунке изображен график производной функции |
|
|
7.6. На рисунке изображен график производной функции |
|
|
7.7. На рисунке изображен график производной функции |
|
|
7.8. На рисунке изображен график производной функции |
|
|
7.9. На рисунке изображен график производной функции |
|
|
7.10. На рисунке изображен график производной функции |
|
|
7.11. На рисунке изображен график производной функции |
|
|
7.12.На рисунке изображен график производной функции |
|
|
7.13. На рисунке изображен график производной функции |
|
|
|
|
|
7.15. На рисунке изображен график производной функции |
|
|
7.16. На рисунке изображен график производной функции |
|
|
Ответы |
|||||||||
|
1.1 |
1.2 |
1.3 |
1.4 |
1.5 |
1.6 |
1.7 |
1.8 |
2.1 |
2.2 |
|
0,25 |
-0,75 |
0,25 |
0,25 |
-0,25 |
1 |
-0,5 |
0,25 |
4,5 |
-0,5 |
|
2.3 |
2.4 |
2.5 |
2.6 |
2.7 |
2.8 |
3.1 |
3.2 |
4.1 |
4.2 |
|
4,5 |
5,5 |
1 |
1 |
-1 |
-5 |
2 |
-2 |
-4 |
12 |
|
5.1 |
5.2 |
5.3 |
6.1 |
6.2 |
6.3 |
7.1 |
7.2 |
7.3 |
7.4 |
|
-1 |
5 |
4 |
-10 |
3 |
4 |
5 |
3 |
3 |
-1 |
|
7.5 |
7.6 |
7.7 |
7.8 |
7.9 |
7.10 |
7.11 |
7.12 |
7.13 |
7.14 |
|
-1 |
7 |
4 |
-2 |
-4 |
18 |
6 |
-3 |
2 |
7 |
|
7.15 |
7.16 |
||||||||
|
-3 |
6 |
Производная функции на ЕГЭ
- 08.11.2013
Материал для подготовки к ЕГЭ по математике на тему: «Производная функции».
Содержание темы:
17. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
17.1. Правила дифференцирования
17.2. Таблица производных элементарных и сложных функций
17.3. Геометрический и физический смысл производной
Тест для проверки теоретических знаний
Примеры
Задачи для самостоятельного решения
Контрольный тест
Рекомендуем использовать этот материал при тщательной подготовке к сдаче ЕГЭ на высокий балл.
В теме содержатся теория и практические задания различного уровня сложности.
Смотреть в PDF:
Или прямо сейчас: Скачайте в pdf файле.
Задание 901
На графике производной функции у = f ‘ / (x) отмечены семь точек: х1,…, х7. Найдите все отмеченные точки, в которых функция f (x) возрастает. В ответе укажите количество этих точек.
Ответ: 4
Скрыть
| Так как дан график производной, то мы будем искать точки над осью OX (функция возрастает, производная положительна) |
|
Задание 937
На графике производной функции у = f‘ / (x) отмечены семь точек: х1,…, х7. Найдите все отмеченные точки, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции f (x) положительный. В ответе укажите количество этих точек.
Ответ: 4
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Угловой коэффициент касательной к графику это и есть значение производной, следовательно, мы ищем, где производная положительная. Так как дан нам график производной, то мы просто найдем количество точек, которые располагаются над осью ОХ: x1,x3,x4,x6 всего 4
Задание 973
Прямая y=3х+4 является касательной к графику функции у=х2‐3x‐c. Найдите c.
Ответ: -13
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Так как прямая является касательной, то мы можем приравнять производные данных функций, чтобы найти абсциссу точки касания: 3 = 2x — 3. Отсюда x = 3. Так же мы можем приравнять сами функции и подставить найденную абсциссу:
3x+4=х2‐3x‐c
3*3+4=32-3*3-с
13=-c, отсюда с = -13
Задание 1013
Производная непрерывной функции f (x) равна нулю в каждой точке отрезка [‐5; 4]. Известно, что f (– 5) = – 5. Найдите f (4)
Ответ: -5
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Раз производная равна нулю на всем промежутке и функция непрерывна, то функция не возрастает и не убывает, то есть сохраняет свое значение. Значит f(– 5) =f(4)= – 5
Задание 1043
Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=6t^{2}-48t+17$$ (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.
Ответ: 60
Задание 1044
Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=frac{1}{2}t^{3}-3t^{2}+2t$$ (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.
Ответ: 20
Задание 1045
Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=-t^{4}+6t^{3}+5t+23$$ (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 3 с.
Ответ: 59
Задание 1046
Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=t^{2}-13t+23$$ (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Ответ: 8
Задание 1047
Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=frac{1}{3}t^{3}-3t^{2}-5t+3$$ (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Ответ: 7
Задание 1048
|
На рисунке показан график движения автомобиля по маршруту. На оси абсцисс откладывается время (в часах), на оси ординат — пройденный путь (в километрах). Найдите среднюю скорость движения автомобиля на данном маршруте. Ответ дайте в км/ч. |
|
Ответ: 40
Задание 1097
К графику функции у = f (x) в точке с абсциссой х0 проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; ‐1) этого графика. Найдите f / (x0).
Ответ: -0,25
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Пусть прямая, проходящая через точки (4; 3) и (3; ‐1) задается формулой y = k1x+b. Найдем k1, подставив имеющиеся координаты в уравнение прямой:
$$left{begin{matrix}3=4*k_{1}+b\ -1=3*k_{1}+bend{matrix}right.$$ Найдем $$k_{1}$$. Решив систему получим, что $$k_{1}=4$$ Далее воспользуемся свойством: если k1 и k2 угловые коэффициенты двух линейных функций, то их графики буду перпендикулярны в том случае, когда k1k2=-1. Получаем, что k2=-1/k1=-1/4=-0.25. А значение производной в точке и есть величина углового коэффициента.
Задание 1175
Функция у = f (x) определена на отрезке [‐4; 4]. На рисунке приведен график её производной. Найдите промежутки убывания функции. В ответе укажите сумму всех целых x, входящих в эти промежутки.
Ответ: 3
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Функция убывает, когда производная отрицательная. То есть мы смотрим, где график производной лежит под осью оХ, и выбираем оттуда целые значения Х (в задании надо сумму целых чисел). Важно выбрать значения, где производная равна 0, так как считается, что если функция определена в точках максимума или минимума, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания. Получаем точки -2; -1; 0 ; 1 ; 2 ;3
-2-1+0+1+2+3=3
Задание 1236
По графику функции у = f (x) определите количество точек на интервале (4;5), в которых касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Ответ: 7
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Если касательная параллельна оси ОХ, то производная равна 0. Производная равна нулю на данном графике функции в точках максимума и минимума ( они отмечены жирной точкой ). Их всего 7
Задание 1277
На рисунке приведен график f ‘ (x) – производной функции у = f (x). Определите абсциссу точки графика функции у = f (x), в которой касательная параллельна прямой у = 2х – 1 или совпадает с ней.
Ответ: -3
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Так как касательная к графику параллельна или совпадает с прямой y = 2x — 1, и при этом значение производной равно коэффициенту k линейной функции ( в нашем случае этот коэффициент равен 2 ), то и значение производной, которое мы ищем, равно 2. А так как нам дан график производной, то мы смело находим точку с ординатой (ось Оу) равную 2 и ищем абсциссу этой точки. Она равна -3
Задание 1290
На рисунке изображён график функции y=F(x) − одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (‐7;4). Пользуясь рисунком, определите значение функции f(x) в точке х=1.
Ответ: 0
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Нам дана первообразная F, нам необходимо найти значение функции f в точке. При подобном задании можно рассматривать следующую ситуацию, вместо F — рассматривается функция g, вместо функции f — производная g’. То есть нам дан график функции g(x), а надо найти значение производной g'(x) в точке x = 1. Как видим на графике, данная точка — точка минимум, значит значение производной и ответ — 0
ЕГЭ по математике Профиль. Задание 6: Уметь выполнять действия с функциями. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.
Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».
ЕГЭ Профиль. Задание № 6
АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ
Задание № 6 ЕГЭ профиль проверяет умение применять производную для решения прикладных задач. Такие задачи часто встречаются в физике и технических областях науки.
Задание состоит из текстовой задачи на определение физического, геометрического смысла производной, промежутков возрастания и убывания функции по её графику и графику её производной или первообразной. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.
При подготовке необходимо повторить правила нахождения производной, физический и геометрический смысл производной, понятие возрастания и убывания функции, понятие первообразной.
План выполнения задания № 6:
- Внимательно прочитайте задачу.
- Рассмотрите график. Определите, какой из графиков вам дан: функции, производной функции или первообразной функции. От ответа на данный вопрос зависит ход решения задачи.
- Определите по графику необходимые значения.
- Запишите полученное число в поле ответа КИМ и бланк ответов № 1.
1) Задачи на Физический смысл производной
Задачи на применение физического смысла производной состоят из текста и выражения, описывающего уравнение движения материальной точки или тела.
Производная перемещения по времени выражает скорость движения: v(t) = x'(t) = at + v0.
Производная скорости по времени выражает ускорение движения: a(t) = v'(t).
Задача № 6 (1). Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t2 – 8t – 9, где х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в м/с) в момент времени t = 5с.
Решение: Найдём закон изменения скорости: v(t) = x'(t) = 4t – 8.
При t = 5 имеем: v(5) = 4 • 5 – 8 = 12.
Ответ: 12.
Комментарий. Иногда в ответе получаются отрицательные числа, которые учащиеся рассматривают как ошибочный ответ.
Задача № 6 (2). Тело движется прямолинейно по закону: x(t) = 2t3 + t – 1. В какой момент времени (в секундах) его ускорение будет равно 12 м/с2?
Решение: Найдём закон изменения скорости: v(t) = x'(t) = 6t2 + 1.
Ускорение — это производная скорости по времени: a(t) = v'(t) = 12t.
Чтобы найти, в какой момент времени ускорение было 12 м/с2, решим уравнение: 12t = 12. Отсюда t = 1 c.
Ответ: 1.
Комментарий. Обратите внимание: в задании нужно найти, в какой момент времени ускорение (не скорость!) будет равно 12 м/с2.
2) Задачи на Геометрический смысл производной
Задание ориентировано на умение выпускников читать и анализировать графики, содержит задачи на определение или вычисление величин по графику, рассчитано на умение использовать знания в практической деятельности. При подготовке нужно повторить понятия: точка максимума, точка минимума, точки экстремума, убывание и возрастание функции, уравнение касательной к графику функции.
Геометрический смысл производной: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 равен производной этой функции в точке х0.
Геометрический смысл производной: k = tg a = f'(x)
Производная функции в точке с абсциссой х есть тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику этой функции в точке (х0; f(x0)). При tg a > 0 производная функции положительна, при tg a < 0 производная отрицательна. При tg a = 0 производная равна нулю.
Точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая окрестность точки х0, что для любого х из этой окрестности верно неравенство f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)).
Задача № 6 (3). На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены пять точек на оси абсцисс: х1, х2, х3, х4, х5. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
Решение: Производная функции отрицательна в тех точках, которые принадлежат участкам убывания функции. Это точки х2, х4 — всего 2 точки.
Ответ: 2.
Задача № 6 (4). На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами А, В, С и D. Пользуясь графиком, определите, в какой из данных точек значение производной наибольшее. В ответе укажите число, которое ей соответствует по таблице.
Решение: Производная функции положительна в точках А и D, так как в данных точках функция возрастает.
Угол 1 больше угла 2, значит, тангенс первого угла больше тангенса второго угла, соответственно, значение производной в точке А больше значения производной в точке D.
Ответ: 1.
Задача № 6 (5). На рисунке изображён график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой у = 3х–2 или совпадает с ней.
Решение: Поскольку касательная параллельна прямой у = 3х – 2 или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент, равный 3 (у’ = 3). Найдём, при каких х производная принимает значение 3. Из графика видно, что значению у = 3 соответствует точка х = 4.
Ответ: 4.
3) Задачи на Применение
производной к исследованию функций
Задание содержит задачи на определение или вычисление величин по графику, рассчитано на умение использовать знания в практической деятельности. При подготовке нужно повторить понятия: точка максимума, точка минимума, точки экстремума, убывание и возрастание функции, уравнение касательной к графику функции.
- Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке х0, то в этой точке производная равна нулю или не существует.
- Если f'(x) = 0 и при переходе через точку х0 значения производной меняют знак с «+» на «–», то х0 — точка максимума.
- Если f'(x) = 0 и при переходе через точку х0 значения производной меняют знак с «–» на «+», то х0 — точка минимума.
- Если f'(x) = 0 и при переходе через точку х0 значения производной не меняют знак, то х0 не является точкой экстремума.
- Если в каждой точке х некоторого промежутка f'(х) > 0, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.
- Если в каждой точке х некоторого промежутка f'(х) < 0, то функция f{x) убывает на этом промежутке.
Задача № 6 (6). На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (–7; 7). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение: Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная положительна, то есть промежуткам (–7; –6); (–4; –2); (2; 4); (6; 7). Данные промежутки содержат целые числа –3; 3. Их сумма равна 0.
Ответ: 0.
ПРИМЕЧАНИЕ: В ответе нужно указать сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания.
4) Задачи на Первообразную
Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на заданном промежутке х, если для всех х из этого промежутка верно равенство F'(x) = f(x).
Если функция y = F(x) является первообразной для функции y = f(x) на некотором промежутке, то и функция y = F(x) + C (С — постоянная) является первообразной для функции f на этом промежутке.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b]. Тогда площадь трапеции, ограниченной линиями y = f(x); у = а; у = b и у = 0, равна F(b) – F(a), где F(x) — первообразная функции f(x).
Задача № 6 (7). На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Пользуясь рисунком, вычислите F(5) – F(1), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Решение: Разность значений первообразной в точках 5 и 1 равна площади выделенной на рисунке трапеции.
Площадь трапеции ограничена точками 1 и 5.
Площадь трапеции вычисляется по формуле S = h • (a + b)/2.
Из рисунка видно, что а =2, b = 4, h = 4. Значит, F(5) – F(1) = 4 • (2 + 4)/2 = 12.
Ответ: 12.
ПРИМЕЧАНИЕ: Если результат отрицательный или равен нулю, значит, в вычислениях была допущена ошибка.
Тренировочные задания с самопроверкой
№ 6.1. На рисунке изображён график у = f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (–5; 7). В какой точке отрезка [–3; 2] f(x) принимает наименьшее значение?
Открыть ОТВЕТ
№ 6.2. Прямая у = 5х + 4 параллельна касательной к графику функции у = х2 – 4х – 12. Найдите абсциссу точки касания.
Открыть ОТВЕТ
№ 6.3. На рисунке изображён график у = f‘(х) – производной функции f(х), определённой на интервале (–5; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(х) параллельна прямой у = 2х – 4 или совпадает с ней.
Открыть ОТВЕТ
№ 6.4. На рисунке изображён график у = f‘(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (–7; 8). Найдите, в какой точке отрезка [–4; 4] функция принимает наибольшее значение.
Открыть ОТВЕТ
№ 6.5. На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции g(х) = 4f(x) – 12 в точке x0.
Открыть ОТВЕТ
Вы смотрели: ЕГЭ по математике Профиль. Задание 6: Уметь выполнять действия с функциями. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.
Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».
Просмотров:
20 655