Реальные варианты егэ профиль математика 2016

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Пачка чипсов стоит (170) рублей. Какое наибольшее количество пачек чипсов можно купить на (1100) рублей во время распродажи, когда скидка составляет (20%)?

Во время распродажи пачка чипсов стоит (170cdot (1 — 0,2) = 136) рублей. По условию задачи надо найти наибольшее целое число, при умножении которого на (136) результат останется не больше (1100). Это число получается после округления в меньшую сторону результата от деления (1100) на (136) и равно (8).

Ответ: 8

На графике показан процесс разогрева двигателя старого мотоцикла. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Фаренгейта. Определите по графику, сколько минут двигатель разогревался от температуры (60^circ F) до температуры (100^circ F).

Двигатель разогрелся до температуры (60^circ F) через (3) минуты после запуска, а до (100^circ F) через (8) минут после начала запуска. От (60^circ F) до (100^circ F) двигатель разогревался (8
— 3 = 5,)минут.

Ответ: 5

На клетчатой бумаге с размером клетки (1times 1) изображён угол (AOB). Найдите тангенс этого угла.

Ответ: 1

Фабрика шьёт шапки. В среднем (7) шапок из (40) имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная шапка окажется без дефектов.

В среднем (40 — 7 = 33) шапки из сорока не имеют дефектов, следовательно, вероятность купить шапку без дефектов равна [dfrac{33}{40} = dfrac{330}{400} = dfrac{82,5}{100} = 0,825,.]

Ответ: 0,825

Найдите корень уравнения [7^{log_{49}(13x — 13)} = 13]

ОДЗ: [13x — 13 > 0qquadLeftrightarrowqquad x > 1]

На ОДЗ: [7^{log_{49}(13x — 13)} = 7^{0,5log_{7}(13x — 13)} =
7^{log_{7}sqrt{13x — 13}} = sqrt{13x — 13},] следовательно, на ОДЗ уравнение имеет вид: [sqrt{13x — 13} = 13quadRightarrowquad 13x — 13 = 13^2quadRightarrowquad 13x = 182quadRightarrowquad x = 14] – подходит по ОДЗ.

Ответ: 14

В прямоугольном треугольнике (ABC) угол (C) равен (90^circ), (AB =
6), (mathrm{tg}, A = dfrac{1}{2sqrt{2}}). Найдите (BC).

По теореме Пифагора:[AB^2 = AC^2 + BC^2qquadRightarrowqquad 36 =
8x^2 + x^2qquadRightarrowqquad x^2 = 4,] откуда (x = 2) (так как нас интересуют только (x > 0)).

Ответ: 2

Прямая (y = 2x — 1) является касательной к графику функции (y = x^3
+ 6x^2 + 11x — 1). Найдите абсциссу точки касания.

В точке касания прямой (y = 2x — 1) и графика функции (y = x^3 +
6x^2 + 11x — 1) производная этой функции совпадает с угловым коэффициентом (k) прямой, который в данном случае равен (2).

Тогда [y’ = 2 Leftrightarrow 3x^2 + 12x + 11 = 2
Leftrightarrow 3x^2 + 12x + 9 = 0 Leftrightarrow x^2 + 4x + 3
= 0] Корни последнего уравнения: [x_1 = -3qquad x_2 = -1]

Проверим, при каком из полученных (x) прямая и график имеют общую точку:

при (x = -3):
ордината точки на прямой равна (2cdot(-3) — 1 = -7), а ордината точки на графике равна [(-3)^3 + 6cdot(-3)^2 + 11cdot(-3) — 1 = -7,] то есть прямая и график проходят через точку ((-3; -7)) и производная функции в точке (x = -3) совпадает с угловым коэффициентом прямой, следовательно, они касаются в этой точке.

при (x = -1):
ордината точки на прямой равна (2cdot(-1) — 1 = -3), а ордината точки на графике равна [(-1)^3 + 6cdot(-1)^2 + 11cdot(-1) — 1 =
-7,] то есть ординаты этих точек разные, следовательно, при (x =
-1) у прямой и графика нет общей точки.

Итого: (-3) – искомая абсцисса.

Ответ: -3

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности данного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями (10times 12times 13) и равна таким образом (2cdot(10cdot 12 + 12cdot 13 + 10cdot 13)
= 812).

Ответ: 812

Найдите значение выражения [sqrt{48}sin^2 dfrac{pi}{12} — 2sqrt{3}]

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: (cos 2x = 1 —
2sin^2x), тогда при (x = dfrac{y}{2}) имеем: [cos y = 1 — 2sin^2dfrac{y}{2}qquadRightarrowqquad sin^2dfrac{y}{2} = dfrac{1 — cos y}{2},.]

Подставляя (y = dfrac{pi}{6}), получим: [sin^2dfrac{pi}{12} = dfrac{1 — cos frac{pi}{6}}{2} = dfrac{1 — frac{sqrt{3}}{2}}{2},.]

Так как (sqrt{48} = 4sqrt{3}), то исходное выражение можно переписать в виде [4sqrt{3}cdot dfrac{1 — frac{sqrt{3}}{2}}{2} — 2sqrt{3} = 2sqrt{3} — 3 — 2sqrt{3} = -3,.]

Ответ: -3

Грузовик тащит легковой автомобиль с силой (120,)кН, направленной под острым углом (alpha) к горизонту. Работа грузовика (в килоджоулях) на участке длиной (l = 150,)м вычисляется по формуле (A = Flcosalpha). При каком максимальном угле (alpha) (в градусах) совершённая работа будет не менее (9000,)кДж?

По условию задачи имеем:[Flcosalphageqslant
9000quadLeftrightarrowquad 120cdot 150cdotcosalphageqslant
9000quadLeftrightarrowquad cosalphageqslant 0,5,.]

Учитывая, что (alphain[0^circ; 90^circ]), получаем, что (alphaleqslant 60^circ) (в этом легко убедиться, глядя на тригонометрический круг).

Таким образом, ответ: при (alpha = 60^circ).

Ответ: 60

Первый и второй насосы наполняют бассейн за (9) минут, второй и третий за (15) минут, а первый и третий за (10) минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Первый и второй насосы за минуту заполняют (dfrac{1}{9}) часть бассейна,

второй и третий насосы за минуту заполняют (dfrac{1}{15}) часть бассейна,

первый и третий насосы за минуту заполняют (dfrac{1}{10}) часть бассейна, тогда [dfrac{1}{9} + dfrac{1}{15} + dfrac{1}{10} = dfrac{25}{90}] – часть бассейна, заполняемая за минуту всеми тремя насосами, если вклад каждого насоса учесть дважды. Тогда [dfrac{1}{2}cdotdfrac{25}{90} = dfrac{25}{180}] – часть бассейна, заполняемая за минуту всеми тремя насосами.

Следовательно, все три насоса заполняют бассейн за (dfrac{180}{25}
= 7,2) минуты.

Ответ: 7,2

Найдите наименьшее значение функции [y = 121x — ln(121x) + 3] на отрезке (left[dfrac{1}{242}; dfrac{5}{242}right])

ОДЗ: [121x > 0qquadLeftrightarrowqquad x > 0] Решим на ОДЗ:

1) [y’ = 121 — dfrac{121}{121x} = 121 — dfrac{1}{x} = dfrac{121x
— 1}{x}]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [dfrac{121x — 1}{x} = 0qquadLeftrightarrowqquad x = dfrac{1}{121}]

Производная функции (y) не существует при (x = 0), но (x = 0) не входит в ОДЗ. Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

Таким образом, наименьшее значение на отрезке (left[dfrac{1}{242};
dfrac{5}{242}right]) функция (y) достигает в (x = dfrac{1}{121}):

[yleft(dfrac{1}{121}right) = dfrac{121}{121} — lndfrac{121}{121} + 3 = 1 — 0 + 3 = 4,.]

Итого: (4) – наименьшее значение функции (y) на отрезке (left[dfrac{1}{242}; dfrac{5}{242}right]).

Ответ: 4

а) Решите уравнение [cos x(2cos x + mathrm{tg}, x) = 1,.]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (left[-pi; dfrac{pi}{2}right]).

а) ОДЗ: [cos xneq 0qquadLeftrightarrowqquad x neq
dfrac{pi}{2} + pi k, kinmathbb{Z}]

На ОДЗ: [cos x(2cos x + mathrm{tg}, x) =
1quadLeftrightarrowquad 2cos^2 x + sin x =
1quadLeftrightarrowquad 2 — 2sin^2 x + sin x = 1]

Сделаем замену (t = sin x): [2 — 2t^2 + t = 1quadLeftrightarrowquad 2t^2 — t — 1 = 0]

б) (-pi leqslant -dfrac{pi}{6} + 2pi k leqslant
dfrac{pi}{2}) равносильно (-dfrac{5pi}{6} leqslant 2pi k
leqslant dfrac{4pi}{6}), что равносильно (-dfrac{5}{12}
leqslant k leqslant dfrac{1}{3}), но (kinmathbb{Z}), следовательно, среди этих решений подходит только решение при (k =
0): (x = -dfrac{pi}{6})

(-pi leqslant dfrac{7pi}{6} + 2pi k leqslant dfrac{pi}{2}) равносильно (-dfrac{13pi}{6} leqslant 2pi k leqslant
-dfrac{4pi}{6}), что равносильно (-dfrac{13}{12} leqslant k
leqslant -dfrac{1}{3}), но (kinmathbb{Z}), следовательно, среди этих решений подходит только решение при (k = -1): (x =
-dfrac{5pi}{6}).

Ответ:

а) (-dfrac{pi}{6} + 2pi k, dfrac{7pi}{6} + 2pi k,
kinmathbb{Z})

б) (-dfrac{pi}{6}, -dfrac{5pi}{6})

В правильной четырёхугольной призме (ABCDA_1B_1C_1D_1) точка (M) делит боковое ребро (AA_1) в отношении (AM : MA_1 = 1 : 3). Через точки (B) и (M) проведена плоскость (alpha), параллельная прямой (AC) и пересекающая ребро (DD_1) в точке (N).

а) Докажите, что плоскость (alpha) делит ребро (DD_1) в отношении (D_1N : DD_1 = 1 : 2).

б) Найдите площадь сечения, если известно, что (AB = 5), (AA_1 = .

а) Т.к. призма правильная, то она прямая и в основании ее лежит квадрат (ABCD).

Необходимо доказать, что точка (N) – середина (DD_1).

Пусть (MKcap BN=O), (ACcap BD=Q). Плоскости (BDD_1) и (ACC_1) пересекаются по прямой (QQ_1), проходящей через точки пересечения диагоналей граней (ABCD) и (A_1B_1C_1D_1) и параллельной (AA_1). Т.к. (BNin BDD_1), (MKin ACC_1), то точка (O) лежит на (QQ_1), следовательно, (OQparallel AA_1 Rightarrow OQperp (ABC)). Таким образом, (OQ=AM=x).

(triangle OQBsim triangle NDB) по двум углам ((angle D=angle
Q=90^circ, angle B) – общий), следовательно,

[dfrac{ND}{OQ}=dfrac{DB}{QB} Leftrightarrow dfrac{ND}x=
dfrac{2QB}{QB} Rightarrow ND=2x]

Но все ребро (DD_1=AA_1=4x), следовательно, (N) – середина (DD_1).

б) По теореме о трех перпендикулярах ((OQperp (ABC), text{проекция
} BQperp AC)) наклонная (BOperp AC Rightarrow BOperp MK) (т.к. (ACparallel MK)). Значит, (BNperp MK).

Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна полупроизведению диагоналей, то есть (S_{MBKN}=dfrac 12 MKcdot BN). Найдем (MK) и (BN).

(MK=AC=ABsqrt 2=5sqrt2).

По теореме Пифагора (BN=sqrt{BD^2+ND^2}=sqrt{(5sqrt2)^2+4^2}=sqrt{66})

Значит, (S_{MBKN}=dfrac12cdot 5sqrt2cdot sqrt{66}=5sqrt{33}).

Ответ:

б) (5sqrt{33})

Решите неравенство [log_x(sqrt{x^2 + 4x — 5} + 3)cdotlg(x^2 +
4x — 4)geqslantlog_x 6.]

ОДЗ:

[begin{aligned}
begin{cases}
x > 0\
xneq 1\
x^2 + 4x — 5geqslant 0\
sqrt{x^2 + 4x — 5} + 3 > 0\
x^2 + 4x — 4 > 0
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad x > 1
end{aligned}]

На ОДЗ:
(log_x 6 > 0), следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
&dfrac{log_x(sqrt{x^2 + 4x — 5} + 3)}{log_x 6}cdotlg(x^2 + 4x — 4)geqslant 1qquadLeftrightarrow\
Leftrightarrowqquad &log_6(sqrt{x^2 + 4x — 5} + 3)cdotlg(x^2 +
4x — 4)geqslant 1
end{aligned}]

Сделаем замену (t = sqrt{x^2 + 4x — 5} > 0).

После замены: [log_6(t + 3)cdotlg(t^2 + 1)geqslant 1]

При (t > 0) оба множителя в левой части возрастают, следовательно, их произведение возрастает, а правая часть постоянна, тогда равенство [log_6(t + 3)cdotlg(t^2 + 1) = 1] может достигаться только в одной точке. Легко убедиться, что оно выполнено при (t = 3), следовательно, только при (tgeqslant 3) будет выполнено последнее неравенство.

Таким образом, [sqrt{x^2 + 4x — 5}geqslant 3,] что на ОДЗ равносильно [x^2 + 4x — 5geqslant 9quadLeftrightarrowquad x^2 + 4x — 14geqslant 0quadLeftrightarrowquad (x + 2 — 3sqrt{2})(x + 2 + 3sqrt{2})geqslant 0,] откуда с учётом ОДЗ [xin[3sqrt{2} — 2; +infty),.]

Ответ:

([3sqrt{2} — 2; +infty))

Окружность, вписанная в треугольник (MNK), касается сторон (MN), (NK) и (MK) в точках (A), (B) и (C) соответственно.

а) Докажите, что (NB = dfrac{MN + NK — MK}{2}).

б) Найдите отношение (MA : AN), если известно, что (NB : NK = 1 : 3) и (angle MNK = 60^circ).

а) По теореме об отрезках касательной (AN = NB), (AM = MC), (BK =
KC), тогда

[begin{aligned}
&dfrac{MN + NK — MK}{2} = dfrac{AM + AN + NB + BK — MC — KC}{2} =\
= ,&dfrac{MC + NB + NB + BK — MC — BK}{2} = NB,
end{aligned}]

что и требовалось доказать.

б) Обозначим (MA = ka), (AN = a) (тогда искомая величина есть (k)), следовательно (NB = a), тогда (BK = 2a).

По теореме об отрезках касательной: [MC = ka,qquad CK = 2a.]

Запишем теорему косинусов для треугольника (MNK): [MK^2 = MN^2 + NK^2 — 2cdot MNcdot NKcdotcosangle MNK,.] Подставляя известные величины, получим:

[begin{aligned}
&(ka + 2a)^2 = (ka + a)^2 + 9a^2 — 2cdot (ka + a)cdot 3acdot 0,5quadLeftrightarrow\
Leftrightarrowquad &a^2(k + 2)^2 = a^2(k + 1)^2 + 9a^2 — (k + 1)cdot 3a^2quadLeftrightarrow\
Leftrightarrowquad &(k + 2)^2 = (k + 1)^2 + 9 — 3(k +
1)quadLeftrightarrowquad 5k = 3quadLeftrightarrowquad k =
0,6,.
end{aligned}]

Ответ:

б) (0,6)

Тимур мечтает о собственном небольшом торговом центре, который стоит (600) млн. руб. Тимур может купить его в кредит, при этом банк “Рисковый” готов выдать ему эту сумму сразу, а погашать кредит Тимуру придётся (40) лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придётся выплатить сумму, на (180%) превышающую исходную. Вместо этого, Тимур может какое-то время арендовать торговый центр (стоимость аренды – (1) млн. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку торгового центра сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съемный торговый центр. За какое время в этом случае Тимур сможет накопить на торговый центр, если считать, что его стоимость не изменится?

По первой схеме Тимуру придётся выплатить ((1 + 1,8)cdot 600 =
1680) млн. руб. за 40 лет. Таким образом, в месяц Тимуру придётся выплачивать [dfrac{1680}{40cdot 12} = 3,5 text{млн. руб.}]

Тогда по второй схеме Тимур сможет откладывать по (3,5 — 1 = 2,5) млн. руб. в месяц, следовательно, ему понадобится [dfrac{600 text{млн. руб.}}{2,5 text{млн. руб./месяц}} = 240
text{месяцев},] что составляет (20) лет.

Ответ:

(20) лет

Найдите все такие значения параметра (a), при каждом из которых наименьшее значение функции [y = 3cdot|2x + a| + 2cdot|x^2 — x — 2|] меньше (4).

Условие данной задачи можно переформулировать следующим образом: при каких (a) существует хотя бы одна точка на графике функции (y), которая находится ниже прямой (y=4), или, что то же самое:

[3cdot|2x + a| + 2cdot|x^2 — x — 2|<4 quad text{ имеет хотя бы одно решение.}]

Сделаем замену (-frac12 a=b). Тогда неравенство перепишется в виде:

[6|x-b|+2|x^2-x-2|<4 quad Leftrightarrow quad |x^2-x-2|<2-3|x-b|]

Рассмотрим две функции: (f(x)=|x^2-x-2|) и (g(x)=2-3|x-b|). График функции (g(x)) при каждом фиксированном (b) представляет собой угол, ветви которого направлены вниз, а вершина находится в точке ((b;2)).

Тогда смысл неравенства таков: необходимо найти те значения (b), при которых существует хотя бы одна точка (X) графика (f(x)), находящаяся ниже графика функции (g(x)).

1) Рассмотрим значения (b), при которых вершина угла находится между точкой (A_I) и точкой (A_{II}) (включая эти точки). В этом случае все точки графика (f(x)) находятся не ниже точек графика (g(x)). Найдем эти значения (b):

точка (A_I) имеет координаты ((0;2)), следовательно, (b=0); точка (A_{II}) имеет координаты ((1;2)), следовательно, (b=1). Значит, при всех (bin [0;1]) все точки графика (f(x)) не ниже точек графика (g(x)).

Заметим, что когда вершина угла находится между точками (A_{II}) и (A_{III}), то всегда есть хотя бы одна точка графика (f(x)), находящаяся ниже графика (g(x)).

2) Так происходит до тех пор, пока вершина не будет в точке (A_{III}) — когда левая ветвь (g(x)) касается правой ветви (f(x)) в точке (x_0); и в этом случае снова все точки графика (f(x)) находятся не ниже (g(x)). Найдем это значение (b).

Правая ветвь (f(x)) задается уравнением (y=x^2-x-2, xgeqslant 2); левая ветвь (g(x)) задается уравнением (y_1=2+3(x-b), xleqslant b).

((x^2-x-2)’=2x-1, quad 2x_0-1=3 Rightarrow x_0=2 Rightarrow
y(2)=y_1(2) Rightarrow b=dfrac83).

Значит, при всех (bgeqslant dfrac83) все точки графика (f(x)) будут находиться не ниже точек графика (g(x)).

3) Аналогично рассматривается случай, когда вершина угла находится в точке (A_{IV}) или левее (правая ветвь (g(x)) касается левой ветви (f(x))). В этом случае (bleqslant -dfrac53).

Таким образом, мы нашли значения (b), когда все точки графика (f(x)) будут находиться не ниже точек графика (g(x)). Значит, в ответ должны пойти все значения (b), кроме найденных, а это: (bin
left(-dfrac53; 0right)cup left(1; dfrac83right)).

Перейдем теперь к (a): т.к. (b=-frac12 a), то (ain
left(-dfrac{16}3; -2right)cupleft(0;dfrac{10}3right)).

Ответ:

(ain left(-dfrac{16}3; -2right)cupleft(0;dfrac{10}3right))

После того, как учитель прочитал классу своё новое стихотворение, выяснилось, что большая часть класса не расслышала первой его строчки. На перемене один ученик нашёл стихотворение на учительском столе и прочитал первую строчку (и только он). Также известно, что в классе учится не более (35), но не менее (25) человек.

а) Могло ли получиться так, что теперь уже меньшая часть класса не видела и не слышала первой строчки?

б) Могло ли получиться так, что исходно процент учеников, видевших или слышавших первую строчку, выражался целым числом, а после перемены – нецелым числом?

в) Какое наибольшее целое значение может принять процент учеников класса, так и не услышавших и не увидевших первой строчки этого стихотворения?

а) Такое возможно, например, в случае, если в классе (25) учеников и (12) из них слышали первую строчку до перемены.

б) Такое возможно, например, в случае, если в классе (28) учеников и (7) из них слышали первую строчку до перемены – тогда до перемены первую строчку слышали или видели [dfrac{7}{28}cdot 100% = 25%
text{учеников,}] а после перемены [dfrac{8}{28}cdot 100% =
dfrac{200}{7}% text{учеников.}]

в) В случае, если в классе (25) человек и в итоге первую строчку этого стихотворения услышал/увидел только один человек, процент учеников класса, так и не услышавших и не увидевших первой строчки этого стихотворения равен [dfrac{24}{25}cdot 100 = 96,.]

Докажем, что большего целого значения эта величина принять не могла. В самом деле, если процент учеников, не слышавших и не видевших первую строчку – целое число, то и процент учеников, слышавших/видевших первую строчку тоже целое число.

Понятно также, что процент учеников, не слышавших и не видевших первую строчку, максимален тогда и только тогда, когда минимален процент учеников, слышавших/видевших первую строчку.

Сделать процент учеников, слышавших/видевших первую строчку, ещё меньше можно только в случае, когда ровно один ученик слышал/видел первую строчку, а в классе количество учеников больше, чем (25). Пусть в классе (u > 25) учеников, тогда искомый процент равен [dfrac{1}{u}cdot 100,.]

Мы доказали, что это число должно быть целым, чтобы выполнилось условие задачи, но тогда (100) должно делиться на (u), где (25 <
uleqslant 35) – целое. Легко убедиться, что подходящих (u) нет, следовательно, окончательный ответ: (96).

Ответ:

а) Да

б) Да

в) (96)