Реальные задания егэ математика профиль 2022

ЕГЭ по математике — Профиль 2022. Открытый банк заданий с ответами.

Решение заданий и ответы вариантов Дальнего Востока Москвы и других регионов реального ЕГЭ от 2 июня 2022 года по математике (профильный уровень). Основная волна КИМ, ДВ, МСК Дальневосточный, Владивосток, профиль. 

Все материалы получены из открытых источников и публикуются после окончания экзамена в ознакомительных целях.

Задание 1.
Найдите корень уравнения sqrt{22-3x}=2.

ИЛИ

Найдите корень уравнения 7^−6−х = 343.

Задание 2.
В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 14 из Сербии, 23 из Хорватии, остальные из Словении. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Сербии.

ИЛИ

В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 6 из Черногории, 7 из Сербии, 8 из Хорватии и 9 из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Словении.

ИЛИ

В сборнике билетов по химии всего 60 билетов, в 3 из них встречаются вопрос по теме «Белки». Найдите вероятность того что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Белки».

ИЛИ

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 7 спортсменов из Германии и 9 спортсменов из США. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двенадцатым будет выступать спортсмен из Германии.

Задание 3.
Отрезки АС и ВD – диаметры окружности с центром О. Угол АОD равен 108°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

ИЛИ

Найдите центральный угол АОВ, если он на 67 градусов больше острого вписанного угла АСВ, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

ИЛИ

Треугольник ABC вписан в окружность с центром О. Угол ВАС равен 32°. Найдите угол ВОС. Ответ дайте в градусах.

Задание 4.
Найдите значение выражения sqrt{2}sinfrac{7pi}{8}cosfrac{7pi}{8}.

ИЛИ

Найдите значение выражения frac{10sin38°}{sin19°cdot sin71°}.

ИЛИ

Найдите значение выражения frac{7sin154°}{cos77°cdot cos13°}.

Задание 5.
Объем первого цилиндра равен 6 кубических метров. У второго цилиндра высота в 2 раза меньше, а радиус основания – в 3 раза больше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

ИЛИ

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

ИЛИ

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 12 раз, а радиус основания не изменится?

Задание 6.
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

ИЛИ

На рисунке изображены график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥₀. Найдите значение производной функции 𝑓(𝑥) в точке 𝑥₀.

Задание 7.
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону   , где m₀ – начальная масса изотопа, t – время, прошедшее от начального момента, Т – период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 20 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

ИЛИ

Водолазный колокол, содержащий v = 2 моль воздуха при давлении p₁ = 2,4 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p₂ в атмосферах. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле ‚ где α = 13,5 Дж/моль·К – постоянная, Т = 300 К – температура воздуха. Найдите, какое давление p₂ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 16200 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

ИЛИ

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением а = 6500 км/ч². Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле ‚ где l – пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 130 км/ч.

Задание 8.
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 23 часа после отплытия из него.

ИЛИ

От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 176 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 5 часов после этого следом за ним, со скоростью на 5 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

ИЛИ

Катер в 8:40 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 48 км от А. Пробыв 40 минут в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 16:20 того же дня. Найдите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.

Задание 9.
На рисунке изображён график функции вида f(x) = a^x. Найдите значение f(–4).

ИЛИ

На рисунке изображён график функции вида f(x) = log_a x. Найдите значение f(8).

ИЛИ

На рисунке изображён график функции вида f(x)=frac{k}{x}. Найдите значение f(10).

Задание 10.
Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последние 2 промахнулся. Результат округлите до сотых.

ИЛИ

Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

ИЛИ

Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».

ИЛИ

Помещение освещается фонарем с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

ИЛИ

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Задание 11.
Найдите точку минимума функции y = x³ – 16x² + 64x + 17.

ИЛИ

Найдите наименьшее значение функции

y=11+frac{7sqrt{3}}{18}pi-frac{7sqrt{3}}{3}x-frac{14sqrt{3}}{3}cosx

на отрезке [0;frac{pi}{2}].

ИЛИ

Найдите точку минимума функции y = x² – 28x + 96lnx – 5.

Задание 12.
а) Решите уравнение 2cos²x – 3sin(–x) – 3 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [frac{5pi}{2};4pi].

ИЛИ

а) Решите уравнение sin2x – 2sin(–x) – cos(–x) – 1 = 0.
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [2pi;frac{7pi}{2}].

ИЛИ

а) Решите уравнение 5^{2log_{2}^{2}(sinx)}=frac{5}{5^{log_{2}(sinx)}}.
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [pi;frac{5pi}{2}].

Задание 13.
Точка M – середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, точка N лежит на стороне основания BC. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA.
а) α пересекает ребро SD в точке L. Докажите, что BN : NC = DL : LS.
б) Пусть BN : NC = 1 : 2. Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду.

ИЛИ

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены середины M и N отрезков AB и AD соответственно.
а) Докажите, что прямые B₁N и CM перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если B₁N = 3√5.

ИЛИ

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали пересекаются в точке O. Точки M и N – середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AD = 10, BC = 8, SO = 8, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

ИЛИ

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ на диагонали BD₁ отмечена точка N так, что BN:ND₁ = 1:2. Точка O – середина отрезка CB₁.
а) Докажите, что прямая NO проходит через точку A.
б) Найдите объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD₁ и CB₁ и равна √2.

Задание 14.
Решите неравенство frac{6}{5^{x}–125}le frac{1}{5^{x}–25}.

ИЛИ

Решите неравенство 5^{x}+frac{125}{5^{x}–126}ge 0.

Задание 15.
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 900 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными;
– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1482,3 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2029 года?

ИЛИ

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равны;
– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита равна 971,8 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2027 году?

ИЛИ

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными;
– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году составит 833,8 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2027 году?

ИЛИ

В июле 2026 года планируется взять кредит в размере 880 тыс. руб.
 Условия возврата таковы:
   – каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
   – с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
   – в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным 880 тыс. руб.
   – суммы выплат 2030 и 2031 годов равны;
   – к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
 Найдите разницу между первым и последним платежами.

ИЛИ

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 700 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– платёж в 2027 и 2028 годах должен быть по 400 тыс. рублей;
– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.

ИЛИ

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 900 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными;
– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита, если известно, что платёж в 2029 году равен 1027,2 тыс. рублей?

ИЛИ

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– платежи в 2027 и 2028 годах должны быть по 300 тыс. рублей;
– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Какую сумму планируется взять в кредит, если известно, что платёж в 2029 году равен 860,6 тыс. рублей?

ИЛИ

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– платежи в 2027 и 2028 годах должны быть по 500 тыс. рублей;
– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита равна 1235,2 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Задание 16.
Биссектриса ВВ₁ и высота СС₁ треугольника АВС пересекают описанную окружность в точках М и N. Известно, что угол ВСА = 85° и угол ABC равен 40°.
а) Докажите, что CN = ВМ.
б) Пусть МN и ВС пересекаются в точке D. Найти площадь треугольника ВDN, если его высота BH равна 7.

ИЛИ

На стороне BC параллелограмма ABCD отмечена точка М такая, что треугольник АМС – равнобедренный, так, что AM = MC.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник АMD лежит на диагонали параллелограмма. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АMD, если известно, что AB = 7, BC = 21, а ∠DAB = 60°.

ИЛИ

В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE.
а) Докажите, что AL·BC = AB·AC.
б) Найдите EL, если AC = 8, тангенс ∠BCA = frac{1}{2}.

ИЛИ

На стороне острого угла с вершиной A отмечена точка B. Из точки B на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры BC и BD соответственно.
а) Докажите, что AC² + CB² = AD² + DB² .
б) Прямые AC и BD пересекаются в точке T найдите отношение AT:TC, если cos∠ABC = frac{3}{8}.

Задание 17.
Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение

х² – 2х – 6а + а² = |6х – 2а|

имеет 2 различных решения.

ИЛИ

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

|х² + а² – 7x – 5a| = х + а

имеет 4 различных решения.

ИЛИ

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

a² – 4x² + 8|x| – 4 = 0

имеет ровно два различных корня.

ИЛИ

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

– 2x² + 9|x| + a² – 6a + ax – 3x = 0

имеет меньше 4 различных решения.

Задание 18.
С натуральным трёхзначным числом проводят следующую операцию: из числа вычитают его сумму цифр, и полученный результат делят на 3.
а) Может ли результатом выполнения операции быть число 300?
б) Может ли результатом выполнения операции быть число 151?
в) Сколько различных результатов можно получить, если применить данную операцию для всех трёхзначных чисел от 100 до 600?

ИЛИ

С натуральным трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 224?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

ИЛИ

Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй – 102, в третьей – 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй – 102, в третье – 103, а в четвёртой – 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

ИЛИ

По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 305. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.
а) Может ли N быть равным 160?
б) Может ли N быть равным 89?
в) Найдите наибольшее значение N.

ИЛИ

По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 400. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 3, а сумма любых трёх идущих подряд не делится на 3.
а) Может ли N быть равным 360?
б) Может ли N быть равным 149?
в) Найдите наибольшее значение N.

ИЛИ

На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b − a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b − a.
а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 18, 19 и 20?
б) Среди написанных на доске чисел есть 17. Может ли N быть равно 25?
в) Найдите наибольшее значение N.

Источники заданий варианта: беседы vk.com и telegram, Школа Пифагора, Ягубов РФ.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.1 / 5. Количество оценок: 29

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

Средний балл ЕГЭ 2021 по математике

Решение задач с параметром при подготовке к ЕГЭ

Изменения в КИМ ЕГЭ 2022 года по математике

Купить сборники типовых вариантов ЕГЭ по математике

Как решать экономические задачи ЕГЭ по математике профильного уровня?