Реальный егэ 2015 по математике профиль

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Миша живёт в доме, в котором всего один подъезд. При этом на каждом этаже по (5) квартир. Миша живет в квартире номер (29). На каком этаже живёт Миша?

Количество полных этажей, которые расположены ниже Мишиного, есть округлённый в меньшую сторону результат деления (29) на (5), следовательно, (5) этажей ниже, чем Мишин, тогда Миша живёт на (6) этаже.

Ответ: 6

На диаграмме показана температура воздуха в Москве за первые (12) дней марта 2010 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько из указанных дней температура не превышала (3) градуса Цельсия.

Температура не превышала (3) градуса Цельсия (1), (2), (3), (4) и (11) марта, то есть (5) дней.

Ответ: 5

Для транспортировки (38 тонн) груза на (1000 км) можно комбинировать услуги трёх фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъёмность автомобилей каждого перевозчика указаны в таблице.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант перевозки?

Наиболее дешёвый способ: снарядить 3 машины перевозчика “Мощный” на (1000 км) (то есть по 10 раз) и ещё 2 машины перевозчика “Дешёвый” на (1000 км), что обойдётся в (3cdot 4500cdot 10 +
2cdot 2000cdot 10 = 175,000 руб).

Ответ:

175000

На клетчатой бумаге с размером клетки (1times 1) изображён треугольник. Найдите его площадь.

Данный треугольник можно разрезать на два прямоугольных треугольника, как показано на рисунке. Площади полученных при этом треугольников будут равны (0,5cdot 4cdot 6 = 12) и (0,5cdot
6cdot 6 = 18), следовательно, площадь исходного треугольника равна (12 + 18 = 30).

Ответ: 30

На чемпионате по стрельбе из лука выступают (40) спортсменов, среди них по (8) стрелков из Дании и Туниса. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что пятым будет выступать стрелок из Дании.

Искомая вероятность есть отношение количества спортсменов из Дании к общему количеству спортсменов и равна [dfrac{8}{40} = 0,2,.]

Ответ: 0,2

Найдите корень уравнения [(3x + 4)^2 = (8 + 3x)^2]

Сделаем преобразования:

[(3x + 4)^2 = (8 + 3x)^2quadLeftrightarrowquad 9x^2 + 24x + 16 =
9x^2 + 48x + 64quadLeftrightarrowquad x = -2,.]

Ответ: -2

Угол (NMK) равен (35^circ), градусная мера дуги (NK), не содержащей точку (P), равна (88^circ). Найдите угол (MNP). Ответ дайте в градусах.

Так как вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, то (angle NPK = 88^circ : 2 = 44^circ).

(angle NPK) – внешний угол треугольника (NMP), тогда (angle NPK =
angle NMK + angle MNP), откуда [angle MNP = 44^circ — 35^circ
= 9^circ,.]

Ответ: 9

На рисунке изображён график (y = f'(x)) – производной функции (f(x)), определённой на интервале ((-3; 19)). Найдите количество точек максимума функции (f(x)), принадлежащих отрезку ([-1; 18]).

В точке максимума производная равна (0), причём в некоторой окрестности точки максимума слева от неё производная должна быть положительна, а справа от неё – отрицательна. Таким образом, функция (f(x)) имеет единственную точку максимума на указанном отрезке ((x = 15)).

Ответ: 1

В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно (13), а сторона основания равна (5). Найдите высоту пирамиды.

В правильном шестиугольнике расстояние от центра до вершины равно стороне, следовательно, (AO = 5). Заметим, что (triangle MOA) — прямоугольный, т.к. (MO) перпендикулярно плоскости основания. По теореме Пифагора [MO^2 = MA^2 — AO^2qquadRightarrowqquad MO = sqrt{13^2 — 5^2} =
12,.]

Ответ: 12

Найдите значение выражения [sqrt{8}sin^2dfrac{3pi}{8} —
sqrt{2}]

Используя формулу косинуса двойного угла (cos 2x = 1 — 2sin^2 x), получаем (sin^2 x = dfrac{1 — cos 2x}{2}), тогда [sqrt{8}sin^2dfrac{3pi}{8} — sqrt{2} = 2sqrt{2}cdot dfrac{1 — cos dfrac{3pi}{4}}{2} — sqrt{2} =
2sqrt{2}cdot dfrac{1 + dfrac{sqrt2}{2}}{2} — sqrt{2} =
sqrt{2} + 1 — sqrt{2} = 1,.]

Ответ: 1

Известно, что при некотором физическом процессе, в котором участвует газ, выполнено соотношение (p_1V_1^{1,5} = p_2V_2^{1,5}), где (p_1), (p_2) – давление газа в паскалях в начальный и конечный моменты времени, а (V_1), (V_2) – объём газа в литрах в начальный и конечный моменты времени. В начальный момент времени объём газа равен (3 л), а его давление равно (16 атмосферам). Каким должен стать конечный объём газа, чтобы его конечное давление стало (2
атмосферы)? Ответ дайте в литрах.

Подставляя имеющиеся данные, получим [16cdot 3^{1,5} = 2cdot V_2^{1,5}qquadRightarrowqquad 2^3cdot 3^{1,5} = V_2^{1,5}qquadRightarrowqquad V_2 = 12,.]

Ответ: 12

В сосуд налили (1500 куб. см) воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в (1,4) раза. Найдите объем детали. Ответ выразите в куб. см.

Объём жидкости с погружённой деталью стал (1500cdot 1,4 = 2100
куб.см), следовательно, объём детали равен (2100 — 1500 = 600
куб.см).

Ответ: 600

Расстояние между городами (M) и (N) равно (490 км). Из города (M) в город (N) выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города (N) выехал второй автомобиль со скоростью (80 км/ч). Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии (330 км) от города (M). Ответ дайте в км/ч.

Расстояние, которое до места встречи проехал второй автомобиль, равно (490 — 330 = 160 км), следовательно, он ехал в течение (160 :
80 = 2 ч). Тогда первый автомобиль ехал до места встречи в течение (2 + 1 = 3 ч), следовательно, его скорость равна (330 : 3 = 110
км/ч).

Ответ: 110

Найдите наименьшее значение функции (y = dfrac{2}{3}xsqrt{x} — 4x
+ dfrac{1}{3}) на отрезке ([4; 16])

ОДЗ: (x geqslant 0).

1) [y’ = dfrac{2}{3}left(sqrt{x} + dfrac{x}{2sqrt{x}}right) —
4 = sqrt{x} — 4] Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [y’ = 0qquadLeftrightarrowqquad sqrt{x} = 4qquadLeftrightarrowqquad x = 16,.]

Ответ: -21

а) Решите уравнение [cos 2x + sin left(dfrac{pi}{2} — xright) = 0]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (left[-2pi; dfrac{pi}{2}right]).

а) ОДЗ: (x) – произвольный.

По формулам приведения и формуле косинуса двойного угла (cos 2x=2cos^2x-1): [2cos^2 x — 1 + cos x = 0]

Сделаем замену (cos x = t): [2t^2 — 1 + t = 0qquadLeftrightarrowqquad 2(t — 0,5)(t + 1) = 0
qquadLeftrightarrowqquad left[
begin{gathered}
begin{aligned}
&t = -1\
&t = 0,5
end{aligned}
end{gathered}
right.]

Сделаем обратную замену:

б) (-2pi leqslant pi+2pi n leqslant dfrac{pi}{2}) равносильно (-dfrac32leqslant nleqslant -dfrac{1}{4}), но (ninmathbb{Z}), следовательно, среди этих решений подходит только решение при (n =
-1): (x = -pi).

(-2pi leqslant dfrac{pi}{3} + 2pi k_1 leqslant dfrac{pi}{2}) равносильно (-dfrac{7}{6} leqslant k_1 leqslant dfrac{1}{12}), но (k_1inmathbb{Z}), следовательно, среди этих решений подходят только решения при (k_1 = -1) и (k_1=0): (x = -dfrac{5pi}{3}) и (x=dfrac{pi}3).

(-2pi leqslant -dfrac{pi}{3} + 2pi k_2 leqslant
dfrac{pi}{2}) равносильно (-dfrac{5}{6} leqslant k_2 leqslant
dfrac{5}{12}), но (k_2inmathbb{Z}), следовательно, среди этих решений подходит только решение при (k_2 = 0): (x =
-dfrac{pi}{3}).

Ответ:

а) (pi+2pi n, ninmathbb{Z}), (pm dfrac{pi}{3} + 2pi k,
kinmathbb{Z})

б) (-dfrac{5pi}{3}), (-pi), (-dfrac{pi}{3}), (dfrac{pi}{3})

В основании четырёхугольной пирамиды (MABCD) лежит прямоугольник (ABCD) со сторонами (AB = 4), (AD = 15). При этом известны длины некоторых боковых рёбер: (MA = sqrt{26}), (MB = sqrt{10}), (MC =
sqrt{235}).

а) Докажите, что (MB) – высота пирамиды (MABCD).

б) Найдите угол между (MD) и плоскостью ((ABM)).

а) Рассмотрим треугольник (MBA): [MA^2 = 26 = 10 + 16 = (sqrt{10})^2 + 4^2 = MB^2 + BA^2,,] следовательно, треугольник (MBA) прямоугольный и (MBperp AB).

Таким образом, (AB perp MBperp BC), то есть (MB) перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости ((ABCD)), следовательно, (MB) – высота пирамиды (MABCD).

б) [MBperp (ABCD)qquadRightarrowqquad MBperp AD;qquad ABperp
AD,,] то есть (ADperp (MBA)), следовательно, (AM) – проекция (MD) на плоскость ((MAB)) и угол между (MD) и ((MAB)) равен углу (AMD).

По теореме Пифагора в треугольнике (MAD): [MD^2 = MA^2 + AD^2 = 26 + 225 = 251qquadRightarrowqquad MD = sqrt{251},.] Тогда [sin AMD = dfrac{AD}{MD} =
dfrac{15}{sqrt{251}}qquadRightarrowqquad angle AMD = arcsin
dfrac{15}{sqrt{251}},.]

Ответ:

б) (arcsin dfrac{15}{sqrt{251}})

Решите неравенство [1 -dfrac{10}{3^{x^2-1} — 1} + dfrac{16}{(3^{x^2-1} — 1)^2}geqslant 0]

ОДЗ: [3^{x^2 — 1}neq 1qquadLeftrightarrowqquad x^2 — 1neq
0qquadLeftrightarrowqquad xneq pm 1]

Решим на ОДЗ. Сделаем замену (t = 3^{x^2 — 1} —
1): [1 — dfrac{10}{t} + dfrac{16}{t^2}geqslant 0qquadLeftrightarrowqquad dfrac{t^2 — 10t + 16}{t^2}geqslant 0qquadLeftrightarrowqquad dfrac{(t — 2)(t — 8)}{t^2}geqslant 0]

Ответ:

((-infty; -sqrt{3}]cup[-sqrt{2}; -1)cup(-1; 1)cup(1;
sqrt{2}]cup[sqrt{3}; +infty))

Две окружности касаются внутренним образом в точке (M), причём меньшая из окружностей проходит через центр большей окружности. Хорда (PQ) большей окружности касается меньшей в точке (K); (S) и (T) – точки пересечения меньшей окружности с (MP) и (MQ) соответственно.

а) Докажите, что прямые (ST) и (PQ) параллельны.

б) Пусть (L) – точка пересечения (MK) и (ST). Найдите (ML), если радиус большей окружности равен (5), а (PQ = 6).

Докажем, что хорды данных окружностей, лежащие на одной прямой, проходящей через точку (M), относятся как их диаметры. Рассмотрим доказательство на примере хорд (MS) и (MP).

Рассмотрим треугольники (MM’P) и (MO_1S). Эти треугольники прямоугольные, так как (MO_1) – диаметр меньшей окружности (описанной около треугольника (MO_1S)), а (MM’) – диаметр большей окружности (описанной около треугольника (MM’P)). При этом острый угол (O_1MS) у них общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Из подобия получаем требуемое: [dfrac{MS}{MP} = dfrac{MO_1}{MM’}]

Для других хорд, лежащих на прямой, проходящей через точку (M), утверждение доказывается аналогично.

Из доказанного следует, что [dfrac{MS}{MP} = dfrac{MT}{MQ},.]

Рассмотрим треугольники (MST) и (MPQ): (angle SMQ) – общий, (dfrac{MS}{MP} = dfrac{MT}{MQ}), следовательно, эти треугольники подобны, откуда (angle MST = angle MPQ), следовательно, (STparallel PQ).

б) Опустим перпендикуляры (O_1K’) и (O_2K) на (PQ).

По теореме Пифагора [K’O_1^2 = O_1P^2 — K’P^2]

Так как (O_1P = O_1Q), то (O_1K’) – медиана в треугольнике (PO_1Q), следовательно, (K’P = 3), тогда (K’O_1 = sqrt{25 — 9} = 4).

Так как (MO_1) – радиус большей окружности и диаметр меньшей, то радиус меньшей окружности равен (0,5cdot 5 = 2,5)

Пусть (O_2H) перпендикуляр к (O_1K’), тогда (O_1H = O_1K’ — O_2K =
4-2,5=1,5), следовательно, по теореме Пифагора (2 = O_2H = KK’). Тогда [PK = PK’+K’K=3+2=5,qquad KQ = PK’-K’K=3-2=1.]

Так как хорды данных окружностей, лежащие на одной прямой, проходящей через точку (M), относятся как их диаметры, то (ST) – средняя линия в треугольнике (MPQ), тогда (SL) – средняя линия в треугольнике (MPK) и (LT) – средняя линия в треугольнике (MKQ), следовательно, [SL = 0,5PK=2,5,qquad LT = 0,5KQ=0,5,.]

По теореме о произведении отрезков хорд [MLcdot LK = SLcdot LT = 1,25=dfrac54,,] откуда, с учётом равенства (ML = LK), получим [ML =
dfrac{sqrt{5}}{2},.]

Ответ:

б) (dfrac{sqrt{5}}{2})

Известно, что общая сумма выплат по кредиту превысила сумму кредита на (30%) процентов. Найдите (y).

Фраза “долг должен быть на одну и ту же сумму меньше” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Следовательно, т.к. кредит взят на 11 месяцев, то эта “одна и та же сумма”, на которую уменьшается долг каждый месяц, равна (frac1{11}) части от суммы кредита. Обозначим сумму кредита за (A) и составим таблицу.
Т.к. каждый месяц долг увеличивается на (y%), то в первый месяц долг увеличиться на (0,01ycdot A) рублей, то есть составит (A+0,01yA) рублей.
После выплаты долг должен уменьшиться на (frac1{11}A) рублей, то есть должен составить (frac{10}{11}A) рублей. Значит, выплата в первый месяц будет равна (A+0,01yA-frac{10}{11}A=0,01yA+frac1{11}A)

[begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Номер месяца}&text{Долг после начисления }%&
text{Долг после выплаты}&text{Выплата}\
hline 1& A+0,01ycdot A&
frac{10}{11}A& 0,01ycdot A+frac1{11}A\
hline 2& frac{10}{11}A+0,01ycdot frac{10}{11}A&
frac{9}{11}A& 0,01ycdot frac{10}{11}A+frac1{11}A\
hline 3& frac9{11}A+0,01ycdot frac9{11}A&
frac8{11}A& 0,01ycdot frac9{11}A+frac1{11}A\
hline dots&dots&dots&dots\
hline 10& frac2{11}A+0,01ycdot frac2{11}A&
frac1{11}A& 0,01ycdot frac2{11}A+frac1{11}A\
hline 11& frac1{11}A+0,01ycdot frac1{11}A&
0& 0,01ycdot frac1{11}A+frac1{11}A\
hline end{array}]

Заметим, что все выплаты состоят из двух частей, причем одна часть (left(frac1{11}Aright)) фиксирована.

По условию общая сумма выплат (R) превысила на (30%) сумму кредита (A). Это значит, что переплата по кредиту (R-A) составляет (30%) от (A). Найдем общую сумму выплат:

(R=left(0,01ycdot A+frac1{11}Aright)+left(0,01ycdot
frac{10}{11}A+frac1{11}Aright)+ left(0,01ycdot
frac9{11}A+frac1{11}Aright)+dots+)

(+left(0,01ycdot frac2{11}A+frac1{11}Aright)+left(0,01ycdot
frac1{11}A+frac1{11}Aright)=)

(=0,01ycdot
Aleft(1+frac{10}{11}+frac9{11}+dots+frac2{11}+frac1{11}right)+11cdot
frac1{11}A=)

В скобке — сумма 11 членов арифметической прогрессии, где (a_1=frac1{11}, a_{11}=1). По формуле (S_{11}=dfrac{a_1+a_{11}}2cdot 11), значит

(=0,01ycdot Acdot frac12left(frac1{11}+1right)cdot
11+A=0,06yA+A)

Тогда переплата составила (R-A=0,06yA). Т.к. переплата составила (30%) от (A), то

[dfrac{R-A}{A}cdot 100%=30% quad Rightarrow quad dfrac{0,06yA}A=0,3 quad
Rightarrow quad y=5]

Ответ:

(5)

Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых система уравнений

[begin{cases}
x^2 — 4x + y^2 + 2y + 3,75 = |4x — 2y — 10|\
2x + 4y = a
end{cases}]

имеет более двух решений.

Решая системы уравнений [begin{cases}
(x — 4)^2 + (y + 2)^2 = 2,5^2\
y = 2x — 5
end{cases}
qquad text{и}qquad
begin{cases}
x^2 + y^2 = 2,5^2\
y = 2x — 5
end{cases},,] находим, что окружности из пунктов 1) и 2) пересекаются с прямой (y
= 2x — 5) в точках (C(2,5; 0)) и (D(1,5; -2)).

При каждом фиксированном значении (a) второе уравнение исходной системы задаёт прямую, параллельную (OO_1) (при (a = 0) оно задаёт прямую (OO_1), а при (aneq 0) прямую, полученную из (OO_1) параллельным переносом).

Найдём значение (a), при котором прямая (y = 0,25a — 0,5x) имеет с окружностью (x^2 + y^2 = 2,5^2) одну общую точку: [x^2 + (0,25a — 0,5x)^2 = 2,5^2qquadLeftrightarrowqquad 5(x^2 -0,2ax + 0,01a^2) + dfrac{a^2}{4} — dfrac{a^2}{20} = 25,.]

Чтобы данное уравнение имело единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы левая часть представляла собой полный квадрат, откуда получим (a^2 = 125), то есть (a = pm 5sqrt{5}).

Проводя вычисления, можно показать, что при (a = pm 5sqrt{5}) окружность из пункта 2) также имеет с прямой (y = 0,25a — 0,5x) одну общую точку, то есть случаям (mathbf{1}) и (mathbf{4}) на рисунке отвечают прямые (y = 0,25a — 0,5x) при (a = 5sqrt{5}) и (a =
-5sqrt{5}) соответственно.

Также легко показать, что случаям (mathbf{2}) и (mathbf{3}) отвечают прямые (y = 0,25a — 0,5x) при (a = 5) и (a = -5) соответственно.

Ответ:

((-5sqrt{5}; -5]cup[5; 5sqrt{5}))

Среди посетителей одного из магазинов был проведён опрос. Известно, что каждому опрошенному целое число лет. Участник опроса попадает в возрастную категорию А, если ему более (40) лет, иначе он попадает в категорию Б. Спустя (4) года опрос был проведён повторно, причём среди тех же людей, что и в первый раз.

а) Могло ли оказаться так, что во время повторного опроса средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, понизился?

б) Могло ли оказаться так, что при повторном опросе средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию А, понизился, и средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, тоже понизился?

в) Известно, что первоначально средний возраст опрашиваемых составил (40) лет, средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, составил (28) лет, а средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию А, составил (55) лет. При повторном опросе средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, стал равен (31) году, а попавших в категорию А – (57) годам. При каком наименьшем числе участников опроса возможна такая ситуация?

а) Это могло быть, например, в случае, когда в категорию Б попадали изначально три человека, одному из которых было (40) лет, а двум другим по (10) лет. Тогда их средний возраст при первом опросе был (20) лет, а при втором опросе в категории Б остались только двое, которым исполнилось по (14) лет, то есть их средний возраст стал (14) лет.

б) Это могло быть, например, в случае, когда в категорию Б попадали те же трое, что в пункте а), а в категорию А изначально попадали два человека, которым было по (70) лет.

в) Пусть количество опрошенных, которые попадали в категорию А при первом опросе, было равно (n), а количество опрошенных, попадавших в категорию Б, было равно (m), тогда суммарный возраст участников при первом опросе составлял (40(n + m)), причём [40(n + m) = 55n +
28mqquadLeftrightarrowqquad 5n = 4m,,] откуда, в частности, следует, что (n) делится на (4), а (m) делится на (5).

Так как средний возраст в категории А вырос не на 4 года, то в категорию А должны были перейти опрошенные, которые ранее относились к категории Б. Пусть их ровно (k) человек. Так как при повторном опросе им могло быть не более (44) лет, то суммарный возраст участников категории А за счёт появления этих (k) человек не мог увеличиться более, чем на (44k), тогда [57(n + k)leqslant 59n + 44kqquadRightarrowqquad 2ngeqslant 13k,.]

Так как (k geqslant 1), то (ngeqslant 7), но (n) делится на (4), следовательно, (ngeqslant . При (n = имеем: (m = 10). Этот случай возможен только при (k = 1).

Проверим, подходит ли нам этот случай. Пусть возраст перешедшего в категорию А из категории Б стал (41leqslant xleqslant 44), тогда [begin{cases}
57(n + 1) = 59n + x\
31(m — 1) = 32m — x,,
end{cases}] откуда (x = 41) – подходит по условию.

Таким образом, менее (18) человек быть не могло, а (18) человек могло быть, например, так:
в первый раз опросили (8) человек, каждому из которых было по (55) лет, одного человека в возрасте (37) лет и (9) человек, каждому из которых было по (27) лет.

Ответ:

а) Да

б) Да

в) (18)