Решение экономических задач егэ математика профиль 2022 год презентация

Слайд 1

Виды экономических задач на ЕГЭ и способы их решения (профильный уровень) …читал Адама Смита и был глубокий эконом, то есть умел судить о том, как государство богатеет и чем живет и почему не нужно золота ему, когда простой продукт имеет. Отец понять его не мог и земли отдавал в залог. А.С. Пушкин о герое романа « Евгений Онегин».

Слайд 3

Спецификация КИМ ЕГЭ 2021 по математике (фрагмент)

Слайд 4

Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников образовательных организаций для проведения единого государственного экзамена по математике

Слайд 5

Кодификатор элементов содержания по МАТЕМАТИКЕ для составления контрольных измерительных материалов для проведения единого государственного экзамена

Слайд 6

Проценты

Слайд 7

Простые задачи.

Слайд 9

Кредиты

Слайд 11

Задача

Слайд 13

Задача 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4290000 рублей в кредит под 14,5% годовых . Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей . Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами ( то есть за два года )?

Слайд 14

Пусть сумма кредита равна S , а годовые составляют а% . Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент равный р=1 + 0,01а. После первой выплаты сумма долга составит : S 1 = S P — X После второй выплаты сумма долга составит : S 2 = S 1P — X = ( S P — X) p -X = S P 2 — ( 1 + p)X По условию двумя выплатами Дмитрий должен погасить кредит полностью , поэтому : S P 2 — ( 1 + p)X = 0 X = S P 2 /( 1 + p) X = 4290000* 1.311025/ 2622050 Откуда при S = 4290000 и а = 14,5, получаем : р = 1,145 и Ответ : 2622050.

Слайд 15

Задача 31 декабря 2014 года Георгий взял в банке кредит 1 млн рублей в кредит . Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на а %), затем Георгий переводит очередной транш . Георгий выплатил кредит за два транша , переведя в первый раз 570 тыс рублей , во второй599,4 тыс рублей . Под какой процент банк выдал кредит Георгию ?

Слайд 16

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют а %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент р= 1 + 0,01a. После первой выплаты сумма долга составит : S 1 = S P — X Исходя из условия после первой выплаты долг Георгия будет равен : S 1 = 430000+ 10000 a сумма долга составит S 2 = S 1 p – X или S 2 = a 2 +143a — 1694 При условии , что кредит был погашен за два транша , то это сумма должна равняться 0. Получим уравнение : a 2 +143a – 1694 = 0 Отсюда а =11%. Ответ : 11%.

Слайд 17

Задача 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит . Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж . На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит , чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс . рублей ?

Слайд 18

Решение. Заметим , что за 4 месяца Александр Сергеевич выплатит 275 000∙4= 1,1 млн рублей . Таким образом , он не покроет долг с процентами . Каждый месяц долг увеличивается не более , чем на 1100000∙ 0,01 = 11000 рублей . Значит , за пять месяцев Александр Сергеевич должен будет выплатить не более 1100000 + 5∙11000 = 1155000 рублей , что менее , чем 5∙ 275000 = 1375000 рублей . Таким образом , Александр Сергеевич сможет выплатить кредит за 5 месяцев . Ответ : 5.

Слайд 19

Задача.

Слайд 22

КРИТЕРИИ Содержание критерия, задание 17 Баллы Обоснованно получен верный ответ 3 Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: — неверный ответ из-за вычислительной ошибки; — верный ответ, но решение недостаточно обосновано 2 Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 3

Слайд 23

Подробнее: 1 балл можно выставлять в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи. Именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т .п. Предъявленный текст должен включать и описание того, как построена модель, и направление, «продолжаемое» до верного решения. Оценка в 2 балла, разумеется, включает в себя условие выставления 1 балла, но существенно ближе к верному решению задачи. Здесь предполагается завершенное, практически полное решение соответствующей математической задачи. Типичные допустимые погрешности здесь – вычислительные ошибки (при наличии всех шагов решения) или пробелы в описании составления модели. «МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОЦЕНИВАНИЮ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ»

Скачать материал

Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Решение задачи № 17 ЕГЭ по математике

  Учитель математики МАОУ Яровской СОШ Эльзенбах В.В.

• 

• 

  3 слайд

  S0 – первоначальная величина
  n – количество лет, месяцев, p – проценты
  Sn – накопленная сумма за период n
  1. Если величину S0 увеличить на р % , то получим 
  S0 ·(1+0.01p)
  2. Если величину S0 уменьшить на р % , то получим 
  S0 ·(1- 0.01р)
  3. Если величину х увеличить на  р %, а затем уменьшить  на q %, то получим  S0 ·(1+0.01р)(1-0.01q)
  4. Если величину х увеличить дважды на р%, получим S0 ·(1+0.01р)2
  5. Если величину х уменьшить дважды на р%, получим S0 ·(1-0.01р)2
  6. Sn= S0 ·(1+0.01p), наращенная сумма за 1 год

• 

  4 слайд

  7. Sn = S0 ·(1+0.01p)n, наращенная сумма за n лет ( месяцев, дней)
  8. p=100*((Sn / S0 )1/n -1
  9. S0 = Sn*(1+0.01p)-n
  10. n=(ln Sn-ln S0 )/ln(1+0.01p)
  11. Sn= S0 (1+0.01p/t)nt, где t – количество реинвестиций в год, если проценты начисляются несколько раз за год.
  12. Sn= S0 (1+0/01p1) (1+0/01p2)…. (1+0/01pn), где р1, р2, рn –проценты в конце каждого процентного периода, если процентная ставка меняется.

• 

  5 слайд

   31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какова должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

• 

  6 слайд

  Пусть сумма кредита равна  S0 рублей,
  ежегодный платёж равен X рублей,
  а годовые составляют p%.
  Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m = 1 + 0,01p.
  После первой выплаты сумма долга составит: 
  S1 =  S0 m — X.
  После второй выплаты сумма долга составит:  S2  = S1 m — X = (S0 m — X)m — X = S0 m2 — Xm — X = S0 m2 — (m + 1)X 
  После третьей выплаты сумма оставшегося долга составит: S3= S2m-X=(S0 m2-(m+1)X)m-X=( S0 m2 –mX-X)m-X= S0 m3-(m2 +m+1)X
  По условию тремя платежами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому  S0 m3 — (m2 + m + 1)X = 0, откуда X= S0 m3/(m2 +m+1) при  S0  = 9 930 000  и p = 10, получаем m = 1 + 0,01 · 10 = 1 + 0,1 = 1,1 и подставляя вычисляем:
  Ответ: 3993000 рублей.

• 

  7 слайд

  Заметим, что m2 +m+1 есть сумма первых 3 членов геометрической прогрессии, где первый член равен 1, а знаменатель – m.
  Формулу, которой мы воспользовались можно записать для любого количества лет (n)
  S0mn-(mn-1+ mn-2+…..m+1)X

• 

  8 слайд

  Торговая база закупила партию товара у изготовителя и поставила ее в магазин по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на товар 20% выше оптовой. При распродаже магазин снизил эту цену на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел товар за 140 руб. 40 коп.
  Решение.
  Пусть первоначальная цена составляет S руб., тогда по формуле (12) имеем:
  S0 (1 + 0,01*30)(1 + 0,01*20)(1 – 0,01*10) = 140,4
  S0*1,3*1,2*0,9 = S0*1,404 = 140,4
  S0 = 140,4: 1,404 = 100 (руб.)
  Находим разность последней и первоначальной цены
  140,4 – 100 = 40,4 Отв. 40,4 руб.

• 

  9 слайд

  За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом 11  %, и, наконец, 12,5% в месяц. Под действием каждой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении всего срока хранения сумма вклада увеличилась на 104 %. Определите срок хранения вклада.

• 

• 

  11 слайд

  1 января 2015 года Олег Владимирович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3%), затем Олег Владимирович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Олег Владимирович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?

   Решение.
  Если бы банк не брал процентов, то долг можно было бы вернуть за 4 месяца. Процент за 4 месяца будет меньше учетверенной выплаты процентов за первый месяц, то есть меньше 132 тыс. руб. Причитающиеся банку проценты можно полностью выплатить за пятый месяц.

   Ответ: на 5 месяцев.

• 

  12 слайд

  У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га.
  Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

• 

  13 слайд

  Решение.
  Продавать свеклу более выгодно, поэтому второе поле, где ее урожайность выше, следует засадить только свеклой. Она принесет доход 10 га · 400 ц/га · 11 000 руб./ц = 44 млн руб.
  На первом поле урожайность свеклы составляет 300/400 = 0,75 урожайности картофеля, а стоимость свеклы составляет 11 000/10 000 = 1,1 стоимости картофеля. Произведение этих показателей меньше 1, поэтому выращивать картофель выгоднее: потери от меньшей стоимости компенсируются более высокой урожайностью. Следовательно, все поле следует засеять картофелем, он принесет доход 10 га · 400 ц/га · 10 000 руб./ц = 40 млн руб.
  Тем самым, наибольший возможный доход фермера равен 84 млн руб.

• 

  14 слайд

  Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

• 

  15 слайд

  Пусть 2х производится на первом заводе, а 5у – на втором, тогда Х2 часов затратит первый завод, У2 часов – второй завод. По условию 2х+5у=580, х ≥ 0, у ≥ 0, откуда у=116- 2/5Х. С другой стороны
  500(Х2 + У2)=f
  или f=500(Х2+(116- 2/5х)2 ). После преобразований получаем:
  f = 580 Х2 -400*116Х + 500*116 2
  Так как нам нужно найти наименьшую сумму, то найдём наименьшее значение функции на отрезке [0; 290]. 116-2/5Х ≥ 0 , Х≤ 290
  f| =2*580Х -400*116
  2*580Х -400*116 =0, Х=40

  0 — 40 + 290

  40 – точка min. f(40) = 5800000
  Ответ: 5800000 руб.

• 

  16 слайд

  Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце каждого года после начисления процентов) на счет фиксированную сумму 133 000 рублей. Какая максимальная сумма может быть на счете у Василия через 4 года?

• 

  17 слайд

  Решение.
  Максимальная сумма на счетё будет в случае, если Василий все три раза воспользуется правом дополнительно внести 133 000 рублей на счёт.
  1. После первого года хранения вклада:
  Сумма вклада возрастает до 1 000 000 · 1,1 = 1 100 000 (р);
  Дополнительное пополнение счета 1 100 000 + 133 000 = 1 233 000
  2. После второго года хранения вклада:
  Сумма вклада возрастает до 1 233 000 · 1,1 = 1 356 300 (р);
  Дополнительное пополнение счета 1 356 300 + 133000 = 1 489 300 (р);
  3. После третьего года хранения вклада:
  Сумма вклада возрастает до 1 489 300 · 1,1 = 1 638 230 (р);
  Дополнительное пополнение счета 1 638 230 + 133 000 = 1 771 230 (р);
  4. После четвертого года хранения вклада:
  Сумма вклада возрастает до 1 771 230 · 1,1 = 1 948 353 (р). 
  Ответ: 1 948 353 рубля.

• 

  18 слайд

  Сберкасса начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Через сколько лет сумма удвоится?
  Решение: р=3%; S0 – начальная сумма; n=?
  Составим уравнение:
  2*S0 = S0 (1 + 0,01р )n;
  2*S0 = S0 (1 + 0,03)n;
  2 = 1,03n 
  n=log1,032, n=[log1,032]+1, где [log1,032] –целая часть log1,032 , n = 23

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 155 091 материал в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:
• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»

• Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»

• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»

• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»

• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»

• Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»

• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

• Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Московская область, г. Королёв

• Учитель математики МАОУ ЛНИП:
• Ткаченко Лидия Анатольевна

ЗАДАЧИ C ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ в ЕГЭ

Простые проценты. Налоги.

• если величина А больше величины В на p%, то
  
• если величина А меньше величины В на p%, то
  

•  

Сложные проценты. Вклады.

• 2) при последовательном изменении величины на в течение n периодов, она становится равной
• где величины могут быть как положительными при увеличении величины на p%, так и отрицательными при уменьшении величины на p%.

•  

или

1) Величина S0 , увеличиваемая на p% в течение n периодов в конце n-го этапа становится равной

Кредиты

• Выбирая кредитную программу, потенциальные заемщики ориентируются на процентную ставку по кредиту. Таких методов существует два: дифференцированные платежи и аннуитетные платежи.
• Дифференцированные платежи характерны тем, что задолженность по кредиту погашается равномерно начиная с самых первых выплат, а проценты начисляются на фактический остаток. Таким образом, каждый последующий платеж меньше предыдущего.
• Аннуитет — начисление равных платежей на весь срок погашения кредита. При этом в первой половине срока погашения задолженность по кредиту практически не гасится — выплачиваются в большей части проценты. Эта особенность делает платежи относительно небольшими, но увеличивает общую сумму начисляемых процентов.
• Чтобы наглядно показать разницу в погашении кредита при разных методах начисления платежей, приведем графики погашения кредита в размере 1 000 000 руб., взятого на 20 лет при 12% годовых (серым выделена выплата процентов по кредиту, синим — выплата тела кредита).

График погашения кредита дифференцированными платежами

График погашения кредита аннуитетными платежами

Кредиты

Дифференцированные платежи дают линейную зависимость от погашения кредита: чем меньше должен — тем меньше начислили процентов.

Сумма и срок досрочного погашения ничем не ограничены.

Досрочное погашение в аннуитетной схеме лишь сокращает срок выплаты кредита: на графике «срезаются» последние платежи и отпадает необходимость платить соответствующие им проценты, которые в конце графика как раз очень малы.

Таким образом, в аннуитетной схеме досрочное погашение невыгодно.

Теорема об аннуитетных платежах

• Обобщая вышеприведенные рассуждения на случай n платежных периодов (дней, месяцев, лет), получим общие формулы, связывающие сумму кредита , коэффициент, где q% — процентная ставка за период, величину текущего долга и постоянную выплату х:
• и тогда

•  

;

;

Теорема о дифференцированных платежах.

• Повторив решение предыдущей задачи для n месяцев, получим общие формулы для дифференцированных платежей.
• Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма , причем каждый платежный период долг сначала возрастет на q% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за все время выплаты кредита даются формулами

•  

1. Вклад А: 10% в год на 3 года

n — % вклада, k – количество лет, S – первоначальный взнос,

– сумма в конце k-го года

2. Вклад Б: 5% в первый год

– в конце первого года,

n % — на второй и третий год

– сумма за третий год.

Задача 1. По вкладу «А» банк начисляет 10% каждый год, а по вкладу «Б» — 5% в первый год и n % за второй и третий годы. Найдите наименьшее целое значение n, при котором за 3 года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Решение

По условию,

Ответ:

12,6

0

-212,6

+

—

+

Решение

Пусть в k-тый год гражданин продает бумагу и кладет средства на счет в банк.

Выгодно класть в банк, когда 10% от текущей цены бумаги будут больше 2 тысяч рублей.

• (7 + 2k) тысяч рублей ЦЕНА БУМАГИ.

2) Затем он кладет в банк под 10% годовых на (30 – k) лет:

– финальная сумма.

должна быть наибольшей,

Задача 2. Гражданин приобрел ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги возрастает каждый год на 2 тысячи рублей. В любой момент гражданин может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет под 10% начислений в год. В течение какого года после покупки гражданин должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

— разность между двумя соседними значениями,

Если , то выгодно держать ценную бумагу на руках,

Если , то выгодно класть на счет под %.

Ответ: лет

Решение

Наибольшая выплата

Наименьшая выплата

Сумма кредита , на 9 лет разница между июлями

Каждый раз между июлями — ?

Задача 3.В июле планируется взять кредит на сумму 4,5 млн рублей сроком на 9 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на n % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга;

— каждый июль сумма долга должна отличаться от предыдущего на равную сумму.

Найдите целое число n, если наибольшая выплата за все время не превышает 1,4 млн рублей, а наименьшая выплата не менее 0,6 млн рублей.

Решение

июль

Январь (набегает

)

Выплаты февраль-июнь

1

2

3

4

…

8

9

Наибольшая выплата – первая, т.е.

Наименьшая выплата – последняя, т.е.

Вспомним, что

Ответ:

Решение

– сумма кредита,

– ежегодный платеж,

— годовые проценты,

– сумма долга умножается на этот коэффициент 31 декабря.

Задача 4. 31 декабря 2013г. Сергей взял в банке 9 930 000 руб. в кредит под 10% годовых.

Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа.

Какова должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение

остаток на счете

начисление % 31 декабря

выплаты

1

2

3

4

0

Решение

Ответ:

Задача 5.

Гражданин берет 15 января в банке кредит на 19 месяцев. Условия кредита таковы:

— 1 числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца,

— со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга,

— 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 15 число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите

Решение

– сумма кредита,

– сумма долга умножается на этот коэффициент 1 числа каждого месяца; в следующий раз набегает k

15 января

начисление % 1 числа

выплаты

1

2

3

…

Решение

Но общая сумма выплат на 30% больше суммы кредита, т.е.

Суммируем и приравняем выплаты:

Гаусс

Решение

Но

Ответ:

Список литературы:
1) Математика. ЕГЭ. Задача с экономическим содержанием: учебно-методическое пособие. / под ред. Ф.ф.лысенко и с.ю.кулабухова, ростов-на-дону:легион, 2015. – 80с.
2) ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. и.в.ященко, издательство “национальное образование”, 2017 – 256с.
3) Д.д.гущин, курс лекций по подготовке к егэ.
Веб-страница курса с актуальными материалами: http://reshuege.ru/course?id=2610 Издание 2, дополненное. — 05.04.2016

Лекция по теме: «Экономическая задача в профильном ЕГЭ по математике 2022 года (задача 15)».

Лектор — Дерезин Святослав Викторович

→ презентация

План  лекции:

► Демоверсия ЕГЭ-2022

► Задачи на проценты, доли, части

► Задачи на кредиты, вклады, ссуды, заёмы

► Задачи на экстремальные свойства функций

► Задачи на свойства целых чисел

Примеры заданий:

1. Магазин увеличил цену товара в 8 раз. Однако по резуль­татам проверки антимонопольная служба предписала вернуть прежнюю цену. На сколько процентов придётся снизить цену?

2. Предприниматель обратился в банк с просьбой о предо­ставлении ссуды в размере 1000 000 рублей сроком на 1 год. Банк выделил ему эту ссуду с годовой процентной ставкой в 20% при условии погашения ссуды одним платежом в конце срока. Какую сумму должен через год возвратить предприниматель банку? Какие процентные деньги получит банк?

3. Клиент взял в банке кредит 18 000 рублей на год под 14%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

4. Заём в размере 64 тыс. рублей был выдан на 3 года под 25% годовых. Если отдать этот заём одним платежом, каков размер этого платежа?

5. Клиент взял 15 960 000 рублей в кредит под 30% годовых.

По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 30%), затем клиент переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы клиент выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

6. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x² + 2x + 6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px — (0, 5x² + 2x + 6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

Связанные страницы:

1. «Экономическая» задача в ЕГЭ по математике (профильный уровень № 17)

Издательство «Легион»
«Экономическая» задача в ЕГЭ
по математике
(профильный уровень № 17)
Фридман Елена Михайловна

2. Задача.

2

3. Из материалов аналитического отчета ФИПИ

3

4.

Задачи на оптимальный
выбор
Банки, вклады, кредиты
Производственные
задачи
4

5.

5

6. Задача 1

Два велосипедиста равномерно движутся по
взаимно
перпендикулярным
дорогам
по
направлению к перекрестку этих дорог. Один из них
движется со скоростью 40 км/ч и находится на
расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со
скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км
от перекрестка.
Через сколько минут расстояние между
велосипедистами станет наименьшим? Каково будет
это наименьшее расстояние?
6

7. Решение.

7

8.

Способ 1
Наименьшим расстояние станет
через 0,116 часа,
т.е через 6,96 минут.
Наименьшее расстояние равно 0,6.
8

9. Способ 2

9

10.

10

11.

11

12. Задача 2

У фермера есть два поля площадью 10 га. На каждом
поле можно выращивать картофель и свеклу. Поля можно
делить между этими культурами в любой пропорции.
Урожайность картофеля на первом поле составляет
300 ц/га, а на втором — 200 ц/га Урожайность свеклы на
первом поле составляет 200 ц/га, а на втором – 300 ц/га.
Фермер может продавать картофель по цене 10 000 р/ц,
а свеклу – по цене 13 000 р/ц. Какой наибольший доход
может получить фермер?
12

13. Решение.

13

14.

с=4х-19у+650. Наибольшее с — ?
Чем больше с, тем ниже прямая. Подставим координаты
точки (10;0) в уравнение прямой и найдем наибольшее
с=690, тогда
с 105 690 105 69000000 рублей.14

15. Задача 3

Предприниматель купил здание и собирается открыть в
нем отель.
В отеле могут быть стандартные номера площадью 21
квадратный метр и номера «люкс» площадью 49
квадратных метров.
Общая площадь, которую можно отвести под номера,
составляет 1099 квадратных метров.
Предприниматель может поделить эту площадь между
номерами различных типов как хочет.
Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в
сутки, а номер «люкс» 4500 рублей в сутки.
Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в
сутки на своем отеле предприниматель?
15

16. Решение.

Пусть в отеле x обычных номеров и y номеров «люкс»
21x+49y=1099.
f(x,y)= 2000x+4500y=500(4x+9y).
fнаиб- ?
1099 49 y
x
21
f ( y ) 500(4
f(y) – убывающая.
1099 49 y
4396 1
9 y ) 500(
y)
21
21 3
1099 49 y 21
y 22
Если y=1 , то x=50.
fнаиб=f(50) =2000·50+4500·1= 104500 (руб.)
16

17. Задача 4

Вкладчик положил две одинаковые суммы под
r % годовых в банки «А» и «Б».
Через год условия по вкладу «А» изменились, и
он понизил годовую ставку до 8 % годовых, в
то время как банк «Б» оставил годовую ставку
на прежнем уровне.
Найдите, при каком наименьшем целом r вклад в
банке «Б» через три года будет по крайней
мере на 16 % больше, чем вклад в банке «А».
17

18. Решение.

Вклад в банк «А»
Вклад в банк «Б»
Годы
%
Сумма в
начале года
1
r
n
2
8
r
(1
)n
100
3
8
r
8
(1
)(1
)n
100
100
Сумма в конце
года
% Сумма в
начале года
r
)n
100
r
r
8
(1
)(1
)n
100
100
r
(1
(1
r
8 2
)(1
) n
100
100
r
n
Сумма в
конце года
(1
r
)n
100
2
r
1
n
100
r
(1
)n
100
2
r
1
n
100
3
r
1
n
100
100 r 116 10,8
r 3 116
r
8 2
116 10,77
n(1
)
(1
)(1
) n
100
100
100
100
r 116 10,8 100
r 2 116
8 2
(1
)
(1
)
r 10,77 10,8 100 16,64
100
100
100
r
116
8
r = 17
(1
)
(1
)
18
100
10
100

19. Задача 5

Часть денег от суммы 400 млн. рублей
размещена в банке под 12% годовых, а другая часть
инвестирована в производство, причем через год
эффективность вложения ожидается в размере 250%
(т.е. вложенная сумма х млн. рублей оборачивается в
капитал 2,5х млн. рублей), затем отчисляются деньги
на издержки, которые задаются квадратичной
зависимостью 0,0022х2. Разность между капиталом и
издержками в производстве облагается налогом в
20%. Как распределить капитал между банком и
производством, чтобы через год получить общую
максимальную прибыль от размещения денег в банк
и вложения денег в производство? Сколько млн.
рублей составит эта прибыль?
19

20. Решение.

Производство
Банк
Вложено
x
400-x (под 12% год)
Через год
2,5x
1,12(400-x)
Издержки
0,0022 x
Налог
20 %
Итого
2
2
0,8(2,5x-0,0022 x )
1,12(400-x)
Функция прибыли
f(x)=1,12(400 – х)+0,8·(2,5х – 0,0022х2) – 400
f(x) =-0,8·0,0022х2+0,88х+48.
fнаиб = f(250) =-0,8·0,0022·2502+0,88·250+48=
= -110+220+48=158 (млн. рублей).
20
Ответ.158

21. Задача 6

21

22.

Решение.
способ 1

23.

24.

Способ 2

25.

Способ 3

26.

27. Задача 7

В банк помещён вклад 64 000 рублей под 25%
годовых. В конце каждого из первых трёх лет
(после
начисления
процентов)
вкладчик
дополнительно положил на счёт одну и ту же
фиксированную сумму. К концу четвёртого года
после начисления процентов оказалось, что он
составляет 385 000 рублей. Какую сумму (в
рублях) ежегодно добавлял вкладчик?
27

28. Решение.

Пусть x рублей вкладчик добавлял в конце каждого из
первых трёх лет. Тогда на счету в конце
1-го года 1,25·64 000+x =80 000+x рублей, в конце
2-го года – 1,25(80 000+x)+x рублей, в конце
3-го года – 1,25 (1,25(80 000+x)+x)+х рублей, в конце
4-го года – 1,25(1,25 (1,25(80 000+x)+x)+х) =385 000
рублей
28

29.

Задача 8
29

30.

30

31.

Задача 9
31

32.

32

33.

33

34. Задача 10

Семен Петрович положил 8000 рублей
в сберегательный банк. По истечении года к
его вкладу были добавлены деньги,
начисленные в качестве процентов, и,
помимо этого, Семен Петрович увеличил
свой вклад на 1360 рублей. Еще через год
он решил снять 1440 рублей, а остальные
9360 рублей положил на новый срок. Чему
равна процентная ставка в этом банке?
34

35.

35

36.

36

37.

Задача 11

38.

39.

40.

Кредиты
Задача 12
40

41.

41

42. Задача 13

Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев. По
договору Алексей должен возвращать банку часть денег в
конце каждого месяца.
В конце каждого месяца к оставшейся сумме основного
долга добавляется r% этой суммы и своим ежемесячным
платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и
уменьшает сумму долга.
Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы сумма долга
уменьшалась на одну и ту же величину каждый месяц ( на
практике такая схема называется «схемой с
дифференцированными платежами»).
Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за
весь срок кредитования, оказалась на 27% больше, чем
сумма, взятая им в долг. Найдите r.
42

43. Решение.

Месяц
1
Начислено
Cумма
N
Отдал
N+
N+
…
…
Должен
2
3
…
…
17
…
0
Ответ. 3
43

44. Задача 14

44

45. Задача 15

45

46.

Решение.
Ответ: 8 788 000 рублей

47.

Задача 16
47

48.

Решение.
n – срок кредита (целое число лет), 1-ая
составляющая выплат – ежегодный платеж по
кредиту x . Тогда
10
10-x
10-2x
…,
10-nx
– последовательность выплат 1-ой составляющей
по кредиту.
10-nx=0,
откуда
48

49.

Вторая составляющая — выплата процентной ставки
49

50.

31

51.

Критерии
Содержание критерия, задание 17
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Верно построена математическая модель, решение
сведено
к исследованию этой модели и получен результат:
— неверный ответ из-за вычислительной ошибки;
— верный ответ, но решение недостаточно обосновано
Верно построена математическая модель, решение
сведено к исследованию этой модели, при этом
решение может быть не завершено
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Максимальный балл
3
2
1
0
3
51

52.

Оценка
эксперта:
0 баллов
52

53. Задача 17

53

54.

Решение.
Пусть S – сумма кредита.
1,04(S+0,9S+0,8S+0,7S+0,6S+0,5S)-(S+0,9S+0,8S+0,7S+0,6S+0,5S)=
=0,04(S+0,9S+0,8S+0,7S+0,6S+0,5S) = 0,04·4,5S=0,18S.
Переплата составит 18%.
Ответ. 18 %
54

55.

Задача 18
55

56.

56

57.

Задача 19
57

58.

58

59.

Книги можно заказать в нашем
интернет-магазине на сайте:
www.legionr.ru
Спрашивайте
в книжных магазинах города!
59

60. Спасибо за внимание!

60