Решение графиков функций егэ - Exhelper.top

Комбинированные задачи

Версия для печати и копирования в MS Word

Гиперболы

Версия для печати и копирования в MS Word

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 110.

На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =dfrackx плюс a.$ Найдите, при каком значении x значение функции равно 0,8.

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите a.

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите c.

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите a.

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите c.

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите b.

Кусочно-линейная функция

Версия для печати и копирования в MS Word

Параболы

Версия для печати и копирования в MS Word

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите абсциссу вершины параболы.

На рисунке изображён график функции Найдите значение f(−6).

На рисунке изображён график фуıкции вида где a, b и c  — целые числа. Найдите значение f(4).

Источник: Пробный вариант ЕГЭ по математике 03.12.22 Москва.

Тригонометрические функции

Версия для печати и копирования в MS Word

На рисунке изображён график функции Найдите a.

На рисунке изображён график функции Найдите b.

На рисунке изображён график функции Найдите a.

На рисунке изображён график функции Найдите b.

На рисунке изображён график функции Найдите a.

На рисунке изображён график функции Найдите b.

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b, c и d  — целые. Найдите

Линейные функции

Версия для печати и копирования в MS Word

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Показательные и логарифмические функции

Версия для печати и копирования в MS Word

Источник

В 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня появилась задание №10 по теме «Графики функций». Можно считать его подготовительным для освоения задач с параметрами.

Как формулируется задание 10 ЕГЭ по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.

Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по ее графику.

Вот необходимая теория для решения задания №10 ЕГЭ.

Что такое функция

Чтение графика функции

Четные и нечетные функции

Периодическая функция

Обратная функция

5 типов элементарных функций и их графики

Преобразование графиков функций

Построение графиков функций

Да, теоретического материала здесь много. Но он необходим — и для решения задания 10 ЕГЭ, и для понимания темы «Задачи с параметрами», а также для дальнейшего изучения математики на первом курсе вуза.

Рекомендации:

Запоминай, как выглядят графики основных элементарных функций. Замечай особенности графиков, чтобы не перепутать параболу с синусоидой : -)

Проверь себя: какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?

Разбирая решения задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются также в задачах с параметрами.

Задание 10 в формате ЕГЭ-2021

Линейная функция

Необходимая теория

1. На рисунке изображён график функции . Найдите значение , при котором

Решение:

Найдем, чему равны k и b. График функции проходит через точки (3; 4) и (-1; -3). Подставив по очереди координаты этих точек в уравнение прямой y = kx + b, получим систему:

$left{ begin{array}{c}3k+b=4 \-k+b=-3 end{array}right..$

Вычтем из первого уравнения второе:

$left{ begin{array}{c}4k=7 \-k+b=-3 end{array};right. left{ begin{array}{c}k=frac{7}{4} \b=-frac{5}{4} end{array}right. .$

Уравнение прямой имеет вид:

$displaystyle y=frac{7}{4}x-frac{5}{4}.$

Найдем, при каком значение функции равно -13,5.

$displaystyle frac{7}{4}x-frac{5}{4}=-13,5;$

7x=-49;

x=-7.

Ответ: -7.

2. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Решение:

Запишем формулы функций.

Одна из них проходит через точку (0; 1) и ее угловой коэффициент равен -1. Это линейная функция y=-x+1.

Другая проходит через точки (-1; -1) и (-2; 4). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу линейной функции y=kx+b.

$left{ begin{array}{c}-k+b=-1 \-2k+b=4 end{array}right. .$

Вычтем из первого уравнения второе.

k=-5; тогда b=-6.

Прямая задается формулой:

Найдем абсциссу точки пересечения прямых. Эта точка лежит на обеих прямых, поэтому:

$left{ begin{array}{c}y=-x+1 \y=-5x-6 end{array} ;right. begin{array}{c}-x+1=-5x-6 ; \x=-frac{7}{4}=-1,75. end{array}$

Ответ: -1,75.

3. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Решение:

Прямая, расположенная на рисунке ниже, задается формулой y=x+1, так как ее угловой коэффициент равен 1 и она проходит через точку (-3; -2).

Для прямой, расположенной выше, угловой коэффициент равен $displaystyle frac{3}{2}=1,5.$

Эта прямая проходит через точку (-2; 4), поэтому: b=7, эта прямая задается формулой

Для точки пересечения прямых:

x=-12.

Ответ: -12.

Квадратичная функция. Необходимая теория

4. На рисунке изображен график функции Найдите b.

Решение:

На рисунке — квадратичная парабола $y={left(x-aright)}^2,$ полученная из графика функции y=x^2 сдвигом на 1 вправо, то есть a=1.

Получим: $fleft(xright)={left(x-1right)}^2=x^2-2x+1;$

b=-2.

Ответ: -2.

5. На рисунке изображен график функции $y={left(x-cright)}^2$ . Найдите с.

Решение:

На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх, значит, коэффициент при x^2 положительный. График сдвинут относительно графика функции y=x^2 на 1 единицу вправо вдоль оси Ох. Формула функции имеет вид $y={left(x-1right)}^2$ .

Значит, с = 1.

Ответ: 1

6. На рисунке изображён график функции Найдите

Решение:

График функции проходит через точки с координатами (1; 1) и (-2; -2). Подставляя координаты этих точек в формулу функции, получим:

$left{ begin{array}{c}2+b+c=1 \2cdot 4-2b+c=-2 end{array}right. .$

$left{ begin{array}{c}b+c=-1 \-2b+c=-10 end{array};right.$ отсюда b=3, c=-4.

Формула функции имеет вид:

Ответ: 31.

7. На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение:

Найдем a, b и c в формуле функции . График этой функции пересекает ось ординат в точке (0; -3), поэтому c=-3.

График функции g(x) проходит через точки (-1; -3) и (2; 3). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу функции:

$left{ begin{array}{c}a-b-3=-3 \4a+2b-3=3 end{array};right.$ отсюда a=b=1;

Найдем абсциссу точки B. Для точек A и B:

x=-2 (это абсцисса точки A) или x=6 (это абсцисса точки B).

Ответ: 6.

Степенные функции. Необходимая теория

8. На рисунке изображены графики функций $displaystyle fleft(xright)=frac{k}{x}$ и , которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение:

График функции $displaystyle y=frac{k}{x}$ проходит через точку (2; 1); значит, $displaystyle frac{k}{2}=1;$

$displaystyle k=2, ; fleft(xright)=frac{2}{x}.$

График функции проходит через точки (2; 1) и (1; -4), a=5 — угловой коэффициент прямой; (находим как тангенс угла наклона прямой и положительному направлению оси X); тогда b=-9.

Для точек A и B имеем:

$displaystyle frac{2}{x}=5x-9;$

Отсюда x=2 (абсцисса точки A) или x=-0,2 (абсцисса точки B).

Ответ: -0,2.

9. На рисунке изображён график функции . Найдите f (6,76).

Решение:

Функция задана формулой:

Ее график проходит через точку (4; 5); значит, k=2,5;

Тогда

Ответ: 6,5.

10. На рисунке изображен график функции . Найдите .

Решение:

График функции на рисунке симметричен графику функции относительно оси Y. Он проходит через точку (-1; 1). Значит, формула изображенной на рисунке функции: , а = — 1. Тогда = 5.

Ответ: 5.

Показательная функция. Необходимая теория

11. На рисунке изображён график функции $fleft(xright)=a^{x+b}.$ Найдите

Решение:

График функции проходит через точки (-3; 1) и (1; 4). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции $fleft(xright)=a^{x+b},$ получим:

$left{ begin{array}{c}a^{-3+b}=1 \a^{1+b}=4 end{array}.right.$

Поделим второе уравнение на первое:

$a^{1+b+3-b}=4; ; a^4=4;; a=sqrt{2}.$

Подставим во второе уравнение:

$displaystyle {sqrt{2}}^{1+b}=4;; 2^{frac{1+b}{2}}=2^2;; 1+b=4;; b=3.$

$displaystyle fleft(xright)={left(sqrt{2}right)}^{x+3};; fleft(-7right)={left(sqrt{2}right)}^{-7+3}={left(sqrt{2}right)}^{-4}=frac{1}{4}=0,25.$

Ответ: 0,25.

12. На рисунке изображен график функции . Найдите

Решение:

График функции проходит через точку Это значит, что

a=2, формула функции имеет вид: .

Ответ: 2.

Логарифмическая функция. Необходимая теория

13. На рисунке изображён график функции $fleft(xright)={{log}_a left(x+bright)}.$ Найдите

Решение:

График функции $y={{log}_a left(x+bright) }$ проходит через точки (-3; 1) и (-1; 2). Подставим по очереди эти точки в формулу функции.

$left{ begin{array}{c}{{log}_a left(-3+bright)=1 } \{{log}_a left(-1+bright) }=2 end{array}.right.$

Отсюда: $left{ begin{array}{c}b-3=a \b-1=a^2 end{array}.right.$

Вычтем из второго уравнения первое:

a=2 или a=-1 — не подходит, так как (как основание логарифма).

Тогда $fleft(xright)={{log}_2 left(x+5right) };$

$fleft(11right)={{log}_2 16=4.}$

Ответ: 4.

14. На рисунке изображен график функции $fleft(xright)=a{{log}_5 x }-c$ .

Найдите f(0,2).

Решение:

График логарифмической функции на рисунке проходит через точки и . Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции, получим систему уравнений:

$left{ begin{array}{c}a{{log}_5 1 }-c=-2 \a{{log}_5 5 }-c=3 end{array};right.$

$left{ begin{array}{c}-c=-2 \a-c=3 end{array};right.$

$left{ begin{array}{c}c=2 \a=5 end{array}.right.$

Формула функции: $fleft(xright)=5{{log}_5 x }-2.$

Найдем $displaystyle fleft(0,2right)=fleft(frac{1}{5}right)$ :

$displaystyle 5cdot {{log}_5 frac{1}{5} }-2=-5-2=-7.$

Ответ: -7.

Тригонометрические функции. Необходимая теория

15. На рисунке изображён график функции Найдите

Решение:

График функции сдвинут на 1,5 вверх; Значит, b=1,5. Амплитуда a=2 (наибольшее отклонение от среднего значения).

Это график функции Он получен из графика функции растяжением в 2 раза по вертикали и сдвигом вверх на 1,5 .

Ответ: b=1,5.

16. На рисунке изображён график функции

Найдите .

Решение:

На рисунке — график функции Так как b=-1,5.

График функции проходит через точку A $displaystyle (frac{pi}{4}; ; frac{1}{2}).$ Подставим и координаты точки А в формулу функции.

$displaystyle a tg frac{pi}{4}-1,5=frac{1}{2}.$

Так как $displaystyle tg frac{pi}{4}=1,$ получим: a = 2.

Ответ: 2.

17. На рисунке изображен график периодической функции у = f(x). Найдите значение выражения

Решение:

Функция, график которой изображен на рисунке, не только периодическая, но и нечетная, и если то

Пользуясь периодичностью функции , период которой T = 4, получим:

Ответ: 5.

Друзья, мы надеемся, что на уроках математики в школе вы решаете такие задачи. Для углубленного изучения темы «Функции и графики» (задание 10 ЕГЭ по математике), а также задач с параметрами и других тем ЕГЭ — рекомендуем Онлайн-курс для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 10 ЕГЭ по математике. Графики функций» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

В ЕГЭ 2022 года добавили новую задачу на графики функций. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем вычислить ответ на вопрос задачи. И если вычисление ответа по известной формуле обычно не составляет труда, то вот определение самой формулы часто ставит школьников в тупик. Поэтому мы разберем три разных подхода к этому вопросу.

Замечание. Про то как определяется формула у прямой и параболы я написала в этой и этой статьях. Поэтому здесь в примерах я буду использовать другие функции – дробные, иррациональные, показательные и логарифмические, но все три описанных здесь способа работают и для линейных, и для квадратичных функций в том числе.

1 способ – находим формулу по точкам

Этот способ подходит вообще для любой девятой задачи, но занимает достаточно много времени и требует хорошего навыка решения систем уравнений.

Давайте разберем алгоритм на примере конкретной 9-ой задачи ЕГЭ:

Алгоритм:

1. Находим 2 точки с целыми координатами. Обычно они выделены жирно, но если это не так, то не проблема найти их самому.
Пример:

2. Подставляем эти координаты в «полуфабрикат» функции. Вместо (f(x))– координату игрек, вместо (x) – икс. Получается система.

3. Решаем эту систему и получаем готовую формулу.

4. Готово, функция найдена, можно переходить ко второму этапу – вычислению (f(-8)). Если вы вдруг не знаете, что это значит – в конце статьи я рассматриваю этот момент более подробно.

Давайте посмотрим метод еще раз на примере с логарифмической функцией.
Пример:

2 способ – преобразование графиков функций

Этот способ сильно быстрее первого, но требует больше знаний. Для использования преобразований функций нужно знать, как выглядят функции без изменения и как преобразования их меняют. Наиболее удобно использовать этот способ для иррациональной функции ((y=sqrt{x}) ) и функции обратной пропорциональности ((y=frac{1}{x})).

Вот как выглядит применение этого способа:

Для использования этого способа надо знать, как выглядят изначальные функции:

И понимать, как меняются функции от преобразований:

Часто даже по «полуфабрикату» функции понятно, какие преобразования сделали с функцией:

Пример:

3 способ – гибридный

Идеально подходит для логарифмических и показательных функций, так как обычно у таких функций неизвестно основание и с помощью преобразований его не найти. С другой стороны, независимо от оснований любая показательная функция должна проходить через точку ((0;1)), а любая логарифмическая — через точку ((1;0)).

По смещению этих точек легко понять, как именно двигали функцию, но только если ее не растягивали, а лишь перемещали вверх-вниз, влево-вправо (как обычно и бывает в задачах на ЕГЭ).

Основание же лучше находить уже следующим действием, используя подстановку координат точки в «полуфабрикат» функции.

Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию

— Если просят найти (f)(любое число), то нужно это число подставить в готовую функцию вместо икса.
Пример:

— Если просят найти «при каком значении x значение функции равно *любому числу*», то надо решить уравнение, в одной части которого будет функция, а в другой — то самое число. Аналогично надо поступить, если просят «найти корень уравнения (f(x)=) *любое число*».
Пример:

— Если просят найти абсциссу точки пересечения – надо приравнять 2 функции и решить получившееся уравнение. Корень уравнения и будет искомой абсциссой. Аналогично надо делать в задачах, где даны две точки пересечения (A)(*любое число*;*другое число*) и (B(x_0;y_0)) и просят найти (x_0).
Пример:

— Если просят найти ординату точки пересечения – надо приравнять 2 функции, найти иксы и подставить подходящий икс в любую функцию. Точно также решаем если просят найти (y_0) точки пересечения двух функций.
Пример:

— Иногда просят найти просто какой-либо из коэффициентов функции. Тогда надо просто восстановить функцию и записать в ответ то, о чем спросили:
Пример:

Источник

💡 Если Вы — учитель математики, то Вы можете создавать готовые карточки для учеников с индивидуальными заданиями и с ответами для отработки заданий на графики функций. Данные задачи доступны в Конструкторе бесплатно.

3. На рисунке изображён график функции y=3x^2+bx+c . Найдите f(6) . [Ответ: 10]	Смотреть видеоразбор похожего >>
4. На рисунке изображён график функции y=ax^2+12x+c . Найдите f(7) . [Ответ: -74]	Смотреть видеоразбор похожего >>
5. На рисунке изображён график функции y=ax^2+bx+12 . Найдите f(-7) . [Ответ: 19]	Смотреть видеоразбор похожего >>
6. На рисунке изображён график функции y=ax^2+bx+c . Найдите f(1) . [Ответ: 49]	Смотреть видеоразбор похожего >>
7. На рисунке изображён график функции y=ax^2+bx+c , где числа a , b и c — целые. Найдите f(-5) . [Ответ: -29]	Смотреть видеоразбор похожего >>
8. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{k}{x}+a . Найдите f(0.1) . [Ответ: -17]	Смотреть видеоразбор похожего >>
9. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{k}{x}+a . Найдите, при каком значении x значение функции равно -4.4 . [Ответ: -12.5]	Смотреть видеоразбор похожего >>
10. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{k}{x+a} . Найдите f(-3.5) . [Ответ: 6]	Смотреть видеоразбор похожего >>
11. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{k}{x+a} . Найдите значение x , при котором f(x) = 10 . [Ответ: 0.6]	Смотреть видеоразбор похожего >>
12. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{kx+a}{x+b} . Найдите k . [Ответ: 1]	Смотреть видеоразбор похожего >>
13. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{kx+a}{x+b} . Найдите a . [Ответ: 2]	Смотреть видеоразбор похожего >>
14. На рисунке изображён график функции f(x)=b+log_ax . Найдите f(frac{1}{9}) . [Ответ: 3]	Смотреть видеоразбор похожего >>
15. На рисунке изображён график функции f(x)=b+log_ax . Найдите значение x , при котором f(x)=-11 . [Ответ: 64]	Смотреть видеоразбор похожего >>
16. На рисунке изображён график функции f(x)=log_a(x+b) . Найдите f(26) . [Ответ: -2]	Смотреть видеоразбор похожего >>
17. На рисунке изображён график функции f(x)=log_a(x+b) . Найдите значение x , при котором f(x)=4 . [Ответ: 82]	Смотреть видеоразбор похожего >>
18. На рисунке изображён график функции f(x) = a^x+b . Найдите f(-2) . [Ответ: 22]	Смотреть видеоразбор похожего >>
19. На рисунке изображён график функции f(x) = a^x+b . Найдите значение x , при котором f(x) = 77 . [Ответ: -4]	Смотреть видеоразбор похожего >>
20. На рисунке изображён график функции f(x) = a^{x+b} . Найдите f(4) . [Ответ: 9]	Смотреть видеоразбор похожего >>
21. На рисунке изображён график функции f(x) = a^{x+b} . Найдите значение x , при котором f(x) = 64 . [Ответ: 8]	Смотреть видеоразбор похожего >>
22. На рисунке изображён график функции f(x) = ksqrt{x} . Найдите f(8.41) . [Ответ: 8.7]	Смотреть видеоразбор похожего >>
23. На рисунке изображён график функции f(x) = ksqrt{x} . Найдите значение x , при котором f(x)=-6.75 . [Ответ: 7.29]	Смотреть видеоразбор похожего >>
24. На рисунке изображены графики функций f(x)=-4x+22 и g(x)=ax^2+bx+c , которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. [Ответ: 9]	Смотреть видеоразбор похожего >>
25. На рисунке изображены графики функций f(x)=-6x-28 и g(x)=ax^2+bx+c , которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. [Ответ: 38]	Смотреть видеоразбор похожего >>
26. На рисунке изображены графики функций f(x)=frac{k}{x} и g(x)=ax+b , которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. [Ответ: 0.2]	Смотреть видеоразбор похожего >>
27. На рисунке изображены графики функций f(x)=frac{k}{x} и g(x)=ax+b , которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. [Ответ: 20]	Смотреть видеоразбор похожего >>
28. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков. [Ответ: -2.08]	Смотреть видеоразбор похожего >>
29. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков. [Ответ: -2.4]	Смотреть видеоразбор похожего >>
30. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков. [Ответ: -11.3]	Смотреть видеоразбор похожего >>
31. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков. [Ответ: 6.8]	Смотреть видеоразбор похожего >>
32. На рисунке изображены графики функций f(x) = 2x^2+16x+30 и g(x) = ax^2+bx+c , которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. [Ответ: -9]	Смотреть видеоразбор похожего >>
33. На рисунке изображены графики функций f(x) = -2x^2-3x+1 и g(x) = ax^2+bx+c , которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. [Ответ: -13]	Смотреть видеоразбор похожего >>
34. На рисунке изображены графики функций f(x)=asqrt{x} и g(x)=kx+b , которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A. [Ответ: 3.24]	Смотреть видеоразбор похожего >>
35. На рисунке изображены графики функций f(x)=asqrt{x} и g(x)=kx+b , которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A. [Ответ: 9]	Смотреть видеоразбор похожего >>
36. На рисунке изображён график функции f(x) = asin{x}+b . Найдите a . [Ответ: 2]	Смотреть видеоразбор похожего >>
37. На рисунке изображён график функции f(x) = asin{x}+b . Найдите b . [Ответ: 1,5]	Смотреть видеоразбор похожего >>
38. На рисунке изображён график функции f(x) = acos{x}+b . Найдите a . [Ответ: 1,5]	Смотреть видеоразбор похожего >>
39. На рисунке изображён график функции f(x) = acos{x}+b . Найдите b . [Ответ: −1]	Смотреть видеоразбор похожего >>
40. На рисунке изображён график функции f(x) = a;tg{x}+b . Найдите a . [Ответ: 2]	Смотреть видеоразбор похожего >>
41. На рисунке изображён график функции f(x) = a;tg{x}+b . Найдите b . [Ответ: −1,5]	Смотреть видеоразбор похожего >>

Источник

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ — наглядно.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох.

Например, для функции вида

область определения выглядит так

х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): (-∞; 0) ⋃ (0; +∞).

Область значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): [0; +∞).

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться при решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Запоминаем!

Не обязательно делать чертеж на целый тетрадный лист, можно выбрать удобный для вас масштаб, который отразит суть задания.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

стационарные и критические точки;
точки экстремума;
нули функции;
точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

Найти область определения функции.
Найти область допустимых значений функции.
Проверить не является ли функция четной или нечетной.
Проверить не является ли функция периодической.
Найти точку пересечения с осью OY (если она есть).
Вычислить производную и найти критические точки, определить промежутки возрастания и убывания.
Промежутки знакопостоянства.
Асимптоты.
На основании проведенного исследования построить график функции.

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах или воспользуйтесь онлайн тренажером.

Задача 1. Построим график функции

Как решаем:

Упростим формулу функции:

при х ≠ -1.

График функции — прямая y = x — 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Задача 2. Построим график функции

Как решаем:

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Задача 3. Построить графики функций:

а) y = 3x — 1

б) y = -x + 2

в) y = 2x

г) y = -1

Как решаем:

Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

а) y = 3x — 1

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

б) y = -x + 2

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

в) y = 2x

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, b = 0 — график проходит через начало координат.

г) y = -1

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 4. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax² + bx + c.

Как решаем:

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a < 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины
Ветви вверх, следовательно, a > 0.

Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.
Ветви вниз, следовательно, a < 0.

Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

Задача 5. Построить графики функций:

а) y = x² + 1

б)

в) y = (x — 1)² + 2

г)

д)

Как решаем:

Построить графики можно при помощи элементарных преобразований.

Если построен график функции y = f(x), то при a > 0 следующие графики получаются с помощью сдвига графика f(x).

y = f(x) + a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вверх;
y = f(x) − a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вниз;
y = f(x + a) — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц влево;
y = f(x − a) — график функции у = f(x) сдвигается на a единиц вправо.

Преобразование график по типу y = mf(x): y = f(x) → y = mf(x), где m — положительное число.

Если m > 1, то такое преобразование графика называют растяжением вдоль оси y с коэффициентом m.
Если m < 1, то такое преобразование графика называют сжатием к оси x с коэффициентом 1/m.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вверх на 1:

y = x² + 1

б)

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

Сдвигаем график вправо на 1:

в) y = (x — 1)² + 2

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вправо на 1:

y = (x — 1)²

Сдвигаем график вверх на 2:

y = (x — 1)² + 2

г)

Преобразование в одно действие типа

y = cos(x)

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

5.5.5

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

5.5.6
5.5.7

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

5.5.8
5.5.9

Источник

: ЕГЭ по математике профиль

Новые задания №9 ЕГЭ 2022 по профильной математике — графики функций.

Для успешного результата необходимо уметь выполнять действия с функциями.

Задание №9 ЕГЭ 2022 математика профильный уровень Прототипы

Скачать задания	Источник
Новые задания 9	ФИПИ
Прототипы задания №9	vk.com/mathegeexam
Скачать задания	vk.com/ekaterina_chekmareva
→ Теория → Задачи → Шпаргалка	vk.com/abel_mat
Линейная функция	math100.ru
Парабола
Гипербола
Логарифмическая и показательная функции
Иррациональные функции
Тригонометрические функции

Из кодификатора 2022 года для выполнения 9 задания нужно изучить основные элементарные функции, их свойства и графики:

3.3.1 Линейная функция, её график

3.3.2 Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график

3.3.3 Квадратичная функция, её график

3.3.4 Степенная функция с натуральным показателем, её график

3.3.5 Тригонометрические функции, их графики

3.3.6 Показательная функция, её график

3.3.7 Логарифмическая функция, её график

Уметь выполнять действия с функциями: определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; описывать по графику поведение и свойства функции, находить по графику функции наибольшее и наименьшее значения; строить графики изученных функций:

При отработке данного задания будут полезны книги:

Купить ЕГЭ. Математика. Графики функций, уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

Купить Задачи с параметрами. Применение свойств функций, преобразование неравенств

Связанные страницы:

Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи в разделе контакты

Источник

Слайд 1

Решение заданий ЕГЭ нового типа № 9 Анализ графиков

Слайд 2

Линейная функция f(x) = kx+b f (12) -? k = tg x = График функции проходит через точку с координатами (4;1) 1= * 4+ b 1= 1,5+b b= — 0,5 f(12) = x-0,5= *12 — 0,5 = 4

Слайд 3

Парабола y= y=a(x — m m – абсцисса вершины параболы n – ордината вершины параболы Коэффициент а отвечает за «расширение» или «сжатие» ветвей параболы. Чем больше |a|, тем «уже» парабола, чем меньше | a| , тем «шире» парабола. f(x) = f (-1) = (- 1 -5

Слайд 4

Гипербола График функции имеет вертикальную асимптоту х = 1, значит а = 1. График проходит через точку с координатами (2;1) 1 = k = 3 f(x) = f(19) =

Слайд 5

Гипербола Преобразуем функцию (выделим целую часть) kx+a x+b — kx+kb k f(x) = k + a-kb График имеет горизонтальную асимптоту y = 1, значит к=1

Слайд 6

Гипербола k – горизонтальная асимптота b – вертикальная асимптота y = — 2 k = -2

Слайд 7

Логарифмическая функци я График f(x) = log a x проходит через точку с координатами (1;0). График f(x) = b + log a x получается сдвигом графика f(x) = log a x вдоль оси ОУ вниз на 2 единичных отрезка, значит b = -2. График функции проходит через точку (3;1). -1 = -2 + а = 3 f(27) = — 2 + = -2+3 = 1

Слайд 8

Показательная функция График f(x) = проходит через точку с координатами (0;1). График f(x) = + b получается сдвигом графика у = вдоль оси ОУ вниз на 4 единичных отрезка, значит b = -4. График функции проходит через точку (-3;4). 4 = = 8 а = а = f (-5) = — 4 = 32 – 4 = 28

Слайд 9

Иррациональная функция График функции f (x) = a проходит через точку (4; 5 ). 5 = a a = 2 ,5 f (x) = 2 ,5 g (x) = kx + b, b = -2 k = tg α = g (x) = 2,5 = 10 = 3x – 8 100 x = 9 9 D = — 64 *9 = (74 – 8*3) (74 + 8*3) = 50*98

Слайд 10

Тригонометрические функции Множеством значений y = cos x является отрезок [ — 1; 1]. График расположен в промежутке между прямыми у = -1 и у = 1. 1 способ: 8 : 4 = 2 => а = 2 2 способ: |a| = => а = 2 3 способ: график проходит через точки с координатами (0 ; 1,5) и ( π ; — 2,5) a = 2

Источник

Комбинированные задачи

Гиперболы

Кусочно-линейная функция

Параболы

Тригонометрические функции

Линейные функции

Показательные и логарифмические функции

1 способ – находим формулу по точкам

Алгоритм:

2 способ – преобразование графиков функций

3 способ – гибридный

Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию

Понятие функции

Понятие графика функции

Исследование функции

Построение графика функции

Новое и интересное на сайте: