Решение иррациональных неравенств егэ по математике профильный уровень

Поиск

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 222    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 222    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

21
Окт 2013

Категория: Иррациональные выражения, уравнения и неравенства

Иррациональные неравенства

2013-10-21
2019-08-13

Автор: egeMax |

комментариев 6

Иррациональные неравенства

Так называются неравенства, содержащие знак корня.

В решении иррациональных неравенств главное – логика и внимательность.

И конечно, надо повторить следующие темы:

1) Арифметический квадратный корень.

2) Решение неравенств. Основные ошибки и полезные лайфхаки.

Напоминаем, что решение лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов.

1.Решите неравенство 

Правая часть неравенства неотрицательна:
(по определению корня квадратного).

Поскольку  левая часть положительна: 

Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Неравенство равносильно системе:

Ответ: (5;+∞)

2.Решите неравенство .

Как вы думаете – это неравенство такое же, как предыдущее, или отличается от него? Ведь здесь правая часть может быть и положительной, и отрицательной, и равной нулю. И надо рассмотреть все эти случаи.

1) Пусть правая часть неравенства неотрицательна. И левая тоже неотрицательна (по определению арифметического квадратного корня). И подкоренное выражение неотрицательно. Значит, при обе части неравенства можно возвести в квадрат.

Получим:

Разложим выражение на множители. Корни уравнения – это и .

Получаем систему:

2) Пусть теперь правая часть неравенства отрицательна. Если  то неравенство выполняется. В самом деле, по определению. Значит,

Нам нужно только, чтобы подкоренное выражение было неотрицательно: .

Получим:

Объединим полученные интервалы и запишем ответ.

Ответ: .

3.Решите неравенство 

Ответ:

4.Решите неравенство 

Ответ:  

5.Решите неравенство

Сделаем замену , тогда

Ответ:

6. Решите неравенство

Ответ:

ЕГЭ Профиль №15. Иррациональные неравенстваadmin2018-12-14T21:57:42+03:00

Используйте LaTeX для набора формулы

Неравенства, содержащие переменную под знаком радикала, называются иррациональными неравенствами.

Содержание:

Решение иррациональных неравенств также ищут на множестве действительных чисел и, используя свойства корня и неравенств, сводится к решению системы рациональных неравенств.

Пример: Решите неравенство

Решение: чтобы найти множество решений данного неравенства на множестве допустимых значений, т. е. при условии

Каждое неравенство системы решим методом интервалов и найдем пересечение полученных решений:

Пример: Решите неравенство

Решение: рассмотрим два случая, в зависимости от знака правой части.

1) при для всех неравенство справедливо для всех Значит, надо решить систему

Ее решением является промежуток

2) при обе стороны заданного неравенства можно возвести в квадрат. Тогда получим систему

Ее решением является промежуток

Решением заданного неравенства является

Способы решения иррациональных неравенств 

С действием возведения в степень связаны разные виды выражений. Будем рассматривать выражения с переменными, при образовании которых используются действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень, причем возведение в степень хотя бы один раз применено к выражению с переменной.

Если показатель степени целый, то возникает рациональное выражение, если дробный, то — иррациональное выражение, а если иррациональный, то — трансцендентное выражение.

К трансцендентным выражениям приводят и действия нахождения значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса. Рациональные и иррациональные выражения вместе составляют множество алгебраических выражений.

Из выражений

выражения (1) и (2) являются рациональными, выражения (3) и (4) — иррациональными, выражения (5) и (6) — трансцендентными, а выражения (1)—(4) — алгебраическими.

В зависимости от того, из каких выражений составлено уравнение, говорят о рациональных, иррациональных, трансцендентных уравнениях.

Из уравнений

уравнения (1) и (2) являются рациональными, уравнения (3) и (4) — иррациональными, а уравнения (5) и (6) — трансцендентными.

Так же говорят о рациональных, иррациональных, трансцендентных неравенствах.

В этом параграфе рассматривается решение иррациональных уравнений и неравенств. При их решении нужно следить за тем, какие преобразования выполняются при этом.

Утверждение равносильно утверждению , если утверждения и истинны при одних и тех же значениях переменной . Равносильность уравнений означает, что они имеют одни и те же корни, а равносильность неравенств — то, что они имеют одни и те же решения. Равносильность утверждений и обозначают = .

Утверждение следует из утверждения , если утверждение истинно при всех значениях переменной , при которых истинно утверждение . Следование второго уравнения из первого означает, что каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но второе уравнение может иметь и дополнительные корни. Так же понимается и следование одного неравенства из другого. Следование утверждения из утверждения обозначают .

Отношения равносильности и следования связаны:

При решении иррациональных неравенств нужно учитывать, что проверка подстановкой найденного множества чисел обычно невозможна из-за его бесконечности. Поэтому при решении неравенств нужно следить за равносильностью проводимых преобразований.

Теорема:

Верны следующие равносильности:

Доказательство проводится по схеме, использованной при доказательстве теоремы 9 с применением соответствующих свойств числовых неравенств.

Пример №1

Решим неравенство . Это неравенство равносильно совокупности неравенств

Первую систему можно заменить равносильной системой , которая равносильна системе , которая, в свою очередь, равносильна неравенству .

Вторая система совокупности равносильна системе , которая равносильна неравенству .

Решения данного неравенства получим, когда объединим решения и первой и второй систем совокупности, в результате получим множество всех действительных чисел.

Ответ. .

Пример №2

Решим неравенство .

Обратим внимание на то, что на области определения левая и правая части данного неравенства обе неотрицательны, поэтому оно равносильно системе неравенств

решение которой следующее:

Ответ. .

• Заказать решение задач по высшей математике

Какие неравенства называются иррациональными

В этой лекции мы будем рассматривать неравенства, содержащие переменную (неизвестное) под знаком корня. Такие неравенства называются иррациональными.

При решении иррациональных неравенств часто используют подход, который мы уже применяли, решая иррациональные уравнения. Он состоит в замене исходного неравенства равносильным ему неравенством (системой или совокупностью неравенств).

Пример №3

Решить неравенство:

Решение:

а) Учитывая свойства корня нечетной степени, получаем:

б) По определению корня четной степени значения выражения

неотрицательны при всех значениях при которых это

выражение имеет смысл, т. е. когда значения подкоренного выражения неотрицательны. Таким образом, имеем:

Ответ:

Пример №4

Решить неравенство:

Решение:

а) По определению корня четной степени значения выражения отрицательными быть не могут. Поэтому имеем:

б) Поскольку обе части неравенства неотрицательны при всех значениях при которых его левая часть имеет смысл, то имеем:

Ответ:

При решении иррациональных неравенств часто используется также метод интервалов.

Пример №5

Решить неравенство

Решение:

Обозначим Найдем область определения функции

Таким образом,

Найдем нули функции т. е. корни уравнения

Проверка:

Значит, 0,5 — единственный нуль функции

Отметим нуль функции на области определения (рис.22). Определим знаки значений функции на образовавшихся интервалах, для чего вычислим:

Используя рисунок 22, запишем решение неравенства

Ответ:

Пример №6

Решить неравенство

Решение:

Решение этого примера аналогично решению примера 3.

Используя рисунок 22, записываем решение неравенства

Ответ:

▲ При решении иррациональных неравенств часто используются следующие утверждения о равносильности неравенств и систем неравенств:

Решим пример 3, используя равносильность (1):

Ответ:

Решим пример 4, используя равносильность (2):

Ответ:

Для решения заданий такого типа, как, например, в 1.265, можно использовать следующие утверждения о равносильности:

Аналогичные утверждения можно записать и для неравенств

Иррациональные неравенства

Привет!

Говоря об иррациональности, может показаться, что сложнее иррациональных уравнений есть лишь одна вещь — иррациональные неравенства.

И сейчас ты поймешь, что это не так!

Если ты хорошо разобрался в предыдущих темах (я скажу, в каких в начале статьи), то иррациональные уравнения покажутся тебе легкими.

Мы рассмотрим все виды неравенств и разберем различные примеры, так, чтобы ты смог решить любое иррациональное неравенство. 

Иррациональные неравенства – коротко о главном

Определение

Иррациональное неравенство – это неравенство, содержащее переменную под корнем

Неравенства вида ( sqrt{A}ge sqrt{B})

( sqrt{A}ge sqrt{B}text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}Age B\Bge 0end{array} right.)

или

( sqrt{A}>sqrt{B}text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}A>B\Bge 0end{array} right.)

Неравенства вида ( Asqrt{B}>0) или ( Asqrt{B}<0)

( Asqrt{B}>0text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}B>0\A>0end{array} right.)

или

( Asqrt{B}<0text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}B>0\A<0end{array} right.)

Неравенства вида ( Asqrt{B}ge 0)

( Asqrt{B}ge 0text{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}B=0\left{ begin{array}{l}Age 0\Bge 0end{array} right.end{array} right.)

или

( Asqrt{B}le 0text{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}B=0\left{ begin{array}{l}Ale 0\Bge 0end{array} right.end{array} right.)

Неравенства вида ( sqrt{A}ge B)

( sqrt{A}ge Btext{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}Ble 0\Age 0end{array} right.\left{ begin{array}{l}B>0\Age {{B}^{2}}end{array} right.end{array} right.)

или

( sqrt{A}>Btext{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}B<0\Age 0end{array} right.\left{ begin{array}{l}Bge 0\A>{{B}^{2}}end{array} right.end{array} right.)

Неравенства вида ( sqrt{A}le B)

( sqrt{A}le Btext{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}Age 0\Bge 0\Ale {{B}^{2}}end{array} right.)

или

( sqrt{A}<Btext{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}Age 0\B>0\A<{{B}^{2}}end{array} right.)

Корни четной степени

Например:

( displaystyle sqrt[4]{A}le Btext{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}Ale {{B}^{4}}\Bge 0\Age 0end{array} right.)

Корни нечетной степени

Корень нечетной степени можно извлекать из любого числа!

( displaystyle begin{array}{l}sqrt[3]{A}>Btext{ }Leftrightarrow text{ }A>{{B}^{3}}\sqrt[5]{A}<Btext{ }Leftrightarrow text{ }A<{{B}^{5}},end{array}) и т.д.

ОДЗ (Область допустимых значений)

Помнишь, что такое ОДЗ?

ОДЗ (область допустимых значений) неравенства или неравенств – это множество значений переменной, при которых обе части данного неравенства (или неравенств) имеют смысл.

Например, в уравнении ( sqrt{x+2}=3) присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно.

То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства ( x+2ge 0).

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, такую задачу:

( sqrt{{{x}^{2}}+3x}>2).

При возведении в квадрат получаем ( {{x}^{2}}+3x>4), то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример, просто найдя ОДЗ. Например:

( sqrt{2{x}-6}>-2).

Но ведь мы помним, что квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому он всегда будет больше ( -2). Значит, решением задачи будет ОДЗ:

( 2{x}-6ge 0text{ }Leftrightarrow text{ }xge 3).

Ответ: ( left[ 3;+infty right)).

Пять видов неравенств и способы их решений

Первый вид неравенств

( sqrt{A}ge sqrt{B})

Естественно, знак неравенства может быть и нестрогим.

Здесь и далее большими буквами ( A), ( B), ( C) и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную.

Так, общая запись ( sqrt{A}>sqrt{B}) соответствует, например, уравнению ( sqrt{{{x}^{2}}-{x}-2}>sqrt{{x}-1}).

Здесь ( A={{x}^{2}}-{x}-2) и ( B={x}-1).

Как решить такое неравенство?

Для начала вспомним, что функция ( fleft( x right)=sqrt{x}) – монотонна, то есть, чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень.

Поэтому из двух корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше.

Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом неравенстве?

Действительно, чтобы неравенство имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

( left{ begin{array}{l}Age 0\Bge 0end{array} right.)

Но поскольку первое выражение больше второго, достаточно потребовать неотрицательности только второго:

( sqrt{A}ge sqrt{B}text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}Age B\Bge 0end{array} right.)

или

( sqrt{A}>sqrt{B}text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}A>B\Bge 0end{array} right.)

Три примера на закрепление материала:

Пример №1. ( sqrt{{{x}^{2}}-{x}+2}>sqrt{{x}+1})

Пример №2. ( sqrt{2{{x}^{2}}-6{x}-17}ge sqrt{{x}-2})

Пример №3. ( sqrt{2{{x}^{2}}-x-6}le sqrt{3{{x}^{2}}-{8x}})

Решение примера №1

Применим только что выученное правило:

( displaystyle sqrt{{{x}^{2}}-x+2}>sqrt{x+1}text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}-x+2>x+1\x+1ge 0end{array} right.text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}-2x+1>0\xge -1end{array} right.Leftrightarrow )

( displaystyle Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}{{left( {x}-1 right)}^{2}}>0\xge -1end{array} right.text{ }Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xne 1\xge -1end{array} right.text{ }Leftrightarrow text{ }xin left[ -1;1 right)cup left( 1;+infty right)).

Решение примера №2

( displaystyle sqrt{2{{x}^{2}}-6{x}-17}ge sqrt{{x}-2}text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}2{{x}^{2}}-6{x}-17ge {x}-2\{x}-2ge 0end{array} right. Leftrightarrow )

Решение примера №3

( displaystyle sqrt{2{{x}^{2}}-{x}-6}le sqrt{3{{x}^{2}}-8x}text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}3{{x}^{2}}-8xge 2{{x}^{2}}-{x}-6\2{{x}^{2}}-{x}-6ge 0end{array} right.text{ }Leftrightarrow )

( displaystyle Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}left( {x}-6 right)left( {x}-1 right)ge 0\2left( {x}-2 right)left( x+frac{3}{2} right)ge 0end{array} right.).

Далее поставим знаки…

Второй вид неравенств

( Asqrt{B}>0) или ( Asqrt{B}<0)

Корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому, он влияет на это неравенство, только если равен нулю. То есть нужно ограничить корень, чтобы он не был равен нулю, а в остальном – дело за выражением ( A).

И не забываем про ОДЗ, подкоренное выражение неотрицательно. А если оно неотрицательно, и при этом не должно быть равно нулю, то оно строго болше нуля:

( Asqrt{B}>0text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}B>0\A>0end{array} right.)

или

( Asqrt{B}<0text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}B>0\A<0end{array} right.)

Три примера на закрепление материала

Пример №1. ( xsqrt{x+5}>0)

Пример №2. ( ({{x}^{2}}-{x}-2)cdot sqrt{{x}-2}<0)

Пример №3. ( ({{x}^{2}}-9)sqrt{{{x}^{2}}-4}>0)

Решение примера №1

( xsqrt{x+5}>0)

( left{ begin{array}{l}x+5>0\x>0end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}x>-5\x>0end{array} right.Rightarrow x>0).

Решение примера №2

( ({{x}^{2}}-{x}-2)cdot sqrt{{x}-2}<0)

Решение примера №3

( ({{x}^{2}}-9)sqrt{{{x}^{2}}-4}>0)

Третий вид неравенств

( Asqrt{B}ge 0)

В случае нестрогого неравенства условие, что подкоренное выражение не равно нулю теперь лишнее. Но это только добавило нам проблем, ведь при этом выражение ( displaystyle A) может быть любым. Значит, надо отдельно рассмотреть случай, когда корень равен нулю:

( Asqrt{B}ge 0text{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}B=0\left{ begin{array}{l}Age 0\Bge 0end{array} right.end{array} right.)

или

( Asqrt{B}le 0text{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}B=0\left{ begin{array}{l}Ale 0\Bge 0end{array} right.end{array} right.)

Три примера на закрепление материала

Пример №1. ( xsqrt{{x}-1}ge 0)

Пример №2. ( left( {{x}^{2}}-4 right)sqrt{x+1}le 0)

Пример №3. ( left( {{x}^{2}}-3{x}-4 right)sqrt{x+1}>0)

Решение примера №1

( xsqrt{{x}-1}ge 0text{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}{x}-1=0\left{ begin{array}{l}xge 0\{x}-1ge 0end{array} right.end{array} right.text{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}x=1\xge 1end{array} right.text{ }Leftrightarrow text{ }xge 1.).

Решение примера №2

( displaystyle left( {{x}^{2}}-4 right)sqrt{x+1}le 0text{ }Leftrightarrow text{ })

Решение примера №3

( displaystyle left( {{x}^{2}}-3{x}-4 right)sqrt{x+1}>0text{ }Leftrightarrow text{ })

Четвертый вид неравенств

( sqrt{A}le B)

Здесь все немного проще: поскольку корень неотрицателен, то и правая часть этого неравенства должна быть неотрицательной:

( sqrt{A}le Btext{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}Age 0\Bge 0\Ale {{B}^{2}}end{array} right.) или ( sqrt{A}<Btext{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}Age 0\B>0\A<{{B}^{2}}end{array} right.).

Три примера на закрепление материала

Пример №1. ( sqrt{15-2x}le x)

Пример №2. ( x+3>sqrt{4x})

Пример №3. ( sqrt{x+7}+3x<4{x}-5)

Решение примера №1

( sqrt{15-2x}le x)

( left{ begin{array}{l}15-2x ge 0\xge 0\15-2xle {{x}^{2}}end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}x le 7,5\xge 0\{{x}^{2}}+2{x}-15ge 0end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}x le 7,5\xge 0\({x}-3)cdot ({x}+5)ge 0end{array} right.Rightarrow )

( left{ begin{array}{l}x le 7,5\xge 0\xin (-infty ;left. -5 right]cup left[ 3 right.;+infty )end{array} right.Rightarrow xin left[ 3; right.left. 7,5 right]).

Решение примера №2

( x+3>sqrt{4x})

Решение примера №3

( sqrt{x+7}+3x<4{x}-5)

Пятый вид неравенств

( sqrt{A}ge B)

Рассмотрим пример:

( sqrt{x+2}ge x)

Тут возможны два варианта. Если ( xle 0), неравенство выполнится при всех допустимых ( x), ведь корень неотрицателен, значит, он автоматически больше (или равен) неположительного числа:

( left{ begin{array}{l}xle 0\x+2ge 0end{array} right.)

Если же правая часть положительна (( x>0)), имеем право возводить в квадрат:

( x+2ge {{x}^{2}}).

ОДЗ, как видим, здесь учтено автоматически. Итак, собираем все в кучу:

( left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}xle 0\x+2ge 0end{array} right.\left{ begin{array}{l}x>0\x+2ge {{x}^{2}}end{array} right.end{array} right.)

Запомни, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что обе части неравенства неотрицательны! Тоже своего рода ОДЗ.

Итак, правило в общем виде:

( sqrt{A}ge Btext{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}Ble 0\Age 0end{array} right.\left{ begin{array}{l}B>0\Age {{B}^{2}}end{array} right.end{array} right.)

А как будет выглядеть это правило, если неравенство строгое? Вот так:

( sqrt{A}>Btext{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}B<0\Age 0end{array} right.\left{ begin{array}{l}Bge 0\A>{{B}^{2}}end{array} right.end{array} right.)

Подумай сам, почему именно так.

Три примера на закрепление материала

Пример №1. ( sqrt{4x+1}ge {x}-1)

Пример №2. ( sqrt{2{x}-1}-sqrt{x+2}<1)

Пример №3. ( displaystyle 3sqrt{6+2{x}-4{{x}^{2}}}+2>8x)

Решение примера №1

( displaystyle sqrt{4x+1}ge {x}-1text{ }Leftrightarrow )

( displaystyle Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}{x}-1le 0\4x+1ge 0end{array} right.\left{ begin{array}{l}4x+1ge {{x}^{2}}-2x+1\{x}-1>0end{array} right.end{array} right.text{ }Leftrightarrow left[ begin{array}{l}-frac{1}{4}le xle 1\left{ begin{array}{l}xleft( {x}-6 right)le 0\x>1end{array} right.end{array} right.text{ }Leftrightarrow )

( displaystyle Leftrightarrow left[ begin{array}{l}-frac{1}{4}le xle 1\left{ begin{array}{l}0le xle 6\x>1end{array} right.end{array} right.text{ }Leftrightarrow text{ }xin left[ -frac{1}{4};6 right]text{.}).

Решение примера №2

( sqrt{2{x}-1}-sqrt{x+2}<1text{ }Leftrightarrow text{ }sqrt{2{x}-1}<1+sqrt{x+2})

Теперь обе части неравенства неотрицательны, значит, можно возвести их в квадрат (не забыв также, что подкоренное выражение в левой части должно быть неотрицательным):

Решение примера №3

( displaystyle 3sqrt{6+2{x}-4{{x}^{2}}}+2>8x)

Корни степени больше 2

Если же корень в неравенстве не квадратный, важна четность его степени.

Корни чётной степени

Корни ( 2), ( 4), ( 6) и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

( sqrt[4]{x}=sqrt{sqrt{x}};text{ }sqrt[6]{x}=sqrt{sqrt[3]{x}};text{ }sqrt[2k]{x}=sqrt{sqrt[k]{x}})

Например:

( displaystyle sqrt[4]{A}le Btext{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}Ale {{B}^{4}}\Bge 0\Age 0end{array} right.).

Корни нечётной степени

С нечетными степенями (( 3), ( 5), …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

( displaystyle begin{array}{l}sqrt[3]{A}>Btext{ }Leftrightarrow text{ }A>{{B}^{3}}\sqrt[5]{A}<Btext{ }Leftrightarrow text{ }A<{{B}^{5}},end{array}) и т.д.

Три примера на закрепление материала

Пример №1. ( displaystyle sqrt[5]{2-x}>-2)

Пример №2. ( displaystyle sqrt[3]{{{x}^{3}}+3x+5}ge x)

Пример №3. ( displaystyle sqrt[3]{{{x}^{2}}-{x}-7}<sqrt[3]{1-x})

( displaystyle sqrt[5]{2-x}>-2text{ }Leftrightarrow text{ }2-x>{{left( -2 right)}^{5}}text{ }Leftrightarrow text{ }2-x>-32text{ }Leftrightarrow text{ }x<34).

Решение примера №3

( displaystyle sqrt[3]{{{x}^{2}}-{x}-7}<sqrt[3]{1-x}text{ }Leftrightarrow text{ }{{x}^{2}}-{x}-7<1-xtext{ }Leftrightarrow )

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук – ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org – email для записи

• тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
• автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• репетиторский стаж – c 2003 года;
• в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
• отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.

Иррациональные уравнения и неравенства на егэ профиль

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч 2 . Скорость вычисляется по формуле , где l — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч 2 .

Найдём, при каком ускорении гонщик достигнет требуемой скорости, проехав один километр. Задача сводится к решению уравнения при известном значении длины пути км:

км/ч 2 .

Если его ускорение будет превосходить найденное, то, проехав один километр, гонщик наберёт большую скорость, поэтому наименьшее необходимое ускорение равно 5000 км/ч 2 .

При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону где м – длина покоящейся ракеты, км/с – скорость света, а – скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.

Найдем, при какой скорости длина ракеты станет равна 4 м. Задача сводится к решению уравнения при заданном значении длины покоящейся ракеты м и известной величине скорости света км/с:

км/с.

Если скорость будет превосходить найденную, то длина ракеты будет менее 4 метров, поэтому минимальная необходимая скорость равна 180 000 км/с.

Здравствуйте! Возможно, задам крайне тупой вопрос, но.

Почему с измеряется в км/с, а «эль» в м, а в формулу подставляем без перевода к единой СИ?

Иногда в физике или технике бывает удобно записать какую-либо формулу в определённых единицах измерения, особенно часто это используется при инженерных расчётах. При этом часто получается, что одни величины измеряются, скажем, в метрах (длина трубы), другие в сантиметрах (диаметр трубы), третьи — в миллиметрах (толщина стенок трубы). Это, конечно, усложняет жизнь тем, что приходится помнить, что и в каких единицах входит в формулу, но зато не нужно каждый раз 2 метра переводить в 2000 миллиметров.

А Вам не кажется,что 18000 км/с как-то слишком много?Мы ещё не научились летать со скоростью света

Всё в порядке: скорость света 300 000 км/с, а эта — меньше. Теоретически вполне возможно.

Наблюдатель находится на высоте h, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле где км — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километров? Ответ выразите в метрах.

Задача сводится к решению уравнения при заданном значении R:

м.

Иногда в физике или технике бывает удобно записать какую-либо формулу в определённых единицах измерения, особенно часто это используется при инженерных расчётах. При этом, длины, например, могут быть выражены в различных единицах измерения. Здесь удобно использовать величины R и L, выраженные в километрах, а h, выражать в метрах. Если бы в этой формуле все величины измерялись в одних и тех же единицах измерения, то формула выглядела бы так: В формуле, приведённой в задании, коэффициент 500 как раз отражает, то что все величины, за исключением h, выражены в километрах.

В задаче все известные величины выражены в километрах. Если h=1,25 км, то в метрах это будет величина, равная 1250.

По условию данная формула справедлива для значений высот, выраженных в метрах.

Я согласна с Евгением Гудисом из Нижнего Новгорода — мы подставляем в формулу 6400 КМ, справа тоже 4КМ, возводим в квадрат, получаем слева КМ, а справа 16 КМ в квадрате! Откуда берутся метры в ответе.

Иногда в физике или технике бывает удобно записать какую-либо формулу в определённых единицах измерения, особенно часто это используется при инженерных расчётах. При этом, длины, например, могут быть выражены в различных единицах измерения. Здесь удобно использовать величины и выраженные в километрах, а выражать в метрах. Если бы в этой формуле все величины измерялись в одних и тех же единицах измерения, то формула выглядела бы так: В формуле, приведённой в задании, коэффициент 500 в знаменателе как раз отражает то, что все величины, за исключением выражены в километрах.

Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле где км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 6,4 километров?

Задача сводится к решению уравнений и при заданном значении R:

Следовательно, чтобы видеть горизонт на более далеком расстоянии, наблюдателю нужно подняться на метра.

Примечание Дмитрия Гущина.

Внимательный читатель заметит, что в условии задачи радиус Земли и расстояние до горизонта выражены в километрах, а рост человека — в метрах. В этих единицах их требуется подставлять в формулу. В этом нет ошибки: за согласование единиц отвечает коэффициент 500. Если бы в этой формуле все длины были выражены в километрах, она выглядела бы так: Но в таком виде формула менее удобна, поскольку при каждом вычислении рост человека необходимо переводить в километры. Вот почему иногда в физике или технике формулы выводят так, чтобы величины в них были выражены хоть и в несогласованных, но удобных для вычислений единицах.

Приведем пример из школьного курса физики. Когда необходимо вычислить электрическое сопротивление проводника известной длины и поперечного сечения, используют формулу Удельное сопротивление ρ в таблицах физических величин приводится в Поэтому чтобы сопротивление было в омах, длину l подставляют в формулу в метрах, а сечение S — в квадратных миллиметрах (но не в квадратных метрах, как могло бы показаться неопытному читателю). Подумайте, почему принято именно так.

решение иррациональных уравнений и неравенств
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

при подготовке к ЕГЭ материал «иррациональные уравнения и неравенства «являются необходимым материалом для успешной сдачи экзамена по математике в 11 классе

Скачать:

Вложение	Размер
решение иррациональных уравнений и неравенств 2 части ЕГЭ	665.5 КБ

Предварительный просмотр:

уравнения и неравенства

1. Иррациональные уравнения:

• Решение иррациональных уравнений стандартного вида.
• Решение иррациональных уравнений смешанного вида.
• Решение сложных иррациональных уравнений.

1. Иррациональные неравенства:

• Решение иррациональных неравенств стандартного вида.
• Решение нестандартных иррациональных неравенств.
• Решение иррациональных неравенств смешанного вида.

I. Иррациональные уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.

Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим правилом:

Решение иррациональных уравнений стандартного вида:

а) Решить уравнение = x – 2,

2x – 1 = x 2 – 4x + 4, Проверка:

x 2 – 6x + 5 = 0, х = 5, = 5 – 2,

x 2 = 1 – постор. корень х = 1, 1 – 2 ,

Ответ: 5 пост. к. 1 -1.

б) Решить уравнение = х + 4,

в) Решить уравнение х – 1 =

х 3 – 3х 2 + 3х – 1 = х 2 – х – 1,

х 3 – 4х 2 + 4х = 0,

х = 0 или х 2 – 4х + 4 = 0,

г) Решить уравнение х – + 4 = 0,

х + 4 = , Проверка:

х 2 + 8х + 16 = 25х – 50, х = 11, 11 – + 4 = 0,

х 2 – 17х + 66 = 0, 0 = 0

х 1 = 11, х = 6, 6 – + 4 = 0,

Решение иррациональных уравнений смешанного вида:

• Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:

а) Решить уравнение =

x

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

или

б) Решить уравнение

, – +

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

• Иррациональные показательные уравнения:

а) Решить уравнение

Сделаем обратную замену:

– ( ур-ние не имеет решений) x = 3.

б) Решить уравнение

Приведем все степени к одному основанию 2:

данное уравнение равносильно уравнению:

• Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:

возведем обе части уравнения в квадрат

• Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени:

Решить уравнение

возведем обе части уравнения в куб

возведем обе части уравнения в куб

• Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:

а) Решить уравнение

Пусть = t, тогда = , где t > 0

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части в квадрат

б) Решить уравнение

Пусть = t, значит = , где t > 0

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень

x + 8 = 16, Проверка:

в) Решить уравнение

Пусть = t, где t > 0

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части уравнения в квадрат

Решение сложных иррациональных уравнений:

• Иррациональное уравнение, содержащее двойную иррациональность:

возведем обе части уравнения в куб

возведем обе части уравнения в квадрат

t 2 – 11t + 10 = 0,

Сделаем обратную замену: Проверка:

= 10, или = 1, x = ,

x = -пост. корень 0

• Иррациональные логарифмические уравнения:

а) Решить уравнение lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg

lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg ,

Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

б) Решить уравнение

IV. Иррациональные неравенства

Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит под знак корня (радикала).

Иррациональное неравенство вида равносильно системе неравенств:

Иррациональное неравенство вида равносильно совокуп-ности двух систем неравенств:

Решение иррациональных неравенств стандартного вида:

а) Решить неравенство

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

+ – +

Ответ: [1; 2) . 1 3 x

б) Решить неравенство

Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:

в) Решить неравенство

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ: нет решений

Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:

а) Решить неравенство

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

б) Решить неравенство

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

• Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при умножении и делении:

а) Решить неравенство

Учитывая то, что и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:

б) Решить неравенство (2x – 5)

Учитывая то, что и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:

• Решение иррациональных неравенств способом группировки:

сгруппируем по два слагаемых

вынесем общий множитель за скобку

учитывая, что > 0 и правило знаков при умножении данное неравенство равносильно системе неравенств:

• Иррациональное неравенство, содержащее два знака иррациональности:

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

• Решение иррациональных неравенств заменой:

Пусть = t, тогда = , t > 0

Сделаем обратную замену:

возведем в квадрат обе части неравенства

Решение иррациональных неравенств смешанного вида:

• Иррациональные показательные неравенства:

а) Решить неравенство

Нули функции: x 1 = 4; x 2 = – 1. –1 4 x

б) Решить неравенство 4 – 2 – 32

4 – 2 – 32, ОДЗ: x > 0

2 – 2 2 2 4 – 2 5 , выполним группировку слагаемых

2 (2 – 2) – 2 4 (2 –2)

(2 – 2) (2 – 2 4 ) , учитывая правило знаков и ОДЗ данное неравенство равносильно 2-м системам:

т.к. y = 2 t , то т.к. y = 2 t , то

• Решение иррациональных логарифмических неравенств:

уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств

Иррациональные уравнения

Уравнения, содержащие неизвестную под знаком корня, называются иррациональными.

Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

1. Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду: $√=g(x)$ или $√=√$
2. Обе части уравнение возвести в квадрат: $√^2=(g(x))^2$ или $√^2=√^2$
3. Решить полученное рациональное уравнение.
4. Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)

Решите уравнение $√<4х-3>=х$. Если уравнение имеет более одного корня, укажите наименьший из них.

Обе части уравнение возведем в квадрат:

Получаем квадратное уравнение:

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

Решим данное квадратное уравнение устным способом, так как

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$1=1$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно $х_1=1$ подходит.

$3=3$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно корень $х_2=3$ подходит

$х_1=1$ наименьший корень.

Так как в иррациональных уравнениях иногда необходимо возводить в квадрат не только число, но и целое выражение, необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения:

1. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число плюс квадрат второго числа. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
2. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Решить уравнение: $х-6=√<8-х>$

Возведем обе части уравнения в квадрат

В левой части уравнения при возведении в квадрат получаем формулу сокращенного умножения квадрат разности. В правой части уравнения квадрат и корень компенсируют друг друга и в результате остается только подкоренное выражение

Получили квадратное уравнение. Все слагаемые переносим в левую часть уравнения. При переносе слагаемых через знак равно их знаки меняются на противоположные.

Приводим подобные слагаемые:

Найдем корни уравнения через дискриминант:

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$1=1$, получили верное равенство, следовательно, корень нам подходит.

$-2=2$, получили неверное равенство, следовательно, данный корень посторонний.