Решение параметров егэ онлайн - Exhelper.top

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи с параметром

Задание
1

#1220

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение (ax+3=0) при всех значениях параметра (a).

Уравнение можно переписать в виде (ax=-3). Рассмотрим два случая:

1) (a=0). В этом случае левая часть равна (0), а правая – нет, следовательно, уравнение не имеет корней.

2) (ane 0). Тогда (x=-dfrac{3}{a}).

Ответ:

(a=0 Rightarrow xin varnothing; \
ane 0 Rightarrow
x=-dfrac{3}{a}).

Задание
2

#1221

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение (ax+a^2=0) при всех значениях параметра (a).

Уравнение можно переписать в виде (ax=-a^2). Рассмотрим два случая:

1) (a=0). В этом случае левая и правая части равны (0), следовательно, уравнение верно при любых значениях переменной (x).

2) (ane 0). Тогда (x=-a).

Ответ:

(a=0 Rightarrow xin mathbb{R}; \
ane 0 Rightarrow x=-a).

Задание
3

#1222

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство (2ax+5cosdfrac{pi}{3}geqslant 0) при всех значениях параметра (a).

Неравенство можно переписать в виде (axgeqslant -dfrac{5}{4}). Рассмотрим три случая:

1) (a=0). Тогда неравенство принимает вид (0geqslant
-dfrac{5}{4}), что верно при любых значениях переменной (x).

2) (a>0). Тогда при делении на (a) обеих частей неравенства знак неравенства не изменится, следовательно, (xgeqslant
-dfrac{5}{4a}).

3) (a<0). Тогда при делении на (a) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, (xleqslant -dfrac{5}{4a}).

Ответ:

(a=0 Rightarrow xin mathbb{R}; \
a>0 Rightarrow xgeqslant -dfrac{5}{4a}; \
a<0 Rightarrow xleqslant -dfrac{5}{4a}).

Задание
4

#1223

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство (a(x^2-6) geqslant (2-3a^2)x) при всех значениях параметра (a).

Преобразуем неравенство к виду: (ax^2+(3a^2-2)x-6a geqslant 0). Рассмотрим два случая:

1) (a=0). В этом случае неравенство становится линейным и принимает вид: (-2x geqslant 0 Rightarrow xleqslant 0).

2) (ane 0). Тогда неравенство является квадратичным. Найдем дискриминант:

(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2).

Т.к. (a^2 geqslant 0 Rightarrow D>0) при любых значениях параметра.

Следовательно, уравнение (ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0) всегда имеет два корня (x_1=-3a, x_2=dfrac{2}{a}). Таким образом, неравенство примет вид:

[(ax-2)(x+3a) geqslant 0]

Если (a>0), то (x_1<x_2) и ветви параболы (y=(ax-2)(x+3a)) направлены вверх, значит, решением являются (xin (-infty; -3a]cup
big[dfrac{2}{a}; +infty)).

Если (a<0), то (x_1>x_2) и ветви параболы (y=(ax-2)(x+3a)) направлены вниз, значит, решением являются (xin big[dfrac{2}{a};
-3a]).

Ответ:

(a=0 Rightarrow xleqslant 0; \
a>0 Rightarrow xin (-infty; -3a]cup big[dfrac{2}{a}; +infty);
\
a<0 Rightarrow xin big[dfrac{2}{a}; -3abig]).

Задание
5

#1851

Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких (a) множество решений неравенства ((a^2-3a+2)x
-a+2geqslant 0) содержит полуинтервал ([2;3)) ?

Преобразуем неравенство: ((a-1)(a-2)x geqslant a-2). Получили линейное неравенство. Рассмотрим случаи:

1) (a=2). Тогда неравенство примет вид (0 geqslant 0), что верно при любых значениях (x), следовательно, множество решений содержит полуинтервал ([2;3)).

2) (a=1). Тогда неравенство примет вид (0 geqslant -1), что верно при любых значениях (x), следовательно, множество решений содержит полуинтервал ([2;3)).

3) ((a-1)(a-2)>0 Leftrightarrow ain (-infty;1)cup (2;+infty)). Тогда:

(xgeqslant dfrac{1}{a-1}). Для того, чтобы множество решений содержало полуинтервал ([2;3)), необходимо, чтобы

(dfrac{1}{a-1} leqslant 2 Leftrightarrow dfrac{3-2a}{a-1}
leqslant 0
Rightarrow ain (-infty; 1)cup [1,5; +infty)).

Учитывая условие (ain (-infty;1)cup (2;+infty)), получаем (ain
(-infty;1)cup (2;+infty)).

4) ((a-1)(a-2)<0 Leftrightarrow ain (1;2)). Тогда:

(xleqslant dfrac{1}{a-1} Rightarrow dfrac{1}{a-1} geqslant 3).

Действуя аналогично случаю 3), получаем (ain (1;
dfrac{4}{3}big]).

Ответ:

(ain (-infty;dfrac{4}{3}big]cup [2;+infty)).

Задание
6

#1361

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Определить количество корней уравнения (ax^2+(3a+1)x+2=0) при всех значениях параметра (a).

Рассмотрим два случая:

1) (a=0). Тогда уравнение является линейным: (x+2=0 Rightarrow
x=-2). То есть уравнение имеет один корень.

2) (ane 0). Тогда уравнение является квадратным. Найдем дискриминант: (D=9a^2-2a+1).

Рассмотрим уравнение (9a^2-2a+1=0): (D’=4-36<0), следовательно, уравнение (9a^2-2a+1=0) не имеет корней. Значит, выражение ((9a^2-2a+1)) принимает значения строго одного знака: либо всегда положительно, либо отрицательно. В данном случае оно положительно при любых (a) (в этом можно убедиться, подставив вместо (a) любое число).

Таким образом, (D=9a^2-2a+1>0) при всех (ane 0). Значит, уравнение (ax^2+(3a+1)x+2=0) всегда имеет два корня: (x_{1,2}=dfrac{-3a-1pm
sqrt D}{2a})

Ответ:

(a=0Rightarrow) один корень

(ane 0 Rightarrow) два корня.

Задание
7

#1363

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решить уравнение (sqrt{x+2a}cdot (3-ax-x)=0) при всех значениях параметра (a).

Данное уравнение равносильно системе:

[begin{cases}
xgeqslant -2a\
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x=-2a \
&3-(a+1)x=0 qquad (*)
end{aligned} end{gathered} right.
end{cases}]

Рассмотрим два случая:

1) (a+1=0 Rightarrow a=-1). В этом случае уравнение ((*)) равносильно (3=0), то есть не имеет решений.

Тогда вся система равносильна (
begin{cases}
xgeqslant 2\
x=2
end{cases} Leftrightarrow x=2)

2) (a+1ne 0 Rightarrow ane -1). В этом случае система равносильна: [begin{cases}
xgeqslant -2a\
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x_1=-2a \
&x_2=dfrac3{a+1}
end{aligned} end{gathered} right.
end{cases}]

Данная система будет иметь одно решение, если (x_2leqslant -2a), и два решения, если (x_2>-2a):

2.1) (dfrac3{a+1}leqslant -2a Rightarrow a<-1 Rightarrow ) имеем один корень (x=-2a).

2.2) (dfrac3{a+1}>-2a Rightarrow a>-1 Rightarrow ) имеем два корня (x_1=-2a, x_2=dfrac3{a+1}).

Ответ:

(ain(-infty;-1) Rightarrow x=-2a\
a=-1 Rightarrow x=2\
ain(-1;+infty) Rightarrow xin{-2a;frac3{a+1}})

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Решение уравнений с параметром по математике

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве
сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только
возрастает. В математике существуют задачи, в которых необходимо произвести поиск решений линейных и
квадратных уравнений в общем виде или произвести поиск количества корней, которое имеет уравнение в
зависимости от значения параметра. Все эти задачи с параметрами.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнение пропорцией
онлайн»

Рассмотрим следующие уравнения в качестве наглядного примера:

[у = kx,] где [x, y] — переменные, [k ]- параметр;

[у = kx + b,] где [x, y] — переменные, [k, b] — параметр;

[аx^2 + bх + с = 0,] где [x] — переменная, [а, b, с] — параметр.

Решить уравнение с параметром значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений.

Однако, придерживаясь определенного алгоритма, можно легко решить такие уравнения:

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно [x] при значениях параметра, определенных в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно [x] при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом
пункте.

Допустим, дано такое уравнение:

[mid 6 — x mid = a.]

Проанализировав исходные данные, видно, что a [ge 0.]

По правилу модуля [6 — x = pm a, ] выразим [x:]

[x = 6 pm a. ]

Ответ: [x = 6 pm a,] где [a ge 0.]

Где можно решить уравнение с параметром онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель
позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это
просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию
и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей
групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда
рады помочь вам.

Источник

Универсальный математический калькулятор

Онлайн-калькулятор позволяет решать математические выражения любой сложности с выводом подробного результата решения по шагам.

Также универсальный калькулятор умеет производить действия со скобками, дробями, тригонометрическими функциями, возведение в любую степень и многое другое (смотрите примеры ниже).

Онлайн калькулятор уравнений, интегралов, производных, пределов, дробей и пр.

Разделитель системы уравнений

Натуральный логарифм и предел:

Пояснения к калькулятору

Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵ .
Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и → .
⌫ — удалить в поле ввода символ слева от курсора.
C — очистить поле ввода.
При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½ , ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. Для ввода целой части смешанного числа необходимо установить курсор перед дробью с помощью клавиши ← и ввести число.
Ввод числа в n-ой степени и квадратного корня прозводится кнопками a b и √ соответственно. Завершить ввод значения в степени или в корне можно клавишей → .

Упрощение выражений, раскрытие скобок, разложение многочленов на множители

Калькулятор позволяет произвести некоторые алгебраические преобразования с выражениями. Результат выводится в нескольких вариантах упрощения/разложения/раскрытия скобок и пр.

Решение уравнений и неравенств

Математический калькулятор может решать уравнения и неравентства относительно переменной «x». Если есть необходимость найти другую переменную, например «y», то следует просто поменять их местами в выражении. Ввод переменных «x»,»y»,»z» производится в группе xyz нажатием соответствующих кнопок x , y , z .

Примеры решений уравнений и неравенств:

Решение систем уравнений и неравенств

Системы уравнений и неравенств также решаются с помощью онлайн калькулятора. Чтобы задать систему необходимо ввести уравнения/неравенства, разделяя их точкой с запятой с помощью кнопки ; .

Примеры вычислений систем уравнений и неравенств:

Вычисление выражений с логарифмами

В калькуляторе кнопкой log_e(x) возможно задать натуральный логарифм, т.е логарифм с основанием «e»: log_e(x) — это ln(x). Для того чтобы ввести логарифм с другим основанием нужно преобразовать логарифм по следующей формуле: $$log_a left(bright) = frac<log left(bright)><log left(aright)>$$ Например, $$log_ <3>left(5x-1right) = frac<log left(5x-1right)><log left(3right)>$$

Примеры решений выражений с логарифмами:

Вычисление пределов функций

Предел функции задается последовательным нажатием групповой кнопки f(x) и функциональной кнопки lim .

Примеры решений пределов:

Решение интегралов

Онлайн калькулятор предоставляет инструменты для интегрирования функций. Вычисления производятся как с неопределенными, так и с определенными интегралами. Ввод интегралов в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
∫ f(x) — для неопределенного интеграла;
b a∫ f(x) — для определенного интеграла.

В определенном интеграле кроме самой функции необходимо задать нижний и верхний пределы.

Примеры вычислений интегралов:

Вычисление производных

Математический калькулятор может дифференцировать функции (нахождение производной) произвольного порядка в точке «x». Ввод производной в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
f'(x) — производная первого порядка;
f»(x) — производная второго порядка;
f»'(x) — производная третьего порядка.
f n (x) — производная любого n-о порядка.

Действия над комплексными числами

Онлайн калькулятор имеет функционал для работы с комплексными числами (операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и пр.). Комплексное число обзначается символом «i» и вводится с помощью групповой кнопки xyz и кнопки i

Решение уравнений онлайн

В общем виде, уравнение относительно некоторой переменной может быть записано следующим образом:

Решить, приведенное выше уравнение, означает найти все значения переменной при которых выражение обращается в верное тождество.

Графически, корни уравнения представляют собой абсциссы точек пересечения графика функции с осью :

Таким образом, из приведенного на рисунке графика некоторой функции , мы можем сразу сказать, что значения являются корнями уравнения .

В зависимости от конкретного вида функции существует бесконечное множество различных уравнений (линейные, квадратные, кубические, тригонометрические, уравнения с корнями, степенями и т.д.).

Наш онлайн калькулятор построен на основе системы Wolfram Alpha LLC и способен решить очень много различных типов уравнений с описанием подробного решения.

Параметрическое уравнение прямой проходящей через две точки: онлайн-калькулятор

Параметрическое уравнение прямой можно легко составить с помощью онлайн-калькулятора. Просто выберите размерность (плоскость или трехмерное пространство), укажите координаты точек и нажмите «рассчитать». Онлайн-калькулятор выдаст подробное пошаговое решение.

Как найти параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки, с помощью онлайн-калькулятора

Рассмотрим пример, наглядно демонстрирующий работу с онлайн-калькулятором. Найдем параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки с координатами (1;4) и (3;0). Для этого:

Укажем размерность. Калькулятор позволяет работать с объектами на плоскости (2), или в пространстве (3). В нашем конкретном примере выберем плоскость (2):
Зададим прямую по двум точкам. Для этого впишем координаты этих точек в пустые поля калькулятора:
Нажмем «Рассчитать» и получим ответ с решением:

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Параметрическое уравнение прямой онлайн

Параметрическое уравнение прямой представляет собой систему из двух или трех уравнений. Чтобы задать прямую на плоскости или в пространстве параметрически, достаточно знать координаты двух точек, через которые эта прямая проходит. Онлайн-калькулятор позволяет найти параметрическое уравнение прямой в один клик, минуя все расчеты.

Интерфейс онлайн-калькулятора устроен максимально понятно и просто: вы можете не только получить ответ, но и разобраться с ходом решения примера, так как программа выдает все математические выкладки с подробным пояснением.

Данный сервис будет полезен студентам, школьникам, преподавателям, а также всем людям, интересующимся математикой.

источники:

http://mathforyou.net/online/equation/arbitrary/

http://zaochnik.com/online-calculators/tochka-pryamaya-ploskost/parametricheskoe-uravnenie-pryamoj-prohodyashej-cherez-dve-tochki/

Источник

Автор материала — Анна Малкова

Какими были задачи с параметрами на ЕГЭ-2022? На этой странице — обзор всех типов задач №17, предложенных на ЕГЭ по математике в этом году, с полным решением и оформлением.

Напомним, что «параметры» — одна из дорогостоящих задач ЕГЭ. Она оценивается в 4 первичных балла.

Основной темой задач с параметрами на ЕГЭ этого года были модули.

Если вы не помните, что такое модуль числа, — вам сюда.

Способы решения — разные. В одних задачах удобнее графический способ, в других — аналитический.

Мы начнем с тех задач, которые решаются графическим способом. В первых трех, которые мы здесь разбираем, нам встретится уравнение окружности.

Почитать о нем подробно можно здесь.

1. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно 4 решения?

Решение:

Вспомним, как решать уравнения вида

$left|Aright|=BLeftrightarrow left{ begin{array}{c}Bge 0 \left[ begin{array}{c}A=B \A=-B end{array}right. end{array}.right.$

Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

$left{ begin{array}{c}2x+2age 0 \left[ begin{array}{c}x^2+a^2-6x-4a=2x+2a \x^2+a^2-6x-4a=-2x-2a end{array}right. end{array}.right.$

Получим:

$left{ begin{array}{c}x+age 0 \left[ begin{array}{c}x^2-8x+a^2-6a=0 \x^2-4x+a^2-2a=0 end{array}right. end{array}right.Leftrightarrow left{ begin{array}{c}x+age 0 \left[ begin{array}{c}x^2-8x+16+a^2-6a+9=25 \x^2-4x+4+a^2-2a+1=5 end{array}right. end{array}right.Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{c}age -x \left[ begin{array}{c}{left(x-4right)}^2+{left(a-3right)}^2=25 \{left(x-2right)}^2+{left(a-1right)}^2=5 end{array}right. end{array}.right.$

Изобразим решения системы в координатах

Уравнение ${left(x-4right)}^2+{left(a-3right)}^2=25$ задает окружность с центром и радиусом 5; уравнение ${left(x-2right)}^2+{left(a-1right)}^2=5$ задает окружность с центром и радиусом sqrt{5} ; при этом должно выполняться условие age -x.

Заметим, что обе окружности проходят через точки O(0;0) и

Найдем, при каких значениях параметра исходное уравнение имеет ровно 4 решения.

При a=-1 прямая a=-1 проходит через точку общую для двух окружностей; уравнение имеет ровно 3 решения.

Если прямая a=a_0 проходит через точку (нижнюю точку окружности ), уравнение также имеет 3 решения.

При этом поскольку разность ординат точек Q и A равна то есть радиусу окружности

При уравнение имеет 4 решения.

Если решений меньше 4.

Если a=0, уравнение имеет ровно 3 решения, т.к. точка O(0; 0) общая для обеих окружностей.

Если прямая a=a_0 проходит через B — верхнюю точку окружности уравнение имеет ровно 3 решения.

В этом случае

При уравнение имеет ровно 4 решения.

Если решений меньше, чем 4.

Объединив случаи, получим ответ.

Ответ:

2. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно 2 решения?

Решение:

Раскроем модуль по определению.

$Leftrightarrow left[ begin{array}{c}left{ begin{array}{c}7x-age 0 \{ x}^2-x-7a+a^2-7x+a=0 end{array}right. \left{ begin{array}{c}7x-atextless 0 \{ x}^2-x-7a+a^2+7x-a=0 end{array}right. end{array}right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c}left{ begin{array}{c}ale 7x \{ x}^2-8x+a^2-6a=0 end{array}right. \left{ begin{array}{c}atextgreater 7x \{ x}^2+6x+a^2-8a=0 end{array}right. end{array}right. Leftrightarrow$
$Leftrightarrow left[ begin{array}{c}left{ begin{array}{c}ale 7x \{ x}^2-8x+16+a^2-6a+9=25 end{array}right. \left{ begin{array}{c}atextgreater 7x \{ x}^2+6x+9+a^2-8a+16=25 end{array}right. end{array}right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c}left{ begin{array}{c}ale 7x \{ (x-4)}^2+({a-3)}^2=25 (1) end{array}right. \left{ begin{array}{c}atextgreater 7x \{ (x+3)}^2+{(a-4)}^2=25 (2) end{array}right. end{array}right.$

Уравнение (1) задает окружность с центром в точке Р (4; 3) и радиусом 5,

уравнение (2) задает окружность с центром в точке Q(-3; 4) и радиусом 5.

Изобразим график совокупности двух систем в системе координат (x;a).

При ale 7x получаем часть окружности (1), лежащую ниже прямой a = 7x;

при получаем часть окружности (2), лежащую выше прямой a = 7x.

Исходное уравнение имеет ровно два различных решения, если прямая ${a = a}_{0 }$ пересекает график совокупности двух систем ровно два раза.

Прямая $a = a{}_{0 },$ проходящая через точку С, пересекает график совокупности двух систем один раз.

Найдем координаты С — самой нижней точки и Е — самой верхней точки правой окружности.

Для этих точек x = 4. Найдем координату a:

${ (4-4)}^2+({a-3)}^2=25; ({a-3)}^2=25; a=-2$ или a=8,

Координаты точек С (4; -2) и Е (4; 8).

Найдем координаты D — самой нижней точки и F — самой верхней точки левой окружности

Для этих точек x = — 3, найдем координату a.

${ (-3 +3)}^2+({a-4)}^2=25; ({a-4)}^2=25; a=-1$ или a=9,

Координаты точек: D (3; 1), F(3; 9).

Точки А и В, в которых пересекаются две окружности, лежат на прямой

a = 7x (так как при a = 7x выражение под модулем равно нулю).

Подставив a = 7x в уравнение окружности (1) ${ (x-4)}^2+({a-3)}^2=25,$ получим:

${ x}^2-8x+{left(7xright)}^2-6cdot 7x=0;$

${50 x}^2-50x=0;$

x = 0 или x = 1.

Получили точки В (0; 0) и А (1; 7).

Прямая $a = a{}_{0 }$ пересекает график совокупности двух систем ровно два раза в следующих случаях:

1) если прямая $a = a{}_{0 }$ проходит выше точки С, но ниже точки D:

2) если прямая $a = a{}_{0 }$ проходит выше точки В, но ниже точки А:

3) если прямая $a = a{}_{0 }$ проходит выше точки Е, но ниже точки F:

Если или то решений нет.

Если a = -2 или a = 9, уравнение имеет ровно одно решение.

Если a = -1 или a = 8, ровно три решения.

Если или ровно четыре решения. Эти случаи нам не подходят.

Ответ: a

3. При каких значениях параметра уравнение

имеет ровно 2 корня?

Решение:

$left|Aright|=BLeftrightarrow left{ begin{array}{c}Bge 0 \left[ begin{array}{c}A=B \A=-B end{array}right. end{array}.right.$

Раскрыв модуль, получим:

$left{ begin{array}{c}left[ begin{array}{c}x^2+a^2-7x+5a=x-a \x^2+a^2-7x+5a=a-x end{array}right. \x-age 0 end{array}right.Leftrightarrow left{ begin{array}{c}left[ begin{array}{c}x^2-8x+a^2+6a=0 \x^2-6x+a^2+4a=0 end{array}right. \x-age 0 end{array}right.Leftrightarrow$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{c}left[ begin{array}{c}x^2-8x+16+a^2+6a+9=25 \x^2-6x+9+a^2+4a+4=13 end{array}right. \x-age 0 end{array}Leftrightarrow left{ begin{array}{c}left[ begin{array}{c}{left(x-4right)}^2+{left(a+3right)}^2=25 \{left(x-3right)}^2+{left(a+2right)}^2=13 end{array}right. \x-age 0 end{array}.right.right.$

Решим систему графически в координатах

Прямая a=x — это биссектриса первого и третьего координатных углов.

Неравенство ale x задает полуплоскость, расположенную ниже прямой a=x.

Уравнение ${left(x-3right)}^2+{left(a+2right)}^2=13$ задает окружность omega 1 с центром в точке и радиусом

Уравнение ${left(x-4right)}^2+{left(a+3right)}^2=25$ задает окружность omega 2 с центром в точке и радиусом R=5.

Заметим, что обе окружности проходят через точки О(0; 0) и М(1; 1). В этом легко убедиться, подставив координаты этих точек в уравнения окружностей.

Исходное уравнение имеет ровно 2 корня, если прямая a = a_0 пересекает совокупность двух окружностей ровно в двух точках, лежащих не выше прямой a = x.

Это происходит в следующих случаях:

1) Прямая a = a_0 проходит выше точки А и ниже точки В на рисунке, где А — нижняя точка окружности omega 2, В — нижняя точка окружности omega 1.

2) Прямая a = a_0 проходит выше точки С и ниже точки D на рисунке, где D — верхняя точка окружности omega 2, С — верхняя точка окружности omega 1.

3) Прямая a = a_0 проходит выше точки О(0; 0) и ниже точки М(1;1).

Найдем координаты точек А, В, С, D.

Получим, что

Ответ:

Заметим, что в каждом из уравнений присутствовало выражение — как в уравнении окружности. Именно поэтому становилось понятно, что их можно решить графически в координатах x; a.

Теперь — следующий тип задач. Здесь окружностей уже не будет. Зато будет разложение на множители.

4. При каких значениях параметра уравнение

имеет ровно 4 решения?

Решение:

Раскроем модуль. Уравнение равносильно совокупности двух систем:
$left[ begin{array}{c}left{ begin{array}{c}xtextless 0 \a^2-ax-2x^2-6a-6x=0 end{array}right. \left{ begin{array}{c}xge 0 \a^2-ax-2x^2-6a+12x=0 end{array}right. end{array}.right.$

Упростим по очереди каждую из них.

1) Случай

Найдем дискриминант и корни этого квадратного уравнения.

$D={left(a+6right)}^2-8left(6a-a^2right)=a^2+12a+36-48a+8a^2=$

$9a^2-36a+36=9left(a^2-4a+4right)=9{left(a-2right)}^2ge 0;$

$displaystyle x=frac{-a-6pm 3left(a-2right)}{4};$

$displaystyle x_1=frac{2a-12}{4}=frac{a}{2}-3;$

x_2=-a.

2) Случай xge 0:

В этом случае также найдем дискриминант и корни квадратного уравнения.

$D={left(a-12right)}^2-8left(6a-a^2right)=a^2-24a+144-48a+8a^2=$

$9a^2-72a+144=9left(a^2-8a+16right)=9{left(a-4right)}^2;$

$displaystyle x=frac{12-apm 3left(a-4right)}{4}; x_1=frac{12-a+3a-12}{4}=frac{a}{2};$

$displaystyle x_2=frac{12-a-3a+12}{4}=frac{-4a+24}{4}=6-a.$

Получим:

$displaystyle left{ begin{array}{c}x textless 0 \left[ begin{array}{c}x=frac{a}{2}-3 \x=-a end{array}right. end{array}right.$ или $displaystyle left{ begin{array}{c}xge 0 \left[ begin{array}{c}x=frac{a}{2} \x=6-a end{array}right. end{array}right.$ .

Решим совокупность двух систем графически в координатах

Если ale 0, уравнение имеет меньше 4 решений.

Если age 6, также меньше 4 решений.

Если прямая a=a_0 проходит через точку A или точку B, уравнение имеет ровно 3 решения.

В точке A пересекаются прямые $displaystyle x=frac{a}{2}$ и x=6-a , значит, для этой точки
$displaystyle frac{a}{2}=6-a, a=12-2a, a=4 .$
В точке B пересекаются прямые $displaystyle x=frac{a}{2}-3$ и x=-a , то для точки B:
$displaystyle frac{a}{2}-3=-a ; a-6=-2a; a=2$ .
Уравнение имеет ровно 4 решения, если или или .

Ответ:

Следующие две задачи мы решим (для разнообразия) аналитическим способом.

5. При каких значениях параметра уравнение

имеет меньше 4 решений?

Решение:

Уравнение равносильно совокупности:

$left[ begin{array}{c}left{ begin{array}{c}xge 0 \a^2-4ax-5x^2-6a+6x=0 end{array}right. \left{ begin{array}{c}xtextless 0 \a^2-4ax-5x^2-6a-30x=0 end{array}right. end{array}.right.$

Рассмотрим каждый случай отдельно

1) xge 0;

Каждое из уравнений — квадратное и не может иметь больше 2 корней.

Если уравнение (1) имеет 2 неотрицательных корня, а уравнение (2) имеет 2 отрицательных корня, исходное уравнение имеет ровно 4 решения. Найдем, при каких значениях это происходит, а затем исключим эти значения. Получим случай, когда исходное уравнение имеет менее 4 корней.

Исходное уравнение имеет ровно 4 решения, если уравнение имеет два неотрицательных корня, а уравнение имеет два отрицательных корня.

1 уравнение:

По теореме Виета, $displaystyle x_1+x_2=-frac{b}{a};$

$displaystyle x_1x_2=frac{c}{a}$ для уравнения

При этом

$displaystyle left{begin{matrix}4a-6 textless 0 \ a^2 -6aleq 0\(4a-6)^2-20(6a-a^2)textgreater 0end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}a textless frac{3}{2} \ a(a-6)leq 0\ 16a^2-48a+36-120a+20a^2textgreater 0end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}a textless frac{3}{2} \ 0leq aleq 6 \ 36a^2-168a+36 textgreater 0end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}a textless frac{3}{2} \ 0 leq a leq 6\ 3a^2 -14a+3 textgreater 0.end{matrix}right.$

$displaystyle a=frac{14pm 4sqrt{10}}{6}=frac{7 pm 2sqrt{10}}{3}.$

$displaystyleleft{ begin{array}{c} a textless frac{3}{2} \0le ale 6 \{ 3a}^2-14a+3 textgreater 0 end{array}right. Leftrightarrow left{ begin{array}{c}0le a textless frac{3}{2} \left(a-frac{7+2sqrt{10}}{3}right)left(a-frac{7-2sqrt{10}}{3}right) textgreater 0end{array}.right.$

Оценим $displaystyle frac{7-2sqrt{10}}{3}$ и $displaystyle frac{7+2sqrt{10}}{3}.$

Сравним т.к.

$displaystyle frac{7-2sqrt{10}}{3}textgreater 0,$ также $displaystyle frac{7-2sqrt{10}}{3}textless frac{7-2cdot 3}{3};0textless frac{7-2sqrt{10}}{3}textless frac{1}{3}.$

$displaystyle frac{7+2cdot 3}{3}textless frac{7+2sqrt{10}}{3}textless frac{7+2cdot 4}{3};4textless frac{7+2sqrt{10}}{3}textless 5.$

Получим: $displaystyle 0leq a textless frac{7-2sqrt{10}}{3}.$

2 уравнение:

$left{ begin{array}{c}x_1textless 0 \x_2textless 0 end{array}right.Leftrightarrow left{ begin{array}{c}x_1+x_2textless 0 \x_1x_2textgreater 0 end{array}right.Leftrightarrow left{ begin{array}{c}-left(4a+30right)textless 0 \6a-a^2textgreater 0 end{array}right.Leftrightarrow left{ begin{array}{c}2a+15textgreater 0 \aleft(a-6right)textless 0 end{array}.right.$

При этом т.е. ${left(4a+30right)}^2-20left(6a-a^2right)textgreater 0.$

— верно при всех a.

Получим:

$left{ begin{array}{c}2a+15textgreater 0 \aleft(a-6right)textless 0; end{array}Leftrightarrow 0textless atextless 6.right.$

Исходное уравнение имеет ровно 4 решения, если выполняется система условий:

$displaystyle left{ begin{array}{c}0 leq atextless frac{7-2sqrt{10}}{3} \0textless atextless 6 end{array}right.Leftrightarrow 0textless atextless frac{7-2sqrt{10}}{3}.$ При всех остальных значениях a — меньше четырёх решений. Значит, подходят значения $displaystyle ain left(-infty ;0right]cup [ frac{7-2sqrt{10}}{3};+infty ).$

Ответ: $displaystyle ain left(-infty ;0right]cup [frac{7-2sqrt{10}}{3};+infty).$

6. Найдите все положительные значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно 4 корня.

Решение:

Раскроем модуль по определению.

$Leftrightarrow left[ begin{array}{c}left{ begin{array}{c}a^2-2ax-3x^2-4a-4x+8x=0 \xge 0 end{array}right. \left{ begin{array}{c}xtextless 0 \a^2-2ax-3x^2-4a-4x-8x=0 end{array}right. end{array}right.Leftrightarrow left[ begin{array}{c}left{ begin{array}{c}a^2-2ax-3x^2-4a+4x=0 \xge 0 end{array}right. \left{ begin{array}{c}xtextless 0 \a^2-2ax-3x^2-4a-12x=0 end{array}right. end{array}right. .$

Мы получили совокупность двух систем. Чтобы исходное уравнение имело ровно 4 корня, нужно, чтобы каждая система имела ровно два решения. Решим каждую из систем отдельно.

1) Первая система:

$left{ begin{array}{c}a^2-2ax-3x^2-4a+4x=0 \xge 0 end{array}right.Leftrightarrow left{ begin{array}{c}xge 0 \3x^2+2left(a-2right)x+4a-a^2=0 end{array}right. .$

Чтобы квадратное уравнение имело два неотрицательных корня, необходимо и достаточно выполнения условий:

$left{ begin{array}{c}Dtextgreater 0 \x_1+x_2textgreater 0 \x_1cdot x_2textgreater 0 end{array}right. .$

Другой способ: можно рассмотреть квадратичную функцию

и воспользоваться условиями: $left{ begin{array}{c}Dtextgreater 0 \x_B textless 0 \fleft(0right)ge 0 end{array}right..$

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения.

$4{left(a-2right)}^2-4cdot 3cdot left(4a-a^2right)textgreater 0;$

при этом

Получим:

$left{ begin{array}{c}a^2-4a+1textgreater 0 \a textless 2 \0le ale 4 end{array}.right.$

Корни уравнения

Отсюда

2) Вторая система:

$left{ begin{array}{c}xtextless 0 \a^2-2ax-3x^2-4a-12x=0 end{array}Leftrightarrow left{ begin{array}{c}xtextless 0 \3x^2+2left(a+6right)x+4a-a^2=0 end{array}right.right. .$

Чтобы система имела ровно 2 решения, для квадратичной функции

необходимо и достаточно выполнения условий:

$left{ begin{array}{c}x_Btextless 0 \Dtextgreater 0 \fleft(0right)textgreater 0 end{array}.right.$

$4{left(a+6right)}^2-4cdot 3cdot left(4a-a^2right)textgreater 0;$

— верно для всех

$left{ begin{array}{c}a+6textgreater 0 \4a-a^2textgreater 0 end{array}.right.$

Решение второй системы:

Исходное уравнение имеет ровно 4 различных решения, если

$left{ begin{array}{c}0le atextless 2 - sqrt{3} \0textless atextless 4 end{array}right.Leftrightarrow 0textless atextless 2 - sqrt{3}.$

Ответ:

Как всему этому научиться? Если вы решили освоить тему «Параметры» — не нужно начинать со сложных задач. Вначале — подготовительная работа. Элементарные функции и их графики, базовые элементы для решения задач с параметрами. Кроме того, надо отлично знать методы алгебры: разложение выражений на множители, выделение полных квадратов, решение уравнений и неравенств всех типов и многое другое.

Изучить все это можно на Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ по математике. На нем мы решаем и такие задачи, и более сложные. Изучаем не менее 11 методов решения задач с параметрами. Выпускники Онлайн-курса отлично справились с «параметрами» на ЕГЭ-2022.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задачи с параметрами на ЕГЭ-2022: модули, окружности, квадратные уравнения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Найдите все значения параметра (a), при которых система уравнений
( begin{cases}
sqrt{16-x^2}log_{11}(|x^2-y^2|+1)=0\
y^2+(x-a)^2=16+2a(y-x)
end{cases})
имеет ровно 4 решения.

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение ((a-4)x^{2}-4ax+a-2=0) имеет два корня разных знаков.

Найдите все значения параметра (a), при которых сумма кубов различных корней уравнения (x^2 — x +a = 0) меньше или равна 1.

Найдите все значения (a), при каждом из которых уравнение (dfrac{9x^2-a^2}{x^2+8x+16-a^2}=0) имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения (a), при каждом из которых неравенство ((4|x|-a-3)(x^2-2x-2-a)leqslant0 ) имеет хотя бы одно решение на промежутке ([-4;4]).

Найдите все значения параметра (a), при которых система

(begin{cases} x^2+y^2+5=2(2x+y)\a^2+ax+2ay=5end{cases})

имеет решение.

Запишите ответы по возрастанию через точку с запятой без пробелов.

Найдите все значения параметра (a), при которых уравнение ((x^2+x+a)^2=2x^4+2(x+a)^2) имеет ровно одно решение на отрезке [0;2].

Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых уравнение ( (4x-1)ln(2x+a)=(4x-1)ln(3x-a)) имеет ровно один корень на отрезке ([0;1]).

Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых система уравнений

(begin{cases}2x^2+2y^2=5xy\(x-a)^2+(y-a)^2=5a^4end{cases})

имеет ровно два решения.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (dfrac{|3x|-2x-2-a}{x^{2}-2x-a}=0) имеет ровно два различных корня.

Источник

Задачи с параметром

Решение уравнений с параметром по математике

Где можно решить уравнение с параметром онлайн?

Универсальный математический калькулятор

Онлайн калькулятор уравнений, интегралов, производных, пределов, дробей и пр.

Пояснения к калькулятору

Упрощение выражений, раскрытие скобок, разложение многочленов на множители

Решение уравнений и неравенств

Решение систем уравнений и неравенств

Вычисление выражений с логарифмами

Вычисление пределов функций

Решение интегралов

Вычисление производных

Действия над комплексными числами

Решение уравнений онлайн

Параметрическое уравнение прямой проходящей через две точки: онлайн-калькулятор

Как найти параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки, с помощью онлайн-калькулятора

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Параметрическое уравнение прямой онлайн

Новое и интересное на сайте: