Решение систем с параметрами егэ на примерах

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 187    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Всего: 187    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике

Анна Малкова

Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №17.

И знать здесь действительно нужно много.

Лучше всего начать с темы «Элементарные функции и их графики».

Повторить, что такое функция, что такое четные и нечетные функции, периодические, взаимно обратные.

Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).

Освоить преобразования графиков функций и приемы построения графиков.

И после этого – учимся решать сами задачи №17 Профильного ЕГЭ.

Вот основные типы задач с параметрами:

Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

Базовые элементы для решения задач с параметрами

Графический способ решения задач с параметрами

Квадратичные уравнения и неравенства с параметрами

Использование четности функций в задачах с параметрами

Условия касания в задачах с параметрами

Метод оценки в задачах с параметрами 

Вот пример решения и оформления задачи с параметром

Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 1, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 5, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 11, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 26, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 18

И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:

1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.

2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.

Эксперты ЕГЭ очень не любят слова «Из рисунка видно…» Ваш рисунок – только иллюстрация к решению. Вам нужно объяснить, на что смотреть, и обосновать свои выводы. Примеры оформления – здесь. Эксперты ЕГЭ также не любят слова «очевидно, что…» (когда ничего не очевидно) и «ёжику ясно…».

3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.

4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.

На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 17 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Решение задач с параметрами требует наличия определенной математической культуры. С реше-нием задач с параметрами приходится сталкиваться не только в математике. Очень многие законы и закономерности из физики, эконо-мики и других областей описываются уравнениями и неравенствами с параметрами. Фактически, решая задачи по физике, химии, экономике и некоторым другим школьным дисциплинам, ученик имеет дело с параметрами. Решению задач с параметрами посвящено большое количество учебно-методической литературы. В данной статей приводятся лишь некоторые представления о том, как рассуждают при решении подобных заданий. С этой целью рассмотрены несколько примеров, большая часть которых взята из вариантов ЕГЭ по математике прошлых лет (задача C5).

Решение «типичных» задач с параметрами

Решение.

1) Начнем с рассмотрения случая, когда . Тогда уравнение принимает вид , откуда получаем, что — положительный корень. Значит данное значение нам подходит. Запомнили.

2) Теперь рассматриваем случай, когда . Разделим обе части уравнения на . В результате получаем следующее квадратное уравнение:

Так как ветви соответствующей параболы направлены вверх, данное уравнение имеет два положительных корня в том случае, если эта парабола пересекает ось OY в точке, находящейся выше нуля (то есть значение соответствующей квадратичной функции при положительно), абсцисса вершины параболы положительна, а дискриминант квадратного уравнения неотрицателен. То есть имеет место следующая система:

Решая данную систему неравенств, получаем промежуточный ответ: .

3) Объединяем решения, полученные в предыдущих двух пунктах. В результате получаем окончательный ответ: .

Задача для самостоятельного решения №1. Для каждого значения решите уравнение

Показать ответ

Решение.

Используем следующую замену: . Тогда первоначальное уравнение принимает вид: Полученное уравнение с параметром можно исследовать с помощью метода, использованного нами при решении предыдущего задания. Однако для разнообразия предлагаю воспользоваться здесь альтернативным подходом.

Исходное уравнение будет иметь единственный корень в том случае, если у данного уравнения будет один положительный корень либо два корня, один из которых положительный, другой — отрицательный или равный нулю.

1) Дискриминант уравнения равен: . Один корень это уравнение будет иметь в том случае, если полученный дискриминант окажется равным нулю, то есть при . При этом корень — положителен. Данное значение нам подходит. Запомнили.

2) Рассматриваем случай, когда существует два корня, один из которых положителен, другой — неположителен. Условия, при которых эта ситуация реализуется, могут быть записаны следующим образом:

Окончательно: .

Задача для самостоятельного решения №2. Найдите все значения при которых уравнение имеет единственное решение.

Показать ответ

Ответ: 

Решение. Перепишем уравнение в виде: . Найдем промежутки возрастания и убывания функции . Для этого найдем сперва ее производную:

Нули производной равны

Производная принимает положительные значения на промежутке , на промежутке она принимает отрицательные значения. То есть в точке   возрастание функции сменяется ее убыванием, то есть это точка максимума. Значение функции в этой точке: . Напротив, в точке убывание функции сменяется ее возрастанием, то есть это точка минимума. Значение функции в этой точке: .

Следовательно, три решения исходное уравнение будет иметь в том случае, если прямая на координатной плоскости будет располагаться выше прямой и ниже прямой . Значит верно двойное неравенство: . Откуда получаем окончательный ответ: .

Задача для самостоятельного решения №3. Найдите все значения параметра при которых уравнение  не имеет решений.

Показать ответ

Ответ: 

Не сходится с ответом?

Показать подсказку

Подсказка: преобразуйте выражение к виду: после чего используйте то, что

Решение задач с параметрами повышенной сложности

Решение. Используем графический метод решения. График функции отличается от параболы только тем, что отрицательная ее область зеркально отражается вверх относительно оси OX (ведь модуль не может принимать отрицательных значений).

График функции представляет собой всем известную «галочку», вершина которой смещена в точку . В зависимости от значений параметра возможны следующие варианты взаимного расположения этих графиков на координатной плоскости:

Видно, что три решения уравнение будет в случае фиолетовой и бежевой «галочки». Первый случай выполняется при условии выполнения равенства Во втором случае оба модуля раскрываются со отрицательным знаком. В результате приходим к уравнению . Его дискриминант должен быть равен нулю, чтобы получилось одно пересечение (касание). То есть оказывается, что

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №4. При каких уравнение имеет ровно три корня?

Показать ответ

Ответ: 

Решение. Вместо во втором уравнении подставляем из первого, тогда второе уравнение системы принимает вид:

Обращаем внимание на то, что каждому найденному значению будет соответствовать единственное значение , такая пара будет одним решением системы. Подставляя полученные выражения во второе уравнение системы, получаем два квадратичных уравнения: и . Дискриминант и того, и другого равен .

Нам нужно, чтобы у каждого из этих уравнений было по одному решению, тогда у исходной системы их будет два. Это условие выполняется в том случае, когда полученный дискриминант равен нулю. Итак, окончательный ответ: .

Задача для самостоятельного решения №5. Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенство выполнено для любых значений переменной из отрезка .

Показать ответ

Ответ:

Решение. Преобразуем систему к следующему виду:

Поскольку параметр находится в основании логарифма, на него накладываются следующие ограничения: . Поскольку переменная стоит под знаком логарифма, на нее накладывается следующее ограничение: .

Скомбинировав оба уравнения системы, переходим к уравнению: . В зависимости от того, какие значения принимает параметр , возможны два случая:

1) Пусть  В этом случае функция  убывает в области допустимых значений, а функция возрастает в той же области. Вспомнив внешний вид графиков соответствующих функций (кто не помним, может ознакомиться с этой статьей), осознаем, что корень у уравнения один, при этом он меньше 1. Второе уравнение системы и вся система в целом имеют, следовательно, два решения в силу того, что дискриминант уравнения при положителен. Рассматриваемый случай нам полностью подходит.

2) Пусть теперь . В этом случае функция возрастает на области допустимых значений, и функция возрастает в этой области. Вспомнив внешний вид графиков соответствующих функций, осознаем, что пересечься в одной точке они могут только в случае касания друг друга. Однако, касание это может произойти лишь в точке, абсцисса которой больше 1. Второе уравнение системы и вся система в целом, следовательно, иметь решений не будут в силу того, что дискриминант уравнения при отрицателен.

Итак, окончательный ответ: .

Задача для самостоятельного решения №6. Для каждого допустимого значения решите неравенство и найдите, при каких значениях множество решений неравенства представляет собой промежуток длины

Показать ответ

Решение. Перепишем уравнение в виде:

Рассмотрим функцию:

При первый модуль раскрывается со знаком плюс, и функция принимает вид: . Очевидно, что при любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом , то есть эта функция на данном промежутке возрастает.

Рассмотрим теперь промежуток, на котором . В этом случае первый модуль раскрывается с минусом и функция принимает следующий вид: . Также легко видеть, что при любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом , то есть на этом промежутке функция убывает.

Итак, мы получили, что — точка минимума данной функции. А это означает, что для того, чтобы график данной функции пересекал ось OX в двух точках (то есть у исходного уравнения уравнения было два решения), значение функции в точке минимума должно быть меньше нуля. То есть имеет место неравенство: .

После несложных преобразований получаем окончательный ответ:

Задача для самостоятельного решения №7. При каких значениях уравнение имеет ровно одно решение на промежутке

Показать ответ

Ответ: 

Не сходится с ответом?

Показать подсказку

Преобразуйте выражение к виду Решать его нужно относительно который будет принимать единственное значение при в том случае, когда или

Все равно не получается?

Показать решение

Решение.

Выразим  из второго уравнения и подставим в первое, получаем:

Для того, чтобы данная система имела два решения, необходимо, чтобы два решения имело первое уравнение этой системы. Нас интересуют только

1) При получаем линейное уравнение: которое имеет одно решение. Этот случай не подходит.

2) Рассматриваем случай, когда Уравнение принимает вид: . Его правая часть представляет из себя возрастающую функцию, левая — убывающую. Это означает, что если у такого уравнения есть решение, то оно единственное. Этот случай нам не подходит.

3) Теперь рассмотрим случай, когда В зависимости от конкретного значения параметра уравнение вида  может не иметь решений (нет точек пересечения соответствующих графиков), иметь одно решение (прямая касается экспоненты), иметь два решения (две точки пересечения). Нам подходит последний случай.

Разберемся со случаем, когда прямая касается экспоненты. Пусть — абсцисса точки касания. В этой точке производная к экспоненте равняется единице (тангенс угла наклона касательной), кроме того значения обоих функций совпадают, то есть имеет место система:

Если значение параметра окажется меньше, точек пересечения прямой и экспоненты уже будет две. Итак, окончательный ответ:

Задача для самостоятельного решения №8. Найти все значения при каждом из которых наименьшее значение функции больше, чем

Показать ответ

Ответ: 

На сегодня на этом все. Следите за обновлениями, учите математику, задавайте свои вопросы в комментариях. Удачи вам! А напоследок случай из жизни Сократа о значимости некоторых параметров.

Репетитор по математике на Юго-Западной
Сергей Валерьевич

1. Системы линейных уравнений с параметром

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Пример 1.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.

{х + (а² – 3)у = а,
{х + у = 2.

Решение.

Рассмотрим несколько способов решения данного задания.

1 способ. Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а₁ = b/b₁ ≠ c/c₁). Тогда имеем:

1/1 = (а² – 3)/1 ≠ а/2 или систему

{а² – 3 = 1,
{а ≠ 2.

Из первого уравнения а² = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.

Ответ: а = -2.

2 способ. Решаем методом подстановки.

{2 – у + (а² – 3)у = а,
{х = 2 – у,

или

{(а² – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.

После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:

{(а² – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.

Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть

{а² – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.

Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.

Ответ: а = -2.

Пример 2.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.

{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.

Решение.

По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а₁ = b/b₁ = c/c₁). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.

Ответ: а = 4.

2. Системы рациональных уравнений с параметром

Пример 3.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.

Решение.

Умножим первое уравнение системы на 2:

{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.

Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).

Ответ: а = 4.

Пример 4.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{х + у = а,
{у – х² = 1.

Решение.

Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1). Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:

1,25 = 0,5 + а;

а = 0,75.

Ответ: а = 0,75.

Пример 5.

Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.

Решение.

Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:

{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.

Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:

ах + а²х – а² – а + 2ах – 2а – 2 = 2;

а²х + 3ах = 2 + а² + 3а + 2.

Квадратный трехчлен а² + 3а + 2 представим в виде произведения скобок

(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:

(а² + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).

Очевидно, что а² + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,

а² + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.

Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6.

Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{х² + у² = 9,
{у – |х| = а.

Решение.

Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы

х² + у² = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2 рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.

Ответ: а = 3.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

На этой странице вы узнаете

• Категоричность или лояльность: чем отличается система от совокупности? 
• Как проходит борьба за первенство между переменными? 
• Как выглядят неравенства на графиках функций? 

Как бы нам ни хотелось обратного, но научиться решать задачи с параметром, прочитав краткую инструкцию и выписав несколько формул, не получится. Нам обязательно потребуется аналитическое мышление, то есть способность разбивать информацию на небольшие части, исследовать и делать выводы. Узнаем об этом в статье.  

Системы уравнений с параметром

Что мы представляем, когда говорим про аналитику? Возможно, серьезных мужчин и женщин, которые много думают, сравнивают данные и делают на их основе сложные прогнозы. Они в строгих костюмах и очках, с серьезным сосредоточенным лицом. 

Я предлагаю погрузиться в аналитику в параметрах. По желанию надеваем серьезный костюм и очки, и вперед.

Немного организационных вопросов перед нашим путешествием. Что подразумевает под собой аналитический способ решения параметров? В первую очередь, это использование алгебраических преобразований и рассуждений без привлечения графиков. Про «Графический способ решения параметров» можно прочесть в отдельной статье. 

Как можно преобразовать системы уравнений? Рассмотрим пример. 

Решим первое уравнение системы, получаем, что x=2 или 

Что мы можем сказать про совокупность и про систему? Совокупность, которая обозначается квадратной скобочкой, выполняется в случае, если выполняется хотя бы одно, любое из ее уравнений. Чтобы выполнялась система, необходимо, чтобы выполнялись все условия, которые в нее включены. 

Назовем уравнение y = 3 Кристиной. Кристина очень любит вязаных жабок (x = 2) и плюшевых ленивцев  (x = — 2). Предположим, что Кристина пошла в магазин, чтобы купить новую игрушку. Скорее всего, она купит именно те игрушки, которые ей нравятся, поэтому система 

будет обозначать, что Кристина купила жабку, которую очень любит. 

А вот система

означает, что Кристина купила ленивца, которого также очень любит. 

Разумеется, она может купить и жабку, и ленивца. Но что, если в магазине не будет одной из этих игрушек или у Кристины не хватит денег? Она купит только одну из них. А как показать это на языке математики? Совокупностью из двух систем: 

Эта совокупность будет выполняться, даже если Кристина купит только жабку или только ленивца. 

Так можно преобразовать любую систему или совокупность. Немного усложним в систему из двух совокупностей: 

Переведем с языка математики. Нам было нужно, чтобы одновременно выполнялось А или В и С или D, то есть хотя бы по одному условию из каждой совокупности. Нам была необходима ситуация (А или В) и (С или D). 

Следовательно, если выполняется условие А, то обязательно должно выполняться и условие С или D. Образуются две системы: “А и С” или “A и D”. Если выполняется условие В, то обязательно должно выполняться условие C или D, получаются две системы: “В и С” или “В и D”. 

Для выполнения самой первой системы нужно выполнение хотя бы одной из получившихся четырех систем. Тем самым мы получаем совокупность из четырех систем: (А и С) или (А и D) или (В и С) или (В и D). 

Решение систем уравнений на примере

Рассмотрим на примере, как можно решить систему уравнений. Для этого запасемся терпением, подготовим наши блокноты и ручки и начнем погружение в мир аналитики. 

Пример 1. Найдите все значения параметра а при каждом из которых система уравнений имеет ровно 4 решения. 

Решение.

Шаг 1. Проанализируем второе уравнение системы и попробуем преобразовать его. Перенесем все слагаемые в одну сторону:

Вынесем общие множители за скобку: 

Если произведение двух множителей равно 0, то каждый множитель равен 0. Следовательно, решением этого уравнения будет совокупность 

Шаг 2. Получаем систему из уравнения и совокупности. Преобразуем ее рассмотренным ранее способом. 

Шаг 3. Вспомним, что сейчас мы аналитики и попробуем определить, в каких случаях у совокупности будет четыре решения. 

Представим, что у нас есть две двухрублевые монеты. Как сделать из них четыре монеты? Разменять каждую двухрублевую монету на две однорублевые. 

Шаг 4. Нам необходимо, чтобы совокупности каждая система имела ровно два решения. 

Шаг 5. В каких случаях у квадратного уравнения будет два решения? Если коэффициент перед x2 не будет равен 0. В уравнении

ax^2 + ay^2 + 5ay + 1 = (5a-2)x

Получаем, что a ≠ 0. 

Проверим. Для этого подставим значение a = 0 в совокупность:

Из первого уравнения системы получаем, что

Тогда решением первой системы будет точка

(-frac{1}{2};frac{1}{2})

— единственное решение. 

Во второй системе решений не будет, поскольку при x = 4 не выполняется равенство 1 = — 2 * 8. Всего будет одно решение, что не подходит к условию. 

Шаг 6. А что будет, если уравнения x = — y и x = 4 совпадут? У нас получится совокупность из двух совершенно одинаковых систем. Их решения совпадут, то есть их будет не 4, а 2. 

Таким образом, мы получаем новое условие: 

— y ≠ 4 => y ≠ -4 при x = 4. То есть точка (4; -4) не может быть решением. 

Найдем, чему равен параметр в этом случае, для этого подставим значения x и y в первое уравнение:

a * 4^2+a * (- 4)^2 + 5a(- 4) + 1 = (5a - 2)4

16a + 16a - 20a + 1 = 20a - 8

Следовательно,

Шаг 7. Теперь рассмотрим отдельно каждую из двух систем и найдем, при каких значениях параметра а они будут иметь по два решения. 

В первое уравнение первой системы подставим x = — y, получаем:

a(- y)^2 + ay^2 + 5ay + 1 = (5a - 2)(- y)

2ay^2 + 5ay + 1 + 5ay - 2y = 0

2ay^2 + y(10a - 2) + 1 = 0

Мы получили обычное квадратное уравнение. Оно будет иметь два решения, если его дискриминант будет строго больше 0: 

D = (10a - 2)^2 - 4 * 2a * 1 = 100a^2 - 40a + 4 - 8a = 100a^2 - 48a + 4

D > 0 => 100a^2 - 48a + 4 > 0

Решая неравенство «Методом интервалов», получаем, что

ain(-infty;frac{6-sqrt{11}}{25})cup(frac{6+sqrt{11}}{25};+infty)

Шаг 8. Аналогично решаем вторую систему. 

Подставим х = 4 в первое уравнение системы: 

a * 4^2 + ay^2 + 5ay + 1 = (5a - 2) * 4

16a + ay^2 + 5ay + 1 = 20a - 8

Чтобы у этого уравнения было два решения, его дискриминант должен быть строго больше 0.

D = 25a^2 - 4a *(9 - 4a) = 25a^2 - 36a + 16a^2 = 41a^2 - 36a = a(41a - 36)

Решаем неравенство методом интервалов и получаем, что a

ain(-infty;0)cup(frac{36}{41};+infty)

Шаг 9. В этот момент нам, как аналитикам, необходимо задуматься: а как объединить эти решения? Брать все получившиеся значения а или только те, которые удовлетворяют каждому из интервалов? 

Представим, что нам нужно организовать праздник, на который придут два друга. Мы точно знаем, что один из них пьет только апельсиновый сок, а второй только апельсиновый или яблочный соки. Какой сок мы купим, чтобы все были довольны? Апельсиновый. 

Точно также и здесь: чтобы обе системы были “довольны” и имели по два решения, нужно, чтобы все значения параметра а удовлетворяли условиям каждой из систем. Поэтому нам необходимо найти пересечение этих решений. 

Шаг 10. Заметим, что

frac{6-sqrt{11}}{25}>frac{6-sqrt{36}}{25}

Cледовательно,

frac{36}{41}>frac{6+sqrt{11}}{25}

Получаем, что

ain(-infty;0)cup(frac{36}{41};+infty)

Шаг 11. Не забудем, что

Эту точку также нужно выколоть из ответа. 

Получаем:

ain(-infty;0)cup(frac{36}{41};frac{9}{8})cup(frac{9}{8};+infty)

Ответ:

ain(-infty;0)cup(frac{36}{41};frac{9}{8})cup(frac{9}{8};+infty)

Выдохнем и вытрем испарину со лба: параметр решен. Если исключить достаточно трудоемкие вычисления, то остается только немного порассуждать.

Параметр как равноправная переменная

В рассмотренных ранее случаях параметр был темной лошадкой: он почти постоянно был на фоне, появлялся только под конец, чтобы внести свой вклад и показать свои способности, то есть значения. Но что, если вывести параметр на первый план? 

Рассматривая функции, мы привыкли, что у — значение функции, которое зависит от переменной х. Однако в некоторых задачах с параметром от переменной х может зависеть и сам параметр. 

В этом случае в борьбе между “у” и “а” выигрывает параметр и занимает место у. То есть параметр будет вести себя точно так же, как обычная функция, а изменение значения х будет менять и значение параметра. 

Разумеется, можно построить и график такой функции, просто ось ординат будет подписана как “а”, а не “у”. 

А может ли быть наоборот? Да. Параметрическую плоскость хОа можно использовать в двух случаях:

• параметр а — зависимая переменная, х — независимая;
• х — зависимая переменная, параметр а — независимая. 

Как определить, какой из случаев использовать в конкретном примере? Нужно посмотреть, каким способом удобнее выразить одну переменную через другую. Например, в уравнении x² + 5x — a = 0 намного удобнее выразить значение параметра a = x² + 5x, чем пытаться вывести значение х. В этом случае мы получим параболу. 

Когда можно прибегнуть к такому методу решения параметров? Обычно его используют, если в уравнении, неравенстве или их системах есть только две переменные, одна из которых является параметром. 

Пример 2. Найдите все значения параметра а, при которых система имеет хотя бы одно решение на промежутке [-3;1]. 

Решение. Если посмотреть на второе неравенство системы, то заметно, что удобнее выразить параметр через переменную х. Поэтому при решении параметр будет зависимой переменной, а х — независимой. 

Шаг 1.  Разберем  первое неравенство системы и раскроем модули четырьмя способами. Подробнее про модули можно узнать в статье «Модуль». Также в дальнейшем будем использовать «Графический способ решения параметров».

xgeqslant0;ageqslant0 => x+aleqslant7=>aleqslant7-x

Рассмотрим, как все условия будут выглядеть на графике.

— плоскость, которая включает все значения х, больше 0. 

включают все точки, которые лежат выше линии а = 0. 

А неравенство

включает все, что лежит ниже прямой 7 — x. 

То есть каждый раз мы как бы разрезаем плоскость по одной из линий и отбрасываем все, что не удовлетворяет условию. 

Наложим все три условия друг на друга и найдем место их пересечения. 

Треугольник, в котором они пересекаются, и будет задаваться условием

xgeqslant0;ageqslant0 => x+aleqslant7=>aleqslant7-x

Мы как бы трижды отрезали все ненужное, и в результате из всей плоскости у нас остался лишь маленький треугольник. 

Аналогичным способом получаем еще три треугольника. 

x<0;ageqslant0 => -x+aleqslant7=>aleqslant7+x

x<0;a<0 => -x-aleqslant7=>ageq-7-x

xgeq0;a<0 => x-aleqslant7=>ageq-7+x

Объединив все графики, получим квадрат, ограниченный прямыми

a = x - 7, a = x + 7, a = - x - 7, a = - x + 7

Шаг 2. Рассмотрим второе неравенство системы и преобразуем его. 

Это часть плоскости, ограниченная параболой

Построим ее, вершина параболы будет лежать в точках:

a_{в}=frac{1}{8}((-2)^2+4(-2)-36)=frac{1}{8}(4-8-36)=-5

Поскольку знак неравенства строгий, то и сама парабола будет обозначаться пунктирной линией. То есть значения, лежащие на этой линии, не будут входить в нашу плоскость. 

Шаг 3. Решением системы будет та часть плоскости, где парабола наложится на квадрат.

Шаг 4. По условию решения должны лежать в промежутке от -3 до 1. Построим еще одну плоскость. 

Нам нужно найти значения параметра а, которые лежат в промежутке пересечения всех трех плоскостей. Как их найти? Посмотреть значения по вертикальной оси, то есть по оси параметра.  

Нам нужны наименьшее, наибольшее значения и все, что лежит между ними. То есть

Шаг 5. Заметим, что точка А — точка пересечения прямой a = — x — 7 и параболы. Найдем точку их пересечения. 

-x-7=frac{1}{8}(x^2+4x-36)

x_{2}=frac{-12-8}{2}=-20

Поскольку точка А лежит в промежутке [-3;1], то x₂  не подходит. Прямая и парабола пересекаются в точке x = — 2. 

Найдем, чему равно значение параметра в точке А.

Шаг 6. Точка В — это вершина квадрата. А значит, точка В имеет координаты (0;7). 

Шаг 7. Мы нашли значение параметра

Это и будет ответ. 

Ответ:

Мы можем расслабиться, выйти из образа аналитика, снять очки и отдохнуть. Главное, мы можем гордиться собой, ведь мы разобрали два новых принципа решения параметров. 

Фактчек

• Аналитический способ решения параметров — использование алгебраических преобразований и рассуждений без привлечения графических интерпретаций.
• Для решения параметров аналитическим способом важно уметь преобразовывать уравнения, неравенства и их системы. 
• При решении параметров аналитикой важно уметь анализировать функции, их поведение и свойства. Это позволит прийти к правильным выводам при решении и правильно найти значения параметра. 
• Некоторые примеры с параметров выгоднее решать в плоскости хОа. В этой плоскости параметр будет либо зависимой, либо независимой переменной. 

Проверь себя

Задание 1. 

В каких случаях у совокупности есть решения? 

1. Если выполняется хотя бы одно из ее условий.
2. Если выполняются все условия.
3. В любом случае, даже если ни одно из условий не будет выполнено.
4. Нет верного ответа. 

Задание 2. 

В каких случаях у системы есть решения? 

1. Если выполняется хотя бы одно из ее условий.
2. Если выполняются все условия.
3. В любом случае, даже если ни одно из условий не будет выполнено.
4. Нет верного ответа. 

Задание 3. 

Дана система из совокупности и уравнения. Как ее можно преобразовать? 

1. Все элементы можно записать отдельно.
2. Все элементы можно записать только в систему.
3. Можно получить совокупность двух систем.
4. Можно получить систему из двух совокупностей. 

Задание 4. 

Может ли параметр быть независимой переменной в функции?

1. Не может.
2. Может.
3. Параметр не может быть переменной в функции, это просто число.
4. Нет верных ответов. 

Задание 5.

Какая часть плоскости задается неравенством x>0

1. Все, что лежит выше оси х, включая саму ось.
2. Все, что лежит выше оси х, исключая саму ось.
3. Все, что лежит правее оси х, включая саму ось.
4. Все, что лежит правее оси х, исключая саму ось. 

Ответы: 1. — 1 2. — 2 3. — 3 4. — 2 5. — 4