Решение систем уравнений с параметром егэ

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 187    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Всего: 187    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

1. Системы линейных уравнений с параметром

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Пример 1.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.

{х + (а² – 3)у = а,
{х + у = 2.

Решение.

Рассмотрим несколько способов решения данного задания.

1 способ. Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а₁ = b/b₁ ≠ c/c₁). Тогда имеем:

1/1 = (а² – 3)/1 ≠ а/2 или систему

{а² – 3 = 1,
{а ≠ 2.

Из первого уравнения а² = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.

Ответ: а = -2.

2 способ. Решаем методом подстановки.

{2 – у + (а² – 3)у = а,
{х = 2 – у,

или

{(а² – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.

После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:

{(а² – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.

Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть

{а² – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.

Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.

Ответ: а = -2.

Пример 2.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.

{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.

Решение.

По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а₁ = b/b₁ = c/c₁). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.

Ответ: а = 4.

2. Системы рациональных уравнений с параметром

Пример 3.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.

Решение.

Умножим первое уравнение системы на 2:

{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.

Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).

Ответ: а = 4.

Пример 4.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{х + у = а,
{у – х² = 1.

Решение.

Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1). Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:

1,25 = 0,5 + а;

а = 0,75.

Ответ: а = 0,75.

Пример 5.

Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.

Решение.

Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:

{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.

Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:

ах + а²х – а² – а + 2ах – 2а – 2 = 2;

а²х + 3ах = 2 + а² + 3а + 2.

Квадратный трехчлен а² + 3а + 2 представим в виде произведения скобок

(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:

(а² + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).

Очевидно, что а² + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,

а² + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.

Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6.

Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{х² + у² = 9,
{у – |х| = а.

Решение.

Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы

х² + у² = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2 рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.

Ответ: а = 3.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Перепишем систему в виде $$left{begin{matrix}sqrt{left | x-1 right |}+sqrt{7left | y right |}=1\left | x-1 right |^{2}+(7left | y right |)^{2}=-4aend{matrix}right.$$

     Пусть $$sqrt{left | x-1 right |}=mgeq 0$$; $$sqrt{7left | y right |}=ngeq 0$$

     Тогда система примет вид : $$left{begin{matrix}m+n=1\m^{4}+n^{4}=-4aend{matrix}right.(*)$$. Если пара чисел $$(m_{0};n_{0})$$ является решением системы (*), то пара $$(n_{0}; m_{0})$$ также её решение :

     1) Пусть $$m_{0}neq n_{0}, m_{0}, n_{0}>0$$. Тогда $$left[begin{matrix}left{begin{matrix}left | x-1 right |=m_{0}^{2}\7left | y right |=n_{0}^{2}end{matrix}right.\left{begin{matrix}left | x-1 right |=n_{0}^{2}\7left | y right |=m_{0}^{2}end{matrix}right.end{matrix}right.(**)$$. Каждая система совокупности имеет четыре решения, тогда данная система имеет 8 различных решений , что не удовлетворяют  условию задачи .

     2) Пусть одно из значений $$m_{0}$$ или $$n_{0}$$ равно нулю, тогда пары  (0;1) и (1;0)-решения системы(*), -4a=1, откуда  $$a=-frac{1}{4}$$ . В этом случае совокупность (**) примет вид :

$$left[begin{matrix}left{begin{matrix}left | x-1 right |=0\7left | y right |=1end{matrix}right.\left{begin{matrix}left | x-1 right |=1\7left | y right | =0end{matrix}right.end{matrix}right.$$, откуда получим 4 решения данной системы : $$(1; frac{1}{7})$$, $$(1; -frac{1}{7})$$, $$(2;0)$$, $$(0;0)$$

     3) Пусть $$m_{1}=n_{0}$$, тогда $$left{begin{matrix}m_{0}+m_{0}=1\m_{0}^{4}+m_{0}^{4}=-4aend{matrix}right.$$., откуда

$$m_{0}=frac{1}{2}$$, $$a=-frac{1}{32}$$ и система (*) имеет одно решение $$(frac{1}{2};frac{1}{2})$$. В Этом случае совокупность (**) примет вид :

$$left{begin{matrix}left | x-1 right |=frac{1}{4}\7left | y right |=frac{1}{4}end{matrix}right.$$, откуда получим 4 решения данной системы: $$(1frac{1}{4} ;frac{1}{28})$$, $$(1frac{1}{4}; -frac{1}{28})$$, $$(frac{3}{4}; frac{1}{28})$$, $$(frac{3}{4};-frac{1}{28})$$.

     Докажем, что при $$a=-frac{1}{4}$$ и $$a=-frac{1}{32}$$ других, кроме найденных решений,  данная система не имеет .

     1. При  $$a=-frac{1}{4}$$ система (*) имеет вид: $$left{begin{matrix}m+n=1\m^{4}+n^{4}=1end{matrix}right.$$. Если $$mneq 0$$, $$nneq 0$$, то $$m,n in (0;1)$$ и $$left{begin{matrix}m^{4}<m\n^{4}<nend{matrix}right.$$

   Тогда $$m^{4}+n^{4}<m+n$$, т.е. $$m^{4}+n^{4}<1$$, что противоречит  второму уравнению системы . Следовательно, при $$a=-frac{1}{4}$$ других решений системы нет и $$a=-frac{1}{4}$$ удовлетворяет условию .

     2. При $$a=-frac{1}{32}$$ система (*) имеет вид : $$left{begin{matrix}m+n=1\m^{4}+n^{4}=frac{1}{8}end{matrix}right.$$ . Пусть$$left{begin{matrix}m=frac{1}{2}+t\n=frac{1}{2}-tend{matrix}right.$$ , тогда $$left{begin{matrix}m^{4}=(frac{1}{2}+t)^{2}=frac{1}{16}+4*frac{1}{8}t+6*frac{1}{4}t^{2}+4*frac{1}{2}t^{3}+t^{4}\n^{4}=(frac{1}{2}-t)^{4}=frac{1}{16}-4*frac{1}{8}t+6*frac{1}{4}t^{2}-4*frac{1}{2}t^{3}+t^{4}end{matrix}right.$$. И $$m^{4}+n^{4}=frac{1}{8}+3t^{2}+2t^{4}$$. Имеем : $$frac{1}{8}+3t^{2}+2t^{2}=frac{1}{8}$$, откуда $$t=0$$, $$m =n=frac{1}{2}Rightarrow$$ других решений нет и $$a=-frac{1}{32}$$ удовлетворяет условию .

На этой странице вы узнаете

• Категоричность или лояльность: чем отличается система от совокупности? 
• Как проходит борьба за первенство между переменными? 
• Как выглядят неравенства на графиках функций? 

Как бы нам ни хотелось обратного, но научиться решать задачи с параметром, прочитав краткую инструкцию и выписав несколько формул, не получится. Нам обязательно потребуется аналитическое мышление, то есть способность разбивать информацию на небольшие части, исследовать и делать выводы. Узнаем об этом в статье.  

Системы уравнений с параметром

Что мы представляем, когда говорим про аналитику? Возможно, серьезных мужчин и женщин, которые много думают, сравнивают данные и делают на их основе сложные прогнозы. Они в строгих костюмах и очках, с серьезным сосредоточенным лицом. 

Я предлагаю погрузиться в аналитику в параметрах. По желанию надеваем серьезный костюм и очки, и вперед.

Немного организационных вопросов перед нашим путешествием. Что подразумевает под собой аналитический способ решения параметров? В первую очередь, это использование алгебраических преобразований и рассуждений без привлечения графиков. Про «Графический способ решения параметров» можно прочесть в отдельной статье. 

Как можно преобразовать системы уравнений? Рассмотрим пример. 

Решим первое уравнение системы, получаем, что x=2 или 

Что мы можем сказать про совокупность и про систему? Совокупность, которая обозначается квадратной скобочкой, выполняется в случае, если выполняется хотя бы одно, любое из ее уравнений. Чтобы выполнялась система, необходимо, чтобы выполнялись все условия, которые в нее включены. 

Назовем уравнение y = 3 Кристиной. Кристина очень любит вязаных жабок (x = 2) и плюшевых ленивцев  (x = — 2). Предположим, что Кристина пошла в магазин, чтобы купить новую игрушку. Скорее всего, она купит именно те игрушки, которые ей нравятся, поэтому система 

будет обозначать, что Кристина купила жабку, которую очень любит. 

А вот система

означает, что Кристина купила ленивца, которого также очень любит. 

Разумеется, она может купить и жабку, и ленивца. Но что, если в магазине не будет одной из этих игрушек или у Кристины не хватит денег? Она купит только одну из них. А как показать это на языке математики? Совокупностью из двух систем: 

Эта совокупность будет выполняться, даже если Кристина купит только жабку или только ленивца. 

Так можно преобразовать любую систему или совокупность. Немного усложним в систему из двух совокупностей: 

Переведем с языка математики. Нам было нужно, чтобы одновременно выполнялось А или В и С или D, то есть хотя бы по одному условию из каждой совокупности. Нам была необходима ситуация (А или В) и (С или D). 

Следовательно, если выполняется условие А, то обязательно должно выполняться и условие С или D. Образуются две системы: “А и С” или “A и D”. Если выполняется условие В, то обязательно должно выполняться условие C или D, получаются две системы: “В и С” или “В и D”. 

Для выполнения самой первой системы нужно выполнение хотя бы одной из получившихся четырех систем. Тем самым мы получаем совокупность из четырех систем: (А и С) или (А и D) или (В и С) или (В и D). 

Решение систем уравнений на примере

Рассмотрим на примере, как можно решить систему уравнений. Для этого запасемся терпением, подготовим наши блокноты и ручки и начнем погружение в мир аналитики. 

Пример 1. Найдите все значения параметра а при каждом из которых система уравнений имеет ровно 4 решения. 

Решение.

Шаг 1. Проанализируем второе уравнение системы и попробуем преобразовать его. Перенесем все слагаемые в одну сторону:

Вынесем общие множители за скобку: 

Если произведение двух множителей равно 0, то каждый множитель равен 0. Следовательно, решением этого уравнения будет совокупность 

Шаг 2. Получаем систему из уравнения и совокупности. Преобразуем ее рассмотренным ранее способом. 

Шаг 3. Вспомним, что сейчас мы аналитики и попробуем определить, в каких случаях у совокупности будет четыре решения. 

Представим, что у нас есть две двухрублевые монеты. Как сделать из них четыре монеты? Разменять каждую двухрублевую монету на две однорублевые. 

Шаг 4. Нам необходимо, чтобы совокупности каждая система имела ровно два решения. 

Шаг 5. В каких случаях у квадратного уравнения будет два решения? Если коэффициент перед x2 не будет равен 0. В уравнении

ax^2 + ay^2 + 5ay + 1 = (5a-2)x

Получаем, что a ≠ 0. 

Проверим. Для этого подставим значение a = 0 в совокупность:

Из первого уравнения системы получаем, что

Тогда решением первой системы будет точка

(-frac{1}{2};frac{1}{2})

— единственное решение. 

Во второй системе решений не будет, поскольку при x = 4 не выполняется равенство 1 = — 2 * 8. Всего будет одно решение, что не подходит к условию. 

Шаг 6. А что будет, если уравнения x = — y и x = 4 совпадут? У нас получится совокупность из двух совершенно одинаковых систем. Их решения совпадут, то есть их будет не 4, а 2. 

Таким образом, мы получаем новое условие: 

— y ≠ 4 => y ≠ -4 при x = 4. То есть точка (4; -4) не может быть решением. 

Найдем, чему равен параметр в этом случае, для этого подставим значения x и y в первое уравнение:

a * 4^2+a * (- 4)^2 + 5a(- 4) + 1 = (5a - 2)4

16a + 16a - 20a + 1 = 20a - 8

Следовательно,

Шаг 7. Теперь рассмотрим отдельно каждую из двух систем и найдем, при каких значениях параметра а они будут иметь по два решения. 

В первое уравнение первой системы подставим x = — y, получаем:

a(- y)^2 + ay^2 + 5ay + 1 = (5a - 2)(- y)

2ay^2 + 5ay + 1 + 5ay - 2y = 0

2ay^2 + y(10a - 2) + 1 = 0

Мы получили обычное квадратное уравнение. Оно будет иметь два решения, если его дискриминант будет строго больше 0: 

D = (10a - 2)^2 - 4 * 2a * 1 = 100a^2 - 40a + 4 - 8a = 100a^2 - 48a + 4

D > 0 => 100a^2 - 48a + 4 > 0

Решая неравенство «Методом интервалов», получаем, что

ain(-infty;frac{6-sqrt{11}}{25})cup(frac{6+sqrt{11}}{25};+infty)

Шаг 8. Аналогично решаем вторую систему. 

Подставим х = 4 в первое уравнение системы: 

a * 4^2 + ay^2 + 5ay + 1 = (5a - 2) * 4

16a + ay^2 + 5ay + 1 = 20a - 8

Чтобы у этого уравнения было два решения, его дискриминант должен быть строго больше 0.

D = 25a^2 - 4a *(9 - 4a) = 25a^2 - 36a + 16a^2 = 41a^2 - 36a = a(41a - 36)

Решаем неравенство методом интервалов и получаем, что a

ain(-infty;0)cup(frac{36}{41};+infty)

Шаг 9. В этот момент нам, как аналитикам, необходимо задуматься: а как объединить эти решения? Брать все получившиеся значения а или только те, которые удовлетворяют каждому из интервалов? 

Представим, что нам нужно организовать праздник, на который придут два друга. Мы точно знаем, что один из них пьет только апельсиновый сок, а второй только апельсиновый или яблочный соки. Какой сок мы купим, чтобы все были довольны? Апельсиновый. 

Точно также и здесь: чтобы обе системы были “довольны” и имели по два решения, нужно, чтобы все значения параметра а удовлетворяли условиям каждой из систем. Поэтому нам необходимо найти пересечение этих решений. 

Шаг 10. Заметим, что

frac{6-sqrt{11}}{25}>frac{6-sqrt{36}}{25}

Cледовательно,

frac{36}{41}>frac{6+sqrt{11}}{25}

Получаем, что

ain(-infty;0)cup(frac{36}{41};+infty)

Шаг 11. Не забудем, что

Эту точку также нужно выколоть из ответа. 

Получаем:

ain(-infty;0)cup(frac{36}{41};frac{9}{8})cup(frac{9}{8};+infty)

Ответ:

ain(-infty;0)cup(frac{36}{41};frac{9}{8})cup(frac{9}{8};+infty)

Выдохнем и вытрем испарину со лба: параметр решен. Если исключить достаточно трудоемкие вычисления, то остается только немного порассуждать.

Параметр как равноправная переменная

В рассмотренных ранее случаях параметр был темной лошадкой: он почти постоянно был на фоне, появлялся только под конец, чтобы внести свой вклад и показать свои способности, то есть значения. Но что, если вывести параметр на первый план? 

Рассматривая функции, мы привыкли, что у — значение функции, которое зависит от переменной х. Однако в некоторых задачах с параметром от переменной х может зависеть и сам параметр. 

В этом случае в борьбе между “у” и “а” выигрывает параметр и занимает место у. То есть параметр будет вести себя точно так же, как обычная функция, а изменение значения х будет менять и значение параметра. 

Разумеется, можно построить и график такой функции, просто ось ординат будет подписана как “а”, а не “у”. 

А может ли быть наоборот? Да. Параметрическую плоскость хОа можно использовать в двух случаях:

• параметр а — зависимая переменная, х — независимая;
• х — зависимая переменная, параметр а — независимая. 

Как определить, какой из случаев использовать в конкретном примере? Нужно посмотреть, каким способом удобнее выразить одну переменную через другую. Например, в уравнении x² + 5x — a = 0 намного удобнее выразить значение параметра a = x² + 5x, чем пытаться вывести значение х. В этом случае мы получим параболу. 

Когда можно прибегнуть к такому методу решения параметров? Обычно его используют, если в уравнении, неравенстве или их системах есть только две переменные, одна из которых является параметром. 

Пример 2. Найдите все значения параметра а, при которых система имеет хотя бы одно решение на промежутке [-3;1]. 

Решение. Если посмотреть на второе неравенство системы, то заметно, что удобнее выразить параметр через переменную х. Поэтому при решении параметр будет зависимой переменной, а х — независимой. 

Шаг 1.  Разберем  первое неравенство системы и раскроем модули четырьмя способами. Подробнее про модули можно узнать в статье «Модуль». Также в дальнейшем будем использовать «Графический способ решения параметров».

xgeqslant0;ageqslant0 => x+aleqslant7=>aleqslant7-x

Рассмотрим, как все условия будут выглядеть на графике.

— плоскость, которая включает все значения х, больше 0. 

включают все точки, которые лежат выше линии а = 0. 

А неравенство

включает все, что лежит ниже прямой 7 — x. 

То есть каждый раз мы как бы разрезаем плоскость по одной из линий и отбрасываем все, что не удовлетворяет условию. 

Наложим все три условия друг на друга и найдем место их пересечения. 

Треугольник, в котором они пересекаются, и будет задаваться условием

xgeqslant0;ageqslant0 => x+aleqslant7=>aleqslant7-x

Мы как бы трижды отрезали все ненужное, и в результате из всей плоскости у нас остался лишь маленький треугольник. 

Аналогичным способом получаем еще три треугольника. 

x<0;ageqslant0 => -x+aleqslant7=>aleqslant7+x

x<0;a<0 => -x-aleqslant7=>ageq-7-x

xgeq0;a<0 => x-aleqslant7=>ageq-7+x

Объединив все графики, получим квадрат, ограниченный прямыми

a = x - 7, a = x + 7, a = - x - 7, a = - x + 7

Шаг 2. Рассмотрим второе неравенство системы и преобразуем его. 

Это часть плоскости, ограниченная параболой

Построим ее, вершина параболы будет лежать в точках:

a_{в}=frac{1}{8}((-2)^2+4(-2)-36)=frac{1}{8}(4-8-36)=-5

Поскольку знак неравенства строгий, то и сама парабола будет обозначаться пунктирной линией. То есть значения, лежащие на этой линии, не будут входить в нашу плоскость. 

Шаг 3. Решением системы будет та часть плоскости, где парабола наложится на квадрат.

Шаг 4. По условию решения должны лежать в промежутке от -3 до 1. Построим еще одну плоскость. 

Нам нужно найти значения параметра а, которые лежат в промежутке пересечения всех трех плоскостей. Как их найти? Посмотреть значения по вертикальной оси, то есть по оси параметра.  

Нам нужны наименьшее, наибольшее значения и все, что лежит между ними. То есть

Шаг 5. Заметим, что точка А — точка пересечения прямой a = — x — 7 и параболы. Найдем точку их пересечения. 

-x-7=frac{1}{8}(x^2+4x-36)

x_{2}=frac{-12-8}{2}=-20

Поскольку точка А лежит в промежутке [-3;1], то x₂  не подходит. Прямая и парабола пересекаются в точке x = — 2. 

Найдем, чему равно значение параметра в точке А.

Шаг 6. Точка В — это вершина квадрата. А значит, точка В имеет координаты (0;7). 

Шаг 7. Мы нашли значение параметра

Это и будет ответ. 

Ответ:

Мы можем расслабиться, выйти из образа аналитика, снять очки и отдохнуть. Главное, мы можем гордиться собой, ведь мы разобрали два новых принципа решения параметров. 

Фактчек

• Аналитический способ решения параметров — использование алгебраических преобразований и рассуждений без привлечения графических интерпретаций.
• Для решения параметров аналитическим способом важно уметь преобразовывать уравнения, неравенства и их системы. 
• При решении параметров аналитикой важно уметь анализировать функции, их поведение и свойства. Это позволит прийти к правильным выводам при решении и правильно найти значения параметра. 
• Некоторые примеры с параметров выгоднее решать в плоскости хОа. В этой плоскости параметр будет либо зависимой, либо независимой переменной. 

Проверь себя

Задание 1. 

В каких случаях у совокупности есть решения? 

1. Если выполняется хотя бы одно из ее условий.
2. Если выполняются все условия.
3. В любом случае, даже если ни одно из условий не будет выполнено.
4. Нет верного ответа. 

Задание 2. 

В каких случаях у системы есть решения? 

1. Если выполняется хотя бы одно из ее условий.
2. Если выполняются все условия.
3. В любом случае, даже если ни одно из условий не будет выполнено.
4. Нет верного ответа. 

Задание 3. 

Дана система из совокупности и уравнения. Как ее можно преобразовать? 

1. Все элементы можно записать отдельно.
2. Все элементы можно записать только в систему.
3. Можно получить совокупность двух систем.
4. Можно получить систему из двух совокупностей. 

Задание 4. 

Может ли параметр быть независимой переменной в функции?

1. Не может.
2. Может.
3. Параметр не может быть переменной в функции, это просто число.
4. Нет верных ответов. 

Задание 5.

Какая часть плоскости задается неравенством x>0

1. Все, что лежит выше оси х, включая саму ось.
2. Все, что лежит выше оси х, исключая саму ось.
3. Все, что лежит правее оси х, включая саму ось.
4. Все, что лежит правее оси х, исключая саму ось. 

Ответы: 1. — 1 2. — 2 3. — 3 4. — 2 5. — 4