Решение смешанных неравенств егэ

План решения.

1. Отдельно преобразуем числитель и знаменатель.

1.1. В числителе вынесем за скобки 5^x, чтобы в скобке осталась разность некоторого числа в степени x и константы (вместо этого можно вынести за скобки 3^x, а потом дополнительно преобразовать, или сразу вынести за скобки 3^{x+1}).

1.2. В знаменателе «избавимся» от log_2 5 в показателе степени (преобразуем его в множитель). После этого получим квадратичное выражение от 2^x (если сделать замену t=2^x, то получим квадратичное выражение от t). Квадратичное выражение разложим на множители.

2. Все множители в числителе и знаменателе заменим более простыми, совпадающими по знаку (в том числе равными нулю одновременно с исходными — таким образом, не надо будет дополнительно думать об ОДЗ).

3. Решим неравенство, полученное на предыдущем шаге, методом интервалов.

Решение.

1. frac{3^x-5^{x+1}}{4^x-2^{x+log_25}+4}leqslant 0,

frac{left( left( dfrac35right) ^x-5right)cdot 5^x}{2^{2x}-5cdot 2^x+4}leqslant 0,

frac{left( dfrac35right) ^x-5}{(2^x-4)(2^x-1)}leqslant 0.

2. frac{left( dfrac35right) ^x-left( dfrac35right) ^{log_tfrac355}}{(2^x-2^2)(2^x-2^0)}leqslant 0.

Выражения left( frac35right) ^x-5, 2^x-2^2, 2^x-2^0 совпадают по знаку с выражениями left( frac35-1right)cdot {x-log_{tfrac35}5}, (2-1)cdot (x-2) и (2-1)cdot (x-0) соответственно.

frac{left( dfrac35-1right)cdot (x-log_{tfrac35}5)}{(2-1)cdot (x-2)cdot (2-1)cdot (x-0)}leqslant 0.

3. frac{x-log_{tfrac35}5}{(x-2)cdot x}geqslant 0.

xin[log_{tfrac35}5; 0)cup (2; +infty ).

ОДЗ: begin{cases} x+0,5>0,\5^{1-sqrt x}-1neq 0,\xgeqslant 0; end{cases} begin{cases} xgeqslant 0,\xneq 1. end{cases}

xin[0; 1) cup (1; +infty).

frac{4 log_2(x+0,5)-5^{sqrt x} log_2(x+0,5)cdot (5^{1-sqrt x}-1)}{5^{1-sqrt x}-1}leqslant 0,

frac{log_2(x+0,5)(4-5^{sqrt {x}+1-sqrt x}+5^{sqrt x})}{5^{1-sqrt x}-1}leqslant 0.

frac{log_2(x+0,5)(5^{sqrt x}-5^0)}{5^{1-sqrt x}-5^0}leqslant 0.

Применим метод замены множителя, учитывая, что:

а) log_{h(x)}f(x)rightarrow (h(x)-1)(f(x)-1), тогда log_2(x+0,5)rightarrow (2-1)(x+0,5-1)=x-0,5.

б) h(x)^{p(x)}-h(x)^{q(x)}rightarrow (h(x)-1)(p(x)-q(x)),

тогда 5^{sqrt x}-5^0=(5-1)(sqrt x-0)=4sqrt x,

5^{1-sqrt x}-5^0= (5-1)(1-sqrt x-0)= 4(1-sqrt x).

Неравенство примет вид frac{(x-0,5)cdot sqrt x}{1-sqrt x}leqslant 0.

На ОДЗ имеем 0 leqslant x leqslant 0,5; x>1.

Найдём область определения неравенства.

begin{cases}x+4 >0, \5^{x^{2}+1}-5^{x} neq0; end{cases}

begin{cases} x > -4, \ x^{2}+1 neq x;end{cases}

begin{cases} x > -4, \ x^{2}-x+1 neq 0;end{cases}

x > -4.

Для решения данного неравенства применяем метод интервалов.

а) Пусть f(x)= frac{(|2x+1|-x-2) cdot left ( log_{tfrac{1}{3}}(x+4)+1 right )}{5^{x^{2}+1}-5^{x}}.

б) Область определения функции f(x): D(f)=(-4;+infty ).

в) Нули функции f(x): f(x)=0.

frac{(|2x+1|-x-2) cdot left ( log_{tfrac{1}{3}}(x+4)+1 right )}{5^{x^{2}+1}-5^{x}}=0Leftrightarrow

Leftrightarrow begin{cases} (|2x+1|-x-2) cdot left ( log_{tfrac{1}{3}}(x+4)+1 right )=0, \ x >-4; end{cases}

begin{cases} left[!!begin{array}{l} |2x+1|-x-2=0, \ log_{tfrac{1}{3}}(x+4)+1=0 end{array}right. \x > -4. end{cases}

Уравнение |2x+1|-x-2=0 или |2x+1|=x+2 равносильно системе

begin{cases} (2x+1)^2=(x+2)^2,\x+2 geq 0; end{cases} Leftrightarrow begin{cases}left[!!begin{array}{l}x=-1,\x=1,end{array}right.\ x+2 geq 0;end{cases} Leftrightarrow x=pm 1.

Уравнение log_{tfrac{1}{3}}(x+4)+1=0 имеет корень x=-1.

г) Промежутки знакопостоянства функции f(x). На каждом из промежутков (-4;-1), (-1;1), (1; +infty ) функция f(x) непрерывна и сохраняет постоянный знак. Так как f(-2) > 0, f(0) > 0, f(2) < 0, то f(x) geq 0 при всех значениях x in (-4;1].

Данное неравенство равносильно неравенству (3^{x}-27)sqrt{5x-x^{2}+14} leq 0. Будем использовать метод интервалов, предварительно найдя ОДЗ и нули левой части неравенства.

Найдём ОДЗ неравенства:

-x^{2}+5x+14 geq 0,  x^{2}-5x-14 leq 0,  (x-7)(x+2) leq 0,  x in [-2;7].

Найдём нули левой части неравенства: (3^{x}-27)sqrt{5x-x^{2}+14}=0,

3^{x}-27=0,  3^{x}=3^{3},  x=3.

sqrt{5x-x^{2}+14}=0,  -x^{2}+5x+14=0,  x_{1}=-2,  x_{2}=7.

Найдем знаки выражения (3^{x}-27)sqrt{5x-x^{2}+14}

x in [-2;3] cup {7}.

ОДЗ: begin{cases} x+5 > 0,\2^{x+2}-4^x-3 neq 0;end{cases}enspace begin{cases} x> -5, \ 2^{2x} -4 cdot 2^x+3 neq0;end{cases}enspace begin{cases} x > -5, \ xneq 0, \ x neq log_2 3end{cases}.

x in(-5;0)cup(0;log_2 3)cup (log_2 3; +infty ).

frac{(1-4cdot2^x+4^x+3)log_2 (x+5)}{(2^x -1)(2^x -3)} geq0,

frac{(2^x -2)^2 log_2 (x+5)}{(2^x — 2^0)(2^x -2^{log_2 3})} geq0.

Применим метод замены множителя, учитывая, что

а) log_{h(x)} f(x)rightarrow (h(x)-1)(f(x)-1), тогда

log_2 (x+5) rightarrow (2-1)(x+5-1)= x+4.

б) h(x)^{p(x)}-h(x)^{q(x)} rightarrow (h(x)-1) (p(x)-q(x)), тогда

2^x -2rightarrow (2-1)(x-1)=x-1,

2^x -2^0 =(2-1)(x-0)=x ,

2^x -2^{log_2 3}= (2-1)(x-log_2 3)= x-log_2 3.

Неравенство примет вид frac{(x+4)(x-1)^2}{x(x-log_2 3)} geq 0. Решим его методом интервалов.

Учитывая ОДЗ x> -5, x neq 0 и xneq log_2 3, получим -4 leq x < 0; x > log_2 3. x=1.

Очевидно, что x > 0. Заметим, что log_{2}x < 2^{x} при x > 0, график функции y=log_{2}x лежит ниже прямой y=x, а график функции y=2^{x} лежит выше этой прямой, поэтому знаменатель дроби принимает только отрицательные значения. Докажем, что это верно.

Докажем, что 2^{x} > x. Рассмотрим f(x)=2^{x}-x.

f'(x)=2^{x} ln2-1.

f'(x)=0 при 2^{x} ln2-1=0, 

2^{x}=frac{1}{ln2},

x_{1}=log_{2} frac{1}{ln2} — точка минимума, f(x_{1}) — наименьшее значение f(x).

Докажем, что f(x_{1}) > 0.

frac{1}{ln2}-log_{2}frac{1}{ln2} > 0;

log_{2}e-log_{2}log_{2}e > 0;

log_{2}e > log_{2}log_{2}e;

e > log_{2}e;

2^{e} > e.

Это верно, так как 2^{e} > 2^{2} > e.

Мы доказали, что 2^{x} > x. Но тогда log_{2}2^{x} > log_{2}x и x > log_{2}x.

2^{x} > x > log_{2}x, значит, 2^{x}-log_{2}x > 0.

Умножив обе части неравенства на log_{2}x-2^{x}, получим неравенство 4^{x}+log_{2}x-12 leq log_{2}x-2^{x}, которое легко сводится к неравенству 4^{x}+2^{x}-12 leq 0. Решив его методом подстановки, найдем все его решения x leq log_{2}3. Учитывая, что x > 0, получим все решения данного неравенства: x in (0; log_{2}3]

ОДЗ:

begin{cases}x>0, \ x-1>0, \ x-1neq1, \ x^2+xgeqslant0, \ x^2+x neq x^2+5, \ |x+2|neq |x|; end{cases} begin{cases}x>0, \ x>1, \ xneq2, \left[!!begin{array}{l} xgeqslant 0, \ xleqslant -1, end{array}right. \ x neq 5, \ x^2+4x+4neq x^2; end{cases} begin{cases} x>1, \ xneq2, \ xneq 5.end{cases}

xin (1;2)cup (2;5)cup (5;+infty ).

На ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству

frac{(x-3)(x-1-1)(x-3)}{(x^2+x-x^2-5)((x+2)^2-x^2)}geqslant0,

frac{(x-3)^2(x-2)}{(x-5)(4x+4)}geqslant0,

frac{(x-3)^2(x-2)}{(x-5)(x+1)}geqslant0,

xin (1;2]cup left { 3 right }cup (5;+infty ).

Учитывая ОДЗ, получим xin (1;2)cup left { 3 right }cup (5;+infty ).

ОДЗ:enspacebegin{cases}2x+1neq0,\-x>0,\ x+2>0; end{cases}enspacebegin{cases} xneqfrac{1}{2},\ x<0; \ x>-2.end{cases}

-2<x<-frac{1}{2}, -frac{1}{2}<x<0. Данное неравенство для всех x из ОДЗ равносильно неравенству log_2frac{x+2}{4}>-frac{3}{2x+1}.

Решим последнее неравенство на каждом из промежутков ОДЗ.

1) -2<x<-frac{1}{2}. Оценим левую и правую части неравенства:

log_2frac{x+2}{4}<log_2frac{3}{8}<0, -frac{3}{2x+1}>0.

Так как для всех x из промежутка left(-2;-frac{1}{2}right) выполняется неравенство log_2frac{x+2}{4}<0<-frac{3}{2x+1}, то неравенство log_2frac{x+2}{4}>-frac{3}{2x+1}, а следовательно, и исходное неравенство на промежутке left(-2;-frac{1}{2}right) не имеет решений.

2) Если -frac{1}{2}<x<0, то выполняется неравенства

log_2frac{x+2}{4}>log_2frac{3}{8}>log_2frac{1}{4}>-2.

-frac{3}{2x+1}<-3, так как 0<2x+1<1. Значит, любое значение из промежутка left(-frac{1}{2};0right) является решением неравенства log_2frac{x+2}{4}>-frac{3}{2x+1}, а следовательно, и исходного неравенства.

Итак, множеством решений исходного неравенства является промежуток left(-frac{1}{2};0right).

Преобразуем неравенство:

ln left ( 7^{ln left ( x^{2}-2x right )} right )leq ln left ( left ( 2-x right )^{ln 7} right )

ln 7cdot ln left ( x^{2}-2x right )leq ln7cdot lnleft ( 2-x right )

lnleft ( x^{2}-2x right )leq lnleft ( 2-x right )

0< x^{2}-2xleq 2-x

begin{cases} x^{2}-2x> 0 \ left ( x-2 right )left ( x+1 right )leq 0 end{cases}

Получим -1leq x< 0.