В задании №17 в ЕГЭ по профильной математике, вместо ожидаемой текстовой задачи на кредиты, иногда встречаются оптимальный выбор. Этот вид задач считается более сложным по сравнению с кредитами. Чтобы хорошо подготовиться к экзамену, нужно научиться их решать.
Тут требуется умение искать наибольшие и наименьшие значения функции, обычно зависящей от нескольких переменных. Эти переменные, как правило, связаны дополнительными условиями.
Вам обязательно понадобится умение искать производные и исследовать функции на экстремумы. Нужно знать, что такое ограниченные, возрастающие и убывающие функции. Если вы умеете решать 12-й и 7-й номера из ЕГЭ, то вам повезло – все необходимое для решения инструменты уже у вас в руках. А те, кто не умеет считать производные, то настоятельно рекомендуем сначала разобраться с первой частью экзамена и только потом переходить на более сложные задачи, такие, как №17.
Основной подход к решению заключается в следующем. Необходимо составить функцию, задающую нужную зависимость – если нужно найти максимальную или минимальную прибыль, значит это должна быть функция, описывающая прибыль, если нужен максимальный выпуск продукции на заводе, значит функция должна задавать количество продукции выпускаемой заводом, нужно найти оптимальное расстояние – наша функция будет описывать расстояние. Внимательно, функция может зависеть сразу от нескольких переменных. После того, как вы смогли записать функцию, нам предстоит ее исследовать.
На самом деле, тут нет какой-то сухой теории, которую можно прочить и научиться решать задачи на оптимальный выбор. Поэтому давайте учиться на примерах. Сначала разберем простые, поймем алгоритм решения, а потом перейдем к более сложным, которые могут встретиться на экзамене.
Пример 1
Пусть у Василия есть завод, который выпускает спичечные коробки. Расходы на производство одного коробка 1 руб, а продает он их за 5 руб. В итоге с каждого коробка Василий получает прибыль 4 руб. Давайте разберемся, сколько нужно производить коробков, чтобы прибыль была наибольшей, если (Х) работников завода может производить в месяц ( N=-left(x-10right)^{2}+500) коробков.
И так, согласно условию задачи, если на заводе Х работников, то они производят ( N=-left(x-10right)^{2}+500) коробков.
А какая прибыль (P) с такого количества? Ответ очевиден, нужно просто прибыль (4 руб) с одного коробка умножить на количество произведенных коробков: ( P=4*(-left(x-10right)^{2}+500)).
Давайте посмотрим при каком количестве работников прибыль Василия будет максимальна. Или другими словами при каком (Х) будет наибольшим (Р). Такое задание часто встречается в 12-м номере ЕГЭ, нужно просто исследовать нашу зависимость прибыли ( P=4*(-left(x-10right)^{2}+500)) от (Х) и найти экстремумы.
Напомню, что функция принимает наибольшее или наименьшее значения в точках, где ее производная равна 0. Значит ищем производную от (Р) и приравниваем к 0.
$${P}^{’}=(4*(-left(x-10right)^{2}+500))^{‘}= 4cdotleft(-2right)cdotleft(x-10right)$$
Приравниваем (0):
$$4cdotleft(-2right)cdotleft(x-10right)=0$$
И ищем (Х), при котором производная равна (0):
$$ X=10.$$
Что мы такое нашли? При этом значении (Х) (количестве рабочих) прибыль будет либо максимальна, либо минимальна. Это точка экстремума, а какая именно, мы пока не знаем.
Давайте это определим. Напоминаю, если производная отрицательная, то функция убывает, если положительна, то возрастает. Если подставить значения меньшее (10) в нашу производную, например (1):
$$ 4cdotleft(-2right)cdotleft(x-10right) = 4cdotleft(-2right)cdotleft(1-10right)=4*18=72$$
Значение производной получилось больше 0:
$$ {P(x<10)}^{‘}>0$$
Значит при (Х<10) функция возрастает, а при (Х>10) убывает. А значит (Х=10) – это максимум. Мы получили, что максимальная прибыль будет, если на производстве будет задействовано всего 10 рабочих. Как так может быть? Казалось бы, чем больше рабочих, тем больше продукции выпускает завод, а значит и больше прибыль. Но в реальной жизни все не так просто – размеры завода ограничены, и если там будет слишком много людей, то они просто будут мешать друг другу делать свою работу, в результате выпуск продукции начнет снижаться или поднимутся расходы на производство.
Вернемся к задаче, а какая будет максимальная прибыль? Просто подставим (Х=10) в функцию для прибыли:
$$ P=4*(-left(x-10right)^{2}+500)= 4*(-left(10-10right)^{2}+500)=4*500=2000 руб. $$
Только что мы решили первую задачу на оптимальный выбор.
Разберем следующий пример:
Пример 2
Пусть опять у нас есть завод, на котором расходы на производство (y) автомобилей составляет (Q=0,5y^2+y+7) миллионов рублей в месяц. Если продавать каждый автомобиль за (S) тысяч рублей, то при продаже всех произведенных за месяц автомобилей завод получит доход (S*y), а заработает на этом прибыль (доходы минус расходы) — (S*y-Q). Какую наименьшую цену продажи (S) нужно установить, чтобы за 3 месяца завод получил прибыль 75 миллионов рублей?
Первым делом давайте составим функцию, описывающую зависимость прибыли от количества произведенной продукции и цены продажи, которую мы должны установить. Сразу 2 неизвестные!
И так, чтобы посчитать прибыль (P(y,S)), зависящую от (у) и (S), нам нужно стоимость продажи одного автомобиля (S) умножить на количество проданных машин (у), получим общий доход, и вычесть все расходы (Q), которые мы понесли при производстве (в условии, кстати, это написано — подсказка):
$$P(x,S)=S*y-Q=S*y-(0,5*y^2+y+7)=-0,5y^2+(S-1)y-7$$
Проанализируем полученное выражение. Это квадратный многочлен. Если построить график относительно (у), то это уравнение параболы. Как анализировать квадратные многочлены, можно посмотреть тут.
Так как коэффициент перед (y^2) отрицательный, то ветки параболы направлены вниз. То есть, наибольшее значение нашей функции будет в вершине параболы. Можно по известным формулам найти вершину и значение функции и в ней, это и будет максимальное значение. А можно пойти по старому пути, как в примере 1, и посчитать производную. Число (S) будем считать просто за константу, то есть берем производную относительно (у):
$$ {P(x,S)}^{’}={(-0,5y^2+(S-1)y-7)}^{’}=-y+S-1; $$
Приравниваем производную нулю, чтобы найти точки экстремума:
$$-y+S-1=0;$$
$$y=S-1;$$
Так как график исходной функции парабола с ветками вниз, то это точка максимума функции (P(x,S)). Подставим (y=S-1) в нашу функцию:
$$ P(x,S)=-0,5*y^2+(S-1)y-7=-0,5(S-1)^2+(S-1)(S-1)-7=frac{(S-1)^2}{2}-7; $$
Мы получили — какую максимальную прибыль мы можем заработать в зависимости от (S). Другими словами, подставляя различные значения стоимости автомобиля в нашу функцию, получим максимальную прибыль при данной стоимости продажи.
По условию задачи общая прибыль за 3 месяца должна быть не меньше чем 75 миллионов рублей. Запишем это в виде неравенства:
$$ {3*P(S)}_{max}=3*frac{(S-1)^2}{2}-7 ge 75; $$
Осталось только решить это неравенство:
$$(S-1)^2ge64;$$
$$(S-9)(S+7)ge0;$$
(S) отрицательным быть не может, что это тогда за бизнес, где цена продаваемой продукции отрицательна. А значит при (S ge9) прибыль завода будет больше 75 миллионов рублей.
Пример 3
Решим задачу на оптимизацию расстояния:
Два мотоциклиста подъезжают к перекрестку по двум перпендикулярным дорогам. Первый едет со скоростью 40 км/ч и до перекрестка ему осталось ехать 5 км, а скорость второго 30км/ч и ехать до перекрестка 3 км. Через какое время расстояние между мотоциклистами будет наименьшим?
Для решения задачи нам понадобится теорема Пифагора, ведь мотоциклисты едут по взаимно перпендикулярным дорогам, а значит расстояние между ними — это гипотенуза прямоугольного треугольника, а катеты – это расстояния от каждого мотоциклиста до перекрестка.
Пусть мотоциклисты уже находятся в пути (t) часов. Тогда первый проедет расстояние:
$$S=v*t=40t;$$
До перекрестка осталось ехать
$$S_1=5-40t;$$
А второму:
$$S_2=3-30t;$$
Мы получили прямоугольный треугольник с катетами (S_1) и (S_2). По теореме Пифагора выведем функцию, задающую расстояние между мотоциклистами:
$$L=sqrt{(5-40t)^2+(3-30t)^2}=sqrt{25-400t+1600t^2+9-180t+900t^2}=sqrt{2500t^2-580t+34};$$
Согласно условию задачи, нужно найти такое время (t), чтобы расстояние (L) было наименьшим. Для этого опять возьмем производную и исследуем функцию (L) на экстремум:
$$ {L}^{’}=frac{1}{2*sqrt{2500t^2-580t+34}}*(5000*t-580); $$
Приравниваем нулю:
$$5000*t-580=0;$$
$$t=frac{580}{5000}=frac{29}{250} часа;$$
Так как при (t) меньшем этого числа производная функции отрицательна, а при большем – положительна, то получаем точку минимума и, что расстояние между мотоциклистами будет наименьшим через (frac{29}{250}) часа, это и требовалось найти.
Если бы в задаче нас попросили еще найти это расстояние, то нужно подставить (t=frac{29}{250}) в функцию расстояния (L):
$$L(t=frac{29}{250})=sqrt{(5-40*frac{29}{250})^2+(3-30*frac{29}{250})^2}=(frac{3}{5})км$$
15 февраля 2023
В закладки
Обсудить
Жалоба
Задачи на оптимизацию
№15 профильного ЕГЭ по математике.
zadachi_na_optimizatsiyu.pdf
Задачи из видео
1. К 800-летию Нижнего Новгорода идёт активное облагораживание города. На обновление брусчатки одной из пешеходных улиц было выделено 412 500 рублей. К выполнению работ было приглашено две бригады. Один день работы каждой из бригад стоит 3300 рублей. Известно, что первая бригада за x дней выкладывает 60√x м2 брусчатки, а вторая бригада выкладывает 120√x м2. Какое наибольшее количество брусчатки удастся выложить при оптимальном распределении бюджета?
2. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x2 + 2x + б млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px — (0,5x2 + 2x + б). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года?
3. На счёт, который вкладчик имел в начале первого квартала, начисляется в конце этого квартала r1 процентов, а на тот счёт, который вкладчик имел в конце второго квартала, начисляется в конце этого квартала Т2 процентов, причём r1 + r2 = 150. Вкладчик положил на счёт в начале первого квартала некоторую сумму и снял в конце того же квартала половину этой суммы. При каком значении r1 счёт вкладчика в конце второго квартала окажется максимально возможным?
Задачи для самостоятельного решения
1. Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наименьшее значение.
2. Записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
3. Строительство нового завода стоит 132 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x2 + 5x + 17 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px(0,5x2+5x+17). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 4 года?
4. Зависимость количества Q (в шт 0 ≤ Q ≤ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 — P. Затраты на производство Q единиц товара составляют 6000Q + 4000000 рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей (0 < t < 10000) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет PQ — 6000Q — 4000000 — tQ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей.
Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?
Источник: vk.com/j_math
«Экономические»
задачи на нахождение наибольших и наименьших значений функций
Нахождение точек максимума и минимума
функций, а также их наибольших или наименьших значений. На этот раз – в задачах
с экономическим содержанием. В экономике это задачи максимизации прибыли или
оптимизации издержек бизнеса – и многие другие. Многие из них решаются с
помощью производной.
1. Для
оплаты труда маляров, красящих ограждений в городе, управляющая компания
выделила 80 тысяч рублей. Работы согласились выполнить две бригады, «Кисточка»
и «Валик». Известно, что день работы каждой из бригад стоит 1000 рублей, но при
этом «Кисточка» за х дней работы красит 100√х квадратных метров ограждений, а
«Валик» за х дней красит 200√х кв.м ограждений. Сколько кв.м ограждений
получится покрасить при оптимальном распределении финансирования между
бригадами?
Сюжет прост: кажется, что
у задачи есть очевидное решение. Бригада «Валик» работает в 2 раза быстрее
«Кисточки». Может быть, вообще не приглашать медлительную «Кисточку» и отдать
заказ «Валику»? Получая 1000 рублей в день, «Валик» за 80 дней покрасит 200√80
кв.м. Но не надо спешить с выводами.
2. В
распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человека. Их нужно
распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t²
у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t²
у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их
суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придётся
заплатить рабочим?
Обратите внимание, что в
этой задаче переменная t – это не время!
Здесь t
– некий параметр, через который выражены количество работающих на объекте
человек и их суточная зарплата.
Решение задачи № 2
основано на решении задания № 3 из ДЗ
3. Строительство
нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тысяч единиц
продукции на таком заводе равны 0,5х²+2х+6 млн рублей в год. Если продукцию
завода продать по цене р тыс.рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн
рублей) за один год составит рх-(0,5х²+2х+6). Когда завод будет
построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль
была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода
окупиться не более, чем за 3 года?
Чтобы прибыль за три года
составила не менее 78 млн рублей, необходимо, чтобы каждый год прибыль была не
менее 26 млн рублей. Это значит, что должно выполнятся неравенство:
Д/З:
1. Производство
х тыс. единиц продукции обходится в q=0,5х²+7х+12
млн рублей в год. При цене р тыс. рублей за единицу годовая прибыль от
продаж этой продукции (в млн рублей) составляет рх-q.
При каком наименьшем значении р через четыре года суммарная прибыль
может составить не менее 344 млн рублей? Ответ: 21
2. Строительство
нового завода стоит 159 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед.
продукции на таком заводе равны 0,5х²+2х+6 млн рублей в год. Если продукцию
завода продать по цене р тыс. рублей, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один
год составит рх-(0,5х²+2х+6). Когда завод будет построен, фирма будет
выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом
в первый год р=10, а далее каждый год возрастает на 1. За сколько лет окупиться
строительство? Ответ: 4 года.
3. У
фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно
выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой
пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на
втором – 300 ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на
втором – 500 ц/га.
Фермер
может продать картофель по цене 5000 рублей за центнер, а свеклу – по цене 8000
рублей за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер? Ответ: 65 млн.
рублей
4. Консервный
завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары – стеклянной и жестяной. Производственные
мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной
таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности,
которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно
быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и
отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.
|
Вид тары |
Себестоимость 1 центнера |
Отпускная цена 1 центнера |
|
Стеклянная |
1500 руб. |
2100 руб. |
|
Жестяная |
1100 руб. |
1750 руб. |
Предполагая,
что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите
максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница
между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).
5. Зависимость
объёма Q
(в штуках) купленного у фирмы товара от цены Р (в рублях за штуку) выражается
формулой Q = 15 000 – Р, где
1000≤Р≤15000. Доход от продажи товара составляет PQ
рублей. Затраты на производство Q
единиц товара составляют 3000Q+5000000
рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его
производство.
Стремясь
привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако её
прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену,
чтобы добиться наибольшей прибыли?
Д/З:
№
4 Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся
абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе,
используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на
заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4t³
часов в неделю, то за эту неделю они производят t
приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся
суммарно t³ часов в неделю, они
производят t приборов.
За
каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу
рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую
наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда
рабочих?
На этой странице вы узнаете
- Как между двумя товарами выбрать наиболее выгодный?
- Что можно выразить с помощью функции?
- Каким способом можно решать задачи на оптимизацию, не прибегая к параболе?
Что выгоднее: купить упаковку чипсов весом 210 граммов за 150 рублей или упаковку весом 90 граммов за 70 рублей? Сегодня мы узнаем, что удачные покупки — это не только товары по скидке или два по цене одного. Заодно разберем одну из важных тем в экономике.
Оптимизация
С задачами на оптимальный выбор мы сталкиваемся чаще, чем может показаться на первый взгляд. Когда в магазине пытаемся немного сэкономить деньги, когда ищем лучшую модель гаджета по соотношению цена – качество. При любой покупке нам хочется получить выгоду, и задачи на оптимизацию как раз про это.
Вернемся к чипсам. Может показаться, что купить маленькую пачку чипсов выгоднее: она дешевле. Но что если посмотреть на стоимость одного грамма?
Для маленькой пачки получим (frac{70}{90} approx 0,78) рублей за грамм.
А для большой пачки: (frac{150}{210} approx 0,71) рублей за грамм.
Получается, что в большой пачке один грамм чипсов стоит немного дешевле, чем в маленькой. То есть выгоднее купить большую пачку.
Если товары не отличаются по качеству, но отличаются по цене, то достаточно найти, сколько стоит одна единица измерения (грамм, метр, количество). Наиболее выгодным товаром будет тот, единица которого стоит дешевле.
В чем заключаются задачи на оптимизацию? Решим пример, который поможет лучше понять всю суть задач на оптимизацию.
Пример 1. Среди прямоугольников с периметром p найти прямоугольник с наибольшей площадью.
Решение. Вспомним, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле S = xy, где x, y – его стороны.
Периметр находится по формуле p = 2x + 2y.
Выразим y:
(y = frac{p − 2x}{2}).
Теперь подставим полученное значение в формулу площади:
(S = frac{p — 2x}{2} * x = frac{px — 2x^2}{2} = −x^2 + frac{p}{2} * x)
Заметим: у нас получилось уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Условно изобразим ее. Подробнее, почему мы нарисовали параболу именно так, можно прочесть в статье «Основные элементарные функции».
Представим, что вместо параболы мы сложили слитки золота. Если мы возьмем золото только из нижнего ряда, то получим всего 4 слитка. Если все, что ниже второго, то уже 4 + 3 = 7. Чтобы получить максимум золота, нам нужно собрать все слитки от самого верхнего ряда.
Тогда, чтобы получить наибольшую площадь, нам нужно взять значение х в верхней точке параболы, то есть в ее вершине.
Найдем вершину параболы по формуле:
(x_в = frac{−b}{2a} = frac{−frac{p}{2}}{−2} = frac{p}{4})
Вспомним, что (y = frac{p − 2x}{2} = frac{p}{2} − x) и подставим полученное ранее значение х, следовательно, (y = frac{p}{2} − frac{p}{4} = frac{p}{4}).
Получаем, что (x = y = frac{p}{4}), а значит, наибольшая площадь будет достигаться, если прямоугольник будет квадратом.
Ответ: квадрат со стороной (frac{p}{4}).
Задания на оптимизацию являются одним из видов задач, которые могут встретиться в ЕГЭ по профильной математике в №15.
Задание 15 дает целых два первичных балла, а значит, нужно быть готовым ко всему, чтобы обязательно получить эти баллы на экзамене.
Подходы к оптимизации
Для каждой задачи или загадки нужен свой подход, идея. Какие идеи заложены в задачи по оптимизации?
- Необходимо понять, от каких величин зависит искомая переменная, чтобы найти ее максимальное или минимальное значение.
- Необходимо сократить количество неизвестных переменных в полученной зависимости.
- Исследовать полученную зависимость и найти наибольшее или наименьшее значение.
Решим несколько задач, чтобы понять на практике все идеи.
Пример 2.
Вика владеет двумя цветочными магазинами в городах Е. и П. В магазинах продают одинаковую продукцию, однако магазин в городе П. использует более современные технологии. Работники магазина в городе Е. трудятся t2 часов в неделю и за эту неделю производят 3t единиц продукции. Работники магазина в городе П. трудятся t2 часов в неделю и за эту неделю производят 6t единиц продукции.
За каждый час работы Вика платит сотрудникам 500 рублей. Но перед сотрудниками стоит важная задача: еженедельно они должны производить 300 единиц продукции. Какую наименьшую сумму может выплачивать Вика сотрудникам?
Решение.
Переведем задачу с языка математики.
Например, в магазине в городе Е. работает два флориста. Первый работает по 8 часов в день с понедельника по пятницу, а второй по 10 часов в день с понедельника по субботу. Всего они еженедельно будут работать 8 * 5 + 10 * 6 = 100 часов.
По условию эти 100 часов будут равны t2. Мы можем найти (t = sqrt{100} = 10). Сколько единиц продукции будут производить эти флористы? Из задачи следует, что это 3t = 3 * 10 = 30.
А сколько заработают за эту неделю флористы? Вместе их зарплата составит 500 * 100 = 50000 рублей.
Так можно проследить зависимость одной переменной от другой.
Перейдем к решению задачи.
Шаг 1. У нас есть два магазина, в которых работает неизвестное количество сотрудников неизвестное количество времени. Что делать, если мы чего-то не знаем? Вводить переменную.
Введем переменную на время работы сотрудников. В этом случае нам неважно, сколько их и как долго работает каждый. Мы берем все их часы суммарно.
Пусть в городе Е. сотрудники работают x2 часов в неделю, а в городе П. сотрудники работают y2 часов в неделю.
Для удобства составим небольшую таблицу.
| Город | Е. | П. |
| Время работы сотрудников | x2 | y2 |
| Количество произведенной продукции | ||
| Сумма зарплаты |
Следующую строку, которую необходимо заполнить — это количество произведенной продукции. По условию в городе Е. за x2 часов произведут 3x единиц товара, а в городе П. за y2 часов произведут 6y единиц товара.
| Город | Е. | П. |
| Время работы сотрудников | x2 | y2 |
| Количество произведенной продукции | 3x | 6y |
| Сумма зарплаты |
А какую зарплату Вика должна выплатить сотрудникам? Для этого необходимо количество часов умножить на ставку за час.
| Город | Е. | П. |
| Время работы сотрудников | x2 | y2 |
| Количество произведенной продукции | 3x | 6y |
| Сумма зарплаты | 500x2 | 500y2 |
Шаг 2. Пусть S — сумма, которую Вика выплачивает сотрудникам. Получаем уравнение:
S = 500(x2 + y2)
Также следует вспомнить о целях, которые поставила Вика: еженедельно должно производиться 300 единиц товара, следовательно, 3x + 6y = 300. Выразим из этого уравнения y:
(y = frac{300 − 3x}{6} = 50 − 0,5x)
Шаг 3. Теперь можно подставить значение у в первое уравнение:
S = 500(x2 + (50 − 0,5x))2 = 500(x2 + (2500 − 50x + 0,25x2)) = 500(1,25x2 − 50x + 2500)
Получаем, что S = 625x2 − 25000x + 1250000.
Шаг 4. Заметим, что это парабола с ветвями вверх, поскольку коэффициент перед x2 положителен. Изобразим ее условный график.
Наименьшее значение достигается в вершине параболы. Найдем ее.
Шаг 5. (x_в = frac{−b}{2a} = frac{25000}{2 * 625} = 20)
Шаг 6. Вычислим значение у:
y = 50 − 0,5x = 50 − 0,5 * 20 = 50 − 10 = 40.
Шаг 7. Вика должна выплачивать еженедельно:
S = 500(202 + 402) = 500(400 + 1600) = 500 * 2000 = 1000000 рублей.
Ответ: 1000000 рублей.
Кажется, Вике стоит пересмотреть свою бизнес-модель…
Возможности функции наиболее полно раскрываются именно в задачах на оптимизацию. В них функция перестает быть абстрактными переменными и становится реально существующими вещами.
С помощью функции можно выразить что угодно: сумму выплат, количество часов работы, площадь участков и так далее.
Алгоритм решения задач на оптимизацию
Итак, перед нами уже складывается алгоритм решения задач на оптимизацию. Распишем его чуть подробнее.
Шаг 1. Выделить значение, которое необходимо найти, и выразить его с помощью переменной.
Шаг 2. Выразить неизвестные значения через другую переменную. Составить уравнение.
Шаг 3. Составить функцию y = f(x) — это математическая модель.
Шаг 4. Исследовать полученную функцию.
Чтобы закрепить алгоритм в памяти, обратимся к следующему примеру.
Пример 3.
Городские власти собрали команду художников из 44 человек, которые должны расписать два объекта в городе. Если на первом объекте работает t художников, то власти должны выплатить им 5t2 тысяч рублей. Если на втором объекте работает t художников, то власти должны выплатить им t2 тысяч рублей. Как нужно распределить художников по объектам, чтобы власти города выплатили им наименьшую сумму? Сколько тысяч рублей власти города должны будут заплатить в этом случае?
Решение.
Шаг 1. Мы не знаем, сколько человек работает на каждом объекте — то есть получаем неизвестные переменные.
Мы можем выразить количество художников на каждом объекте через х и у. Тогда x + y = 44. Можно ли сократить количество переменных?
Отвлечемся на минутку и решим небольшую задачу. Перед котом разложили 5 игрушек, некоторыми из которых он поиграл. Сколько игрушек остались нетронутыми?
Если кот поиграл х игрушками, то нетронутыми останутся (5−x) игрушек. Например, при x=3 получим, что нетронутыми останутся 2 игрушки.
Применим аналогичные рассуждения к задаче. Было 44 художника, из них х отправились работать на первый объект. Сколько художников отправится работать на второй объект? Получим (44−x).
Шаг 2. Найдем, какую зарплату необходимо будет выплатить художникам на каждом объекте.
Поскольку на первом объекте работает х человек, по условию им необходимо выплатить 5x2 тысяч рублей.
Поскольку на втором объекте работает (44 − x) человек, им необходимо выплатить:
(44 − x)2 = 1936 − 88x + x2.
В сумме власти города должны будут выплатить:
5x2 + 1936 − 88x + x2 = 6x2 − 88x + 1936 тысяч рублей.
Шаг 3. Это парабола с ветвями вверх, ее наименьшее значение достигается в вершине.
(x_в = frac{−b}{2a} = frac{88}{12} = 7frac{1}{3})
Шаг 4. В этом моменте необходимо задуматься: может ли х принимать нецелые значения? По условию нет, поскольку за х мы взяли количество человек. Ситуация, когда один и тот же человек на треть находится на одном объекте, а другая его часть на другом, невозможна ни с биологической, ни с физической точки зрения. Значит, х — целое число.
Как быть в этом случае? Рассмотрим параболу, начертив ее условный график.
Заметим, что чем дальше будет располагаться значение х от вершины параболы, тем больше будет сумма выплат. Нам необходимо найти сумму выплат в ближайших от вершины целых значениях х.
Есть ещё и шаг 5. Поскольку вершина лежит в точке (7frac{1}{3}), получаем два случая: x = 7, x = 8.
При x = 7 власти выплатят художникам
6 * 72 − 88 * 7 + 1936 = 294 − 616 + 1936 = 1614 тысяч рублей.
При x = 8 власти выплатят художникам
6 * 82 − 88 * 8 + 1936 = 384 − 704 + 1936 = 1616 тысяч рублей.
Наименьшая возможная сумма выплат художникам — это 1614 тысяч рублей.
Ответ: 1614.
Поскольку мы ищем наибольшее или наименьшее значение функции, мы можем прибегнуть к исследованию функции с помощью производной. Она пригодится в задачах, где заданная функция не является параболой.
Фактчек
- В задачах на оптимизацию необходимо найти наилучшее решение для заданной ситуации: наименьшую сумму выплат, наибольшую производительность и так далее.
- Чтобы решить задачи на оптимизацию, необходимо следовать алгоритму и идеям, которые в них заложены.
- Идея 1: необходимо понять, от каких величин зависит искомая переменная, чтобы найти ее максимальное или минимальное значение.
- Идея 2: необходимо сократить количество неизвестных переменных в полученной зависимости.
- Идея 3: исследовать полученную зависимость и найти наибольшее или наименьшее значение.
- В задачах на оптимизацию очень часто встречается функция, которая задает ситуацию из условия. Для ее исследования можно прибегнуть к графикам или производной.
Проверь себя
Задание 1.
Что выгоднее купить: большую или маленькую порцию картошки фри? В большой порции 150 грамм, а стоит она 80 рублей. В маленькой порции 70 грамм, а стоит она 60 рублей.
- большую порцию
- маленькую порцию
- порции одинаковы по выгоде
- невозможно определить
Задание 2.
Дана парабола с ветвями, направленными вверх. В какой точке достигается ее наименьшее значение?
- при x=0
- при y=0
- в вершине параболы
- невозможно определить
Задание 3.
Выплаты зарплаты работникам в фирме Огонек считается по формуле x2 − 24x + 1000, где х — количество отработанных часов. Какую наименьшую зарплату может выплатить фирма?
- 12
- 100
- 856
- 1
Задание 4.
В зависимости от условий, на поле может вырасти ((−2a^2+60a+300)) килограмм урожая, где a — скорость роста культур. Какое наибольшее количество килограмм может вырасти на поле?
- 300
- 750
- 15
- 1000
Ответы: 1. — 1; 2. — 3; 3. — 3; 4. — 2.
Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+
АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).
ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.
ЕГЭ Профиль №15. Экономические задачи на оптимизацию
Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №15. Экономические задачи на оптимизацию
1В. В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ? 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
ОТВЕТ: В одном классе ― 22 девочки, в другом ― 3 девочки и 20 мальчиков.
2В. В 1-е классы поступает 43 человека: 23 мальчика и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ? 21. После распределения посчитали процент мальчиков в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
ОТВЕТ: В одном классе ― 21 мальчик, в другом ― 20 девочек и 2 мальчика.
3В. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
4В. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га. Фермер может продать картофель по цене 5 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
5В. В двух шахтах добывают алюминий и никель. На первой шахте имеется 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться 6 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 3 кг никеля. На второй шахте имеется 180 рабочих, каждый из которых готов трудиться 6 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
6В. В двух шахтах добывают алюминий и никель. На первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. На второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
7В. Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами начинки: ягодная и творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.
Для выполнения условий ассортимента, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от производства блинчиков за 1 месяц (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).
8В. Завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары—стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортимента, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.
Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).
9В. Предприятие непрерывного цикла выпускает изделия двух типов. Для изготовления изделия первого типа требуется 15 часов работы цеха А и 10 часов работы цеха Б, а для изготовления изделия второго типа требуется 5 часов работы цеха А и 20 часов работы цеха Б (цеха могут работать над изделием в любой последовательности). По техническим причинам цех А может работать не более 150 часов в неделю, а цех Б — не более 100 часов в неделю. Каждое изделие первого типа приносит предприятию 5 000 д. е. прибыли, а каждое изделие второго типа — 4 000 д. е. прибыли. Найдите наибольшую возможную еженедельную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует еженедельно выпускать для получения этой прибыли.
ОТВЕТ: 10 изделий первого типа; 0 изделий второго типа; максимальная прибыль равна 50 000 д.е.
10В. Предприятие непрерывного цикла выпускает изделия двух типов. Для изготовления изделия первого типа требуется 30 часов работы цеха А и 20 часов работы цеха Б, а для изготовления изделия второго типа требуется 10 часов работы цеха А и 40 часов работы цеха Б (цеха могут работать над изделием в любой последовательности). По техническим причинам цех А может работать не более 600 часов в месяц, а цех Б — не более 400 часов в месяц. Каждое изделие первого типа приносит предприятию 15 000 д. е. прибыли, а каждое изделие второго типа—12 000 д. е. прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует ежемесячно выпускать для получения этой прибыли.
ОТВЕТ: 20 изделий первого типа; 0 изделий второго типа; максимальная прибыль равна 300 000 д.е.
11В. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 4 000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 5 000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму (в рублях) сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?
12В. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2 000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4 000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму (в рублях) сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?
13В. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть номера категории Б площадью 20 квадратных метров и номера категории А площадью 25 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1 015 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Номер категории Б будет приносить отелю 3 000 рублей в сутки, а номер категории А — 4 000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму (в рублях) сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель? Сколько номеров категории Б и сколько номеров категории А будет в таком отеле?
ОТВЕТ: 162 000 рублей; номеров категории А – 39, категории Б — 2.
14В. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть номера категории Б площадью 15 квадратных метров и номера категории А площадью 18 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 732 квадратных метра. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Номер категории Б будет приносить отелю 4 000 рублей в сутки, а номер категории А — 5000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму (в рублях) сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель? Сколько номеров категории Б и сколько номеров категории А будет в таком отеле?
ОТВЕТ: 203 000 рублей; номеров категории А – 39, категории Б — 2
15В. Баржу грузоподъёмностью 134 тонны используют для перевозки контейнеров типов А и В. По условиям договора количество перевозимых контейнеров типа А должно составлять не более 80% количества перевозимых контейнеров типа В. Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн руб., контейнера типа В — 5 тонн и 7 млн руб. соответственно. Найдите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн руб.) всех контейнеров, которые можно перевезти при данных условиях. Укажите число контейнеров типа А и число контейнеров типа В, которые нужно перевезти для получения наибольшей возможной суммарной стоимости.
ОТВЕТ: 220; 16 контейнеров типа А; 20 контейнеров типа В.
16В. Баржу грузоподъёмностью 180 тонн используют для перевозки контейнеров типов А и В. По условиям договора количество перевозимых контейнеров типа А должно составлять не более 75% количества перевозимых контейнеров типа В. Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 3 тонны и 3 млн руб., контейнера типа В — 7 тонн и 5 млн руб. соответственно. Найдите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн руб.) всех контейнеров, которые можно перевезти при данных условиях. Укажите число контейнеров типа А и число контейнеров типа В, которые нужно перевезти для получения наибольшей возможной суммарной стоимости.
ОТВЕТ: 139; 13 контейнеров типа А; 20 контейнеров типа В.
17В. Сергей является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5 t единиц товара, а если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 12 t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Сергей платит рабочему 400 рублей. Сергей готов выделять 608 400 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
18В. Владлен является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 6t единиц товара, а если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 8t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владлен платит рабочему 300 рублей. Владлен готов выделять 1 920 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
19В. Зинаида является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 8t единиц товара, а если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 15t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Зинаида платит рабочему 600 рублей. Зинаиде нужно каждую неделю производить 578 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?
20В. Федор является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара, а если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Федор платит рабочему 400 рублей. Федору нужно каждую неделю производить 225 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?
21В. Производство x тыс. единиц продукции обходится в (q = 0,5{x^2} + x + 7) млн. рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу продукции годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет (p,x — q). Завод выпускает продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн рублей?
22В. Производство x тыс. единиц продукции обходится в (q = 0,5{x^2} + 2x + 5) млн. рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу продукции годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет (p,x — q). Завод выпускает продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p через четыре года суммарная прибыль составит не менее 52 млн рублей?
23В. Макар является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Макар платит рабочему 300 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе,—200 рублей. Макар готов выделять 30 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
24В. Станислав является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Станислав платит рабочему 400 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе,—300 рублей. Станислав готов выделять 84 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
25В. В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y2 человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?
26В. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
27В. Фёдор является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые изделия, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 25t3 часов в неделю, то за эту неделю они производят t изделий, и если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t3 часов в неделю, то они производят t изделий. За каждый час работы (на каждом из заводов) Фёдор платит рабочему 360 рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 30 изделий. Какую наименьшую сумму (в млн рублей) придётся тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
28В. Василий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые изделия, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 16t3 часов в неделю, то за эту неделю они производят t изделий, и если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t3 часов в неделю, то они производят t изделий. За каждый час работы (на каждом из заводов) Василий платит рабочему 250 рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 изделий. Какую наименьшую сумму (в млн рублей) придётся тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
29В. В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 25 человек. Их нужно распределить на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 3t2 д. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t2 д. е. Как нужно распределить на эти объекты рабочих бригады, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько д. е. при таком распределении придётся выплатить рабочим?
ОТВЕТ: 6 рабочих на 1-й объект, 19 рабочих на 2-й объект, зарплата 469 д е.
30В. В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 22 человек. Их нужно распределить на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t2 д. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t2 д. е. Как нужно распределить на эти объекты рабочих бригады, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько д. е. при таком распределении придётся выплатить рабочим?
ОТВЕТ: 4 рабочих на 1-й объект, 18 рабочих на 2-й объект, зарплата 388 д е.
31В. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны (0,5{x^2} + 2x + 6) млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит (p,x — left( {0,5{x^2} + 2x + 6} right)). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года?
32В. Строительство нового завода стоит 140 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны (0,4{x^2} + x + 5) млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит (p,x — left( {0,4{x^2} + x + 5} right)). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 4 года?
33В. Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь нарастить сумму налоговых поступлений, увеличило налог вдвое (до 2 t0 рублей за единицу товара), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после такого увеличения, чтобы добиться максимальных налоговых поступлений, если известно, что при налоге, равном t рублей за единицу товара, объём производства составляет 10 000 – 2 t единиц и это число положительно?
34В. Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь нарастить сумму налоговых поступлений за счёт увеличения производства товара, уменьшило налог вдвое (до (frac{{{t_0}}}{2}) рублей за единицу товара), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после такого уменьшения, чтобы добиться максимальных налоговых поступлений, если известно, что при налоге, равном t рублей за единицу товара, объём производства составляет 10 000 – 2 t единиц и это число положительно?
35В. Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t2 тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?
36В. Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t2 тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 30 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 20% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?
37В. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года (t;;left( {t = 1,;2,;3…} right)). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в (1 + r) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?
ОТВЕТ: (left( {frac{{43}}{{441}};frac{{41}}{{400}}} right))
38В. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 10 t тыс. рублей в конце года (t;;left( {t = 1,;2,;3…} right)). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в (1 + r) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце одиннадцатого года. При каких положительных значениях r это возможно?
ОТВЕТ: (left( {frac{1}{{11}};frac{1}{{10}}} right)).
39В. Зависимость количества Q (в шт., (0 leqslant Q leqslant 20;000)) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой (Q = 20;000 — P). Затраты на производство Q единиц товара составляют (6;000Q + 4;000;000) рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей (left( {0 < t < 10;000} right)) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет (PQ — 6;000Q — 4;000;000 — t,Q) рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна (t,Q) рублей. Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?
40В. Зависимость количества Q (в шт., (0 leqslant Q leqslant 15;000)) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой (Q = 15;000 — P). Затраты на производство Q единиц товара составляют (3;000Q + 1;000;000) рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей (left( {0 < t < 10;000} right)) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет (PQ — 3;000Q — 1;000;000 — t,Q) рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна (t,Q) рублей. Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?
41В. Зависимость объёма Q (в шт.) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой (Q = 15;000 — P,quad 1;000 leqslant P leqslant 15;000). Доход от продажи товара составляет РQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют (3;000Q + 5;000;000) рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену товара на 20%, однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?
42В. На счет, который Кирилл Николаевич имел в начале 1-го года, начисляется в конце этого года x процентов, а на тот счет, который Кирилл Николаевич имел в конце 2-го года y процентов, причем (x + y = 50% ). Кирилл Николаевич положил на счет в начале 1-го года некоторую сумму и добавил в конце 1-го года после начисления процентов десятую часть этой суммы. При каком значении x счет в конце 2-го года окажется максимальным?
43В. Лодка находится в точке Q озера, отстоящей от ближайшей точки A на берегу на 6 км. Лодочник должен попасть в точку B, находящуюся на берегу на расстоянии 11 км от A. Скорость лодки 3 км/ч, скорость ходьбы лодочника по берегу 5 км/ч. Лодочник подсчитал, что если он сперва доплывет до точки C, которая находится между A и B, а затем сразу же пешком направится в точку B, то на путь от Q до B он потратит наименьшее время. Найдите это время и расстояние от A до C, считая, что лодка движется прямолинейно и берег озера – прямая линия.
44В. Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние.
ОТВЕТ: (6frac{{24}}{{25}};) мин; (frac{3}{5};) км.
45В. (ЕГЭ 2019) Строительство нового завода стоит 159 млн. рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны (0,5{x^2} + 2x + 6) млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит (p,x — left( {0,5{x^2} + 2x + 6} right)). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. Цена продукции в первый год 10 тыс. рублей, а каждый следующий год увеличивается на 1 тыс. рублей. Через сколько лет окупится строительство завода?
46В. Евгений хочет купить пакет акций компании. 15 февраля он отложил определённую сумму денег и планирует откладывать такую же сумму денег 15 числа каждого месяца. Первого февраля пакет акций стоил 195 000 рублей. Первого числа каждого месяца пакет акций дорожает на 40 %. Какую наименьшую сумму нужно Евгению откладывать каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?
47В. Михаил хочет купить пакет акций компании. 15 февраля он отложил определённую сумму денег и планирует откладывать такую же сумму денег 15 числа каждого месяца. Первого февраля пакет акций стоил 160 000 рублей. Первого числа каждого месяца пакет акций дорожает на 25 %. Какую наименьшую сумму нужно Михаилу откладывать каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?
Текстовое решение задач:
| 1B | 2B | 3B | 4B | 5B | 6B | 7B | 8B | 9B | 10B |
| 11B | 12B | 13B | 14B | 15B | 16B | 17B | 18B | 19B | 20B |
| 21B | 22B | 23B | 24B | 25B | 26B | 27B | 28B | 29B | 30B |
| 31B | 32B | 33B | 34B | 35B | 36B | 37B | 38B | 39B | 40B |
| 41B | 42B | 43B | 44B | 45B | 46B | 47B |