Решение задач по теории вероятности егэ 2022 профильный уровень

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

1. Густав 11 июля 2022 23:16 |
   Цитировать |
   Ответить

   
   

   +1

   Задача 3 проще значительно решается. Общее число вариантов выбора 2 фломастеров из 25 — это число сочетаний из 25 по 2 и равно 25!/23!/2!=300. Общее число вариантов выбора синего и красного 10*9 (выбрав 1 синий, мы можем 9 способами выбрать красный, для 10 синих — число способов = произведение их количеств). 90/300=0.3

3511	Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,03. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными Решение	Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 5 Задание 4
3499	Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Биолог» выиграет жребий ровно два раза Решение	Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 3 Задание 4
3486	При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,93. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г Решение	При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 1 Задание 4
3450	Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что извлечённый наугад кубик будет иметь хотя бы одну окрашенную грань Решение	Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера ! Тренировочный вариант 397 от Ларина Задание 4
3315	Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45 % этих стёкол, вторая — 55 %. Среди стекол, произведенных на первой фабрике, 3 % имеют дефекты. Вторая фабрика выпускает 1 % дефектных стекол. Все стекла поступают в продажу в магазины запчастей. Найдите вероятность того, что случайно выбранное стекло окажется с дефектом Решение	Среди стекол, произведенных на первой фабрике, 3 % имеют дефекты ! Тренировочная работа №3 по Математике 11 класс 16.02.2022 Вариант МА2110311 Задание 10
3303	За круглый стол на 6 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 3 девочки. Найдите вероятность того, что рядом с любым мальчиком будут сидеть две девочки Решение	За круглый стол на 6 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 3 девочки ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 31 Задание 10
3302	В кафе на одной полке в случайном порядке стоят 50 чайных чашек: 30 зелёных, 10 красных и 10 синих. На другой полке в случайном порядке стоят 50 блюдец: 30 зелёных, 10 красных и 10 синих. Найдите вероятность того, что случайно выбранные чашка и блюдце будут одинакового цвета Решение	Найдите вероятность того, что случайно выбранные чашка и блюдце будут одинакового цвета ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 30 Задание 10
3293	Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии играют фигурами другого цвета. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза Решение	Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5 ! Тренировочная работа №1 по МАТЕМАТИКЕ 10-11 класс 27.01.2022 Вариант МА2100109 Задание 10
3284	В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,7 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно Решение	В магазине три продавца ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 27 Задание 10
3278	Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов. Известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно четыре мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно три мишени»? Решение	Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно четыре мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно три мишени» ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 26 Задание 10

Показана страница 1 из 14

Практика по заданию №2 ЕГЭ 2022 по математике профильного уровня — классическое определение вероятности.

Для выполнения задания №2 необходимо умение решать простейшие задачи по теории вероятностей.

Практика

Примеры заданий:

1. В чемпионате по гимнастике участвуют 56 спортсменок: 27 из Норвегии, 15 из Дании, остальные из Швеции. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Швеции.

2. Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 46 спортсменов, среди которых 28 спортсменов из России, в том числе Дмитрий Тоснин. Найдите вероятность того, что в первом туре Дмитрий Тоснин будет играть с каким либо спортсменом из России.

3. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 80 докладов – первые два дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

4. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 150 качественных сумок приходится 14 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

5. В сборнике билетов по химии всего 15 билетов, в 6 из них встречается вопрос по теме «Кислоты». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Кислоты».

Связанные страницы:



В статье автор разбирает решение одной из новых задач по теории вероятностей, введённой в ЕГЭ-2022. Рассматриваются как классический вариант решения, не приводящий к решению, так и альтернативные, которые оказываются наиболее оптимальными. Приводятся аргументы, критикующие повышенную сложность данной задачи относительно стандартов школьной программы.

Ключевые слова:



ЕГЭ, теория вероятностей, числа Каталана, задача о пьянице, бесконечная сумма.

В 2022 году, в первой части профильного ЕГЭ по математике будет впервые присутствовать 2 задачи на теорию вероятностей. Первая задача (номер 2) не изменится, а вторая (номер 10), по нашему мнению, будет в разы сложнее. Это задача требует более глубокого анализа, и включает несколько шагов, для получения верного ответа. Пример данных задач, был опубликован на официальном сайте «Открытый банк задач ЕГЭ по математике».

Несмотря на то, что это первая часть экзамена (размышление над задачами которой, подразумевает порядка 5 минут времени), здесь встречаются задачи, которые могут быть сложнее всей содержательной части ЕГЭ. Рассмотрим пример одной из таких задач.

«Первый член бесконечной последовательности целых чисел равен 0. Каждый последующий член данной последовательности с вероятностью

на единицу больше предыдущего, и с вероятностью

меньше предыдущего. Найдите вероятность того, что среди членов этой последовательности можно найти число

» [1].

Есть множество вариантов попадания в

. Рассмотрим некоторые из них (рис.1):

Рис. 1. Математическая модель задачи

1. Возможно, попасть в

   

   с первого хода. Тогда вероятность равна

   

2. 

   , тогда вероятность равна:

   

3. 

   или

   

   . Здесь, вероятность равна:

   

   .

Но что делать дальше? Ведь этим можно заниматься бесконечно! Начнём с классического способа, заключающегося в нахождении бесконечной суммы ряда (что не входит в школьную программу, за одним исключением — суммы бесконечно-убывающей геометрической прогрессии).

Итак, посчитаем сумму вероятностей попадания в

.

1. Вероятность попасть из

   

   в

   

   =

   

2. Можно из

   

   попасть в

   

   , а затем спуститься в

   

   . Вероятность будет равна

   

3. Попасть в

   

   можно также с вероятностью:

   

Так можно считать до бесконечности. Получаем следующее выражение:

Нахождение способов подняться до

, а потом спустить до

уже вызывает проблемы. В связи с этим просто посчитать сумму ряда, по крайней мере со знаниями школьной программы не видится возможным. Соответственно, классический способ решения на этом заканчивается и не даёт никакого решения.

Приходится искать альтернативные методы решения, и такие, как оказалось, есть. Первый — заключается в привлечении расширенных знаний по комбинаторике, а второй с широким кругозором знаний различных математических головоломок. Начнём с первого.

Очевидно, что нам мешает старший коэффициент, выражающий количество способов подняться до

-го числа и опуститься до

. Обозначим количество этих способов коэффициентом

.

Тогда, например, количество способов подняться до 4 и опуститься до

будет обозначено, как

.

Перепишем наше выражение, полученное суммированием:

Теперь, используем знания комбинаторики [2, 3]. Оказывается, что у наших коэффициентов

есть название — числа Каталана.

Числа Каталана

это количество правильных скобочных последовательностей длины

, то есть таких последовательностей из

левых и

правых скобок, в которых количество открывающихся скобок равно количеству закрывающихся. То есть ((())) или (())().

Теперь, для решения нашей задачи, требуется воспользоваться производящей функцией. Данное понятие выходит далеко за рамки школьной программы, а также программы некоторых высших учебных заведений. Благо в данном контексте, глубокое понимание данного термина не требуется, однако его привлечение вызывает множество вопросов.

Стоит отметить, что данную функцию можно вывести, как показано, например в [4]. Но, по нашему мнению, процесс вывода достаточно трудоемкий, и точно не имеет место быть на экзамене, когда на счету каждая минута. Итак, воспользуемся производящей функцией для чисел Каталана [4]:

Теперь, с помощью данной функции, мы можем найти сумму ряда без значительных проблем.

Ответ получен, однако сколько времени для его получения бы затратил среднестатистический школьник? Отметим, также, что данный способ решения избавляет от следующей проблемы.

Если поменять вероятности

и

местами, т. е. мы будем удаляться от

с меньшей вероятностью, то мы получим в ответе 1.

Когда мы будем рассматривать следующий способ, мы заметим, что у нас будет два ответа и выбор из них — проблема.

Итак, рассмотрим второй способ решения, за счёт широкого кругозора. В книге Мостеллера [5] была приведена следующая задача «На краю утеса» (рис. 2):

Есть пьяница, стоящий на обрыве. С вероятностью

он каждую секунду делает шаг вправо или влево. Какая вероятность того, что когда-нибудь он упадет?

Рис. 2. Вырезка из книги

Опустим полное решение, описанное в данной книге, и приведём её урезанный вариант.

Вероятность того, что он упадет из точки 0 —

_.

Из точки 1 —

, а из точки 2 —

(рис. 3). Что же должно произойти, чтобы человек свалился?

1. Гуляя, человек должен оказаться в точке 0
2. А после этого, он должен упасть

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Какова вероятность того, что человек из единицы попадет в ноль? Заметим, что мы можем мысленно сдвинуть обрыв, получая тем сам аналогичную задачу (отметим, что это возможно благодаря тому, что ряд бесконечный, и сдвиг или удаление/добавление ограниченного количества элементов не меняет предел). Соответственно, вероятность упасть из позиции 1 есть вероятность того, что мы когда-нибудь сместимся на шаг назад, т. е.

. Это вероятность того, что человек сместится влево. Получаем, что

,

и т. д. Значит, нам осталось лишь найти

.

Находясь в точке 0, человек может сразу пойти влево, или же сделать шаг вправо, а потом когда-нибудь влево. Тогда мы получаем равенство, зная, что

.

Теперь, решим полученное равенство, пользуясь тем, что

:

Это означает, что как бы далеко от обрыва не стоял человек, рано или поздно он упадет. Заметим, что, данное рассуждение достаточно сложно провести, не зная его заранее. Также стоит отметить, что в данной задаче вероятности

и

были равны. Посмотрим, что будет в нашем случае.

Вернемся к исходной задаче (рис. 1). Какова вероятность попасть в

? Можно сразу из точки

попасть в

, а можно сначала попасть в

, потом в

, а потом в

:

Вероятность попасть из единицы в минус единицу, по аналогии с данной задачей, будет равна

Выполнив замену, получаем равенство:

Итак, мы получаем два ответа, причём правильным из них оказывается 0,25. Но почему?

Насколько нам известно, ответ будет зависеть от следующего частного

. В случае, если его значение больше 1, в ответе всегда получится 1 (что автоматически решает задачу, еще на стадии её задания, и моментально выписывается ответ, целесообразность чего мы не понимаем), если же значение меньше 1, как в нашем случае (

), то мы получаем ответ.

Отметим, что данный вывод достаточно очевиден, если понимать основы случайных процессов (также не изучающщихся в школьной программе). В случае если частное больше 1, подразумевается, что вероятность спуститься ниже выше, а следовательно, в среднем, на каждый шаг вверх, приходится

шагов вниз. В таком случае, очевидно, что мы всегда достигнем значения

, сколь долго мы бы не удалялись от него.

В обратном случае ситуация противоположная, и шанс опуститься до

снижается в зависимости от уменьшения значения

.

На фоне этого, возникает максимально оптимальный вариант решения данной задачи — алгоритмический. Алгоритм, следующий:

Рассмотрим частное

, ответом

будет следующее значение:

Отметим, что данный способ полностью обесценивает какие-либо рассуждения данной задачи, и позволяет, даже не читать задачу, а просто записать ответ, что очевидно, не соответствует уровню итогового экзамена, проверяющего знания.

Также, в заключении отметим, что большинство элементов, рассмотренных в данной статье отсутствуют в подавляющем числе школьных учебников, что напрямую увеличивает нагрузку как на педагогов, за счёт поиска и подготовки данного материала, а также сложность грамотной передачи знаний в головы учащихся, а также увеличивает нагрузку на учащихся в плане восприятия новой для них информации, и форсированного расширения кругозора знаний.

Использование же, последнего приведённого способа помимо обесценивания задачи, приводит также к банальной зубрежке формулы, что для изучения математики грозит резким снижением качества образования.

Литература:

1. Открытый банк математических задач ЕГЭ. Профильный уровень. https://prof.mathege.ru/
2. Спивак А. Числа Каталана. // Квант. 2004. — № 3. — с. 2–10.
3. Гарднер М. Числа Каталана. // Квант. 1978. — № 7. — с. 20–26.
4. Числа Каталана. https://internat.msu.ru/media/uploads/2015/12/CHisla-Katalana_jk.pdf
5. Мостеллер, Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями / Ф. Мостеллер. — М.: Наука, 1971. — 103 с.

Подборка сложных задач с ответами из открытого банка ФИПИ задание №10 теория вероятностей ЕГЭ 2022 математика 11 класс профильный уровень.

Скачать задачи из ФИПИ

Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 с ответами

Задание 10 теория вероятностей ЕГЭ 2022 профиль ФИПИ

задание10_егэ2022_профиль_математика_фипи

Задания и ответы с ФИПИ

1)Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,45. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Ответ: 0,27

2)Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Ответ: 0,15

3)Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,7?

Ответ: 2

4)Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,8?

Ответ: 3

5)Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

Ответ: 0,0009

6)Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

Ответ: 0,0064

7)Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,06. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Ответ: 0,069

8)Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка
неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества.
Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того,
что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того,
что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Ответ: 0,059

9)В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

Ответ: 0,83

10)В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах равна 0,05. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Ответ: 0,85

11)В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Ответ: 0,22

12)В коробке 12 синих, 6 красных и 7 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Ответ: 0,24

13)Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Ответ: 0,488

14)Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,9. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Ответ: 0,271

15)Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

Ответ: 0,33

16)Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.

Ответ: 0,28

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ