Решить логарифмическое неравенство онлайн с подробным решением егэ - Exhelper.top

Калькулятор онлайн.
Решение логарифмических неравенств.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить логарифмическое неравенство.
Программа для решения логарифмического неравенства не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное
решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию решения логарифмических неравенств и
некоторые методы решения логарифмических неравенств.

Примеры подробного решения >>

ln(b) или log(b) или log(e,b)— натуральный логарифм числа b
log(10,b) — десятичный логарифм числа b
log(a,b) — логарифм b по основанию a

Введите логарифмическое неравенство

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Логарифмические неравенства

Неравенства вида
( log_ax > b ) и ( log_ax < b ),
где ( a>0, ; a neq 1, ; b in mathbb{R} )
называют простейшими логарифмическими неравенствами.

Эти неравенства можно переписать в виде
( log_ax > log_aс ) и ( log_ax < log_aс ), где ( c = a^b )

Случай ( a > 1)

Функция (y = log_ax ) возрастает на всей своей области определения, т.е. на интервале ( (0; ; +infty) ).
Поэтому для любого числа (x > c) справедливо неравенство ( log_ax > log_aс ), а для любого
( x in (0; ; c) ) справедливо неравенство ( log_ax < log_aс ). Кроме того, равенство ( log_ax = log_aс )
верно лишь при ( x = c ).

Таким образом, при ( a > 1) и ( b in mathbb{R} ) множество всех решений неравенства ( log_ax > log_aс ) есть
интервал ( (c; ; +infty) ), а множество всех решений неравенства ( log_ax < log_aс ) есть интервал ( (0; ; c) ).

Случай ( 0 < a < 1 )

Функция (y = log_ax ) убывает. Поэтому для любого числа (x > c) справедливо неравенство ( log_ax < log_aс ),
а для любого ( x in (0; ; c) ) справедливо неравенство ( log_ax > log_aс ). Кроме того, равенство ( log_ax = log_aс )
справедливо лишь при ( x = c ).

Таким образом, при ( 0 < a < 1 ) и ( b in mathbb{R} ) множество всех решений неравенства ( log_ax > log_aс ) есть
интервал ( (0; ; c) ), а множество всех решений неравенства ( log_ax < log_aс ) есть интервал ( (c; ; +infty) ).

ПРИМЕР 1. Решим неравенство ( log_{frac{1}{3}}x > -2)

Так как ( -2 = log_{frac{1}{3}}9 ), то неравенство можно переписать в виде ( log_{frac{1}{3}}x > log_{frac{1}{3}}9 )

Так как ( frac{1}{3} < 1 ), то функция ( y = log_{frac{1}{3}}x ) убывающая.
Поэтому множество всех решений неравенства есть интервал ( 0 < x < 9 ).
Ответ: ( (0; ; 9) )

ПРИМЕР 2. Решим неравенство ( log_4x > frac{1}{2} )

Так как ( frac{1}{2} = log_42 ), то неравенство можно переписать в виде ( log_4x > log_42 )

Так как (4 > 1 ), то функция ( y = log_4x ) возрастающая. Поэтому множество всех решений неравенства есть
интервал ( (2; ; +infty) ).
Ответ: ( (2; ; +infty) )

ПРИМЕР 3. Решим неравенство ( log_3x — 3log_9x — log_{81}x > 1{,}5 )
Так как
$$ log_9x = frac{log_3x}{log_39} = frac{log_3x}{2} = frac{1}{2} log_3x ,$$
$$ log_{81}x = frac{log_3x}{log_381} = frac{log_3x}{4} = frac{1}{4} log_3x ,$$
то неравенство можно переписать в виде
( left( 1- frac{3}{2} -frac{1}{4} right) log_3x > 1{,}5 Rightarrow )
( log_3x < log_3frac{1}{9} )

Так как (3 > 1 ), то функция ( y = log_3x ) возрастающая. Поэтому множество всех решений неравенства есть
интервал ( (0; ; frac{1}{9}) )
Ответ: ( (0; ; frac{1}{9}) )

Источник

развернутъ клавиатуру »

x^2	x^{msquare}	log_{msquare}	sqrt{square}	nthroot[msquare]{square}	le	ge	frac{msquare}{msquare}	cdot	div	x^{circ}	pi
left(squareright)^{‘}	frac{d}{dx}	frac{partial}{partial x}	int	int_{msquare}^{msquare}	lim	sum	infty	theta	(f:circ:g)	H_{2}O

Относящееся »
График »
Номер Строки »
Challenge »
Примеры »

Правильный ответ

Давай попробуем еще раз

Try to further simplify

Относящееся

Номер Строки

График

Скрыть График »

Sorry, your browser does not support this application

Просмотр интерактивного графика >

Примеры

log_8(3x-5)<2
log(a^2-12)>log(a)
log_4(x+3)-log_4(x+2)gefrac{3}{2}
2^{log_2(8x-5)}le 6

logarithmic-inequalities-calculator

Источник

Данный калькулятор предназначен для решения логарифмических неравенств онлайн.
Логарифмические неравенства – это неравенства, в которых переменная стоит под знаком логарифма.
Если 0 < a < 1, то log_a⁡ f(x) < b сводится к равносильному неравенству f(x) > a^b, а если a > 1, то сводится к f(x) < a ^b. Противоположное неравенство log_a⁡⁡ f(x) > b сводится к f(x) < a^b при 0 < a < 1 и f(x) > a^b при a > 1.
Логарифмические неравенства вида log_a⁡⁡f(x) < log_a⁡⁡ g(x) решаются путем приведения к одной из следующих систем неравенств в зависимости от значения a: f(x)>g(x) и g(x)>0 (если 00 при a>1. Логарифмические неравенства вида log_a⁡ f(x) > log_a⁡ g(x) решаются путем приведения к одной из следующих систем неравенств в зависимости от значения a: f(x)0 (если 0g(x) и g(x)>0 при a>1.

Преимуществом онлайн калькулятора является то, что Вам нет необходимости знать все методы решения логарифмических неравенств. Чтобы получить ответ, укажите исходное логарифмическое неравенство. Основные примеры функций для данного калькулятора указаны ниже.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Источник

Неравенства по-шагам

Примеры неравенств

Логарифмические неравенства
```
log(x + 27) - log(16-2*x) > log(x)
```

(log_(1/3)(x))^2 - 6*log_(1/3)(x) - 16 < 0

Показательные неравенства
```
2^(2*x) - 2^x - 1 >= 0
```
Неравенства с модулем
```
|x^2 - 1| - |x - 3| > 7
```
Иррациональные неравенства
```
sqrt(x + 1) - sqrt(2 - x) <= -2
```
Тригонометрические неравенства
```
2*sin(x) <= 1
```
Линейные неравенства
```
2*(x-1) + 5 >= 0
```

Указанные выше примеры содержат также:

квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x)
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
показательные функции и экспоненты exp(x)
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
арккотангенс actan(x)
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x)
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
обратные гиперболические функции:
asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
число Пи pi
комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x: — умножение
3/x: — деление
x^3: — возведение в степень
x + 7: — сложение
x — 6: — вычитание
Действительные числа: вводить в виде 7.5, не 7,5

Источник

калькулятор логарифмических неравенств

Вы искали калькулятор логарифмических неравенств? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и логарифмические неравенства онлайн, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «калькулятор логарифмических неравенств».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как калькулятор логарифмических неравенств,логарифмические неравенства онлайн,онлайн логарифмическое неравенство,решение логарифмических неравенств онлайн,решение логарифмических неравенств с подробным решением онлайн,решение неравенств онлайн с логарифмами,решение неравенств с логарифмами онлайн,решить логарифмическое неравенство онлайн,решить неравенство логарифмическое онлайн,решить неравенство онлайн с решением с логарифмами,решить неравенство с логарифмами онлайн с решением. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и калькулятор логарифмических неравенств. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, онлайн логарифмическое неравенство).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же калькулятор логарифмических неравенств Онлайн?

Решить задачу калькулятор логарифмических неравенств вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Источник

Решение неравенств онлайн

Перед тем как решать неравенства, необходимо хорошо усвоить как решаются уравнения.

Не важно каким является неравенство – строгим (<, >) или нестрогим (≤, ≥), первым делом приступают к решению уравнения, заменив знак неравенства на равенство (=).

Поясним что означает решить неравенство?

После изучения уравнений в голове у школьника складывается следующая картина: нужно найти такие значения переменной, при которых обе части уравнения принимают одинаковые значения. Другими словами, найти все точки, в которых выполняется равенство. Всё правильно!

Когда говорят о неравенствах, имеют в виду нахождение интервалов (отрезков), на которых выполняется неравенство. Если в неравенстве две переменные, то решением будут уже не интервалы, а какие-то площади на плоскости. Догадайтесь сами, что будет решением неравенства от трех переменных?

Как решать неравенства?

Универсальным способом решения неравенств считают метод интервалов (он же метод промежутков), который заключается в определении всех интервалов, в границах которых будет выполняться заданное неравенство.

Не вдаваясь в тип неравенства, в данном случае это не суть, требуется решить соответствующее уравнение и определить его корни с последующим обозначением этих решений на числовой оси.

Можно сказать на этом полдела сделано. Далее, взяв любую точку на каждом интервале, осталось определить выполняется ли само неравенство? Если выполняется, то он входит в решение неравенства. Ели нет, то пропускаем его.

Как правильно записывать решение неравенства?

Когда вы определили интервалы решений неравенства, нужно грамотно выписать само решение. Есть важный нюанс – входят ли границы интервалов в решение?

Тут всё просто. Если решение уравнения удовлетворяет ОДЗ и неравенство является нестрогим, то граница интервала входит в решение неравенства. В противном случае – нет.

Рассматривая каждый интервал, решением неравенства может оказаться сам интервал, либо полуинтервал (когда одна из его границ удовлетворяет неравенству), либо отрезок – интервал вместе с его границами.

Важный момент

Не думайте, что решением неравенства могут быть только интервалы, полуинтервалы и отрезки. Нет, в решение могут входить и отдельно взятые точки.

Например, у неравенства |x|≤0 всего одно решение – это точка 0.

А у неравенства |x|<0 вообще решений нет.

Для чего нужен калькулятор неравенств?

Калькулятор неравенств выдает правильный итоговый ответ. При этом в большинстве случаев приводится иллюстрация числовой оси или плоскости. Видно, входят ли границы интервалов в решение или нет – точки отображаются закрашенными или проколотыми.

Благодаря онлайн калькулятору неравенств можно проверить правильно ли вы нашли корни уравнения, отметили их на числовой оси и проверили на интервалах (и границах) выполнение условия неравенства?

Если ваш ответ расходится с ответом калькулятора, то однозначно нужно перепроверить свое решение и выявить допущенную ошибку.

Источник

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

$boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}c}Leftrightarrow { }boldsymbol{{{ a}}^{{ c}}}{ }{ =}boldsymbol{{ b}}.$

При этом

Основное логарифмическое тождество:

$boldsymbol{{{ a}}^{{{{ log}}_{{ a}} { b}}}{ =}{ b}{,}}$

$boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} {{ a}}^{{ c}}}{ =c}}.$

Основные формулы для логарифмов:

$boldsymbol{log_a(bc)}=boldsymbol{log_ab+log_ac}$ (Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

$boldsymbol{log_a {{b} over {c}}=log_ab-log_ac}$ (Логарифм частного равен разности логарифмов)

$boldsymbol{log_ab^m=mlog_ab}$ (Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

$boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}frac{{{{ log}}_{{ c}} { b}}}{{{{ log}}_{{ c}} { a}}} }$

$boldsymbol{{ }{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}frac{{ 1}}{{{{ log}}_{{ b}} { a}}}}.$

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду ${{ } }{{log}_a {{ x}}_{{ 1}}}{ textless }{{log}_a {{ x}}_{{ 2}}}.$ Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения ${{log}_a x}$ .

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение ${{log}_a x}.$

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log₃x > log₃5.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log₃x₁ > log₃x₂ следует, что x₁ > x₂.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Итак, x > 5.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

2. log₅(15 + 3x) > log₅2x

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

$left{begin{matrix} 15+3x>0;\ 2x>0. end{matrix}right.$

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

15 + 3x > 2x.

Получаем: x > −15.

Итак,
$left{begin{matrix} x>0;\ x>-15. end{matrix}right.$

Ответ: x > 0.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Приведем пример.

3. $log_{frac{5}{6}}left ( 2x-9 right )geq log_{frac{5}{6}}x.$

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

$left{begin{matrix} 2x-9>0;\ x>0. end{matrix}right.$

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку $frac{5}{6}<1$ , логарифмическая функция с основанием $frac{5}{6}$ монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если $log_{frac{5}{6}}(2x-9)geq log_{frac{5}{6}}x$ , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

x ∈ (4,5; 9].

В следующей задаче логарифмическое неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство $2{{log}_{frac{1}{2}} left(1-xright) textless {{log}_{frac{1}{2}} left(3x+1right)}}$

$2{{log }_{frac{1}{2}} left(1-xright) textless {{log }_{frac{1}{2}} left(3x+1right)}} Longleftrightarrow left{ begin{array}{c}1-x textgreater 0 \3x+1 textgreater 0 \{left(1-xright)}^2 textgreater 3x+1 end{array}right.Longleftrightarrow left{ begin{array}{c}begin{array}{c}x textless 1 \x textgreater -frac{1}{3} end{array}\1+x^2-2x textgreater 3x+1 end{array}right. Longleftrightarrowleft{ begin{array}{c}begin{array}{c}x textless 1 \x textgreater -frac{1}{3} end{array}\x^2-5x textgreater 0 end{array}right. Longleftrightarrow left{ begin{array}{c}x textless 1 \x textgreater -frac{1}{3} \xleft(x-5right) textgreater 0 end{array}right.$

Ответ: $xin left(-frac{1}{3};0right)$

5. Решите неравенство ${{log}_{x^2+1} frac{2cdot 4^x-15cdot 2^x+23}{4^x-9cdot 2^x+14}ge 0}$

ОДЗ: $left{ begin{array}{c}x^2+1 textgreater 0 \x^2+1ne 1 end{array}right.Longleftrightarrow xne 0$

Если xne 0 , то . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

$frac{2cdot 4^x-15cdot 2^x+23}{4^x-9cdot 2^x+14}ge 1$

Сделаем замену

$frac{2t^2-15t+23}{t^2-9t+14}-1ge 0$

$frac{2t^2-15t+23-t^2+9t-14}{t^2-9t+14}ge 0$

$frac{t^2-6t+9}{t^2-9t+14}ge 0$

$frac{{left(t-3right)}^2}{left(t-2right)left(t-7right)}ge 0$

$left[ begin{array}{c}t=3 \t textgreater 7 \t textless 2 end{array}Longleftrightarrow left{ begin{array}{c}left[ begin{array}{c}2^x=3 \2^x textgreater 7 \2^x textless 2 end{array}right. \xne 0 end{array}Longleftrightarrow left{ begin{array}{c}left[ begin{array}{c}x={{log }_2 3} \x textless 1 \x textgreater {{log }_2 7} end{array}right. \xne 0 end{array}right.right.right.$

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

Ответ: $xin left(-infty ;0right)cup left(0;1right)cup left{{{log }_2 3}right}cup left({{log }_2 7};+infty right)$

6. $4log_{x}4+3log_{frac{4}{x}}4+4log_{16x}4leq 0$

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

$left{begin{matrix} x>0;\ frac{4}{x}neq 1;\ xneq 1;\ 16xneq 1. end{matrix}right.$

Упростим эту систему:

$left{begin{matrix} x>0;\ xneq 4;\ xneq 1;\ xneq frac{1}{16}. end{matrix}right.$

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

$log_{a}b=frac{1}{log_{b}a}$
В данном случае удобно перейти к основанию 4.

$frac{4}{log_{4}x}+frac{3}{log_{4}frac{4}{x}}+frac{4}{log_{4}(16x)}leq 0;$
$frac{4}{log_{4}x}+frac{3}{1-log_{4}x}+frac{4}{2+log_{4}x}leq 0$
Сделаем замену $log_{4}x=t:$

$frac{4}{t}+frac{3}{1-t}+frac{4}{2+t}leq 0$
Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

$frac{(t-2)(t+frac{4}{5})}{t(1-t)(2+t)}geq 0.$

Итак, $tin left (- infty;-2 right )cup left [ -frac{4}{5}; 0 right )cup (1;2].$

Вернемся к переменной x:

Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

Ответ: $xin left (0;frac{1}{16} right )cup left [ 4^{-frac{4}{5}};1 right )cup (4;16]$

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

$log_{frac{1}{3}}left ( frac{2-3x}{x} right )geq -1$ Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

$frac{2-3x}{x}>0$ Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

$log_{3}frac{x}{2-3x}geq -1.$ Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

$log_{3}frac{x}{2-3x}geq log_{3}frac{1}{3};$
$frac{x}{2-3x}geq frac{1}{3}.$ Видим, что условие $frac{2-3x}{x}>0$ (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

$frac{x}{2-3x}-frac{1}{3}geq 0;$
$frac{3x-1}{2-3x}geq 0;$ Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ: $xin left [ frac{1}{3};frac{2}{3} right ).$

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

${{log }_{{ 3}} left({{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10}right){ +}{{log }_{frac{{ 1}}{{ 3}}} frac{{ x+5}}{{ 9}}{ +1}ge {{log }_{{ 3}} left({{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20}right)}}}$

Неравенство равносильно системе:

$left{ begin{array}{c}{{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10 textgreater 0} \{ x}{ +5 textgreater 0} \{{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20 textgreater 0} \{{log }_{{ 3}} left({{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10}right){ -}{{log }_{{ 3}} frac{{ x+5}}{{ 9}}{ +}{{log }_{{ 3}} { 3}}ge {{log }_{{ 3}} left({{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20}right)}}} end{array}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} (x+5)(x+2) textgreater 0\x+5 textgreater 0 \(x+2)(x+{10over3}) textgreater 0 \log_3{{(x+5)(x+2)cdot9 cdot 3}over(x+5)} textgreater log_3left ( 3(x+2)(x+{{10}over3{}}) right ) end{matrix}right.$

$left{begin{matrix} x textgreater -2\9cdot (x+2)geq(x+2)(x+{{10}over{3}}) end{matrix}right.$

$left{begin{matrix} x textgreater -2\x+ {{10}over{3}} leq9 end{matrix}right. textless = textgreater left{begin{matrix} x textgreater -2\xleq {{17}over{3}} end{matrix}right.$

$newline x^2+7x+10=0 hfill newline D=0; newline , x_{1,2} = {{-7 pm3 }over{2}}; newline x_1=-5x; , x_2=-2; newline 3x^2+16x+20=0 newline D=16^2-12cdot 20 = newline =16cdot(16-3cdot 5 )=16; newline x_{1,2}={{-16 pm4 }over{6}}; newline x_1=-2; , x_2=-{{10}over{3}}$

Ответ: ${ x}in left({ -2};{ }frac{{ 17}}{{ 3}}right].$

9. Решите неравенство:

$log_{2}left ( left ( 5^{-x^{2}}-3 right )left ( 5^{-x^{2}+9}-1 right ) right )+log_{2}frac{5^{-x^{2}}-3}{5^{-x^{2}+9}-1}>log_{2}left ( 5^{4-x^{2}}-2 right )^{2}.$

Выражение 5^—x²навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:

$5^{-x^{2}}=t$

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда

$5^{-x^{2}+9}=5^{9}cdot t$
$5^{4-x^{2}}=5^{4}cdot t=625t$

Неравенство примет вид:

$log_{2}left ( left ( t-3 right ) left ( 5^{9}cdot t-1 right )right )+log_{2}frac{t-3}{5^{9}cdot t-1}>log_{2}left ( 625t-2 right )^{2}$

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, (t − 3) (5⁹ · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное $frac{t-3}{5^{9}cdot t-1}$ будет положительным.

А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625t − 2)².

Это означает, что 625t − 2 ≠ 0, то есть $tneq frac{2}{625}$

Аккуратно запишем ОДЗ

$left{begin{matrix} t>0;\ frac{t-3}{5^{9}cdot t-1}>0;\ 625t-2neq 0 end{matrix}right.$

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Итак, $tin left ( 0;frac{1}{5^{9}} right ) cup left ( 3;+infty right ).$

Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:

«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.

$(t-3)^{2}>(625t-2)^{2}$

Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:

$(t-3)^{2}-(625t-2)^{2}>0;$

Вспомним, что $tin left ( 0;frac{1}{5^{9}} right )cup left ( 3;+infty right )$ (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.

Получим, что $t<frac{1}{5^{9}}$

Вернемся к переменной x

Поскольку $t=5^{-x^{2}},$

$5^{-x^{2}}<5^{-9};$ $-x^{2}<-9;$ $x^{2}> 9;$ Ответ:

10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.

$log_{|x|-2}|x-3|leq 0.$

Запишем ОДЗ:

$left{begin{matrix} |x|-2>0;\ |x|-2neq 1;\ |x-3|neq 0. end{matrix}right.$

Воспользуемся формулой $log_{a}b=frac{log_{c}b}{log_{c}a}$ и перейдем к основанию 10:

$frac{lg|x-3|}{lg(|x|-2)}leq 0.$ Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию

$g(x)=frac{lg|x-3|}{lg(|x|-2)}.$ Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.

Выражение lg |x − 3| равно нулю, если |x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.

Выражение lg (|x| − 2) равно нулю, если |x| = 3, то есть в точках 3 и −3.

Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.

Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.

Ответ:

11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.

$log_{x+2}(36+16x-x^{2})-frac{1}{16}log^{2}_{x+2}(x-18)^{2}geq 2.$
Запишем ОДЗ:

$left{begin{matrix} x+2>0\ x+2neq 1\ 36+16x-x^{2}>0\ xneq 18 end{matrix}right. : : : : : : : : Leftrightarrow : : : : : left{begin{matrix} x>-2\ xneq -1\ xin (-2;18) end{matrix}right.$
Итак, Это ОДЗ.

Обратите внимание, что $36+16x-x^{2}=-(x+2)(x-18)$ .

Это пригодится вам при решении неравенства.

Упростим исходное неравенство:

$log_{x+2}((18-x)(x+2))-frac{1}{16}log^{2}_{x+2}(x-18)^{2}geq 2;$

$1+log_{x+2}(18-x)-frac{1}{16}log^{2}_{x+2}(x-18)^{2}geq 2;$

Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что $log_{x+2}(x-18)^{2}=2log_{x+2}(x-18).$ Ведь выражение $log_{x+2}(x-18)$ в данном случае не имеет смысла, поскольку x < 18.

Как же быть? Вспомним, что (x — 18)²=(18 — x)². Тогда:

$1+log_{x+2}(18-x)-frac{1}{16}log^{2}_{x+2}(18-x)^{2}geq 2.$ Вторая ловушка – попроще. Запись $log^{2}_{a}b$ означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:

$log^{2}_{x+2}(18-x)^{2}=(log_{x+2}(18-x)^{2})^{2}=(2log_{x+2}(18-x))^{2}=4log^{2}_{x+2}(18-x).$
Дальше – всё просто. Сделаем замену $log_{x+2}(18-x)=t$

$t-frac{1}{4}t^{2}geq 1;$

$t^{2}-4t+4leq 0;$

$(t-2)^{2}leq 0.$

Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда

$log_{x+2}(18-x)=2;\ , \ log_{x+2}(18-x)=log_{x+2}(x+2)^{2};\ , \ 18-x=x^{2}+4x+4;\ , \ x^{2}+5x-14=0;$

$x_{1}=-7$ — не удовлетворяет ОДЗ;

$x_{2}=2.$

Ответ: 2.

Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.

Читайте также: Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Логарифмические неравенства» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Немного теории.

Относящееся

Номер Строки

График

Примеры

Неравенства по-шагам

Примеры неравенств

Правила ввода

калькулятор логарифмических неравенств

Где можно решить любую задачу по математике, а так же калькулятор логарифмических неравенств Онлайн?

Новое и интересное на сайте: