Решу егэ координатный метод - Exhelper.top

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) :
$$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$
$$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$
Тогда координаты вектора (vec{AB}) можно определить по формуле:
$$ vec{AB}={x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A}. $$

Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора:
$$ a={x_a,y_a,z_a};$$
$$ b={x_b,y_b,z_b}; $$
тогда угол (alpha) между ними находится по формуле:
$$ cos{alpha}=frac{x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b}{sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2+{z_a}^2}*sqrt{{x_b}^2+{y_b}^2+{z_b}^2}}. $$

Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой:
$$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$
где (A,B,C,D) – какие-то числа.

Если найти (A,B,C,D), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.

Например, пусть даны три точки:

$$ K(x_K,y_K,z_K);,L(x_L,y_L,z_L);,P(x_P,y_P,z_P). $$

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$begin{cases} A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.end{cases}$$

Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: (A,B,C,D). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем (D) приравнять (1), если же проходит, то (D=0). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на (D), от этого уравнение не изменится, но вместо (D) будет стоять (1), а остальные коэффициенты будут в (D) раз меньше.

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:

Пример 3

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
$$ K(1;2;3);,P(0;1;0);,L(1;1;1). $$
Подставим координаты точек в уравнение плоскости (D=1):
$$begin{cases} A*1+B*2+C*3+1=0,\ A*0+B*1+C*0+1=0, \ A*1+B*1+C*1+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A+2*B+3*C+1=0,\ B+1=0, \ A+B+C+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A-2+3*C+1=0,\ B=-1, \ A=-C.end{cases}$$
$$begin{cases} A=-0.5,\ B=-1, \ C=0.5.end{cases}$$
Получаем искомое уравнение плоскости:
$$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$

Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки (M(x_M;y_M;z_M)), легко найти расстояние до плоскости (Ax+By+Cz+D=0:)
$$ rho=frac{|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$

Пример 4

Найдите расстояние от т. (H (1;2;0)) до плоскости, заданной уравнением
$$ 2*x+3*y-sqrt{2}*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты:
$$ A=2,,B=3,,C=-sqrt{2},,D=4.$$
Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.
$$ rho=frac{|2*1+3*2-sqrt{2}*0+4|}{sqrt{2^2+3^2+{-sqrt{2}}^2}}. $$
$$ rho=frac{12}{sqrt{16}}=3.$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).

Пример 5

Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.

Дана правильная треугольная призма (ABCFDE), ребра которой равны 2. Точка (G) — середина ребра (CE).

Докажите, что прямые (AD) и (BG) перпендикулярны.

Найдите расстояние между прямыми (AD) и (BG).

Решение:

Решим задачу полностью методом координат.

Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).

Источник

«Использование метода координат в пространстве для решения задачи №13 Единого государственного экзамена»

Как всем известно, для учеников старших классов самой насущной проблемой является Единый государственный экзамен. Причём, тех учеников, которые с уверенностью могут сказать: «Я могу решить 13 или 16 задачу», всего единицы. Да и те, кто действительно могут решить их, об этом громко не заявляют.

Анализируя данную проблему, можно сказать, что большая часть выпускников ограничивается заданием 13 пункта а). А при решении пункта б) уже возникают проблемы.

Как вы знаете, в задании 13 чаще всего требуется найти:

1) угол между двумя скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями;

2) расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости.

В своей работе я предлагаю использовать один из универсальных приёмов решения геометрических задач – метод координат в пространстве. Мы уже хорошо знакомы с векторами, координатами и их свойствами. Цель моей работы: научиться применять знания для решения задач стереометрии.

Однако формальное применение координатно-векторного метода может значительно затруднить решение даже самой простой задачи. Поэтому я привожу несколько общих указаний, которые помогут сориентироваться и решить, можно ли в данной задаче использовать векторы и координаты.

Во-первых, естественно, нужно применять координатный или векторный метод, если в условиях задачи говорится о векторах или координатах;

Во-вторых, очень полезно применить координатный метод, если из условия задачи не понятно, как расположены те или иные точки;

В-третьих, что для нас особенно важно, полезно и удобно применять координаты и векторы для вычисления углов и расстояний;

В-четвертых, вообще, часто, когда не видно ни каких подходов к решению задачи, можно попробовать применить координатный метод. Он не обязательно даст решение, но поможет разобраться с условиями и даст толчок к поиску другого решения.

2.1. Кратко из теории⁴

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Существует множество систем координат: аффинная, полярная, биполярная, коническая, параболическая, проективная, сферическая, цилиндрическая и др. Наиболее используемая из них — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат). Ею мы и будем пользоваться для решения задач.

Прямоугольная (декартова) система координат – совокупность точки О (называемой началом координат), единицы измерения и трёх попарно перпендикулярных прямых Ox, Oy и Oz (называемых осями координат: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат), на каждой из которых указано направление положительного отсчёта. Плоскости хОу, уОz и zOx называют координатными плоскостями. Каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел, называемых её координатами.

Применение метода координат даёт нам множество возможностей для решения задач.

Нахождение расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

где d=AB, A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂)

2. Нахождение координаты середины С(x; y; z) отрезка АВ, A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂). , ,

3. Нахождение косинуса, а, следовательно, и самого угла, между двумя векторами, заданными своими координатами.

где .

4. Нахождение угла между плоскостями путем составления уравнения каждой плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 и определения угла между нормалями к плоскостям. Нормаль n при этом имеет координаты .

5.Нахождение расстояния от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно.

6. Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок , ограниченный точками (, , ) и (, , ), в отношении , определяется по формулам

, , .

2.2. Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.
0˚<(a,α)<90˚.

При нахождении угла между прямыми используют:

формулу или в координатной форме

для нахождения угла φ между прямыми m и l, если векторы и параллельны соотвественно этим прямым; в частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы или .

Пример 1.⁵ Сторона основания правильной четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁ D₁ равна 2, высота — 4. Точка E — середина отрезка CD, точка F — середина отрезка AD. Найдите угол между прямыми CF и B₁E.

B₁

A₁

C₁

D₁

B C

A E

F D

Решение.

Для начала сделаем чертёж и проанализируем задачу.

Прямые CF и B₁E являются скрещивающимися, поэтому, чтобы найти угол между ними геометрическим способом, было бы необходимо параллельно перенести одну из прямых так, чтобы обе прямые лежали на одной плоскости. При этом было бы довольно сложно определить, в каком соотношении они будут пересекаться, и решить эту задачу поэтапно-вычислительным методом.

Я предлагаю поместить параллелепипед в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке, и найти искомый угол как угол между векторами.

Выпишем координаты точек B₁, E, C, F в этой системе координат:

B₁ (0; 0; 4), E(1; 2; 0), C(0; 2; 0), F (2; 1; 0).

Тогда {2; -1; 0}, {1; 2; -4}. Найдём угол между этими векторами по формуле:

То есть искомый угол α=90˚.

Как видите, задачу, которую довольно-таки сложно решить геометрическим путём, можно быстро и красиво решить аналитически.

Ответ: 90˚.

Пример 2.² Точка О лежит на ребре DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁ D₁, точка Р является точкой пересечения диагоналей грани ABCD. DO : DD₁ = 1 : 5. Найдите косинус угла между прямой ОР и прямой, содержащей диагональ куба, выходящую из вершины С.

Решение.

Поместим куб в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Условно обозначим грани куба за единицу. Если обозначить её какой-либо буквой, она всё равно сократится. Определим координаты точек Р, О, С и А₁:

Р(0,5; 0,5; 0), О(1; 1; 0,5), С(0; 1; 0), А₁(1; 0; 1).

Отсюда .

Ответ: .

Пример 3.⁵ Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и и середину ребра DC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB.

Решение.

Поместим пирамиду в декартову систему координат. Найдём координаты точек S, L, C и M: S(0;0;1), L(0;;0), C(0;0;0). Чтобы найти координаты точки М, воспользуемся геометрией: в равностороннем треугольнике все углы равны 60˚, а т.М, которая делит сторону АВ пополам, является не только медианой, но и биссектрисой, поэтому .

Для равностороннего треугольника , х(СМ)=СМ·соs60˚=, у(СМ)=СМ·соs30˚=, {}, SL{0;;-1}

Решая аналогично предыдущим примерам, находим, что .

Ответ: 45˚.

2.3. Нахождение угла между прямой и плоскостью

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
0˚<(a,α)<90˚.

Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить:

по формуле или в координатах , где

— вектор нормали к плоскости α,

— направляющий векор прямой l;

Пример 4.⁵ В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра АВ и АА₁ равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В₁С₁. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью АВ₁С.

Решение. Для решения этой задачи необходимо воспользоваться уравнением плоскости, имеющим общий вид

ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты нормали к плоскости.

Чтобы составить это уравнение, необходимо определить координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1; 0; 0), В₁(0;0;1), С(0;2;0).

Решая систему

находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+bу+cz+d=0: а= -d, b=,

c=-d. Таким образом, уравнение примет вид или, после упрощения, 2х+у+2z-2=0. Значит нормаль n к этой плоскости имеет координаты .

Длину вектора легко найти геометрически: . Но его координаты нам всё равно необходимы. Из простых вычислений находим, что .

Найдем угол между вектором и нормалью к плоскости по формуле скалярного произведения векторов:

Ответ: 45˚

2.4. Нахождение угла между двумя плоскостями

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.
Величина двугранного угла принадлежит промежутку(0˚; 180˚)
Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0˚; 90˚].
Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить:

как угол между нормалями по формуле или в координатной форме , где — вектор нормали плоскости А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0, — вектор нормали плоскости A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

Пример 5.¹ В единичном кубе АВСDA₁В₁С₁D₁ найдите угол между плоскостями АD₁Е и D₁FC, где точки Е и F-середины ребер А₁В₁ и В₁С₁ соответственно.

Решение.

Введём прямоугольную систему координат. Тогда А(0;0;0), С(1;1;0), D₁(1;0;1), E(0;0,5;1), F(0,5;1;1).

1) Решая систему

, составляем уравнение плоскости (АD₁E): x+2y-z=0.

2) плоскость CFD₁:

отсюда находим уравнение 2x+y+z-3=0. Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей.

, , откуда φ=60˚ Ответ: 60˚

2.5. Нахождение расстояния между двумя точками.

Расстояние между точками А и В можно вычислить:

по формуле ,

где A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂);

по формуле .

Пример 6.⁶ В основании пирамиды SABCD лежит ромб со стороной 2 и острым углом в 60˚. Боковое ребро SA перпендикулярно основанию пирамиды и равно 4. Найдите расстояние от середины Н ребра SD и серединой М ребра ВС.

Решение. Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке.

Найдём координаты точки Н как координаты середины отрезка SD: S(0; 0; 4), D(0; 2; 0).

Чтобы найти координаты точек В и С, найдём координаты их проекций на оси. АВ_х=AC_x=2·cos30˚=, AB_y=AC_у–2=2·cos60˚=1.

Отсюда В(; 1; 0), С(; 3;0). Тогда координаты точки М равняются:

Теперь находим расстояние между точками, заданными своими координатами:

Ответ: .

Пример 7.¹ В единичном кубе АВСDA₁В₁С₁D₁ точки Е и К – середины ребер АА₁ и СD соответственно, а точка М расположена на диагонали В₁D₁ так, что В₁М = 2МD₁. Найдите расстояние между точками Q и L, где Q – середина отрезка ЕМ, а L – точка отрезка МК такая, что ML=2LK

Решение. Введём декартову систему координат. E(1;0;0,5), K(0,5;1,0), В₁(0;0;1), D₁(1;1;1). Чтобы вычислить координаты т.М, воспользуемся формулой для нахождения координат точки, которая делит отрезок B₁D₁ в отношении λ=2:1:

, , .

Аналогично находим координаты точки L:

Координаты точки Q находим по формуле координат середины отрезка:

, , .

Ответ: .

2.6. Нахождение расстояния от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости , не содержащей эту точку , есть длина отрезка перпендикуляра , опущенного из этой точки на плоскость .

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Расстояние от точки М до плоскости α

вычисляется по формуле , где М(х₀;у₀;z₀), плоскость α задана уравнением ax+by+cz+d=0;

Пример 8.² В кубе АВСDA₁B₁C₁D₁ проведена диагональ B₁D. В каком отношении, считая от вершины B₁, плоскостьА₁BC₁делит диагональB₁D?

Решение. Составим уравнение плоскости А₁BC₁ и найдём расстояние от этой плоскости до каждой из точек B₁ и D. Пусть l – ребро куба.

В(0;0;0), А₁(l;0;l), С₁(0;l;l).

Решив систему определяем, что уравнение плоскости имеет вид: x+y–z=0 → а=1, b=1, c= –1. B₁(0;0;1), D(1;1;0).

Теперь найдём расстояние от каждой точки до плоскости по формуле

Ответ: 2:1.

Пример 9.⁵ Основание прямой призмы АВСА₁В₁С₁ – равнобедренный треугольник АВС, основание АС и высота ВD которого равны 4. Боковое ребро равно 2. Через середину К отрезка В₁С проведена плоскость, перпендикулярная к этому отрезку. Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости.

Решение. Выберем систему координат как показано на рисунке и выпишем координаты вершин данной призмы и точки К в этой системе координат: А(0;–2;0), В(0;0;0), С(0;2;0), В₁(4;0;2), К(2;1;1). Тогда . Этот вектор перпендикулярен плоскости, значит, он является его нормалью. К тому же плоскость проходит через точку К. То есть уравнение плоскости имеет вид –2(x–2)+2(у–1)–2(z–1)=0 или, после упрощения, 2x–y+z-4=0.

Теперь находим расстояние от т.А(0;-2;0) до плоскости:

. Ответ: .

Заключение

Представляю вашему вниманию свою работу, которой я занималась в течение последних месяцев: я искала формулы, подбирала для каждого случая именно те задачи, геометрическое решение которых перегружено формулами, редко используемыми теоремами, сложными преобразованиями и вычислениями.

Конечно, эту работу нельзя считать авторитетным пособием по решению задания 13 ЕГЭ, так как в ней рассмотрено лишь небольшое количество задач, и ограниченное количество приёмов.

Конечно, я не настаиваю на том, что все задачи стереометрии надо решать методом координат, иногда это просто нецелесообразно. Но согласитесь, настолько простое и изящное решение не только освободит время для решения других заданий, но и будет высоко оцениваться проверяющим учителем.

Список использованной литературы

1. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010: Математика /авт.-сост . И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров и др.; под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: АСТ: Астрель , 2009. – (ФИПИ).

2. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011: учебно-методическое пособие/ под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова. – Ростов-на-Дону: Легион – М., 2010.

3. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект -Центр, 2010.

4. Большая универсальная школьная энциклопедия/ гл. редактор М.Аксёнова – М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2008.

5. www.fmclass.ru – образовательный портал «Физ/мат класс»

6. www.mathege.ru – открытый банк заданий.

7. www.problems.ru – каталог задач.

Источник

Глава 1. «Симпатичные» фигуры.

Согласимся
с Бунеевой Н.А. и Каргаполовым А.М. – авторами сборника «Задачи по
стереометрии (координатный метод)» [1], и фигуры (мы будем иметь в виду
геометрические тела), которые «удобно» расположить в прямоугольной системе
координат, назовем «симпатичными». z

0
                 y

Это в первую очередь, куб (1) (рис.1) и
прямоугольный параллелепипед (2) (рис.2)

A₁

D C

A
B

Рис.1.
Рис.2.

Если длина ребра куба равна 1, то
координаты вершин записываются просто. Например,

A(1; 0; 0), B(1;
1; 0), C(0;
1; 0), D(0;
0; 0), A₁(1;
0; 1) и так далее.

Фигуры
(3) и (4) — четырёхугольные пирамиды с основанием квадрат (рис.3 ) и
прямоугольник (рис.4). Фигура (3) (рис.3) – правильная четырехугольная
пирамида, у которой основание ABCD—
квадрат и высота SF попадает в центр
описанной (около основания) окружности, т.е. в точку пересечения диагоналей
основания.

S
S

                                     D
A
D                         A

F F

C B
C B

Рис.3.
Рис.4.

Следующей нашей фигурой (5) является
пирамида, у которой основание ABCD
также квадрат, одно боковое ребро (например, SD)
перпендикулярно основанию. Следовательно, ребро SD
является высотой пирамиды. Фигура (6) аналогична фигуре (5), только основание
у этой фигуры не квадрат, а прямоугольник.

D C

A B

Рис.5.
Рис.6.

Понятно, что для фигуры (2), (3), (4), (5)
и (6) координаты вершин вычисляются легко (при заданных рёбрах). Рассмотрим,
например, фигуру (4). Пусть AD=4,
AB=10,
высота SF=6.
Очевидно, что координаты вершин пирамиды:

A
(4; 0; 0), B (4; 10; 0), C
(0; 10; 0), D (0; 0; 0), S
(2; 5; 6).

Теперь рассмотрим треугольные пирамиды. D

фигура (7) (рис. 7) – треугольная
пирамида, которая в основании имеет

правильный треугольник ABC
(cо
стороной равной 1) и одно боковое А С

ребро, (например AD=H),
перпендикулярно основанию. В

Понятно, что A(0;0;0),
C(0;1;0),
D(0;0;H).
                                                            Рис.7.

Найдем
координаты вершины B. Сделаем
следующий чертеж А К С

(рис. 8)(вид сверху). Ясно, что z_B=0,
y_B=AK=, x_B=BK==

Заметим, что x_B
равен длине высоты в правильном треугольнике В

ABC (этот факт можно
использовать для запоминания x_B =).
Рис.8.

В
итоге имеем координаты точки B().
D

Фигура (8) (рис.9.) – правильный тетраэдр.
Известно, что высота

тетраэдра DF
попадает в центр описанной (около основания ABC)
A C

окружности.
F

Найдём координаты вершины D
для фигуры (8). Пусть DF— высота. B

Тогда F
– пересечение медиан в треугольнике ABC.
Рис.9.

Сделаем
следующий чертеж (рис.10) (вид сверху). Так как медианы в A К С

треугольнике делятся в отношении 2:1,
считая от вершины, значит, F

KF=BK.
Следовательно, х_F=, у_F=. Очевидно, что
х_D=х_F,
у_D=у_F,
B

т.е. осталось найти z_D.
                                                                                  Рис.10

Сделаем
дополнительный чертеж
(рис.11). D

Зная, что z_D=DF= и FB=BK==, вычислить

z_D
просто: z_D== = . F B

В
итоге имеем D(). Рис.11.

Рассмотрим также
и фигуру (9) (рис.12) – правильную треугольную пирамиду, у которой основание ABC
– правильный треугольник, боковые ребра равны между собой (DA=DB=DC).

Высота пирамиды DF
попадает в центр правильного треугольника ABC.

Если
задана высота H=DF,
то координаты вершины D выглядят
следующим D

образом: D
(). Обратим внимание,
если в основании фигуры

находится правильный треугольник ABC
со стороной а, то имеем A C

следующие координаты: B

A (0; 0; 0), C
(0; а; 0), В D.
Рис.12

Далее рассмотрим пирамиды, у которых основания – прямоугольные треугольники.
Фигура (10) (рис.13) имеет вид: ABC
– прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине A,
ребро AD
перпендикулярно основанию ABC.
Другими словами, ребра AB, AC,
и AD
попарно перпендикулярны. Фигура (11) (рис.14) имеет вид: ABC
– прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине A,
ребро CD
перпендикулярно основанию ABC.
Другими словами, ребра AB, AC
и CD
попарно перпендикулярны. Следующая фигура (12) (рис.15) имеет в основании
прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине A
и её боковые ребра равны между собой. Это означает, что высота DF
пирамиды попадает в центр описанной (около основания ABC)
окружности, т.е. точка F – середина
гипотенузы BC.

D D
D

A                        C
A                   C                                         A
C

B                                                            B
B

Рис.
13. Рис.14.
Рис.15.

Зная соответствующие измерения, нетрудно записать
координаты вершин пирамид.

Например, рассмотрим фигуру (12). Пусть AB=6,
AC=8,
AD=BD=CD=13.
Введём систему координат, как показано на рисунке (15). Имеем A(0;
0; 0), B
(6; 0; 0), C (0; 8; 0). Очевидно, что
BC=10.
Пусть точка F – середина BC.
Тогда просто найти координаты точки F
(3; 4; 0). Так как FC= BC=5,
тогда DF= =12. Следовательно,
координаты точки D (3; 4; 12).

Осталось рассмотреть
треугольные призмы. Фигура (13) (рис.16) – правильная призма,

основаниями являются
правильные треугольники, боковые ребра перпендикулярны основанию. Фигура (14)
(рис.17) также прямая призма, но в основании лежит прямоугольный треугольник.

Рис.16.
Рис.17.

Рассмотренные фигуры
действительно «симпатичны»: есть простая возможность введения системы координат
и, как следствие, решения задач, содержащих в условии «симпатичную» фигуру,
методом координат.

Понятно,
что множество «симпатичных» фигур содержит и не только фигуры (1-14). Например,
шестиугольная пирамида SABCDEF
(где основание ABCDEF
– правильный шестиугольник, а высота попадает в центр, описанной вокруг
основания окружности) или же шестиугольная прямая призма, также являются
«симпатичными» фигурами. Нетрудно убедиться, что можно ввести систему координат
и легко вычислить координаты всех вершин. Кстати, для этих фигур можно
поместить начало координат в центр основания, что мы и сделаем для решения задач
в главе 4 п.4.3. и п.4.4.

Глава 2. Основные формулы
и определения.[1]

1.
Расстояние ρ между точками A₁(x₁;
y₁;
z₁)
и А₂(x₂;
y₂;
z₂),
равно

2.
Координаты середины K(х;у;z)
отрезка AB
равны средним арифметическим координат его концов. Таким образом, если A(x₁;
y₁;
z₁)
и B(x₂;
y₂;
z₂),
то

К(;;).

3.
Координаты вектора AB
равны разности соответствующих координат конца B
и начала A данного вектора. Таким
образом, если A(x₁;
y₁;
z₁)
и B(x₂;
y₂;
z₂),
то

4.
Длина вектора , имеющего координаты (a₁;
a₂;
a₃),
равна =.

5.
Ненулевые векторы называются
коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых;
нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

6.
Ненулевые векторы называются
компланарными, если они лежат на одной плоскости, либо на параллельных
плоскостях; нулевой вектор считается компланарным любому вектору.

7.
Для того чтобы векторы и были коллинеарны,
необходимо и достаточно, чтобы существовало некоторое ненулевое число λ,
такое что = λ.

8.
Для того чтобы три вектора , и , были компланарны,
необходимо и достаточно, чтобы любой из них можно было представить в виде
линейной комбинации двух других, т.е.

=α+β, где α,
β
– некоторые числа.

9.
Любой вектор можно единственным образом
разложить по трем некомпланарным векторам.

10.
Скалярным произведением двух ненулевых
векторов и называется число, равное
произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними. Таким образом,

·=··cos
φ.

11.
Скалярное произведение векторов (a₁;
a₂;
a₃),
и (b₁;
b₂;
b₃)
равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

·= a₁ b₁+
a₂ b₂+ a₃ b₃_.

12.
Ненулевые векторы (а₁; a₂;
a₂)
и (b₁;
b₂;
b₃)
перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно
нулю, т.е. a₁
b₁+
a₂
b₂+ a₃
b₃=
0

13.
Если φ
– угол между ненулевыми векторами (a₁;
a₂;
a₃)
и (b₁;
b₂;
b₃),

то =

14.
Всякое уравнение первой степени аx+by+cz+d=0
задает в координатном пространстве единственную плоскость, которая
перпендикулярна вектору (a,
b,
c).
Вектор называется вектором
нормали к данной плоскости.

15.
Если p
– расстояние от точки M (m₁;
m₂;
m₃)
до плоскости аx+by+cz+d=0
, то

16.
Если α
– угол между плоскостями, заданными уравнениями a₁x
+ b₁y
+ c₁z
+ d₁=0
и a₂x
+ b₂y
+ c₂z
+ d₂=0,
то

соs=

17.
Любой ненулевой вектор, параллельный
данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

18.
Если α
– угол между прямой, направляющий вектор которой (m₁;
m₂;
m₃),
и плоскостью ax+by+cz+d=0,
то

sinα=

19.
Если α – угол между прямыми, направляющие
векторы, которых (m₁,
m₂,
m₃)
и

(n₁,
n₂,
n₃),
то

соsα=

20.
Параметрическое
уравнение прямой, которая проходит через точку M(x₀,
y₀,
z₀)
и имеет направляющий вектор (a,
b,
c),
имеет вид:

21.
Уравнение сферы с центром O(a,
b,
c)
и радиусом R

22. Если
— длина перпендикулярной
проекции вектора на плоскость β:
ax+by+cz+d=0,
то =, где φ
– угол между вектором и плоскостью β.

23.
Если – площадь сечения
заданного многогранника плоскостью α
и — площадь проекции этого
сечения на плоскость β, то =, где φ
– угол между плоскостями α и β.

Глава 3. Уравнение
плоскости.

Конечно,
для того, чтобы научиться решать задачи с помощью координатного метода, умения
находить координаты вершин недостаточно. Очень часто условие задачи содержит
некоторую плоскость. В одних задачах плоскость задается тремя точками, в
других, — точкой и перпендикулярной плоскости прямой, и другими способами.
Давайте научимся писать уравнения плоскостей заданных различными способами,
которые чаще всего встречаются в задачах.

3.1.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.

Дано: точка
K (0; 2; 4); точка M (2; 0;0); точка Р (2; 2; 2).

Найти: общее
уравнение плоскости KMР.

Решение:

Запишем общее уравнение плоскости β: ax+by+cz+d=0.

1)
Так как точка M
принадлежит плоскости MKP,
значит, координаты этой точки удовлетворяют уравнению плоскости. Следовательно,
нужно подставить координаты точки M
в уравнение вместо x,
y,
z.
Получаем следующее уравнение:

a∙0+b∙2+c∙4+d=0,
или проще: 2b+4c+d=0

2)
Так как точка K
принадлежит плоскости MKP,
значит, координаты этой точки удовлетворяют общему уравнению плоскости.
Следовательно, нужно подставить координаты точки K
в уравнение вместо x,
y,
z.
Получаем следующее уравнение:

a∙2+b∙0+c∙0+d=0,
или проще: 2a+d=0.

3)
Так как точка P
принадлежит плоскости MKP,
значит, координаты этой точки удовлетворяют общему уравнению плоскости.
Следовательно, нужно подставить координаты точки P
в уравнение вместо x,
y,
z,
Получаем следующее уравнение:

a∙2+b∙2+c∙2+d=0,
или проще: 2a+2b+2c+d=0.

В
итоге получаем систему уравнений, составленную из (1), (2) и (3) уравнений:

Так
как система состоит из трех уравнений, но содержит четыре неизвестных a,
b, c,
d, давайте
попробуем все неизвестные, выразить через какую-нибудь одну. Наиболее
«легким» нам кажется второе уравнение, из которого можно выразить d: d=-2a.

Далее, подставляя вместо d в третье уравнение -2a,
получаем 2a+2b+2c-2a=0. Откуда, выражаем b через
c: b=-c.

Аналогично, делая подстановку в первое уравнение,
получаем: a=c

В итоге имеем:

(т.е. все неизвестные
выражены через с)

Возвращаясь к общему уравнению плоскости, получаем

cx-cy+cz-2c=0.

Полагая с=1, получаем искомое уравнение
плоскости KMP:

x-y+z-2=0.

Ответ: общее
уравнение плоскости KMP: x+y+z-2=0.

3.2. Уравнение
плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно ненулевому вектору.

Дано:
точка T
(-2; 6; 1); (2; -3;5).

Найти:
общее уравнение плоскости β, проходящей
через точку Т и перпендикулярно .

Решение:

1)
Вектор нормали плоскости (т.е. вектор
перпендикулярный плоскости) ax+by+cz+d=0

имеет координаты (a,
b,
c).

Так как вектор (2; -3; 5)
перпендикулярен плоскости TKN,
значит, он является вектором нормали к плоскости TKN.
Следовательно, уравнение искомой плоскости можно переписать в виде:

2x-3y+5z+d=0.
(1)

2)
Так как точка Т принадлежит плоскости β,
значит, координаты этой точки удовлетворяют общему уравнению плоскости.
Следовательно, можно подставить координаты точки M
в уравнение (1) вместо x,
y,
z:

2∙(-2)-3∙6+5∙1+d=0.

Откуда находим d:
d=17

Следовательно, искомое уравнение плоскости
TKN:
2x+3y+5z+17=0.

Ответ: общее
уравнение плоскости TKN:
2x+2y+5z+17=0.

3.3. Уравнение
плоскости, проходящей через две точки, параллельно ненулевому вектору.

Дано:
точка T
(3; 1; 1) и точка R
(0; 2; 1), вектор (0; 3; -1).

Найти:
общее уравнение плоскости β, проходящей
через точки T
и R, параллельно вектору .

Решение:
Запишем общее уравнение плоскости β:

ax+by+cz+d=0.

1)
Так как точка T
принадлежит плоскости β, значит, координаты этой точки удовлетворяют общему
уравнению плоскости. Следовательно, нужно подставить координаты точки T
в уравнение вместо x,
y,
z.
Получаем следующее уравнение:

a∙3+b∙1+c∙1+d=0.

Или проще:

3a+b+c+d=0.

2)
Так как точка R
принадлежит плоскости β, значит, координаты этой точки удовлетворяет общему
уравнению плоскости. Следовательно, нужно подставить координаты точки R
в уравнение плоскости вместо x,
y,
z.
Получаем следующее уравнение:

a∙0+b∙2+c∙1+d=0.

Или проще:

2b+c+d=0.

3)
Так как вектор (0; 3; -1) параллелен
плоскости β, значит он перпендикулярен вектору нормали (a;
b; c)
плоскости β. Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно 0, т.е. ∙=0. Получаем третье
уравнение:

0∙a+3∙b-1∙c=0.

Или проще:

3b—c=0.

В итоге мы получаем систему из трех
уравнений:

Решение аналогично изложенному в пункте
3.1.

Ответ:
x+3y+9z-15=0.

3.4. Уравнение
плоскости, проходящей через точку, параллельно двум ненулевым векторам.

Дано: точка
K(3;
0; 2), вектор (2; 0; 1), вектор (1; 2; 0).

Найти:
общее уравнение плоскости β, проходящей через точку К, параллельно векторам и .

Решение: Запишем
общее уравнение плоскости β:

1)
Так как точка К принадлежит плоскости β,
значит координаты этой точки удовлетворяют общему уравнению плоскости ax+by+cz+d=0.
Следовательно можно подставить координаты точки К в уравнение плоскости вместо x,
y,
z.
Получаем следующее уравнение: 3а+0·b+2с+d=0
или проще 3а+2с+d=0.

2)
Вектор (2;0;1),
параллельный плоскости β, перпендикулярен вектору нормали

(a;
b;
c)
данной плоскости, значит скалярное произведение
этих векторов равно 0.

Получаем
второе уравнение: 2·a+0·b+1·c=0
или проще 2a+c=0.

3)
Вектор (1; 2;
0) параллельный плоскости β, перпендикулярен вектору нормали

(a;
b;
c)
данной плоскости, значит скалярное произведение
этих векторов равно 0.

Получаем
третье уравнение: 1·a+2·b+0·c=0
или проще a+2b=0.

В итоге мы получаем систему из трех
уравнений:

Так как система состоит из трех уравнений,
но содержит четыре неизвестных a,
b, c,
d, давайте попробуем
все неизвестные выразить через какую-нибудь одну. Из второго уравнения получаем
с=-2а.

Из третьего уравнения имеем b=-а/2.

Подставляя вместо с в первое
уравнение -2а, получаем 3а-2а+d=0.
Откуда получаем:

d=-a.

В итоге имеем:

b=-а/2,

с=-2а,

d=-a.
(т.е все неизвестные выражены через а)

Возвращаясь к общему равнению плоскости,
получаем:

ax—а/2y-2аz—а=0.
Полагая, а=2 (чтобы в уравнении плоскости не было дробей), получаем
искомое уравнение плоскости: 2x—y-4z-2=0.

Ответ:
2x—y-4z-2=0.

3.5. Уравнения
координатных плоскостей. (выведите
самостоятельно)

Плоскость
хОу задается формулой: z=0,
вектор нормали имеет координаты

Плоскость
хОz задается
формулой: у=0, вектор нормали имеет координаты

Плоскость
уОz задается формулой:
х=0, вектор нормали имеет координаты

Глава
4. Примеры решения задач.

В данной главе предложен координатный
метод решения заданий ЕГЭ разных лет. С решениями задач традиционным образом
(через элементы треугольника) можно ознакомиться в указанной литературе.

4.1. Расстояние между
точками.

Задача.
[2. Задача
17, стр.184.] Основание пирамиды – квадрат со стороной, равной а.
Боковое ребро АМ перпендикулярно плоскости основания пирамиды и вдвое больше
ребра основания. Найти радиус сферы, описанной около этой пирамиды.

(В этой задаче может вызвать
затруднение нахождение расположения центра М

сферы, описанной около
пирамиды. Воспользуемся формулой нахождения

расстояния между точками)

Решение. А
В

Пусть О (х; у; z)
— центр сферы, описанной около пирамиды МАВСD.
D C

Тогда R=ОМ=ОА=ОВ=ОС=ОD.

Расположим пирамиду в прямоугольной
системе координат так, чтобы

А(0;0;0), В(0; а;0), С(а;
а;0), Д(а;0;0), М(0;0;2а)

По формуле 1 расстояния между
точками имеем:

1). АО²= x²+y²+z² 2).
ВО²= x²+(y—а)²+z²

3). СО²= (x—а)²+(y—а)²+z²
4). DО²=(x—а)²+y²+z²

5). МО²= x²+y²+(z-2а)²

Из 1) и 2), получаем у=а/2
. Из 1) и 4) получаем х= а/2 .

Подставляя значения х и у в 3) и 5)
выражения, и приравнивая эти выражения, получаем z=а.
Тогда центр сферы имеет координаты О(а/2; а/2; а).

R²= (а/2)²+(а/2)²+а².
R= Ответ:
R=

4.2.Расстояние между прямыми.

Расстоянием между
скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Если данные прямые перпендикулярны,
то построение их общего перпендикуляра нахождение его длины не вызывает
затруднений. Если же данные прямые не перпендикулярны, то построение общего
перпендикуляра сравнительно более сложно. В этом случае предлагается способ,
который заключается в том, чтобы через одну из прямых провести плоскость β
параллельно второй и найти расстояние от любой точки второй прямой до плоскости
β.

Задача.
[2.,Задача
11. Стр.169]. Ребро куба АВСDА₁В₁С₁D₁ равно 1. Найти расстояние
между прямыми АВ₁ и ВД.

Решение. Расположим куб в прямоугольной
системе координат так, чтобы В₁

А(0;0;0), В(0; 1 ;0), С(1; 1;0), D(1;0;0), В₁(0; 1;1).
А
В

D C

Расстояние между скрещивающимися
прямыми мы найдем как расстояние от любой точки прямой АВ₁ до
плоскости β, содержащей прямую ВD и параллельной прямой АВ_1.

Напишем
уравнение плоскости β: ax+by+cz+d=0,
проходящей
через точки В и Д параллельно прямой АВ_1.(см. глава 3. Задача 3.)

1)Так как точка В принадлежит плоскости β,
значит, координаты этой точки удовлетворяют общему уравнению плоскости.
Следовательно, нужно подставить координаты точки В в уравнение вместо x,
y,
z.
Получаем следующее уравнение: а·0+b·1+c·0+d=0
или проще: b+d=0

2)Так как точка D
принадлежит плоскости β, значит, координаты этой точки удовлетворяет общему
уравнению плоскости. Следовательно, нужно подставить координаты точки D
в уравнение плоскости вместо x,
y,
z.
Получаем следующее уравнение: a∙1+b∙0+c∙0+d=0,
или проще: a+d=0

3)Так как вектор (0;1;1) параллелен плоскости β,
значит он перпендикулярен вектору нормали (a;b;c)
плоскости β. Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно 0, т.е.
∙=0. Получаем
третье уравнение:

0∙a+1∙b+1∙c=0
или проще b+c=0

В итоге мы получаем систему из трех
уравнений:

Так как система состоит из трех уравнений,
но содержит четыре неизвестных a,
b, c,
d, давайте
попробуем все неизвестные выразить через какую-нибудь одну. Из первого
уравнения получим b=-d.

Из второго уравнения получим a=-d.

Далее, подставляя вместо b в
третье уравнение —d,
получаем —d+c=0.
Откуда:c=d.

Возвращаясь к общему уравнению плоскости,
получаем —d∙x—d∙y+d∙z+d=0

Полагая d=1,
получаем уравнение плоскости проходящей через точки В и D
параллельно прямой АВ₁: —x—y+z+1=0

Найдем по формуле 15 расстояние от точки А(0;0;0), до
плоскости β:

—x—y+z+1=0

ρ=
Ответ: ρ=

4.3.
Угол между прямыми.

Определение.

Углом
между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми,
которые порознь параллельны данным скрещивающимся прямым.

Задача.
[5,тренировочная
работа №2, С2, стр.8] В правильной треугольной
призме АВСА₁В₁С₁, все ребра которой равны 1,
найти косинус угла между прямыми АВ и А₁С.

Решение.

Расположим основание призмы в
прямоугольной системе координат, А₁

как показано на рисунке.
А В

Тогда
А(0;0;0), В(0;1;0), С(; 0), А₁(0;0;1)
С

Направляющие векторы прямых АВ и А₁С
имеют координаты:

(0;1;0), (; -1)
Тогда соs =

Ответ: соs

Задача. [2, Задача 5, стр.163]
A₁ B₁

Дан куб АВСD А₁В₁С₁D_1.Пусть F – точка пересечения диагоналей АС
и ВД. A B

Найти угол между прямыми А₁F и В₁Д. D C

Решение.

Пусть ребро куба равно 1.
Расположим куб в прямоугольной системе координат так, чтобы А(0;0;0), В(0;
1;0), С(1; 1;0), D(1;0;0), А₁(0;
0;1), В₁(0; 1;1).

Тогда точка F – точка пересечения диагоналей будет
иметь координаты F( ½; ½; 0).

Найдем угол между векторами ( ½; ½; -1) и (1;
-1;-1).

соs=.

Ответ:
аrccos.

Задача. [2. Задача 9, стр.167] В
прямоугольном параллелепипеде АВСD А₁В₁С₁D_1.Известно АА₁=1, АВ=2, АD=3. Найти угол между прямыми ВD₁ и АС.

Решение. Расположим прямоугольный
параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁ A₁

в прямоугольной системе координат
как показано на рисунке. A B

А(0;0;0),
В(0;2;0), С(3;2;0), D₁(3;0;1).
D C

Направляющий вектор прямой ВД₁
имеет координаты (3;-2;1).

Направляющий вектор прямой АС имеет
координаты (3;2;0).

Найдем косинус угла между прямыми
по формуле 19. соs=.

Ответ: arcos

Задача. [6, вариант 7, задача С2,
стр.71] D₁

В правильной шестиугольной призме
АВСDЕFА₁В₁С₁D₁Е₁F₁, все ребра которой B₁

равны 1, найти косинус угла между
прямыми АВ₁и ВD_1.A

Решение. Расположим основание
призмы АВСДЕFА₁В₁С₁Д₁Е₁F₁в прямоугольной B

системе
координат как показано на рисунке.

В правильном шестиугольнике R=a=1. D
0
A

Тогда точка А(0;1;0), В(; 0), В₁(; 1), D₁(0;-1;1)

Направляющий вектор прямой АВ₁
имеет координаты (; — 1).

Направляющий вектор прямой ВД_1.Имеет координаты (-; —;1).

Найдем косинус угла между прямыми
по формуле 19 соs=.

Ответ: соs=

4.4.Угол
между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой и
плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную
плоскость.

В тех случаях, когда
затруднительно найти проекцию прямой на плоскость, предлагаем воспользоваться
формулой 18 для нахождения угла между прямой и плоскостью.

Задача С2. Вариант №5.
Диагностическая работа. Ноябрь 2009 г.

В прямоугольном параллелепипеде
АВСDА₁В₁С₁D₁, у которого АА₁ =4, А₁D₁ = 6, С₁D₁=6, найти тангенс угла между
плоскостью АDD₁ и прямой ЕF, проходящей через середины ребер
АВ и В₁С₁.

Решение .

Расположим прямоугольный
параллелепипед АВСДА₁В₁С₁Д₁ в
A₁B₁

                                                             D₁
                           F                             прямоугольной систему
координат так, чтобы                                                                  A
E             B

А(0;0;0), А₁(0;0;4),
Д(6;0;0), В(0;6;0). D C

Тогда точка Е — середина АВ имеет
координаты Е(0;3;0), точка F — середина В₁С₁имеет координаты F(3;6;4). Направляющий
вектор прямой EF имеет координаты (3;3;4).

Плоскость АDD₁ имеет уравнение у=0. (п.5.глава 3)

По формуле 18 имеем sin=

Из основного тригонометрического
тождества получаем соs= tg=
Ответ: tg=

Задача. В правильной
шестиугольной пирамиде SАВСDЕF, боковые ребра которой
равны 2, а стороны основания – 1, найти косинус угла между прямой АС и
плоскостью SАF. S

Решение. F

Расположим основание пирамиды в
прямоугольной системе координат О А

как показано на рисунке.
С

В
правильном шестиугольнике R=a=1. Тогда О(0;0;0), А(0;1;0), С(;- 0),
F

F(-; 0), S(0;0;). О
А

Напишем уравнение плоскости SАF.
(см. глава 3. Задача 1.): х —. С

(Напишите самостоятельно).

Найдем по формуле 18 синус угла между
плоскостью SАF, вектор нормали которой имеет
координаты (1; и прямой АС, направляющий
вектор которой имеет координаты (; ; 0).

sinα= .
Применяя основное тригонометрическое тождество, получаем соsα=.

Ответ: соsα=

Задача.
[3, Вариант 1, задача С4, стр.8] Отрезок РN – диаметр
сферы. Точки М, L лежат на сфере так, что объем пирамиды РМNL- наибольший.
Найти синус угла между прямой NT и плоскостью РМN, если Т – середина ребра ML.

Решение.
L

Пирамида
РNМL
имеет наибольший объем, если
T

треугольники
РМN и РLТ
прямоугольные, равнобедренные M N

с
общей гипотенузой РN, лежащие во
взаимно перпендикулярных плоскостях. Р

Расположим пирамиду в прямоугольной
системе координат как показано на рисунке. Пусть катеты равнобедренных
прямоугольных треугольников РМN и РLТ равны 1. Тогда радиус
сферы R=.

Тогда М(0;0;0), Р(1;0;0), N(0;1;0), L().
Точка Т (– середина ребра ML.

Направляющий
вектор прямой NT имеет координаты (.

Плоскость РМN
задается уравнением z=0, вектор нормали
имеет координаты (Глава 3. п.5.).

По
формуле 18 находим синус угла α между прямой NT и плоскостью РМN:

sin α=.

Ответ:
sin α
=.

4.6.Угол
между плоскостями.

Задача С4.
[ЕГЭ, 2005 г.] Основание прямой четырехугольной призмы АВСDА₁В₁С₁D₁ – прямоугольник АВСD, в котором АВ=5, АD=. Найти тангенс угла между
плоскостью грани АА₁Д₁Д призмы и плоскостью, проходящей
через середину ребра СD перпендикулярно прямой В₁D, если расстояние между прямыми АС
и В₁D₁ равно .

Решение.

Расположим призму в прямоугольную
систему координат так, A₁ B₁

чтобы
А(0;0;0),
В(0;5;0), D(;
0; 0), В₁(0;5;. A
B

                                                            D
  K         C

Напишем уравнение плоскости β,
которая проходит через середину DС — точку К(;;0) ,
и для которой вектор (;-5;) – есть вектор нормали. (см.
задачу 2 из главы 3 – уравнение плоскости, проходящей через точку,
перпендикулярно ненулевому вектору):

·— 5·+ 0·( =-20,5

Уравнение плоскости, проходящей
через точку К перпендикулярно прямой В₁Д имеет вид

х-5у-z -20,5=0.

Уравнение плоскости АА₁D₁D имеет вид у=0 (п.5.глава 3).

Тогда по формуле 16 имеем соs==. sin= tg=

Ответ: tg=

Задача 6. [2.стр. 163] Среди
различных плоскостей, пересекающих поверхность куба, взяты плоскости ВDС₁ и В₁АD. Найти угол между ними.

Решение.

Пусть
дан куб АВСD А₁В₁С₁D_1. С ребром равным 1. Расположим куб
В₁

в прямоугольной системе координат
так, чтобы А В

А(0;0;0), В(0; 1;0), С(1; 1;0),
Д(1;0;0), В₁(0; 1;1), С₁(1; 1;1). D C

Напишем уравнение плоскости ВDС_1.(см. задачу 1
главы 3 – уравнение плоскости, проходящей через 3 точки).

–х-у+z+1=0. (1) (напишите
самостоятельно)

Напишем уравнение плоскости В₁АD: — у+z=0. (2). (напишите
самостоятельно)

Вектор нормали плоскости ВДС₁:
₁ (-1;-1;1).

Вектор нормали плоскости В₁АД:
₂ (0;-1;1).

Тогда по формуле 16 имеем соs=.

Ответ: arccos

Задачи для самостоятельного
решения.

В правильной
шестиугольной призме АВСДЕFА₁В₁С₁Д₁Е₁F₁, все ребра которой равны 1,
найти косинус угла между прямыми АВ₁и ВС_1. (Ответ:
соsα=)
В правильной
шестиугольной призме АВСДЕFА₁В₁С₁Д₁Е₁F₁, все ребра которой равны 1,
найти угол между прямыми АВ₁и ВЕ_1.(Ответ:
соsα= —)
В правильной треугольной
призме АВСА₁В₁С₁, все ребра которой равны
1, найти косинус угла между прямыми АВ₁ и ВС₁.
(Ответ: соsα=)
В правильной треугольной
призме АВСА₁В₁С₁, все ребра которой равны
1, найти косинус угла между прямыми АВ и А₁С. (Ответ:
соsα=)

5. В прямоугольном параллелепипеде
АВСDА₁В₁С₁D₁, у которого АВ =4, ВС = 6, СС₁= 4, найти тангенс угла между плоскостью АВС и прямой ЕF, проходящей через середины ребер
АА₁ и С₁D₁.

(Ответ: tg=)

В кубе АВСДА₁В₁С₁D₁
найти тангенс угла между прямой АА₁ и плоскостью ВС₁D.

(Ответ: tgα=)

7.
В
кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ найти синус угла между прямой АD₁ и плоскостью ВA₁С₁.

(Ответ: sinα=).

8. Через центр О данной сферы
проведено сечение. Точка F выбрана на сфере, а точки
А, В, С, Д – последовательно на окружности сечения, так, чтобы объем пирамиды FАВСД был наибольший. Найти синус
угла между прямой АМ и плоскостью ВFД, если М – середина ребра FВ.

(Ответ: sinα= —).

9.
Основание прямой
четырехугольной призмы АВСDА₁В₁С₁D₁ – прямоугольник АВСД, в котором
АВ=12, АD=. Найти косинус угла между
плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра АD перпендикулярно прямой ВD₁, если расстояние между прямыми АС
и В₁Д ₁равно (Ответ: соsα=)

Литература.

Бунеева Н.А, Каргаполов А.М. Задачи по
стереометрии (координатный метод), 2006.
Единый Государственный экзамен: математика:
методика подгот. : кн. для учителя / [Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А.
Красньянская и др.]. – М.: Просвещение, 2005. – 256 с.
Единый государственный экзамен: математика:
контрол. измерит. материалы: 2005-2006/ под общ. ред.Л.О.Денищевой; М-во
образования и науки Рос. Федерации, Федерал. служба по надзору в сфере
образования и науки, Федерал. ин-т пед. измерений, — М.: Просвещение,
2006. – 96 с.
Единый государственный экзамен: математика:
учебно-тренировочные материалы: 2005: Математика/под ред.Л.О.Денищевой,
-М: Просвещение, 2005. – 78 с.
ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые
задания/И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров, В.С.Панферов, С.Е.Посицельский,
А.В.Семенов, А.Л.Семенов, М.А.Семенова, И.Н.Сергеев, В.а.смирнов,
С.А.Шестаков, Д.Э.Шноль, И.В.Ященко; под ред.А.Л.Семенова, И.В.Ященко. –
М.: Издательство «Экзамен», 2010 – 55 с. (Серия «ЕГЭ 2010. Типовые
тестовые задания)
Самое полное издание типовых вариантов реальных
заданий ЕГЭ: 2010: Математика/авт.-сост.И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин,
П.И.Захаров и др.; под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.:АСТ:Астрель,
2010.-93 с. – (Федеральный институт педагогических измерений)

Оглавление.

Глава
1. «Симпатичные» фигуры……………………………………………………………………….1

Глава 2. Основные формулы и определения…………………………………………………………..5

Глава 3. Уравнение
плоскости

3.1.Уравнение
плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой………………7

3.2. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно ненулевому
вектору…..8

3.3.Уравнение
плоскости, проходящей через две точки, параллельно ненулевому вектору………….9

3.4. Уравнение плоскости, проходящей через точку, параллельно двум ненулевым
векторам…10

3.5. Уравнения
координатных плоскостей…………………………………………………………………11

Глава 4. Примеры решения
задач

4.1. Расстояние
между точками……………………………………………………………………………12

4.2.Расстояние между прямыми…………………………………………………………………………12

4.3. Угол
между прямыми……………………………………………………………………………….14

4.4. Угол между прямой и плоскостью………………………………………………………………….16

4.5. Угол между плоскостями…………………………………………………………………………….18

Глава
5. Задачи для самостоятельного решения……………………………………………………………20

Источник

8 ноября 2020

В закладки

Обсудить

Жалоба

С помощью данных методических рекомендаций можно научиться решать задачи на вычисление углов и расстояний в стереометрии координатно-векторным методом.

Координатно-векторный метод основан на введении прямоугольной системы координат и создании геометрически-алгебраической модели решения задач, тем самым упрощая громоздкие и достаточно сложные преобразования и выкладки.

Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

→ 14kvm.doc
→ Другое пособие по теме
→ Пособие к 14 задаче
→ Экзаменационные задачи

Источник

Метод координат… Что же это такое и зачем он нужен? Можно ли без него обойтись при сдаче ЕГЭ? Можно, безусловно! Все стереометрические задачи второй части профильного ЕГЭ по математике решаются и без привязки фигур к системе координат. Но… координатный метод может значительно упростить решение самых сложных вопросов, таких, как определение расстояний и углов между прямыми и плоскостями в пространстве, так как там все эти расчеты сводятся, практически, к одной формуле.

Будем разбираться!

Вспомните, как вас знакомили с системой координат и объясняли, что положение каждой точки в системе координат можно определять координатами х и у. Это точки M(x_m; y_m) и N(x_n; y_n)

Как известно, прямую можно провести через две точки, и при том, только одну. Задача по определению уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точки, координаты которых известны, решалась очень просто. В этом случае в уравнение прямой y=kx+b подставляли сначала координаты точки М, затем – точки N.

Получали систему двух линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов k и b, которые находили при решении этой системы.

Но уравнение прямой на плоскости можно задать и по-другому:

Ax + By + C = 0, (A² + B² ≠ 0)

И суть от этого не изменится, изменятся только коэффициенты. Условие в скобках означает, что А и В не могут быть равны нулю одновременно.

Стереометрия рассматривает фигуры в пространстве, где каждая точка описывается уже тремя координатами – (x, y, z).

Привязка фигур к системе координат позволяет не только определять координаты точек, но и записать уравнение плоскости. Как известно, на трех точках можно построить плоскость, притом, только одну. Соответственно, можно и записать плоскость уравнением. Выглядит это уравнение следующим образом:

Ax + By + Cz + D = 0

Очень похоже на вторую запись уравнения прямой на плоскости. Значит, и коэффициенты А, В, С и D мы будем находить также, как и коэффициенты для прямой на плоскости, по точкам.

Это действие сродни тому, что вы производили, определяя уравнение прямой, проходящей через две точки, заданные координатами.

Прямую можно провести через две точки, и мы составляли два уравнения для двух точек.

Плоскость можно провести через три точки, значит, и уравнений будет три!

Но уравнений три, а неизвестных – четыре! Ну, и что! Мы же можем разделить все уравнения на D, при этом они не изменятся, будут равнозначны первоначальным! Так и будем поступать! Тогда вместо D будет единица, а все остальные коэффициенты будут делиться на D, назовем их также, А, В, С. И это уже вполне решаемая система!

Здесь значения всех x, y и z известны, это координаты точек, принадлежащих данной плоскости.

Итак, точку описать можем, прямую описать можем, плоскость – можем. Осталось вспомнить сами векторы и их координаты, они нам тоже пригодятся при решении задач.

Векторы и их координаты

Вектор – это математический объект, характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой.

Мы можем «привязать» вектор к системе координат, т.е. мы можем его определять в пространстве координатами его проекций на координатные плоскости.

Если даны две точки в пространстве А(x_a; y_a; z_a) и B(x_b; y_b; z_b), то дан и вектор

, где а_х, а_у и а_z – координаты вектора. Осталось определить значения а_х, а_у и а_z. Определяем:

а_х = x_b – x_a

а_у = y_b – y_a

а_z = z_b – z_а

Теперь, зная длины проекций вектора, мы можем легко найти длину вектора, которая, как видно из чертежа, есть не что иное, как диагональ параллелепипеда, сторонами которого являются координаты этого вектора. Его длина, модуль вектора, будет равна:

А что есть длина вектора, как не расстояние между двумя точками: началом и концом вектора? То есть выведенная формула определяет расстояние между двумя точками в декартовой системе координат.

Метод координат

Примеры решения задач →

Источник

Слайд 1

Задания С2 на ЕГЭ. Координатный метод.

Слайд 2

Координаты многогранников.

Слайд 3

Единичный куб. х у z D (0; 0; 0) A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) B (1; 1; 0 ) D 1 (0; 0; 1) A 1 (1; 0; 1) C 1 (0; 1 ; 1) B 1 (1; 1; 1)

Слайд 4

Прямоугольный параллелепипед. х у z D (0; 0; 0) A (a; 0; 0) C (0; b; 0) B (a; b ; 0) D 1 (0; 0; c) A 1 (a; 0; c) C 1 (0; b; c ) B 1 (a; b ; c ) a b c

Слайд 5

Правильная шестиугольная призма. х у C F D E B A a a C (a; 0;0) F (- a; 0;0) х у z C 1 (a; 0;c) F 1 (- a; 0;c) a c

Слайд 6

Правильная треугольная призма. С 1 А В С А 1 В 1 c a х у z O

Слайд 7

Правильная треугольная пирамида. х y O z H h

Слайд 8

Правильная четырехугольная пирамида. a h х y z h

Слайд 9

Правильная шестиугольная пирамида. х y z a h C (a; 0;0) F (- a; 0;0)

Слайд 10

Расстояние от точки до плоскости.

Слайд 11

Расстояние от точки М( x 0 ;y 0 ;z 0 ) до плоскости ax + by + cz + d = 0 . Например:

Слайд 12

Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости имеет вид Числа a, b, c находим из системы уравнений

Слайд 13

Например: Написать уравнение плоскости, проходящей через точки — уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Слайд 14

№ 1 В единичном кубе АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости (BDC 1 ) . х у z A 1 (1; 0; 1) D (0; 0; 0) B (1; 1; 0 ) C 1 (0; 1 ; 1) Запишем уравнение плоскости DBC 1 .

Слайд 15

A 1 (1; 0; 1) Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:

Слайд 16

х у z № 2. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости (DEF 1 ) F 1 (- 1; 0;1) Запишем уравнение плоскости DC 1 F 1 . C 1 (1; 0;1) 1 1

Слайд 18

Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:

Слайд 19

Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Слайд 20

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую, параллельно первой. b c A B

Слайд 21

№ 1. В единичном кубе найдите расстояние между прямыми А D 1 и В D . х у z

Слайд 22

A (1; 0; 0 ) D (0; 0; 0 ) B (1; 1; 0 ) C 1 (0; 1; 1) Запишем уравнение плоскости BDC 1 . Найдем искомое расстояние по формуле

Слайд 23

A (1; 0; 0 ) Ответ:

Слайд 24

№ 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми А S и ВС. х y z 1 1 h O

Слайд 25

Запишем уравнение плоскости ADS .

Слайд 26

Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:

Слайд 27

Литература : Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) 18.02.2011 www.alexlarin.narod.ru

Источник

Геометрия, 11 класс

Урок № 3. Координатный метод решения задач

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

специфика и преимущества решения задач в пространстве координатным методом;
типы задач, решаемые координатным методом;
этап решения задачи координатным методом;
решение несложных задач методом координат.

Глоссарий по теме

Уравнение вида задает в пространстве плоскость α.

При этом вектор – это вектор, перпендикулярный плоскости α. Его называют вектор нормали, или нормальный вектор, или нормаль. Очевидно, что нормалью является любой вектор, коллинеарный вектору .

Вектор и любой коллинеарный ему вектор называются направляющим векторами прямой и прямой соответственно.

Основная литература:

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 163-170.

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 353-260.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Работа по теме урока. Объяснение новой темы

Мы рассмотрели несложную задачу на применение метода координат в пространстве.

Векторы , угол между которыми мы искали, называются направляющими векторами прямой и прямой соответственно.

Рассмотрим этот метод более подробно.

Суть метода координат на плоскости и в пространстве заключается в следующем.

Ввести систему координат удобным образом (исходя их свойств заданной фигуры)
Записать условие задачи в координатах, определив во введенной системе координат координаты точек и/или векторов
Используя алгебраические преобразования, решить задачу
Интерпретировать полученный результат в соответствии с условием данной задачи

В рассмотренном нами примере, поскольку был дан куб, мы могли ввести систему координат с центром в любой его вершине.

В координатах удобно решать задачи, связанные с поиском расстояний и углов. Но для того чтобы его использовать, нужно знать некоторые формулы:

Угол между прямыми
Угол между прямой и плоскостью
Угол между плоскостями
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до прямой в пространстве
Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между параллельными плоскостями определяется как расстояние от точки, лежащей в одной плоскости, до другой плоскости.

Мы рассмотрим только первые четыре формулы.

Введем их.

Угол между прямыми

Если прямая задана двумя точками A и B, то известен направляющий вектор этой прямой с координатами {}. Пусть вторая прямая имеет направляющий вектор . Тогда угол между векторами вычисляется по формуле:

Дальше ищется арккосинус от найденного числа. Заметим, что если косинус получился отрицательным, то это значит, что угол между векторами тупой. Поэтому мы берем модуль получившегося числа.

Фактически мы уже рассмотрели пример вычисления угла между прямыми в пространстве.

Угол между прямой и плоскостью

Сначала рассмотрим уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Вам известно, что в пространстве плоскость задается уравнением, аналогичным тому, которое на плоскости задает прямую.

Если линейное уравнение вида на плоскости задает прямую l, то уравнение вида задает в пространстве плоскость α. При этом вектор – это вектор, перпендикулярный плоскости α. Его называют вектор нормали, или нормальный вектор, или нормаль.

Вам известно, что три точки в пространстве определяют единственную плоскость. Поэтому, если заданы три точки, то мы можем найти уравнение плоскости

Мы можем подставить координаты заданных точек в уравнение плоскости и решить систему из трех уравнений с тремя переменными:

В этой системе четыре неизвестных, однако, мы можем избавиться от одной, если разделим все уравнения на D:

Для изучения данного способа в 11 классе на базовом уровне введение понятий матрица, определитель матрицы не желателен, данные понятия не входят в базовый курс изучения геометрии.

Иногда эта система оказывается несложной. Но иногда бывает трудно ее решить, и тогда можно использовать следующую формулу:

Обозначение |M| означает определитель матрицы М.

В нашем случае матрица представляет собой таблицу 3х3 элемента. И определитель |M| вычисляется следующим образом:

Таким образом, уравнение плоскости будет записано так:

Пример 1:

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки K(1; -2; 3), L (0; 1; 1), M (1; 0; 1).

Составим систему.

Решая ее, получим значения А, В и С: . То есть уравнение плоскости имеет вид:

Ответ: .

Теперь запишем формулу угла между прямой и плоскостью.

Пусть дано уравнение плоскости: и известен — направляющий вектор прямой.

Тогда – синус угла между прямой и плоскостью.

Пример 2:

Найдем угол между прямой и плоскостью. В качестве плоскости возьмем ту, уравнение которой мы только что написали:

Прямая проходит через точки Т(2; -1; 4) и Р(3; 2; 2).

Направляющий вектор прямой: .

Найдем синус угла между прямой и плоскостью:

Угол между прямой и плоскостью .

Ответ: .

Угол между плоскостями

Пусть:

уравнение первой плоскости:

уравнение второй плоскости:

Тогда — косинус угла между этими плоскостями.

Пример 3:

Найдем угол между плоскостями:

и .

Найдем косинус угла между плоскостями:

Угол между плоскостями:

Ответ:

Расстояние от точки до плоскости

Пусть координаты точки: , уравнение плоскости: .

Тогда Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле: .

Пример 4.

Найдем расстояние от точки М(4; 3; 4) до плоскости .

Теперь рассмотрим решение задачи координатным методом с использованием рассмотренных формул.

Пример 5.

АВС…D1 – куб с ребром 4. Найти расстояние от точки А до плоскости ЕКС (Е – середина D1C1, K – середина C1B1)

Введем систему координат с началом в вершине А так, как показано на рисунке:

Интересующие нас точки будут иметь координаты:

A(0; 0; 0), C(4; 4; 0), E(4; 2; 4), K(2; 4; 4).

Напишем уравнение плоскости ЕКС:

Решая ее, получим значения А, В, С и D: .

Уравнение плоскости имеет вид:

Теперь найдем расстояние от точки А до плоскости ЕКС: .

Ответ: .

Рассмотрим задачу (№14 из варианта ЕГЭ).

В кубе ABC…D₁ все рёбра равны 4. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C₁построена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что A₁P : PB₁ = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

Решение:

Переформулируем первый пункт этой задачи таким образом:

Проведем плоскость через точки Р, K и C₁ и докажем, что она параллельна прямой BD₁.

Введем систему координат так, как показано на рисунке:

Найдем координаты точек :

Р(; 0; 4), К(4; 0; 3),(4; 4; 4).

Напишем уравнение плоскости :

;

Решая ее, получим значения А, В, С и D: .

— уравнение плоскости

Теперь докажем, что плоскость параллельна прямой BD₁.

Найдем угол между прямой BD₁ и плоскостью .

Точки В и D₁ имеют координаты: В (4; 0; 0), D₁ (0; 4; 4).

Направляющий вектор прямой BD₁ – это вектор .

Он имеет координаты .

Теперь найдем синус угла между вектором и плоскостью .

В этом случае нам не нужно считать знаменатель дроби. Так как числитель получился равен 0, то дробь равна 0, то есть синус угла между плоскостью и прямой равен 0, значит, плоскости параллельны или совпадают. Но, так как точка В, например, в плоскости, очевидно, не лежит, то плоскости параллельны.

Это значит, что плоскость, параллельная прямой BD₁ и проходящая через точки действительно пересекает ребро A₁B₁в точке Р так, что A₁P : PB₁ = 2 : 1. Что и требовалось доказать.