Решу егэ модули

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 62    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–62

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 62    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–62

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 30    1–20 | 21–30

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 30    1–20 | 21–30

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение с модулем, его можно решить, вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда, занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним определение модуля.

Если число x неотрицательное, то модуль x равен самому числу x.

А для отрицательного числа x модуль равен противоположному ему положительному числу -x.

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем.

Начнем с простых заданий.

к оглавлению ▴

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Нам поможет геометрический смысл модуля.

Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Очевидно, расстояние не может быть отрицательным. Оно или положительно, или равно нулю. Например, . Другими словами, расстояние от точки -2 до нуля равно 2. Этим мы пользуемся при решении уравнений.

1. Решим уравнение:

Решение:

На числовой прямой есть ровно две точки, расстояние от которых до нуля равно двум. Это точки 2 и -2. Значит, у уравнения есть два решения: и .

Ответ: -2; 2.

2. Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

3. Решите уравнение:

Решение:

Мы получили совокупность двух квадратных уравнений. А затем решили отдельно каждое из них.

Вот что мы делали, решая квадратные уравнения:

— применили теорему Виета и нашли корни.

корней нет.

Ответ:

4. Решим уравнение: 

Решение:

Задача похожа на предыдущую.

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух простых:

или

Второе уравнение не имеет корней. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Ответ: 0; 5.

к оглавлению ▴

Слева модуль, справа выражение, зависящее от переменной

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

5.

Решение:

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

   

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.

Ответ: 1.

6.

Решение:

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения.

Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:

Число . больше, чем , и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим :

Значит, . является корнем исходного уравнения.

Ответ:

7. Решите уравнение: = x.
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший корень

Решение:

ОДЗ уравнения: x≠3. Так как в левой части уравнения — неотрицательная величина, должно также выполняться условие Возведем обе части уравнения в квадрат

= x

(разность квадратов),

Так как — это посторонний корень. Уравнение имеет два корня: или

Меньший корень: 1.

Ответ: 1.

8.

Решение:

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не полный квадрат.

Давайте воспользуемся следующим правилом:

Уравнение вида равносильно совокупности двух систем:

   

То же самое, но немного по-другому:

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:

Затем решаем второе уравнение:

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

Подходят только и .

Ответ:

Еще одно уравнение того же типа.

9. Решите уравнение: .

Это уравнение вида Вспомним, что оно равносильно системе:

Получим:

Решим отдельно каждое уравнение совокупности.

по теореме Виета.

Система примет вид:

Сравним и Для сравнения мы будем использовать вот такой символ:

.

Умножим обе части этого неравенства на 2: .

Прибавим 5 к обеим частям выражения: Обе части выражения неотрицательны, поэтому возведем их в квадрат и сравним квадраты. Очевидно, 17 9. Это значит, что и

Остальные корни, очевидно, меньше, чем -1.

Ответ: .

к оглавлению ▴

Квадратные уравнения с заменой

Замена переменной — универсальный способ решения всевозможных уравнений. И этот способ помогает нам решать квадратные уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

10. Решим уравнение:

Решение:

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

.

Ответ: ±1.

к оглавлению ▴

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Как мы получили это равенство? Покажем на примере задачи.

11. Решите уравнение:

Решение:

Возведем обе части в квадрат, поскольку они неотрицательны.

Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов:

Ответ:

12. Решим уравнение: .

Решение:

Уравнение равносильно следующей совокупности:

Решим каждое из уравнений совокупности и запишем ответ.

1)

— корни первого квадратного уравнения.

2)

— корни второго квадратного уравнения.

В ответ запишем все 4 корня.

Ответ:

к оглавлению ▴

Два или несколько модулей

13. Решим уравнение:

Решение:

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении).

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются с «плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается с «минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются с «минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Ответ: [1; 2] ∪ {5}.

к оглавлению ▴

Модуль в модуле

14. Решим уравнение:

Решение:

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

2) x ≥ 3. Имеем:

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается с «плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Ответ: 4.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Часто в решении уравнений и неравенств с модулем используется график функции Он строится согласно определению модуля:

.

Для получаем участок графика y = x.

Для  получаем участок графика y = −x. Вот этот график:

15. Решите уравнение:

Решение:

Сделаем замену переменной:

Тогда

Получим:

Мы помним, что

Решим уравнение графически. В левой части — график функции

Построим этот график. Сначала изобразим графики функций (точка минимума (3; 0)) и (точка минимума ( -3; 0)). Можно сказать, что график функции сдвинут относительно графика на 3 единицы вправо, а график — на 3 единицы влево.

И построим график суммы функций и

В точке с абсциссой 3 значение одного из слагаемых равно 0, другое слагаемое равно 6, сумма равна 6.

В точке с абсциссой -3 аналогично.

При х = 0 оба слагаемых равны 3, сумма равна 6.

Легко доказать, что сумма двух линейных функций есть линейная функция.

Поэтому при — получим горизонтальный участок. При x 3 получим луч с угловым коэффициентом, равным 2, а при x — 3 — луч с угловым коэффициентом, равным — 2.

Решения нашего уравнения — все принадлежащие отрезку от до

значит,

Ответ:

Мы рассмотрели все основные типы уравнений с модулями.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

ЕГЭ Профиль №12. Уравнения с модулямиadmin2022-08-08T15:31:03+03:00

Используйте LaTeX для набора формулы

Версия для печати

Решение уравнений и неравенств, содержащих неизвестное под знаком модуля

1. Определение модуля

Модулем числа называется расстояние от точки, изображающей это число до нуля.

По определению `abs(f(x))>=0`, причём x — любое действительное число (`x in R`) из области допустимых значений (ОДЗ).

1.1 Модуль неотрицательного числа

Модуль неотрицательного числа есть само это число:

`abs(0)=0`;

`abs(5)=5`;

`abs(pi/3)=pi/3`;

`abs(sin 120°)=sin 120°=sqrt3/2`

1.2 Модуль отрицательного числа

Модуль отрицательного числа есть число, противоположное ему:

`abs(-7)=-(-7)=7`;

`abs(-e^4)=-(-e^4)=e^4`;

1.3 Модуль неизвестного числа

`abs(x)=[({(x >= 0),(abs(x) = x):}), ({(x < 0),(abs(x)=-x):}) :}`

1.4 Упражнения к определению модуля

1.4.1 Решить уравнение `abs(2x-1)=2x-1`

`2x-1>=0`;

`x >= 1/2`

Ответ: `[1/2; +infty)`

1.4.5 Решить неравенство `abs(x+4) <=1`

`-1 <= x+4 <= 1`;

`-5 <= x <= -3`

Ответ: `[-5; -3]`

1.4.6 Решить неравенство `1/5 abs(1-7x) > 3`

`abs(1-7x) > 15`;

`[(1-7x > 15), (1 — 7x < -15) :}`; `[(7x < -14), ( 7x > 16) :}`;

`[(x < -2), (x > 16/7) :}`

Ответ: `(-infty; -2) uu (16/7; +infty)`

2. Решение уравнений, содержащих неизвестную функцию под знаком модуля

— Если `varphi(x) < 0`, уравнение не имеет решения (по определению модуля).

— Если `varphi(x) >= 0`, то решаем систему:

`{( varphi(x) >= 0 ), ( [(f(x)=varphi(x)), (f(x)=-varphi(x)) :}) :}`

Примеры уравнений, содержащих неизвестную функцию под знаком модуля

Решить уравнение `abs(x^2-x)=3x-4`

`{( 3x-4 >= 0 ), ( [ (x^2-x=3x-4), (x^2-x=4-3x) :}) :}`; `{ (x >= 4/3 ), ( [ (x^2-4x+4 = 0), (x^2+2x-4=0) :}) :}`;

`[( { (x >= 4/3), ((x-2)^2=0) :} ), ( { (x >= 4/3), (x^2+2x-4=0) :}) :}`; `[( { (x >= 4/3), (x=2) :} ), ( { (x >= 4/3), ([(x=-1-sqrt5),(x=-1+sqrt5):}) :}) :}`;

Сравним `4/3 vv sqrt5-1`

`4 vv 3sqrt5-3`; `7 vv 3sqrt5`; `49 vv 45 (>)`

`4/4 > sqrt5-1`

Ответ: 2

3. Решение неравенств, содержащих неизвестную функцию под знаком модуля

3.1 Смысл неравенства меньше либо равно

Если `varphi(x) < 0` — неравенство не имеет решений

Если `varphi(x) >= 0` — то необходимо решить систему: `{(varphi(x) >= 0), (-varphi(x) <= f(x) <= varphi(x)) :}`

`{(varphi(x) >= 0), (f(x) <= varphi(x)), (varphi(x) >= -f(x)) :}`

Примеры с модулем на неравенства со смыслом меньше либо равно

3.1.1 Решить неравенство `abs(1-3x^2) <= 4x`

`{(x >= 0), (1-3x^2 <= 4x), (1-3x^2 >= -4x) :}`; `{(x >= 0), (3x^2+4x -1 >= 0), (3x^2 — 4x -1 <= 0) :}`

Ответ: `[(sqrt7-2)/3; (sqrt7+2)/3 ]`

3.1.2 Найти область определения функции `f(x)=sqrt(7-abs(x-2)/(3x+5))`

`D_f(x)`:

`7-abs(x-2)/(3x+5) >= 0`; `(21x+35-abs(x-2))/(3x+5) >= 0`;

`[({(x >= 2), ((20x+37)/(3x+5) >= 0) :}), ({(x < 2), ((22x+33)/(3x+5) >=0 ) :}):}`

Сравним:`-37/20 vv -5/3`	Сравним: `-3/2 vv -5/3`
`37/20 ^^ 5/3`	`3/2 ^^ 5/3`
`111 ^^ 100`	`9 ^^ 10`
`111 > 100`	`9 < 10`
`-37/20 < -5/3`	`-3/2 > -5/3`

Итоговое объединение двух систем: `x < -5/3 uu [-3/2; 2] uu x>=2`

Ответ: `(-infty; -5/3) uu (-3/2; +infty)`

3.1.3 Найти область определения функции `f(x)=sqrt(1/2-abs(3/(5-x))`

`D_f(x)`:

`1/2-abs(3/(5-x)) >= 0`;

`abs(3/(5-x)) <= 1/2`;

` -1/2 <= 3/(5-x) <= 1/2`;

`{( 3/(5-x) <= 1/2), ( 3/(5-x) >= -1/2) :}`; `{( 3/(5-x) — 1/2 <= 0), ( 3/(5-x) + 1/2 >= 0):}`;

`{( (6-5+x)/(2(5-x)) <= 0 ), ( (6+5-x)/(2(5-x)) >= 0 ):}`; `2 > 0`; `{( (x +1)/(5-x) <= 0 ), ( (11-x)/(5-x) >= 0 ):}`;

Ответ: `(-infty; -1] uu [11; +infty)`

3.1.4 Найти область определения функции `f(x)=sqrt((x^2-7abs(x)+10)/(-x^2+6x-9))`

`D_f(x)`:

`[
(
{
(x >= 0), ( ((x-2)(x-5))/(-(x-3)^2) >= 0)
:}
),

(
{(x < 0), ( ((x+2)(x+5))/(-(x-3)^2) >= 0) :}
)

:}` ;

`[
(
{
(x >= 0), ( ((x-2)(x-5))/(x-3)^2 <= 0)
:}
),

(
{(x < 0), ( ((x+2)(x+5))/(x-3)^2 <= 0) :}
)

:}`

Ответ: `[-5; -2] uu [2; 3) uu (3; 5]`

3.2 Смысл неравенства больше либо равно

Если `varphi(x) <= 0` — то неравенство справедливо для всех `x`, удовлетворяющих области допустимых значений (ОДЗ).

Если `varphi(x) > 0` — то необходимо решить совокупность двух неравенств:

`[(f(x) >= varphi(x)), (f(x) <= -varphi(x)) :}`

Примеры с модулем на неравенства со смыслом больше либо равно

3.2.1 Решить неравенство `abs((x+1)/(x-1)) >= 1-2x`

а) `{(ОДЗ: x != 1), (1-2x < 0) :}`

В ответ: `(1/2; 1) uu (1; +infty)` (a)

б) `{(ОДЗ: x != 1), (1-2x >= 0), ([((x+1)/(x-1) >= 1-2x), ((x+1)/(x-1) <= 2x — 1) :} ) :}`; `{(x <= 1/2), ([((x+1)/(x-1) + (2x -1)/1 >= 0), ((x+1)/(x-1)+ (1-2x)/1 <= 0) :} ) :}`;

`{(x <= 1/2), ( [ ((x^2-x+1)/(x-1) >= 0), ((1-x)^2/(x-1) <= 0) :} ) :}`; `[({(x <= 1/2), (x-1 > 0):}), ({(x <= 1/2), (-(x+1) <= 0):}) :}`; `[(emptyset), ({(x <= 1/2), (x+1 >= 0):}) :}`; `{(x <= 1/2), (x >= -1):}`

В ответ: `[-1; 1/2]` (б)

В ответ `[ ( a: (1/2; 1) uu (1; +infty)), ( б: [-1; 1/2]) :}`

Ответ: `[-1; 1) uu (1; +infty)`

4. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестные под несколькими модулями

4.1 Решить неравенство `abs(x-4)-2abs(1-x) >= 1`

На числовом луче отметим значения x, при которых подмодульные значения обращаются в «0»: `x=1; x=4`. Луч разбился на три интервала.

Необходимо на каждом интервале найти решение данного неравенства, то есть решить совокупность трёх систем неравенств:

`[
(
{
(x <= 1), (4-x-2(1-x) >= 1)
:}
),
(
{(1 < x <= 4), (4-x+2(1-x) >= 1) :}
),
(
{(x > 4), (x-4+2(1-x) >= 1) :}
)
:}` ;

`[
(
{
(x <= 1), (4-x-2+2x >= 1)
:}
),
(
{(1 < x <= 4), (4-x+2-2x >= 1) :}
),
(
{(x > 4), (x-4+2-2x >= 1) :}
)
:}` ;

`[
(
{
(x <= 1), (x+1 >= 0)
:}
),
(
{(1 < x <= 4), (5-3x >= 0) :}
),
(
{(x > 4), (-x-3 >= 0) :}
)
:}` ;

`[
(
{
(x <= 1), (x >= -1)
:}
),
(
{(1 < x <= 4), (x <= 5/3) :}
),
(
{(x > 4), (x <= -3) :}
)
:}` ;

Ответ: `[-1; 5/3]`

4.2 Решить неравенство `abs(x) >= abs (7-x)`

Обе части данного неравенства неотрицательные. Возведя обе части в квадрат, мы получим неравенство того же смысла:

`x^2 >= (7-x)^2`

` color{brown}{ text{Замечание: Если } a > 0 text{ и } b >0 text{ можно перейти от сравнения } a text{ и } b text{ к сравнению } a^2 text{ и } b^2 }`

`x^2 — (7-x)^2 >= 0; (x-7+x)(x+7-x) >= 0; 2x-7 >=0`

Ответ: `[7/2; +infty)`

4.3 Решить уравнение `abs(x^3-49x) + abs (49x^2-1) = x^3 +49x^2 -49x -1`

` color{brown}{ text{Замечание: Полезно помнить: }`

` color{brown} { text{Если } abs(a) +abs(b)=a+b text{ то } {(a>=0), (b >=0):} }`

`underbrace(abs(x^2-49x))_{text{a}} + underbrace(abs (49x^2-1))_{text{b}}`

Решение данного уравнения сводится к решению системы неравенств

`{(x^3 — 49x >= 0), (49x^2 -1 >= 0):}; {(x(x-7)(x+7) >= 0), ((7x-1)(7x+1) >= 0):}`

Ответ: `[-7; -1/7] uu [7; +infty)`

4.4 Решить уравнение `abs(x^2-9) + abs(x+3) = x^2 +x-6`

`underbrace(abs(x^2-9))_{text{a}} + underbrace(abs(x+3))_{text{b}}=underbrace(x^2 +x-6)_{text{a+b}}`

`{(x^2-9 >= 0), (x+3 >= 0) :}`

Ответ: `{-3} uu [3; +infty)`

4.5 Решить неравенство `3x-abs(x+10) — abs (2-x) <= 6`

`[
(
{
(x <= -10), (3x+x+10-2+x <= -6)
:}
),
(
{(-10 < x <= 2), (3x-x-10-2+x <= -6) :}
),
(
{(x > 2), (3x-x-10+2-x <= -6) :}
)
:}` ;

`[
(
{
(x <= -10), (5x <= -14)
:}
),
(
{(-10 < x <= 2), (3x <= 6) :}
),
(
{(x > 2), (x <= 2) :} emptyset
)
:}` ;

`[(x <= -10), (-10 < x <= 2):}`

Ответ: `(-infty; 2]`

5. Неравенства, содержащие модуль, повышенной сложности

5.1 Решить неравенство `(abs(x-7)-abs(x+5)) / (abs(x-3) — abs(x+1)) < (abs(x-3) + abs(x+1)) / abs(x+5)`

Умножим обе части неравенства на функцию `g(x)=(abs(x-7)+abs(x+5)) / (abs(x-3) + abs(x+1)), g(x) > 0, text{ для } forall x in R`

`((x-7)^2-(x+5)^2) / ((x-3)^2 — (x+1)^2) < (abs(x-7) + abs(x+5)) / abs(x+5) <=>`

`((x-7-x-5)(x-7+x+5)) / ((x-3 -x -1)(x-3 +x +1)) < (abs(x-7) + abs(x+5)) / abs(x+5) <=>`

`(-12(2x-2)) / (-4(2x-2)) < (abs(x-7) + abs(x+5)) / abs(x+5) <=>`

`{(2x-2 != 0), (x+5 != 0), (3abs(x+5) < abs(x-7)+abs(x+5)) :} <=> {(x != 1), (x != -5), (2abs(x+5) < abs(x-7)) :}`

`{(x != 1), (x != -5), ((2x+10-x+7)(2x+10+x-7) < 0) :} <=> {(x != 1), (x != -5), ((x+17)(x+1) < 0) :}`

Ответ: `(-17; -5) uu (-5; -1)`

5.2 Решить неравенство `((x^2-5x+9)^2-4abs(x^2-5x+9)abs(x-6)+3(x-6)^2) / (2x^2+7x-15) <= 0`

`color{brown}{ text{Заметим: } x^2=abs(x)^2`

`(abs(x^2-5x+9)^2-4abs(x^2-5x+9)abs(x-6)+4abs(x-6)^2-abs(x-6)^2) / ((2x-3)(x+5)) <= 0 <=>`

`((abs(x^2-5x+9)-2abs(x-6))^2-abs(x-6)^2) / ((2x-3)(x+5)) <= 0 <=>`

`((abs(x^2-5x+9)-3abs(x-6))(abs(x^2-5x+9)-abs(x-6))) / ((2x-3)(x+5)) <= 0 <=>`

`((x^2-5x+9-3x+18)(x^2-5x+9+3x-18)(x^2-5x+9-x+6)(x^2-5x+9+x-6)) / ((2x-3)(x+5)) <= 0 <=>`

`((x^2-8x+27)(x^2-2x-9)(x^2-6x+15)(x^2-4x+3)) / ((2x-3)(x+5)) <= 0 <=>`

`x^2-8x+27 > 0 text{ для } forall x in R`

`x^2-6x+15 > 0 text{ для } forall x in R`

`x^2-2x-9=0; [(x=1-sqrt10), (x=1+sqrt10):}`

`x^2-4x+3=0; [(x=1), (x=3):}`

Ответ: `(-5; 1-sqrt10] uu [1; 3/2) uu [3; 1+sqrt10)]`

6. Примеры с модулями для самостоятельного решения с ответами

6.1 Решить неравенство `abs(x^2-16x+36) <= abs(36 -x^2)`

Ответ: `[0; 4.5] uu [8; +infty)`

6.2 Решить неравенство `abs(x^2-6x-2) >= abs(x^2 +7x+11)`

Ответ: `(-infty; -1]`

6.3 Решить неравенство `abs(4x^3-x+7) <= abs(2x^3 +5x+3)`

Ответ: `[-2; -1] uu {1}`

6.4 Решить неравенство `abs(x^3-x^2-5) <= abs(x^3 -5x^2+x-1)`

Ответ: `(-infty; -1] uu [1; 3]`

6.5 Решить неравенство `abs((x^2-2x+1)/(x-3)) >=1`

Ответ: `(-infty; -1] uu [2; 3) uu (3; +infty)`

6.6 Решить неравенство `(abs(2x-1)-abs(x+1))/(abs(2x+3) — abs(x-3)) <= 0`

Ответ: `(-6; 0) uu (0; 2]`

6.7 Решить неравенство `(abs(x^2-4x+3)-abs(x^2+x-3))/(abs(7x-3) — abs(3x-2)) <= 0`

Ответ: `[0; 1/4) uu (1/2; 1.2] uu [1.5; +infty)`

6.8 Решить неравенство `abs(x^2-5abs(x)+4) <= abs(2x^2 -3abs(x)+1)`

Ответ: `(-infty; -5/3] uu {-1} uu {1} uu [5/3; +infty)`

6.9 Решить неравенство `3x — abs(x+8) — abs(1-x) <= -6`

Ответ: `(-infty; 1]`

Много задач с решениями на неравенства с модулем можно посмотреть здесь:

Решения неравенств с модулем

Как решать уравнения с модулем: основные правила

30 декабря 2016

Модуль — одна из тех вещей, о которых вроде-бы все слышали, но в действительности никто нормально не понимает. Поэтому сегодня будет большой урок, посвящённый решению уравнений с модулями.

Сразу скажу: урок будет несложный. И вообще модули — вообще тема относительно несложная. «Да конечно, несложная! У меня от неё мозг разрывается!» — скажут многие ученики, но все эти разрывы мозга происходят из-за того, что у большинства людей в голове не знания, а какая-то хрень. И цель этого урока — превратить хрень в знания.:)

Немного теории

Итак, поехали. Начнём с самого важного: что такое модуль? Напомню, что модуль числа — это просто то же самое число, но взятое без знака «минус». Т.е., например, $left| -5 right|=5$. Или $left| -129,5 right|=129,5$.

Вот так всё просто? Да, просто. А чему тогда равен модуль положительного числа? Тут ещё проще: модуль положительного числа равен самому этому числу: $left| 5 right|=5$; $left| 129,5 right|=129,5$ и т.д.

Получается любопытная вещь: разные числа могут иметь один тот же модуль. Например: $left| -5 right|=left| 5 right|=5$; $left| -129,5 right|=left| 129,5 right|=129,5$. Нетрудно заметить, что это за числа, у которых модули одинаковые: эти числа противоположны. Таким образом, отметим для себя, что модули противоположных чисел равны:

[left| -a right|=left| a right|]

Ещё один важный факт: модуль никогда не бывает отрицательным. Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным (или в крайнем случае нулём). Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.

Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. А именно: модуль числа равен самому этому числу, если число положительное (или ноль), либо равен противоположному числу, если число отрицательное. Можно записать это в виде формулы:

[left| a right|=left{ begin{align}& a,quad age 0, \& -a,quad a lt 0. \end{align} right.]

Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю. Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного.

Таким образом, если рассмотреть функцию $y=left| x right|$ и попробовать нарисовать её график, то получится вот такая «галка»:

Из этой картинки сразу видно, что $left| -m right|=left| m right|$, а график модуля никогда не опускается ниже оси абсцисс. Но это ещё не всё: красной линией отмечена прямая $y=a$, которая при положительных $a$ даёт нам сразу два корня: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$, но об этом мы поговорим позже.:)

Помимо чисто алгебраического определения, есть геометрическое. Допустим, есть две точки на числовой прямой: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$. В этом случае выражение $left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|$ — это просто расстояние между указанными точками. Или, если угодно, длина отрезка, соединяющего эти точки:

Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен. Но хватит определений и теории — перейдём к настоящим уравнениям.:)

Основная формула

Ну хорошо, с определением разобрались. Но легче-то от этого не стало. Как решать уравнения, содержащие этот самый модуль?

Спокойствие, только спокойствие. Начнём с самых простых вещей. Рассмотрим что-нибудь типа такого:

[left| x right|=3]

Итак, модуль$x$ равен 3. Чему может быть равен $x$? Ну, судя по определению, нас вполне устроит $x=3$. Действительно:

[left| 3 right|=3]

А есть ли другие числа? Кэп как бы намекает, что есть. Например, $x=-3$ — для него тоже $left| -3 right|=3$, т.е. требуемое равенство выполняется.

Так может, если поискать, подумать, мы найдём ещё числа? А вот обломитесь: больше чисел нет. Уравнение $left| x right|=3$ имеет лишь два корня: $x=3$ и $x=-3$.

Теперь немного усложним задачу. Пусть вместо переменной $x$ под знаком модуля тусуется функция $fleft( x right)$, а справа вместо тройки поставим произвольное число $a$. Получим уравнение:

[left| fleft( x right) right|=a]

Ну и как такое решать? Напомню: $fleft( x right)$ — произвольная функция, $a$ — любое число. Т.е. вообще любое! Например:

[left| 2x+1 right|=5]

или:

[left| 10x-5 right|=-65]

Обратим внимание на второе уравнение. Про него сразу можно сказать: корней у него нет. Почему? Всё правильно: потому что в нём требуется, чтобы модуль был равен отрицательному числу, чего никогда не бывает, поскольку мы уже знаем, что модуль — число всегда положительное или в крайнем случае ноль.

А вот с первым уравнением всё веселее. Тут два варианта: либо под знаком модуля стоит положительное выражение, и тогда$left| 2x+1 right|=2x+1$, либо это выражение всё-таки отрицательное, и тогда $left| 2x+1 right|=-left( 2x+1 right)=-2x-1$. В первом случае наше уравнение перепишется так:

[left| 2x+1 right|=5Rightarrow 2x+1=5]

И внезапно получается, что подмодульное выражение $2x+1$ действительно положительно — оно равно числу 5. Т.е. мы можем спокойно решать это уравнение — полученный корень будет кусочком ответа:

[2x+1=5Rightarrow 2x=4Rightarrow x=2]

Особо недоверчивые могут попробовать подставить найденный корень в исходное уравнение и убедиться, что действительно под модулем будет положительное число.

Теперь разберём случай отрицательного подмодульного выражения:

[left{ begin{align}& left| 2x+1 right|=5 \& 2x+1 lt 0 \end{align} right.Rightarrow -2x-1=5Rightarrow 2x+1=-5]

Опа! Снова всё чётко: мы предположили, что $2x+1 lt 0$, и в результате получили, что $2x+1=-5$ — действительно, это выражение меньше нуля. Решаем полученное уравнение, при этом уже точно зная, что найденный корень нас устроит:

[2x+1=-5Rightarrow 2x=-6Rightarrow x=-3]

Итого мы вновь получили два ответа: $x=2$ и $x=3$. Да, объём вычислений оказался малость побольше, чем в совсем уж простом уравнении $left| x right|=3$, но принципиально ничего не изменилось. Так может, существует какой-то универсальный алгоритм?

Да, такой алгоритм существует. И сейчас мы его разберём.

Избавление от знака модуля

Пусть нам дано уравнение $left| fleft( x right) right|=a$, причём $age 0$ (иначе, как мы уже знаем, корней нет). Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу:

[left| fleft( x right) right|=aRightarrow fleft( x right)=pm a]

Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Начнём вот с такого

[left| 5x+4 right|=10Rightarrow 5x+4=pm 10]

Отдельно рассмотрим, когда справа стоит десятка с плюсом, и отдельно — когда с минусом. Имеем:

[begin{align}& 5x+4=10Rightarrow 5x=6Rightarrow x=frac{6}{5}=1,2; \& 5x+4=-10Rightarrow 5x=-14Rightarrow x=-frac{14}{5}=-2,8. \end{align}]

Вот и всё! Получили два корня: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Всё решение заняло буквально две строчки.

Ок, не вопрос, давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее:

[left| 7-5x right|=13]

Опять раскрываем модуль с плюсом и минусом:

[begin{align}& 7-5x=13Rightarrow -5x=6Rightarrow x=-frac{6}{5}=-1,2; \& 7-5x=-13Rightarrow -5x=-20Rightarrow x=4. \end{align}]

Опять пара строчек — и ответ готов! Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного. Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам.

Случай переменной правой части

А теперь рассмотрим вот такое уравнение:

[left| 3x-2 right|=2x]

Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих. Чем? А тем, что справа от знака равенства стоит выражение $2x$ — и мы не можем заранее знать, положительное оно или отрицательное.

Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.

А во-вторых, если права часть всё-таки положительна (или равна нулю), то можно действовать точно так же, как раньше: просто раскрыть модуль отдельно со знаком «плюс» и отдельно — со знаком «минус».

Таким образом, сформулируем правило для произвольных функций $fleft( x right)$ и $gleft( x right)$ :

[left| fleft( x right) right|=gleft( x right)Rightarrow left{ begin{align}& fleft( x right)=pm gleft( x right), \& gleft( x right)ge 0. \end{align} right.]

Применительно к нашему уравнению получим:

[left| 3x-2 right|=2xRightarrow left{ begin{align}& 3x-2=pm 2x, \& 2xge 0. \end{align} right.]

Ну, с требованием $2xge 0$ мы как-нибудь справимся. В конце концов, можно тупо подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: выполняется неравенство или нет.

Поэтому решим-ка само уравнение:

[begin{align}& 3x-2=2xRightarrow 3x-2x=2Rightarrow x=2; \& 3x-2=-2xRightarrow 5x=2Rightarrow x=frac{2}{5}. \end{align}]

Ну и какой их этих двух корней удовлетворяет требованию $2xge 0$? Да оба! Поэтому в ответ пойдут два числа: $x=2$ и $x={2}/{5};$. Вот и всё решение.:)

Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать? Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение:

[left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x right|=x-{{x}^{3}}]

Хоть оно и выглядит злобно, по факту это всё то же самое уравнение вида «модуль равен функции»:

[left| fleft( x right) right|=gleft( x right)]

И решается оно точно так же:

[left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x right|=x-{{x}^{3}}Rightarrow left{ begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=pm left( x-{{x}^{3}} right), \& x-{{x}^{3}}ge 0. \end{align} right.]

С неравенством мы потом разберёмся — оно какое-то уж слишком злобное (на самом деле простое, но мы его решать не будем). Пока лучше займёмся полученными уравнениями. Рассмотрим первый случай — это когда модуль раскрывается со знаком «плюс»:

[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=x-{{x}^{3}}]

Ну, тут и ежу понятно, что нужно всё собрать слева, привести подобные и посмотреть, что получится. А получится вот что:

[begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=x-{{x}^{3}}; \& 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=0; \end{align}]

Выносим общий множитель ${{x}^{2}}$ за скобку и получаем очень простое уравнение:

[{{x}^{2}}left( 2x-3 right)=0Rightarrow left[ begin{align}& {{x}^{2}}=0 \& 2x-3=0 \end{align} right.]

[{{x}_{1}}=0;quad {{x}_{2}}=frac{3}{2}=1,5.]

Тут мы воспользовались важным свойством произведения, ради которого мы и раскладывали исходный многочлен на множители: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Теперь точно так же разберёмся со вторым уравнением, которое получается при раскрытии модуля со знаком «минус»:

[begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=-left( x-{{x}^{3}} right); \& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=-x+{{x}^{3}}; \& -3{{x}^{2}}+2x=0; \& xleft( -3x+2 right)=0. \end{align}]

Опять то же самое: произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей. Имеем:

[left[ begin{align}& x=0 \& -3x+2=0 \end{align} right.]

[{{x}_{1}}=0;quad {{x}_{2}}=frac{2}{3}.]

Ну вот мы получили три корня: $x=0$, $x=1,5$ и $x={2}/{3};$. Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ? Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства:

[x-{{x}^{3}}ge 0]

Как учесть это требование? Да просто подставим найденные корни и проверим: выполняется неравенство при этих $x$ или нет. Имеем:

[begin{align}& x=0Rightarrow x-{{x}^{3}}=0-0=0ge 0; \& x=1,5Rightarrow x-{{x}^{3}}=1,5-{{1,5}^{3}} lt 0; \& x=frac{2}{3}Rightarrow x-{{x}^{3}}=frac{2}{3}-frac{8}{27}=frac{10}{27}ge 0; \end{align}]

Таким образом, корень $x=1,5$ нас не устраивает. И в ответ пойдут лишь два корня:

[{{x}_{1}}=0;quad {{x}_{2}}=frac{2}{3}.]

Как видите, даже в этом случае ничего сложного не было — уравнения с модулями всегда решаются по алгоритму. Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах. Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля.

Уравнения с двумя модулями

До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Это «что-то ещё» мы отправляли в другую часть неравенства, подальше от модуля, чтобы в итоге всё свелось к уравнению вида $left| fleft( x right) right|=gleft( x right)$ или даже более простому $left| fleft( x right) right|=a$.

Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа:

[left| fleft( x right) right|=left| gleft( x right) right|]

Это уравнение вида «модуль равен модулю». Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: только один модуль слева, ещё один модуль справа — и ничего более.

Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор. А вот и нет: эти уравнения решаются даже проще. Вот формула:

[left| fleft( x right) right|=left| gleft( x right) right|Rightarrow fleft( x right)=pm gleft( x right)]

Всё! Мы просто приравниваем подмодульные выражения, ставя перед одним из них знак «плюс-минус». А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и т.д. Всё очень просто.

Давайте попробуем решать вот такую задачу:

[left| 2x+3 right|=left| 2x-7 right|]

Элементарно, Ватсон! Раскрываем модули:

[left| 2x+3 right|=left| 2x-7 right|Rightarrow 2x+3=pm left( 2x-7 right)]

Рассмотрим отдельно каждый случай:

[begin{align}& 2x+3=2x-7Rightarrow 3=-7Rightarrow emptyset ; \& 2x+3=-left( 2x-7 right)Rightarrow 2x+3=-2x+7. \end{align}]

В первом уравнении корней нет. Потому что когда это $3=-7$? При каких значениях $x$? «Какой ещё нафиг $x$? Ты обкурился? Там вообще нет $x$» — скажете вы. И будете правы. Мы получили равенство, не зависящее от переменной $x$, и при этом само равенство — неверное. Потому и нет корней.:)

Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто:

[2x+3=-2x+7Rightarrow 4x=4Rightarrow x=1]

Как видим, всё решилось буквально в пару строчек — другого от линейного уравнения мы и не ожидали.:)

В итоге окончательный ответ: $x=1$.

Ну как? Сложно? Конечно, нет. Попробуем что-нибудь ещё:

[left| x-1 right|=left| {{x}^{2}}-3x+2 right|]

Опять у нас уравнение вида $left| fleft( x right) right|=left| gleft( x right) right|$. Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля:

[{{x}^{2}}-3x+2=pm left( x-1 right)]

Возможно, кто-то сейчас спросит: «Эй, что за бред? Почему «плюс-минус» стоит у правого выражения, а не у левого?» Спокойно, сейчас всё объясню. Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом:

[x-1=pm left( {{x}^{2}}-3x+2 right)]

Затем нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону от знака равенства (поскольку уравнение, очевидно, в обоих случаях будет квадратным), ну и дальше отыскать корни. Но согласитесь: когда «плюс-минус» стоит перед тремя слагаемыми (особенно когда одно из этих слагаемых — квадратное выражение), это как-то более сложно выглядит, нежели ситуация, когда «плюс-минус» стоит лишь перед двумя слагаемыми.

Но ведь ничто не мешает нам переписать исходное уравнение следующим образом:

[left| x-1 right|=left| {{x}^{2}}-3x+2 right|Rightarrow left| {{x}^{2}}-3x+2 right|=left| x-1 right|]

Что произошло? Да ничего особенного: просто поменяли левую и правую часть местами. Мелочь, которая в итоге немного упростит нам жизнь.:)

В общем, решаем это уравнение, рассматривая варианты с плюсом и с минусом:

[begin{align}& {{x}^{2}}-3x+2=x-1Rightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0; \& {{x}^{2}}-3x+2=-left( x-1 right)Rightarrow {{x}^{2}}-2x+1=0. \end{align}]

Первое уравнение имеет корни $x=3$ и $x=1$. Второе вообще является точным квадратом:

[{{x}^{2}}-2x+1={{left( x-1 right)}^{2}}]

Поэтому у него единственный корень: $x=1$. Но этот корень мы уже получали ранее. Таким образом, в итоговый ответ пойдут лишь два числа:

[{{x}_{1}}=3;quad {{x}_{2}}=1.]

Миссия выполнена! Можно взять с полки и скушать пирожок. Там их 2, ваш средний.:)

Важное замечание. Наличие одинаковых корней при разных вариантах раскрытия модуля означает, что исходные многочлены раскладываются на множители, и среди этих множителей обязательно будет общий. Действительно:

[begin{align}& left| x-1 right|=left| {{x}^{2}}-3x+2 right|; \& left| x-1 right|=left| left( x-1 right)left( x-2 right) right|. \end{align}]

Одно из свойств модуля: $left| acdot b right|=left| a right|cdot left| b right|$ (т.е. модуль произведения равен произведению модулей), поэтому исходное уравнение можно переписать так:

[left| x-1 right|=left| x-1 right|cdot left| x-2 right|]

Как видим, у нас действительно возник общий множитель. Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку:

[begin{align}& left| x-1 right|=left| x-1 right|cdot left| x-2 right|; \& left| x-1 right|-left| x-1 right|cdot left| x-2 right|=0; \& left| x-1 right|cdot left( 1-left| x-2 right| right)=0. \end{align}]

Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

[left[ begin{align}& left| x-1 right|=0, \& left| x-2 right|=1. \end{align} right.]

Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.:)

Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)

Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.

Тем не менее, это уравнение решается даже проще, чем то, что мы рассматривали ранее. И если вы поймёте почему, то получите ещё один приём для быстрого решения уравнений с модулями.

Итак, уравнение:

[left| x-{{x}^{3}} right|+left| {{x}^{2}}+x-2 right|=0]

Нет, это не опечатка: между модулями именно плюс. И нам нужно найти, при каких $x$ сумма двух модулей равна нулю.:)

В чём вообще проблема? А проблема в том, что каждый модуль — число положительное, либо в крайнем случае ноль. А что будет, если сложить два положительных числа? Очевидно, снова положительное число:

[begin{align}& 5+7=12 gt 0; \& 0,004+0,0001=0,0041 gt 0; \& 5+0=5 gt 0. \end{align}]

Последняя строчка может натолкнуть на мысль: единственный случай, когда сумма модулей равна нулю — это если каждый модуль будет равен нулю:

[left| x-{{x}^{3}} right|+left| {{x}^{2}}+x-2 right|=0Rightarrow left{ begin{align}& left| x-{{x}^{3}} right|=0, \& left| {{x}^{2}}+x-2 right|=0. \end{align} right.]

А когда модуль равен нулю? Только в одном случае — когда подмодульное выражение равно нулю:

[x-{{x}^{3}}=0Rightarrow xleft( 1-{{x}^{2}} right)=0Rightarrow left[ begin{align}& x=0 \& x=pm 1 \end{align} right.]

[{{x}^{2}}+x-2=0Rightarrow left( x+2 right)left( x-1 right)=0Rightarrow left[ begin{align}& x=-2 \& x=1 \end{align} right.]

Таким образом, у нас есть три точки, в которых обнуляется первый модуль: 0, 1 и −1; а также две точки, в которых обнуляется второй модуль: −2 и 1. Однако нам нужно, чтобы оба модуля обнулялись одновременно, поэтому среди найденных чисел нужно выбрать те, которые входят в оба набора. Очевидно, такое число лишь одно: $x=1$ — это и будет окончательным ответом.

Метод расщепления

Что ж, мы уже рассмотрели кучу задач и изучили множество приёмов. Думаете, на этом всё? А вот и нет! Сейчас мы рассмотрим заключительный приём — и одновременно самый важный. Речь пойдёт о расщеплении уравнений с модулем. О чём вообще пойдёт речь? Давайте вернёмся немного назад и рассмотрим какое-нибудь простое уравнение. Например, это:

[left| 3x-5 right|=5-3x]

В принципе, мы уже знаем, как решать такое уравнение, потому что это стандартная конструкция вида $left| fleft( x right) right|=gleft( x right)$. Но попробуем взглянуть на это уравнение немного под другим углом. Точнее, рассмотрим выражение, стоящее под знаком модуля. Напомню, что модуль любого числа может быть равен самому числу, а может быть противоположен этому числу:

[left| a right|=left{ begin{align}& a,quad age 0, \& -a,quad a lt 0. \end{align} right.]

Собственно, в этой неоднозначности и состоит вся проблема: поскольку число под модулем меняется (оно зависит от переменной), нам неясно — положительное оно или отрицательное.

Но что если изначально потребовать, чтобы это число было положительным? Например, потребуем, чтобы $3x-5 gt 0$ — в этом случае мы гарантированно получим положительное число под знаком модуля, и от этого самого модуля можно полностью избавиться:

[3x-5 gt 0Rightarrow left| 3x-5 right|=3x-5]

Таким образом, наше уравнение превратится в линейное, которое легко решается:

[3x-5=5-3xRightarrow 6x=10Rightarrow x=frac{5}{3}]

Правда, все эти размышления имеют смысл только при условии $3x-5 gt 0$ — мы сами ввели это требование, дабы однозначно раскрыть модуль. Поэтому давайте подставим найденный $x=frac{5}{3}$ в это условие и проверим:

[x=frac{5}{3}Rightarrow 3x-5=3cdot frac{5}{3}-5=5-5=0]

Получается, что при указанном значении $x$ наше требование не выполняется, т.к. выражение оказалось равно нулю, а нам нужно, чтобы оно было строго больше нуля. Печалька.:(

Но ничего страшного! Ведь есть ещё вариант $3x-5 lt 0$. Более того: есть ещё и случай $3x-5=0$ — это тоже нужно рассмотреть, иначе решение будет неполным. Итак, рассмотрим случай $3x-5 lt 0$:

[3x-5 lt 0Rightarrow left| 3x-5 right|=5-3x]

Очевидно, что в модуль раскроется со знаком «минус». Но тогда возникает странная ситуация: и слева, и справа в исходном уравнении будет торчать одно и то же выражение:

[5-3x=5-3x]

Интересно, при каких таких $x$ выражение $5-3x$ будет равно выражению $5-3x$? От таких уравнений даже Капитан очевидность подавился бы слюной, но мы-то знаем: это уравнение является тождеством, т.е. оно верно при любых значениях переменной!

А это значит, что нас устроят любые $x$. Вместе с тем у нас есть ограничение:

[3x-5 lt 0Rightarrow 3x lt 5Rightarrow x lt frac{5}{3}]

Другими словами, ответом будет не какое-то отдельное число, а целый интервал:

[xin left( -infty ;frac{5}{3} right)]

Наконец, осталось рассмотреть ещё один случай: $3x-5=0$. Тут всё просто: под модулем будет ноль, а модуль нуля тоже равен нулю (это прямо следует из определения):

[3x-5=0Rightarrow left| 3x-5 right|=0]

Но тогда исходное уравнение $left| 3x-5 right|=5-3x$ перепишется следующим образом:

[0=3x-5Rightarrow 3x=5Rightarrow x=frac{5}{3}]

Этот корень мы уже получали выше, когда рассматривали случай $3x-5 gt 0$. Более того, это корень является решением уравнения $3x-5=0$ — это ограничение, которое мы сами же и ввели, чтобы обнулить модуль.:)

Таким образом, помимо интервала нас устроит ещё и число, лежащее на самом конце этого интервала:

Итого окончательный ответ: $xin left( -infty ;frac{5}{3} right]$. Не очень-то привычно видеть такую хрень в ответе к довольно простому (по сути — линейному) уравнению с модулем, правда? Что ж, привыкайте: в том и состоит сложность модуля, что ответы в таких уравнениях могут оказаться совершенно непредсказуемыми.

Куда важнее другое: мы только что разобрали универсальный алгоритм решения уравнения с модуляем! И состоит этот алгоритм из следующих шагов:

1. Приравнять каждый модуль, имеющийся в уравнении, к нулю. Получим несколько уравнений;
2. Решить все эти уравнения и отметить корни на числовой прямой. В результате прямая разобьётся на несколько интервалов, на каждом из которых все модули однозначно раскрываются;
3. Решить исходное уравнение для каждого интервала и объединить полученные ответы.

Вот и всё! Остаётся лишь один вопрос: куда девать сами корни, полученные на 1-м шаге? Допустим, у нас получилось два корня: $x=1$ и $x=5$. Они разобьют числовую прямую на 3 куска:

Ну и какие тут интервалы? Понятно, что их три:

1. Самый левый: $x lt 1$ — сама единица в интервал не входит;
2. Центральный: $1le x lt 5$ — вот тут единица в интервал входит, однако не входит пятёрка;
3. Самый правый: $xge 5$ — пятёрка входит только сюда!

Я думаю, вы уже поняли закономерность. Каждый интервал включает в себя левый конец и не включает правый.

На первый взгляд, такая запись может показаться неудобной, нелогичной и вообще какой-то бредовой. Но поверьте: после небольшой тренировки вы обнаружите, что именно такой подход наиболее надёжен и при этом не мешает однозначно раскрывать модули. Лучше уж использовать такую схему, чем каждый раз думать: отдавать левый/правый конец в текущий интервал или «перекидывать» его в следующий.

На этом урок заканчивается. Скачивайте задачи для самостоятельного решения, тренируйтесь, сравнивайте с ответами — и увидимся в следующем уроке, который будет посвящён неравенствам с модулями.:)

Смотрите также:

1. Простейшие уравнения с модулем
2. Уравнение с двумя модулями
3. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
4. Сводный тест по задачам B15 (2 вариант)
5. Как решать биквадратное уравнение
6. B4: счетчики на электричество