Решу егэ однородные тригонометрические уравнения

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 67    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–67

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 67    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–67

Алгебра 10-11 класс. Однородные тригонометрические уравненияadmin2022-10-28T16:36:03+03:00

Скачать файл в формате pdf.

Алгебра 10-11 класс. Однородные тригонометрические уравнения

Задача 1. Решите уравнение:    (sin x — cos x = 0) Ответ ОТВЕТ: (frac{pi }{4} + pi k;quad ,k in Z.)

Задача 2. Решите уравнение:    (sin x + cos x = 0) Ответ ОТВЕТ: ( — frac{pi }{4} + pi k;quad ,k in Z.)

Задача 3. Решите уравнение:    (sin x — sqrt 3 cos x = 0) Ответ ОТВЕТ: (frac{pi }{3} + pi k;quad ,k in Z.)

Задача 4. Решите уравнение:    (sqrt 3 sin x + cos x = 0) Ответ ОТВЕТ: ( — frac{pi }{6} + pi k;quad ,k in Z.)

Задача 5. Решите уравнение:    (2sin x — 3cos x = 0) Ответ ОТВЕТ: ({text{arctg}},frac{3}{2} + pi k;;;;k in Z.)

Задача 6. Решите уравнение:    (4cos x + 5sin x = 0) Ответ ОТВЕТ: ( — ,{text{arctg}},frac{4}{5} + pi k;;;;k in Z.)

Задача 7. Решите уравнение:    (sin 3x — cos 3x = 0) Ответ ОТВЕТ: (frac{pi }{{12}} + frac{{pi k}}{3};quad ,k in Z.)

Задача 8. Решите уравнение:    (sin 5x + sqrt 3 cos 5x = 0) Ответ ОТВЕТ: ( — frac{pi }{{15}} + frac{{pi k}}{5};quad ,k in Z.)

Задача 9. Решите уравнение:    (sin 2x + 4cos 2x = 0) Ответ ОТВЕТ: ( — frac{1}{2}{text{arctg}},{text{4}} + frac{{pi k}}{2};,,,,,k in Z.)

Задача 10. Решите уравнение:    (2sin 6x — 3cos 6x = 0) Ответ ОТВЕТ: (frac{1}{6}{text{arctg}},frac{3}{2} + frac{{pi k}}{6};,,,,,k in Z.)

Задача 11. Решите уравнение:    ({sin ^2}x — sin xcos x = 0) Ответ ОТВЕТ: (pi k;quad frac{pi }{4} + pi k;quad ,k in Z.)

Задача 12. Решите уравнение:    (sqrt 3 {cos ^2}x = cos xsin x) Ответ ОТВЕТ: (frac{pi }{2} + pi k;quad frac{pi }{3} + pi k;quad ,k in Z.)

Задача 13. Решите уравнение:    ({sin ^2}3x = sin 3xcos 3x) Ответ ОТВЕТ: (frac{{pi k}}{3};quad frac{pi }{{12}} + frac{{pi k}}{3};quad ,k in Z.)

Задача 14. Решите уравнение:    ({cos ^2}5x — 2cos 5xsin 5x = 0) Ответ ОТВЕТ: (frac{pi }{{10}} + frac{{pi k}}{5};,,,,,,frac{1}{5}{text{arctg}},frac{1}{2} + frac{{pi k}}{5};,,,,,k in Z.)

Задача 15. Решите уравнение:    ({sin ^2}x + 3sin xcos x — 4{cos ^2}x = 0) Ответ ОТВЕТ: (frac{pi }{4} + pi k;,,,,,, — {text{arctg}},,4 + pi k;,,,,,k in Z.)

Задача 16. Решите уравнение:    (2{sin ^2}x — sin xcos x — 3{cos ^2}x = 0) Ответ ОТВЕТ: ( — frac{pi }{4} + pi k;,,,,,,{text{arctg}},frac{3}{2} + pi k;,,,,,k in Z.)

Задача 17. Решите уравнение:    ({sin ^2}x = 3{cos ^2}x) Ответ ОТВЕТ: ( pm frac{pi }{3} + pi k;,,,,,,,k in Z.)

Задача 18. Решите уравнение:    (3{sin ^2}x = {cos ^2}x) Ответ ОТВЕТ: ( pm frac{pi }{6} + pi k;,,,,,,,k in Z.)

Задача 19. Решите уравнение:    ({sin ^2}4x = 3{cos ^2}4x) Ответ ОТВЕТ: ( pm frac{pi }{{12}} + frac{{pi k}}{4};,,,,,,,k in Z.)

Задача 20. Решите уравнение:    (3{sin ^2}3x = {cos ^2}3x) Ответ ОТВЕТ: ( pm frac{pi }{{18}} + frac{{pi k}}{3};,,,,,,,k in Z.)

Задача 21. Решите уравнение:    (2{sin ^2}2x — 3sin 2xcos 2x + {cos ^2}2x = 0) Ответ ОТВЕТ: (frac{pi }{8} + frac{{pi k}}{2};,,,,,,frac{1}{2}{text{arctg}},frac{1}{2} + frac{{pi k}}{2};,,,,,k in Z.)

Задача 22. Решите уравнение:    (3{sin ^2}frac{x}{4} + 2sin frac{x}{4}cos frac{x}{4} — 5{cos ^2}frac{x}{4} = 0) Ответ ОТВЕТ: (pi  + 4pi k;,,,,,, — 4,{text{arctg}},frac{5}{3} + 4pi k;,,,,,k in Z.)

Задача 23. Решите уравнение:    (5{sin ^2}x — 14sin x;cos x — 3{cos ^2}x = 2) Ответ ОТВЕТ: ({text{arctg}},{text{5 + }}pi k;quad  — {text{arctg}}frac{1}{3} + pi k;quad k in Z.)

Задача 24. Решите уравнение:    (4{sin ^2}x — 2sin x;cos x = 3) Ответ ОТВЕТ: ({text{arctg}},{text{3}},{text{ + }},pi k;;; — frac{pi }{4} + pi k;;,;k in Z.)

Задача 25. Решите уравнение:    (5{sin ^2}x + sqrt 3 sin x;cos x + 6{cos ^2}x = 5) Ответ ОТВЕТ: ( — frac{pi }{6} + pi k;;;frac{pi }{2} + pi k;;;k in Z.)

Задача 26. Решите уравнение:    (2{sin ^2}x — 3sin x;cos x + 4{cos ^2}x = 4) Ответ ОТВЕТ: ( — {text{arctg}}frac{{text{3}}}{2}{text{ + }}pi k;quad pi k;quad k in Z.)

Задача 27. Решите уравнение:    (3{sin ^2}2x — 2 = sin 2x;cos 2x) Ответ ОТВЕТ: (frac{1}{2}{text{arctg}},{text{2 + }}frac{{pi k}}{2};quad  — frac{pi }{8} + frac{{pi k}}{2};quad k in Z.)

Задача 28. Решите уравнение:    (3{sin ^2}frac{x}{3} + 4{cos ^2}frac{x}{3} = 3 + sqrt 3 sin frac{x}{3}cos frac{x}{3}) Ответ ОТВЕТ: (frac{pi }{2} + 3pi k;quad frac{{3pi }}{2} + 3pi k;quad k in Z.)

Задача 29. Решите уравнение:    (sin left( {frac{{text{pi }}}{2} + 2x} right) + cos left( {frac{{text{pi }}}{2} — 2x} right) = 0) Ответ ОТВЕТ: ( — frac{pi }{8} + frac{{pi k}}{2};quad k in Z.)

Задача 30. Решите уравнение:    (sqrt 3 sin left( {{text{pi }} — frac{x}{3}} right) + 3sinleft( {frac{{text{pi }}}{2} — frac{x}{3}} right) = 0) Ответ ОТВЕТ: ( — pi  + 3pi k;quad k in Z.)

Задача 31. Решите уравнение:  ({cos ^2}left( {frac{pi }{2} + x} right) + 4sin xsin left( {frac{pi }{2} — x} right) — 5{cos ^2}left( {3pi  + x} right) = 0) Ответ ОТВЕТ: (frac{pi }{4} + pi k;;,,; — ,{text{arctg}},5 + pi k;;,,;k in Z.)

Задача 32. Решите уравнение:  ({sin ^2}3x + 5sin left( {3x + 3pi } right)cos 3x + 6{sin ^2}left( {frac{{3pi }}{2} + 3x} right) = 0) Ответ ОТВЕТ: (frac{1}{3}{text{arctg}},2 + frac{{pi k}}{3};;,,;frac{1}{3}{text{arctg}},3 + frac{{pi k}}{3};;,,;k in Z.)

Задача 33. Решите уравнение:  ({sin ^3}x — 7sin x{cos ^2}x — 6{cos ^3}x = 0) Ответ ОТВЕТ: ( — ,{text{arctg}},2 + pi k;;,;{text{arctg}},{text{3}} + pi k;;;, — frac{pi }{4} + pi k;;,;k in Z.)

Задача 34. Решите уравнение:  ({sin ^3}x + {sin ^2}xcos x — 10sin x{cos ^2}x + 8{cos ^3}x = 0) Ответ ОТВЕТ: ({text{arctg}},2 + pi k;;;,; — {text{arctg}},4 + pi k;,,,;;frac{pi }{4} + pi k;;,,,;k in Z.)

Задача 35. Решите уравнение:  ({sin ^3}x + {cos ^3}x = sin x — cos x) Ответ ОТВЕТ: (frac{pi }{2} + pi k;;,,,;k in Z.)

Задача 36. Решите уравнение:  (sin x + 2{sin ^2}xcos x — 4{cos ^3}x = 0) Ответ ОТВЕТ: (frac{pi }{4} + pi k;;,,,;k in Z.)

Задача 37. Решите уравнение:    ({cos ^2}x — frac{1}{2}sin 2x + cos x = sin x) Ответ ОТВЕТ: (pi  + 2pi k;quad frac{pi }{4} + pi k;quad k in Z.)

Задача 38. Решите уравнение:    (frac{1}{2}sin 2x + {sin ^2}x — sin x = cos x) Ответ ОТВЕТ: (frac{pi }{2} + 2pi k;quad  — frac{pi }{4} + pi k;quad k in Z.)

Задача 39. Решите уравнение:    (sin 2x — 2sqrt 3 {cos ^2}x — 4sin x + 4sqrt 3 cos x = 0) Ответ ОТВЕТ: (frac{pi }{3} + pi k;quad k in Z.)

Задача 40. Решите уравнение:    (sin 2x — 2sqrt 3 {sin ^2}x + 4cos x — 4sqrt 3 sin x = 0) Ответ ОТВЕТ: (frac{pi }{6} + pi k;quad k in Z.)

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №46. Однородные тригонометрические уравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Однородные тригонометрические уравнения первой и второй степени.

2) Рассмотреть решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

3) Рассмотреть решение более сложных тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

1. Арккосинусом числа называется такое число α, что: . Арккосинус числа m обозначают: .
2. Арксинусом числа называется такое число α, что: и . Арксинус числа m обозначают: .
3. Арктангенсом числа m называется такое число α, что: и . Арктангенс числа m обозначают: .
4. Арккотангенсом числа n называется такое число α, что: и . Арккотангенс числа n обозначают:
5. Уравнение вида:

называется однородным.

Здесь f и g произвольные функции, коэффициенты.

6. Универсальная тригонометрическая подстановка — это формулы для выражения синуса, косинуса и тангенса аргумента через тангенс половинного аргумента:

Основная литература:

Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М. 2014, 712 с.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы уже знаем, как решаются простейшие тригонометрические уравнения, а также тригонометрические уравнения, которые могут быть сведены к квадратным, дробно-рациональным или алгебраическим степени выше второй с помощью замены переменной. Но это лишь маленькое количество тригонометрических уравнений. Как, например, быть в том случае, когда тригонометрическое уравнение выглядит, например, так:

.

Для этого нам нужно рассмотреть некоторые вспомогательные приемы решения уравнений, а также формулы преобразования тригонометрических выражений.

Задание:

Как Вы думаете, какие факты и формулы мы будем использовать при решении этого уравнения?

Ответ: определение тангенса, формулу синуса двойного аргумента.

1. Итак, рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение.

Напомним определение однородного уравнения

Определение

Уравнение вида:

называется однородным.

Здесь f и g произвольные функции, коэффициенты.

В зависимости от значения показателя n, мы можем получить однородное уравнение первой, второй или более высокой степени.

Например, уравнение является однородным, а уравнение однородным не является.

2. Теперь перейдем к рассмотрению однородных тригонометрических уравнений.

Если функции f и g это синус и косинус одного и того же аргумента, то мы получим тригонометрическое однородное уравнение.

Рассмотрим сначала однородное тригонометрическое уравнение первой степени.

Запишем его в общем виде: (1).

Разделим это уравнение на (или на ) и получим: .

Решать такие уравнения мы умеем: , .

Заметим, что, решая это уравнение, мы выполняли деление уравнения на выражение с переменной. Так как это действие не является равносильным, проверим, не потеряли ли мы корни.

Если , то . То есть при подстановке в уравнение (1) таких значений х, при которых , оно не обратиться в верное числовое равенство, а значит такие х корнями исходного уравнения не являются, и значит наше действие не приведет к потере корней.

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 1.

Решить уравнение:

Решение:

.

Ответ:

Решим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени

Общий вид такого уравнения:

(2)

Так же, как и уравнение (1), разделим его на наибольшую степень косинуса х.

Так же, как и при решении уравнения (1), мы должны убедиться в том, что при делении уравнения на выражение с переменной мы не потеряли корней. Это не произойдет в том случае, если .

После деления мы получили квадратное уравнение относительно тангенса х, которое и решаем известными способами.

.

При решении этого уравнения мы можем вводить новую переменную , но можем этого и не делать.

.

В зависимости от значения дискриминанта этого квадратного уравнения оно может иметь от 0 до 2 корней. И, соответственно, исходное уравнение может иметь две серии решений, одну или ни одной.

Рассмотрим пример.

Пример 2.

Решить уравнение:

Решение:

.

.

Ответ: .

Даже если исходное тригонометрическое уравнение второй степени не является однородным, можно его преобразовать к такому виду.

Рассмотрим это сначала на примере уравнения второй степени.

Пример 3.

Решить уравнение:

Решение:

Сначала умножим 3 на тригонометрическую единицу, то есть на выражение

(. Мы получим:

Теперь преобразуем полученное уравнение к однородному виду:

Теперь решим полученное однородное уравнение:

.

.

Ответ:.

3. Теперь рассмотрим, как можно привести к однородному уравнение вида

, то есть левая часть которого является однородной первой степени, а в правой стоит число.

Рассмотрим это на примере.

Пример 4.

Решение:

Используем формулы двойного аргумента:

Подставим их в исходное уравнение и домножим на тригонометрическую единицу 2, стоящую в правой части.

.

.

Ответ:.

Заметим, что подобные уравнения можно решить и по-другому, а именно, применив формулу вспомогательного аргумента:

Рассмотрим решение примера 4 этим способом.

Пример 4-а.

Решение:

Преобразуем левую часть:

Ответ:

Мы видим, что результат, полученный при решении разными способами, кажется разным. Но на самом деле в тригонометрии одно и то же число может быть записано разными способами.

Можно сказать, что первый способ в этом случае приводит к более короткому и красивому результату.

Решите уравнение

Решение:

В такой записи уравнение не является однородным.

Используем формулу синуса двойного аргумента.

Теперь уравнение однородное.

Решим его.

, .

Ответ: .

Решить уравнение

1) с помощью формулы вспомогательного аргумента

Решение

Ответ:

2) с помощью формул синуса и косинуса двойного аргумента

Решение

Ответ:

3) Решите уравнение:

Решение

Ответ:

4. Рассмотрим теперь решение тригонометрических уравнений с использованием универсальной тригонометрической подстановки.

Она называется универсальной, так как позволяет любое уравнение вида

(*), где рациональная функция, свести к рациональному алгебраическому уравнению.

Универсальная тригонометрическая подстановка – это формулы для выражения синуса, косинуса и тангенса аргумента через тангенс половинного аргумента:

То есть если сразу обозначить , то уравнение (*) примет вид: . А так как сама функция F является рациональной, то и получающееся уравнение будет рациональным алгебраическим.

Рассмотрим пример 5.

Решить уравнение .

Решение:

Область определения исходного уравнения:

Преобразуем исходное уравнение:

или

Используем универсальную тригонометрическую подстановку.

Если , то получим уравнение:

Решим его.

, .

Ответ: .

Заметим, что когда мы используем универсальную тригонометрическую подстановку, у нас появляется тангенс половинного угла, который не всегда определен. Поэтому мы можем потерять корни. Нужно проверить.

определен для всех .

Так как эти числа, не принадлежат области исходного уравнения, то мы не потеряем корней.

Решите уравнение

Рассмотрим решение уравнения

(**)

Решение:

Найдем область допустимых значений:

Теперь используем универсальную тригонометрическую подстановку и формулу тангенса суммы аргументов.

Область допустимых значений полученного уравнения уже, чем исходного:

.

Решим полученное уравнение:

.

Но необходимо проверить те числа, которые выпали из области определения после использования универсальной тригонометрической подготовки.

Это числа вида .

Подставим π в (**): верное равенство. Это означает, что числа вида тоже являются решениями исходного уравнения.

Таким образом, получается ответ.

.

Ответ: .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1.

Даны уравнения.

Запишите номера однородных уравнений

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 

Ответ: однородными являются 1), 5) , 7) и уравнения.

№ 2.

Даны уравнения.

Распределите их по группам в зависимости от того, являются они однородными или не являются.

Однородные уравнения	Неоднородные уравнения

№ 3.

Даны уравнения.

Выделите цветом уравнения, которые могут быть приведены к однородному

Ответ:

№ 4.

Автоматически заполняемый кроссворд.

Решите уравнения. Укажите значение k, при котором его корень становится больше .

1)

k=1

Слово МИНУС

2)

k=1

Слово КОРЕНЬ

3)

k= 2

Слово РАВЕНСТВО

№ 5.

Выберите простейшие тригонометрические уравнения, которые получаются при решении данного уравнения

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

Ответ: 16

№ 6.

Подчеркните простейшее тригонометрическое уравнение вида , которое получается при решении данного уравнения

1)

2)

3)

4)

5)

Ответ: 3

№ 7.

Выберите из списка простейшие тригонометрические уравнения вида , которые получаются при решении данного уравнения.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Ответ: 25

№ 8.

Решите уравнение

Перетащите в ответ составляющие

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Ответ:

№ 9*.

Автоматически заполняемый кроссворд

Решите уравнения. Определите, сколько корней имеет каждое из этих уравнений на интервале (-π; π).

Ответ: 4

Слово ПРОМЕЖУТОК

Ответ: 20

Слово ОТРЕЗОК

Ответ: 8

Слово ИНТЕРВАЛ

№ 10.*

Заполните пропуски в решении.

Растащите элементы по пропускам

Домножим второе и третье слагаемые на ____________

____+_____

Разделим уравнение на ___________

___+____-1=0

После решения вспомогательного уравнения получим:

Получим ответ:

Элементы для перетаскивания

тригонометрическую единицу

Ответ:

Домножим второе и третье слагаемые на тригонометрическую единицу

Разделим уравнение на

Получим ответ:

№ 11.*АЗК

Решите уравнение. Впишите в формулу ответа правильные коэффициенты.

Ответ:

№ 12.**

Решите уравнение.

Выберите серии, из которых состоит решение

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Ответ: 3, 5, 6

№ 13.**

Автоматически заполняемый кроссворд

Выберите номер наименьшего положительного корня

1) 1

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Ответ: 2

Слово РЕШЕНИЕ

Выберите номер наименьшего положительного корня

1) 1

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Решение:

Умножим второе и третье слагаемые на тригонометрическую единицу:

Разделим уравнение на

Вспомогательное уравнение:

Оно имеет единственный корень t=1

Ответ: 5

Слово ТРИГОНОМЕТРИЯ

Выберите номер правильного ответа

1) 1

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Ответ: 4

Слово АЛГЕБРА

№ 14.**АЗК

Решите уравнение. Впишите в формулу ответа правильные коэффициенты.

Решение:

Разделим обе части уравнения на

Введем новую переменную: .

Вспомогательное уравнение:

Так как t неотрицательное, то t=1.

Поэтому

1)

2)

3)

Ответ:

Проверочная работа:

№ 1.

А)Автоматически заполняемый кроссворд

Решите уравнение. Введите значения коэффициентов

Ответ:

1) a=1 слово ТРИГОНОМЕТРИЯ

2) b=12 слово КОСИНУС

3) c=1 слово МИНУС

4) d=2 слово КВАДРАТ

Ответ:

Б)Автоматически заполняемый кроссворд

Решите уравнение. Введите значения коэффициентов

Ответ:

1) a=1 слово УРАВНЕНИЕ

2) b=6 слово СИНУС

3) c=1 слово СТЕПЕНЬ

4) d=2 слово ТОЖДЕСТВО

Ответ:

№ 2.

А)Решите уравнение. Выберите наибольший отрицательный корень.

1. 
2. 
3. 
4. 

Б) Решите уравнение. Выберите наименьший положительный корень

1. 
2. 
3. 
4. 

Ответ:

№ 3.

А)Автоматически заполняемый кроссворд

Решите уравнение. Введите значения коэффициентов

Ответ: а = 30 слово ДЕЛИМОЕ, b = 2 слово ДЕЛИТЕЛЬ, c = 5 слово ЧАСТНОЕ

Б)Автоматически заполняемый кроссворд

Решите уравнение. Введите значения коэффициентов

Ответ: а = 18 слово МНОЖИТЕЛЬ, b = 2 слово ПРОИЗВЕДЕНИЕ, c = 3 слово УМНОЖЕНИЕ

Тригонометрические уравнения

В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений и методах их решения. Тригонометрические уравнения чаще всего встречаются в задаче 12 ЕГЭ.

В вариантах ЕГЭ задача, где нужно решить уравнение, состоит из двух пунктов. Первый пункт – решение самого уравнения. Второй – нахождение его корней на некотором отрезке.

Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на множители) являются универсальными, то есть применяются и в других разделах математики. Другие являются специфическими именно для тригонометрии.

Необходимых формул по тригонометрии не так уж и много. Учите наизусть!
Тригонометрические формулы.

Любой метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их к простейшим, то есть к уравнениям вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a.

Если вы не помните, как решать простейшие тригонометрические уравнения, — читайте материал на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 1.

О том, что такое арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, — еще одна статья на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения,часть 2.

Теперь — сами методы. Теория и примеры решения задач.

к оглавлению ▴

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях — степенных, показательных, тригонометрических,  логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение нужно сначала преобразовать.

1. а) Решите уравнение:
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

а) Рассмотрим уравнение

Преобразуем его, применив основное тригонометрическое тождество:

Заменяя sin x на t, приходим к квадратному уравнению:

Решая его, получим:

Теперь вспоминаем, что мы обозначили за t. Первый корень приводит нас к уравнению 
Оно не имеет решений, поскольку

Второй корень даёт простейшее уравнение

Решаем его:

б) Найдем корни уравнения на отрезке с помощью двойного неравенства.

Разделим обе части неравенства на

Вычтем из обеих частей неравенства:

Разделим на 2 обе части неравенства:

Единственное целое решение – это n=0. Тогда — это единственный корень, который принадлежит отрезку

Ответ:

2. а) Решите уравнение:
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

а)

Выразим косинус двойного угла по формуле

Получим:

Заменяя cos⁡x на t, приходим к квадратному уравнению:

1)

2) нет решений, т. к.

Получим:

б) Отметим отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка

Ответ: а)
б)

3. а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Решение:

а)  Чтобы упростить уравнение  применяем формулу приведения.

Так как  получим:

Сделаем замену:    Получим квадратное уравнение:

Сделаем обратную замену.

1)  — нет решений, т. к.  

2) 

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку , с помощью двойного неравенства.

Для серии решений получим:

Так как то

Для серии решений получим:

отсюда

У этого неравенства нет целых решенией, и значит, из второй серии ни одна точка в указанный отрезок не входит.

Ответ: а)
б)

к оглавлению ▴

Разложение на множители

Во многих случаях уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.

4. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Решение:

а) Применяем формулу синуса двойного угла:

Ни в коем случае не сокращайте на косинус! Ведь может случиться, что cos x обратится в нуль, и мы потеряем целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель выносим за скобки:

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: cosx = 0 и 2sinx — 1 = 0.

Получим:

Все эти три серии решений являются ответом в части (а).

б) Отметим отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки

Ответ: а)
б)

5. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Решение:

Применим формулу суммы синусов:

Дальше действуем так же, как и в предыдущей задаче:

Решаем уравнение :

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Тригонометрические уравнения

Уравнение cos(х) = а

Из определения косинуса следует, что ( -1 leqslant cos alpha leqslant 1 ). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.

Уравнение cos x = а, где ( |a| leqslant 1 ), имеет на отрезке ( 0 leqslant x leqslant pi ) только один корень. Если ( a geqslant 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac<pi> <2>right] ); если a

Уравнение sin(х) = а

Из определения синуса следует, что ( -1 leqslant sin alpha leqslant 1 ). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Уравнение sin х = а, где ( |a| leqslant 1 ), на отрезке ( left[ -frac<pi><2>; ; frac<pi> <2>right] ) имеет только один корень. Если ( a geqslant 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac<pi> <2>right] ); если а

Уравнение tg(х) = а

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале ( left( -frac<pi><2>; ; frac<pi> <2>right) ) только один корень. Если ( |a| geqslant 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac<pi> <2>right) ); если а

Решение тригонометрических уравнений

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0

Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем
2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y₁ = -3, y₂ = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; ( x = (-1)^n text(0,5) + pi n = (-1)^n frac<pi> <6>+ pi n, ; n in mathbb )
Ответ ( x = (-1)^n frac<pi> <6>+ pi n, ; n in mathbb )

Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0

Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 — 4y +1 =0, откуда y₁ = 1, y₂ = 1/3

Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c

Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0

Используя формулы ( sin(x) = 2sinfrac <2>cosfrac<2>, ; cos(x) = cos^2 frac <2>-sin^2 frac <2>) и записывая правую часть уравпения в виде ( 2 = 2 cdot 1 = 2 left( sin^2 frac <2>+ cos^2 frac <2>right) ) получаем

Поделив это уравнение на ( cos^2 frac <2>) получим равносильное уравнение ( 3 text^2frac <2>— 4 textfrac <2>+1 = 0 )
Обозначая ( textfrac <2>= y ) получаем уравнение 3y 2 — 4y + 1 = 0, откуда y₁=1, y₁= 1/3

В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях ( a neq 0, ; b neq 0, ; c neq 0, ; c^2 leqslant b^2+c^2 ) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на ( sqrt ):

Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5

Здесь a = 4, b = 3, ( sqrt = 5 ). Поделим обе части уравнения на 5:

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0

Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0

Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 — sin 2 (x) — sin 2 (x), cos(2x) = 1 — 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0

Алгебра и начала анализа. Урок по теме «Однородные тригонометрические уравнения» (10-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 10

• ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени ;
• сформулировать и отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
• научить учащихся решать однородные тригонометрических уравнений I и II степени;
• развивать умение выявлять закономерности, обобщать;
• стимулировать интерес к предмету, развивать чувство солидарности и здорового соперничества.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Форма проведения: работа в группах.

Оборудование: компьютер, мультимедийная установка

I. Организационный момент

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

На уроке рейтинговая система оценки знаний (учитель поясняет систему оценки знаний, заполнение оценочного листа независимым экспертом, выбранным учителем из числа учащихся). Урок сопровождается презентацией . Приложение 1.

II. Актуализация опорных знаний..

Домашняя работа проверяется и оценивается независимым экспертом и консультантами до урока и заполняется оценочный лист.

Учитель подводит итог выполнения домашнего задания.

Учитель: Мы продолжаем изучение темы “Тригонометрические уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с вами с еще одним видом тригонометрических уравнений и методами их решения и поэтому повторим изученное. Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений.

Проверяется индивидуальное домашнее задание, выполняемое в группах. Защита презентации “Решения простейших тригонометрических уравнений”

(Оценивается работа группы независимым экспертом)

III. Мотивация обучения.

Учитель: нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.

Вопросы спроецированы на доску. Учащиеся отгадывают, независимый эксперт заносит в оценочный лист баллы отвечающим учащимся.

Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.

IV. Усвоение новых знаний

Учитель: Тема урока “Однородные тригонометрические уравнения”.

Запишем тему урока в тетрадь. Однородные тригонометрические уравнения бывают первой и второй степени.

Запишем определение однородного уравнения первой степени. Я на примере показываю решение такого вида уравнения, вы составляете алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени.

Уравнение вида аsinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени.

Рассмотрим решение уравнения, когда коэффициенты а и в отличны от 0.

Пример: sinx + cosx = 0

Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим

Внимание! Делить на 0 можно лишь в том случае, если это выражение нигде не обращается в 0. Анализируем. Если косинус равен 0, то получается и синус будет равен 0, учитывая что коэффициенты отличны от 0, но мы знаем, что синус и косинус обращаются в нуль в различных точках. Поэтому эту операцию производить можно при решении такого вида уравнения.

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

• Деление обеих частей уравнения на cosx, cosx 0

Уравнение вида аsin mx + bcos mx = 0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени и решат также деление обеих частей уравнения на косинус mх.

Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Пример: sin 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Коэффициент а отличен от 0 и поэтому как и предыдущем уравнении соsх не равен0 и поэтому можно воспользоваться способом деления обеих частей уравнения на соs 2 х.

Получим tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

Решаем путем введения новой переменной пусть tgx = а , тогда получаем уравнение

Возвращаемся к замене

Ответ:

Если коэффициент а = 0, то уравнение примет вид 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0 решаем способом вынесения общего множителя cosx за скобки

Если коэффициент с = 0, то уравнение примет вид sin 2 x +2sinx cosx = 0

решаем способом вынесения общего множителя sinx за скобки .

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

1. Посмотреть, есть ли в уравнении член asin 2 x.
2. Если член asin 2 x в уравнении содержится (т.е. а 0), то уравнение решается делением обеих частей уравнения на cos 2 x и последующим введение новой переменной.
3. Если член asin 2 x в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx.

Однородные уравнения вида a sin 2 m x + b sin mx cos mx + c cos 2 mx = 0 решаются таким же способом

Алгоритм решени однородных тригонометрических уравнений записан в учебнике на стр. 102.

V. Формирование навыков решения однородных тригонометрических уравнений

Открываем задачники стр. 53

1-я и 2-я группа решают № 361 в)

3-я и 4-я группа решают № 363 в)

Показывают решение на доске, объясняют, дополняют. Независимый эксперт оценивает.

Решение примеров из задачника

№ 361в)
sinx – 3cosx = 0
делим обе части уравнения на cosx 0, получаем

№ 363в)
sin 2 x + sinxcosx – 2cos 2 x = 0
разделим обе части уравнения на cos 2 x, получим
tg 2 x + tgx – 2 = 0
решаем путем введения новой переменной
пусть tgx = а , тогда получаем уравнение
а 2 + а – 2 = 0
Д = 9
а₁ = 1 а₂ = –2
возвращаемся к замене

VI. Самостоятельная работа

1. 2 cosx – 2 = 0
2. tg2x +1 = 0
3. 2cos 2 x – 3cosx +1 = 0
4. 3 sin 2 x + sinx cosx – 2 cos 2 x = 0

По окончанию самостоятельной работы меняются работами и взаимопроверка. Правильные ответы проецируются на доску.

Потом сдают независимому эксперту.

Решение самостоятельной работы

VII. Подведение итогов урока

1. С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились на уроке?
2. Алгоритм решения тригонометрических уравнений первой и второй степени.

VIII. Задание на дом

§ 20.3 читать. № 361(г), 363(б), повышенной трудности дополнительно

Если вписать верные слова, то получится название одного из видов тригонометрических уравнений.

1. Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)
2. Единица измерения углов? (Радиан)
3. Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)
4. Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)
5. Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)
6. Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)
7. Как называется верное равенство? (Тождество)
8. Равенство с переменной? (Уравнение)
9. Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)
10. Множество корней уравнения? (Решение)

№ пп	Фамилия имя	Домашнее задание	Презентация	Познавательная активность уч-ся	Решение уравнений	Самостоятельная работа	Оценка
1
2
3
4

Рейтинговая система оценки знаний

• Домашнее задание – 12 баллов (на дом было задано 3 уравнения 4 х 3 = 12)
• Презентация – 1балл
• Активность уч-ся – 1ответ – 1 балл (4 балла максимально)
• Решение уравнений 1 балл
• Самостоятельная работа – 4 балла

“5” – 22 балла и более
“4” – 18 – 21 балл
“3” – 12 – 17 баллов

За высокую активность ставится дополнительная оценка.

Практикум по решению однородных тригонометрических уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Однородные уравнения.docx

А называется линейным однородным уравнением

называется однородным уравнением второй степени, где A , B , C – некоторые числа

, значит. Это противоречит условию Разделим обе части уравнения на .

, значит. Это противоречит условию Разделим обе части уравнения на .

, значит. Это противоречит условию Разделим обе части уравнения на .

(1), значит. Это противоречит условию

Разделим обе части уравнения на со sx =0, получим

, значит. Это противоречит условию

Разделим обе части уравнения на со sx =0

, значит. Это противоречит условию

Разделим обе части уравнения на со s =0

,. Это противоречит условию

значитРазделим обе части уравнения на со sx =0

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 584 539 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика (базовый уровень)», Мордкович А.Г., Смирнова И.М.

§ 18. Тригонометрические уравнения

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 04.03.2020
• 216
• 3

• 25.01.2020
• 325
• 7

• 23.01.2020
• 758
• 4

• 15.01.2020
• 178
• 0

• 09.01.2020
• 361
• 9

• 06.12.2019
• 1218
• 11

• 03.12.2019
• 658
• 11

• 03.12.2019
• 2950
• 39

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 07.03.2020 282
• RAR 29.9 кбайт
• 17 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Гончарова Ирина Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 4654
• Всего материалов: 9

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Однородные уравнение – подробнее

Что такое однородные уравнения? Давай посмотрим на определение.

Однородные уравнения – это уравнения вида ( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0) с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Совершенно пугающее определение, поэтому разберемся на примере.

Пример №1

( {{a}^{2}}-4ab+3{{b}^{2}}=0)

Это уравнение однородное. Почему? Давай посмотрим на определение.

Однородные уравнения – это уравнения вида ( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0)…

Стоп! Давай все-таки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.

( {{k}_{0}}{{x}^{n}})

На первом месте должна идти первая переменная в степени ( n) с некоторым коэффициентом. В нашем случае это ( 1cdot {{a}^{2}}, k=1, x=a, n=2)

( {{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y)

Дальше идет первая переменная в степени ( n-1) и вторая переменная в первой степени.

В нашем случае это ( -4ab).

Как мы выяснили, ( n=2), значит здесь степень ( n-1=1) при первой переменной ( left( a right)) – сходится.

И вторая переменная ( left( b right)) в первой степени – на месте. Коэффициент ( k=)( -4).

( {{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}})

У нас это ( 3{{b}^{2}}).

Первая переменная ( left( a right)) в степени ( n-2=0), и вторая переменная ( left( b right)) в квадрате, с коэффициентом ( left( 3 right)). Это последний член уравнения.

Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.

Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.

…с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

У нас две неизвестные ( (a) и ( b)). Здесь сходится.

Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.

( {{a}^{2}}) – сумма степеней равна ( 2).

( -4ab) – сумма степеней равна ( 2) (( 1) при ( a) и ( 1) при ( b)).

( 3{{b}^{2}}) – сумма степеней равна ( 2).

Как видишь, все сходится! Это однородное уравнение.

Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.

Пример №9

На примере этой задачи повторим, что такое однородные уравнения и как их решать.

Найдите ( displaystyle frac{a}{b}), если ( {{a}^{2}}-3ab+2{{b}^{2}}=0).

Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на ( {{b}^{2}}), получим:

( displaystyle {{a}^{2}}-3ab+2{{b}^{2}}=0text{ }left| :{{b}^{2}}text{ }Leftrightarrow text{ }frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}-frac{3ab}{{{b}^{2}}}+frac{2{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}}=0text{ }Leftrightarrow text{ } right.{{left( frac{a}{b} right)}^{2}}-3cdot left( frac{a}{b} right)+2=0).

То есть, теперь нет отдельных ( a) и ( b), – теперь переменной в уравнении является искомая величина ( frac{a}{b}). И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно ( 2), а сумма ( 3) – это числа ( 2) и ( 1).

Ответ: ( 1;text{ }2.)

Уравнения вида

( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0)

называется однородным.

То есть это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна ( 2).

Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:

( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0text{ }left| :{{y}^{n}}text{ } right.Leftrightarrow )( {{k}_{0}}{{left( frac{x}{y} right)}^{n}}+{{k}_{1}}{{left( frac{x}{y} right)}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{left( frac{x}{y} right)}^{n-2}}+…+{{k}_{n-1}}left( frac{x}{y} right)+{{k}_{n}}=0),

И последующей заменой переменных: ( t=frac{x}{y}). Таким образом получаем уравнение ( n) степени с одной неизвестной ( t):

( {{k}_{0}}{{t}^{n}}+{{k}_{1}}{{t}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{t}^{n-2}}+…+{{k}_{n-1}}t+{{k}_{n}}=0).

Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:

Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю!

Например, если нас просят найти ( displaystyle frac{x}{y}), сразу понимаем, что ( yne 0), поскольку на ( 0) делить нельзя.

В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Решите уравнение ( {{sin }^{2}}x+3sin xcdot cos x+2{{cos }^{2}}x=0).

Решения (краткое описание):

Пример 11

( displaystyle 3{{x}^{2}}+7xy+4{{y}^{2}}=0text{ }left| :{{y}^{2}}ne 0text{ }Leftrightarrow text{ 3}{{left( frac{x}{y} right)}^{2}}+7frac{x}{y} right.+4=0text{ }underset{t=frac{x}{y}}{mathop{Leftrightarrow }},)

( displaystyle Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+7t+4=0);

( D=49-48=1)

( displaystyle {{t}_{1,2}}=frac{-7pm 1}{6}text{ }Rightarrow text{ }left[ begin{array}{l}t=-1\t=-frac{4}{3}end{array} right.text{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}frac{x}{y}=-1\frac{x}{y}=-frac{4}{3}end{array} right.)

Ответ: ( -frac{4}{3};text{ }-1).

Пример 12

А здесь надо не делить, а умножать:

( displaystyle 2{{x}^{2}}+5frac{x}{y}+frac{3}{{{y}^{2}}}=0text{ }left| times {{y}^{2}}ne 0 right.text{ }Leftrightarrow text{ }2{{left( xy right)}^{2}}+5xy+3=0text{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}xy=1\xy=frac{3}{2}.end{array} right.)

Ответ: ( 1;text{ }1,5.)

Пример 13

Если тригонометрические уравнения ты еще не проходил, этот пример можно пропустить.

Так как здесь нам нужно делить на ( {{cos }^{2}}x), убедимся сперва, сто он не равен нулю:

( {{cos }^{2}}x=0text{ }Rightarrow text{ }{{sin }^{2}}x=0text{ }Rightarrow text{ }{{sin }^{2}}x+{{cos }^{2}}x=0), а это невозможно.

Значит, ( {{cos }^{2}}xne 0).

( displaystyle {{sin }^{2}}x-sin xcdot cos x-2{{cos }^{2}}x=0text{ }left| :{{cos }^{2}}xne 0 right.Leftrightarrow )

( displaystyle Leftrightarrow text{t}{{text{g}}^{2}}x-tgx-2=0text{ }Leftrightarrow left[ begin{array}{l}tg x=2\tg x=-1end{array} right.text{ }Leftrightarrow )

( displaystyle left[ begin{array}{l}x=arctg2+pi k\x=-frac{pi }{4}+pi nend{array} right.text{ }k,nin mathbb{Z}.)

Ответ: ( arctg2+pi k;text{ }-frac{pi }{4}+pi n,text{ }k,nin mathbb{Z}).