Решу егэ подобные треугольники - Exhelper.top

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 334 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C₁, A₁ и B₁ соответственно, причём AC₁ : C₁B  =  8 : 3, BA₁ : A₁C  =  1 : 2, CB₁ : B₁A  =  3 : 1. Отрезки BB₁ и CC₁ пересекаются в точке D.

а)  Докажите, что ADA₁B₁  — параллелограмм.

б)  Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC  =  28, BC  =  18.

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Санкт-Петербург, Задания 16 ЕГЭ–2020

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон ВС, АВ и АС в точках K, L и М соответственно. Прямая КМ вторично пересекает в точке Р окружность радиуса АМ с центром А.

а)  Докажите, что прямая АР параллельна прямой ВС.

б)  Пусть AM  =  3, CM  =  2, Q  — точка пересечения прямых КМ и АВ, а Т  — такая точка на отрезке РQ, что Найдите QT.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 326. (часть C).

В треугольнике ABC, где проведена медиана AD и биссектриса СЕ, пересекающиеся в точке M. Через M проведена прямая, параллельная AC и пересекающая стороны AB и BC в точках P и Q соответственно.

а)  Найдите PM.

б)  Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник PQB.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 246.

Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O. Окружность с центром в точке O проходит через вершину A, касается стороны BC в точке K и пересекает сторону AC в точке M такой, что

а)  Найдите отношение CK:KB.

б)  Найдите длину стороны AB, если радиус окружности равен 2.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 253.

Равнобедренные треугольники АВС (АВ  =   ВС) и KLM (KM  =   LM) расположены так, что М  — середина АС, В  — середина KL, прямая KL параллельна прямой AC. Точки R  — точка пересечения KM и АВ, Т  — ВС и МL.

а)  Доказать, что прямая RT параллельна прямой АС.

б)  Найти площадь треугольника АВС, если и площадь четырехугольника BTMR равна 24.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 186.

Площадь треугольника ABC равна 10; площадь треугольника AHB, где H  — точка пересечения высот, равна 8. На прямой CH взята такая точка K, что треугольник ABK  — прямоугольный.

а)  Докажите, что

б)  Найдите площадь треугольника ABK.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 66.

Точка M пересечения медиан треугольника ABC, вершина A и середины сторон AB и AC лежат на одной окружности.

а)  Докажите, что треугольники AKB и BKM подобны, где K  — середина стороны BC.

б)  Найдите длину AK, если

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 242.

В каждый угол равнобедренного треугольника ABC, в котором AB  =  10, AC  =  BC  =  13, вписана окружность единичного радиуса, точки О₁, О₂ и О₃ центры этих окружностей. Найдите:

а)  радиус окружности, вписанной в треугольник ABC;

б)  площадь треугольника О₁, О₂, О₃.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 339.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и BP.

а)  Докажите, что углы АКР и ABP равны.

б)  Найдите длину отрезка PK, если известно, что AB  =  5, BC  =  6, CA  =  4.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 161.

Две окружности пересекаются в точках А и В так, что их центры лежат по разные стороны от отрезка АВ. Через точку А проведены касательные к этим окружностям АС и АЕ (точка С лежит на первой окружности, а точка Е  — на второй). Площадь четырехугольника АСВЕ в 5 раз больше площади треугольника АВС, BD  — биссектриса угла АВЕ (точка D лежит на хорде АЕ).

а)  Найти отношение длин отрезков АВ и ВС.

б)  Найти значения чисел p и q, если

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 185.

Через точку T внутри треугольника ABC проведены три прямые k, l и m так, что k || AB, l || BC, m || AC. Эти прямые образуют три треугольника, два из которых равны по площади.

а)  Докажите, что квадрат суммы квадратных корней из площадей треугольников, образованных прямыми k, l и m со сторонами треугольника ABC, равен площади этого треугольника;

б)  Найдите площадь меньшего треугольника, если известно, что площадь треугольника ABC равна 25, а площадь каждого из равных треугольников равна 4.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 83., А. Ларин: Тренировочный вариант № 83.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.

а)  Докажите, что треугольник KMP  — равнобедренный.

б)  Найдите площадь треугольника KMP, если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 108.

В треугольнике ABC AB  =  3, Хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что площадь четырёхугольника ABLM равна 2, LM  =  1.

а)  Докажите, что треугольник KNC равнобедренный.

б)  Найдите площадь треугольника KNC.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 331. (часть C).

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN.

А)  Докажите, что углы ACB и MNB равны.

Б)  Вычислите длину стороны АС, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 110.

В треугольнике ABC длина AB равна 3, хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что площадь четырехугольника ABLM равна 2, а длина LM равна 1.

а)  Найдите высоту треугольника KNC, опущенную из вершины C.

б)  Найдите площадь треугольника KNC.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 264.

В остроугольном треугольнике ABC высоты AA₁ и CC₁ пересекаются в точке О.

А)  Докажите, что треугольники AOC и C₁OA₁ подобны.

Б)  Найдите площадь четырехугольника ACA₁C₁, если известно, что угол ABC равен 30°, а площадь треугольника ABC равна 80.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 101.

В остроугольном треугольнике ABC высоты BB₁ и CC₁ пересекаются в точке H.

а)  Докажите, что

б)  Найдите расстояние от центра описанной окружности треугольника ABC до стороны BC, если B₁C₁  =  12 и

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 332. (часть C).

Площадь трапеции ABCD равна 6. Пусть E  — точка пересечения продолжений боковых сторон этой трапеции. Через точку E и точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, которая пересекает меньшее основание BC в точке P, а большее основание AD  — в точке Q. Точка F лежит на отрезке EC, причем

а)  Докажите, что прямая EQ точками пересечения делит основания трапеции пополам.

б)  Найдите площадь треугольника EPF.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 267.

Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC c прямым углом C лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. Прямая BC вторично пересекает большую окружность в точке E.

а)  Докажите, что AE параллельно BD.

б)  Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15.

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Москва, Задания 16 ЕГЭ–2020

В треугольнике ABC на стороне AB отмечена точка E, при этом BE  =  4, EA  =  5, BC  =  6.

а)  Докажите, что углы ВАС и BCE равны.

б)  Найдите площадь треугольника AEC, если известно, что угол ABC равен 30°.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 143.

Всего: 334 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 206 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.

а)  Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны;

б)  Найдите отношение ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.

Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2016, ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016. Вариант 410. Запад

Объем первого куба в 8 раз больше объема второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объем одного куба в 729 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объем одного куба в 125 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Площадь трапеции ABCD равна 60, а одно из оснований трапеции втрое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OMPN.

В трапеции ABCD BC||AD, Прямая, перпендикулярная

стороне CD, пересекает сторону АВ в точке М, а сторону CD  — в точке N.

а)  Докажите подобие треугольников АВN и DCM

б)  Найдите расстояние от точки А до прямой ВN, если МС  =  5, ВN  =  3, а расстояние от точки D до прямой МС равно 6.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 217.

а)  Докажите, что ADA₁B₁  — параллелограмм.

б)  Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC  =  28, BC  =  18.

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Санкт-Петербург, Задания 16 ЕГЭ–2020

В треугольнике ABC известны стороны: AB  =  7, BC  =  8, AC  =  9. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2012 года, основная волна.

В треугольнике ABC известны стороны: AB  =  5, BC  =  6, AC  =  7. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые AB и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.

В треугольник ABC известны стороны: AB  =  6, BC  =  8, AC  =  9. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.

В треугольник ABC известны стороны: AB  =  14, BC  =  18, AC  =  20. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.

Площадь боковой поверхности пятиугольной пирамиды равна 13. Чему будет равна площадь боковой поверхности пирамиды, если все ее ребра уменьшить в 2 раза?

Источник: Добровольное тренировочное тестирование Санкт-Петербург 2013.

В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB = 8 и CD = 5 биссектриса угла B пересекает биссектрисы углов A и C в точках M и N соответственно, а биссектриса угла D пересекает те же две биссектрисы в точках L и K, причем точка L лежит на основании BC.

а)  Докажите, что прямая MK проходит через середину стороны AB.

б)  Найти отношение KL : MN, если LM : KN = 4 : 7.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 44.

Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.

а)  Докажите, что MK  =  NL.

б)  Найдите MN, если известно, что BC  =  3, AD  =  8 и MK : KL  =  1 : 3.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 46.

Продолжение медианы AE треугольника ABC пересекает описанную около треугольника окружность в точке D.

а)  Докажите подобие треугольников ABC и AEC, если AC  =  CD.

б)  Найдите длину отрезка BC, если длина каждой из хорд AC и DC равна 1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 69.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Точка Х лежит на его стороне AD, причем ВХ || CD и CX || BA, и DX  =  6.

а)  Докажите, что треугольники АВХ и ВХС подобны.

б)  Найдите ВС.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 89.

Прямая p, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает прямые AB, AC, BD и CD в точках E, F, G и H соответственно, причём EF = FG.

а)  Докажите, что точки пересечения прямой p с диагоналями AC и BD делят отрезок EН на три равных части;

б)  Найдите EF, если BC = 3, AD = 4.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 88.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и BP.

а)  Докажите, что углы АКР и ABP равны.

б)  Найдите длину отрезка PK, если известно, что AB  =  5, BC  =  6, CA  =  4.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 161.

Всего: 206 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 334 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Добавить в вариант

Дан треугольник ABC, в котором медиана На биссектрисе СЕ выбрана точка F такая, что CE=5CF. Через точку F проведена прямая l, параллельная BC.

а)  Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC до прямой l.

б)  Найдите, в каком отношении прямая l делит площадь треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 255.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.

а)  Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б)  Пусть P  — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC  =  2 : 5, а BN  =  14.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.

а)  Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б)  Пусть P  — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC  =  2 : 5, а BN  =  21.

На стороне АВ выпуклого четырехугольника АВCD выбрана точка М так, что и Утроенный квадрат отношения расстояния от точки А до прямой CD к расстоянию от точки С до прямой AD равен 2, СD  =  20.

а)  Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

б)  Найдите длину радиуса вписанной в треугольник АСD окружности.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 330. (часть C).

Радиус вписанной в треугольник АВС окружности равен Окружность радиуса касается вписанной в треугольник АВС окружности в точке Т, а также касается лучей, образующих угол АСВ. Окружности касаются прямой АС в точках К и М.

а)  Докажите, что треугольник КТМ прямоугольный

б)  Найдите тангенс угла АВС, если площадь треугольника АВС равна а наибольшей из его сторон является сторона АС.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 224.

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC расположены точки E и D соответственно так, что AD  — биссектриса треугольника ABC, DE  — биссектриса треугольника ABD,

а)  Найдите AC.

б)  Найдите площадь треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 249.

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC₁ и медиану AA₁. Оказалось, что точки A, A₁, C, C₁ лежат на одной окружности.

а)  Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б)  Найдите площадь треугольника ABC, если AA₁ : CC₁  =  4 : 3 и A₁C₁  =  6.

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 406, Задания 16 ЕГЭ–2020

В треугольнике ABC на продолжении стороны AC за вершину A отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M.

а)  Докажите, что AM  — биссектриса угла BAC.

б)  Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 216 и известно отношение AC : AB  =  5 : 4.

а)  Докажите, что AM  — биссектриса угла BAC.

б)  Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 54 и известно отношение AC : AB  =  5 : 4.

Отрезок CH  — высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. На катетах AC и BC выбраны точки M и N соответственно такие, что

a) Докажите, что треугольник MNH подобен треугольнику ABC.

б)  Найдите CN, если BC  =  2, AC  =  4, CM  =  1.

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, другие города. Вариант 358 (часть С), Задания 16 ЕГЭ–2021

a) Докажите, что треугольник MNH подобен треугольнику ABC.

б)  Найдите CN, если BC  =  3, AC  =  5, CM  =  2.

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Разные задачи, Задания 16 ЕГЭ–2021

В треугольнике ABC сторона AC больше стороны BC. Биссектриса CL пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке K. На стороне AC отмечена точка P так, что

а)  Докажите, что точки A, P, L, K лежат на одной окружности.

б)  Найдите площадь четырехугольника APLK, если BC=4, AB=5, AC=6.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 200.

В окружности с центром в точке О радиуса 4 проведены хорда AB и диаметр AK, образующий с хордой угол В точке B проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра AK в точке С.

а)  Докажите, что треугольник OBC  — равнобедренный

б)  Найдите длину медианы AM треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 250.

Точки D и E  — середины сторон AC и BC треугольника ABC соответственно. На отрезке DE как на диаметре построена окружность, пересекающая продолжения сторон AC и BC в точках M и N соответственно.

а)  Докажите, что биссектрисы углов MEN и NDM пересекаются на этой окружности.

б)  Найдите MN, если известно, что AB  =  14, BC  =  10, AC  =  6.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 352.

Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C. Проведена высота CH. На сторонах AC и BC соответственно отмечены точки M и N так, что угол MHN прямой.

а)  Докажите, что треугольники MNH и ABC подобны.

б)  Найдите BN, если

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Разные задачи, Задания 16 ЕГЭ–2021

а)  Докажите, что треугольники MNH и ABC подобны.

б)  Найдите BN, если

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Разные задачи, Задания 16 ЕГЭ–2021

Площадь треугольника АВС равна 72, а сумма длин сторон АС и ВС равна 24.

а)  Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

б)  Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник АВС, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне АВ.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 109.

В треугольнике АВС точка D есть середина АВ, точка Е лежит на стороне ВС, причем Отрезки АЕ и CD пересекаются в точке О.

а)  Доказать, что

б)  Найти длину стороны АВ, если АЕ  =  5, ОС  =  4, а угол АОС равен 120°

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 226.

В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен На гипотенузе AB взята точка H, а на катете AC  — точка K. Известно, что прямая KH перпендикулярна гипотенузе и делит треугольник ABC на две равновеликие части.

а)  Докажите, что в четырехугольник KHBC можно вписать окружность.

б)  Найдите радиус этой окружности, если известно, что KH = 1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 125.

К окружности, вписанной в квадрат АВСD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и АD в точках М и Р соответственно.

а)  Докажите, что периметр треугольника АМР равен стороне квадрата.

б)  Прямая МР пересекает прямую СD в точке К. Прямая, проходящая через точку К и центр окружности, пресекает прямую АВ в точке Е. Найдите отношение BE:BM, если

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 175.

Всего: 334 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Источник

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Треугольник: задачи на подобие

(blacktriangleright) Треугольники подобны, если их углы равны, а сходственные стороны (лежащие напротив равных углов) относятся друг к другу с одним и тем же коэффициентом (k) (пропорциональны).

(blacktriangleright) Признаки подобия:

1. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.

2. Три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

3. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны.

(blacktriangleright) Площади подобных треугольников относятся как (k^2), а периметры – как (k).

(blacktriangleright) Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон. Она равна половине третьей стороны.

Задание
1

#3935

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точка (E) лежит на стороне (AC) треугольника (ABC), причём (dfrac{EC}{AE} = 2). Точка (D) лежит на (BC), причём (EDparallel AB). Найдите (AB), если (ED = dfrac{4}{3}).

Так как (EDparallel AB), то (angle CED = angle CAB), (angle CDE = angle CBA) (как соответственные при параллельных прямых и секущей), тогда треугольники (CED) и (CAB) подобны.

Так как (EC = 2cdot AE), то (AC = 3cdot AE), следовательно, [dfrac{AC}{EC} = dfrac{3cdot AE}{2cdot AE} = dfrac{3}{2}.]

Так как стороны (EC) и (AC) лежат против равных углов (в треугольниках (CED) и (CAB) соответственно), то [dfrac{AB}{ED} = dfrac{AC}{EC} = dfrac{3}{2},] откуда [AB = dfrac{3}{2}cdot ED = dfrac{3}{2}cdotdfrac{4}{3} = 2.]

Ответ:

Задание
2

#3937

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точка (E) лежит на стороне (AC) треугольника (ABC), причём (dfrac{EC}{AE} = 3). Точка (D) лежит на (BC), причём (dfrac{CD}{CB} = 0,75). Найдите (angle CED — angle CAB). Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольники (CAB) и (CED):
(angle C) – общий,
[dfrac{CA}{CE} = dfrac{AE + CE}{CE} = dfrac{AE}{CE} + 1 = dfrac{1}{3} + 1 = dfrac{4}{3} = dfrac{CB}{CD},] тогда треугольники (CAB) и (CED) подобны по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними.

В подобных треугольниках против пропорциональных сторон лежат равные углы, тогда (angle CED = angle CAB), откуда (angle CED — angle CAB = 0^{circ}).

Ответ:

Задание
3

#3943

Уровень задания: Равен ЕГЭ

(F) – точка пересечения (AD) и (BE) – медиан треугольника (ABC). Известно, что (S_{ABF} = 1). Найдите (S_{DEF}).

(ED) – средняя линия треугольника (ABC), тогда (ED = 0,5cdot AB), (EDparallel AB).

Так как (EDparallel AB), то (angle DEF = angle ABF), (angle EDF = angle FAB) (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей), следовательно, треугольники (DEF) и (ABF) подобны (по двум углам). Так как (ED = 0,5cdot AB), причём стороны (ED) и (AB) лежат (в треугольниках (DEF) и (ABF) соответственно) против равных углов, то [dfrac{S_{DEF}}{S_{ABF}} = left(dfrac{ED}{AB}right)^2 = 0,5^2 = 0,25,] откуда с учётом того, что (S_{ABF} = 1) находим (S_{DEF} = 0,25).

Ответ:

0,25

Задание
4

#3936

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Отрезок (BK) соединяет вершину (B) треугольника (ABC) с точкой на противоположной стороне, причем (angle AKB = angle B). При этом известно, что (BK = 10), (AB = 12), (AC = 18). Найдите (BC).

Рассмотрим треугольники (ABK) и (ACB):
(angle AKB = angle B),
(angle A) – общий, тогда треугольники (ABK) и (ACB) подобны по двум углам.

В подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны, тогда [dfrac{BK}{BC} = dfrac{AB}{AC},] откуда (dfrac{10}{BC} = dfrac{12}{18}), следовательно (BC = 15).

Ответ:

Задание
5

#3938

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Отрезок (BK) соединяет вершину (B) треугольника (ABC) с точкой на противоположной стороне. При этом известно, что (angle AKB = 105^{circ}), (AB = 12), (AC = 24), (AK = 6). Найдите (angle ABC). Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольники (ABK) и (ACB):
(angle A) – общий,
[dfrac{AB}{AC} = dfrac{AK}{AB},] тогда треугольники (ABK) и (ACB) подобны по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними.

В подобных треугольниках против пропорциональных сторон лежат равные углы, тогда (angle ABC = angle AKB = 105^{circ}).

Ответ:

105

Задание
6

#3939

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

На сторонах (AB), (BC) и (AC) треугольника (ABC) лежат точки (D), (E) и (F) соответственно. Известно, что (dfrac{DF}{BC} = 0,5), (AC = 2cdot DE), (AB-EF=EF) (angle DEF = 61^{circ}), (angle EFD = 55^{circ}). Найдите (angle C). Ответ дайте в градусах.

Так как (angle DEF = 61^{circ}), (angle EFD = 55^{circ}), то (angle EDF = 180^{circ} — 61^{circ} — 55^{circ} = 64^{circ}).

Рассмотрим треугольники (ABC) и (EFD): по условию
[dfrac{DF}{BC} = 0,5 = dfrac{DE}{AC} = dfrac{EF}{AB},] тогда треугольники (ABC) и (EFD) подобны по пропорциональности трех сторон.

В подобных треугольниках против пропорциональных сторон лежат равные углы, тогда (angle C = angle EDF = 64^{circ}).

Ответ:

Задание
7

#3940

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Отрезок (BK) соединяет вершину (B) треугольника (ABC) с точкой на противоположной стороне. При этом известно, что (AB = 12), (AC = 24), (AK = 6), (BK = 10), (BC = 20). Найдите (angle AKB — angle B). Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольники (ABK) и (ACB):
[dfrac{AB}{AC} = dfrac{AK}{AB} = dfrac{BK}{BC},] тогда треугольники (ABK) и (ACB) подобны по пропорциональности трех сторон.

В подобных треугольниках против пропорциональных сторон лежат равные углы, тогда (angle B = angle AKB), следовательно (angle AKB — angle B = 0^{circ}).

Ответ:

Как показывает статистика, планиметрические задачи вызывают наибольшие сложности у учащихся старших классов. Именно поэтому школьникам будет полезно освежить в памяти основные принципы решения задач с подобными треугольниками при подготовке к ЕГЭ. Причем еще раз повторить эту тему стоит всем ученикам, независимо от того, профильный или базовый уровень планирует сдавать выпускник.

Вместе с образовательным порталом «Школково» вы сможете качественно подготовиться к аттестационному испытанию. Чтобы решение задач ЕГЭ по теме «Подобные треугольники» давалось легко, рекомендуем вспомнить основную теорию. Найти ее вы можете в соответствующем разделе нашего сайта. Здесь представлены основные признаки подобных треугольников (для решения заданий ЕГЭ знать их необходимо), формула отношения их площадей и другая базовая информация. Ее специалисты образовательного портала «Школково» подготовили и изложили в максимально доступной форме.

Отточить навык решения задач ЕГЭ на нахождение сторон и углов подобных треугольников, а также, например, задачи по теореме Пифагора учащиеся также смогут на нашем сайте. В разделе «Каталог» представлен широкий перечень упражнений различной сложности, который постоянно обновляется.

В каждом задании прописано решение и дан правильный ответ. Выполнять задачи с применением признаков подобия площадей подобных треугольников можно в режиме онлайн.

Любое из представленных упражнений при необходимости можно сохранить в разделе «Избранное». Таким образом, к нему возможно будет вернуться в дальнейшем, к примеру, для обсуждения с преподавателем.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

23
Янв 2014

Категория: Планиметрия

Задачи на подобие треугольников

2014-01-23
2022-01-11

Рассмотрим задачи, при решении которых мы будем использовать подобие треугольников.

Уделим внимание как базовым задачам, так и задачам посложней.

В конце статье вы найдете задачи для самостоятельной работы

Задача 1. Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если ВС = 6, МN = 4 и АС = 9.

Решение: + показать

Задача 2. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

iyhk

Решение: + показать

Задача 3. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников.

Решение: + показать

Задача 4. Из одной точки проведены к кругу две касательные. Длина касательной равна 156, а расстояние между точками касания равно 120. Найдите радиус круга.

Решение: + показать

Задача 5. В трапеции меньшая диагональ , равная 6, перпендикулярна основаниям и . Найдите сумму тупых углов и .

tug

Решение:+ показать

Задача 6. Основания трапеции равны a и b. Определите длину отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части.

lkj

Решение: + показать

Задачи для самостоятельной работы

1. Через точки E и F, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая EF, параллельная стороне АС. Найдите длину BС, если EF = 10, AC = 15 и FC = 9. (Ответ: 27).

2. В прямоугольном треугольнике проведена высота к гипотенузе. , Найдите катет . (Ответ: 20/3).

3. Прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него треугольник, площадь которого в 8 раз меньше площади оставшейся части. Периметр большего треугольника равен 27. Найдите периметр меньшего треугольника. (Ответ: 9).

4. Основание треугольника 15 см, а боковые стороны 13 и 14 см. Высота разделена в отношении 2:3 (считая от вершины) и через точку деления проведена прямая, параллельная основанию. Найдите площадь образовавшейся при этом трапеции. (Ответ: 70,56 (возможно, вам потребуется формула Герона)).

5. В трапеции с основаниями и диагонали пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 4, площадь треугольника равна 9. Найдите площадь трапеции. (Ответ: 25).

6. Трапеция разделена диагоналями на четыре части. Определить ее площадь, если известны площади ее частей, прилежащих к основаниям и . (Ответ: $(sqrt{S_1}+sqrt{S_2})^2$ ).

Автор: egeMax |

комментариев 9

Источник

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Задачи на подобие треугольников в ЕГЭ.
2 слайд

Цель урока:
повторить признаки подобия треугольников;
детально рассмотреть задачу С4 ЕГЭ;
ввести понятие ортотреугольника
3 слайд

Определение подобных треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Число k, равное отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия
A
B
C
A1
B1
C1
4 слайд

Признаки подобия треугольников
I признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
A
B
C
A1
B1
C1
5 слайд

Признаки подобия треугольников
II признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

A
B
C
A1
B1
C1
6 слайд

Признаки подобия треугольников
III признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

A
B
C
A1
B1
C1
7 слайд

a c a b
b d c d

a c d b
b d c d
8 слайд

Задача С4
Точки А1, В1, С1 – основания высот треугольника АВС. Углы треугольника А1В1С1 равны 90º, 60º и 30º. Найдите углы треугольника АВС.
13 слайд

Определение ортотреугольника
А
С
В
А1
В1
С1
14 слайд

Свойства ортотреугольника

Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному.
Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующей стороной исходного треугольника.
3. Высоты треугольника являются биссектрисами ортотреугольника.
4. Ортотреугольник – это треугольник с наименьшим периметром, который можно вписать в этот треугольник .
5. Периметр ортотреугольника равен удвоенному произведению высоты треугольника на синус угла, из которого она исходит.
А
С
В
А1
В1
С1
О

Источник

1 Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 120 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 330 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

2. Проектор полностью освещает экран A высотой 100 см, расположенный на расстоянии 230 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 320 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

3. Проектор полностью освещает экран A высотой 50 см, расположенный на расстоянии 200 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 400 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

4. Проектор полностью освещает экран A высотой 150 см, расположенный на расстоянии 210 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 320 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

5. Проектор полностью освещает экран A высотой 50 см, расположенный на расстоянии 110 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 270 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

6. Проектор полностью освещает экран A высотой 50 см, расположенный на расстоянии 110 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 360 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

7. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 6 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 7,2 м. Найдите длину тени человека в метрах.

8. Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 3,5 м. Найдите длину тени человека в метрах.

9. Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 13 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,4 м. Найдите длину тени человека в метрах.

10. Человек ростом 1,9 м стоит на расстоянии 6 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 7,6 м. Найдите длину тени человека в метрах.

11. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 9 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 6,8 м. Найдите длину тени человека в метрах.

❧

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, высота фонаря 5 м?

Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 4 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 1 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, высота фонаря 4 м?

Человек, рост которого равен 1,6 м, стоит на расстоянии 17 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 8 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 1 м, высота фонаря 9 м?

❧

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 4 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 1 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 1 м, а длинное плечо — 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

Источник

Треугольник: задачи на подобие

Задачи на подобие треугольников

Задачи для самостоятельной работы

Описание презентации по отдельным слайдам:

Новое и интересное на сайте: