Решу егэ рф геометрия 7 класс параллельные прямые

Всего: 163    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 163    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Геометрия

7 класс

Урок № 19

Признаки параллельности прямых

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Параллельные прямые.
• Накрест лежащие, соответственные, односторонние углы.
• Признаки параллельности прямых.
• Решение задач на доказательство параллельности прямых.

Тезаурус:

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признаки параллельности двух прямых:

1. Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже знаете, что при пересечении двух прямых секущей образуются углы:

• накрест лежащие: 3 и 6, 4 и 5.
• односторонние: 3 и 5, 4 и 6.
• соответственные: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6; 4 и 8.

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

Рассмотрим и докажем признаки параллельности прямых.

Теорема 1.

Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠ 1 = ∠ 2 накрест лежащие.

Доказать: a║b.

Доказательство:

1 случай:

∠1 = ∠2 = 90°

В этом случае две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются, т. е. параллельны.

2 случай: ∠ 1= ∠ 2 ≠ 90°

1) Из середины O отрезка AB проведём перпендикуляр OH к прямой а. На прямой b от точки B отложим отрезок BH₁, равный отрезку AH и проведем отрезок OH₁.

2) AO = OB т. к. O середина AB; AH = BH₁ по построению; ∠1 = ∠2 по условию. Тогда ΔOHA = ΔOH₁B по первому признаку равенства треугольников.

Далее следует из равенства треугольников: ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6.

3) Из равенства углов ∠3 и ∠4 следует, что точка H₁ лежит на продолжении луча OH. Это значит, что точки H₁, O, H лежат на одной прямой.

4) Из равенства ∠5 и ∠6 следует, что ∠6 = 90°. Это значит, что прямые a и b перпендикулярны к третьей НН₁, а значит, по теореме о двух прямых, перпендикулярных к третьей, не пересекаются, т. е. параллельны.

Теорема 2.

Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠1 = ∠2 соответственные.

Доказать: a ║b.

Доказательство:

∠1 = ∠2 – по условию и ∠2 = ∠3 – по свойству вертикальных углов.

Значит, ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Теорема 3.

Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано:

Прямые a и b, секущая AB, ∠1 + ∠2 = 180° ‑ односторонние.

Доказать: a║b.

∠3 +∠2 = 180°– по свойству смежных углов, откуда ∠3 = 180° – ∠2.

∠1 + ∠2 = 180^° по условию, откуда ∠1 = 180° – ∠2.

Тогда ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Задача 1

Дано: ∠1= 60°, ∠2 = 120°.

Докажите: a║b

Решение:

1. ∠2 и ∠3 смежные, ∠3 = 180° – 120° = 60° по свойству смежных углов;
2. ∠3 = ∠1, это накрест лежащие углы;
3. Значит, прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Ответ: прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Задача 2.

Дано: ΔABC – равнобедренный, ∠А = 60°. CD – биссектриса ∠BCK.

Докажите: AB ║ CD.

Доказательство:

1. ∠A = ∠C = 60° – углы при основании равнобедренного Δ–ка равны.
2. ∠BCK и ∠С смежные. ∠BCK = 180° – 60°= 120° – по свойству смежных углов.
3. ∠BCD = ∠CDK = 60° т. к. CD – биссектриса делит угол пополам.
4. Значит, ∠A = ∠DCK = 60° ‑ соответственные, следовательно, AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.

Ответ: AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.

Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 33. Решение задач по теме «Признаки параллельности прямых». Самостоятельная работа № 8 с ответами и подсказками к решению (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 8.

Геометрия 7. Контрольные работы
   Геометрия 7. Самостоятельные работы

Геометрия 7 класс. Урок 33.
Самостоятельная работа № 8 (задания)

Основная дидактическая цель урока: совершенствовать навыки решения задач

   I уровень сложности (легкий)

 II уровень сложности (средний)

   III уровень сложности (сложный)

---

Самостоятельная работа № 8
Указания к решению и ОТВЕТЫ

С-8. I уровень сложности (задания и ответы)

Вариант 1 (уровень 1)

№ 1. Параллельны ли прямые d и е (рис. 3.43)?
ОТВЕТ: d || е.

№ 2. Дано: ЕО = LO; FO = КО (рис. 3.44). Доказать: ЕF || KL.
ОТВЕТ: ΔEOF = ΔLOK, значит, ∠E = ∠L.
∠E = ∠L, значит, EF || KL.

№ 3. Дано: ∠1 = ∠2; ∠2 + ∠3 = 180° (рис. 3.45). Доказать: а || с.
ОТВЕТ: ∠1 = ∠2, ∠2 + ∠3 = 180°, но ∠1 = ∠4, тогда ∠4 + ∠3 = 180°.
Значит a || с (рис. 3.60).

Вариант 2 (уровень 1)

№ 1. Параллельны ли прямые m и n (рис. 3.46)?
ОТВЕТ: m || n.

№ 2. Дано: NF = PF; MF = QF (рис. 3.47). Доказать: MN || PQ.
ОТВЕТ: ΔMFN = ΔQFP, значит, ∠M = ∠Q.
∠M = ∠Q, значит, MN || PQ.

№ 3. Дано: ∠1 + ∠2 = 180°; ∠2 = ∠3 (рис. 3.48). Доказать: а || с.
ОТВЕТ: ∠1 + ∠2 = 180°.
∠2 = ∠3, но ∠1 = ∠4, значит, ∠4 + ∠3 = 180°.
Следовательно, a || с (рис. 3.61).

Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 8

---

С-8. II уровень сложности (задания и ответы)

Вариант 1 (уровень 2)

№ 1. Какие из прямых а, b, с, изображенных на рис. 3.49, являются параллельными?
ОТВЕТ: . a || b || c.

№ 2. Дано: АВ = ВС; DE = EF; ∠1 = ∠2 (рис. 3.50). Доказать: АВ || DE.
ОТВЕТ: ΔАВС и ΔDEF – равнобедренные, ∠1 = ∠2, значит, ∠A = ∠D.
∠A и ∠EDF – соответственные при прямых АВ и DE и секущей AF, следовательно, АВ || DE.

№ 3. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и MN (Е ∈ CD, К ∈ MN). Угол DEK равен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными?
ОТВЕТ: Рассмотрим два случая (рис. 3.62): a) ∠NKE = 115°; б) ∠NKE = 65°.

Вариант 2 (уровень 2)

№ 1. Какие из прямых m, n, k, изображенных на рис. 3.51, являются параллельными?
ОТВЕТ: m || n || k.

№ 2. Дано: MN = NK; РО = ОЕ; ∠1 = ∠2 (рис. 3.52). Доказать: MN || ОЕ.
ОТВЕТ: ΔMNK и ΔРОЕ – равнобедренные, ∠1 = ∠2, тогда ∠NMK = ∠PEO, но ∠NMK и ∠PEO – накрест лежащие при прямых MN и ОЕ и секущей ME, следовательно, MN || ОЕ.

№ 3. Прямая MN является секущей для прямых АВ и CD (М ∈ АВ, N ∈ CD). Угол AMN равен 78°. При каком значении угла CNM прямые АВ и CD могут быть параллельными?
ОТВЕТ: Рассмотрим два случая (рис. 3.63): a) ∠CNM = 102°; б) ∠CNM = 78°.

Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 8.

---

   С-8. III уровень сложности (задания и ответы)

Вариант 1 (уровень 3)

№ 1. Дано: ∠1 = ∠2; ВС = EF; AD = CF (рис. 3.53). Доказать: АВ || DE.
ОТВЕТ: ΔАВС = ΔDEF по двум сторонам и углу между ними, значит, ∠BAC = ∠EDF.
∠BAC и ∠EDF – соответственные при прямых АВ и DE и секущей АЕ, следовательно, АВ || DE.

№ 2. Дано: ∠1 = ∠2; BD ⊥ АС; АС – биссектриса ∠BAE (рис. 3.54). Доказать: ВС || АЕ.
ОТВЕТ: ΔABD = ΔCBD по стороне и прилежащим к ней углам, следовательно, ∠BAD = ∠BCD.
АС – биссектриса ∠BAE, значит, ∠BAD = ∠DAE.
Получили, что накрест лежащие углы ∠BCD и ∠DAE при прямых ВС и АЕ и секущей АС равны, значит, ВС || АЕ.

№ 3. Дано: AM = MD; DE = DF; АЕ = AF (рис. 3.55). Доказать: MD || AF.
ОТВЕТ: ΔAED = ΔAFD по трем сторонам, поэтому ∠EAD = ∠DAF.
ΔAMD – равнобедренный, значит, ∠EAD = ∠MDA.
∠MDA и ∠DAF – накрест лежащие при прямых MD и АF и секущей AD и они равны, значит, MD || АF.

Вариант 2 (уровень 3)

№ 1. Дано: ∠1 = ∠2; ED = ВС; ЕF = АС (рис. 3.56). Доказать: EF || АС.
ОТВЕТ: ΔАВС = ΔFDE по двум сторонам и углу между ними, значит, ∠CAB = ∠EFD. ∠CAB и ∠EFD – накрест лежащие при прямых АС и EF и секущей АF, следовательно, АС || ЕF.

№ 2. Дано: АС – биссектриса ∠BAD; BE ⊥ АС; АЕ = ЕС (рис. 3.57). Доказать: AD || ВС.
ОТВЕТ: ΔАВЕ = ΔСВЕ по двум сторонам и углу между ними, значит, ∠BAE = ∠BCE.
АС – биссектриса BAD, поэтому ∠BAE = ∠EAD.
Получили, что накрест лежащие углы ВСЕ и EAD при прямых ВС и AD и секущей АС равны, значит, ВС || AD.

№ 3. Дано: АС – биссектриса ∠BAM; ∠BDA = ∠BEC; AD = СЕ; BE = BD (рис. 3.58). Доказать: AM || ВС.
ОТВЕТ: ΔADB = ΔСЕВ по двум сторонам и углу между ними, отсюда АВ = ВС, значит, ∠BAC = ∠BCA как углы при основании равнобедренного ΔАВС.
АС – биссектриса ∠BAM, значит, ∠BAC = ∠CAM.
Накрест лежащие углы САМ и АСВ при прямых AM и ВС и секущей АС равны, значит, AM || ВС.

---

Вы смотрели: Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 33. Решение задач по теме «Признаки параллельности прямых». Самостоятельная работа № 8 с ответами и решениями (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 6. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».

Геометрия 7. Поурочные планы
  Геометрия 7. Самостоятельные работы

1. 1. Прямая, отрезок, точки
      

   2. Луч, угол, обозначение угла
      

   3. Сравнение отрезков и углов. Биссектриса
      

   4. Измерение отрезков и углов
      

   5. Перпендикулярные прямые. Смежные и вертикальные углы
      

2. 1. Первый признак равенства треугольников
      

   2. Медиана, биссектриса, высота треугольника
      

   3. Второй и третий признаки равенства треугольников
      

   4. Окружность. Радиус. Задачи на построение
      

3. 1. Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых. Аксиома параллельных прямых
      

4. 1. Сумма углов треугольника. Виды треугольников
      

   2. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника
      

   3. Прямоугольный треугольник. Свойства. Признаки равенства
      

   4. Расстояние от точки до прямой. Построение треугольника по трём элементам
      

Геометрия 7-9 класс, задания по темам. Математика для школьников. Подготовка к ЕГЭ и ОГЭadmin2021-08-07T23:07:11+03:00