Решу егэ теорема менелая - Exhelper.top

Всего: 47 1–20 | 21–40 | 41–47

Добавить в вариант

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C₁, A₁ и B₁ соответственно, причём AC₁ : C₁B  =  8 : 3, BA₁ : A₁C  =  1 : 2, CB₁ : B₁A  =  3 : 1. Отрезки BB₁ и CC₁ пересекаются в точке D.

а)  Докажите, что ADA₁B₁  — параллелограмм.

б)  Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC  =  28, BC  =  18.

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Санкт-Петербург, Задания 16 ЕГЭ–2020

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Точка M  — середина SA, на ребре SB отмечена точка N так, что

а)  Докажите, что плоскость CMN параллельна прямой SD.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью CMN, если все рёбра равны 12.

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Краснодарский край, Задания 13 ЕГЭ–2022

На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а)  Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б)  Известно, что В каком отношении прямая DL делит сторону AB?

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

Точки М, N и К принадлежат соответственно ребрам АD, AB и BC тетраэдра ABCD,

причем АМ : МD  =  2 : 3, ВN : АN  =  1 : 2, ВК  =  КС.

а)  Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K.

б)  Найдите отношение, в котором секущая плоскость делит ребро CD.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 206.

Точки B₁ и C₁ лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причём AB₁ : B₁C  =  AC₁ : C₁B. Прямые BB₁ и CC₁ пересекаются в точке O.

а)  Докажите, что прямая AO делит пополам сторону BC.

б)  Найдите отношение площади четырёхугольника AB₁OC₁ к площади треугольника ABC, если известно, что AB₁ : B₁C  =  AC₁ : C₁B  =  1 : 4.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 3. (Часть C)., Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко, 2017. Задания С2, C4.

а)  Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б)  Известно, что В каком отношении прямая DL делит сторону AB?

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

Плоскость α проходит через середины двух противоположных ребер треугольной пирамиды и параллельна медиане одной из ее граней.

а)   Докажите, что среди медиан граней этой пирамиды в точности две являются параллельными к плоскости α.

б)   Найдите площадь сечения данной пирамиды плоскостью α, если эти медианы перпендикулярны друг другу и равны 2.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 345.

Объем пирамиды ABCD равен 5. Через середины ребер AD и BC проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке M. При этом DM : MC = 2 : 3. Найти площадь сечения, если расстояние от плоскости сечения до вершины A равно 1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 54.

В треугольнике ABC на стороне AB расположена точка K так, что AK : KB = 3 : 5. На прямой AC взята точка E так, что AE = 2CE. Известно, что прямые BE и CK пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника BOC равна 20.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 36.

Плоскость пересекает боковые ребра SA и SB треугольной пирамиды SABC в точках K и L соответственно и делит объем пирамиды пополам

а)  Постройте сечение пирамиды плоскостью, если SK : SA  =  2 : 3, SL : SB  =  4 : 5.

б)  В каком отношении эта плоскость делит медиану SN грани SBC?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 93.

Даны треугольники ABC и A₁B₁C₁. Прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке. Прямые AB и A₁B₁ пересекаются в точке C₂. Прямые АС и A₁C₁ пересекаются в точке B₂. Прямые BC и B₁C₁ пересекаются в точке A₂.

а)  Докажите, что точки A₂, B₂, C₂ лежат на одной прямой.

б)  Найдите отношение площади треугольника A₁B₁C₁ и площади треугольника ABC, если высоты треугольника ABC равны а высоты треугольника A₁B₁C₁ равны

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 134.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.

а)  Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SB в отношении 3 : 1, считая от вершины S.

б)  Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

На сторонах AD и BC параллелограмма AВCD взяты соответственно точки M и N, причем ВN : NC  =  1 : 3. Оказалось, что прямые AN и АС разделили отрезок BM на три равные части.

а)  Докажите, что точка M — середина стороны АD параллелограмма.

б)  Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь четырехугольника, ограниченного прямыми АN, AС, BM и BD равна 16.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 152.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 179.

Апофема правильной пирамиды SABCD равна 2, боковое ребро образует с основанием ABCD угол, равный Точки E, F, K выбраны соответственно на ребрах AB, AD и SC так, что

а)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью EFK.

б)  Найдите угол между прямой SD и плоскостью EFK.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 256.

В треугольной пирамиде SABC точка Е  — середина ребра SA, точка F  — середина ребра SB, О  — точка пересечения медиан треугольника АВС.

а)  Докажите, что плоскость CEF делит отрезок SO в отношении 3 : 2, считая от вершины S.

б)  Найдите косинус угла между плоскостями CEF и EFT, если точка Т  — середина SC, пирамида SABC правильная, площадь треугольника АВС равна а SB  =  10.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 323. (часть C).

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Плоскость α параллельна прямой АС, проходит через точку В и середину высоты пирамиды.

а)  Докажите, что плоскость α делит ребро SD в отношении 2 : 1, считая от точки D.

б)  Найдите синус угла между плоскостью α и плоскостью ASC, если угол SAC равен 30°.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 324. (часть C).

Окружность, построенная на стороне BC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Прямые СМ и ВN пересекаются в точке P. Точка О  — середина АР.

а)  Докажите, что треугольник ОМN равнобедренный.

б)  Найдите площадь треугольника ОМN, если известно, что AM = 3, BM = 9, AN = 4.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 263.

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N  — середины катетов АС и ВС соответственно, СН  — высота.

а)  Докажите, что прямые МН и NH перпендикулярны.

б)  Пусть Р  — точка пересечения прямых АС и NH, а Q  — точка пересечения прямых BC и МН. Найдите площадь треугольника PQM, если АН  =  12 и ВН  =  3.

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 601 (C часть).

а)  Докажите, что прямые МН и NH перпендикулярны.

б)  Пусть Р  — точка пересечения прямых АС и NH, а Q  — точка пересечения прямых BC и МН. Найдите площадь треугольника PQM, если АН  =  4 и ВН  =  2.

Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 605 (C часть).

Всего: 47 1–20 | 21–40 | 41–47

Источник

Всего: 47 1–20 | 21–40 | 41–47

Добавить в вариант

Каждое из ребер треугольной пирамиды ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB, точка Q на ребре BC, точка R на ребре CD взяты так, что Плоскость PQR пересекает прямую AD в точке S. Найти величину угла между прямыми SP и SQ.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 42.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка L  — середина бокового ребра SB. На ребре SA взята точка К так, что

а)  Докажите, что плоскость DKL параллельна боковому ребру SC.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью DKL, если все ребра пирамиды равны 24.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 402.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S, точка M  — середина ребра BS. Найдите площадь сечения, проведенного через прямую AM параллельно одной из диагоналей основания, указанная диагональ не принадлежит сечению. Стороны основания пирамиды равны а высота пирамиды равна 9.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 19.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка K является серединой ребра SD, а точка L  — серединой стороны BC основания ABCD. Плоскость AKL пересекает ребро SC в точке N.

а)  Докажите, что SN : NС  =  2 : 1.

б)  Найдите угол между плоскостями AKL и ABC, если AB  =  10, а высота пирамиды равна 20.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 386.

Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB  =  9, точка M лежит на ребре AB так, что AM  =  8. Точка K делит сторону SB так, что SK : KB  =  7 : 3. Ребро Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.

а)  Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.

б)  Найдите площадь сечения α.

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Краснодар, Задания 14 ЕГЭ–2020

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно На ребрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем AM  =  4, SK : KB  =  1 : 3.

а)  Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б)  Найдите объём пирамиды BCKM.

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.

а)  Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SЕ и вершину С, делит ребро SВ в отношении 1 : 3, считая от вершины В.

б)  Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SА и SЕ и вершину С, делит ребро SF, считая от вершины S.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 380.

В треугольной пирамиде SABC на ребре SB взята точка M, делящая отрезок SB в отношении 3 : 5, считая от вершины S. Через точки A и M параллельно медиане BD треугольника ABC проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 27.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 6, а высота 4. Точки K, P, M — середины ребер AB, BC, SD.

а)  Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K, M, P.

б)  Найдите площадь этого сечения.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 102.

В правильной треугольной пирамиде SABC точка М  — середина ребра SC, точка K  — середина ребра AB.

а)  Докажите, что прямая MK делит высоту SH пирамиды в отношении 1 : 3.

б)  Найдите угол между прямой MK и плоскостью ABC, если известно, что AB = 6, SA = 5.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 121.

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD все ребра равны между собой. На ребре PC отмечена точка K.

а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью ABK является трапецией.

б)  Найдите угол, который образует плоскость ABK с плоскостью основания пирамиды, если известно, что PK : KC  =  3 : 1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 128.

На диагонали AC параллелограмма АВСD отмечены точки Е и Р, причем АЕ : ЕР : РС  =  1 : 2 : 1. Прямые DЕ и DР пересекают стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно.

А)  Докажите, что КМ параллельна АС.

Б)  Найдите площадь параллелограмма АВСD, если известно, что площадь пятиугольника ВКЕРМ равна 30.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 171.

Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Точка Р  — середина стороны AF, точка К  — середина стороны АВ.

а)  Докажите, что площади четырехугольников DPFE и DPAK равны.

б)  Найдите площадь общей части четырехугольников DPAK и DЕAС, если известно, что АВ  =  6.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 191.

На стороне AC треугольника ABC отметили точку D так, что

а)  Докажите, что углы BAD и СВD равны.

б)  Найдите отношение отрезков биссектрисы CL треугольника ABC, на которые ее делит прямая BD, если известно, что BC=6, AC=9.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 199.

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости ABC, AB=2, AC=1, Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку C и середину ребра AB, а другая  — через точку B, имеют равные площади.

а)  Найти объемы многогранников, на которые разбивают пирамиду плоскости сечений.

б)  Найти расстояние между секущими плоскостями.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 251.

Точка N делит диагональ трапеции ABCD в отношении Длины оснований BC и AD относятся как 1:3. Через точку N и вершину D проведена прямая, пересекающая боковую сторону AB в точке M.

а)  Какую часть площади трапеции составляет площадь четырехугольника MBCN?

б)  Найдите длину отрезка MN, если MD=9.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 252.

Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, в которой сторона основания AB  =  4, боковое ребро Точка Q  — точка пересечения диагоналей грани ABB₁А₁, точки M, N и K  — середины ВС, СC₁ и А₁C₁ cответственно.

а)  Докажите, что точки Q, M, N и K лежат в одной плоскости.

б)  Найдите площадь сечения QMN.

Источник: Задания 19 ЕГЭ–2020, ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Разные задачи, Задания 14 ЕГЭ–2020

Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, в которой сторона основания AB  =  8, боковое ребро Точка Q  — точка пересечения диагоналей грани ABB₁А₁, точки M, N и K  — середины ВС, СC₁ и А₁C₁ cответственно.

а)  Докажите, что точки Q, M, N и K лежат в одной плоскости.

б)  Найдите площадь сечения QMN.

Источник: ЕГЭ по математике 25.07.2020. Резервная волна. Вариант 3

Точка E лежит на боковом ребре SC правильной четырехугольной пирамиды SABCD и делит его в отношении 1 : 2, считая от вершины S. Через точку E и середины сторон AB и AD проведена плоскость α.

а)  Докажите, что плоскость α делит высоту пирамиды в отношении 3 : 2.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если сторона основания пирамиды равна 12, а высота  —

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 366.

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC отложены соответственно отрезки

а)  Докажите, что где

б)  Найдите, какую часть от площади треугольника ABC составляет площадь треугольника MNK.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 67.

Всего: 47 1–20 | 21–40 | 41–47

Источник

Теорема Менелая, теорема Чевы – нужны на ЕГЭ или нет?

Анна Малкова

Эти две полезные теоремы – теорема Менелая и теорема Чевы — чаще применяются при решении олимпиадных задач, чем на ЕГЭ по математике. Однако в 2020 году в ряде вариантов ЕГЭ обнаружилась задача по планиметрии (№16), которую на первый взгляд невозможно решить без теоремы Менелая или теоремы Чевы. Но на самом деле, конечно, возможно. Например, в Санкт-Петербурге попались такие задачи.

Разберемся, что это за теоремы и как применяются. И действительно ли на ЕГЭ дали задачи на применение теорем, выходящих за рамки школьной программы. И можно ли эти задачи решить по-другому?

Теорема Менелая:

Пусть прямая пересекает произвольный треугольник ABC, причем C_1 – точка ее пересечения со стороной ABC, A_1 – точка ее пересечения со стороной BC, и B_1 – точка ее пересечения с продолжением стороны AC.

Тогда выполняется равенство:

$displaystyle frac{AC_1}{C_1B} cdot frac{BA_1}{A_1C} cdot frac{CB_1}{B_1A} = 1.$

Как это запомнить? Сначала рисуем треугольник ABC. Затем прямую, пересекающую две его стороны и продолжение третьей. На этой прямой лежат точки и B_1, причем на стороне должна лежать точка C_1, на стороне – точка A_1 и на продолжении – точка B_1.

Затем записываем равенство так, как будто «обходим» весь треугольник ABC, от точки к точкам и и затем возвращаемся в точку Но по дороге нам встречаются точки и B_1 – их тоже включаем в формулу.

Один из учащихся нашей ЕГЭ-Студии предложил такое мнемоническое правило: пусть точки A, B и – это города, а точки и B_1 – заправки, где можно пополнить запас бензина. Тогда правило звучит так: «Едем из города в город, заезжаем на заправку!»Возможно, вы придумаете свое правило : -)

В некоторых задачах полезна обратная теорема Менелая.

Теорема (Менелая, обратная). Пусть дан треугольник ABC. Предположим, что точка C_1 лежит на стороне AB, точка A_1 лежит на стороне BC, а точка B_1 лежит на продолжении стороны AC, причём про эти точки известно, что

$displaystyle frac{AC_1}{C_1B} cdot frac{BA_1}{A_1C} cdot frac{CB_1}{B_1A} = 1.$

Тогда эти точки лежат на одной прямой.

Как правило, не так-то просто бывает доказать, что три точки лежат на одной прямой. Обычно мы используем для доказательства такого факта косвенные методы. Например, если для точек A, , B и выполняется равенство: – то это означает, что точка лежит на отрезке AC. Или, если нам удается доказать, что угол ABC – развернутый, это и будет означать, что точки A, , B и лежат на одной прямой. Обратная теорема Менелая дает еще один способ доказательства того, что три точки – в данном случае и C_1 – лежат на одной прямой.

Теорема Чевы

Пусть точки и C_1 лежат соответственно на сторонах и треугольника ABC, причем отрезки и CC_1 пересекаются в одной точке. В этом случае выполняется равенство:

$displaystyle frac{AC_1}{C_1B} cdot frac{BA_1}{A_1C} cdot frac{CB_1}{B_1A} = 1.$

Обратная теорема Чевы:

Теорема (Чевы, обратная). Пусть точки лежат соответственно на сторонах BC, AC и треугольника ABC, причём

$displaystyle frac{AC_1}{C_1B} cdot frac{BA_1}{A_1C} cdot frac{CB_1}{B_1A} = 1.$

Тогда отрезки и CC_1 пересекаются в одной точке.

Как применяются теоремы Менелая и Чевы?

Вот задача Профильного ЕГЭ по математике 2020 года (№16), Санкт-Петербургский вариант.

На сторонах и треугольника ABC отмечены точки и B_1 соответственно, причём Отрезки BB_1 и CC1 пересекаются в точке

а) Докажите, что — параллелограмм.
б) Найдите CD, если отрезки и перпендикулярны,

Докажем пункт (а) с помощью теоремы Менелая:

Пусть

По теореме Чевы,

$displaystyle frac{AC_1}{C_1B} cdot frac{BA_2}{A_2C} cdot frac{CB_1}{B_1A} = 1.$

$displaystyle frac{8}{3} cdot frac{BA_2}{A_2C} cdot frac{3}{1} = 1$

$displaystyle frac{BA_2}{A_2C} = frac{1}{8},$ тогда

$displaystyle BA_2 = frac{1}{9}BC$

$displaystyle A_2A_1 = left ( frac{1}{3} - frac{1}{9} right ) BC = frac{2}{9}BC,$

$displaystyle A_1C = frac{2}{3}BC,$ тогда $displaystyle A_2A_1 = frac{1}{3}A_1C$

$displaystyle A_1C : A_2C = B_1C : AC = frac{3}{4},$

Это значит, что по двум углам и то есть

Рассмотрим треугольник ABB_1.

Прямая C_1C пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны AB_1.

По теореме Менелая,

$displaystyle frac{AC_1}{C_1B} cdot frac{BD}{DB_1} cdot frac{B_1C}{AC} = 1$

$displaystyle frac{8}{3} cdot frac{BD}{DB_1} = frac{3}{4} = 1;$

$displaystyle frac{BD}{DB_1} = frac{1}{2} = frac{BA_1}{A_1C};$

тогда $displaystyle frac{BD}{BB_1} = frac{BA_1}{BC} = frac{1}{3},$

по углу и двум сторонам, отсюда

Мы получили:

— параллелограмм по определению.

Мы доказали то, что требовалось в пункте (а).
Но что делать, если теоремы Менелая и Чевы вы не проходили в школе? Ничего страшного, докажем без теорем Менелая и Чевы. Их легко заменят подобные треугольники.

Обозначим

Докажем, что — параллелограмм.

Пусть — середина AC.

Тогда

Тогда по углу и двум пропорциональным сторонам,

Проведём

По теореме Фалеса BN = y.

Пусть

по двум углам;

$displaystyle frac{AP}{BD} = frac{AC_1}{BC_1} = frac{8}{3}.$

Пусть

по 2 углам, $displaystyle frac{AP}{B_1D} = frac{AC}{B_1C} = frac{4}{3},$
тогда $displaystyle B_1D = frac{3}{4}AP = 6k,$

$displaystyle frac{BD}{B_1D} = frac{1}{2}.$

Это значит, что по углу и двум сторонам и

При этом $displaystyle A_1D = frac{1}{3}B_1C = Z = AB_1.$

Получим, что в четырёхугольнике :

Значит, — параллелограмм.

Как видим, эти решения примерно одного уровня сложности.
А вот в пункте (б) нет необходимости применять теоремы Чевы и Менелая. Он легко решается с помощью обычной школьной геометрии.

б) Найдём , если

Поскольку получим, что — прямоугольный.

Мы доказали в пункте (а), что — трапеция, причём

По условию,

Тогда $displaystyle A_1D = frac{28}{4} = 7,$

$displaystyle B_1C = frac{28}{4} cdot 3 = 21,$

$displaystyle A_1C = frac{2}{3}BC = frac{2}{3} cdot 18 = 12.$

Пусть

Тогда A_1MCD — параллелограмм (по признаку паралелограмма)

по теореме Пифагора из

$displaystyle B_1A_1 = sqrt{21^2-12^2} = 3 sqrt{7^2 - 4^2} = 3 sqrt{33},$

$displaystyle cos angle A_1B_1C = cos angle A_1B_1M = frac{B_1A_1}{B_1C} = frac{sqrt{33}}{7}$

Найдём A_1M из по теореме косинусов.

Ответ: 17.

Вот еще одна задача, которую можно решить как с помощью теоремы Чевы, так и без нее.

На сторонах прямоугольного треугольника ABC с прямым углом построены во внешнюю сторону квадраты и Докажите, что:

а) прямые AB_2 и A_2B отсекают от катетов треугольника ABC равные отрезки
б) прямые и высота треугольника ABC, проведённая из вершины пересекаются в одной точке.

Пункт (а) доказывается легко.

а) Пусть ,
.

Докажем, что CE=CF .

Обозначим

по 2 углам,

$displaystyle frac{FC}{A_2C_1}=frac{BC}{BC_1}$ , так как

получим:

$displaystyle frac{FC}{b}=frac{a}{a+b}. ,$ (1)

по 2 углам,

$displaystyle frac{CE}{C_2B_2}=frac{AC}{AC_2}; , , frac{CE}{a}=frac{b}{a+b}. ,$ (2)

$displaystyle frac{FC cdot a}{CE cdot b} = frac{a}{b},$ отсюда FC=CE.

Решим пункт (б) с помощью теоремы Чевы:

Запишем, чему равны длины отрезков Для длин и воспользуемся тем, что в прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

$displaystyle AH = frac{b^2}{sqrt{a^2 + b^2}}$

$displaystyle HB = frac{a^2}{sqrt{a^2 + b^2}}$

$displaystyle BE = a - frac{ab}{a+b}$

$displaystyle CE = frac{ab}{a+b}$

$displaystyle CF = frac{ab}{a+b}$

$displaystyle AF = b - frac{ab}{a+b}$

Проверим выполнение равенства

$displaystyle frac{AH}{HB} cdot frac{BE}{CE} cdot frac{CF}{AF} = 1.$

Равенство выполняется.
Согласно теореме Чевы, это значит, что и пересекаются в одной точке.
А

Источник

16. Задачи по планиметрии

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на теоремы Менелая, Чевы и Стюарта

(blacktriangleright) Теорема Менелая: пусть прямая пересекает треугольник в точке (C_1) на стороне (AB), в точке (A_1) на стороне (BC) и в точке (B_1) на продолжении стороны (AC). Тогда имеет место следующее соотношение:

(blacktriangleright) Теорема, обратная теореме Менелая: пусть в треугольнике точка (B_1) лежит на продолжении стороны (AC), а точки (A_1, C_1) — на сторонах (BC) и (AB) соответственно. Тогда, если выполнено равенство [dfrac{AB_1}{B_1C}cdot dfrac{CA_1}{A_1B}cdot dfrac{BC_1}{C_1A}=1,] то точки (A_1, B_1, C_1) лежат на одной прямой.

Теорема Чевы: пусть на сторонах треугольника (ABC) выбраны точки (A_1in BC, B_1in AC, C_1in AB). Отрезки (AA_1, BB_1, CC_1) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство [{large{dfrac{AB_1}{B_1C}cdot dfrac{CA_1}{A_1B}cdot
dfrac{BC_1}{C_1A}=1}}]

(blacktriangleright) Теорема Стюарта: пусть в треугольнике на стороне (AB) отмечена точка (P). Тогда, если (CP=p, AP=x,
BP=y,AC=b, BC=a), верно следующее соотношение:

(blacktriangleright) С помощью теоремы Стюарта выводятся формулы нахождения биссектрис и медиан треугольника:

I. Если (l_c) — биссектриса, проведенная к стороне (c) и разбивающая эту сторону на отрезки (x) и (y), а (a,b) — две другие его стороны, то [{large{l^2_c=ab-xy}}]

II. Если (m_c) — медиана, проведенная к стороне (c) треугольника, а (a,b) — две другие его стороны, то [{large{m^2_c=dfrac{2a^2+2b^2-c^2}4}}]

Задание
1

#2826

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть нам дан (triangle ABC), проведем в нем биссектрисы (AA_1,
BB_1, CC_1) и докажем что они пересекаются в одной точке.

Воспользуемся свойством биссектрисы для всех трех биссектрис:

Для биссектрисы (AA_1: dfrac{BA_1}{A_1C} =dfrac{AB}{AC})

Для биссектрисы (BB_1: dfrac{CB_1}{B_1A} =dfrac{BC}{BA})

Для биссектрисы (CC_1: dfrac{AC_1}{C_1B} =dfrac{CA}{CB})

Воспользуемся теоремой Чевы: [dfrac{BA_1}{A_1C} cdot dfrac{CB_1}{B_1A} cdot
dfrac{AC_1}{C_1B} = dfrac{AB}{AC} cdot dfrac{BC}{BA} cdot
dfrac{CA}{CB} = dfrac{ABcdot BC cdot CA}{ABcdot BC cdot CA} =1.]

Следовательно, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ:

Доказательство

Задание
2

#2827

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть нам дан (triangle ABC), проведем в нем высоты (AA_1,
BB_1, CC_1) и докажем что они пересекаются в одной точке.

Заметим, что: [begin{aligned}
&BA_1= cos{angle B} cdot AB,qquad
A_1C= cos{angle C} cdot AC,\
&CB_1= cos{angle C} cdot BC,qquad
B_1A= cos{angle A} cdot AB,\
&AC_1= cos{angle A} cdot AC,qquad
C_1B= cos{angle B} cdot BC.
end{aligned}] Воспользуемся теоремой Чевы: [begin{aligned}
&dfrac{BA_1}{A_1C} cdot dfrac{CB_1}{B_1A} cdot
dfrac{AC_1}{C_1B} = dfrac{cos{angle B} cdot AB}{cos{angle C}
cdot AC} cdot dfrac{cos{angle C} cdot BC}{cos{angle A}
cdot AB} cdot dfrac{cos{angle A} cdot AC}{cos{angle B}
cdot BC} =\[1.5ex]
= & dfrac{ABcdot BC cdot CA cdot cos{angle A} cdot cos{angle B} cdot cos{angle C}}{ABcdot BC cdot CA cdot cos{angle A} cdot cos{angle B} cdot cos{angle C}} =1,.
end{aligned}]

Следовательно, высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ:

Доказательство

Задание
3

#2828

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть нам дан (triangle ABC), проведем в нем медианы (AA_1, BB_1,
CC_1) и докажем что они пересекаются в одной точке.

Воспользуемся теоремой Чевы: [dfrac{AB_1}{B_1C} cdot
dfrac{CA_1}{A_1B} cdot dfrac{BC_1}{C_1A} =dfrac{1}{1} cdot
dfrac{1}{1} cdot dfrac{1}{1} =1,] так как (A_1, B_1, C_1) – середины сторон (BC, AC, AB) соответственно.
Следовательно, медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ:

Доказательство

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Выпускная работа

Тема: «Применение теорем Чевы и Менелая

при решении геометрических задач ЕГЭ»

Содержание

Теоретические факты:

Теорема Чевы
Теорема Менелая

Применение теорем Чевы и Менелая при подготовке к ЕГЭ

Теоретические факты

Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными.

Теорема Чевы.

Если на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки C₁, A₁ и B₁ (рис.1), то отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Теорема Менелая.

Если на сторонах ВС, АВ и продолжении стороны АС треугольника АВС за точку С отмечены соответственно точки А´, С´,В´, лежащие на одной прямой, то

Применение теорем Чевы и Менелая при подготовке к ЕГЭ

Хочу вам предложить два способа решения одной интересной задачи из ЕГЭ. Первый способ довольно длинный, но его нужно знать, поскольку прием, который в нем используется, применяется довольно часто при решении задач, в которых дано отношение отрезков.

Второй способ позволяет решить задачу в одно действие, но в нем используется Теорема Менелая.

Итак задача №1:

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Найти отношение CO:OM.

Вот наш треугольник:

Проведем через точку В прямую параллельно отрезку AB, затем продолжим отрезок AN до пересечения с этой прямой и поставим там точку К:

Рассмотрим треугольники ANC и BNK. Эти треугольники подобны, так как AC||BK. Стороны треугольника BNK относятся к сторонам треугольника ANC как 2:1.

Пусть AC=x, BK=2x.

Теперь продолжим отрезок MC до пересечения с прямой BK. Поставим там точку L.

Мы получили подобные треугольники LMB и AMC, сходственные стороны которых относятся как 3:2. Так как AC=x, то LB=1,5x.

Пусть LM=3n, MC=2n. Тогда LC=5n.

Теперь рассмотрим подобные треугольники LOK и AOC.

, следовательно, . Пусть LO=3,5z, OC=z. Тогда LO+OC=LC=4,5z.

Получили, что 5n=4,5z. Тогда MC=2n=z. Отсюда MO=MC-CO=z-z=z

Отсюда CO:OM=z:z=5:4=1,25.

Ответ: 1,25

Применим теорему Менелая к нашей задаче. Рассмотрим треугольник MBC и прямую AN:

Запишем теорему Менелая для этого треугольника:

Ответ: 1,25

Задача №2.
Точки В´ и С´ лежат на сторонах соответственно АС и АВ ∆АВС, причем АВ´:В´С=АС´:С´В. Прямые ВВ´ и СС´ пересекаются в точке О.
а) Доказать, что прямая АО делит пополам сторону ВС.
б) Найти отношение площади четырехугольника АВ´ОС´ к площади ∆АВС, если АВ´:В´С=АС´:С´=1:2.

а)Доказать, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

Докажем, что ВК=КС. Используем теорему Чевы.

т.к. , то ВК=КС

б) Найти отношение площади четырехугольника АВ´ОС´ к площади ∆АВС, если АВ´:В´С=АС´:С´В=1:2.

Т.к. АВ´:АС= 1:3, то

По теореме Менелая найдем

Для ∆АВВ´ и секущей СС´:

Значит

, значит =

Найдем .

Ответ:

Используемая литература

Учебник «Геометрия»10-11кл.: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.-М.: Просвещение, 2011.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С. Б., Шестаков С.А., Юдина И.И. Геометрия. Доп. главы к учебнику 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.-М.: Вита-пресс, 2008.
Математика. ЕГЭ-2014. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2013г.
Математика. ЕГЭ-2014. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2014г.
Математика. ЕГЭ-2014. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2015г.
Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред.Ф.Ф.Лысенко. 2014г
Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред.Ф.Ф.Лысенко. 2015г.
Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред.Ф.Ф.Лысенко. 2016г.
Журнал математика в школе. М.: 2014
Пособие по геометрии. Часть І. Планиметрия, векторы. В помощь учащимся 10-11-х кл.О.В.Нагорнов, А.В.Баскаков и др.М.:НИЯУ МИФИ,2009.
Пособие по геометрии. Часть І. Планиметрия, векторы. В помощь учащимся 10-11-х кл.О.В.Нагорнов, А.В.Баскаков и др.М.:НИЯУ МИФИ,2009.
http://hijos.ru/2011/03/16/teorema-chevy/
http://www.resolventa.ru/demo/inform/demoinform.htm
http://fipi.ru/
http://alexlarin.net/

Источник

Теоремы Чевы и Менелая – одни из базовых основ планиметрии и геометрии, которым репетиторы и школьные учителя уделяют особое внимание, а ученикам задают писать научные доклады и рефераты на эту тему в качестве домашнего задания.

Их изучение рекомендуется не только в том случае, если вы – математик, но и в помощь ученикам старшего уровня (по уровню сложности может подойти и любой средний класс) и студентам профильных специальностей, которые всерьёз интересуются данной наукой.

Именно для этого мы подготовили данный материал. В нем вы узнаете, чем интересны данные основы, принципы их доказательств и рассмотрите решения некоторых задач из ЕГЭ.

Формулировка теоремы Менелая

Менелай Александрийский — древнегреческий математик и астроном, живший в I в. Большой вклад внес в развитие сферической тригонометрии, где для получения формул использовал именно эту теорему, которую теперь изучают все школьники.

Прежде чем приступить к проработке, сделаем соответствующий рисунок.

Что мы имеем? Треугольник ABC и прямую, которая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны.

Особенность теоремы заключается и в том, что приведённый рисунок чаще всего встречается в заданиях формата ЕГЭ. Это – весьма распространённая геометрическая конструкция, когда какая-то прямая таким образом пересекает треугольник.

Если мы видим приведённый выше рисунок, можно записать формулу:

Запомнить отношение просто: действуем по принципу «вершина — точка, точка — вершина». То есть, если на стороне AB нам дана некоторая точка C1, их отношенное записывается следующим образом:

Доказательство теоремы

Для доказательства теоремы Менелая проведём через точку C прямую, параллельную AB, таким образом:

Обозначим точку пересечения данной прямой с B₁C₁
через точку D.

В таком случае мы получим несколько пар подобных треугольников.

Сторона CD параллельна AB. Тогда первой парой подобных треугольников будут треугольники B₁CD и B₁AC₁. Они подобны по второму признаку подобия треугольников, то есть по двум пропорциональным сторонам и углу B₁ между ними.

Углы B₁CD и B₁AC₁ равны как соответственные при параллельных прямых CD, AB и секущей AC.

Анализируя данную пару подобных треугольников, можно записать условие пропорциональности сходственных сторон, а именно:

Так как сторона CD не является составляющей исходного равенства, для дальнейшего доказательства её нужно выразить.

Используя описанное равенства, применив свойства пропорции, запишем:

Запишем следующую пару подобных треугольников: треугольники CDA₁ и BC₁A₁ подобны, так как углы CA₁D и BA₁C₁ равны как вертикальные. Кроме этого, угол CDA₁ равен углу BC₁A₁, как накрест лежащие при параллельных прямых CD, AB и секущей C₁D.

Покажем это на рисунке:

Из данного подобия можно записать некоторую пропорциональность сходственных сторон:

Так же выразим CD:

Осталось лишь приравнять. Дроби, с помощью которых мы выразили CD – равны.

Таким образом получаем:

Умножив обе дроби на часть, обратную левой дроби, мы получили исходное равенство:

Что и требовалось доказать.

Формулировка теоремы Чевы

Джованни Чева — итальянский математик, инженер. Годы жизни 1648 — 1734 гг. Основные труды ученого в области геометрии и механики.

Рассматриваемая теорема была доказана ученым в 1678 г.

Рассмотрим приведённый ниже рисунок:

Теорема звучит так: любые произвольные отрезки, выходящие из вершин треугольника, (но с одним условием: они должны пересекаться в одной точке) делят противолежащие этим вершинам стороны таким образом, что истинно равенство:

В честь ученого, доказавшего эту теорему, данные отрезки называют «чевианами».

Доказательство теоремы

Рассмотрим рисунок:

Итак, мы имеем треугольник ABC и произвольные чевианы AA1 и BB1.

Третья чевиана CC1 обязательно должна проходить через точку пересечения первых двух. При этом получается, что:

Обозначим за O точку пересечения данных прямых.

Продлим медиану BB1.

Проведём перпендикуляры из вершин A и С таким образом:

Запишем соотношение:

Треугольники AKB₁ и CNB₁
подобны по острому углу.

Аналогично получаем:

Теперь перемножим равенства:

что и требовалось доказать.

Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Теорема Менелая (как и обратная) применима и в первой части экзаменационного бланка, и в 16-м задании. Рассмотрим пару таких задач.

Задача 1

Дан треугольник ABC (см. рисунок ниже) с продолжением стороны CA. Также проведены медианы BM и AN. Точку их пересечения обозначим за O.

Возьмём точку K на стороне AB, такую, что AK относится к AB, как 1/3.

AC = 4 см, AM = 2 см.

Проведём прямую OK до пересечения со стороной AC. Точку их пересечения обозначим за P.

Сторону AP обозначим за y.

Найти: чему равен отрезок AP.

Решение:

Так как отношение сторон AB и AK равно 1/3, следовательно, AK = x, а KB = 3x.

Рассмотрим треугольник ABM. Для него берём прямую OP.

Таким образом мы нашли искомые точки P, A, M, O, K и B.

Запишем теорему Менелая к данному рисунку.

Подставляем в это соотношение известные данные:

В итоге мы получаем, что y = 4.

Ответ: отрезок AP = 4 см.

Задача 2

Задача, связанная со свойствами теоремы Чевы.

Рассмотрим рисунок:

Дано:

сумма AB и BC равна 13;
AC = 8 см.

Найти: отношение BO и OB1.

Итак, запишем отношение:

Подставляем:

Конечным результатом является дробь 13/8.

Ответ:

Источник

Теорема Менелая – прекрасное дополнение к вашему техническому арсеналу для решения задач ЕГЭ по стереометрии. Она позволяет найти отношение, в котором точка делит отрезок, легко и непринужденно, в одно действие. Попробуем применить ее для решения стереометрических задач.

Задача 1.

Точка лежит на ребре треугольной пирамиды , причем .

А) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку и середины ребер и .

Б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро ?

К задаче 1

Построим сечение. Для этого (по методу следов) проведем луч и луч и найдем точку их пересечения — . Через данную точку и точку проведем луч — он принадлежит плоскости . Этот луч пересечет отрезок — назовем эту точку .