Решу егэ задачи на формулу бернулли

Примеры решений задач на формулу Бернулли

Калькуляторы на формулу Бернулли

Обратите внимание на следующие разделы, где разобраны типовые задачи на формулу Бернулли. Вы можете решить или проверить вычисления своих заданий с помощью онлайн-калькуляторов. Теорию по этой теме можно найти в онлайн-учебнике.

• Задача про партии в шахматы
• Задача про выстрелы
• Задача про мальчиков и девочек
• Задача про лотерейные билеты
• Задача о наивероятнейшем значении
• Формула Пуассона

Еще: решаем в Excel по формуле Бернулли.

Схема Бернулли: решенные задачи

Задача 1. Из $n$ аккумуляторов за год хранения $k$ выходит из строя. Наудачу выбирают $m$ аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них $l$ исправных.
$n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.$

Задача 2. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:
а) три элемента;
б) не менее четырех элементов;
в) хотя бы один элемент.

Задача 3. Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?

Задача 5. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один не потребует ремонта.

Задача 6. Что более вероятно выиграть у равносильного противника: не менее двух партий из трёх или не более одной из двух?

Задача 7. а) Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4;
б) событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

Формула Пуассона: решенные задачи

Задача 4. С базы в магазин отправлено 4000 тщательно упакованных доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна 0.0005. Найти вероятность того, что из 4000 изделий в магазин прибудут 3 испорченных изделия.

Задача 8. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено:
а) три ошибочно укомплектованных пакета;
б) не более трех пакетов.

Решебник — когда задачи нужны быстро

Схема Бернулли. Примеры решения задач

5 июля 2011

Не будем долго размышлять о высоком — начнем сразу с определения.

Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A, причем известна вероятность этого события P(A) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.

Задачи, которые решаются по схеме Бернулли, чрезвычайно разнообразны: от простеньких (типа «найдите вероятность, что стрелок попадет 1 раз из 10») до весьма суровых (например, задачи на проценты или игральные карты). В реальности эта схема часто применяется для решения задач, связанных с контролем качества продукции и надежности различных механизмов, все характеристики которых должны быть известны до начала работы.

Вернемся к определению. Поскольку речь идет о независимых испытаниях, и в каждом опыте вероятность события A одинакова, возможны лишь два исхода:

1. A — появление события A с вероятностью p;
2. «не А» — событие А не появилось, что происходит с вероятностью q = 1 − p.

Важнейшее условие, без которого схема Бернулли теряет смысл — это постоянство. Сколько бы опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие A, которое возникает с одной и той же вероятностью p.

Между прочим, далеко не все задачи в теории вероятностей сводятся к постоянным условиям. Об этом вам расскажет любой грамотный репетитор по высшей математике. Даже такое нехитрое дело, как вынимание разноцветных шаров из ящика, не является опытом с постоянными условиями. Вынули очередной шар — соотношение цветов в ящике изменилось. Следовательно, изменились и вероятности.

Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз из n возможных. Сформулируем этот факт в виде теоремы:

Теорема Бернулли. Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:

где C_n^k — число сочетаний, q = 1 − p.

Эта формула так и называется: формула Бернулли. Интересно заметить, что задачи, приведенные ниже, вполне решаются без использования этой формулы. Например, можно применить формулы сложения вероятностей. Однако объем вычислений будет просто нереальным.

Задача. Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 0, 1, 10.

По условию, нас интересует событие A выпуска изделий без брака, которое случается каждый раз с вероятностью p = 1 − 0,2 = 0,8. Нужно определить вероятность того, что это событие произойдет k раз. Событию A противопоставляется событие «не A», т.е. выпуск бракованного изделия.

Таким образом, имеем: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Итак, находим вероятность того, что в партии все детали бракованные (k = 0), что только одна деталь без брака (k = 1), и что бракованных деталей нет вообще (k = 10):

Задача. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что:

1. герб выпадет три раза;
2. герб выпадет один раз;
3. герб выпадет не менее двух раз.

Итак, нас интересует событие A, когда выпадает герб. Вероятность этого события равна p = 0,5. Событию A противопоставляется событие «не A», когда выпадает решка, что случается с вероятностью q = 1 − 0,5 = 0,5. Нужно определить вероятность того, что герб выпадет k раз.

Таким образом, имеем: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Определим вероятность того, что герб выпал три раза, т.е. k = 3:

Теперь определим вероятность того, что герб выпал только один раз, т.е. k = 1:

Осталось определить, с какой вероятностью герб выпадет не менее двух раз. Основная загвоздка — во фразе «не менее». Получается, что нас устроит любое k, кроме 0 и 1, т.е. надо найти значение суммы X = P₆(2) + P₆(3) + … + P₆(6).

Заметим, что эта сумма также равна (1 − P₆(0) − P₆(1)), т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда герб выпал 1 раз (k = 1) или не выпал вообще (k = 0). Поскольку P₆(1) нам уже известно, осталось найти P₆(0):

Задача. Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. На склад поступило 20 телевизоров. Какое событие вероятнее: что в этой партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три?

Интересующее событие A — наличие скрытого дефекта. Всего телевизоров n = 20, вероятность скрытого дефекта p = 0,2. Соответственно, вероятность получить телевизор без скрытого дефекта равна q = 1 − 0,2 = 0,8.

Получаем стартовые условия для схемы Бернулли: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Найдем вероятность получить два «дефектных» телевизора (k = 2) и три (k = 3):

[begin{array}{l}{P_{20}}left( 2 right) = C_{20}^2{p^2}{q^{18}} = frac{{20!}}{{2!18!}} cdot {0,2^2} cdot {0,8^{18}} approx 0,137\{P_{20}}left( 3 right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = frac{{20!}}{{3!17!}} cdot {0,2^3} cdot {0,8^{17}} approx 0,41end{array}]

Очевидно, P₂₀(3) > P₂₀(2), т.е. вероятность получить три телевизора со скрытыми дефектами больше вероятности получить только два таких телевизора. Причем, разница неслабая.

Небольшое замечание по поводу факториалов. Многие испытывают смутное ощущение дискомфорта, когда видят запись «0!» (читается «ноль факториал»). Так вот, 0! = 1 по определению.

P. S. А самая большая вероятность в последней задаче — это получить четыре телевизора со скрытыми дефектами. Подсчитайте сами — и убедитесь.

Смотрите также:

1. Локальная теорема Муавра — Лапласа
2. Формула полной вероятности
3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
4. Сводный тест по задачам B12 (2 вариант)
5. Как решать задачи про летающие камни?
6. Задача C1: тригонометрические уравнения и формула двойного угла

Привет! На связи методический отдел федеральной сети курсов ЕГЭ и ОГЭ Lancman School («Ланцман скул»). Сегодня мы расскажем о том, как готовиться в 2021-2022 учебном году к ЕГЭ по профильной математике. В конце статьи вас ждёт бонус: вебинар по теории вероятности. Наш преподаватель Дмитрий Корабейников расскажет, как решать задания ЕГЭ по профильной математике 2022 года при помощи формулы Бернулли.

Хочешь БЕСПЛАТНО разобрать с опытным преподавателем все детали новых усложнённых вариантов ЕГЭ по профильной математике 2022 года — приходи на пробное занятие в Lancman School. Мы 13 лет готовим к ЕГЭ на высокие баллы и знаем об экзаменах и поступлении в хорошие вузы буквально всё. Решишь продолжить готовиться к ЕГЭ вместе с нами весь год — дадим скидку после бесплатного пробного занятия. Любой вопрос смело пиши сюда.

Если ты живешь не в Москве, но хочешь заниматься с лучшими столичными репетиторами и сдать ЕГЭ на 80+ баллов, то регистрируйся на наши онлайн-курсы. В этом году мы включили в договор пункт, гарантирующий поступление на бюджет в любой вуз страны. Если ученик будет соблюдать все обговоренные условия, он обязательно поступит. В противном случае мы вернём деньги. Первое пробное занятие БЕСПЛАТНО.

В банке заданий ФИПИ появилось несколько новых задач по теории вероятностей. Часть из них крайне сложно решить без формулы, которую мало кто из одиннадцатиклассников знает. Это формула Бернулли. Выглядит она, конечно, страшновато:

Сейчас мы разберемся, что в ней значат все буквы и символы. А после решим задачу из банка ФИПИ с помощью этой формулы.

P_n(k) – вероятность, что событие наступит k раз в n испытаниях.
Например, человек открывает 7 (n = 7) коробок. В каждой коробке с какой-то вероятностью p может оказаться приз. И по формуле Бернулли можно найти вероятность, например, того, что приз окажется в 3 (k = 3) коробках из 7.

Таких сочетаний получилось 6 шт. Это мы сосчитали вручную. Так делать не всегда удобно: сочетаний может оказаться слишком много.

Наверняка не все знают, как считается так называемый факториал числа: n!
Нужно перемножить это число и все натуральные числа, идущие от 1 до этого числа. Поэтому, например,

Дальше нужно разобраться, что значат буквы p и q.

p и q – взаимообратные вероятности исхода какого-то события. Т.е. p + q = 1. Известный и понятный пример: шансы, что при броске монеты выпадет орел (p) или решка (q). Шанс выпадения орла p = 0,5. Шанс того, что орел не выпадет (а выпадет решка) q = 0,5. Всё сходится: p + q = 1.

Или такая ситуация: в коробке 7 красных карандашей и 3 синих. Обозначим вероятность случайно вытащить красный карандаш за p, а вытащить синий карандаш за q.
В этой ситуации p = 0,7 и q = 0,3; p + q = 1.

Со всеми обозначениями разобрались, давайте теперь решим реальную задачу. Это №10 из профильного ЕГЭ по математике 2022.

Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Здесь вероятность выпадения орла p = 0,5. Тогда вероятность того, что орел не выпадет (а выпадет решка): q = 1 — p  = 0,5.

Всего 10 бросков, т.е. будем рассматривать сочетания из 10 объектов: n = 10.

Далее нам предстоит сравнить два случая:
1) «выпадет ровно 5 орлов», т.е. из n = 10 объектов мы выбираем сочетания по 5, k = 5;
2) «выпадет ровно 4 орла», т.е. из n = 10 объектов мы выбираем сочетания по 4, k = 4.

Попробуйте решить пару подобных задач самостоятельно, и такие новые задачи по теорверу вас больше не смутят. Но сперва выучите формулу Бернулли:

Обожка поста: pixabay.com

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №36. Формула Бернулли.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Формула Бернулли
• Суть задачи, решаемой с применением формулы Бернулли;
• Решение задач на вычисление вероятности;

Глоссарий по теме

Независимые события – такие события, вероятности наступления которых не зависит от появления друг друга.

Полная группа события – это система случайных событий, такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно и только одно из них.

Рассмотрим важный частный случай: проводятся n одинаковых независимых испытаний с двумя исходами А или Ā. Вероятности P(А)=p и P(Ā)=1-p=q постоянны и не равны ни нулю, ни единице.

Вероятность того, что событие A наступит ровно k раз из n, равна P(k) = C_n^kp^kq^n-k, k=0, 1, 2 … n, C_n^k – число сочетаний из n по k.

Эта формула называется «формулой Бернулли», а модель, описывающая совокупный результат n независимых испытаний с двумя исходами (А или Ā) называется «схемой Бернулли».

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014. с. 197-203.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Попробуйте решить такую задачу:

Бросаем монетку десять раз. Какова вероятность того, что орёл выпадет ровно пять раз?

Ответ. 63/256

Достаточно часто возникает необходимость узнать вероятность появления определённого события в серии испытаний. Формулу для расчёта такой вероятности вывел выдающийся швейцарский математик Якоб Бернулли. В этом уроке мы познакомимся с формулой Бернулли и научимся её применять в решении задач.

Формула Бернулли

Рассмотрим важный частный случай: проводятся n одинаковых независимых испытаний с двумя исходами А или Ā. Вероятности P(А)=p и P(Ā)=1-p=q постоянны и не равны ни нулю, ни единице. Такие испытания иногда называют испытаниями Бернулли, исход А – успех, а исход Ā – неудача.

По теореме умножения вероятностей независимых событий для каждого элементарного события найдем вероятность, равную произведению вероятностей результатов отдельных испытаний: p^kq^n-k, где k– количество опытов, в которых произошло событие A, (n-k) – количество опытов, в которых произошло событие Ā.

Якоб Бернулли впервые доказал, что вероятность того, что событие A наступит ровно k раз из n, равна P(k) = C_n^kp^kq^n-k, k=0, 1, 2 … n, C_n^k– число сочетаний из n по k.

Эта формула называется «формулой Бернулли», а модель, описывающая совокупный результат n независимых испытаний с двумя исходами (А или Ā) называется «схемой Бернулли».

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Охотник Джек попадает в мишень в среднем четыре раза из пяти. Последние четыре раза он попал. Какова вероятность, что он попадёт в следующий раз? Выделите цветом правильный ответ.

1. 0,8
2. 0,4
3. 0,2
4. 0,1

Решение:

Вероятность каждого успеха не зависит от результатов предыдущих испытаний и составляет 4/5 = 0,8.

Ответ: 1) 0,8

2. Подчеркните событие, которое более вероятно: выбросить шестёрку 3 раза, бросив кубик 6 раз, или вытянуть из колоды двух тузов, вытащив четыре карты.

Решение:

Вероятность выбросить шестёрку три раза за шесть бросков кубика

P₆(3) = C₆³·(1/6)³·(5/6)³ = 20·(1/216)·(125/216) ≈ 0,0536

Вероятность вытянуть двух тузов, вытащив четыре карты из колоды – сумма вероятностей шести событий в каждом из которых тузы выпадают на разных позициях: 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, 2 и 3, 2 и 4, 3 и 4. При этом вероятности этих шести событий равны между собой.

P = (4/36)·(3/35)·(32/34)·(31/33) + (4/36)·(32/35)·(3/34)·(31/33) + … = 6·(4·3·32·31)/(36·35·34·33) ≈ 0,0505.

В итоге оказывается, что вероятность выкинуть три шестёрки за шесть бросков кубика, чуть выше, чем вероятность вытянуть двух тузов, вытащив четыре карты.

Ответ: выбросить шестёрку 3 раза, бросив кубик 6 раз