3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи на нахождение площади и периметра треугольника
(blacktriangleright) Площадь треугольника равна полупроизведению основания (a) и высоты (h), проведенной к этому основанию.
(blacktriangleright) Формула Герона для площади треугольника:
(large{S_{triangle}=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}), где (p) – полупериметр.
(blacktriangleright) Если треугольники имеют равные высоты ((triangle) и (triangle_{1})), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Как следствие: медиана треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника.
(blacktriangleright) Если треугольники имеют по равному углу ((triangle) и (triangle_{2})), то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.
Задание
1
#263
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (angle C = 90^{circ}), (CM) – медиана, (AC = 4), (CM = 2,5). Найдите периметр треугольника (ABC).
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда (AB = 2,5 cdot 2 = 5). По теореме Пифагора: (AB^2 = AC^2 + CB^2), откуда находим (CB = 3). Периметр треугольника (ABC) равен (3 + 4 + 5 = 12).
Ответ: 12
Задание
2
#264
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Точка (D) лежит на стороне (AC) треугольника (ABC). Периметр треугольника (ABD) равен (10), периметр треугольника (BDC) равен (7), (BD = 3). Найдите периметр треугольника (ABC).
Периметр треугольника (ABC) равен (AB + AC + BC).
Периметр треугольника (BDC) равен (BD + DC + BC = 7), а (BD = 3), тогда (DC + BC = 4),
периметр треугольника (ABD) равен (AB + BD + AD = 10), тогда (AB + AD = 7).
(AB + AC + BC = AB + AD + DC + BC = 4 + 7 = 11).
Ответ: 11
Задание
3
#265
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (BD) – высота, (AD = 1), (DC = 3), (angle DBC = 45^{circ}). Найдите площадь треугольника (ABC).
(angle BCD = 90^{circ} — angle DBC = 45^{circ} = angle DBC), тогда (BD = DC = 3). Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника (ABC) равна (0,5 cdot (3 + 1) cdot 3 = 6).
Ответ: 6
Задание
4
#266
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (AF) и (BD) – высоты, (AF = 4), (BD = 3), (AC = 6). Найдите (BC).
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то (0,5 cdot AC cdot BD = 0,5 cdot BC cdot AF), откуда (9 = 0,5 cdot BC cdot 4), значит, (BC = 4,5).
Ответ: 4,5
Задание
5
#2644
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Точки (P) и (Q) – середины сторон (AB) и (AC) треугольника (ABC) соответственно. Найдите периметр треугольника (ABC), если периметр треугольника (APQ) равен (21).
(Задача от подписчиков.)
Т.к. (PQ) – средняя линия (triangle ABC), то (2PQ=BC). Периметр (triangle ABC): [P_{ABC}=AB+AC+BC=2AP+2AQ+2PQ=2(AP+AQ+PQ)=2cdot P_{APQ}=2cdot 21=42.]
Ответ: 42
Задание
6
#1768
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (BD) – медиана. Площадь треугольника (ABD) равна (1). Найдите площадь треугольника (ABC).
Так как медиана делит треугольник на два равновеликих (то есть, с равными площадями), то площадь треугольника (BDC) равна площади треугольника (ABD) и равна (1). Тогда площадь треугольника (ABC), равная сумме площадей треугольников (ABD) и (BDC), равна 2.
Покажем подробнее тот факт, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника:
площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника (ABD) равна (0,5 cdot AD cdot h), где (h) – высота, проведённая из (B) к стороне (AC). Площадь треугольника (BDC) равна (0,5 cdot
CD cdot h), но (CD = AD), тогда (0,5 cdot AD cdot h = 0,5 cdot
CD cdot h) и, значит, площади треугольников (ABD) и (BDC) равны.
Ответ: 2
Задание
7
#1769
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В треугольнике (ABC): точка (D) лежит на (AC), причём (dfrac{AD}{DC} = dfrac{2}{3}). Площадь треугольника (ABD) равна (7,5). Найдите площадь треугольника (BCD).
Построим высоту (BK) 
Площадь треугольника (ABD) может быть найдена по формуле: (S_{ABD} = 0,5cdot ADcdot BK).
Аналогично (S_{BCD} = 0,5cdot CDcdot BK), откуда можно сделать вывод:
(dfrac{S_{BCD}}{S_{ABD}} = dfrac{0,5cdot CDcdot BK}{0,5cdot ADcdot BK} = dfrac{CD}{AD} = dfrac{3}{2}), тогда (S_{BCD} = dfrac{3}{2}cdot S_{ABD} = dfrac{3}{2}cdot 7,5 = 11,25).
Ответ: 11,25
Задачи на нахождение площади и периметра равностороннего и равнобедренного треугольника каждый год включаются в программу ЕГЭ по математике. Понимать принцип их решения должны старшеклассники, которые планируют сдавать базовый и профильный уровень аттестационного испытания. Научившись правильно решать задачи на нахождение периметра треугольника в ЕГЭ, школьники смогут оперативно выполнять задания в несколько действий и рассчитывать на получение достаточно высоких баллов по результатам сдачи единого госэкзамена.
Подготовка к аттестационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха
Зачастую во время занятий накануне сдачи единого государственного экзамена перед учащимися встает проблема поиска подходящего источника. Школьного учебника иногда просто не оказывается под рукой в нужный момент. А подобрать все необходимые формулы, к примеру, для вычисления площади прямоугольного треугольника оказывается вовсе не так легко даже в Интернете.
Чтобы успешно пройти выпускное аттестационное испытание, рекомендуем вам заниматься вместе с образовательным порталом «Школково». Наш ресурс предлагает учащимся и преподавателям выстроить процесс подготовки к единому госэкзамену по-новому. Занимаясь вместе с нами, старшеклассники смогут определить те разделы, которые вызывают у них наибольшие трудности, и улучшить собственные знания.
На сайте «Школково» собран весь базовый материал по теме «Вычисление длин и площадей треугольника», который позволит качественно подготовиться к единому государственному экзамену. Данная информация систематизирована и изложена нашими специалистами с учетом их богатого опыта максимально просто и понятно.
Чтобы задачи ЕГЭ на вычисление площади правильного треугольника по трем сторонам не вызывали особых затруднений, мы предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Множество подобных заданий представлено в разделе «Каталог». В каждом из них старшеклассники смогут увидеть подробный алгоритм решения и правильный ответ. Базу упражнений в соответствующем разделе мы регулярно обновляем и дополняем.
Выполнять задания на нахождение высоты треугольника или его площади учащиеся из МО и других регионов нашей страны могут в онлайн-режиме. В случае необходимости выполненное упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем задачу, к примеру, на вычисление периметра треугольника можно будет оперативно найти, чтобы обсудить принцип ее решения со школьным преподавателем или репетитором.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Привет! Это первая статья посвящённая ЕГЭ по математике профильного уровня.
В ней речь пойдёт о задачах на площадь треугольника.
Вспомним основные формулы для площади треугольника.
Формулы для площади треугольника
Основная формула:
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
Запасная формула:
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Формула Герона:
Решение задач
Приступим к тренировочным задачам задания №1 из ЕГЭ по математике профильного уровня на площадь треугольника.
Задача (Прямоугольный треугольник)
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 16 и 20.
Решение:
Здесь можно воспользоваться основной формулой для нахождения площади прямоугольного треугольника. Но важно знать, что любой катет — это и есть высота прямоугольного треугольника.
Таким образом, высота будет, к примеру, сторона AB. Тогда основанием будет сторона ВС.
Найдём сторону АВ по теореме Пифагора.
x2 + 162 = 202
x2 = 400 — 256 = 144
x = 12
Тогда площадь будет равна:
S = 0,5 * 12 * 16 = 6 * 16 = 96
Ответ: 96
Задача (Прямоугольный треугольник, закрепление)
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Решение:
Найдём гипотенузу по теореме Пифагора.
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 62 + 82 = 100
AC = 10
Мы в прошлой задаче выяснили, что площадь прямоугольного треугольника можно найти, как половину произведения его катетов. А с другой стороны, исходя из основной формулы, площадь равна половине произведения высоты ВН и основания (гипотенузы AC).
S = 0,5*AB*BC = 0,5*BH*AC
BH = AB*BC / AC = 6*8 / 10 = 4,8
Ответ: 4,8
Задача (Три треугольника, одна высота)
На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=3, DC=7. Площадь треугольника ABC равна 100. Найдите площадь треугольника BCD.
Решение:
Проведём в треугольнике ABC высоту BH. Оказывается, что ВН является высотой и для треугольника ABD, и для треугольника DBC, и для треугольника ABC.
Применим основную формулу для треугольника ABC и найдём высоту BH.
SABC = 0,5 * AC *BH
SABC = 0,5 * 10 * BH = 100
BH = 100 / (0,5*10) = 20
Теперь применим основную формулу, чтобы найти площадь треугольника BCD.
SDBC = 0,5 * DC * BH
SDBC = 0,5 * 7 * 20 = 70
Ответ: 70
Задача (Запасная формула)
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол при основании равен 15°. Боковая сторона равна 10. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение:
Здесь удобно использовать запасную формулу. Мы знаем две боковые стороны треугольника. Остаётся найти синус угла между ними.
Мы знаем, что углы при основании равны в равнобедренном треугольнике. Поэтому
∠ABC + ∠ВАС + ∠BCA = 180°
∠ABC = 180° — ∠ВАС — ∠BCA
∠ABC = 180° — 15° — 15° = 150°
Синус угла 150° известен. Он равен sin(150°) = sin(30°) = 0,5. Тогда
S = 0,5 * AB*BC * sin(∠ABC)
S = 0,5 * 10*10 * 0,5 = 25
Ответ: 25
Задача (Треугольники в ромбе)
Найдите площадь ромба, если один из его углов равен 60°, а меньшая диагональ равна 10. В ответе запишите число, делённое на √3.
Решение:
Меньшая диагональ будет находится напротив угла 60°, т.к. второй угол у ромба будет 120°, и напротив этого угла будет находится большая диагональ.
Рассмотрим треугольник ВАС. Мы знаем, что у ромба все стороны равны, поэтому треугольник ВАС равносторонний. Ведь, ВА = АС ⇒ ∠ABC = ∠ACB. Тогда
∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°
x = ∠ABC = ∠ACB
x + x + 60° = 180°
2x = 120°
x = 60°
Значит, треугольник ВАС равносторонний. Следовательно, BA = AC = CB = 10.
Чтобы найти площадь ромба, можно разбить его на два одинаковых треугольника: BAC и BDC. Эти два треугольника равны по трём сторонам (BA = AC = CD = DB, BC — общая).
Площадь треугольника BAC легко найти по запасной формуле, ведь две стороны мы знаем, и синус угла между ними тоже известен.
SBAC = 0,5 * BA * AC * sin(60°)
SBAC = 0,5 * 10 * 10 * (√3/2)
SBAC = 25 * √3
Площадь ромба будет равна
SBACD = 2 * SBAC = 2 * 25 * √3 = 50 * √3
В ответе нужно указать число, делённое на √3.
Ответ: 50
Задача (Решаем задачу двумя способами)
На рисунке AB ⊥ BD, AB = 5, AD = 13 и CD = 6. Найдите площадь треугольника CAD.
Решение:
Первый способ (основная формула)
Нам известна высота треугольника CAD, AB=5. Нам известно основание, на которое она опущена, это CD=6. Применим основную формулу для площади треугольника.
SCAD = ½ * AB * CD
SCAD = ½ * 5 * 6 = 15
Второй способ (запасная формула)
В прямоугольном треугольнике ABD найдём синус ∠BDA.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin(∠BDA) = AB/AD = 5/13
Теперь воспользуемся запасной формулой для треугольника CAD.
SCAD = ½ * CD * DA * sin(∠BDA)
SCAD = ½ * 6 * 13 * (5/13) = 15
Ответ: 15
Задача (Формула Герона)
Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 28, 26, 30.
Решение:
Решим по формуле Герона.
Найдём полупериметр.
p=(28+26+30)/2 = 42
Тогда
Ответ: 336
На этом всё! Сегодня мы повторили основные формулы для нахождения площади треугольника и порешали задачи на эту темы. Всем удачи!
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
8 класс,геометрия Урок практикум по теме:»Решение задач на нахождение площади трапеции»
Урок практикум : Решение задач по теме «Площадь трапеции»Цель:Повторить формулы для вычисления площадей четырехугольников (трапеции)Совершенствовать навыки в решении задач по данной темеПроверит…
Задачи на нахождение площадей фигур
Способы решения задач на нахождение площади фигур на клетчатой бумаге и координатной плоскости, примеры задач с решениями…
Использование кейс-метода для решения задач на нахождение площади поверхности и объема невыпуклого многогранника
В статье рассматривается решение задач В9 при подготовке к ЕГЭ….
Задачи на нахождение площади
Подборка задач для ЕГЭ на нахождение площади фигуры…
Решение задач на нахождение площади
Разработка урока математики в 8 классе на тему «Решение задач на нахождение площади»…
Различные способы нахождения площади треугольника
Различные способы нахождения площади треугольника. Формула Пика….
Контрольная работа № 3 «Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур». для 8 класса
Контрольная работа № 3 «Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур». для 8 класса…