Решу егэ задание 27498

Спрятать решение

2012-07-20

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Найдите промежутки убывания функции

Дата: 2015-07-28

2683

Категория: Производная

Метка: ЕГЭ-№7

27498. На рисунке изображен график у=f′(x)— производной функции f(x), определенной на интервале (–5;7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Промежутки убывания функции f(x)соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, В данной задаче это интервал (–2,5;6.5). Данный интервал содержит следующие целые точки: –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Их сумма равна:

Ответ: 18

Используя этот сайт, Вы соглашаетесь с тем, что мы сохраняем и используем файлы cookies, а также используем похожие технологии для улучшения работы сайта.

Ok

Исследование функции на возрастание и убывание  по графикам с
помощью производной.

Краткая
теория

На
рис.1 угол наклона касательной с положительным направлением оси ОХ – острый, а
на рис.2 этот угол тупой. Если угол
наклона  касательной острый, это означает, что производная
в этой точке положительна,
и функция при увеличении значения переменной Х  будет возрастать.( см. рис.1). Если  угол наклона касательной тупой, как на рис.2, это означает, что производная в это точке отрицательна, и функция на этом участке убывает. (см.рис. 2.).     Итак,  условие
возрастания и убывания функции:

еслиf  ´(x)  > 0  на некотором 
промежутке, то функция возрастает на этом промежутке, если    f  ´(x)< 0  на некотором 
промежутке, то функция убывает на этом промежутке,             

У
функции может быть несколько участков убывания и возрастания.   Рис. 3.Разберем примерНа рис.3 изображен
график некоторой функции f (x). Функция возрастает
на промежутках [-3;3]  и [13;19]. На этих промежутках угол наклона касательной
с положительным направлением оси ОХ  острый, значит производная f ´(x)  > 0, так как тангенс
острого угла положителен. Функция убывает на   промежутках [ -8; -3] и
[3;13], так как на этих участках угол наклона касательной с положительным
направлением оси ОХ  тупой, значит производная  f ´(x)  < 0, так как тангенс
тупого  угла отрицательный. Если надо определить
участки возрастания и убывания не по графику, а путем вычислений, то действуют
по такому
плану:                                                                                                                      
1. Найти область определения заданной
функции.

2. Найти производную  f 
´(x) 
заданной функции.

3. Найти промежутки, где производная f ´(x)  > 0 и f ´(x)  < 0, ( решая полученные
неравенства аналитически или методом интервалов).

Пример1. Исследовать функцию f(x) = 5x² -3x +1на монотонность
(на возрастание и убывание).                                 Решение.

1. Область
   определения функцииD(f) = R.
2. f
   ´(x) = (5x² -3x +1)´ = 10x – 3 
3. f ´(x) = 0     10x -3 =0    10x=3       x= 0,3       

 Отметим  найденную точку на числовой прямой. Числовая
прямая разбилась на два промежутка  (-∞; 0,3] и [0,3; + ∞).Проверим
знак производной в каждом из полученных промежутков. Для этого выбираем любое
произвольное число из левого промежутка и потом из правого. Выберем любое
число   х<0,3,  например  х=0 и подставим вместо х в производную, получим: 
10·0 -3= -3< 0.Поставим слева от числа 0,3 знак минус на числовой прямой.

Выберем любое число х>0,3,  например, х=2 и
подставим вместо х в производную, получим:  10·2 -3= 17>0.Поставим  справа
от числа 0,3 знак плюс на числовой прямой. Там, где производная положительна  (f ´(x) >0) функция возрастает, то есть возрастает на промежутке  [
0,3; +∞)

Там, где  производная
отрицательна 

(f ´(x)<0) функция
убывает, то есть убывает на ( -∞; 0,3].

Пример2. Исследовать функцию f(x) = 3x² –2x³+12х  на возрстание и
убывание. Найти длину участка возрастания.

1.Область
определения функции   D(f) = R.

2. f ´(x) = (3x² -2x³ +12х)´= 6х
– 6х² +12

3. f ´(x) = 0     6х – 6х²
+12 =0  разделим на 6 и перепишем по порядку.     — х² +х +2 = 0 
Решим это квадратное уравнение, найдем дискриминант и корни.

D= 1² —
4·(-1)·2 = 1 + 8 = 9>0  — два корня.

X₁= ( — 1+√9)/
( -2) =2/ (-2)= — 1;         X₂= ( — 1-√9)/ ( -2) =2

Отметим 
найденные точки на числовой прямой. Числовая прямая разбилась на три
промежутка:

(-∞;
-1] , [-1; 2]  и [2; +∞). Проверим знак производной в каждом промежутке. 
На (-∞; -1] выберем, например, х = -3 и подставим в производную.  . f ´(-3)=  — (
-3)² +(-3) +2= -9 -3 +2 = -10<0

В
случае, когда производная получилась в виде квадратичной функции, то знак в
каждом промежутке проверять не надо, достаточно определить знак в одном
промежутке, в остальных знаки будут обязательно чередоваться, или как на рисунке
изобразить схематически график квадратичной функции (
красный график). 

Изобразим
числовую прямую и расставим знаки производной.

Производная
положительна на [-1; 2] , значит на этом промежутке функция возрастает.
Производная отрицательна на промежутках (-∞; — 1]  и [2; +∞),
значит функция убывает на этих промежутках.  Найдем длину участка
возрастания    2 – (-1) = 2 +1 =3.

Ответ: функция
возрастает на промежутке[-1; 2] , убывает на промежутках 

(-∞;
— 1]  и [2; +∞). Длина участка   возрастания  равна   3.

Рассмотрим примеры на исследование функции на возрастание и
убывание по графикам.

1.

На рисунке изображен
график производной функции определенной на
интервале Найдите
промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение. Промежутки возрастания
данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее
производная неотрицательна, то есть промежуткам (−6; −5,2] и [2; 6).
Данные промежутки содержат целые точки 2, 3, 4 и 5. Их сумма равна 14.

 Ответ: 14.

2.

На рисунке изображён график   —
производной функции определенной на
интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2]
функция принимает наибольшее
значение?

Решение. Функция,
дифференцируемая на отрезке [a; b], непрерывна на нем. Если
функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная
положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция
возрастает (убывает) на отрезке [a; b].

На заданном отрезке производная функции не положительна, функция
на этом отрезке убывает. Следовательно, наибольшее значение функции достигается
на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.

 Ответ: −3.

3.

На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания
функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение. Функция,
дифференцируемая на отрезке [a; b], непрерывна на нем. Если
функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная
положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция
возрастает (убывает) на отрезке [a; b].

Поэтому промежутки возрастания функции f(x) соответствуют
промежуткам, на которых производная функции неотрицательна, то есть промежуткам
(−11; −10], [−7; −1] и [2; 3).
Наибольший из них  — отрезок [−7; −1], длина
которого равна 6.

 Ответ: 6.

4.   На рисунке изображён график   —
производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x₁,
x₂, x₃, …, x₈. Сколько
из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?

Решение. Возрастанию
дифференцируемой функции f(x) соответствуют неотрицательные
значения её производной. Производная неотрицательна в точках x₄,
x₅, x₆. Таких точек 3 Ответ: 3.

5.

На рисунке изображен график функции и отмечены точки
−2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной
наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Решение. Значение производной в
точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь
равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная
отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной
явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.

 Ответ:4.

6.

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y  =  f(x).
На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂,
x₃, …, x₉. Среди этих точек найдите все
точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе
укажите количество найденных точек.

Решение. Две из отмеченных точек
являются точками экстремума функции f(x). Это точки x₃
и x₆ (выделены красным). В них производная функции f(x)
равна нулю.

В точках x₁, x₂, x₇
и x₈ функция f(x) возрастает (выделены синим).
В этих четырёх точках производная функции f(x) положительна.

В точках x₄, x₅ и x₉
функция f(x) убывает (выделены зеленым). В этих трёх
точках производная функции f(x) отрицательна.

 Ответ: 3.

 7.

Функция определена и непрерывна
на интервале На рисунке
изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение. Промежутки возрастания
данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её
производная неотрицательна, то есть интервалам (−3; 1) и
(1; 4). В силу непрерывности функция f(x) возрастает на
интервале (−3; 4). Данный промежуток содержит целые точки −2,
−1, 0, 1, 2 и 3. Их сумма равна 3.

 Ответ: 3.

Примечание.

Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов
промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому
промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке и монотонна на
интервале то функция монотонна
на всем отрезке

Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке,
если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением
конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная
функции

не существует в точке и положительна
во всех остальных точках. Функция f в точке непрерывна,
следовательно, она возрастает на

8.

На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y = f(x).
Числа a, b, c, d и e за­да­ют на оси x че­ты­ре интервала.
Поль­зу­ясь графиком, по­ставь­те в cоответствие каж­до­му ин­тер­ва­лу ха­рак­те­ри­сти­ку
функ­ции или её производной.

Ниже ука­за­ны зна­че­ния про­из­вод­ной в дан­ных точках. Поль­зу­ясь
графиком, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­дой точке зна­че­ние про­из­вод­ной
в ней.

ТОЧКИ		ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
А) (a; b) Б) (b; c) В) (c; d) Г) (d; e)		1) про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на на всём интервале 2) про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на в на­ча­ле ин­тер­ва­ла и от­ри­ца­тель­на в конце интервала 3) функ­ция от­ри­ца­тель­на в на­ча­ле ин­тер­ва­ла и по­ло­жи­тель­на в конце интервала 4) про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на на всём интервале

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем
буквам:

Пояснение.

Если функ­ция возрастает, то про­из­вод­ная
по­ло­жи­тель­на и наоборот.

На ин­тер­ва­ле (a;b)про­из­вод­ная
по­ло­жи­тель­на вна­ча­ле ин­тер­ва­ла и от­ри­ца­тель­на в конце, по­то­му
что функ­ция вна­ча­ле возрастает, а потом убывает.

На ин­тер­ва­ле (b;c)
про­из­вод­ная отрицательна, по­то­му что функ­ция убывает.

На ин­тер­ва­ле (c;d)
функ­ция от­ри­ца­тель­на в на­ча­ле ин­тер­ва­ла и по­ло­жи­тель­на в конце ин­тер­ва­ла.

На ин­тер­ва­ле (d;e)
про­из­вод­ная положительна, по­то­му что функ­ция возрастает.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие
А — 2, Б — 1, В — 3 и Г — 4.

Ответ: 2134.

Решить самостоятельно.

1.

На рисунке изображен
график функции y = f(x), определенной на интервале
(−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции
положительна.

2.

На рисунке изображен
график производной функции f(x), определенной на интервале
(−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x)
принимает наименьшее значение?

3.

На рисунке изображен
график производной функции f(x), определенной на интервале
(−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе
укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

4.

На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания
функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

5.

На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания
функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

6.

На рисунке изображен
график функции и отмечены точки
−2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной
наибольшее? В ответе укажите эту точку.

7.

На рисунке изображён
график функции y  =  f(x) и отмечены семь
точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃,
x₄, x₅, x₆, x₇.
В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Решение. Производная функции
отрицательна в тех точках, которые принадлежат участкам убывания функции. Это
точки x₃, x₄, x₇  —
всего 3 точки.

 8. 

На рисунке изображён график функции и восемь точек на оси
абсцисс: В скольких из этих точек
производная функции положительна?

9.    На рисунке изображён график функции и двенадцать точек на
оси абсцисс: В скольких из этих точек
производная функции отрицательна?

10.  

На рисунке изображён
график функции определенной на
интервале . Сколько из
отмеченных точек принадлежат промежуткам
убывания функции?

11

Функция определена и непрерывна
на отрезке На рисунке
изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.

12.  

Функция определена и непрерывна
на отрезке На рисунке
изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.

13

Функция определена и непрерывна
на полуинтервале На рисунке
изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.

14.

На рисунке изображён график функции определённой на
интервале (−9; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x).
В ответе укажите длину наибольшего из них.

15. 
 На ри­сун­ке
изображён гра­фик функ­ции y = f(x) и от­ме­че­ны точки K,
L, M и N на оси x. Поль­зу­ясь графиком, по­ставь­те
в со­от­вет­ствие каж­дой точке ха­рак­те­ри­сти­ку функ­ции и её производной.

 

Ниже ука­за­ны зна­че­ния про­из­вод­ной в дан­ных точках. Поль­зу­ясь
графиком, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­дой точке зна­че­ние про­из­вод­ной
в ней.

ТОЧКИ		ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНК­ЦИИ ИЛИ ПРОИЗВОДНОЙ
А) K Б) L В) M Г) N		1) функ­ция по­ло­жи­тель­на, про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на 2) функ­ция от­ри­ца­тель­на, про­из­вод­ная отрицательна 3) функ­ция положительна, про­из­вод­ная равна 0 4) функ­ция отрицательна, про­из­вод­ная положительна

В таб­ли­це под каж­дой бук­вой ука­жи­те со­от­вет­ству­ю­щий
номер.

16.  

На ри­сун­ке изображён гра­фик функции y = f(x) .
Точки a, b, c, d и e за­да­ют на оси Ox
интервалы. Поль­зу­ясь графиком, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каждому ин­тер­ва­лу
характеристику функ­ции или её производной.

Пользуясь графиком, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­до­му ин­тер­ва­лу
вре­ме­ни ха­рак­те­ри­сти­ку дви­же­ния ав­то­мо­би­ля на этом интервале.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ		ХАРАКТЕРИСТИКИ
А) (a; b) Б) (b; c) В) (c; d) Г) (d; e)		1) Зна­че­ния функции по­ло­жи­тель­ны в каж­дой точке интервала. 2) Зна­че­ния производной функ­ции положительны в каж­дой точке интервала. 3) Зна­че­ния функции от­ри­ца­тель­ны в каж­дой точке интервала. 4) Зна­че­ния производной функ­ции отрицательны в каж­дой точке интервала.

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем
буквам:

17.  Исследовать
функцию f(x) = 5 +2x³— 24х  на возрастание и убывание.
Найти длину участка убывания.

18. Исследовать функцию f(x) = x² – x⁴ + 1  на возрстание и
убывание. Найти длину наименьшего  участка возрастания.

Ответы
на задания.

1.     4

2.    -7

3.    18

4.     6

5.     6

6.   – 2

7.     3

8.     5

9.      7

10.              
4

11.              
8

12.              
6

13.              
9

14.              
3

15.              
4321

16.              
1432

17.              
↓   [-2; 2];    ↑ ( — ∞; -2] и [2; +∞). Длина участка ↓
равна 4.

18.              
↓   [-1; 0] и  [1; +∞);     ↑ ( — ∞; -1] и [0; 1]. Длина наименьшего
участка ↑ равна 1.

Скачано с www.znanio.ru

Вчера, 16:35

В закладки

Обсудить

Жалоба

Паронимы.

Список всех паронимов из словарика ФИПИ со значениями: paronimy.pdf

Задания к вебинару

В одном из приведённых ниже предложений НЕВЕРНО употреблено выделенное слово. Исправьте лексическую ошибку, подобрав к выделенному слову пароним. Запишите подобранное слово.

1.
Иногда слухи порождает недостаточная ИНФОРМИРОВАННОСТЬ работающих на предприятии.
Гришаков уехал, и теперь все вопросы, касающиеся его жизни, становятся БЕЗОТВЕТНЫМИ.
Вокруг расстилалась безбрежным морем КАМЕННАЯ пустыня, в которой группами росли кактусы, покрытые крупными розовыми цветами.
Несмотря на рассветный час, людей было много: какая-то КОННАЯ часть двигалась шагом к заставе.
В праздничные дни все аэропорты страны ПЕРЕПОЛНЕНЫ туристами.

2.
Всё это могло быть ловким трюком, рассчитанным на то, что сотрудник войдёт в доверие к врагам и начнёт ДВОЙНУЮ игру.
Он постоянно нарушал ДИПЛОМАТИЧНЫЙ этикет, разговаривая с послами.
ВЕЧНОЙ красою сияет природа и удивляет нас своим величием.
Сдвигая вековые камни, обрушились вниз ДОЖДЕВЫЕ потоки.
Его инициатива нашла широкий ОТКЛИК в читательской аудитории.

3.
Форвард забросил две шайбы и сделал одну результативную ПЕРЕДАЧУ.
Своё ИСПОЛНИТЕЛЬСКОЕ мастерство на Международном конкурсе-фестивале оркестров и ансамблей народных инструментов показали творческие коллективы из разных стран.
Заяц – ПУГЛИВОЕ по своей природе животное.
Екатерина Львовна НАДЕЛА очки и строго осмотрела собравшуюся аудиторию.
Наш отец был СКРЫТЫМ, молчаливым человеком.

4.
Каждый шаг причинял Мересьеву НЕСТЕРПИМУЮ боль.
Присущую Карельскому перешейку редкую красоту создают ЦАРСТВЕННЫЕ леса, возвышающиеся над живописными водоёмами.
После посева и в период интенсивного роста всходов проводят КОРНЕВЫЕ подкормки для поддержания активной жизнедеятельности растений.
Он стал ЗАЧИНЩИКОМ нового анимационного жанра.
Наружная реклама должна иметь ЭСТЕТИЧНЫЙ вид.

5.
На выставке редкостей был представлен старинный КОСТНЫЙ ларец с резьбой по всей поверхности. Долина сменилась трясиной, где росли кривые и чахлые БОЛОТНЫЕ берёзки.
ЛЕСНЫЕ запахи набегали волнами; в них смешалось дыхание можжевельника, вереска, брусники.
Во сне человек способен не только РАЗЛИЧАТЬ речь, но и отвечать на вопросы.
По глубине эмоций полёт – это ни с чем не СРАВНИМОЕ чувство.

6.
В этом году издательством впервые был выпущен календарь ПАМЯТНЫХ дат.
М.Ю. Лермонтов писал РОМАНТИЧЕСКИЕ поэмы.
В тот год вода была очень ВЫСОКАЯ: Волга текла прямиком по полям.
В ГАРАНТИРОВАННОМ талоне должны быть указаны дата продажи, наименование изделия, его серийный номер.
ЛИЧНОЕ имущество охраняется законом.

7.
Участие в чемпионате известного спортсмена вызвало значительный ЗРИТЕЛЬСКИЙ интерес.
Быть с тобой рядом – ВЕЛИКОЕ счастье.
ЖИЛИЩНАЯ площадь квартиры составляет 40 квадратных метров.
Самым УДАЧНЫМ проектом фестиваля назван спектакль молодого режиссёра из провинции.
В этом пейзаже была нарядность юга, его подчёркнуто ВРАЖДЕБНАЯ северу красота.

8.
ЗВУЧНЫЙ, гибкий, красивый голос – это прежде всего результат правильной организации речевого дыхания.
Технология ВЫРАЩИВАНИЯ клубники имеет свои особенности.
Посетители музея долго рассматривали изделия из фарфора, выполненные ИСКУСНЫМИ мастерами XVIII и XIX веков.
Весь объём ТЕХНИЧНОГО переоснащения здания театра выполнен международной творческой командой из пяти стран мира.
Дзюдо и греко-римская борьба всё-таки кардинально ОТЛИЧАЮТСЯ друг от друга.

9.
При раскопках в одной из отдалённых провинций канадские палеонтологи обнаружили окаменевшие останки гигантской морской ХИЩНОЙ рептилии.
Белую муку высшего сорта делают из ОТБОРОЧНОГО зерна.
На браконьерском судне пограничники обнаружили около тонны МОРОЖЕНОГО минтая.
В произведениях А. Грина нередко встречается КРАСОЧНОЕ описание моря.
Войдя в лес, мы обнаружили ЗВЕРИНЫЕ следы.

10.
ГЛИНИСТЫЙ берег увалами спускался к морю и был весь изрыт оврагами.
Щебень и известковая мукá – ИСХОДЯЩИЕ материалы для приготовления сухих смесей, побелки.
Зрители со ВЗДОХОМ отвели глаза, и только один человек проводил актрису взглядом.
Фигурное катание – один из самых ЭФФЕКТНЫХ видов спорта.
Скоро АБОНЕНТЫ сотовой связи смогут оплатить проезд в метро со своего телефона.

11.
Во время одной из поездок журналист заболел ЖЕСТОКОЙ пневмонией.
Предварительное изучение ЛЕДЯНОЙ обстановки в северных морях помогает избежать многих проблем в районах Крайнего Севера.
Частная коллекция – предмет ГОРДОСТИ её обладателя.
Первый телефакс, созданный в 1843 году, ПРЕДСТАВЛЯЛ собой маятник, посылавший электросигналы согласно буквам.
ОПЛАТИТЬ проезд в транспорте можно с помощью специальной карты.

12.
У Петра о фильме сложилось ДВОЙНОЕ впечатление.
В ДВОИЧНОЙ системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.
Нам нужно ВОСПОЛНИТЬ пробел в знаниях.
Толокно – это продукт, давно ПРИЗНАННЫЙ и распространённый в России.
СОПРОТИВЛЯЕМОСТЬ организма понижается тогда, когда он ослаблен.

Источник: vk.com/sotochka_ege