Результаты экзамена по теории статистики в одной из студенческих групп представлены в таблице:
| Экзаменационные оценки | Отлично | Хорошо | Удовлетворительно | Неудовлетворительно | Итого |
|---|---|---|---|---|---|
| Число оценок | 6 | 15 | 4 | 2 | 27 |
Найти модальный и медианный баллы успеваемости студентов.
Решение:
Мода — это величина признака наиболее часто встречающегося в совокупности.
Наиболее часто встречается оценка «хорошо»: 15 раз.
Медиана – это вариант, стоящий в середине ранжированного ряда.
Оценки в ряду ранжированны (упорядочены) от высшей к низшей. Всего было получено 27 оценок. Мысленно пронумеруем оценки от 1 до 27. Оценка стоящая в середине ряда находится под номером 14. Это оценка «хорошо».
Следовательно, в данной задаче и модальный и медианный баллы совпали и равны оценке «хорошо».
2 тема
Нижеследующий
макет статистической таблицы:
Распределение
студентов КГФЭИ по возрасту
|
Возрастные |
Численность |
Средний |
|
|
чел. |
в |
||
|
до – 21
и |
Определите
вид этой таблицы:
групповая
простая
комбинационная
полигоном
кумулятой
плотностью
гистограммой
3
тема
По
результатам экзамена по статистике:
|
Балл |
2 (неудовлет ворительно) |
3 ( ворительно) |
4 (хорошо) |
5 (отлично) |
|
Число |
9 |
12 |
24 |
15 |
Медиана
равна:
3
(удовлетворительно)
5
(отлично)
По
результатам экзамена по статистике:
|
Балл |
2 (неудовлет ворительно) |
3 ( ворительно) |
4 (хорошо) |
5 (отлично) |
|
Число |
9 |
12 |
24 |
30 |
Мода
равна:
3 (Удовлетворительно)
4
(хорошо)
5 (Отлично)
По
следующим результатам экзамена по
одному из предметов получено следующее
распределение оценок по баллам:
|
Оценки |
2 |
3 |
4 |
5 |
Итого |
|
Количество |
5 |
60 |
85 |
100 |
250 |
Дайте
заключение о соотношении модального
балла и медианы:
мода
больше медианы
мода
меньше медианы
мода
равна медиане
Распределение
работников предприятия по размеру
месячной заработной платы:
-
Группы
работников по размеру заработной
платы, руб.Число
работников1800
30
2000
45
2200
80
2400
60
2600
35
Итого
250
Медианное
значение заработной платы, руб
2220
2200
2400
Распределение
работников предприятия по размеру
месячной заработной платы:
-
Группы
работников по размеру заработной
платы, руб.Число
работников1800
30
2000
45
2200
80
2400
60
2600
35
Итого
250
Модальное
значение заработной платы, руб
2220
2200
2400
4
тема
Дисперсия
альтернативного признака определяется
по формуле:
5
тема
σ2
∆
∆2
(N-1)
σ2
∆
∆2
(N-1)
σ2
∆
∆2
(N-1)
наличии
высокого уровня вариации признака
изучении
качественных характеристик явлений
малой
выборке
уточнении
данных сплошного наблюдения
t
t2
n2
n
N
вариацию
признака
тес
ноту связи между двумя факторами
среднюю
величину всех возможных расхождений
выборочной и генеральной средней
Среднее
значение признака
темп
роста
Недостающим
элементом в формуле дисперсии доли для
генеральной совокупности является
р
m
M
W
Необходимая
численность серийной выборки при
бесповторном отборе определяется по
формуле:
Недостающим
элементов в формуле предельной ошибки
выборки для доли при бесповторном отборе
является:
n
N
W
σ
По
формуле
определяется ошибка выборки:
средняя
повторная
средняя
бесповторная
предельная
повторная
предельная
бесповторная
При
случайном бесповторном отборе средняя
ошибка выборки определяется по формуле:
6
тема
Для
аналитического выражения нелинейной
связи между факторами используется
формула:
rxy=
0,982
rxy=-
-0,991
rxy=
0,870
rxy=
0,982
rxy=-
-0,991
rxy=
0,870
Теснота
связи двух признаков при нелинейной
зависимости определяется по формуле
+
Прямолинейная
связь между факторами исследуется с
помощью уравнения регрессии
+
7
тема
базисный
темп роста
цепной
темп роста
базисный
темп прироста
цепной
темп прироста
абсолютное значение
1% прироста
базисный
темп роста
цепной
темп роста
базисный
темп прироста
цепной
темп прироста
абсолютное
значение 1% прироста
8
тема
Недостающим
элементом в формуле среднего арифметического
индекса физического объема товарооборота
является6
Связь
между сводными индексами товарооборота(
)
Физического
объема товарооборота (
)
и цен (
):
Связь
между индексами переменного состава,
постоянного (фиксированного) состава
и структурных сдвигов определяется
как:
Формула
для вычисления индекса структурных
сдвигов:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
10.02.201525.12 Mб26New_English_File_Sb_pre-int.pdf
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
8.2. Медиана, квартили, децили
Медиана — это значение признака, которое делит статистическую совокупность на две равные части: половина единиц совокупности имеет значения признака не меньше медианы, другая половина — значения признака не больше медианы.
Значения изучаемого признака всех единиц статистической совокупности можно расположить в порядке возрастания (или убывания). В этом случае мы получим ранжированный ряд. Если число единиц совокупности нечетное, то значение признака, находящееся в середине ранжированного ряда, будет являться медианой. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя величина из двух значений признака, находящихся в середине ряда.
Пример 8.5. Имеются следующие данные о результатах сдачи экзамена по статистике в студенческой группе:
| Номер студента | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Оценка по статистике | 3 | 4 | 2 | 3 | 4 | 4 | 4 | 3 | 4 | 5 | 5 |
Представим их в виде ранжированного ряда:
| Номер студента | 3 | 1 | 4 | 8 | 2 | 5 | 6 | 7 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Оценка по статистике | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 |
Как видим, в ранжированном ряду оценки расположились следующим образом: сначала записана одна неудовлетворительная оценка (ее получил студент, имеющий в ведомости номер 3), затем три оценки «удовлетворительно», пять оценок «хорошо» и две оценки «отлично». В середине ранжированного ряда, имеющего нечетное число членов, стоит оценка «4», которую получил студент, записанный в ведомости под номером 5. Следовательно, оценка «4 (хорошо)» является медианой для данного ряда распределения. Пять студентов получили оценки 4 и ниже (2, 3, 3, 3, 4), другие пять студентов — 4 и выше (4, 4, 4, 5, 5).
Пример 8.6. Имеются данные о цене антоновских яблок в шести магазинах города. Представим их сразу в виде ранжированного ряда:
| Название магазина | «Огонек» | «Маяк» | «Заря» | «Татьяна» | «Ночной» | «Любимый» |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Цена яблок, руб. за кг | 40 | 41 | 42 | 44 | 44 | 45 |
В середине ранжированного ряда находятся цены двух магазинов, причем они разные. Медиана определяется как средняя величина из этих значений признака. Она равна 43 руб. [(42 + 44) : 2 = 43].
Таким образом, в 50% магазинов города яблоки продаются по цене не выше 43 руб. за килограмм, а в других 50% магазинов — по цене не ниже 43 руб.
Квартили (Q) делят ранжированный ряд на четыре равные части: первый квартиль (Q1) включает значения признака, не превышающие 25% единиц совокупности, второй квартиль (Q2) — совпадает с медианой (Ме), третий квартиль (Q3) — значения признака, не превышающие 75% единиц совокупности (рис. 8.3).
Рис.
8.3.
Деление ранжированного ряда на четыре равные части
Децили (D) делят ранжированный ряд на десять равных частей: первым децилем (D1) является значение признака, которое не превышает 10% единиц совокупности, вторым (D2) — 20%, третьим (D3) — 30% и т.д. При этом пятый дециль (D5) совпадает с медианой и вторым квартилем (Q2) (рис. 8.4).
Рис.
8.4.
Деление ранжированного ряда на десять равных частей
Медиана, квартили и децили относятся к группе квантилей. Квантили — это показатели, которые делят вариационные ряды на определенное количество равных частей. Среди них, помимо названных, также имеются квантили, которые делят ряд на пять равных частей, перцентили — на сто и т.д.
Структурные показатели не зависят от того, имеются ли в статистической совокупности аномальные (резко выделяющиеся) наблюдения. И если средняя величина при их наличии теряет свою практическую значимость, то информативность медианы наоборот усиливается — она начинает выполнять функции средней, т.д. характеризовать центр совокупности.
Способы расчета рассматриваемых структурных показателей зависят от вида вариационного ряда. Рассмотрим их подробнее.
8.2.1. Определение структурных средних в дискретных вариационных рядах
Для определения медианы в дискретных вариационных рядах:
- находят ее порядковый номер по формуле
- строят ряд накопленных частот;
- находят накопленную частоту, которая равна порядковому номеру медианы или его превышает;
- варианта, соответствующая данной накопленной частоте, является медианой.
Пример 8.7. Определим медианный стаж сотрудников страховой компании на основе следующих данных:
| Время работы, лет, xi | Число сотрудников, чел., fi | Накопленная частота, Si |
|---|---|---|
| 1 | 5 | 5 |
| 2 | 7 | 12 |
| 3 | 4 | 16 |
| 4 | 9 | 25 |
| 5 | 13 | 38 |
| 6 | 10 | 48 |
| 7 | 16 | 64 |
| 8 | 13 | 77 |
| Итого | 77 | — |
Номер медианы равен
Для того чтобы найти значение варианты, стоящей на 39 месте, рассчитаем накопленные частоты. Для пятой группы накопленная частота равна 38. Это означает, что 38 работников имеют стаж работы 5 лет и меньше. Для шестой группы накопленная частота — 48 (она первая превышает порядковый номер медианы), следовательно, в эту группу входят сотрудники с порядковыми номерами от 39 до 48, в том числе и искомый 39-й сотрудник. Стаж работы сотрудников в шестой группе — 6 лет. Значит, Ме = 6. Итак, 50% сотрудников работают в данной страховой компании не более шести лет.
Квартили и децили определяют аналогично медиане: сначала находят их номер, затем среди накопленных частот ищут такую, которая первая равна или превышает порядковый номер показателя, ей соответствует варианта, которая является искомым показателем. Номера квартилей рассчитываются по формулам:
Порядковые номера децилей исчисляются следующим образом:
Определим квартили по данным примера 8.7. Их номера равны:
Первая накопленная частота, превышающая 19,25, равна 25. Ей соответствует варианта 4, являющаяся первым квартилем. Первая накопленная частота, которая превышает 57,75 — это 64; ей соответствует варианта, равная 7. Это третий квартиль. Итак, 25% сотрудников работают в данной компании не более четырех лет, а 75% — не более семи лет.
Аналогично определяются децили. Например, восьмой дециль вычисляется следующим образом:
Накопленная частота 64 — первая, превышающая ND8, ей соответствует значение признака — 7 лет, т.д. у 80% сотрудников стаж работы в данной компании не превышает семи лет.
8.2.2. Определение структурных средних в интервальном вариационном ряду
В интервальных рядах сначала определяют медианный интервал. Для этого так же, как и в дискретных рядах, рассчитывают порядковый номер медианы
Накопленной частоте, которая равна номеру медианы или первая его превышает, в интервальном вариационном ряду соответствует медианный интервал. Обозначим эту накопленную частоту SМе. Непосредственно расчет медианы проводят по формуле:
где хМе — нижняя граница медианного интервала;
dMe — величина медианного интервала;
SMe — 1 — накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
fMe — частота медианного интервала.
Пример 8.8. По следующим данным определим медианное значение суммы выданных банками кредитов:
| Сумма выданных кредитов, млн ден. ед. | Количество банков, fi | Накопленная частота, Si. |
|---|---|---|
| 20-40 | 8 | 8 |
| 40-60 | 15 | 23 |
| 60-80 | 21 | 44 |
| 80-100 | 12 | 56 |
| 100-120 | 9 | 65 |
| 120-140 | 7 | 72 |
| 140-160 | 4 | 76 |
| Итого | 76 | — |
Проведем расчет:
- определим порядковый номер медианы
- определим накопленную частоту медианного интервала: SМе > NМе; SМе = 44;
- определим соответствующий ей медианный интервал «60-80»;
- рассчитаем значение медианы по формуле
т.е. у 50% банков сумма выданных кредитов не превышает 74,286 млн ден. ед.
Далее произведем расчет квартилей и децилей в интервальном вариационном ряду.
Для приведенного интервального ряда необходимо определить:
- номер первого (нижнего) квартиля:
тогда ей соответствует интервал «40-60», в котором находится первый квартиль;
- номер третьего (верхнего) квартиля:
тогда ей соответствует интервал «100-120», в котором находится третий квартиль;
- первый (нижний) квартиль рассчитаем по формуле:
т.е. у 25% банков сумма выданных кредитов не превышает 54,7 млн ден. ед.;
- третий (верхний) квартиль рассчитаем по формуле:
т.е. у 75% банков сумма выданных кредитов не превышает 102,2 млн ден. ед.
Аналогично квартилям определяем децили. Формулы, используемые в ходе расчетов, поместим в таблицу.
|
|
|
Здесь хD — нижняя граница децильного интервала; dD — величина децильного интервала; SD — 1 — сумма накопленных частот интервала, предшествующего децильному; fD — частота децильного интервала. |
Номер шестого дециля равен:
следовательно SQ6 = 56, этой накопленной частоте соответствует интервал «80-100», в котором находится шестой дециль. Величина децильного значения равна: 
(млн ден. ед.), т.д. у 60% банков сумма выданных кредитов не превышает 82,7 млн ден. ед.
В статистике для характеристики степени неоднородности совокупности часто используют коэффициенты дифференциации (квартильные и децильные). Децильный коэффициент дифференциации представляет собой отношение девятого дециля к первому:
Данный коэффициент показывает, во сколько раз варианта, выше которой находятся 10% единиц совокупности, имеющих самые большие значения признака, больше варианты, ниже которой находятся 10% единиц совокупности с самыми маленькими значениями признака. Аналогично квартильный коэффициент дифференциации определяется как отношение третьего квартиля к первому.
В заключение отметим, что приблизительное равенство средней арифметической, моды и медианы, рассчитанных по отношению к одному и тому же ряду, говорит о том, что значения признака в изучаемой совокупности имеют нормальный закон распределения (или приближаются к нему).
Медиана может быть определена графически по кумуляте. Для этих целей на оси ординат, где отмечаются накопленные частоты, находится точка, соответствующая полусумме всех частот (т.е. порядковому номеру медианы). Из нее проводится прямая параллельно оси абсцисс до пересечения с графиком (кумулятой распределения). Абсцисса точки пересечения соответствует медиане данного ряда распределения.
Рис.
8.5.
Определение медианы по кумуляте
Центральную тенденцию данных можно рассматривать не только, как значение с нулевым суммарным отклонением (среднее арифметическое) или максимальную частоту (мода), но и как некоторую отметку (значение в совокупности), делящую ранжированные данные (отсортированные по возрастанию или убыванию) на две равные части. Половина исходных данных меньше этой отметки, а половина – больше. Это и есть медиана.
Итак, медиана в статистике – это уровень показателя, который делит набор данных на две равные половины. Значения в одной половине меньше, а в другой больше медианы. В качестве примера обратимся к набору нормально распределенных случайных чисел.
Очевидно, что при симметричном распределении середина, делящая совокупность пополам, будет находиться в самом центре – там же, где средняя арифметическая (и мода). Это, так сказать, идеальная ситуация, когда мода, медиана и средняя арифметическая совпадают и все их свойства приходятся на одну точку – максимальная частота, деление пополам, нулевая сумма отклонений – все в одном месте. Однако, жизнь не так симметрична, как нормальное распределение.
Допустим, мы имеем дело с техническими замерами отклонений от ожидаемой величины чего-нибудь (содержания элементов, расстояния, уровня, массы и т.д. и т.п.). Если все ОК, то отклонения, скорее всего, будут распределены по закону, близкому к нормальному, примерно, как на рисунке выше. Но если в процессе присутствует важный и неконтролируемый фактор, то могут появиться аномальные значения, которые в значительной мере повлияют на среднюю арифметическую, но при этом почти не затронут медиану.
Медиана выборки – это альтернатива средней арифметической, т.к. она устойчива к аномальным отклонениям (выбросам).
Математическим свойством медианы является то, что сумма абсолютных (по модулю) отклонений от медианного значения дает минимально возможное значение, если сравнивать с отклонениями от любой другой величины. Даже меньше, чем от средней арифметической, о как! Данный факт находит свое применение, например, при решении транспортных задач, когда нужно рассчитать место строительства объектов около дороги таким образом, чтобы суммарная длина рейсов до него из разных мест была минимальной (остановки, заправки, склады и т.д. и т.п.).
Формула медианы
Формула медианы в статистике для дискретных данных чем-то напоминает формулу моды. А именно тем, что формулы как таковой нет. Медианное значение выбирают из имеющихся данных и только, если это невозможно, проводят несложный расчет.
Первым делом данные ранжируют (сортируют по убыванию). Далее есть два варианта. Если количество значений нечетно, то медиана будет соответствовать центральному значению ряда, номер которого можно определить по формуле:
где
№Me – номер значения, соответствующего медиане,
N – количество значений в совокупности данных.
Тогда медиана обозначается, как
Это первый вариант, когда в данных есть одно центральное значение. Второй вариант наступает тогда, когда количество данных четно, то есть вместо одного есть два центральных значения. Выход прост: берется средняя арифметическая из двух центральных значений:
В интервальных данных выбрать конкретное значение не представляется возможным. Медиану рассчитывают по определенному правилу.
Для начала (после ранжирования данных) находят медианный интервал. Это такой интервал, через который проходит искомое медианное значение. Определяется с помощью накопленной доли ранжированных интервалов. Где накопленная доля впервые перевалила через 50% всех значений, там и медианный интервал.
Не знаю, кто придумал формулу медианы, но исходили явно из того предположения, что распределение данных внутри медианного интервала равномерное (т.е. 30% ширины интервала – это 30% значений, 80% ширины – 80% значений и т.д.). Отсюда, зная количество значений от начала медианного интервала до 50% всех значений совокупности (разница между половиной количества всех значений и накопленной частотой предмедианного интервала), можно найти, какую долю они занимают во всем медианном интервале. Вот эта доля аккурат переносится на ширину медианного интервала, указывая на конкретное значение, именуемое впоследствии медианой.
Обратимся к наглядной схеме.
Немного громоздко получилось, но теперь, надеюсь, все наглядно и понятно. Чтобы при расчете каждый раз не рисовать такой график, можно воспользоваться готовой формулой. Формула медианы имеет следующий вид:
где xMe — нижняя граница медианного интервала;
iMe — ширина медианного интервала;
∑f/2 — количество всех значений, деленное на 2 (два);
S(Me-1)— суммарное количество наблюдений, которое было накоплено до начала медианного интервала, т.е. накопленная частота предмедианного интервала;
fMe — число наблюдений в медианном интервале.
Как нетрудно заметить, формула медианы состоит из двух слагаемых: 1 – значение начала медианного интервала и 2 – та самая часть, которая пропорциональна недостающей накопленной доли до 50%.
Для примера рассчитаем медиану по следующим данным.
Требуется найти медианную цену, то есть ту цену, дешевле и дороже которой по половине количества товаров. Для начала произведем вспомогательные расчеты накопленной частоты, накопленной доли, общего количества товаров.
По последней колонке «Накопленная доля» определяем медианный интервал – 300-400 руб (накопленная доля впервые более 50%). Ширина интервала – 100 руб. Теперь остается подставить данные в приведенную выше формулу и рассчитать медиану.
То есть у одной половины товаров цена ниже, чем 350 руб., у другой половины – выше. Все просто. Средняя арифметическая, рассчитанная по этим же данным, равна 355 руб. Отличие не значительное, но оно есть.
Расчет медианы в Excel
Медиану для числовых данных легко найти, используя функцию Excel, которая так и называется — МЕДИАНА. Другое дело интервальные данные. Соответствующей функции в Excel нет. Поэтому нужно задействовать приведенную выше формулу. Что поделаешь? Но это не очень трагично, так как расчет медианы по интервальным данным – редкий случай. Можно и на калькуляторе разок посчитать.
Напоследок предлагаю задачку. Имеется набор данных. 15, 5, 20, 5, 10. Каково среднее значение? Четыре варианта:
а) 11;
б) 5;
в) 10;
г) 5, 10, 11.
Мода, медиана и среднее значение выборки – это разный способ определить центральную тенденцию в выборке.
Ниже видеоролик о том, как рассчитать медиану в Excel.
Поделиться в социальных сетях:
Задачи по статистике с решениями: Мода и медиана
Задания по статистике по структурным средним
К структурным средним относятся медиана и мода.
Задача №1. Нахождение моды и медианы для интервального ряда
Рассчитать моду по данным таблицы. Решение приведем ниже. Сначала выберем модальный интервал, максимальная частота в нашем случае равна 10. Таким образом, получаем:
|
Группы предприятий по стоимости ОПФ, у.е. |
Число предприятий, f |
Середина интервалов, х |
Накопленная частота, S |
|
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24 |
2 6 10 4 3 |
15 17 19 21 22 |
2 8 18 22 25 |
|
Итого: |
25 |
— |
1) По максимальной частоте найдем модальный интервал: Fmax=10 → I = 18-20
2) По соответствующей формуле (формулы моды и медианы приведены ниже)
Мода =18+2(10-6)/(10-6)(10-4)=18,33 млн. руб. – наиболее часто встречающаяся стоимость ОПФ среди 25 предприятий.
Вычислим медиану по приведенным исходным данным.
Как найти медиану? В данной задачи нам даны интервалы.
1) Найдем медианный интервал по накопленной частоте. Нужная накопленная частота определяется путем суммирования частот f до тех пор, пока очередная накопленная частота впервые не превысит половину совокупности n +1/2 или n/2.
Для нечетного ряда (25+1)/2= 13→S= 18 →18-20- медианный интервал.
2) По соответствующей формуле (формулы моды и медианы приведены ниже)
Медиана Ме =18+2[(25+1)/2 — 8/10]=18,9 млн.руб. Из 25 малых предприятий региона 12 пр. имеют стоимость ОПФ менее 18 млн.руб., а 12 пр. более.
Задача №2. Нахождение моды и медианы для дискретного ряда.
|
тарифный разряд, Xi |
Число рабочих f |
Частость, w |
Накопленная частота, S |
|
2 |
1 |
0,05 |
1 |
|
3 |
5 |
0,25 |
6 |
|
4 |
8 |
0,4 |
14 |
|
5 |
4 |
0,2 |
18 |
|
6 |
2 |
0,1 |
20 |
|
Итого: |
20 |
1,0 |
20 |
Распределение рабочих 5 участков по их квалификации (тарифному разряду)
Найти моду по приведенным данным.
Решение:
По максимальной частоте найдем соответствующую группу и варианту: f max=8 → Мода=4 разряд. Наиболее часто встречающийся разряд рабочих 4.
Определить медиану по данным таблицы.
Как рассчитать медиану? Прежде всего найдем медианный интервал по накопленной частоте. Нужная накопленную частоту. Накопленная частота определяется путем суммирования частот f до тех пор, пока очередная накопленная частота впервые не превысит половину совокупности n+1/2 или n/2.
Для четного ряда 20/2= 10→S= 14 → Ме =4 разряд. Половина всех рабочих имеет тарифный разряд меньше 4, другая половина больше 4.
Теория для решения данных задач. Формулы для расчета моды и медианы
Модой в статистике называется величины признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности.
Медианой в статистике называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам. Обозначают медиану символом.
Распределительные средние – мода и медиана, их сущность и способы исчисления.
Данные показатели относятся к группе распределительных средних и используются для формирования обобщающей характеристики величины варьирующего признака.
Мода 
– это наиболее часто встречающееся значение варьирующего признака в вариационном ряду. Модой распределения называется такая величина изучаемого признака, которая в данной совокупности встречается наиболее часто, т.е. один из вариантов признака повторяется чаще, чем все другие. Для дискретного ряда (ряд, в котором значение варьирующего признака представлены отдельными числовыми показателями) модой является значение варьирующего признака обладающего наибольшей частотой. Для интервального ряда сначала определяется модальный интервал (т.е. содержащий моду), в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наибольшей частоте; с неравными интервалами – по наибольшей плотности, а определение моды требует проведения расчетов на основе следующих формул:
где: 
— нижняя граница модального интервала;
— величина модального интервала;
— частота модального интервала;
— частота интервала, предшествующего модальному;
— частота интервала, следующего за модальным;
Медиана (Ме) — это значение варьирующего признака, приходящееся на середину ряда, расположенного в порядке возрастания или убывания числовых значений признака, т.е. величина изучаемого признака, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда. Главное свойство медианы в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:
Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот, сначала исчисляется полусумма частот, а затем определяется какое значение варьирующего признака ей соответствует. При исчислении медианы интервального ряда сначала определяются медианы интервалов, а затем определяется какое значение варьирующего признака соответствует данной частоте. Для определения величины медианы используется формула:
где: — нижняя граница медианного интервала;
— величина медианного интервала;
— накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
— частота медианного интервала;
Медианный интервал не обязательно совпадает с модальным.
Моду и медиану в интервальном ряду распределения можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который в данном случае является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс.