Справочник по математике 11 класс профильный уровень егэ

=

Решение показательных уравнений

Определение. Показательным
называется уравнение, содержащее переменную величину в показателе степени
некоторого положительного числа.
Простейшими показательными уравнениями назовем уравнения вида  и  .

1.      Уравнение
 равносильно совокупности
систем

2.      Уравнение
 равносильно .

Уравнения с переменным основанием

Если основание степени в уравнении  есть переменная величина
 при всех значениях , то уравнение
равносильно совокупности уравнений  и  или, что удобнее
записывать, одному уравнению

Пример 1.

Решение. Выражение
 при всех значениях x.
Следовательно,

                                                                                
Ответ:
-1, 0, 3.

Если основание  может принимать как
положительные, так и отрицательные значения, то задача значительно усложняется.
В этом случае возможны различные подходы к решению уравнения .
Например, допустимо ограничить область существования решений уравнения  случаем . Тогда уравнение
равносильно системе:

Если допускать решения, для которых , то следует рассмотреть
следующие случаи:

1.     

2.       и при этом  некоторые положительные,
необязательно равные между собой числа.

3.       причем  должны иметь одинаковую
четность.

Пример 2.

Решение.

Так как  при  равно 17 нечетное число, то число  не является решение данного уравнения.

Ответ: 0; 1; 2;
4.

Решение показательных неравенств

Приведем некоторые стандартные схемы для
решения показательных неравенств, в которых используется логарифмирование обеих
частей неравенства.

·      

·      

В частности:

·       
Если число , то

·       
Если число , то

·       

Пример 3.

Решение. 1-й
способ. Область допустимых значений переменной  определяется условием:
 

При допустимых значениях переменной
преобразуем левую часть данного неравенства

Получаем неравенство

2-й способ. Так как  то, используя схему

 , получаем:

Ответ:

Логарифмы

Логарифм числа b по основанию a определяется
как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы
получить число b. Обозначение: 

Из определения следует, что
нахождение   равносильно
решению уравнения  .
Например,    ,
потому что  .

Логарифм  имеет смысл
при условиях:

Формулы логарифмов:

·      

1.    
;

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    
 

7.    

8.    

9.    
  

Обратите внимание на очень
важное свойство для решения неравенств:

Значение логарифма   положительно
тогда и только тогда, когда числа  лежат
по одну сторону от единицы (то есть либо оба больше единицы, либо оба меньше).
Если же  лежат
по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен.

Отсюда следует метод
рационализации.

Если  Аналогично,
если стоят другие знаки.

При решении логарифмических
уравнений и неравенств сперва необходимо определить ОДЗ. Стоит быть особенно
осторожным со свойством 6, так как если вы вынесите четную степень из основания
или показателя в коэффициент, то тем самым вы можете сузить ОДЗ и потерять
корни.

Рационализация неравенств

При
решении неравенств методом интервалов вычисление значений функции в
промежуточных точках могут вызвать трудности вычислительного характера. С
другой стороны, для рациональных функций такие вычисления несколько проще.

Чтобы
расширить возможности применения метода интервалов при решении неравенств,
используем идею рационализации неравенств, известную также под
названиями метод декомпозиции и метод замены множителей.

Метод
рационализации заключается в замене сложного выражения  на более простое
выражение  (в конечном счете,
рациональное), при которой неравенство  равносильно неравенству  в области определения
выражения .

Выделим
некоторые выражения  и соответствующие им
рационализирующие выражения  (см. табл. 1), где  выражения с переменной ,
 фиксированное число (.

    Некоторые
следствия (с учетом области определения
неравенств):

·       

·       

·       

·       

·       

Где на месте  стоит один из знаков
неравенств:

Пример 1.

Решение. Область
определения неравенства задается системой

Учитывая, что при  выражение  положительно,
преобразуем данное неравенство на его области определения

Далее используем метод рационализации

Рис.1                                           
Ответ:

Уравнение, содержащее логарифм

Пример 1.

Решение. Область
допустимых значений  данного уравнения
определяется условиями

Данное уравнение равносильно смешанной системе

Решая уравнения совокупности, имеем

Из полученных значений отбираем
удовлетворяющие условиям

Используя тригонометрическую окружность
произведем отбор корней

Ответ:

Формулы сокращенного умножения

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

6.     

7.     

8.     

9.     

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

Действия с алгебраическими дробями

1.    

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

Рациональные и иррациональные
уравнения.

Рациональные
уравнения.

Рациональным
называется уравнение вида  , где  и  многочлены. Решение
уравнения сводится к решению системы, состоящей из уравнения и неравенства

Иррациональные
уравнения.

Уравнение  называется
иррациональным, если его левая часть есть алгебраическая иррациональная функция
от переменных.

Простейшими
иррациональными уравнениями будем называть уравнения вида

1.       и

2.     

3.     

Уравнения,
содержащие несколько радикалов второй степени

При решении подобных уравнений следует
придерживаться такого алгоритма.

1.     Все
подкоренные уравнения записываются в системе ограничений (ОДЗ) как
неотрицательные.

2.     Радикалы
располагаются по обеим частям уравнения таким образом, чтобы обе части
получившегося уравнения стали неотрицательными при всех допустимых значениях
переменной.

3.     После
выполнения двух первых пунктов алгоритма обе части уравнения можно возвести в
квадрат, причем получившееся уравнение будет равносильно исходному уравнению.

4.     После
приведения подобных слагаемых и уединения оставшегося радикала получившееся
уравнение решается как простейшее, с введением дополнительных ограничений,
следующих их алгоритма решения простейшего уравнения.

Уравнения,
содержащие несколько радикалов различных степеней

Пример
1.

Решение.
Применим
метод составления систем уравнений. Обозначим

,

Тогда
новые переменные будут связаны соотношениями

Решив
получившуюся систему уравнений и сделав обратную замену, получим

Модуль

Стандартные схемы
для решения неравенств с модулями.

1.    

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

Пример 1.

Решение. Используя схему 3, получаем, что данное неравенство равносильно
совокупности неравенств

Используя
схему 1 и 3, получаем, что эта совокупность равносильна следующей.

Ответ: .

Рациональные неравенства.

Рациональные
неравенства имеют вид ,
где на месте  стоит
один из знаков ,
а функции  содержат
только операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в
натуральную степень.

Использование непрерывности функции.

Если
функция  непрерывна
на интервале и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет
постоянный знак.
На
этом свойстве основан метод интервалов.

В основе метода
интервалов лежат следующие положения:

1.       
Знак произведения (частного) однозначно
определятся знаками сомножителей (делимого и делителя).

2.       
Знак произведения не изменяется
(изменяется на противоположный), если изменить знак у четного (нечетного) числа
сомножителей.

3.       
Знак многочлена справа от большего (или
единственного) корня совпадает со знаком старшего коэффициента. В случае
отсутствия корней знак многочлена совпадает со знаком его старшего коэффициента
на всей области определения.

4.       
Пусть на промежутке  задана
возрастающая (убывающая) функция ,
причем  ­корень
уравнения ,
принадлежащий промежутку .
Тогда функция  справа
от корня положительна (отрицательна), слева отрицательна (положительна), т.е.
при переходе через корень меняет знак.

Метод интервалов

Сформулируем
свойства чередования знака линейного двучлена :
при переходе через значение  знак
выражения  меняется
на противоположный. Значение свойства чередования знака линейного двучлена  позволяет
в дальнейшем не приводить линейные двучлены к каноническому виду .

Свойство
двучлена  лежит
в основе метода интервалов и часто используется при решении
алгебраических неравенств более высоких степеней.

Рассмотрим
функцию

     (*)

где .
Выражению (*) соответствует разбиение числовой прямой на интервалы точками
.
Метод интервалов опирается на следующее свойство чередования знака функции (*):
при переходе через точку  из
одного интервала в смежный знак значения функции (*) меняется на
противоположный.

Пример
1.

.

Решение.
Перепишем
неравенство в виде ,
и далее используем метод интервалов.

1.      Обозначим

.

2.      .

3.     

Отсюда получаем корни уравнения: 1;
1,5; .
Так как 1<3<,
то 1<<1,5.

4.      Найдем промежутки
знакопостоянства функции .
Так как ,
то расставляем знаки в соответствии с правилом знакочередования, как показано
на рис.1.

Рис.1

Получаем все значения ,
при которых .

Ответ:
.

Неравенство  (или
)
равносильно неравенству  (или
 соответственно).
Нестрогое неравенство  (или
)
равносильно системе  (или 
 соответственно).

Пример
2.

.

Решение.

Приведем
неравенство к виду  и
используем метод интервалов.

1.      Пусть .

2.     

3.      Нули функции  найдем
из уравнения .
Корни последнего уравнения 1,5 и 2 принадлежат .

4.      На каждом из промежутков  функция
 непрерывна
и сохраняет постоянный знак. Так как ,
то на промежутке функция.
На остальных промежутках расставляем знаки по правилу знакочередования (см.
Рис.2)

Рис.2

Следовательно,  при
всех значениях .

Ответ: .

Первое обобщение метода интервалов

Пусть дана функция ,  
(**)

где ,
 фиксированные
натуральные числа. Для решения неравенства ,
где выражение  имеет
вид (**), используется обобщенный метод интервалов, который опирается на
следующее правило чередования знаков выражения: при переходе через точку  из
одного интервала в смежный знак значения функции (**) меняется на
противоположный, если нечетное
число, и не меняется, если четное
число.

Пример 3.

Решение.

1.      Рассмотрим функцию .

2.      .

3.      Найдем нули функции  из
уравнения .
Отсюда ,
,
.

Сравним полученные числа. Так как .

Аналогично из неравенства получаем

4.      Найдем промежутки
знакопостоянства функции .
Так как ,
то далее расставляем знаки левой части неравенства, учитывая кратность корней,
как показано на Рис.3.

Рис.3

Отсюда  при
всех

Ответ:

Второе обобщение метода интервалов

Применимость
метода интервалов не ограничивается решением рациональных неравенств. Метод
интервалов допускает обобщение на выражения вида ,
где где  функции,
непрерывные на своей области определения ( фиксированные
натуральные числа).

Пример
4.

Решение.

Так как при  многочлен
 принимает
наименьшее значение 17 (докажите с помощью производной), то неравенство  выполняется
при всех значениях .
Тогда данное неравенство принимает вид

Используем метод интервалов.

1.      Рассмотрим функцию  .

2.      Функция  не
существует при .

3.      Функция  обращается
в нуль в точке .

4.      Найдем промежутки
знакопостоянства функции .
Так как 0 <<
2,5 и <0,
то  при
все значениях  (см.
Рис. 4)

Рис.4

Ответ:

Пример 5.

Решение.

Обозначим ,
где .
Тогда данное неравенство примет следующий вид

 (*)

Используем метод интервалов.

1.      Рассмотрим функцию

2.      Найдем область определения
функции .

Для этого решим неравенство .

Отсюда .

3.      Находим нули функции .

Из совокупности получаем числа 1, 3, 9, нулями функции которых являются  так
как .

4.      Находим промежутки
знакопостоянства функции .
Так как ,
то получаем, что  при
всех значениях  (см.
Рис.5)

Рис.5

Полученные решения удовлетворяют
условию .
Вернемся к переменной .

Так как  то
имеем

Ответ:.

Иррациональные неравенства

Приведем
некоторые стандартные схемы для решения иррациональных неравенств.

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

6.     

7.     

8.     

Пример
1.

Решение.
Используя схему 6, получим, что данное неравенство равносильно совокупности
систем:

(I)
  (II)

Для системы (I)
имеем:
 при

Первое неравенство системы (I)
приводим к виду:

 

На
числовой прямой  (см.
Рис.1) дано графическое представление неравенства системы (I).

Рис.1

Тогда
решение системы (I) являются все значения

Для системы (II)
имеем:  при
  при
.
Следовательно, решение системы (II) будет .  Объединяя решения (I) и
(II), получаем ответ.                             Ответ:

Производная

Физический смысл производной

Мгновенная скорость. То есть
значение производной в точке означает скорость роста графика в этой точке.

Геометрический смысл производной

Функция  называется
касательной к  в
точке  Число  является
угловым коэффициентом (угловым коэффициентом касательной)
или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Уравнение касательной в точке  :

Точки экстремума

Точка экстремума –
это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение
функции

То есть это точка в которой
производная ровна нулю. НО при этом проходя через эту точку производная должна
менять свой знак. Если точка максимума – то с плюса на минус (перед этой точкой
функция возрастает, а после убывает).

Как видим,   является точкой экстремума. Если   производная будет отрицательной, а если
больше – положительной. Следовательно   – это точка минимума (с минуса на плюс).

Если знак у при прохождение этой
точки у производной не меняется, то это просто критическая точка.

Нахождение наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке

1.      Найдем
производную функции.

2.      Приравняем
ее к нулю и найдем соответствующие значения .

3.      Определим
в каких точках производная меняет знак, а в каких нет.

4.      Там, где
знак меняется с + на – максимум функции, где с – на + минимум функции.

5.      Из всех
полученных точек максимума выберем точку с наибольшим значением, принадлежащую
отрезку. Это и будет наибольшее значение на отрезке. Аналогично для минимума.

6.      Если точек
экстремума на отрезке нет, то функция монотонна, наибольшее и наименьшее
значения находятся в концах отрезка.

7.      Если
критическая точка на отрезке всего одна, и она является точкой максимума, то в
этой точке достигается наибольшее значение функции на отрезке, а наименьшее
значение достигается в одном из концов отрезка. Аналогично если единственная
точка экстремума минимум.

Найдите наибольшее значение функции
 на отрезке [1;9]

Производная переходит с плюса на
минус, а значит x = 9 –
точка максимума.

Ответ: 10

Производная второго порядка

Если производная первого порядка
значит мгновенную скорость, то производная второго порядка – ускорение.
Производная второго порядка нужна для того, чтобы определять промежутки выпуклости/вогнутости
функции

Применение:

1.      Достаточное
условие выпуклости (вогнутости) графика функции. Если ƒ′′(х) <0 на (a;b), то
график функции выпуклый на (a;b); если ƒ′′(х)>0 на (a;b), то график функции
вогнутый на (a;b).

2.      Необходимое
условие точки перегиба. Если х₀ –
точка перегиба графика функции y=ƒ(x) и существует вторая производная в ней, то
ƒ′′( х₀)=0.

3.      Достаточное
условие точки перегиба. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции
при переходе через критическую точку второго рода х₀
меняет знак, то х₀ есть абсцисса
точки перегиба графика этой функции.

• Треугольник
• Четырехугольники
• Окружность и круг
• Призма
• Пирамида
• Усеченная пирамида
• Цилиндр
• Конус
• Усеченный конус
• Сфера и шар

1. Формулы сокращённого умножения

Наверх

2. Модуль числа

Определение:

Основные свойства модуля:

Наверх

3. Степень с действительным показателем

Свойства степени с действительным показателем

Пусть Тогда верны следующие соотношения:

Наверх

4. Корень n-ой степени из числа

Корнем n-ой степени из числа a называется число, n-ая степень которого равна a.
Арифметическим корнем четной степени n из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.

Основные свойства арифметического корня:

Наверх

5. Логарифмы

Определение логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Основные свойства логарифмов

Пусть Тогда верны следующие соотношения:

Наверх

6. Арифметическая прогрессия

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Характеристическое свойство арифметической прогрессии:

Сумма n первых членов арифметической прогрессии:

При решении задач, связанных с арифметической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:

Наверх

7. Геометрическая прогрессия

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

При решении задач, связанных с геометрической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:

Наверх

8. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Наверх

9. Основные формулы тригонометрии

Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента:

Формулы сложения:

Формулы тригонометрических функций двойного аргумента:

Формулы понижения степени:

Формулы приведения

Все формулы приведения получаются из соответствующих формул сложения. Например:

Применение формул приведения укладывается в следующую схему:

— определяется координатная четверть, в которой лежит аргумент приводимой функции, считая, что ;

— определяется знак приводимой функции;

— определяется название приведенной функции по следующему правилу: если аргумент приводимой функции имеет вид или , то функция меняется на сходственную функцию, если аргумент приводимой функции имеет вид , то функция названия не меняет.

Например, получим формулу :

— — IV четверть;

— в IV четверти тангенс отрицательный;

— аргумент приводимой функции имеет вид , следовательно, название функции меняется. Таким образом,

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

Наверх

10. Производная и интеграл

Таблица производных некоторых элементарных функций

Правила дифференцирования:

1.

2.

3.

4.

5.

Уравнение касательной к графику функции в его точке :

Таблица первообразных для некоторых элементарных функций

Правила нахождения первообразных

Пусть ― первообразные для функций и соответственно, a, b, k ― постоянные, Тогда:

— ― первообразная для функции

— ― первообразная для функции

— ― первообразная для функции

— Формула Ньютона-Лейбница:

1. Треугольник

Пусть ― длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC соответственно; ― полупериметр треугольника ABC; A, B, C ― величины углов BAC, ABC, ACB треугольника ABC соответственно; ― длины высот AA₂, BB₂, CC₂ треугольника ABC соответственно; R ― радиус окружности, описанной около треугольника ABC; r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC; ― площадь треугольника ABC. Тогда имеют место следующие соотношения:

(теорема синусов);

(теорема косинусов);

Наверх
2. Четырёхугольники

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.

Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны. Из определения следует, что квадрат является ромбом, следовательно, он обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.

Площадь четырехугольника

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Наверх

3. Окружность и круг

Соотношения между элементами окружности и круга

Пусть r — радиус окружности, d — ее диаметр, C — длина окружности, S — площадь круга,  — длина дуги в градусов,  — длина дуги в радиан,  — площадь сектора, ограниченного дугой в n градусов,  — площадь сектора, ограниченного дугой в радиан. Тогда имеют место следующие соотношения:

Вписанный угол

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Вписанная окружность

Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка равноудаленная от всех сторон этого многоугольника, ― точка пересечения биссектрис углов этого многоугольника. Таким образом, в многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну, тогда и только тогда, когда биссектрисы его углов пересекаются в одной точке.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Описанная окружность

Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка равноудаленная от всех вершин этого многоугольника, ― точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника. Таким образом, около многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры к сторонам этого многоугольника пересекаются в одной точке.

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны

Наверх

4. Призма

Пусть H ― высота призмы, AA₁ ― боковое ребро призмы,  ― периметр основания призмы,  ― площадь основания призмы,  ― площадь боковой поверхности призмы,  ― площадь полной поверхности призмы, V ― объем призмы,  ― периметр перпендикулярного сечения призмы,  ― площадь перпендикулярного сечения призмы. Тогда имеют место следующие соотношения:

Свойства параллелепипеда:

— противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны;

— диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам;

— квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Наверх

5. Пирамида

Пусть H ― высота пирамиды,  ― периметр основания пирамиды,  ― площадь основания пирамиды,  ― площадь боковой поверхности пирамиды,  ― площадь полной поверхности пирамиды, V ― объем пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:

;

.

Замечание. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны , а высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны , то

Наверх

6. Усечённая пирамида

Пусть H ― высота усеченной пирамиды, и  ― периметры оснований усеченной пирамиды, и  ― площади оснований усеченной пирамиды,  ― площадь боковой поверхности усеченной пирамиды,  ― площадь полной поверхности усеченной пирамиды, V ― объем усеченной пирамиды.

Тогда имеют место следующие соотношения:

Замечание. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны , а высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны , то:

Наверх

7. Цилиндр

Пусть h ― высота цилиндра, r ― радиус цилиндра,  ― площадь боковой поверхности цилиндра,  ― площадь полной поверхности цилиндра, V ― объем цилиндра.

Тогда имеют место следующие соотношения:

Наверх

8. Конус

Пусть h ― высота конуса, r ― радиус основания конуса, l ― образующая конуса,  ― площадь боковой поверхности конуса,  ― площадь полной поверхности конуса, V ― объем конуса.

Тогда имеют место следующие соотношения:

Наверх

9. Усечённый конус

Пусть h ― высота усеченного конуса, r и  ― радиусы основания усеченного конуса, l ― образующая усеченного конуса,  ― площадь боковой поверхности усеченного конуса, V ― объем усеченного конуса. Тогда имеют место следующие соотношения:

Наверх

10. Сфера и шар

Пусть R ― радиус шара, D ― его диаметр, S ― площадь ограничивающей шар сферы,  ― площадь сферической поверхности шарового сегмента (шарового слоя), высота которого равна h, V ― объем шара,  ― объем сегмента, высота которого равна h,  ― объем сектора, ограниченного сегментом, высота которого равна h. Тогда имеют место следующие соотношения:

Наверх

2013-02-14
2019-08-13

Справочник