В студенческой группе 25 человек чтобы получить допуск на экзамен по данному курсу

Контрольные задания по курсу «Дискретная математика».

1. Раздел «Множества»

Вариант № 1

1. Фирма имеет 100
предприятий, причем каждое предприятие
выпускает хотя бы одну продукцию вида
А, В, С. Продукцию всех трех видов выпускают
10 предприятий, продукцию А и В – 18
предприятий, продукцию А и С – 15
предприятий, продукцию В и С – 21
предприятие. Число предприятий,
выпускающих продукцию А равно числу
предприятий, выпускающих продукцию В
и равно числу предприятий, выпускающих
продукцию С. Найти число всех предприятий.

2. Упростить:
È

È.

3. Является ли
множество А
= {1, 2, 3} подмножеством множества В
= {{1}, {2, 3}}?

4. Придумать пример
множеств А,
В, С, каждое
из которых имеет мощность континуума,
так, чтобы выполнялось равенство: А
ÈВ
= С.

5. Эквивалентны ли
множества A
= {x:
x²
– 8x +
15= 0} и B
= {2, 3}?

Вариант № 2

1. В группе спортсменов
30 человек. Из них 20 занимаются плаванием,
18 – легкой атлетикой и 10 – лыжами.
Плаванием и легкой атлетикой занимаются
11 человек, плаванием и лыжами – 8, легкой
атлетикой и лыжами – 6 человек. Сколько
спортсменов занимаются всеми тремя
видами спорта?

2. Упростить:
A(AÈB).

3. В каком случае
ААВ?

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
È.

5. Какое из множеств
A
= {1, 4, 9, 16, 25,…} и B
= {1, 1/2, 1/4, 1/6, 1/8,…} имеет большую мощность?

Вариант № 3

1. В студенческой
группе 20 человек. Из них 10 имеют оценку
“отлично” по английскому языку, 8 — по
математике, 7 — по физике, 4 — по английскому
языку и по математике, 5 — по английскому
языку и по физике, 4 — по математике и по
физике, 3 — по английскому языку, по
математике и по физике. Сколько студентов
группе не имеют отличных оценок?

2.
Упростить:
(AB)
È
(AB).

3. Найти все
подмножества множества A=
{1, 2, 3, 4).

₄

4. Пусть
A_n
= {0, 1/2ⁿ}.
Найти
U A_n.

ⁿ⁼¹

5. Доказать, что
множества точек контуров всех треугольников
эквивалентны.

Вариант № 4

1. В классе 20 человек.
На экзаменах по истории, математике и
литературе 10 учеников не получили ни
одной пятерки, 6 учеников получили 5 по
истории, 5 – по математике и 4 – по
литературе; 2 — по истории и математике,
2 — по истории и литературе, 1 — по математике
и литературе. Сколько учеников получили
5 по всем предметам?

2. Упростить: (AB)
È
(AB).

3. Является ли
множество А
= {1, 2, 3} подмножеством множества В
= {{1}, {2, 3}}?

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
(А
В)

С

5. Эквивалентны ли
множества A
= {2^x,
0<x<
¥}
и B
= {2ⁿ,
n = 1, 2, …}?

Вариант № 5

1. В спортивном
лагере 100 человек, занимающихся плаванием,
легкой атлетикой и лыжами. Из них 10
занимаются и плаванием, и легкой
атлетикой, и лыжами, 18 – плаванием и
легкой атлетикой, 15 – плаванием и лыжами,
21 – легкой атлетикой и лыжами. Число
спортсменов, занимающихся плаванием,
равно числу спортсменов, занимающихся
легкой атлетикой, и равно числу
спортсменов, занимающихся лыжами. Найти
это число.

2.
Упростить:
(AÈB)
È(AÈB).

3. Найти все
подмножества множества A=
{1, 2, 3, 4).

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
(А
В)
È
С

5. Доказать, что
множества точек контуров всех треугольников
эквивалентны.

Вариант № 6

1. Группе студентов
предложено три спецкурса: по мультимедиа,
искусственному интеллекту и имитационному
моделированию. 22 студента записались
на спецкурс по мультимедиа, 18 – на
спецкурс по искусственному интеллекту,
10 – на спецкурс по имитационному
моделированию, 8 – на спецкурсы по
мультимедиа и искусственному интеллекту,
15 – на спецкурсы по мультимедиа и
имитационному моделированию, 7 – на
спецкурсы по искусственному интеллекту
и имитационному моделированию. 5 студентов
записались на все три спецкурса. Сколько
студентов в группе?

2. Верно или неверно
равенство: (A
B)
È(AB)
= A?

3. Придумать пример
множеств А,
В, С, каждое
из которых имеет мощность континуума,
так, чтобы выполнялось равенство: А
ÈВ
= С.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
(А
В)
È
(А
С).

5. Эквивалентны ли
множества A
= {x:
x²-8x+15=
0} и B
= {2, 3}?

Вариант № 7

1. Во время сессии
24 студента группы должны сдать три
зачета: по физике, математике и
программированию. 20 студентов сдали
зачет по физике, 10 – по математике, 5 –
по программированию, 7 – по физике и
математике, 3 – по физике и программированию,
2 – по математике и программированию.
Сколько студентов сдали все три зачета?

2. Упростить: (AÈB)
È
(AB).

3. Доказать, что
множество точек A=
{(x,
y):
y
= ½x½,
-, – 1 £
x
£
1} несчетно.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
(А
В)
È
С.

5. Эквивалентны ли
множества A
= {y:
y
= x³,
1< x
<2} и B
= {y:
y
= 3^x,
3< x
< ¥}?

Вариант № 8

В группе переводчиков
15 человек владеет английским языком,
19 – французским, 8 – немецким. 9 переводчиков
владеют английским и французским языком,
7 – английским и немецким, 6 – французским
и немецким. 4 переводчика владеют всеми
тремя языками. Сколько переводчиков в
группе?

2. Пользуясь
равносильными преобразованиями,
установить, верно или неверно равенство:
А
(В
È
С)
= (А
В)
È
С?

3. В каком случае
ААВ?

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
(È)
(A È
B).

5. Эквивалентны ли
множества A
= {x:
x²
–3x
+ 2 = 0} и B
= {1, 3}?

Вариант № 9

1. Опрос группы
студентов показал, что 70% из них любят
ходить в кино, 60% в театр, 30% на концерты.
В кино и театр ходят 40% студентов, в кино
и на концерты – 20%, в театр и на концерты
– 10%. Сколько студентов (в %) ходят в
кино, театр и на концерты?

2. Верно или неверно
равенство: (AB)

(A
È
В)
= В?

3. Привести пример
двух множеств А
и В,
таких, что мощность множества А
больше мощности множества В.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
А
(В
С).

5. Эквивалентны ли
множества A
= {x:
x³
– 1 = 0} и B
= {x:
x²
– 3x
+ 2 = 0}?

Вариант № 10

1. В группе 20
учеников. После медицинского осмотра
на дополнительное обследование 14
учеников были направлены к терапевту,
6 – к окулисту, 5 – к ортопеду. К терапевту
и окулисту были направлены 3 ученика, к
терапевту и ортопеду –3, к окулисту и
ортопеду – 2. Сколько учеников были
направлены к терапевту, окулисту и
ортопеду?

2. Упростить:
(È)
(A È
B).

3. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
(A

B)
È
(C
(A
È
B)).

4. Найти все
подмножества множества A=
{a,
b,
c,
d}.

5. Эквивалентны ли
множества A
= {(x,
y):
y
= lnx,
0 < x
< ¥}
и B
= {(x,
y):
y
= sinx,
–¥
<x
< ¥}?

Вариант № 11

1. При обследовании
рынка спроса инспектор указал в опросном
листе следующие данные. Из 1000 опрошенных
811 покупают жевательную резинку «Дирол»,
752 – «Орбит» , 418 – «Стиморол»,
570 – «Дирол» и «Орбит», 356 –
«Дирол» и «Стиморол», 348 –
«Орбит» и «Стиморол», 297 – все
виды жевательной резинки. Показать, что
инспектор ошибся.

2. Упростить:
È(B
(AÈB)).

3. Придумать пример
множеств А,
В, С, так,
чтобы выполнялось равенство: А
È
В
= С,
причем А –
конечное множество, В
и С
– счетные множества.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
A

(B
È
C
) .

5. Пусть A
– множество
целых чисел, а B
– множество четных чисел. Какие из
следующих отношений справедливы: а) A
=B;
б) A
~
B;
в) A
ÉB;
г) A
ÊB;
д) A
ËB;
е) A
Î
B.

Вариант № 12

1. Всем участникам
автопробега не повезло. 12 из них увязли
в песке – пришлось толкать машину, 8
понадобилась замена колеса, у шестерых
перегрелся мотор, пятеро и толкали
машину и меняли колесо, четверо толкали
машину и остужали мотор, трое меняли
колесо и остужали мотор. Одному пришлось
испытать все виды неполадок. Сколько
было участников?

2. Пользуясь
равносильными преобразованиями,
установить, верно или неверно равенство:
А
(В
С)
= (А
В)
С?

3. Доказать, что
множество точек A
= {y:
y
= 2ⁿ,
n = 1, 2, …} счетно.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
(А
В)
С.

5. Эквивалентны ли
множества A
= {(x,
y):
y
= x³,
1< x
<2} и B
= {(x,
y):
y
= 3^x,
3< x
< ¥}?

Вариант № 13

1. Из 10 участников
ансамбля шестеро умеют играть на гитаре,
пятеро – на ударных инструментах, пятеро
– на духовых. Двумя инструментами
владеют: гитарой и ударными – трое,
ударными и духовыми – двое, гитарой и
духовыми – четверо. Один человек играет
на всех трех инструментах. Остальные
участники ансамбля только поют. Сколько
певцов в ансамбле?

2. Верно или неверно
равенство:
С)

С
ÈС
?

3. Записать решение
системы неравенств

x-2
> 0

x-5
< 0

в виде пересечения
двух множеств.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
(B
ÈC
) .

5. Доказать, что
множества A
= {(x,
y):
y
= x³,
1< x
<2} и B
= {y:
y
= 3^x,
3< x
< ¥}
эквивалентны.

Вариант № 14

1. В одной студенческой
группе 10 человек могут работать на
Дельфи, 10 – на Паскале, 6 – на Си. По два
языка знают: 6 человек – Дельфи и Паскаль,
4 – Паскаль и Си, 3 – Дельфи и Си. Один
человек знает все три языка. Сколько
студентов в группе?

2. Верно или неверно
соотношение: AC
Ì
A È
В?

3. Придумать пример
множеств А,
В, С, так,
чтобы выполнялось равенство: А
È
В
= С,
причем А,
В,
и С
– счетные множества.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
С).

5. Эквивалентны ли
множества A
= {y:
y
= 3^x,
0<x<
¥}
и B
= {y:
y
= 3ⁿ,
n = 1, 2, …}?

Вариант № 15

1. В день авиации
на аэродроме всех желающих катали на
самолете, планере, дельтаплане. На
самолете прокатились 30 человек, на
планере – 20, на дельтаплане – 15. И на
самолете, и на планере каталось 10 человек,
на самолете и дельтаплане – 12, На планере
и дельтаплане – 5. Два человека прокатились
и на самолете, и на планере, и на
дельтаплане. Сколько было желающих
прокатиться?

2. Верно или неверно
равенство: (A
È
B)
A
= B
A
?

3. Привести пример
двух множеств А
и В,
таких, что мощность множества А
больше мощности множества В.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
С
ÈС.

5. Доказать, что
множества A
= {y:
y
= lnx,
0 < x
< ¥}
и B
= {y:
y
= sinx,
–¥
<x
< ¥}
эквивалентны.

Вариант № 16

1. Все грибники
вернулись домой с полными корзинами. У
десятерых из них в корзинах были белые
грибы, у восемнадцати – подберезовики,
у двенадцати – лисички. Белые и
подберезовики были в шести корзинах,
белые и лисички – в четырех, Подберезовики
и лисички – в пяти. Все три вида грибов
были у двух грибников. Сколько было
грибников?

2. Верно или неверно
равенство: (A
È
B)
(AB)
= AÈB?

3. Доказать, что
множество точек A=
{(x,
y):
y
= ½x½,
-, – 1 £
x
£
1} несчетно.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества

(B
È
C
) .

5. Пусть A
– множество
точек отрезка [0, 1], а B
– множество всех точек числовой оси.
Какие из следующих отношений справедливы:
а) A
=B;
б) A
~
B;
в) A
ÉB;
г) A
ÊB;
д) A
ËB;
е) A
Î
B.

Вариант № 17

1. Все туристы взяли
в поход консервы. Шесть человек взяли
тушенку, пять – сгущенку, восемь – кашу
(с мясом). У троих в рюкзаках была тушенка
и сгущенка, у двоих – тушенка и каша, у
троих – сгущенка и каша, и только в одном
рюкзаке лежали все три вида консервов.
Сколько было туристов?

2. Верно или неверно
равенство:
С

С
(С

(AÈB))?

3. Пусть A
– множество решений уравнения x²
– 3x
+ 2 = 0. Записать это множество двумя
различными способами.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
(BC)
A
.

5. Эквивалентны ли
множества A
= {x:
x²
–3x
+ 2 = 0} и B
= {2, 3}?

Вариант № 18

1. Было опрошено
70 человек. В результате опроса выяснили,
что 45 человек знают английский язык, 29
– немецкий и 9 – оба языка. Сколько
человек из опрошенных не знает ни
английского, ни немецкого языков?

2. Верно или неверно
равенство: (A
È
B)
(AB)
= AÈB?

3. Найти все
подмножества множества A=
{x,
y,
z}.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
С.

5. Счетно ли множество
{(x,
y):
y
= 3^x,
0<x<
¥}?

Вариант № 19

1. В туристической
группе 10 человек знают английский язык,
10 – итальянский, 6 – испанский. По два
языка знают: 6 человек – английский и
итальянский, 4 – английский и испанский,
3 – итальянский и испанский. Один человек
знает все три языка. Сколько туристов
в группе?

2. Упростить
.

3. Привести пример
двух множеств А
и В,
таких, что мощность множества А
больше мощности множества В.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
С
(С

(AÈB)).

5. Эквивалентны ли
множества A
= { 2ⁿ,
n
= 1, 2, …} и B
= {n²,
n
= 1, 2, …}?

Вариант № 20

1. Предприятие
объявило набор рабочих на должности
токаря, слесаря и сварщика. В отдел
кадров обратились 25 человек. Из них 10
человек владели профессией токаря, 15 –
слесаря, 12 – сварщика. Профессией и
токаря и слесаря владели 6 человек, и
токаря, и сварщика – 5 человек, и слесаря
и сварщика – 3 человека. Сколько человек
владеют всеми тремя профессиями?

2. Верно или неверно
равенство:
=?

3. Привести примеры
множеств А,
В
и С
, для которых одновременно выполняются
равенства А
È
В
È
С =
А и
А 
В

С =
С.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
.

5. Можно ли построить
взаимно-однозначное соответствие между
множеством рациональных чисел отрезка
[0, 1] и множеством рациональных чисел
из этого интервала? Ответ обосновать.

Вариант № 21

1. Оказалось, что
в группе туристов 15 человек были раньше
во Франции, 19 – в Италии, 8 – в Германии.
9 туристов были во Франции и в Италии,
7 – во Франции и в Германии, 6 – и в
Италии, и в Германии. 4 туриста были во
всех трех странах. Сколько туристов
были хотя бы в одной из трех стран?

2. Пользуясь
равносильными преобразованиями,
установить, верно или неверно равенство:
А
(В

С)
= (А
В)
?

3. Привести примеры
множеств А
и В,
для которых равенство

È
В =

а) выполняется; б)
не выполняется.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
А

(В È

).

5. Найти мощность
множества точек окружности с центром
в точке (0, 0) и радиусом 1.

Вариант № 22

1. Группе студентов
из 30 человек была предложена контрольная
работа из трех задач. Первую задачу
решили 15 студентов, вторую – 13, третью
– 12. Первую и вторую задачи решили 7
человек, первую и третью – 6, вторую и
третью – 5 человек. Все три задачи решили
2 студента. Сколько студентов из группы
не решили ни одной задачи?

2. Пользуясь
равносильными преобразованиями,
установить, верно или неверно равенство:
А
(В
È
С)
= (А
В)

?

3. Привести пример
двух бесконечных множеств А
и В,
таких, что мощность множества А
больше мощности множества В.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
А

В 
.

5. Найти мощность
множества точек гиперболы y
=
приx
Î
( 3, ¥).

Вариант № 23

1. Анализ историй
болезней группы из 20 детей показало,
что 10 детей болели ветрянкой, 6 – корью,
5 – свинкой. Ветрянкой и корью болели 3
ребенка, ветрянкой и свинкой – 3, корью
и свинкой – 2. Всеми тремя болезнями
болел один ребенок. Сколько детей не
болели ни одной из перечисленных
болезней?

2. Верно или неверно
равенство:
С)



С?

3. Доказать, что
множество точек A=
{(x,
y):
y
= ½x+1½,
– 1 £
x
£
1} несчетно.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
(BC)
A
.

5. Пусть A
– множество
точек отрезка [1, 2], а B
– множество точек интервала (0, 3). Какие
из следующих отношений справедливы: а)
A
=B;
б) A
~
B;
в) A
Ì
B;
г) A
Ê
B;
д) A
ËB;
е) A
Î
B.

Вариант № 24

1. В книжный киоск
привезли для продажи 100 книг Пушкина,
Лермонтова и Тургенева. Книги Пушкина
купили 60 человек, книги Лермонтова –
50, книги Тургенева – 30 человек. Книги
Пушкина и Лермонтова купили 40 человек,
книги Пушкина и Тургенева – 20, книги
Лермонтова и Тургенева – 10 человек.
Пять человек купили книги всех трех
писателей. Сколько человек не купили
ни одной из перечисленных книг?

2. Верно или неверно
равенство:=?

3. Привести примеры
множеств А,
В
и С
таких, что равенство А
È
В
È
С =
С

а) справедливо; б)
несправедливо.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
.

5. Можно ли построить
взаимно-однозначное соответствие между
множеством натуральных чисел N
и множеством действительных чисел
отрезка [0, 1]? Ответ обосновать.

Вариант № 25

1. Группа научных
работников состоит из 100 человек. Из них
70 человек владеют английским языком,
50 – немецким, 40 – французским, 30 –
английским и немецким, 25 – английским
и французским, 15 – французским и немецким.
Хотя бы один язык знает каждый научный
работник. Сколько человек владеют всеми
тремя языками?

2. Упростить: (A
(AB))
È
В.

3. Привести примеры
множеств А,
В
и С
так, чтобы A
Î
B,
В
Ì
С.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
.

5. Можно ли утверждать,
что множество всех положительных
пятизначных чисел счетно? Ответ
обосновать.

Вариант № 26

1. На курсы иностранных
языков записалось 100 человек. Оказалось,
что 70 человек будут изучать английский
язык, 60 человек – французский и 30 человек
— немецкий. Английский и французский
собираются изучать 40 человек, английский
и немецкий – 20, французский и немецкий
– 10. Сколько студентов будут изучать
все три языка?

2. Упростить
равенство: (A

С ) (С

(A
ÈB)).

3. Привести пример
двух различных бесконечных множеств А
и В,
таких, что мощность множества А
равна мощности множества В.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
С).

5. Эквивалентны ли
множества A
= {x:
x³
– 1 = 0} и B
= {x:
x²
– 3x
+ 2 = 0}?

Вариант № 27

В команде бегунов
десять спортсменов бегают на длинные
дистанции, восемнадцать – на средние,
двенадцать – на короткие. На длинные и
средние дистанции бегают пять спортсменов,
на средние и короткие – шесть. На длинные
и короткие дистанции не бегает никто.
Сколько бегунов в команде?

2. Верно или неверно
равенство:
ÈС)


ÈÈ
С?

3. В каком случае
A
ÈB
=
А В?

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
È(BC
) .

5. Можно ли утверждать,
что множество всех положительных чисел
имеет меньшую мощность, чем множество
всех действительных чисел? Ответ
обосновать.

Вариант № 28

1. В студенческой
группе 25 человек. Чтобы получить допуск
на экзамен по данному курсу необходимо
защитить курсовую работу, выполнить
лабораторную работу и сдать зачет. 15
студентов защитили курсовую работу, 20
выполнили лабораторную работу, 17 сдали
зачет. Защитили курсовую работу и
выполнили лабораторную работу 12 человек.
Защитили курсовую работу и сдали зачет
13 человек. Выполнили лабораторную работу
и сдали зачет 16 человек. Сколько студентов
допущено к экзамену?

2. Упростить:

(È).

3. Привести пример
двух бесконечных множеств А
и В,
таких, что мощность множества А
меньше мощности множества В.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
.

5. Эквивалентны ли
множество рациональных чисел отрезка
[0, 1] и множество рациональных чисел из
этого интервала? Ответ обосновать.

Вариант № 29

1. В классе 20 детей.
Из них 10 дополнительно занимаются в
музыкальной школе, 6 – теннисом, 5 –
китайским языком. Музыкальную школу и
занятия по теннису посещают три ребенка,
музыкой и китайским языком занимаются
трое, теннисом и китайским языком двое.
Всеми тремя видами дополнительных
занятий занимается один ребенок. Сколько
детей не занимается ни одним из
перечисленных занятий?

2. Пользуясь
равносильными преобразованиями,
установить, верно или неверно равенство:
А
(В
ÈС)
= (А
В)
?

3. Доказать, что
множество точек A
= {y:
y
= 2ⁿ,
n = 1, 2, …} счетно.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
A ÈB
.

5. Эквивалентны ли
множества A
= {(x,
y):
y
= x²,
1< x
<2} и B
= {(x,
y):
y
= 2^x,
3< x
< ¥}?

Вариант № 30

1. В цеху имеется
25 станков, которые могут выполнять три
вида операций: А, В и С. Из них 10 станков
выполняют операцию А, 15 – В, 12 – С.
Операции А и В могут быть выполнены на
6 станках, А и С – на 5, В и С – на 3 станках.
Сколько станков могут выполнять все
три операции?

2. Верно или неверно
равенство:
=?

3. Привести примеры
множеств А,
В
и С
, для которых одновременно выполняются
равенства А
È
В
È
С =
А и
А 
В

С =
С.

4. Нарисовать
диаграмму Эйлера-Венна для множества
С.

5. Можно ли построить
взаимно-однозначное соответствие между
множеством действительных чисел отрезка
[0, 1] и множеством действительных чисел
интервала (0, 1)? Ответ обосновать.

 Готовое решение: Заказ №8391

 Тип работы: Задача

Статус:  Выполнен (Зачтена преподавателем ВУЗа)

 Предмет: Теория вероятности

 Дата выполнения: 16.09.2020

 Цена: 226 руб.

Чтобы получить решение, напишите мне в WhatsApp, оплатите, и я Вам вышлю файлы.

Кстати, если эта работа не по вашей теме или не по вашим данным, не расстраивайтесь, напишите мне в WhatsApp и закажите у меня новую работу, я смогу выполнить её в срок 1-3 дня!

Описание и исходные данные задания, 50% решения + фотография:

В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 5 отличников, 12 подготовленных хорошо, 5 – удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены. Отличники знают все 30 вопросов программы, хорошо подготовленные – 25, подготовленные удовлетворительно – 15, плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен плохо.

Решение.

Введём полную группу несовместных гипотез:

H₁ – случайно выбранный студент является отличником;

H₂ – случайно выбранный студент является хорошистом;

H₃ – случайно выбранный студент является троечником;

H₄ – случайно выбранный студент является двоечником.

Гипотезы образуют полную группу, так как их объединение есть достоверное событие. Вероятности гипотез, по классическому определению вероятности: .

Условные вероятности события А – взятый наугад студент группы сдаст экзамен – найдём, используя классическое определение вероятности.

Будем считать, что любой вопрос может попасться студенту с равной вероятностью. Всего число различных способа выбрать 2 вопроса из 30-и равно числу сочетаний из 30-и элементов по 2 элемента .

Отличник знает все 30 вопросов программы, следовательно, число пар вопросов, на которые он может ответить: .

Условная вероятность события A при справедливой гипотезе H₁: .

Хорошист знает 25 вопросов программы, следовательно, число пар вопросов, на которые он может ответить:

Материалы к промежуточному и итоговому контролю.

Примерный вариант контрольной работы

1. В студенческой группе 25 человек. Чтобы получить допуск на экзамен по данному курсу необходимо защитить курсовую работу, выполнить лабораторную работу и сдать зачет. 15 студентов защитили курсовую работу, 20 — выполнили лабораторную работу, 17 — сдали зачет. Защитили курсовую работу и выполнили лабораторную работу 12 человек. Защитили курсовую работу и сдали зачет 13 человек. Выполнили лабора- торную работу и сдали зачет 16 человек. Сколько студентов допущено к экзамену?
2. Сколько целых чисел между 1 и 401 делятся на 5 или на 7?
3. Нарисовать диаграммы Эйлера-Венна для следующих множеств: .
4. Имеет ли место равенство: .
5. Даны множества:A={1, 2, 3}; B={2, 3, 4}; С={1,2,3,4, 5,6}. Найдите элементы множеств:

а) ; б) ; c); д);

е); ж) ; з).

1. Докажите тождества, используя определения операций над множествами
2. . Изобразите Р₁ и Р₂ графически. Найдите . Проверьте с помощью матрицы , является ли отношение Р₂ рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным?

1. Построить бинарное отношение: рефлексивное, симметричное, не транзитивное.
2. Найти область определения, область значений отношения Р. Является ли отношение Р рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным?

1. Пусть отношения на A={a,b,c,d}, заданные матрицами. Осуществить операции над отношениями : . Определить свойства исходных и полученных отношей.

1. Пусть – множество степеней двойки; – множества четных чисел, . Гомоморфны (изоморфны) ли алгебры А и В, если: А=(N;+) и B=(;+) при отображении
2. Гомоморфны (изоморфны) ли алгебры А и В при отображении , если: А=(N;+), B=(;) при отображении (-остаток от деления на 5 суммы чисел)
3. Номер автомашины состоит из трех букв русского алфавита (30 букв) и трех цифр. Сколько существует различных номеров автомашин?
4. Из колоды в 36 карт наудачу берутся 6 карт.

1)Найти число различных способов взятия 6 карт.

2)Найти число различных способов взятия 6 карт, содержащих 3 тузов.

1. Местком состоит из 7 человек. Из своей среды он выбирает президиум в составе трех человек: председателя месткома, заместителя председателя месткома, секретаря месткома. Сколько существует различных способов образования президиума месткома?
2. Семнадцать девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?
3. На 10-ти карточках написаны буквы так, что из этих карточек можно составить слово МАТЕМАТИКА. Сколько существует различных 10-буквенных слов, которые можно образовать при помощи этих десяти карточек?
4. Сколькими способами можно выбрать 4 краски из имеющихся 7 различных?
5. По заданному десятичному числу получите номер логической функции в двоичном, восьмеричном и шестнадцатеричном кодах. Составьте таблицу истинности соответствующей логической (переключательной) функции. Определите СДНФ, СКНФ, символическую форму функции в десятичном и двоичном кодах. Минимизируйте функцию по кубу соседних чисел. Определите свойства функции и представьте вектор свойств в двоичном, восьмеричном и шестнадцатеричном кодах. Реализуйте функцию переключательной схемой и функциональными схемами в базисах И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Получите булевы производные по всем переменным. Представьте функцию в базисе Жегалкина.

№	Десятичное число
	241
	165
	55
	143
	253
	29
	183
	248
	234
	77

1. Для заданной булевой функции трех переменных

а) построить таблицу истинности, найти двоичную форму булевой функции и привести функцию к СДНФ и СКНФ;

б) найти двумя способами многочлен Жегалкина и ответить на вопрос, является ли данная функция линейной;

с) с помощью эквивалентных преобразований приведите функцию к ДНФ, КНФ, СДНФ и СКНФ.

1. Даны графы G₁ и G₂ . Найдите . Для графа найдите матрицы смежности, инцидентности, сильных компонент, маршрутов длины 2 и все маршруты длины 2, исходящие из вершины 1.

1. Найдите матрицы фундаментальных циклов, фундаментальных разрезов, радиус и диаметр, минимальное множество покрывающих цепей графа G. Является ли изображенный граф эйлеровым? Является ли изображенный граф планарным?

1. Задан неориентированный граф без петель из пяти вершин строками полуматрицы смежности в виде шестнадцатиричного числа, где первая цифра – первая строка, вторая цифра – вторая строка и т.д. Изобразите по заданному шестнадцатиричному числу граф в виде рисунка и определите степени всех вершин, цикломатическое и хроматическое число. Получите матрицу всех путей в графе длиной 2 путем возведения в квадрат соответствующей булевой матрицы (вместо суммирования используйется операция дизъюнкции).

№	Шестнадцатиричное число
	9221
	А321
	В331
	С421
	D431
	9431
	F631
	E631
	D521
	C431

Вопросы к экзамену:

1. Множество. Подмножество. Задание множеств. Сравнение множеств. Булеан.
2. Универсальное множество. Операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение, разность, кольцевая сумма). Диаграммы Венна.
3. Свойства операций над множествами.
4. Разбиения и покрытия. Мощность множества.
5. Кортеж. Прямое произведение. Унарное, бинарное, n-местное отношения.
6. Бинарное отношение. Область определения, область значений бинарного отношения. Обратное отношение. Образ. Прообраз.
7. Способы задания бинарных отношений. Тождественное и универсальное отношения. Диагональ. Полное отношение. Композиция бинарных отношений.
8. Свойства бинарных отношений.
9. Матрица бинарного отношения. Свойства матриц бинарных отношений.
10. Рефлексивные, симметричные, антисимметричные, транзитивные бинарные отношения.
11. Отношение эквивалентности и разбиения.
12. Отношения порядка. Линейный порядок и частичный порядок. Диаграммы Хассе. Лексикографический порядок.
13. Функции и отображения. Сюръекция, биекция, инъекция. Сложная функция. Обратная функция. Композиция функций.
14. Правила суммы и произведения.
15. Размещения, перестановки, сочетания без повторений.
16. Размещения, перестановки, сочетания с повторениями.
17. Метод включений и исключений.
18. Бином Ньютон, биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля.
19. Рекуррентные соотношения и производящие функции.
20. Числа Стирлинга и их свойства.
21. Операции и алгебры.
22. Морфизмы.
23. Алгебры с одной и двумя операциями.
24. Векторные пространства.
25. Решетки.
26. Основные понятия: граф, простой граф, полный граф, однородный граф, мультиграф, псевдограф. Степень вершины. Виды вершин. Ребра графа.
27. Подграф, надграф, частичный граф. Изоморфизм.
28. Операции над графами: дополнение, объединение, пересечение, сумма по модулю два, произведение.
29. Способы задания графов: аналитический, графический, матричный. Матрица смежности. Матрица инцидентности.
30. Понятия маршрута, цепи, простой цепи, цикла, простого цикла.
31. Связный граф. Степень связности.
32. Матрица расстояний, эксцентриситеты вершин, радиус, диаметр, центр графа. Переферийные и центральные вершины.
33. Эйлеров цикл. Критерий Эйлера. Алгоритм построения эйлерова цикла.
34. Гамильтоновы графы. Задача комивояжора. Двудольные графы.
35. Плоский граф. Изоморфизм. Планарный граф. Внутрення и внешняя грани в двудольном графе. Теорема Эйлера о плоских графах.
36. Гомеоморфизм. Подразбиение и надразбиение ребра. Теорема о том, что К5 и К3,3 не планарны. Критерий Понтрягина-Куратовского.
37. Дерево и лес. Теорема о характеризации деревьев. Остовы графа. Цикломатическое число. Мост. Разделяющее множество. Разрез.
38. Раскраска графа. Хроматическое число графа.
39. Понятие орграфа. Матрица смежности вершин и дуг. Матрица инциденций. Степень вершин орграфа. Изоморфизм.
40. Маршруты, цепи, циклы в орграфах.
41. Связность орграфа: сильно связный, слабосвязный и несвязный орграф.
42. Эйлеровы цепи и циклы в орграфе.
43. Полный орграф.
44. Операции в орграфе. Орграфы и бинарные отношения. Диаграммы Хассе.
45. Взвешенный граф. Нахождение кратчайщих маршрутов.
46. Понятие о переключательных функциях.
47. Двоичные переключательные функции и способы их задания.
48. Основные бинарные логические операции (конъюнкция, дизъюнкция, инверсия, импликация, эквиваленция, сумма по модулю два, стрелка Пирсона, штрих Шеффера). Булева алгебра.
49. Понятие о переключательных схемах и технической реализации ПФ.
50. Использование логических операций в теории графов.
51. Основные законы булевой алгебры ПФ.
52. Равносильные преобразования. Упрощение формул алгебры ПФ.
53. Дизъюнкт. Конъюнкт. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы (ДНФ и КНФ).
54. Алгоритм приведения формулы к ДНФ и КНФ.
55. Совершенная дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы (СДНФ и СКНФ). Конституента единицы. Конституента нуля.
56. Алгоритмы нахождения СДНФ и СКНФ.
57. Цель минимазации переключательных функций. Основные понятия и определения, используемые при минимизации.
58. Аналитические методы минимизации ПФ (метод Квайна, Метод Квайна — Мак-Класки).
59. Минимизация ПФ по картам Карно.
60. Минимизация ПФ МНК.
61. Замкнутые классы. Классы T0 , T1 , S , M, L.
62. Понятие функциональной полноты. Полные системы булевых функций. Теорема Поста.
63. Многочлены Жегалкина. Теорема Жегалкина. Методики представления булевой функции в виде многочлена Жегалкина.
64. Базисы представлений ПФ.

Методические рекомендации преподавателю:

При проведении практических занятий по дискретной математике рекомендуется:

• уделять внимание разбору теоретических задач, предлагаемых на лекциях и на семинарских занятиях;
• уделять внимание краткому повторению теоретического материала, который используется при решении упражнений и задач;
• осуществлять регулярную проверку домашних заданий;
• ставить проблемные вопросы, по возможности использовать примеры и задачи с практическим содержанием;
• использовать при проведении практических занятий активные методы обучения;
• развивать математическую интуицию и логику у студентов.

Методические указания студентам:

Учиться преодолевать самый высокий уровень непонимания материала («непонятно, что непонятно»).

При разборе примеров в аудитории или при выполнении домашних заданий целесообразно каждый шаг обосновывать теми или иными теоретическими положениями.

При изучении теоретического материала не задерживать внимание на трудных и непонятных местах, смело их пропускать и двигаться дальше, а затем возвращаться к тому, что было пропущено (часто последующее проясняет предыдущее).

При чтении учебников и лекционных материалов активно отмечать карандашом непонятные места. Карандаш легко стирается, когда вопрос можно снять.

С первых студенческих дней конструировать собственный стиль понимания сути изучаемого материала. Математические дисциплины в этой ситуации являются наиболее успешным полигоном.

Дисциплина «Дискретная математика» изучается в течение одного семестра на первом курсе специальности «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети».

Методика изучения дисциплины строиться из следующих элементов:

— теоретическая часть (лекция);

— семинарские занятия;

— самостоятельная работа с дополнительной литературой и конспектами лекций;

— домашние задание;

— промежуточный контроль;

— консультации;

— экзамен.

На лекционных занятиях даются основные понятия, постановки задач, методы их решения и анализа полученных результатов, рассматриваются примеры. Более углубленное изучение предмета выносится на самостоятельную работу.

Самостоятельная работа студентов. Аудиторная самостоятельная работа студентов по дисциплине выполняется на учебных занятиях под непосредственным руководством преподавателя и по его заданию. Она включает: текущие консультации; коллоквиум как форма контроля освоения теоретического содержания дисциплины (в часы консультаций); прием и разбор домашних заданий (в часы практических занятий).

Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия. Она включает: формирование и усвоение содержания конспекта лекций, а также самостоятельное изучение отдельных вопросов на базе рекомендованной преподавателем учебной литературы, включая информационные образовательные ресурсы (электронные учебники, электронные библиотеки); написание рефератов; подготовка к выступлению на конференции; подготовка к семинарам, их оформление; выполнение микроисследований; выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач, проведения типовых расчетов, расчетно-компьютерных и индивидуальных работ по отдельным разделам содержания дисциплины; компьютерный текущий самоконтроль и контроль успеваемости.

Для того, чтобы заработать то количество баллов, которое вы видите в тематическом плане дисциплины «Дискретная математика» по каждой теме, вам необходимо сделать задание по данной теме на оценку «отлично». В противном случае преподаватель имеет право снять несколько баллов. Снять баллы преподаватель может и за пропущенные семинарские или лекционные занятия.

Баллы, характеризующие успеваемость студента по дисциплине, набираются им в течение всего периода обучения за изучение дидактических единиц.

При выборе критериев оценки освоения студентом программы дисциплины в обязательном порядке учитывается: выполнение программы в части лекционных, практических занятий; выполнение предусмотренных программой аудиторных и внеаудиторных контрольных и иных письменных работ. Преподаватель осуществляет текущий контроль и выставляет рейтинговый балл по каждой контрольной точке модуля.

Максимальная сумма баллов, набираемая студентом по дисциплине (за один семестр), равна 100. Студент, набравший менее 60 баллов получает итоговую оценку – неудовлетворительно, от 61 до 75 – удовлетворительно, от 76 до 90 — хорошо, 91 и выше баллов — отлично.