Вариант 384 ларин егэ

Задание 1

Решите уравнение $$|5-x|+|x-1|=10.$$ Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите их сумму.

Ответ: 6

Скрыть

Избавимся от знака модуля в левой части данного уравнения. Для этого рассмотрим три случая.

1) $$xgeq5.$$ В таком случае $$|5 — x| = x — 5, |x — 1| = x — 1$$ и исходное уравнение принимает вид: $$x — 5 + x — 1 = 10.$$

Решаем полученное уравнение: $$2x — 6 = 10; 2x = 10 + 6; 2x = 16; x = frac{16}{2}; x = 8.$$ Поскольку $$8 > 5,$$ то данное значение $$x$$ является решением исходного уравнения.

2) $$1leq x < 5.$$ В таком случае $$|5 — x| = 5 — x, |x — 1| = x — 1$$ и исходное уравнение принимает вид: $$5 — x + x — 1 = 10. 4 = 10.$$

Следовательно, при таких значениях $$x$$ исходное уравнение решений не имеет.

3) $$x < 1.$$ В таком случае $$|5 — x| = 5 — x, |x — 1| = 1 — x$$ и исходное уравнение принимает вид: $$5 — x + 1 — x = 10.$$

Решаем полученное уравнение: $$6 — 2x = 10; 2x = 6 — 10; 2x = -4; x = -frac{4}{2}; x = -2.$$ Поскольку $$-2 < 1,$$ то данное значение $$x$$ является решением исходного уравнения.

Данное уравнение имеет два решения: $$x = 8$$ и $$x = -2.$$

$$8+(-2)=6$$

Задание 2

Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 4. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска?

Ответ: 0,5

Скрыть

Если выпало сначала 1 (вероятность $$frac{1}{6}$$), то потом должно выпасть от 4 до 6 (вероятность $$frac{3}{6}$$).

Если 2 $$(frac{1}{6}),$$ то от 3 до 6 $$(frac{4}{6});$$ если 3 $$(frac{1}{6}),$$ то от 2 до 6 $$(frac{5}{6});$$ если 4 $$(frac{1}{6}),$$ то любое.

Получим:

$$P(A)=frac{1}{6}cdotfrac{3}{6}+frac{1}{6}cdotfrac{4}{6}+frac{1}{6}cdotfrac{5}{6}+frac{1}{6}cdot1=frac{3+4+5+6}{36}=0,5$$

Задание 3

Ответ: 2

Скрыть

Из рисунка видно, что радиус окружности равен половине стороны AD. Найдем длину стороны AD из условия равенства суммы противоположных сторон в четырехугольнике, описанном вокруг окружности:

$$AD+BC=AB+DC=frac{P}{2}=11,$$

откуда

$$AD=11-BC=11-7=4,$$

и радиус вписанной окружности, равен:

$$r=frac{AD}{2}=frac{4}{2}=2.$$

Задание 4

Найдите значение выражения $$frac{3^{log_{sqrt[4]{3}}5}-2^{log_8 (26^3)}-10}{4^{4log_{16}5}-6}$$

Ответ: 31

Скрыть

$$3^{log_{sqrt[4]{3}}5}=3^{log_{3^{0,25}}5}=3^{frac{1}{0,25}cdotlog_3 5}=3^{log_3 5^4}=5^4=625$$

$$2^{log_8 26^3}=2^{frac{1}{3}log_2 26^3}=2^{log_2 (26^3)^{frac{1}{3}}}=26$$

$$4^{4log_{16}5}=4^{4cdotfrac{1}{2}log_4 5}=4^{log_4 5^2}=25$$

$$frac{625-26-10}{25-6}=31$$

Задание 5

Ответ: 225

Скрыть

Если принять за начальную длину ребра куба значение $$a,$$ то исходная площадь поверхности куба, составленная из сумм площадей всех 6 его граней, равна $$S=6a^2.$$ После того, как ребро увеличили в 15 раз, оно стало равным $$15a$$ и площадь поверхности стала равной

$$S_2=6cdot(15a)^2=6cdot225a^2$$.

Таким образом, площадь поверхности увеличилась в

$$frac{S_2}{S}=frac{6cdot225a^2}{6a^2}=225$$ раз.

Задание 6

Ответ: 2

Скрыть

На графике производной точка минимума — пересечение оси Ox при возрастании производной: $$-19;-12;2.$$

На $$[-20;-1]$$ лежит 2 из них.

Задание 7

Ответ: 70

Скрыть

$$R=frac{2In+Op+3Tr+Q}{A}.$$

$$0,5=frac{2cdot5+5+3cdot5+5}{A}=frac{35}{A},$$

откуда

$$A=frac{35}{0,5}=70.$$

Задание 8

Две машинистки, начав одновременно, отпечатали рукопись. Оказалось, что вторая машинистка отпечатала 80 страниц. За то время, за которое первая машинистка отпечатала бы 80 страниц, вторая отпечатает на 36 страниц меньше, чем отпечатала первая из законченной рукописи. Сколько страниц содержит рукопись?

Ответ: 180

Скрыть

Пусть первая печатает $$x$$ страниц в единицу времени, вторая $$y$$ страниц. Всего в рукописи $$S$$ страниц. Получим:

$$left{begin{matrix} frac{S-80}{x}=frac{80}{y}\ frac{80}{x}=frac{S-80-36}{y} end{matrix}right.$$

Поделим первое уравнение на второе:

$$frac{S-80}{x}:frac{80}{x}=frac{80}{y}:frac{S-116}{y}Leftrightarrowfrac{S-80}{80}=frac{80}{S-116}Leftrightarrow$$

$$Leftrightarrow(S-80)(S-116)=80^2Leftrightarrow S^2-196S+9280-6400=0Leftrightarrow$$

$$Leftrightarrow S^2-196S+2880=0$$

$$frac{D}{4}=98^2-2880=6724=82^2$$

$$S_1=frac{98+82}{1}=180$$

$$S_2=frac{98-82}{1}=16<80$$

Задание 9

Ответ: -1,9

Скрыть

График проходит через $$(-1;-1); (-2;0)$$ и $$(-4;-4).$$

Получим:

$$left{begin{matrix} -1=frac{acdot(-1)+b}{-1+c}\ 0=frac{acdot(-2)+b}{-2+c}\ -4=frac{acdot(-4)+b}{-4+c} end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} -1=frac{b-a}{c-1}\ 0=frac{b-2a}{c-2}\ -4=frac{b-4a}{c-4} end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} 1-c=b-a\ b-2a=0\ 16-4c=b-4a end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} 1-c=2a-a\ b=2a\ 16-4c-b=-4a end{matrix}right.Leftrightarrow$$

$$Leftrightarrowleft{begin{matrix} c=1-a\ b=2a\ 16-4+4a-2a=-4a end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} a=-2\ b=-4\ c=3 end{matrix}right.$$

Получим:

$$y=frac{-2x-4}{x+3}.$$

$$y(17)=frac{-34-4}{17+3}=frac{-38}{20}=-1,9$$

Задание 10

Ответ: 34,5

Скрыть

$$990+6+3+1=1000$$ — всего билетов

$$frac{990}{1000}=0,99$$ — шанс купить билет с выигрышем 10 руб.

$$0,006;0,003;0,001$$ — остальные билеты

$$990cdot0,99+6cdot0,006+3cdot0,003+0,001=15,5$$ — математическое ожидание

$$50-15,5=34,5$$

Задание 11

Найдите точку максимума функции $$y=x^2cdot e^x.$$

Ответ: -2

Скрыть

$$y=x^2cdot e^xRightarrow y’=(x^2)’e^x+(e^x)’x^2=2xe^x+e^xx^2=e^xx(2+x)=0$$

$$left[begin{matrix} x=0\ 2+x=0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft[begin{matrix} x=0\ x=-2 end{matrix}right.$$

$$y'(-3)=e^{-3}cdot(-3)(2-3)>0$$

$$y'(-1)=e^{-1}cdot(-1)(2-1)<0$$

$$y'(1)=e^{1}cdot1cdot(2+1)>0$$

Тогда $$x=-2$$ — точка максимума

А) Решите уравнение $$2^{sin(frac{pi}{2}-x)}-2cdot(frac{1}{2})^{2cos^2x}=0$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[3pi;frac{9pi}{2}]$$

В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник АВС со сторонами АВ=ВС, АС=$$4sqrt{2}$$. На ребре ВВ₁ выбрана точка К так, что ВК:В₁К=2:3. Угол между плоскостями АВС и АКС равен 45^o.

А) Докажите, что расстояние между прямыми АВ и А₁С₁ равно боковому ребру призмы.

Б) Найдите расстояние между прямыми АВ и А₁С₁, если КС=8.

На окружности $$omega$$ отмечены точки M, N, K таким образом, что MN — диаметр, а К — середина дуги MN. Точка Е — середина хорды МК. Точка В — середина дуги KN, не содержащей точку М. Через точку Е проведена хорда АВ.

А) Докажите, что АЕ:ВЕ=1:3

Б) В окружность $$omega$$ вписан прямоугольник ABCD. Найдите его площадь, если $$MN=3sqrt{7}$$

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых система

$$left{begin{matrix} x+sqrt{y-a-3}=0\ y^2-x^2=(a+1)(2x+a+1) end{matrix}right.$$

имеет ровно два решения

Бесконечная последовательность натуральных чисел $$left{a_nright}$$ задана следующим соотношением: $$a_1=2, a_{n+1}=a_n+r_n,$$ где $$r_n$$ — последняя цифра числа $$4^n,$$ для всех $$ngeq1.$$

А) Найдите формулу для члена $$a_n$$ этой последовательности.

Б) При каких значениях $$n$$ член последовательности $$a_n$$ является точным квадратом?

В) При каких значениях $$n$$ член последовательности $$a_n$$ является степенью числа 2?

(Автор задачи Сергей Андреевич Тюрин)

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

384-13.ggb [10.82 KIB]

Скачиваний: 306

Выкладываю подробное решение задачи 15, выполненное с использованием индуктивного метода умозаключения.