Векторы в задачах егэ

Сайты, меню, вход, новости

Найдите квадрат длины вектора .

Стороны правильного треугольника ABC равны . Найдите длину вектора  + .

Найдите сумму координат вектора .

Вектор  с началом в точке A(2, 4) имеет координаты (6, 2). Найдите ординату точки B.

Вектор  с концом в точке B(5, 3) имеет координаты (3, 1). Найдите абсциссу точки A.

Вектор  с концом в точке B(5, 4) имеет координаты (3, 1). Найдите сумму координат точки A.

Найдите квадрат длины вектора  + .

.  Найдите квадрат длины вектора .

Найдите длину вектора (6; 8).

Найдите квадрат длины вектора .

Стороны правильного треугольника равны . Найдите длину вектора .

Стороны правильного треугольника равны 3. Найдите длину вектора .

Стороны правильного треугольника равны 3. Найдите скалярное произведение векторов  и .

. Найдите сумму координат вектора .

. Вектор  с началом в точке (2; 4) имеет координаты (6; 2). Найдите абсциссу точки .

Вектор  с началом в точке (2; 4) имеет координаты (6; 2). Найдите ординату точки .

Вектор  с началом в точке (3; 6) имеет координаты (9; 3). Найдите сумму координат точки .

Вектор  с концом в точке (5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите абсциссу точки .

Вектор  с концом в точке (5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите ординату точки .

Вектор  с концом в точке (5; 4) имеет координаты (3; 1). Найдите сумму координат точки .

Найдите сумму координат вектора  + .

Найдите квадрат длины вектора  + .

. Найдите сумму координат вектора .

Найдите квадрат длины вектора .

Найдите скалярное произведение векторов  и .

Найдите угол между векторами  и . Ответ дайте в градусах.

Найдите сумму координат вектора  + .

Найдите квадрат длины вектора  + .

Найдите сумму координат вектора .

Найдите квадрат длины вектора .

Найдите скалярное произведение векторов  и .

Найдите угол между векторами  и . Ответ дайте в градусах.

Найдите длину вектора .

Найдите длину вектора .

Стороны правильного треугольника ABC равны 33. Найдите длину вектора .

Стороны правильного треугольника ABC равны 35. Найдите скалярное произведение векторов  и .

Вектор с началом в точке имеет координаты . Найдите абсциссу точки B.

Вектор с началом в точке имеет координаты . Найдите сумму координат точки B.

39. Вектор с концом в точке имеет координаты . Найдите ординату точки A.

Контрольная работа «ВЕКТОРА»

ВАРИАНТ  1

1.    
 Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра  + .

 

2.    
Сто­ро­ны пра­виль­но­го

 тре­уголь­ни­ка  равны .

 Най­ди­те
длину век­то­ра .

3.    
Най­ди­те длину от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го

точки A(6;
и (−2; 2).

4.    
 Най­ди­те угол между век­то­ра­ми  и .

 Ответ дайте

 в гра­ду­сах.

5.    
 Диа­го­на­ли изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке

 ромба равны 12 и
16.

 Най­ди­те длину век­то­ра  + .

6.    
Точки O(0; 0), A(10; 8), C(2;
6) и B яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те
абс­цис­су точки B.

Контрольная работа «ВЕКТОРА»

ВАРИАНТ  2

1. Най­ди­те
квад­рат длины век­то­ра .

2.
Точки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2) и C яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма.
Най­ди­те абс­цис­су точки C.

3.  Най­ди­те квад­рат
длины век­то­ра .

4.  Две сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка  равны
6 и 8. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке .Най­ди­те
длину раз­но­сти век­то­ров  и .

5.  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A с ко­ор­ди­на­та­ми
(6; до оси ор­ди­нат.

6. Най­ди­те угол между

 век­то­ра­ми  и .

Ответ
дайте в гра­ду­сах.

Контрольная работа «ВЕКТОРА»

	Вариант  1	Вариант  2
1	200	40
2	6	2
3	10	40
4	45	8
5	16	6
6	8	45

Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с². Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B. Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B, то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или .

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами: .

Здесь в скобках записаны координаты вектора — по x и по y.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

к оглавлению ▴

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов. и

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.

При сложении векторов и получаем:

;

.

к оглавлению ▴

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

к оглавлению ▴

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

к оглавлению ▴

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

.

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

.

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

.

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе вуза.

---

к оглавлению ▴

Онлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»

— Теория: учебник Анны Малковой + 70 ч. видеоразборов.
— 144 ч. мастер-классов: 8 онлайн мастер-классов с Анной Малковой в месяц.
— Тренажер для отработки задач ЕГЭ (800+ задач): автоматическая + ручная проверки.
— Связь с Анной Малковой (чаты и почта).
— 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно.
— Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям.
— Личный кабинет.

ПОДРОБНЕЕ

---

Тема «Векторы на координатной плоскости» достаточно подробно рассматривается в рамках школьного курса учащихся старших классов. Однако практика показывает, что, сталкиваясь с нетипичным заданием, выпускники часто теряются и не могут быстро найти правильный ответ.

Чтобы задачи, в которых требуется построить векторы на координатной плоскости, не вызывали сложностей при написании профильного уровня ЕГЭ по математике, необходимо понять, как они решаются.

Вместе с образовательным порталом «Школково» подготовка к прохождению аттестационного испытания будет легкой и качественной! Сайт поможет учащимся выявить пробелы в знаниях и успешно справиться с аттестационным испытанием.

Чтобы разобраться в теме «Координаты вектора на координатной плоскости», рекомендуем вначале вспомнить весь базовый материал. Он представлен в разделе «Теоретическая справка». Учащиеся смогут освежить в памяти основные теоремы, свойства координат вектора, определение скалярного произведения векторов и другие понятия, которые помогут при решении заданий ЕГЭ.

Для того чтобы закрепить усвоенный материал, мы рекомендуем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач по теме «Векторы на координатной плоскости», а также по правилам сложения и вычитания векторов представлена в разделе «Каталог». Для качественной подготовки к ЕГЭ лучше всего переходить от простых упражнений к более сложным. В каждом задании на сайте представлен алгоритм решения и дан правильный ответ.

Практиковаться в выполнении задач выпускники из Москвы и других российских городов могут в онлайн-режиме. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем к этому заданию можно будет вернуться и, к примеру, обсудить алгоритм его решения с преподавателем.

Задачи с векторами — ЕГЭ по математике

09.11.2015

Решённые задания открытого банка заданий ЕГЭ по математике на тему «Задачи с векторами».

Напомним, что ФИПИ создан открытый банк заданий по математике. В нашем документе содержатся эти задания, к каждому из которых приложен правильный ответы.

Разбор заданий ОБЗ помогает в качественной подготовке к ЕГЭ по математике.

Автор-составитель: Александр и Наталья Крутицких.

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.

Добавить комментарий

Комментарии без регистрации. Несодержательные сообщения удаляются.