Виды 7 задания в егэ по математике профиль - Exhelper.top

На рисунке изображен график функции определенной на интервале Определите количество целых точек, в которых производная функции  отрицательна.

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Ответ:

На рисунке изображен график функции определенной на интервале Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Ответ:

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Ответ:

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−1; 13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Ответ:

На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 3). В какой точке отрезка [−3; 1]  f(x), принимает наименьшее значение?

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 6). В какой точке отрезка [−5;−1] f(x) принимает наименьшее значение?

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−15; 2). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−11;0].

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2].

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 10). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−3; 8].

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Ответ:

На рисунке изображен график   — производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−5; 4].

Ответ:

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Ответ:

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). В какой точке отрезка [−6; −1] функция f(x) принимает наибольшее значение?

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13;1].

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].

Ответ:

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−3; 9) . Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Ответ:

На рисунке изображен график функции y  =  f(x),определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Ответ:

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Ответ:

На рисунке изображён график   — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x₁, x₂, x₃, …, x₈. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?

Ответ:

На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ:

На рисунке изображён график функции y = f(x) и семь точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, …, x₇. В скольких из этих точек производная функции положительна?

Ответ:

На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ:

На рисунке изображен график функции и отмечены точки −1, 1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ:

На рисунке изображен график функции и отмечены точки -2, -1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ:

На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ:

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y  =  f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂, x₃, …, x₉. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

Ответ:

На рисунке изображён график функции   — производной функции f(x) определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).

Ответ:

На рисунке изображён график функции y  =  f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Ответ:

На рисунке изображён график производной y  =  f’(x) функции y  =  f(x), определённой на интервале (−4; 8). В какой точке отрезка [−3; 1] функция y  =  f(x) принимает наименьшее значение?

Ответ:

Функция y  =  f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x₀, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−5) ≥ f (5).

Ответ:

На рисунке изображен график функции   — производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 6). В какой точке отрезка [−2; 4] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Ответ:

На рисунке изображен график производной функции y = f(x). При каком значении x эта функция принимает свое наибольшее значение на отрезке [−4; −2]?

Ответ:

На рисунке изображён график функции y = f(x) и семь точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, …, x₇. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?

Ответ:

На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Ответ:

На рисунке изображён график y = f ’(x)  — производной функции f(x), определённой на интервале (−3; 11). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ:

На рисунке изображён график y = f '(x)  — производной функции f (x), определённой на интервале (−5; 10). Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ:

На рисунке изображён график функции y = f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, …, x₈. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?

Ответ:

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y  =  f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂, …, x₉. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y  =  f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

Ответ:

На рисунке изображён график функции и шесть точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Ответ:

На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ:

На рисунке изображён график функции и двенадцать точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀, x₁₁, x₁₂. В скольких из этих точек производная функции положительна?

Ответ:

100

101

102

На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−8; 5). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Ответ:

103

На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Ответ:

104

На рисунке изображен график y  =  f ‘(x)  — производной функции f(x), определенной на интервале (−17; 5). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−15; 0].

Ответ:

105

На рисунке изображен график y  =  f ‘(x)  — производной функции f(x), определенной на интервале (−12; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−8; 9].

Ответ:

106

На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Ответ:

107

Ответ:

108

109

110

111

112

113

114

115

На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ:

116

На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ:

117

118

На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−3; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Ответ:

119

На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−3; 11). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Ответ:

120

121

122

На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−2; 12). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Ответ:

123

На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−11; 2). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Ответ:

124

На рисунке изображён график функции y = f'(x)  — производной функции f (x), определённой на интервале (−3; 10). В какой точке отрезка [0; 4] функция f (x) принимает наибольшее значение.

Ответ:

125

126

127

128

129

130

На рисунке изображён график функции определённой на интервале (−5; 7). Найдите наименьшее значение функции f(x) на отрезке [1; 6,5].

Ответ:

131

На рисунке изображён график   — производной функции определенной на интервале (−11; 2). В какой точке отрезка [−9; 1] функция принимает наибольшее значение?

Ответ:

132

На рисунке изображён график   — производной функции определенной на интервале (−5; 6). В какой точке отрезка [−3; 4] функция принимает наибольшее значение?

Ответ:

133

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−2; 10). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Ответ:

134

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−1; 13). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Ответ:

135

136

На рисунке изображён график функции   — производной функции f(x), определённой на интервале (−2; 10). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y  =  x − 17 или совпадает с ней.

Ответ:

137

На рисунке изображён график функции определённой на интервале (−9; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ:

138

На рисунке изображён график функции определённой на интервале (−7; 5). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ:

139

140

141

Ответ:

142

На рисунке изображён график   — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены десять точек: x₁, x₂, x₃, …, x₁₀. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?

Ответ:

Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.

Источник

Производная и первообразные функции

В задании №7 профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо продемонстрировать знания функции производной и первообразной. В большинстве случаев достаточно просто определения понятий и понимания значений производной.

Разбор типовых вариантов заданий №7 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂, …, x₉. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y = f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

[/su_note]

Алгоритм решения:

Рассматриваем график функции.
Ищем точки, в которых функция убывает.
Подсчитываем их количество.
Записываем ответ.

Решение:

1. На графике функция периодически возрастает, периодически убывает.

2. В тех интелвалах, где функция убывает, производная имеет отрицательные значения.

3. В этих интервалах лежат точки x₃, x₄, x₅, x₉. Таких точек 4.

Ответ: 4.

Второй вариант задания (из Ященко, №4)

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке изображён график функции у = f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

[/su_note]

Алгоритм решения:

Рассматриваем график функции.
Рассматриваем поведение функции в каждой из точек и знак производной в них.
Находим точки в наибольшим значением производной.
Записываем ответ.

Решение:

1. Функция имеет несколько промежутков убывания и возрастания.

2. Там, где функция убывает. Производная имеет знак минус. Такие точки есть среди указанных. Но на графике есть точки, в которых функция возрастает. В них производная положительная. Это точки с абсциссами -2 и 2.

3. Рассмотрим график в точках с х=-2 и х=2. В точке х=2 функция круче уходит вверх, значит касательная в этой точке имеет больший угловой коэффициент. Следовательно, в точке с абсциссой 2. Производная имеет наибольшее значение.

Ответ: 2.

Третий вариант задания (из Ященко, №21)

[su_note note_color=”#defae6″]

Прямая является касательной к графику функции . Найдите а.

[/su_note]

Алгоритм решения:

Приравняем уравнения касательной и функции.
Упрощаем полученное равенство.
Находим дискриминант.
Определяем параметр а, при котором решение единственное.
Записываем ответ.

Решение:

1. Координаты точки касания удовлетворяют обоим уравнениям: касательной и функции. Поэтому мы можем приравнять уравнения. Получим:

2. Упрощаем равенство, перенеся все слагаемые в одну сторону:

3. В точке касания должно быть одно решение, поэтому дискриминант полученного уравнения должен равняться нулю. Таково условие единственности корня квадратного уравнения.

4. Получаем:

Ответ: 4.

Даниил Романович | Просмотров: 11.8k

Источник

Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

$f'(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$

Дифференцированием называют операцию нахождения производной.

Таблица производных некоторых элементарных функций

Функция	Производная
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^{n-1}$
${1}/{x}$	$-{1}/{x^2}$
$√x$	${1}/{2√x}$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	${1}/{x}$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	${1}/{cos^2x}$
$ctgx$	$-{1}/{sin^2x}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$

Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

$f'(x) = (3x^5 )’-(cos x)’ + ({1}/{x})’ = 15x^4 + sinx — {1}/{x^2}$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$

Найти производную $f(x)=4x·cosx$

$f'(x)=(4x)’·cosx+4x·(cosx)’=4·cosx-4x·sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)’·e^x-5x^5·(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$

$f(x)= cos(5x)$

$f'(x)=cos'(5x)·(5x)’=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

$v(t) = x'(t)$

Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

Решение:

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

$3t-3 = 12$

$3t = 15$

$t = 5$

Ответ: $5$

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

$k = tgα$

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

$f'(x_0) = k$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f'(x_0) = k = tgα$

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Решение:

Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$

Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.

Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$

$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$

Ответ: $0,25$

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.

В ответ запишите количество данных точек.

Решение:

Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.

В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.

Ответ: $2$

Источник

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 5 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 61.5%
Ответом к заданию 7 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.

Разбор сложных заданий в тг-канале

Задачи для практики

Задача 1

На рисунке изображён график функции $y=f'(x)$ производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-7;4)$. В какой точке отрезка $[-3;2]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

Решение

На отрезке $[-3; 2]$ производная $y = f′(x)$ равна нулю в точке $x = -2$ и при переходе через неё меняет свой знак с «+» на «-», поэтому точка $x = -2$ — точка максимума функции на отрезке $[−3; 2]$. Так как она, кроме того, единственная точка экстремума на отрезке $[−3; 2]$, то в ней функция принимает наибольшее значение на данном отрезке.

Ответ: -2

Задача 2

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Решение

По рисунку определяем, что касательная проходит через точки $A(-2; 2)$ и $B(-1; 0)$. Построим прямоугольный треугольник $ABC$ , где $C$ имеет координаты (-2; 0). Заметим, что прямая AB образует с положительным направлением оси Ox тупой уголα. Учитывая, что $f′(x_0) = tgα$, имеем $tgα = tg(180° — ∠ABC ) = — tg ∠ABC = -{AC}/{BC} = -{2}/{1} = -2$.

Ответ: -2

Задача 3

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $-7$; $-5$; $-1$;$1$. В какой из этих точек значение производной наибольшее?

Решение

Проводим касательные к графику в точках с указанными абсциссами (см. рис.).

Определяем, под каким углом $α$ они наклонены к положительному направлению оси $Ox$.

Согласно геометрическому смыслу производной $f'(x_0)=tg α$, то есть значения тангенсов построенных углов — это и есть значения производной в указанных точках

Замечаем, в точках $-7$ и $1$ касательные наклонены под острым углом, поэтому в этих точках значение производной положительно.

Учитывая, что касательная, проведённая к графику функции в точке с абсциссой $1$, образует больший угол с положительным направлении оси $Ox$, значит, значение производной в этой точке наибольшее.

Ответ: 1

Задача 4

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-6;9)$. Найдите промежутки возрастания функции $f(x)$. В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение

Так как производная функции $y = f′(x)$ положительна на промежутках $(-6; -3)$ и $(8,5; 9)$, то функция $y = f(x$) возрастает на этих промежутках. Длина наибольшего из них $(-6; -3)$ равна $-3 — (-6) = 3$

Ответ: 3

Задача 5

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-6;9)$. Найдите промежутки убывания функции $f(x)$. В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение

Так как на промежутке $(-3;8)$ производная функции $y=f'(x)$ отрицательна, то на этом промежутке функция $y=f(x)$ убывает. Длина этого промежутка равна $8-(-3)=11$.

Ответ: 11

Задача 6

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-8;5)$. Найдите промежутки убывания функции $f(x)$. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение

Так как на промежутке (-6.5; -3.5) производная функции y = f′(x) отрицательна, то на этом промежутке функция y = f (x) убывает. В этот промежуток входят целые точки: -6; -5; -4. Их сумма равна -15.

Ответ: -15

Задача 7

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-8;7)$. Найдите количество точек экстремума функции $f(x)$ на заданном интервале.

Решение

Из графика видно, что производная $f′(x)$ функции $f(x)$ равна нулю в пяти точках причём при переходе через эти точки она меняет знак. То есть на заданном промежутке таких точек $5: x_1 , x_2 , x_3 , x_4 , x_5$. Таким образом, функция $f (x)$ имеет $5$ точек экстремума на заданном промежутке.

Ответ: 5

Задача 8

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-7;7)$. Найдите количество решений уравнения $f'(x)=0$.

Решение

Производная функции y = f′(x) на интервале (-7; 7) равна нулю в 4-х точках, в которых касательная к графику функции y = f(x) параллельна оси абсцисс.

Ответ: 4

Задача 9

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-4;10)$. Найдите количество решений уравнения $f'(x)=0$ на интервале $(-4;3)$.

Решение

Так как угловой коэффициент касательной $k = tg α = f′(x_0) = 0$, то это означает, что касательная к графику данной функции параллельна оси абсцисс.

На интервале $(-4; 3)$ построены три касательные, параллельные оси абсцисс.

Ответ: 3

Задача 10

Прямая $y=38x-28$ параллельна касательной к графику функции $y=3x^2+8x-2$. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = 3x^2+8x-2$ в некоторой точке $x_0$ равен $y′(x_0). y′ = (3x^2 + 8x — 2)′ = 6x + 8$, значит, $y′(x_0) = 6x_0+8$. Угловой коэффициент прямой $y = 38x-28$ равен $38$. По условию, эта прямая параллельна касательной, значит, их угловые коэффициенты равны. Найдём значение $x_0$ из условия $6x_0 + 8 = 38, x_0 = 5$.

Ответ: 5

Задача 11

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, … , $x_8$, $x_9$, $x_{10}$. Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции $f(x)$?

Решение

Так как производная функции $y = f′(x)$ отрицательна в точках $x_1, x_2, x_3$ и $x_8, x_9, x_{10}$, то на промежутках убывания лежат $6$ точек.

Ответ: 6

Задача 12

Решение

Так как производная $y=f'(x)$ положительна в точках $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, а в остальных точках — отрицательна, то на промежутке возрастания лежат $4$ точки.

Ответ: 4

Задача 13

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и восемь точек на оси абсцисс: $x_1$, $x_2$, $x_3$, … ,$x_8$. В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ отрицательна?

Решение

Производная отрицательна только в тех точках, которые принадлежат промежуткам убывания функции, если касательные в них не горизонтальны. Таких точек $3: x_3, x_5, x_8$.

Ответ: 3

Задача 14

Материальная точка движется прямолинейно по закону
$x(t)={1} / {3}t^3-{7} / {2}t^2-3t+5$, где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна $5$ м/с?

Решение

Найдём скорость движения материальной точки $v(t) = x′(t) = t^2-7t-3$.

Найдём в какой момент времени (в секундах) её скорость была равна $5$ м/с, решив уравнение $t^2-7t-3 = 5$.

$t^2 — 7t — 8 = 0$;

$t_1 + t_2 = 7$,

$t_1·t_2 = -8$.

$t_1 = 8, t_2 = -1$ не удовлетворяет условию задачи.

Скорость материальной точки была равна $5$ м/с в момент времени $8$ секунд.

Ответ: 8

Задача 15

Материальная точка движется прямолинейно по закону
$x(t)=t^2-t-12$, где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t=7$ с.

Решение

Согласно физическому смыслу производной, мгновенная скорость равна $v(t) = x′(t).
v(t) = (t^2-t-12)′ = 2t-1. v(7) = 2·7-1 = 13$. Скорость материальной точки была $13$ м/с в момент времени $7$ секунд.

Ответ: 13

Задача 16

На рисунке изображён график функции $y=g(x)$, определённой и дифференцируемой на интервале $(-8; 6)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику этой функции параллельна прямой $y=100$.

Решение

Построим прямую y = 100. По графику определяем, что касательная к графику функции y = g(x) параллельна прямой y = 100 в четырёх точках.

Ответ: 4

Задача 17

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой и дифференцируемой на интервале $(-6;7)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=4$.

Решение

Построим прямую $y=4$. По графику находим, что касательная к графику функции $y=f(x)$ параллельна прямой $y=4$ в $6$ точках (см. рис.).

Ответ: 6

ЕГЭ Профиль. Задание № 7

АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ

Задание № 7 проверяет умение использовать приобретённые математические знания и навыки в практической деятельности и повседневной жизни. Задание представляет собой задачу из разных разделов физики, которая решается с помощью уравнения или неравенства. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.

План выполнения

Внимательно прочитайте условие задачи.
Подставьте в данную формулу известные величины. Определите критерии выполнения условия.
Составьте уравнение или неравенство. Решите его на черновике.
Запишите полученное число в поле ответа КИМ и бланк ответов № 1.

Для выполнения данного задания можно воспользоваться также теоретическим материалом к заданиям № 1 и № 4.

1) Задачи на Линейные, квадратные,
степенные уравнения и неравенства

В заданиях этого типа используют линейные, квадратные и степенные зависимости физических величин. При подготовке необходимо повторить основные методы решения линейных, квадратных и степенных уравнений и неравенств. Подробные формулы для вычисления физических величин даны в условии задачи. Все величины должны быть выражены в указанных единицах измерения.

Задача № 7 (1). Мотоциклист, движущийся со скоростью v₀ = 12 км/ч, разгоняется с постоянным ускорением а = 6км/ч . Расстояние до мотоциклиста от исходной точки определяется по формуле S = v₀t + (at²)/2. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне 15 км от исходной точки. Ответ укажите в минутах.

Решение: Мотоциклист будет находиться в зоне, если S ≤ 15 км. Подставим данные в формулу:
S = 24t + (6t²)/2 ≤ 15 ⇔ 3t² + 12t – 15 ≤ 0 ⇔ t² + 4t – 5 ≤ 0 ⇔ –5 ≤ t ≤ 1.
Учитывая, что время — неотрицательная величина, получаем: 0 < t <1. Наибольшее время t = 1 ч = 60 мин.
Ответ: 60.
ПРИМЕЧАНИЕ: Ответ нужно указать в минутах.

Задача № 7 (2). Температура звёзд вычисляется по закону Стефана — Больцмана P = σST⁴, где Р — мощность излучения звезды (в ваттах), σ = 5,7 • 10^–8 Вт/(м²К⁴) – постоянная, S — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), Т — температура (в градусах Кельвина). Площадь поверхности звезды равна — 1/9 • 10²¹ м², мощность излучения 5,13 • 10²⁶ Вт. Найдите температуру звезды в градусах Кельвина.

Решение: Подставив значения, получаем: 5,7 • 10^–8 • 1/9 • 10²¹Т⁴ = 5,13 • 10²⁶;
Т⁴ = (5,13 • 10²⁶) / (5,7 – 10^–8 • 1/9 • 10²¹) = 8,1 • 10¹³;
Т = ⁴√[8,1 • 10¹³] = ⁴√[81 • 10¹²] = 3 • 10³ = 3000 (К).
Ответ: 3000.

2) Задачи на Рациональные и
иррациональные уравнения и неравенства

В заданиях этого типа используют рациональные и иррациональные зависимости физических величин. При подготовке необходимо повторить основные методы решения рациональных и иррациональных уравнений и неравенств.

Задача № 7 (3). Из–за эффекта Доплера частота звука зависит от скорости и меняется по закону f(v) = f₀ / (1 – v/c) (Гц), где с — скорость звука (с = 315 м/с). Первоначальная частота звука f₀ = 440 Гц. С какой минимальной скоростью приближался звук, если он отличался от первоначального не менее чем на 10 Гц? Ответ выразите в м/с.

Решение: Задача сводится к решению неравенства f(v) – f₀ ≥ 0 при f₀ = 440 Гц. Подставив значения, получим:
f₀ / (1 – v/c) – f₀ ≥ 10; ⇒ 440 / (1 – v/315) – 440 ≥ 10; ⇒
1 – v/315 ≤ 44/45; ⇒ v ≥ 315/45; ⇒ v ≥ 7 м/с.
Минимальная скорость равна 7.
Ответ: 7.
ПРИМЕЧАНИЕ: В задаче нужно найти минимальную скорость.

Задача № 7 (4). Батискаф, равномерно погружающийся вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 374 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле v = c • (f – f₀)/(f + f₀), где с = 1500 м/с — скорость звука в воде, f₀ — частота испускаемых импульсов, f — частота сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 4 м/с.

Решение: Задача сводится к решению уравнения при v = 4 (м/с). Подставив значения, получаем: 1500 • (f – 374)/(f + 374) = 4;
1500(f – 374) = 4(f + 374); ⇒ f = 376 (МГц).
Ответ: 376.
ПРИМЕЧАНИЕ: Будьте внимательны: в задаче нужно найти частоту отражённого сигнала.

3) Задачи на Показательные и
логарифмические уравнения и неравенства

Задача № 7 (5). При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон PV^k = 10⁵ Па•м⁵, где Р — давление в газе (в Па), V — объём газа (в м³), k = 2. Газ начинают сжимать. Какой наибольший объём V (в м³) будет занимать газ при давлении не ниже Р = 1,6 • 10 Па?

Решение: Из закона для идеального газа получаем: р = 10⁵/V^k = 10⁵/V². По условию задачи давление должно быть не ниже 1,6 • 10⁶ Па. Получим неравенство: 10⁵/V² ≥ 1,6 • 10° <=> V² ≤ 10⁵/(1,6 • 10⁶) <=> V² ≤ 1/16.
Учитывая, что V ≥ 0, приходим к решению V ≤ 1/4. Следовательно, наибольший объём будет равен V = 1/4 = 0,25.
Ответ: 0,25.

4) Задачи на Тригонометрические
уравнения и неравенства

Задача № 7 (6). Датчик преобразует электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = U₀sin(wt + φ), где t — время (в секундах), U₀ = 8 — напряжение (в вольтах), w = 160°/с — частота, φ = –10° — фаза. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 4 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) будет гореть лампочка на протяжении первой секунды после начала работы?

Решение: Подставив U = 4, получим 8 sin (160°t – 10°) = 4;
sin (160°t – 10°) = 1/2; 160°t – 10° = 30°; t = 0,25. Это значит, что в течение 0,25 с напряжение было меньше 4 В и лампочка не горела. Тогда на протяжении первой секунды лампочка будет гореть 1 – 0,25 = 0,75 с, то есть 75 % времени.
Ответ: 75.
ПРИМЕЧАНИЕ: Периодичность синуса можно не учитывать.

Тренировочные задания с самопроверкой

№ 7.1. При температуре 0°С рельс имеет длину l₀ = 10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t₀) = l₀(1 + a • t°), где a = 1,2 • 10^–5(°C)^–1 – коэффициент теплового расширения, t° –температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Открыть ОТВЕТ

№ 7.2. Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене р = 600 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют V = 400 руб., постоянные расходы предприятия составляют l = 900 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q) = q(p – V) – l. Определите месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 400 000 руб.

Открыть ОТВЕТ

№ 7.3. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1 + 8t – 5t², где h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?

Открыть ОТВЕТ

№ 7.4. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T(t) = Т₀ + bt + at², где t – время в минутах, Т₀ = 50 К, а = –0,25 К/мин2, b = 20 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 350 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Открыть ОТВЕТ

№ 7.5. . Груз массой 0,4 кг колеблется на пружине. Его скорость меняется по закону v = v₀ cos (2πt/T). где t – время с момента начала колебаний, Т = 2 с – период колебаний, v₀ = 0,3 м/с. Кинетическая энергия Е (в джоулях) груза вычисляется по формуле Е = mv²/2, где m – масса груза в килограммах, v – скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 4 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Открыть ОТВЕТ

Вы смотрели: ЕГЭ по математике Профиль. Задание 7: Уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

Источник

: ЕГЭ по математике профиль

Прототипы задания №7 ЕГЭ по математике профильного уровня — задачи с прикладным содержанием. Практический материал для подготовки к экзамену в 11 классе.

Для успешного выполнения задания №7 необходимо уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

Практика

Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору) — 2.1, 2.2

Уровень сложности задания — повышенный.

Максимальный балл за выполнение задания — 1

Примерное время выполнения задания выпускником, изучавшим математику на профильном уровне (в мин.) — 6

Связанные страницы:

Источник

Производная и первообразные функции

Разбор типовых вариантов заданий №7 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Алгоритм решения:

Решение:

Второй вариант задания (из Ященко, №4)

Алгоритм решения:

Решение:

Третий вариант задания (из Ященко, №21)

Алгоритм решения:

Решение:

Основные правила дифференцирования

Физический смысл производной

Геометрический смысл производной

Задачи для практики

Задача 1

Решение

Задача 2

Решение

Задача 3

Решение

Задача 4

Решение

Задача 5

Решение

Задача 6

Решение

Задача 7

Решение

Задача 8

Решение

Задача 9

Решение

Задача 10

Решение

Задача 11

Решение

Задача 12

Решение

Задача 13

Решение

Задача 14

Решение

Задача 15

Решение

Задача 16

Решение

Задача 17

Решение

Рекомендуемые курсы подготовки

ЕГЭ Профиль. Задание № 7

АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ

1) Задачи на Линейные, квадратные, степенные уравнения и неравенства

2) Задачи на Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства

3) Задачи на Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

4) Задачи на Тригонометрические уравнения и неравенства

Тренировочные задания с самопроверкой

Новое и интересное на сайте:

1) Задачи на Линейные, квадратные,
степенные уравнения и неравенства

2) Задачи на Рациональные и
иррациональные уравнения и неравенства

3) Задачи на Показательные и
логарифмические уравнения и неравенства

4) Задачи на Тригонометрические
уравнения и неравенства