Вопросы к экзамену численные методы

Вопросы к экзамену Численные Методы (МП-20,24,25; 2013/14 уч.г.)

1.Быстродействие ЭВМ и место теории численных методов в системе других областей знаний 2.Структура погрешности в численном анализе. Неустранимые погрешности.

3.Численное решение нелинейных уравнений. Метод дихотомии. Оценка скорости сходимости.

4.Метод Ньютона решения нелинейных уравнений. Оценка скорости сходимости. 5.Метод простых итераций решения нелинейных уравнений. Теорема о достаточных условиях сходимости. Оценка скорости сходимости.

6.Приближение функций, заданных таблично. Интерполяционный полином Лагранжа. Пример плохой сходимости по равноотстоящим узлам.

7.Приближение функций, заданных таблично. Интерполяционный полином Ньютона. Примеры плохой сходимости по равноотстоящим узлам.

8.Приближение функций интерполяционными полиномами. Погрешность интерполяции для гладких функций.

9.Многочлены Чебышева. Свойства многочленов Чебышева.

10.Применение многочленов Чебышева к задаче интерполяции.

11.Среднеквадратичное приближение. Метод наименьших квадратов. 12.Кусочная интерполяция. Примеры кусочно-линейной и кусочно-квадратичной

интерполяции.

13.Численное дифференцирование. Примеры для формул первой и второй производной. 14.Погрешность формул численного дифференцирования. Понятие аппроксимации. 15.Неустойчивость формул численного дифференцирования. Оптимальный шаг. 16.Оценка количества арифметических операций при вычислении полинома n-той степени 17.Численное интегрирование. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций,

Симпсона.

18.Погрешность квадратурных формул прямоугольников и трапеций (с выводом), формулы Симпсона (без вывода).

19.Контроль за точностью вычисления интеграла. Автоматический выбор шагов интегрирования.

20.Устойчивость квадратурных формул.

21.Вычисление несобственных интегралов (примеры).

22.Метод конечных разностей. Определение сходимости приближенного решения к точному.

23.Решение задачи Коши методом конечных разностей. Явный и неявный методы Эйлера. Метод Эйлера с пересчетом. Порядок точности методов. Методы Рунге-Кутты.

24.Аппроксимация разностной схемой дифференциальной краевой задачи. Необходимость устойчивости РС для решения корректной дифференциальной краевой задачи.

25.Прямые методы решения СЛАУ. Метод Гаусса с выбором главного элемента. 26.Оценка неустранимой погрешности решения СЛАУ. Число обусловленности матрицы

при решении СЛАУ. Пример.

27.Метод прогонки решения трехдиагональных СЛАУ. Формулы правой прогонки. 28.Метод прогонки решения трехдиагональных СЛАУ. Формулы левой прогонки. 29.Достаточные условия устойчивости метода прогонки. Количество арифметических

операций. Методы левой и встречной прогонок.

30.Анализ устойчивости ОДУ с малым параметром при старшей производной методом разностных гармоник и условия устойчивости прогонок.

31.Метод простых итераций решения СЛАУ. Теоремы о сходимости. Количество арифметических операций.

32.Итерационные методы Якоби и Зейделя. Условия сходимости.

33.Классификация уравнений с частными производными второго порядка. 34.Метод гармонических возмущений исследования устойчивости линейных

эволюционных уравнений.

35.Теорема о сходимости решения разностной задачи к решению дифференциального уравнения.

36.Краевая задача для уравнения теплопроводности.

37.Явная схема для уравнения теплопроводности. Аппроксимация и устойчивость. 38.Неявные схемы для уравнения теплопроводности. Аппроксимация и устойчивость. 39.Краевая задача для уравнения Пуассона. Итерационные методы решения уравнения

Пуассона.

40.Теорема о сходимости разностной задачи как следствие аппроксимации и устойчивости.

Вопросы к экзамену по курсу. Численные методы»

Вопросы к экзамену по курсу

«Численные методы»

Раздел I

1.Метод половинного деления и метод хорд для численного решения уравнений.

2.Метод Ньютона и метод итераций для численного решения уравнений.

3.Квадратурная формула Ньютона –Котеса для численного интегрирования. Метод трапеций и метод Симпсона.

4.Метод Гаусса для численного интегрирования.

5.Понятие интерполяции и экстраполяции. Интерполяционные формулы Ньютона.

6.Интерполяционная формула Лагранжа. Полиномы Чебышева и оптимальный выбор узлов интерполяции

7.Сплайн-интерполяция. Кубические сплайны.

8.Методы численного дифференцирования.

9.Аппроксимация по методу наименьших квадратов.

10.Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

11.Методы вычисления определителей и обращения матриц.

12.Решение системы линейных уравнений методом итераций. Метод Зейделя.

13. Решение системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей методом прогонки

14.Решение системы нелинейных уравнений методом итераций.

15.Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона.

16.Минимизация одномерной функции. Метод золотого сечения и метод Фибоначчи.

17. Методы отыскания экстремумов функции нескольких переменных

18.Методы Рунге-Кутта решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

19.Методы прогноза и коррекции решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

20.Метод Монте–Карло для вычисления определенных интегралов.

Раздел II

1. Алгоритм решения уравнения методом половинного деления с заданной точностью.

2. Алгоритм решения уравнения методом хорд с заданной точностью.

3. Алгоритм решения нелинейного уравнения методом итераций с заданной точностью.

4. Алгоритм решения нелинейного уравнения методом Ньютона с заданной точностью.

5. Алгоритм вычисления определенного интеграла методом Симпсона с заданной точностью.

6. Алгоритм вычисления определенного интеграла методом трапеций с заданной точностью.

7. Алгоритм 4-х точечного метода Гаусса для вычисления определенного интеграла.

8.  Алгоритм интерполяции по Лагранжу функции, заданной таблично на N равноотстоящих узлах.

9.  Алгоритм интерполяции кубическим сплайном функции, заданной таблично на N равноотстоящих узлах.

10.  Алгоритм 3-х точечного численного дифференцирования функции заданной таблично на N равноотстоящих узлах.

11. Алгоритм решения системы N линейных уравнений методом Гаусса.

12. Алгоритм вычисления определителя N-го порядка.

13.  Алгоритм отыскания обратной матрицы

14. Алгоритм решения системы 2-х нелинейных уравнений методом Ньютона.

15. Алгоритм минимизации функции одной переменной с заданной точностью методом золотого сечения

16. Алгоритм минимизации функции одной переменной с заданной точностью методом Фибоначчи

17. Алгоритм минимизации функции двух переменных с заданной точностью методом покоординатного спуска.

18. Алгоритм решения обыкновенного дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта 4-ого порядка

19. Алгоритм решения обыкновенного дифференциального по методу прогноза и коррекции Милна

20. Алгоритм вычисления площади круга методом Монте-Карло.

Сопутствующие материалы