Вопросы к экзамену по теории вероятности бгэу

Список вопросов:

1. Основные понятия: случайное  событие, вероятность, вероятностное пространство. Следствия определения вероятности.

2. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Задача о встрече.

3. Условная вероятность, формула умножения вероятностей, независимость случайных событий.

4. Формула полной вероятности и формула Байеса.

5. Одномерные случайные величины. Независимые испытания Бернулли.

6. Теоремы Муавра-Лапласа.

7. Теорема Пуассона.

8. Однородный пуассоновский поток случайных точек.

9. Функции распределения и их свойства. Дискретные и непрерывные случайные величины.

10. Преобразование случайных величин. Примеры: линейное преобразование, логарифмически нормальное распределение.

11. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия. Примеры: распределение Бернулли, Пуассона, нормальное, равномерное.

12. Интеграл Стильтьеса. Общее определение математического ожидания.

13. Математическое ожидание функции от случайной величины. Моменты случайной величины (моменты распределения).

14. Многомерные случайные величины, дискретные и непрерывные; функции распределения и их свойства.

15. Независимость случайных величин. Условные распределения.

16. Преобразование многомерных случайных величин.  Распределение суммы двух случайных величин.

17. Свойства математического ожидания. Примеры..

18. Свойства дисперсии. Примеры.

19. Числовые характеристики многомерных случайных величин.

20. Коэффициент корреляции и его свойства.

21. Свойства математического ожидания и дисперсионной матрицы.

22. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева.

23. Характеристические функции и их свойства.

24. Центральная предельная теорема. Доказательство для случая независимых одинаково распределенных слагаемых.

25. Примеры применения центральной предельной теоремы: оценка ошибок округления, расчет устройств со случайными параметрами. 

1. Основные понятия: случайное событие, вероятность, вероятностное пространство. Следствия определения вероятности.

Неформально: случайное событие А’ — это событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента. Иначе: случайное событие А’ — это предполо­жение относительно результата эксперимента.

Формальное определение: случайное событие А — это подмно­жество элементов из Ω: А Ω.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ:

1. Два случайных события А’ и В’ (два предположения) называются эквивалентными, если им соответствует одно и то же множество элемен­тарных исходов. Например, в эксперименте бросания игральной кости, случайные события А’= {появление нечетного числа} и В’ = {появление 1 или простого числа, не равного 2}. Этим двум случайным событиям соответствует одно и то же множе­ство исходов {1, 3, 5}, поэтому они эквивалентны.

2. Событие называется достоверным, если оно имеет место при лю­бом исходе эксперимента. Ему соответствует все множество Ω. Напри­мер, в эксперименте бросания игральной кости событие А = {появление числа, превышающего 0}.

3. Событие называется невозможным, если оно не реализуется ни при одном исходе эксперимента. Ему соответствует пустое множество . Например, в нашем эксперименте событие А = {появление числа, боль­шего 10}.

4. Событие С называется суммой (или объединением) событий А и В, если оно состоит в наступлении хотя бы одного из них и обозначается С = А + В или C = A B.

5. Событие С называется произведением событий А и В, если оно со­стоит в их одновременном наступлении; обозначается С=АВ или С = А В.

6. Два события называются несовместными, если их одновременное наступление невозможно: А В = .

7. Говорят, что «событие А влечет В», если каждый раз, когда на­ступает А, наступает и В. Обозначается

А=>В или А В.

8. Событие С называется разностью событий А и В, если оно состоит в появлении А и непоявлении В; обозначается С = А — В или С = АВ.

9. Событие называется противоположным к А, если оно состоит в непоявлении А.

10. Система событий {А₁,…, A_n} называется полной группой событий, если в результате эксперимента имеет место одно и только одно из них. Это означает: .

Вероятность

Предположим, имеется некоторый эксперимент, где Ω — множество его возможных исходов; А — некоторое случайное событие, например бросание игральной кости; А = {появление четного числа}.

Повторим n раз эксперимент и подсчитаем количество (частоту) появлений события A. Обозначим относительную частоту появления А.

Проделаем эксперимент много раз. Относительная частота с ростом n стабилизируется, частота стремится к некоторому предельному значению, обозначим его Р(А). Ес­ли мы зафиксируем другое случайное событие В, например В = {появле­ние «6»}, то мы снова заметим, что частота стабилизируется, но стремится к другому значению — обозначим его Р(В). Эти наблюдения говорят нам о том, что каждому случайному событию объективно со­ответствует некоторое число — предел, к которому стремится отно­сительная частота. Этот предел назовем вероятностью (точнее, стати­стической вероятностью).

Итак, неформально, физически (точнее, статистически), вероят­ность есть объективная характеристика случайного события, даю­щая представление о том, как часто появится событие при много­кратном повторении опыта.

Итак, статистическая вероятность — это предел для относительной частоты . Очевидны свойства статистической вероятности:

1) Р(А)≥0;

2) P(Ω)=1;

3) если А и В несовместны, т.е. , то Р(А+В) = Р(А)+Р(В), это следует из соотношения несовместности после деления на n и перехода к пределу.

В математической теории вероятность вводится следующим образом.

Аксиоматическое определение: числовая функция Р(А), введенная на подмножествах из Ω и удовлетворяющая свойствам 1, 2, 3, назы­вается вероятностью.

При таком подходе соотношения 1, 2, 3 являются аксиомами вероят­ности, аксиома 3 называется аксиомой сложения. Дополнительно пред­полагается, что аксиома 3 верна для счетного числа несовместных собы­тий:

3а) расширенная аксиома сложения. Если , то

.

Замечание. Механическим аналогом веро­ятности случайного события является вес соответствующего множества элементов, численно равный вероятности, причем вес Ω равен 1. Очевид­но, аксиомы 1, 2 и 3 для веса выполняются.

Вероятностное пространство

Математическая теория вероятностей изучает объект {Ω,S,P}, который называется вероятностным пространством, где Ω— пространство элементарных исходов эксперимента, числовая функция Р() и область определения этой функции — система S случайных собы­тий, т. е. система подмножеств из Ω.

Требования к S:

1) Ω∈S;

2) если , , то ;

2а) для счетного числа событий А₁, … , А_n, … , если , .

Если система S удовлетворяет свойствам 1, 2, 2а, она называется σ-алгеброй событий.

Следствия определения понятия вероятности

1. Вероятность невозможного события равна 0: .

Док-во: 1 = P(Ω) = P( ) = P(Ω) + P( ) = 1 + P( ), где 1-е равенство есть 2-я аксиома, а 3-е равенство верно по 3-й аксиоме.

2. Вероятность противоположного события равна 1 минус вероят­ность события A: Р( )=1-Р(А).

Док-во: 1 = P(Ω) = Р( ) = Р(А) + Р( ).

3. Вероятность любого события не превосходит 1: 0≤P(A)≤1.

Док-во: следует из предыдущего свойства и первой аксиомы.

4. Если А => В, то Р(А)≤Р(В).

Док-во: поскольку В = А ∪ (ВА) и события А и (ВА) несо­вместны, то Р(В) = Р(А) + Р(ВА) ≥ Р(А).

5. Формула сложения вероятностей. Для любых событий А и В: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ).

Док-во: А ∪ B = А ∪ (ВА), причем А и (ВА) несовместны, и потому Р(А∪B) = Р(А) + Р(ВА) (1).

Далее, B = АB ∪ (ВА), причем АВ и (ВА) несовместны и потому Р(В) = Р(АВ) +Р(ВА) (2).

Подставляя в (1) Р(ВА) из (2), получим искомое равенство.

Следствие. Р(А+В) ≤ Р(А) + Р(В).

5а (обобщение). Формула сложения для n слагаемых:

Справедливость формулы показывается методом математической ин­дукции.

2. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Задача о встрече.

Пусть эксперимент имеет конечное число исходов |Ω| = n, и все исходы «равноправны» (равновозможны, равновероятны). Это означает (в силу аксиом 2 и 3), что каждому исходу эксперимента соответствует одна и та же вероятность 1/n, и, следовательно, если |A|=k, то по 3-й аксиоме ,

что означает: вероятность события есть отношение числа исходов, бла­гоприятствующих появлению события, к общему числу исходов.

Это соотношение можно обобщить. Пусть S = {А₁, …, А_т} — полная группа событий (т.е. ). Пусть все события «равноправны» (равновозможны, равновероятны). Тогда каждому событию из S соответст­вует вероятность 1/т . Если событие В состоит из r событий системы S, то , т.е. отношение числа событий, входящих в В, к общему числу событий в S.

Геометрические вероятности

Ответы на вопросы к экзамену по теории вероятностей

1.Понятие случайного события: определение, равновозможные события, несовместные события, пространство элементарных событий. Математические модели испытаний.

Определение.
Событие А называется случайным, если
при осуществлении определенной
совокупности условий оно может либо
произойти, либо не произойти.

Определение.
События называются равновозможными,
если есть основания считать, что ни одно
из них не является более предпочтительным,
чем другое.

Определение.
Случайные события называются несовместными
(или взаимоисключающими), если в одном
и том же испытании появление одного из
них исключает появление других.

Пример:
выпадение пятёрки и тройки на верхней
грани игральной кости — два несовместных
события. Выпадение числа больше трёх
{4,5,6} и выпадение четного числа {2,4,6} —
события совместные.

Определение.
Вся совокупность несовместных исходов
экспериментов называется пространством
элементарных событий Ω. Исходы ω i,
входящие в эту совокупность, называются
элементарными событиями.

Ω
= { ω 1, ω 2,…. ω n}

Пример:
подбрасывание игральной кости Ω
={1,2,3,4,5,6}

Пространство
элементарных событий может быть построено
не единственным способом, выбор
математической модели зависит от условий
поставленной задачи.

Пример
1: подбрасывание игральной кости

Ω
={1,2,3,4,5,6}, Ω = {чётное число, нечётное
число}.

Пример
2: однократное подбрасывание монеты

Ω={герб,
цифра}, Ω={герб, цифра, ребро}

Пример
3: двукратное подбрасывание монеты.

Ω1={ГГ,ЦЦ,ГЦ,ЦГ}

Ω2={Г-0
раз, Г-1 раз, Г-2 раза}

2. Алгебра случайных событий: сумма, произведение, разность событий; противоположное событие; достоверное событие; тождественные события; свойства введенных операций; правила де Моргана.

Событие,
заключающееся в том, что произошло хотя
бы одно из случайных событий А или В,
называется суммой событий.

С
= А+В = А U В

А
= {2, 4, 6}, В = {5, 6}, С = {2, 4, 5,6}

Событие,
заключающееся в том, что произошло и
событие А, и событие В одновременно,
называется произведением событий А и
В.

С
= АВ = А ∩ В

А
= {2, 4, 6}, В = {5, 6}, С = {6}

Событие,
заключающееся в том, что А произошло, а
В — нет, называется разностью событий А
и В.

С
= А В = А – В

А
= {2, 4, 6}, В = {5, 6}, С = {2,4}

Событие
противоположно событию А, если оно
содержит все исходы, не принадлежащие
А.

Ā=
Ω А

А
= {2, 4, 6}, Ā = {1, 3, 5}

А
= {2, 4, 6}, Ā = {1, 3, 5}

5.
Тождественные события (А=В) – события,
которые содержат одни и те же элементарные
исходы.

Говорят,
что А влечет за собой В , если при
наступлении А произойдет В. В = {5,6}, А =
{5}

Свойства
введенных операций.

1.
Коммутативность: А + В = В + А; АВ = ВА.

2.
Ассоциативность : (А + В) + С = А + (В+С); (АВ)С
= А(ВС).

3.
Дистрибутивность умножения относительно
сложения: (А + В)С = АС + ВС.

Некоторые
полезные соотношения.

а)
А + А = А

А
+ Ω = Ω

АА
= А

АΩ
= А

А
Ā = Ø

А
+ Ā = Ω

б)
правила де Моргана

А
+ В = А ∩ В

АВ
= А + В

в)
А + В = А + (В – АВ) = АВ + АВ + ВА = А + ВА

г)
А – В = АВ

Соседние файлы в папке Экзамен

• #
• #
• #

  08.12.202010.47 Кб24Диаграмма 1.xlsx

• #
• #
• #

  08.12.202027.14 Кб24РГР задание 5.xls

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Тема: Ответы на вопросы по теории вероятностей к экзамену

Раздел: Бесплатные рефераты по теории вероятностей и математической статистике

Тип: Шпаргалка | Размер: 714.26K | Скачано: 996 | Добавлен 21.11.12 в 19:13 | Рейтинг: +9 | Еще Шпаргалки

Вопросы для самопроверки:

1. Классификация случайных событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события, непосредственный подсчет вероятности. Примеры.

2. Статистическое определение вероятности события и условия его применимости. Пример.

3. Несовместные и совместные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей (с доказательством). Пример.

4. Полная группа событий. Противоположные события. Соотношение между вероятностями противоположных событий (с выводом). Примеры.

5. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей (с доказательством). Примеры.

6. Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.

7. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом). Примеры.

8. Локальная теорема Муавра–Лапласа, условия ее применимости. Свойства функции f (x). Пример.

9. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости. Пример.

10. Интегральная теорема Муавра—Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа Ф(х) и ее свойства. Пример.

11. Следствия из интегральной теоремы Муавра–Лапласа (с выводом). Примеры.

12. Понятие случайной величины и ее описание. Дискретная случайная величина и закон (ряд) ее распределения. Независимые случайные величины. Примеры.

13. Математические операции над дискретными случайными величинами. Примеры построения законов распределения для kХ, Х2, Х + Y, XY по заданным распределениям независимых случайных величин Х и Y.

14. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.

15. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства (с выводом). Примеры.

16. Математическое ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).

17. Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.

18. Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график.

19. Непрерывная случайная величина (НСВ). Вероятность отдельно взятого значения НСВ. Математическое ожидание и дисперсия НСВ.

20. Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.

21. Определение нормального закона распределения. Теоретико_вероятностный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров.

22. Функция распределения нормально распределенной случайной величины и ее выражение через функцию Лапласа.

23. Формулы для определения вероятности:

а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал;

б) ее отклонения от математического ожидания. Правило «трехсигм».

24. Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпунова и ее значение. Пример.

25. Понятие двумерной (n_мерной) случайной величины. Примеры. Таблица ее распределения. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения.

26. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин.

27. Понятие о двумерном нормальном законе распределения. Условные математические ожидания и дисперсии.

28. Неравенство Маркова (лемма Чебышева) (с выводом). Пример.

29. Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаи для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и частости события.

30. Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин (с выводом).

31. Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и следствие. Пример.

32. Закон больших чисел. Теорема Бернулли (с доказательством) и ее значение. Пример.

33. Вариационный ряд и его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда, упрощенный способ их расчета.

34. Генеральная и выборочная совокупности. Принцип образования выборки. Собственно_случайная выборка с повторным и бесповторным отбором членов. Репрезентативная выборка. Основная задача выборочного метода.

35. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.

36. Оценка генеральной доли по собственно_случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной доли.

37. Оценка генеральной средней по собственно_случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной средней.

38. Оценка генеральной дисперсии по собственно_случайной выборке. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.

39. Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Предельная ошибка выборки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и систематические).

40. Формула доверительной вероятности при оценке генеральной доли признака. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной доли признака.

41. Формула доверительной вероятности при оценке генеральной средней. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной средней.

42. Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок при оценке генеральных средней и доли.

43. Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошибки 1_го и 2_го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Принцип практической уверенности.

44. Построение теоретического закона распределения по опытным данным.

45. Понятие о критериях согласия. χ2 _критерий Пирсона и схема его применения.

46. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости, различия между ними. Основные задачи теории корреляции.

47. Линейная парная регрессия. Система нормальных уравнений для определения параметров прямых регрессии. Выборочная ковариация. Формулы для расчета коэффициентов регрессии.

48. Оценка тесноты связи. Коэффициент корреляции (выборочный), его свойства и оценка достоверности.

+9

---

Понравилось? Нажмите на кнопочку ниже. Вам не сложно, а нам приятно).

---

Чтобы скачать бесплатно Шпаргалки на максимальной скорости, зарегистрируйтесь или авторизуйтесь на сайте.

Важно! Все представленные Шпаргалки для бесплатного скачивания предназначены для составления плана или основы собственных научных трудов.

---

Друзья! У вас есть уникальная возможность помочь таким же студентам как и вы! Если наш сайт помог вам найти нужную работу, то вы, безусловно, понимаете как добавленная вами работа может облегчить труд другим.

Добавить работу

---

Если Шпаргалка, по Вашему мнению, плохого качества, или эту работу Вы уже встречали, сообщите об этом нам.

---

Добавление отзыва к работе

Добавить отзыв могут только зарегистрированные пользователи.

---

Похожие работы

• Шпаргалки по теории вероятностей и математической статистике
• Шпаргалка по теории вероятностей и математической статистике
• Шпаргалка по теории вероятностей и математической статистике
• Шпоры по теории вероятностей и математической статистике

---

С этим файлом связано 16 файл(ов). Среди них: Джахан Исрат, М3114, lw3.docx, Джахан Исрат, М3114, lw0.docx, prezentaciya_po_pavodku.ppt, Информатика отчет лаба1.docx, Prilozhenie 4_1.docx, обложки физика (1).docx, Курсовая работа.docx, datasheetoc9121.pdf, Технология солода. Технологические расчеты по производству солод, БЖД_16_-_Лабораторная_работа__шаблон_ (1).docx, Referat_Slavutskiy.docx, Blank_otcheta.doc, Lab_1_02.docx, STATISTIKA-Lekciya-1.docx, 2021_PO_mag_bak 3.pdf, Lab_3_06.pdf и ещё 6 файл(а).
Показать все связанные файлы

---

Подборка по базе: Физическая культура (ДО, ПНК, ПДО, 4 часть) тестовые вопросы к р, ОБЖТестовые вопросы к разделу 3_ просмотр попытки.pdf, обжТестовые вопросы к разделу 2_ просмотр попытки.pdf, Вопросы к экзамену философия.docx, Презентация к теории.pptx, Контрольная по теории систем и системному анализу.docx, элементы теории игр.docx, ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ИСТОРИИ.doc, вопросы к экзамену 33 группа-2.docx, Контрольные вопросы.doc

---

Вопросы к экзамену по теории вероятностей.

1. Пространство элементарных исходов. Случайные события. Операции над событиями.
2. Статистическое определение вероятности. Классическое определение вероятности.
3. Геометрическое определение вероятности. Задача Бюффона об игле.
4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
5. Аксиома непрерывности. Ее смысл и вывод.
6. Свойства операций сложения и умножения. Формула сложения вероятностей.
7. Независимость событий. Независимые события в совокупности и попарно. Пример Бернштейна.
8. Условная вероятность. Формула умножения событий.
9. Полная группа событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
10. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли.
11. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа (без док-ва).
12. Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности события. Закон больших чисел Бернулли.
13. Схемы испытаний: Бернулли, до первого успеха. Биномиальное и геометрическое распределения. Свойство отсутствия последействия.
14. Урновая схема с возвратом и без возврата. Гипергеометрическое распределение. Теорема об его асимптотическом приближении к биномиальному.
15. Схема Пуассона. Формула Пуассона. Оценка погрешности в формуле Пуассона.
16. Случайные величины, определение. Измеримость функции, ее смысл. Вероятностное пространство (R, B, P). Распределение случайной величины.
17. Дискретные случайные величины. Определение, закон распределения, числовые характеристики.
18. Свойства математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины.
19. Стандартные дискретные распределения и их числовые характеристики (Бернулли, биномиальное, геометрическое, Пуассона).
20. Функция распределения и ее свойства (в свойствах 4, 5, 6 достаточно привести одно из доказательств).
21. Абсолютно непрерывные случайные величины. Плотность и ее свойства.
22. Числовые характеристики абсолютно непрерывной случайной величины, их свойства.
23. Равномерное распределение.
24. Показательное распределение. Свойство нестарения.
25. Нормальное распределение. Стандартное нормальное распределение, его числовые характеристики.
26. Связь между стандартным нормальным и нормальным распределениями. Следствия.
27. Сингулярные распределения. Теорема Лебега (без док-ва).
28. Преобразования случайных величин. Борелевские функции. Стандартизация случайной величины.
29. Линейное преобразование случайной величины. Теорема о монотонном преобразовании (без док-ва).
30. Квантильное преобразование. Моделирование случайной величины с помощью датчика случайных чисел.
31. Виды сходимостей случайных величин, связь между ними. Теорема об эквивалентности сходимостей к константе (все без док-ва).
32. Математическое ожидание преобразованной случайной величины. Свойства моментов.
33. Неравенство Йенсена, следствие.
34. Неравенства Маркова, Чебышева, правило трех сигм.
35. Среднее арифметическое одинаковых независимых случайных величин. Закон больших чисел Чебышева.
36. Вывод закона больших чисел Бернулли из закона больших чисел Чебышева. Законы больших чисел Хинчина и Колмогорова (только формулировки), закон больших чисел Маркова (с док-м).
37. Производящие функции целочисленных случайных величин. Их свойства (теорема 3 без док-ва).
38. Свертка производящих функций. Свойства. Устойчивость биномиального распределения относительно суммирования.
39. Производящая функция моментов. Свойства.
40. Оценка хвостов биномиального распределения. Общий случай и идея. Аддитивная форма (без док-ва). Случай p ≥ 1/2.
41. Мультипликативная форма (граница Чернова, с док-м).
42. Совместные распределения случайных величин. Функция совместного распределения, ее свойства. Независимость случайных величин.
43. Дискретная система двух случайных величин. Закон совместного распределения. Маргинальные распределения.
44. Абсолютно непрерывная система двух случайных величин. Плотность совместного распределения, ее свойства.
45. Функции от двух случайных величин. Теорема о функции распределения. Формула свертки.
46. Суммы стандартных распределений, устойчивость по суммированию (биномиальное, Пуассона, стандартное нормальное).
47. Условные распределения и условные математические ожидания. Случаи дискретной и абсолютно непрерывной систем двух случайных величин.
48. Пространство случайных величин. Скалярное произведение, неравенство Коши-Буняковского-Шварца.
49. Условное математическое ожидание как случайная величина, его свойства. Формула полного математического ожидания.
50. Условная дисперсия. Закон полной дисперсии. Смысл второго слагаемого в разложении дисперсии.
51. Числовые характеристики зависимости случайных величин. Ковариация, ее свойства. Коэффициент корреляции, его свойства. Корреляция случайных величин.
52. Характеристическая функция случайной величины, ее свойства. Теорема о непрерывном соответствии (формулировка).
53. Характеристические функции стандартных распределений (Бернулли, биномиальное, Пуассона, нормальное). Следствия.
54. Доказательство закона больших чисел Хинчина.
55. Центральная предельная теорема. Вывод из нее предельной теоремы Муавра-Лапласа. Неравенство Берри-Ессеена (формулировка).

Билет 1.

1. Пространство элементарных исходов. Случайные события. Операции над событиями.
2. Доказательство закона больших чисел Хинчина.

Билет 2.

1. Статистическое определение вероятности. Классическое определение вероятности.
2. Центральная предельная теорема. Вывод из нее предельной теоремы Муавра-Лапласа. Неравенство Берри-Ессеена (формулировка).

Билет 3.

1. Геометрическое определение вероятности. Задача Бюффона об игле.
2. Характеристическая функция случайной величины, ее свойства. Теорема о непрерывном соответствии (формулировка).

Билет 4.

1. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
2. Связь между стандартным нормальным и нормальным распределениями. Следствия.

Билет 5.

1. Аксиома непрерывности. Ее смысл и вывод.
2. Числовые характеристики зависимости случайных величин. Ковариация, ее свойства. Коэффициент корреляции, его свойства. Корреляция случайных величин.

Билет 6.

1. Свойства операций сложения и умножения. Формула сложения вероятностей.
2. Характеристические функции стандартных распределений (Бернулли. биномиальное, Пуассона, нормальное). Следствия.

Билет 7.

1. Независимость событий. Независимые события в совокупности и попарно. Пример Бернштейна.
2. Пространство случайных величин. Скалярное произведение, неравенство Коши-Буняковского-Шварца.

Билет 8.

1. Условная вероятность. Формула умножения событий.
2. Условное математическое ожидание как случайная величина, его свойства. Формула полного математического ожидания.

Билет 9.

1. Полная группа событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
2. Условная дисперсия. Закон полной дисперсии. Смысл второго слагаемого в разложении дисперсии.

Билет 10.

1. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли.
2. Сингулярные распределения. Теорема Лебега (без док-ва).

Билет 11.

1. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа (без док-ва).
2. Функции от двух случайных величин. Теорема о функции распределения. Формула свертки.

Билет 12.

1. Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности события. Закон больших чисел Бернулли.
2. Условные распределения и условные математические ожидания. Случаи дискретной и абсолютно непрерывной систем двух случайных величин.

Билет 13.

1. Схемы испытаний: Бернулли, до первого успеха. Биномиальное и геометрическое распределения. Свойство отсутствия последействия.
2. Абсолютно непрерывная система двух случайных величин. Плотность совместного распределения, ее свойства.

Билет 14.

1. Урновая схема с возвратом и без возврата. Гипергеометрическое распределение. Теорема об его асимптотическом приближении к биномиальному.
2. Совместные распределения случайных величин. Функция совместного распределения, ее свойства. Независимость случайных величин.

Билет 15.

1. Схема Пуассона. Формула Пуассона. Оценка погрешности в формуле Пуассона.
2. Дискретная система двух случайных величин. Закон совместного распределения. Маргинальные распределения.

Билет 16.

1. Случайные величины, определение. Измеримость функции, ее смысл. Вероятностное пространство (R, B, P). Распределение случайной величины.
2. Среднее арифметическое одинаковых независимых случайных величин. Закон больших чисел Чебышева.

Билет 17.

1. Дискретные случайные величины. Определение, закон распределения, числовые характеристики.
2. Неравенства Маркова, Чебышева, правило трех сигм.

Билет 18.

1. Свойства математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины.
2. Преобразования случайных величин. Борелевские функции. Стандартизация случайной величины.

Билет 19.

1. Стандартные дискретные распределения и их числовые характеристики (Бернулли, биномиальное, геометрическое, Пуассона).
2. Линейное преобразование случайной величины. Теорема о монотонном преобразовании (без док-ва).

Билет 20.

1. Функция распределения и ее свойства (в свойствах 4, 5, 6 достаточно привести одно из доказательств).
2. Виды сходимостей случайных величин, связь между ними. Теорема об эквивалентности сходимостей к константе (все без док-ва).

Билет 21.

1. Абсолютно непрерывные случайные величины. Плотность и ее свойства.
2. Вывод закона больших чисел Бернулли из закона больших чисел Чебышева. Законы больших чисел Хинчина и Колмогорова (только формулировки), закон больших чисел Маркова (с док-м).

Билет 22.

1. Числовые характеристики абсолютно непрерывной случайной величины, их свойства.
2. Суммы стандартных распределений, устойчивость по суммированию (биномиальное, Пуассона, стандартное нормальное).

Билет 23.

1. Равномерное распределение.
2. Неравенство Йенсена, следствие.

Билет 24.

1. Показательное распределение. Свойство нестарения.
2. Математическое ожидание преобразованной случайной величины. Свойства моментов.

Билет 25.

1. Нормальное распределение. Стандартное нормальное распределение, его числовые характеристики.
2. Квантильное преобразование. Моделирование случайной величины с помощью датчика случайных чисел.

Билет 26.

1. Производящие функции целочисленных случайных величин. Их свойства (теорема 3 без док-ва).
2. Дискретные случайные величины. Определение, закон распределения, числовые характеристики.

Билет 27.

1. Свертка производящих функций. Свойства. Устойчивость биномиального распределения относительно суммирования.
2. Свойства математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины.

Билет 28.

1. Производящая функция моментов. Свойства.
2. Нормальное распределение. Стандартное нормальное распределение, его числовые характеристики.

Билет 29.

1. Оценка хвостов биномиального распределения. Общий случай и идея. Аддитивная форма (без док-ва). Случай p ≥ 1/2.
2. Стандартные дискретные распределения и их числовые характеристики (Бернулли, биномиальное, геометрическое, Пуассона).

Билет 30.

1. Мультипликативная форма (граница Чернова, с док-м).
2. Равномерное распределение.