Вопросы к экзамену по высшей математике с ответами

Экзаменационные билеты, вопросы и задачи по курсу высшей математики для студентов 1 курса (1 и 2 учебный семестр) и 2 курса (3 и 4 семестр) очной и заочной форм обучения технических и гуманитарных специальностей ВУЗов.

Допуск к экзамену получают учащиеся, выполнившие и сдавшие все контрольные и расчетные работы, предусмотренные учебным планом кафедры математики.

Для успешной сдачи экзамена необходимо выполнить 60 или более процентов заданий указанных в билете, решив минимум одну задачу.

Ответы на теоретические вопросы экзамена должны включать точные определения и основные положения рассматриваемой темы с выводами соответствующих формул.

Если Вам требуется помощь в решении задач, наши специалисты готовы ответить на все вопросы по математике.

Экзаменационный билет по высшей математике

Билет для сдачи экзамена по высшей математике включает решение задач и ответы на вопросы по темам, изучавшимся в пройденном учебном семестре, и может содержать от трех до 5, а в некоторых случаях и до 10 пунктов.

Например, в билете могут быть три теоретических вопроса и две задачи, либо задание в виде теста.

Пример экзаменационного билета

Примерный билет содержит задачи и вопросы по разделам высшей математики:

1. Определители. Свойства определителей.

2. Угол между векторами. Проекция вектора на ось.

3. Векторное произведение двух векторов и его свойства.

4. Найти обратную матрицу A^-1, если:

5. Вычислить неопределенный интеграл

Вопросы к экзаменам по математике

Примерный перечень экзаменационных вопросов по теории курса высшей математики, включаемых в билет:

Раздел матрицы и векторы

1. Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами.
2. Алгебраические дополнения и миноры.
3. Вычисление определителей методом треугольников и разложением по элементам строки или столбца.
4. Невырожденная матрица. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы.
5. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Формулы Крамера.
6. Метод Гаусса решения систем алгебраических линейных уравнений.
7. Действия над векторами.
8. Линейная зависимость и независимость векторов.
9. Векторный базис. Координаты вектора.
10. Прямоугольная декартова система координат. Деление отрезка в заданном отношении. Определение расстояния между точками.
11. Скалярное произведение двух векторов и его свойства.
12. Смешанное произведение трех векторов и его свойства.

Неопределённый интеграл

1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.
2. Простейшие свойства неопределенного интеграла и его геометрический смысл.
3. Интегрирование методом разложения и методом замены переменной.
4. Метод интегрирования по частям.
5. Интегрирование простейших дробей.
6. Интегрирование дробно-рациональной функции.
7. Интегрирование тригонометрических функций.
8. Интегрирование иррациональных функций.

Определённый интеграл

1. Определение определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница.
3. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций.
5. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей фигур в декартовых и полярных координатах.
6. Длина дуги плоской кривой в декартовых и полярных координатах, объем тела вращения.
7. Решение физических задач с помощью определенных интегралов.

Кратные интегралы

1. Определение двойного интеграла. Его геометрический смысл
2. Свойства двойного интеграла
3. Понятие о правильных областях. Двукратный интеграл
4. Сведение двойного интеграла к двукратному
5. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла полярных координатах
6. Вычисление объемов тел и площадей плоских областей
7. Задачи механики
8. Определение тройного интеграла. Его механический смысл. Свойства
9. Вычисление тройного интеграла
10. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
11. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
12. Приложения тройных интегралов к задачам геометрии и механики
13. Вычисление объемов тел
14. Задачи механики

Криволинейные и поверхностные интегралы

1. Криволинейные интегралы первого рода (или по длине дуги)
2. Определение и физический смысл криволинейного интеграла первого рода. Свойства
3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода
4. Криволинейный интеграл для пространственного случая
5. Некоторые применения криволинейного интеграла первого рода
6. Криволинейный интеграл второго рода (или по координатам)
7. Задача о работе силового поля. Определение криволинейного интеграла второго рода
8. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго рода
9. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода
10. Формула Грина
11. Условия независимости интеграла от пути интегрирования
12. Поверхностный интеграл первого рода (или по площади поверхности). Теорема существования
13. Вычисление поверхностного интеграла первого рода
14. Некоторые применения поверхностного интеграла первого рода
15. Поверхностный интеграл второго рода или по координатам. Физический смысл
16. Применение поверхностного интеграла второго рода

Экзаменационные задачи по математике

Примеры экзаменационных задач по курсу высшей математики, которые могут быть включены в билет для сдачи экзамена:

1. Решить систему уравнений методом Гаусса

2. Используя признаки сходимости несобственных интегралов, исследовать на сходимость

3. Применяя основные правила дифференцирования, найти производную функции

Ответы на экзаменационные вопросы по математике

Ответы на некоторые теоретические вопросы в экзаменационных билетах по высшей математике:

• Однородные функции, однородные дифференциальные уравнения
• Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
• Уравнение Бернулли
• Уравнение в полных дифференциалах
• Интегрирующий множитель
• Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши
• Числовые ряды. Основные понятия
• Ряд геометрической прогрессии со знаменателем
• Остаток ряда
• Свойства, сходящихся числовых рядов
• Необходимый признак сходимости числового ряда
• Признак сравнения рядов с неотрицательными членами
• Признак Даламбера
• Признак Коши

Другие ответы можно найти, воспользовавшись поиском на нашем сайте.

Наш коллектив математиков желает Вам успешной подготовки и сдачи экзамена, и в случае необходимости готов оказать студентам всю необходимую помощь.

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Комплексный сборник тестов с ответами по Высшей математике

Кривые второго порядка

Правильный ответ подчёркнут.

1. Кривой II порядка является

— эллипс, не вырожденный в окружность

— гипербола

— парабола

— окружность

2. Кривой II порядка является

— эллипс, не вырожденный в окружность

— гипербола

— парабола

— окружность

3. Кривой II порядка является

— эллипс, не вырожденный в окружность

— гипербола

— парабола

— окружность

4. Кривой II порядка является

— эллипс, не вырожденный в окружность

— гипербола

— парабола

— окружность

Прямые и плоскости в пространстве

Правильный ответ выделен и подчёркнут.

1. Уравнением плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной прямой является

а.        б.       в.

2. Общее уравнение плоскости, содержащей точку и параллельной плоскости , имеет вид

а. 

б. 

в. 

г. 

3. Плоскость перпендикулярна плоскости

а. 

б. 

в. 

г. £

4. Прямая, проходящая через точки и , перпендикулярна плоскости

а. 

б. 

в. 

г. 

5. Даны три прямых на плоскости: , и Верным является утверждение

а.  и перпендикулярны

б.   и перпендикулярны

в.   и перпендикулярны

г.  перпендикулярных прямых нет

6. Уравнением плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной прямой является

а. 

б. 

в. 

г. 

тест 7. Общее уравнение плоскости, содержащей точку и параллельной плоскости , имеет вид

а. 

б. 

в. 

г. 

8. Плоскость перпендикулярна плоскости

а. 

б. 

в. 

г. 

Прямые на плоскости

Правильный ответ выделен и подчёркнут.

1. Прямая, проходящая через точку и параллельная прямой имеет вид

а. 

б. 

в. 

г. 

2. Уравнением прямой, содержащей точку и параллельной прямой является

а. 

б. 

в. 

г.  

3. Общее уравнение прямой, содержащей точки и имеет вид

а. 

б. 

£

£

Треугольник на плоскости

Правильный ответ выделен и подчёркнут.

1. Длина стороны в треугольнике с вершинами , , равна

а.        б.          в.           г.  

2. Длина медианы в треугольнике с вершинами , , равна

а.          б.         в.           г.  

3. Угол в треугольнике с вершинами , и

а.  прямой     б. тупой        в. острый

4. В треугольнике , где , , , угол при вершине равен

а.          б.            в.            г. 

5. В треугольнике , где , , , угол

а. прямой         б. тупой         в. острый

Линейная алгебра. Алгебра матриц. Обратная матрица. Определители

Правильный ответ выделен и подчёркнут.

1тест. Обратной к матрице является матрица

а.          б.             в.               г.  

2. Определитель матрицы равен

а.         б.          в.             г. 

3. Определитель матрицы равен

а.        б.          в.             г.  

4. Определитель матрицы равен

а.        б.          в.          г. 

5. Определитель матрицы равен

а.       б.       в.        г. 

6. Уравнение для нахождения собственных значений матрицы имеет вид

а. 

б. 

в. 

г. £

Сумма и произведение матриц

Правильный ответ выделен и подчёркнут.

1. Выражение эквивалентно

а.        б.        в.          г. 

2. Выражение эквивалентно

а.       б.        в.          г. 

3. Произведение матриц равно

а.            б.                в.                 г. 

4. Заданы матрицы и . Произведение равно

а.                б.                        в.                       г. 

5. Заданы матрицы и . Произведение равно

а.             б.              в.                г. 

6. Заданы матрицы и . Сумма равна

а.            б.                 в.                    г. 

тест №7. Транспонированной к матрице является матрица

а.         б.          в.            г. 

Векторная алгебра

Правильный ответ выделен и подчёркнут.

1. Заданы векторы и . Выражение равно

а.       б.       в.        г. 

2. Заданы векторы и . Длина вектора равна

а.         б.          в.          г. 

3. Из векторов , и , ортогональными являются

а. и

б.  и

в.  и

г.  и , и

Комплексные числа

Правильный ответ выделен и подчёркнут.

1. Сумма если , , равна

а.         б.           в.           г. 

2. Произведение если , , равно

а.         б.        в.         г. 

Системы линейных уравнений

Правильный ответ выделен и подчёркнут.

1. Система линейных уравнений имеет

а. одно нулевое решение

б. бесконечно много решений

в. одно ненулевое решение

г. нет решений

2. Частным решением системы линейных уравнений является

а.         б.          в.            г. 

3. Система линейных уравнений имеет

а. одно решение£ два решения

б. бесконечно много решений

в. нет решений

4. Матричное уравнение с невырожденной квадратной матрицей А имеет решение

а.         б.           в.         г.

5. Матричное уравнение с невырожденной квадратной матрицей А имеет решение

а.            б.           в.            г. 

Математический анализ. Дифференциальное исчисление

Правильный ответ выделен и подчёркнут.

1 — тест. Производная функции равна

а. 

б. 

в.  

г. 

2. Производная функции равна

а. 

б. 

в. 

г. 

3. Производная функции равна

а.           б.            в.             г. 

4. Частной производной для функции является

а.           б.            в.           г. 

5. Производная функции равна

а.          б.         в.           г. 

6. Градиент функции равен

а. 

б. 

в. 

г. 

7. Смешанная производная для функции равна

а.            б.           в.           г. 

8. Достаточным условием выпуклости функции на интервале является

а.  на  

б.  на

в.  на

г.  на

9. Достаточным условием убывания функции на интервале является

а.  на

б.  на

в.  на

г.  на

10. Точкой локального экстремума функции является

а.       б.         в.         г.

11. Градиент функции равен

а. 

б. 

в. 

г. 

Дифференциальные уравнения

Правильный ответ выделен и подчёркнут.

тест — 1. Общим решением дифференциального уравнения является

а. 

б. 

в. 

г. 

Интегральное исчисление

Правильный ответ выделен и подчёркнут.

1. Определенный интеграл равен

а.        б.        в.         г. 

2. Несобственный интеграл равен

а.       б.      в.        г. 

3. Несобственный интеграл равен

а.        б.      в.       г. 

4. Определенный интеграл равен

а.        б.       в.        г. 

5. Несобственный интеграл равен

а.       б.         в. 

Последовательности

Правильный ответ выделен и подчёркнут.

1. Примером неограниченной последовательности является последовательность

а.      б.         в.      г. 

2. Примером сходящейся последовательности является последовательность

а.         б.          в.          г. 

3. Примером ограниченной последовательности является последовательность

а.       б.        в.         г. 

4. Примером бесконечно малой последовательности является последовательность

а.       б.        в.         г. 

5. Примером бесконечно большой последовательности является последовательность

а.        б.         в.        г. 

6. Примером ограниченной последовательности является последовательность

а.        б.        в.        г. 

7. Примером бесконечно малой последовательности является последовательность

а.        б.        в.          г. 

8. Примером бесконечно большой последовательности является последовательность

а.        б.         в.        г. 

9_тест. Примером ограниченной последовательности является последовательность

а.       б.       в.        г. 

Предел функции

Правильный ответ выделен и подчёркнут.

1. Предел равен

а.         б.           в.           г. 

2. Предел равен

а.         б.        в.          г. 

3. Предел равен

а.        б.       в.          г. 

Ряды

Правильный ответ выделен и подчёркнут.

1. Радиус сходимости ряда равен

а.       б.        в.         г. 

2. Радиус сходимости ряда равен

а.         б.         в.        г. 

3. Радиус сходимости ряда равен

а.       б.        в.         г. 

Теория вероятностей

Правильный ответ выделен и подчёркнут.

1. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Математическое ожидание равно

а.        б.       в.        г. 

2. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Математическое ожидание равно

а.      б.      в.      г. 

3. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Дисперсия равна

а.      б.       в.       г. 

тест_4. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Дисперсия равна

а.        б.         в.        г. 

Классическая вероятность

Правильный ответ выделен и подчёркнут.

1. Вероятность, что кубик упадет на грань « «, при условии, что выпадет нечетная грань, равна

а.       б.       в.        г. 

2. В урне находится красных и черных шаров. Вероятность на удачу достать два красных шара равна

а.      б.      в.       г. 

3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна Вероятность того, что из двух выстрелов попали оба раза, равна

а.       б.       в.         г. 

4. Урна содержит белых и черных шаров. Вероятность наудачу достать первым белый шар, а вторым черный, равна

а.        б.        в.         г. 

5. Количество способов, которыми можно выбрать экзаменационных билетa из , равно

а.      б.       в.        г.

Примеры решений задач по высшей математике

На этой странице мы собрали простые и сложные примеры из курса высшей математики — от векторов и матриц до дифференциальных уравнений. На каждую тему приведен один решенный пример и даны ссылки на разделы, где собраны другие решения. Фактически, это шпаргалка-каталог типовых задач и решений к ним.

Если вам нужна помощь, узнайте больше о заказе решений по высшей математике.

Далее решенные задачи по темам:

Высшая математика. Комплексные числа

Задача. Вычислить сумму $(z_1 + z_2)$ и разность $(z_1 — z_2)$ комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости.

$$ z_1 = 2 e^{-pi i}, z_2=4 e^{pi i}.$$

Все решения о комплексных числах

Высшая математика. Матрицы

Задача. Найти матрицу, обратную матрице $A$. Сделать проверку.

$$A=
begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & -1\
1 & 1 & 0 & 0\
0 & 2 & 0 & -1\
1 & 1 & 1 & 0\
end{pmatrix}
$$

Высшая математика. Определители

Задача. Вычислить определитель матрицы $A$

$$A=
begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 & 5 & 11\
1 & 4 & 2 & 0 & 13\
1 & 1 & 0 & -1 & 5\
3 & 2 & 3 & 0 & 7\
4 & 1 & 2 & 3 & 8\
end{pmatrix}
$$

Высшая математика. Системы уравнений

Задача. Исследовать на совместность и решить систему уравнений:

Все решения по линейной алгебре

Высшая математика. Векторы

Задача. Написать разложение вектора $X$ по векторам $(a, b, c)$.

$$X=(-4;4;4), a=(3;1;0), b=(-1;0;6), c=(-1;2;0).$$

Все решения по векторной алгебре

Аналитическая геометрия на плоскости

Задача. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Все решения по АГ на плоскости

Аналитическая геометрия в пространстве

Задача. Для пирамиды с вершинами в точках $A_1, A_2, A_3, A_4$ найти:
А) длину ребра $A_1A_2$;
Б) угол между ребрами $A_1A_2$ и $A_1A_4$;
В) уравнение плоскости $A_1A_2A_3$;
Г) площадь грани $A_1A_2A_3$;
Д) угол между ребрами $A_1A_4$ и плоскостью $A_1A_2A_3$;
Е) уравнение высоты, опущенной из точки $A_4$ на грань $A_1A_2A_3$;
Ж) объем пирамиды $A_1A_2A_3A_4$.

$$A_1(2,3,1), A_2(4,1,-2), A_3(6,3,7), A_4(-5,-4,8).$$

Все решения по АГ в пространстве

Высшая математика. Пределы

Задача. Найти предел функции

$$
lim_{xto infty}left(frac{3x^2+1}{3x^2-x+1} right)^{3x+4}.
$$

Все решения по пределам

Высшая математика. Производные

Задача. Найти производную от следующей функции

$$
y=left[sqrt[3]{frac{1}{7+x^2}}+frac{sqrt{x}}{sqrt{x}+1} right]cdot 24; quad
y'(1).
$$

Все решения по производным

Высшая математика. Исследование функции

Задача. Провести полное исследование функции и построить график.

$$y=frac{x}{sqrt{x^2+x}}.$$

Все решения на исследование функции

Высшая математика. Интегралы

Задача. Найти неопределенный интеграл
$$intfrac{4x^2+7x-23}{(x^2-4x+8)(x+1)^2}dx.$$

Все решения по интегралам

Высшая математика. Применение интегралов

Задача. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями:

$$
x=3(1-cos t)cos t, quad y=3(1-cos t)sin t, quad 0leq t leq pi.
$$

Все решения о применении интегралов

Высшая математика. Ряды

Задача. Исследовать сходимость числового ряда

$$sum_{n=1}^{infty} u_n=sum_{n=1}^{infty}frac{2n+1}{sqrt{n 2^n}}.$$

Все решения по рядам

Высшая математика. Дифференциальные уравнения

Задача. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

$$ xy’+x^2+xy-y=0.$$

Все решения по дифф.уравнениям

Высшая математика. Теория вероятностей

Задача. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит 8; б) произведение числа очков не превосходит 8; в) произведение числа очков делится на 8.

Все решения по теории вероятностей

Полезное на сайте

Учебники, лекции, видео Высшая математика для чайников Решенные контрольные Как решать задачи онлайн

Формулы и справочники Сдача тестов Решаем высшую математику на заказ Онлайн помощь

Ответы на экзаменационные билеты по высшей математики

№1 Функциональные
ряды

Членами являются
функции, определенные в некоторой области изменения аргумента х: U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x)+… Придавая х какое-либо значение
х₀ из области определения функций U_n(x), получим числовой ряд U₁(x₀)+ U₂(x₀)+…+ U_n(x₀)+… Этот ряд может сходиться или
расходиться. Если он сходится, то точка х₀ называется точкой
сходимости функционального ряда. Если при х=х₀ ряд
расходится, то точка х₀ называется точкой расходимости
функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости функционального
ряда называется областью его сходимости.

Функциональный
ряд называется правильно сходящимся на сегменте [a, b], если существует такой
знакоположительный сходящийся ряд b₁+ b₂ +…+ b_n +…, что абсолютные величины членов
данного ряда для любого значения х, принадлежащего сегменту [a, b], не превосходят соответствующих
членов знакоположительного ряда, т. е. |U_n(x)| ≤ b_n (n=1, 2, …)

№2 Неопределенный
интеграл и его свойства

Интегральное
исчисление решает обратную задачу: найти F(x), зная ее производную f(x).

Функция F(x) называется первообразной, если выполняется равенство F’(x)=f(x).

Если F(x) одна из первообразных функции f(x), то любая первообразная
функции f(x) на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где С€R.

Множество всех
первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом

Свойства:

– неопределенный
интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической
сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности;

– постоянный
множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

№3 Асимптоты

Асимптотой кривой
называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится
к 0 при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Асимптоты бывают
вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Прямая х=a является вертикальной асимптотой
графика функции y=f(x), если lim f(x)=∞ ,

                   
 ^x→0±a

Уравнение
наклонной асимптоты будем искать в виде y=Rx+b

R = lim(y/x) ;   b = lim
(y – Rx)

      ^{x→0                             x→0}

№4 Экстремум
функции (для одной переменной)

Если функция  f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f’(x)>0 (f’(x)<0), то f(x) возрастает (убывает) на этом промежутке. Точка х₀ называется
точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность
точки х_0, что для всех х, не равных х₀ из этой окрестности,
выполняется неравенство f(x) < f(х₀), где х₀ – точка максимума. 
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом)
функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом.

Необходимое
условие экстремума: если дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке
равна 0.

Достаточное
условие экстремума: если производная меняет знак на минус, то х₀ –
точка максимума; если с минуса на плюс, то точка х₀ – точка
минимума.

№5 Производная.
Ее геометрический и физический смысл.

Физический:
производной функции y=f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к вызвавшему его
приращению аргумента ∆х при произвольном стремлении ∆х к 0.

Геометрический:
угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀
равен значению производной этой функции в точке х₀.

№6 Замечательные
пределы

lim (1+1/x)^x=e;   lim
(1+x)^1/x=e  (e – экспонент)

^{x→∞         
                           x→0}

№7 Точки разрыва
функции, классификация

Точка х₀
называется точкой разрыва функции y=f(x), если она принадлежит области
определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности. В этом
случае говорят, что при        х = х₀ функция разрывна. Это может
произойти,  если в точке х₀ функция не определена, или не существует
предел функции при х → х₀ , или, если предел функции
существует, но не равен значению функции в точке х₀:  lim f(x) ≠ f(х₀).  Точку х0 называют точкой
разрыва первого рода,

                                                    
^x→x0

если существуют
конечные односторонние пределы f(x0-0)=lim f(x) и f(x0+0)=lim f(x), но         f(x0-0)≠f(x0+0).                                                                                     
^x→x0^{-0                                                                  
x→x}0⁺⁰

Точку х0 называют
точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов f(x0-0) и f(x0+0) не существует (в частности,
бесконечен).

№8 Непрерывность
функции на отрезке

Функция  y=f(x) называется непрерывной,
если:

– функция
определена в точке х₀ и в некоторой окрестности, содержащей эту
точку;

– функция имеет
предел при x→x₀,

– предел функции
при x→x₀ равен значению функции в точке x₀:    lim f(x) = f(х₀)

                                                                                                                   
^x→x0

Если  в точке х₀
функция непрерывна, то точка х₀ называется точкой непрерывности
данной функции. Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке х₀
справа или слева (т.е. одностороннюю непрерывность). Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀
. Если                    lim f(x) = f(х₀), то говорят,
что функция y=f(x) непрерывна в точке x₀ справа; если lim f(x) = f(х₀),

^x→x0^{+0                                                                               
                                                                                                                   x→x}0^—0

то функция
называется непрерывной в точке x₀ слева.

№9 Предел функции
по Гейне

Число А
называется пределом функции f(x) в точке x₀ если для любой последовательности { x_n} сходящейся к x₀ , последовательность F({ x_n}) соответствующих значений функции сходится к А:

lim f(x) =A

^x→x0

№10 Предел
функции по Коши

Число А
называется пределом функции f(x) в точке x₀ если для любого сколь угодно малого
числа E>0 (эпселон больше 0)
найдется такое число δ>0 (дельта больше 0), что для всех х таких,
что          | x-x₀|< δ, x≠x₀ выполняется неравенство |f(x)-A|<E.

№11 Предел
числовой последовательности

Число а
называется пределом последовательности x_n, если для любого положительного E>0 найдется такое число n, где n<N выполняется неравенство | x_n-a|<E. В этом случае обозначают
так   lim x_n = a

^n→∞

Если
последовательность имеет предел, равный а, то она сходится к а.   Теорема:
сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не
имеющая предела, называется расходящейся.

Операции над
пределами последовательностей:

Пусть lim x_n = a;          lim у_n = b, тогда

                 ^{n→∞                             
n→∞}

– lim (x_n± у_n) = a±b;

    ^n→∞

– lim (x_n* у_n) = a*b;

    ^n→∞

– lim (c* x_n)
= c*a;

    ^n→∞

– lim (x_n)^R =
(lim x_n)^R=a^R;

    ^n→∞

– lim (x_n)^1/R
= a^1/R;

    ^n→∞

– lim a = a.

Бесконечно
большие последовательности:

– lim x_n= ±∞;

    ^n→∞

Правила
вычисления пределов ЧП:

– lim x_n= а;       lim y_n= ±∞, тогда      lim x_n/ lim y_n = а/±∞=0;

    ^{n→∞                         
n→∞                                           
n→∞        n→∞}

– lim x_n= 0;       lim y_n= ±∞, тогда     lim y_n=0, lim (x_n/ y_n)= ±∞

   ^{n→0                  n→∞                                          
n→∞              n→∞}

№12 Общее
уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Если точки М₀
(x₀ ; y₀ ; z₀ ), М₁ (x₁ ; y₁ ; z₁ ), М₂ (x₂ ; y₂ ; z₂ ) не лежат на одной прямой, то
проходящая через них плоскость представляется уравнением

    x – x₀       y – y₀     z – z₀

    x₁ – x₀    
y₁ – y₀    z₁ – z₀   =  0

    x₂ – x₀    
y₂ – y₀    z₂ – z₀

№14 Уравнение
прямой в пространстве (общее и каноническое).

Прямая L, проходящая через точку М₀
(x₀ ; y₀ ; z₀ ) и имеющая направляющий вектор a {l,m,n}, представляется уравнениями   x – x₀         y – y₀        z – z₀

                                                                
=               
=                ,

                                          
  l                  m              
n

№15 Уравнение
прямой на плоскости.

Ax + By + C = 0, где А, В, С – постоянные
коэффициенты.

Заметим, что  n (А; В) – нормальный вектор (n  ┴ прямой).

Частные случаи
этого уравнения:

–  Ах + By = 0 (C=0) – прямая проходит через начало координат;

–  Ах + С = 0
(В=0) – прямая параллельна оси Оу;

–  Ву + С = 0
(А=0) – прямая параллельна оси Ох;

–  Ах = 0 –
прямая совпадает с осью Оу;

–  Ву = 0 –
прямая совпадает с осью Ох.

№16 Векторы.
Операции над векторами.

Вектор –
направленный отрезок прямой.

I. Правила треугольника.   Правила
параллелограмма.   II. Разность векторов.      Параллелограмма.

а           b                                   
а            b                             
а                a        c

а           b          a + b = c            

                                                   
a                                                b             b                   а

Равенство
векторов:

Два (ненулевых)
вектора равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все
нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.

Сложение
векторов:

Суммой векторов
называется третий вектор

Сумма нескольких
векторов: Суммой векторов а1, а2, а3, …, аn называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к
вектору а1 прибавляется вектор а2, к полученному прибавляется вектор а3 и т.д.

Коллинеарность
векторов:

Векторы, лежащие
на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Скалярное
произведение:

Скалярным
произведением вектора а на вектор b называется произведение их модулей на косинус угла между ними

Угол между
векторами:

cos(a^b)=(a*b)/(|a|*|b|)=(x1x2+y1y2+z1z2)/((x1^2+y1^2+z1^2)*(x2^2+y2^2+z2^2))^1/2

№17 Система
линейных уравнений. Формулы Крамера.

x = ∆1/∆;  x2
= ∆2/∆; … xn = ∆n/∆

№18 Система
линейных уравнений. Метод Гауса.

Системой линейных
уравнений, содержащей m-уравнений и n-неизвестных, называется система
вида    а11х1 + а12х2 + а13х3+…+аnxn = b1;

         { а21х1
+ а22х2 + а23х3+…+аnxn = b2;       },  где а_ij – коэффициенты системы, b_i – свободные

         am1x1 + am2x2 + am3x3+…+amnxn =
bm                     члены

№19 Обратная
матрица. Ранг матрицы.

Матрица А^-1
называется обратной к матрице А, если выполняется условие  А* А^-1 =
А^-1*А = Е

Всякая
невырожденная матрица (т.е. ∆≠0) имеет обратную.

Алгоритм вычисления
обратной матрицы:

1.  
вычисляем
определитель, составленный по данной матрице;

2.  
находим
матрицу А^Т, транспонированную к А;

3.  

составляем
союзную матрицу (А^*);

4.  
вычисляем
обратную матрицу по формуле А^-1 = А^*/∆А = 1/∆А*
(                               )

Ранг м-цы:

Минором R-го порядка произвольной м-цы А
называется определитель, составленный из элементов м-цы, расположенных на
пересечении каких-либо R-строк и R-столбцов.

Рангом м-цы А
называется наибольший из порядков ее миноров, неравных 0.

Базисным минором
называется любое из миноров м-цы А, порядок которого равен рангу А.

При элементарных
преобразованиях ранг м-цы не изменяется.

Ранг ступенчатой
м-цы равен количеству ее не нулевых строк.

Свойства:

– при
транспонировании м-цы ее ранг не меняется;

– если вычеркнуть
из м-цы нулевой ряд, то ранг не изменится.

Матрицей размера m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк и n-столбцов. Числа, составляющие м-цу,
называются элементами м-цы.

Две м-цы А и В
одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно.

Виды:
м-ца-строка; м-ца-столбец.

М-ца называется
квадратной n-го порядка, если число ее
строк равно числу столбцов и равно n.

Квадратная м-ца,
у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны 0, называется
диагональной.

Если у
диагональной м-цы n-го порядка все элеметы
главной диагонали равны 1, то м-ца называется единичной n-го порядка и обозначается Е.

Если все элементы
м-цы равны 0, то она называется нулевой.

Операции над
матрицами:

Умножение м-цы на
число. Произведением м-цы А на число λ называется матрица В= λ*А,
элементы которой b_ij = λ* a_ij (i=1,…,m, j=1,…,n)

Сложение м-ц.
Суммой двух м-ц А и В одинакового размера m на n называется м-ца С=А+В,
элементы которой Сij=aij+bij.

Аналогично
находится разность.

Умножение м-ц.
Умножение м-цы А на м-цу В возможно когда число столбцов первой м-цы равно
числу строк второй. Тогда произведением м-цы А и В называется м-ца С, каждый
элемент которой находится по формуле  

Сij=ai1*b1j+ai2*b2j+…+aiR*bR 
= ∑ais*bsj

 

Возведение в
степень.

А^2=A*A

Транспонирование
м-цы – переход от м-цы А к м-це А^Т, в которой строки и столбцы
меняются местами с сохранением порядка.

№21 Определители n-го порядка. Свойства определителей.

Квадратной м-це А
порядка n можно сопоставить число
дельта А(|А|, ∆), которое называется определителем, если:

– n=1, A=(a1), ∆A=a1;

 

– n=2,
A=                    ,    ∆=                  
=a11a22-a12a21;

	a11  a12  a13 a21  a22  a23 a31  a32  a33		a11  a12  a13 a21  a22  a23 a31  a32  a33

 

–n=3,
A=                            ;   ∆A=

Свойства
определителей:

1.  
Если у
определителя какая-л строка (столбец) состоит только из нулей, то ∆=0;

2.  
Если
какие-л две строки (столбца) определителя пропорциональны, то ∆=0;

3.  
Если
какую-л строку (столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь
определитель умножится на это число;

4.  
Если две
строки (столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак;

5.  
Если к
какой-л строке (столбцу) определителя прибавить  какую-л другую строку
(столбец), умноженное на произвольное число, то определитель не изменится;

6.  
Определитель
произведения матриц равен произведению их определителей.

№22 Признаки
сравнения положительных рядов.

Для исследования
сходимости данного положительного ряда U0+U1+U2+…  его часто сравнивают с другим
положительным рядом  V0+V1+V2+…, о котором известно, что он сходится или расходится.

Если ряд 2
сходится и сумма его равна V, а члены
данного ряда не превосходят соответствующих членов ряда 2, то данный ряд
сходится, и сумма его не превосходит V. При этом остаток данного ряда не превосходит остатка ряда 2.

Если ряд 2
расходится, а члены данного ряда не меньше соответствующих членов ряда 2, то
данный ряд расходится.

№23 Признаки
Даламбера и Коши сходимости ряда

Признак
Даламбера:

Пусть в
положительном ряде U1+U2+…+Un+… отношение U_n+1/U_n последующего члена к
предыдущему при n→∞ имеет предел q. Возможны три случая:

q<1 –ряд сходится; q>1 – ряд расходится; q=1 – ряд может сходиться, а может и
расходиться.

№24 Производные
обратных тригонометрических функций.

I.   d arcsin x = dx/(1-x^2)^1/2, d/dx
arcsin x = 1/(1-x^2)^1/2

II. d arccos x = — dx/(1-x^2)^1/2, d/dx
arccos x= — 1/(1-x^2)^1/2

III.
d arctg x =
dx/(1+x^2), d/dx arctg x = 1/(1+x^2)

IV.
d arcctg x = —
dx/(1+x^2), d/dx arcctg x = — 1/(1+x^2)

№25
Дифференцирование функций, заданных неявно.

Пусть уравнение,
связывающее x и y и удовлетворяющееся значениями x=x0 и y=y0, определяет y как неявную функцию от x. Для разыскания производной dy/dx в точке x=x0, y=y0 нет нужды искать явное
выражение функции. Достаточно приравнять дифференциалы обеих частей уравнения и
из полученного равенства найти отношение dy к dx.

№26
Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Предположим, что
функция y от х задана параметрически
уравнениями x=x(t), y=y(t), причем в некоторой области изменения параметра  t  функции x(t) и y(t) дифференцируемы и x’(t)≠0.

Найдем
производную у’_x. Как мы знаем у’_x = dy/dx. Так как dx = x’(t)dt, dy = y’(t)dt, то

y’_x = dy/dx = y’(t)dt/x’(t)dt = y’(t)/x’(t) = y’t/x’t.

Таким образом, dy/dx = y’t/x’t.   Эта формула позволяет
находить производную функции, заданной параметрически.

№28 Дифференциал
функции.

Пусть приращение
функции y=f(x) разбито на сумму двух членов: ∆y = A ∆x+α, где А не зависит от ∆x (т.е. постоянно при данном значении
аргумента x) и α имеет высший порядок
относительно ∆x (при ∆x → 0).

Тогда первый
член, пропорциональный ∆x,
называется дифференциалом функции f(x) и обозначается dy или df(x).

№29
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение вида X1Y1dx +X2Y2dy = 0, где функции X1 и  X2 зависят только от x (одна из них или обе могут быть постоянными; то же для функций Y1, Y2), а функции Y1, Y2 – только от y, приводится к виду ydx – xdy = 0 делением на  Y1X2. Процесс произведения
называется разделением переменных.

№30 Площадь
криволинейной трапеции.

Фигура,
ограниченная прямыми y=P; x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной на     [a, b] функции f(x), называется криволинейной
трапецией. Площадь криволинейной трапеции

равна

             ∫f(x)dx;    ∫f(x)dx –  ∫g(x)dx

№31
Дифференциальные однородные уравнения первого порядка.

ДУ первого
порядка называется однородным, если оно может быть представлено в
виде                y’ = g (y/x).

Однородное ДУ
преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены z=y/x;  y=z*x, то y’=z’x+z, поэтому уравнение y’=g(y/x) преобразуем к виду z’x+z=g(z); dz*x/dx=g(z)-z; dz(g(z)-z)=dx/x.

Найдя его общее
решение следует заметить в нем z на y/x.

Однородное ДУ
часто задается в дифференциальной форме: P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0.

ДУ будет
однородным, если P(x;y) и Q(x;y) – однородные функции одинакового порядка.

Переписав
уравнение в виде dy/dx=-P(x;y)/Q(x;y) и переменив в правой части рассмотренное
выше преобразование получим уравнение y’=g(y/x).

При
интегрировании уравнения P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 нет необходимости предварительно
приводить их к виду y’=g(y/x): подстановка z=y/x сразу преобразует уравнение P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 в уравнение с разделяющимися переменными.

№32 Степенные
ряды

Степенным рядом
называется ряд вида а₀+а₁х+а₂х²+…+a_nxⁿ+…, а также ряд более общего
вида а₀+а1(х-х₀)+а₂(х-х₀)²+…+a_n(x-х₀)ⁿ+…,
где х₀ – постоянная величина. О первом ряде говорят, что он
расположен по степеням х, во втором – что он расположен по степеням х-х_0.

Постоянные а₀,
а₁, …, а_n, … называются коэффициентами
степенного ряда.

Степенной ряд
всегда сходится при х=0.

№33 Кривые
второго порядка на плоскости (эллипс, гипербола, парабола).

Линии,
определяемые уравнениями второй степени относительно переменных x и y, т.е. уравнениям вида Ах²+2Вху+Су²+2Вх+2Еу+F=0 (А²+В²+С²≠0),
называются кривыми 2-го порядка.

Эллипс.

х²/а²+у²/b²=1

Гипербола.

х²/а²-у²/b²=1

Парабола.

№34
Дифференциальные уравнения, приводимые к уравнениям однородной функции.

№35 Эллипсоид
(уравнение и чертеж).

№36 Гиперболоид
(уравнение, чертеж).

x²/a²+y²/b²-z²/c²=1

№37 Параболоид эллиптический (уравнение, чертеж)

№38 Параболоид
гиперболический (уравнение, чертеж)

x²/a²-y²/b²=2pz

№39 Уравнение в
полных дифференциалах

Если коэффициенты
P(x,y), Q(x,y) в уравнении

P (x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)удовлетворяют условию

δP/δy=δQ/δx,  то левая часть (1) есть полный
дифференциал

 некоторой
функции F (x,y). Общий интеграл уравнения (1)

будет:  F (x,y) = C.

Высшая математика, 100 экзаменационных ответов, 1 курс, Письменный Д.Т., 1999.

   Настоящее пособие предназначено, в первую очередь, для студентов, готовящихся к сдаче экзамена по высшей математике на 1-м курсе. Оно содержит изложенные в краткой и доступной форме ответы на экзаменационные вопросы устного экзамена.
Пособие может быть полезным для всех категорий студентов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Оно содержит необходимый материал по 10-ти разделам курса высшей математики, которые обычно изучаются студентами на первом курсе ВУЗа (техникума).
Ответы на 108 экзаменационных вопросов (с подпунктами — значительно больше) сопровождаются, как правило, решением соответствующих примеров и задач.

   Настоящее учебное пособие написано Д. Т. Письменным — автором книги «Готовимся к экзамену по математике», выпускаемой в серии «Домашний репетитор», — пособия, по которому за последние три года готовились к экзаменам более 500000 школьников и абитуриентов из России и других стран СНГ.
Если книга Д. Т. Письменного Вам помогла при поступлении в ВУЗ, то данное пособие, мы надеемся, также послужит Вам хорошим подспорьем при подготовке к семестровому экзамену по высшей математике. Вчерашний школьник, став студентом, зачастую «почивает на лаврах» и благополучно «заваливает» первый экзамен по математике, особенно если этот предмет не является профилирующим.

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора 7
Предисловие 8
I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1. Определители (основные понятия) 9
2. Свойства определителей 11
3. Матрицы (основные понятия) 13
4. Действия над матрицами 15
5. Обратная матрица 17
6. Ранг матрицы 20
7. Системы линейных уравнений (основные понятия) 22
8. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера 24
9. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли 26
10. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 28
11. Системы линейных однородных уравнений 31
II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
12. Векторы и линейные операции над ними 33
13. Проекция вектора на ось 36
14. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы 38
15. Действия над векторами, заданными проекциями 40
16. Скалярное произведение векторов и его свойства 42
17. Выражение скалярного произведения через координаты. Применение скалярного произведения векторов 44
18. Векторное произведение векторов и его свойства 46
19. Выражение векторного произведения через координаты. Применение векторного произведения векторов 48
20. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства 50
21. Выражение смешанного произведения через координаты. Применение смешанного произведения 51
III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
22. Система координат на плоскости 53
23. Основные задачи на метод координат (на плоскости) 55
24. Преобразование системы координат 57
25. Уравнение линии на плоскости, примеры 59
Различные виды уравнений прямой на плоскости 63
Прямая линия на плоскости. Основные задачи 68
Окружность 70
Эллипс 72
Гипербола 75
Парабола 80
Общее уравнение линий второго порядка 82
IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Поверхности и линии в пространстве и их уравнения 86
Различные виды уравнений плоскости в пространстве 89
Плоскость. Основные задачи . 93
Различные виды уравнений прямой в пространстве 95
Прямая линия в пространстве. Основные задачи 98
Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи 100
Цилиндрические поверхности 102
Поверхности вращения. Конические поверхности 104
Канонические уравнения поверхностей второго порядка 107
V. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Множества. Действительные числа 113
Функция 117
Последовательности 125
Предел функции 130
Бесконечно малые функции (б.м.ф.) и основные теоремы о них 134
Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией 137
Основные теоремы о пределах 138
Признаки существования пределов 141
Первый замечательный предел 142
Второй замечательный предел 143
Сравнение бесконечно малых функций 145
Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них 146
Применение эквивалентных бесконечно малых функций 147
Непрерывность функций 150
Точки разрыва функции и их классификация 152
Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций 154
Свойства функций, непрерывных на отрезке 155
VI. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
59. Задачи, приводящие к понятию производной 157
60. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой 160
61. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции 162
62. Производная суммы, разности, произведения и частного функций 163
63. Производная сложной и обратной функций 165
64. Производные основных элементарных функций 167
65. Гиперболические функции и их производные 172
66. Таблица производных 174
67. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически 176
68. Логарифмическое дифференцирование 177
69. Производные высших порядков 179
70. Дифференциал функции и его геометрический смысл 182
71. Основные теоремы о дифференциалах.. Таблица дифференциалов 184
72. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 186
73. Дифференциалы высших порядков 188
VII. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ (К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ)
74. Теорема Ролля 190
75. Теорема Коши 191
76. Теорема Лагранжа и ее следствия 192
77. Правило Лопиталя 194
78. Раскрытие неопределенностей различных видов 196
79. Возрастание и убывание функций 197
80. Максимум и минимум функций 199
81. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 202
82. Выпуклость графика функции. Точки перегиба 204
83. Асимптоты графика функции 206
84. Общая схема исследования функции и построения графика 208
85. Формула Тейлора 210
VIII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
86. Понятие комплексного числа 214
87. Действия над комплексными числами 217
IX. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
88. Неопределенный интеграл и его свойства 222
89. Таблица основных интегралов 226
90. Основные методы интегрирования 228
91. Интегрирование рациональных функций 234
92. Интегрирование тригонометрических функций 244
93. Интегрирование иррациональных функций 247
94. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы 252
X. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
95. Определенный интеграл как предел интегральной суммы 254
96. Геометрический и физической смысл определенного интеграла 256
97. Связь определенного интеграла с неопределенным (формула Ньютона-Лейбница) 258
98. Основные свойства определенного интеграла 260
99. Вычисление определенного интеграла 265
100. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах 268
101. Несобственные интегралы 269
102. Схемы применения определенного интеграла к нахождению геометрических и физических величин 273
103. Вычисление площадей плоских фигур 275
104. Вычисление длины дуги плоской кривой 279
105. Вычисление объема тела 283
106. Вычисление площади поверхности вращения 285
107. Приложения определенного интеграла к решению задач физики и механики 287
108. Приближенное вычисление определенного интеграла 294
Справочные материалы 300

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:

Скачать книгу Высшая математика, 100 экзаменационных ответов, 1 курс, Письменный Д.Т., 1999 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу

Скачать книгу Высшая математика, 100 экзаменационных ответов, 1 курс, Письменный Д.Т., 1999
— Яндекс Народ Диск.

Скачать книгу Высшая математика, 100 экзаменационных ответов, 1 курс, Письменный Д.Т., 1999 — depositfiles.

Дата публикации: 10.04.2012 09:53 UTC

Теги:

задачник по высшей математике :: высшая математика :: Письменный :: формула Крамера

№1 Функциональные ряды

Членами являются функции, определенные в некоторой области изменения аргумента х: U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x)+… Придавая х какое-либо значение х₀ из области определения функций U_n(x), получим числовой ряд U₁(x₀)+ U₂(x₀)+…+ U_n(x₀)+… Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка х₀ называется точкой сходимости функционального ряда. Если при х=х₀ ряд расходится, то точка х₀ называется точкой расходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью его сходимости.

Функциональный ряд называется правильно сходящимся на сегменте [a, b], если существует такой знакоположительный сходящийся ряд b₁+ b₂ +…+ b_n +…, что абсолютные величины членов данного ряда для любого значения х, принадлежащего сегменту [a, b], не превосходят соответствующих членов знакоположительного ряда, т. е. |U_n(x)| ≤ b_n (n=1, 2, …)

№2 Неопределенный интеграл и его свойства

Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти F(x), зная ее производную f(x).

Функция F(x) называется первообразной, если выполняется равенство F’(x)=f(x).

Если F(x) одна из первообразных функции f(x), то любая первообразная функции f(x) на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где С€R.

Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом

Свойства:

– неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности;

– постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

№3 Асимптоты

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к 0 при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

А симптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Прямая х=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если lim f(x)=∞ ,

^x→0±a

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде y=Rx+b

R = lim(y/x) ; b = lim (y – Rx)

^{x→0 x→0}

Если y = b, то это уравнение горизонтальной асимптоты.

№4 Экстремум функции (для одной переменной)

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f’(x)>0 (f’(x)<0), то f(x) возрастает (убывает) на этом промежутке. Точка х₀ называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х_0, что для всех х, не равных х₀ из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(х₀), где х₀ – точка максимума. Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке равна 0.

Достаточное условие экстремума: если производная меняет знак на минус, то х₀ – точка максимума; если с минуса на плюс, то точка х₀ – точка минимума.

№5 Производная. Ее геометрический и физический смысл.

Физический: производной функции y=f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента ∆х при произвольном стремлении ∆х к 0.

Геометрический: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀ равен значению производной этой функции в точке х₀.

№6 Замечательные пределы

lim (1+1/x)^x=e; lim (1+x)^1/x=e (e – экспонент)

^{x→∞ x→0}

№7 Точки разрыва функции, классификация

Точка х₀ называется точкой разрыва функции y=f(x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности. В этом случае говорят, что при х = х₀ функция разрывна. Это может произойти, если в точке х₀ функция не определена, или не существует предел функции при х → х₀ , или, если предел функции существует, но не равен значению функции в точке х₀: lim f(x) ≠ f(х₀). Точку х0 называют точкой разрыва первого рода,

^x→x0

если существуют конечные односторонние пределы f(x0-0)=lim f(x) и f(x0+0)=lim f(x), но f(x0-0)≠f(x0+0). ^x→x0^{-0 x→x}0⁺⁰

Точку х0 называют точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов f(x0-0) и f(x0+0) не существует (в частности, бесконечен).

№8 Непрерывность функции на отрезке

Функция y=f(x) называется непрерывной, если:

– функция определена в точке х₀ и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;

– функция имеет предел при x→x₀,

– предел функции при x→x₀ равен значению функции в точке x₀: lim f(x) = f(х₀)

^x→x0

Если в точке х₀ функция непрерывна, то точка х₀ называется точкой непрерывности данной функции. Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке х₀ справа или слева (т.е. одностороннюю непрерывность). Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ . Если lim f(x) = f(х₀), то говорят, что функция y=f(x) непрерывна в точке x₀ справа; если lim f(x) = f(х₀),

^x→x0^{+0 x→x}0^—0

то функция называется непрерывной в точке x₀ слева.

№9 Предел функции по Гейне

Число А называется пределом функции f(x) в точке x₀ если для любой последовательности { x_n} сходящейся к x₀ , последовательность F({ x_n}) соответствующих значений функции сходится к А:

lim f(x) =A

^x→x0

№10 Предел функции по Коши

Число А называется пределом функции f(x) в точке x₀ если для любого сколь угодно малого числа E>0 (эпселон больше 0) найдется такое число δ>0 (дельта больше 0), что для всех х таких, что | x-x₀|< δ, x≠x₀ выполняется неравенство |f(x)-A|

№11 Предел числовой последовательности

Число а называется пределом последовательности x_n, если для любого положительного E>0 найдется такое число n, где nn-a|n = a

^n→∞

Если последовательность имеет предел, равный а, то она сходится к а. Теорема: сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Операции над пределами последовательностей:

Пусть lim x_n = a; lim у_n = b, тогда

^{n→∞ n→∞}

– lim (x_n± у_n) = a±b;

^n→∞

– lim (x_n* у_n) = a*b;

^n→∞

– lim (c* x_n) = c*a;

^n→∞

– lim (x_n)^R = (lim x_n)^R=a^R;

^n→∞

– lim (x_n)^1/R = a^1/R;

^n→∞

– lim a = a.

^n→∞

Бесконечно большие последовательности:

– lim x_n= ±∞;

^n→∞

Правила вычисления пределов ЧП:

– lim x_n= а; lim y_n= ±∞, тогда lim x_n/ lim y_n = а/±∞=0;

^{n→∞ n→∞ n→∞ n→∞}

– lim x_n= 0; lim y_n= ±∞, тогда lim y_n=0, lim (x_n/ y_n)= ±∞

^{n→0 n→∞ n→∞ n→∞}

№12 Общее уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Если точки М₀ (x₀ ; y₀ ; z₀ ), М₁ (x₁ ; y₁ ; z₁ ), М₂ (x₂ ; y₂ ; z₂ ) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением

x – x₀ y – y₀ z – z₀

x₁ – x₀ y₁ – y₀ z₁ – z₀ = 0

x₂ – x₀ y₂ – y₀ z₂ – z₀

№14 Уравнение прямой в пространстве (общее и каноническое).

Прямая L, проходящая через точку М₀ (x₀ ; y₀ ; z₀ ) и имеющая направляющий вектор a {l,m,n}, представляется уравнениями x – x₀ y – y₀ z – z₀

= = ,

l m n

в ыражающими коллинеарность векторов a {l,m,n} и М₀М { x – x₀ , y – y₀ , z – z₀ }. Они называются каноническими.

№15 Уравнение прямой на плоскости.

Ax + By + C = 0, где А, В, С – постоянные коэффициенты.

З аметим, что n (А; В) – нормальный вектор (n ┴ прямой).

Частные случаи этого уравнения:

– Ах + By = 0 (C=0) – прямая проходит через начало координат;

– Ах + С = 0 (В=0) – прямая параллельна оси Оу;

– Ву + С = 0 (А=0) – прямая параллельна оси Ох;

– Ах = 0 – прямая совпадает с осью Оу;

– Ву = 0 – прямая совпадает с осью Ох.

№16 Векторы. Операции над векторами.

Вектор – направленный отрезок прямой.

I. Правила треугольника. Правила параллелограмма. II. Разность векторов. Параллелограмма.

а b а b а a c

а b a + b = c

a b b а

Равенство векторов:

Два (ненулевых) вектора равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.

Сложение векторов:

Суммой векторов называется третий вектор

Сумма нескольких векторов: Суммой векторов а1, а2, а3, …, аn называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а1 прибавляется вектор а2, к полученному прибавляется вектор а3 и т.д.

Коллинеарность векторов:

Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Скалярное произведение:

Скалярным произведением вектора а на вектор b называется произведение их модулей на косинус угла между ними

Угол между векторами:

cos(a^b)=(a*b)/(|a|*|b|)=(x1x2+y1y2+z1z2)/((x1^2+y1^2+z1^2)*(x2^2+y2^2+z2^2))^1/2

№17 Система линейных уравнений. Формулы Крамера.

x = ∆1/∆; x2 = ∆2/∆; … xn = ∆n/∆

№18 Система линейных уравнений. Метод Гауса.

Системой линейных уравнений, содержащей m-уравнений и n-неизвестных, называется система вида а11х1 + а12х2 + а13х3+…+аnxn = b1;

{ а21х1 + а22х2 + а23х3+…+аnxn = b2; }, где а_ij – коэффициенты системы, b_i – свободные

am1x1 + am2x2 + am3x3+…+amnxn = bm члены

№19 Обратная матрица. Ранг матрицы.

Матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие А* А^-1 = А^-1*А = Е

Всякая невырожденная матрица (т.е. ∆≠0) имеет обратную.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. вычисляем определитель, составленный по данной матрице;

2. находим матрицу А^Т, транспонированную к А;

3. с

   A11 A21 … An1

   A12 A22 … An2

   оставляем союзную матрицу (А^*);

4. вычисляем обратную матрицу по формуле А^-1 = А^*/∆А = 1/∆А* ( )

Ранг м-цы:

Минором R-го порядка произвольной м-цы А называется определитель, составленный из элементов м-цы, расположенных на пересечении каких-либо R-строк и R-столбцов.

Рангом м-цы А называется наибольший из порядков ее миноров, неравных 0.

Базисным минором называется любое из миноров м-цы А, порядок которого равен рангу А.

При элементарных преобразованиях ранг м-цы не изменяется.

Ранг ступенчатой м-цы равен количеству ее не нулевых строк.

Свойства:

– при транспонировании м-цы ее ранг не меняется;

– если вычеркнуть из м-цы нулевой ряд, то ранг не изменится.

№20 Матрицы. Операции над матрицами.

Матрицей размера m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк и n-столбцов. Числа, составляющие м-цу, называются элементами м-цы.

Две м-цы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно.

Виды: м-ца-строка; м-ца-столбец.

М-ца называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Квадратная м-ца, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны 0, называется диагональной.

Если у диагональной м-цы n-го порядка все элеметы главной диагонали равны 1, то м-ца называется единичной n-го порядка и обозначается Е.

Если все элементы м-цы равны 0, то она называется нулевой.

Операции над матрицами:

Умножение м-цы на число. Произведением м-цы А на число λ называется матрица В= λ*А, элементы которой b_ij = λ* a_ij (i=1,…,m, j=1,…,n)

Сложение м-ц. Суммой двух м-ц А и В одинакового размера m на n называется м-ца С=А+В, элементы которой Сij=aij+bij.

Аналогично находится разность.

У

R

множение м-ц. Умножение м-цы А на м-цу В возможно когда число столбцов первой м-цы равно числу строк второй. Тогда произведением м-цы А и В называется м-ца С, каждый элемент которой находится по формуле

Сij=ai1*b1j+ai2*b2j+…+aiR*bR = ∑ais*bsj

S=1

Возведение в степень.

А^2=A*A

Транспонирование м-цы – переход от м-цы А к м-це А^Т, в которой строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка.

№21 Определители n-го порядка. Свойства определителей.

Квадратной м-це А порядка n можно сопоставить число дельта А(|А|, ∆), которое называется определителем, если:

– n=1, A=(a1), ∆A=a1;

a11 a12

a21 a22

a11 a12

a21 a22

– n=2, A= , ∆= =a11a22-a12a21;

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

–n=3, A= ; ∆A=

Свойства определителей:

1. Если у определителя какая-л строка (столбец) состоит только из нулей, то ∆=0;

2. Если какие-л две строки (столбца) определителя пропорциональны, то ∆=0;

3. Если какую-л строку (столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь определитель умножится на это число;

4. Если две строки (столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак;

5. Если к какой-л строке (столбцу) определителя прибавить какую-л другую строку (столбец), умноженное на произвольное число, то определитель не изменится;

6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

№22 Признаки сравнения положительных рядов.

Для исследования сходимости данного положительного ряда U0+U1+U2+… его часто сравнивают с другим положительным рядом V0+V1+V2+…, о котором известно, что он сходится или расходится.

Если ряд 2 сходится и сумма его равна V, а члены данного ряда не превосходят соответствующих членов ряда 2, то данный ряд сходится, и сумма его не превосходит V. При этом остаток данного ряда не превосходит остатка ряда 2.

Если ряд 2 расходится, а члены данного ряда не меньше соответствующих членов ряда 2, то данный ряд расходится.

№23 Признаки Даламбера и Коши сходимости ряда

Признак Даламбера:

Пусть в положительном ряде U1+U2+…+Un+… отношение U_n+1/U_n последующего члена к предыдущему при n→∞ имеет предел q. Возможны три случая:

q<1 –ряд сходится; q>1 – ряд расходится; q=1 – ряд может сходиться, а может и расходиться.

№24 Производные обратных тригонометрических функций.

1. d arcsin x = dx/(1-x^2)^1/2, d/dx arcsin x = 1/(1-x^2)^1/2

2. d arccos x = — dx/(1-x^2)^1/2, d/dx arccos x= — 1/(1-x^2)^1/2

3. d arctg x = dx/(1+x^2), d/dx arctg x = 1/(1+x^2)

4. d arcctg x = — dx/(1+x^2), d/dx arcctg x = — 1/(1+x^2)

№25 Дифференцирование функций, заданных неявно.

Пусть уравнение, связывающее x и y и удовлетворяющееся значениями x=x0 и y=y0, определяет y как неявную функцию от x. Для разыскания производной dy/dx в точке x=x0, y=y0 нет нужды искать явное выражение функции. Достаточно приравнять дифференциалы обеих частей уравнения и из полученного равенства найти отношение dy к dx.

№26 Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Предположим, что функция y от х задана параметрически уравнениями x=x(t), y=y(t), причем в некоторой области изменения параметра t функции x(t) и y(t) дифференцируемы и x’(t)≠0.

Найдем производную у’_x. Как мы знаем у’_x = dy/dx. Так как dx = x’(t)dt, dy = y’(t)dt, то

y’_x = dy/dx = y’(t)dt/x’(t)dt = y’(t)/x’(t) = y’t/x’t.

Таким образом, dy/dx = y’t/x’t. Эта формула позволяет находить производную функции, заданной параметрически.

№28 Дифференциал функции.

Пусть приращение функции y=f(x) разбито на сумму двух членов: ∆y = A ∆x+α, где А не зависит от ∆x (т.е. постоянно при данном значении аргумента x) и α имеет высший порядок относительно ∆x (при ∆x → 0).

Тогда первый член, пропорциональный ∆x, называется дифференциалом функции f(x) и обозначается dy или df(x).

№29 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение вида X1Y1dx +X2Y2dy = 0, где функции X1 и X2 зависят только от x (одна из них или обе могут быть постоянными; то же для функций Y1, Y2), а функции Y1, Y2 – только от y, приводится к виду ydx – xdy = 0 делением на Y1X2. Процесс произведения называется разделением переменных.

№30 Площадь криволинейной трапеции.

Ф

b

b

b

игура, ограниченная прямыми y=P; x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной на [a, b] функции f(x), называется криволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции

равна

a

a

a

∫f(x)dx; ∫f(x)dx – ∫g(x)dx

№31 Дифференциальные однородные уравнения первого порядка.

ДУ первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде y’ = g (y/x).

Однородное ДУ преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены z=y/x; y=z*x, то y’=z’x+z, поэтому уравнение y’=g(y/x) преобразуем к виду z’x+z=g(z); dz*x/dx=g(z)-z; dz(g(z)-z)=dx/x.

Найдя его общее решение следует заметить в нем z на y/x.

Однородное ДУ часто задается в дифференциальной форме: P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0.

ДУ будет однородным, если P(x;y) и Q(x;y) – однородные функции одинакового порядка.

Переписав уравнение в виде dy/dx=-P(x;y)/Q(x;y) и переменив в правой части рассмотренное выше преобразование получим уравнение y’=g(y/x).

При интегрировании уравнения P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 нет необходимости предварительно приводить их к виду y’=g(y/x): подстановка z=y/x сразу преобразует уравнение P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 в уравнение с разделяющимися переменными.

№32 Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида а₀+а₁х+а₂х²+…+a_nxⁿ+…, а также ряд более общего вида а₀+а1(х-х₀)+а₂(х-х₀)²+…+a_n(x-х₀)ⁿ+…, где х₀ – постоянная величина. О первом ряде говорят, что он расположен по степеням х, во втором – что он расположен по степеням х-х_0.

Постоянные а₀, а₁, …, а_n, … называются коэффициентами степенного ряда.

Степенной ряд всегда сходится при х=0.

№33 Кривые второго порядка на плоскости (эллипс, гипербола, парабола).

Линии, определяемые уравнениями второй степени относительно переменных x и y, т.е. уравнениям вида Ах²+2Вху+Су²+2Вх+2Еу+F=0 (А²+В²+С²≠0), называются кривыми 2-го порядка.

Эллипс.

х ²/а²+у²/b²=1

Гипербола.

х²/а²-у²/b²=1

Парабола.

y²=2px, где p>0

№

z

34 Дифференциальные уравнения, приводимые к уравнениям однородной функции.

№35 Эллипсоид (уравнение и чертеж).

x²/a²+y²/b²+z²/c²=1

№36 Гиперболоид (уравнение, чертеж).

x²/a²+y²/b²-z²/c²=1

гиперболоид

№ 37 Параболоид эллиптический (уравнение, чертеж)

x²/a²+y²/b²=2pz

№38 Параболоид гиперболический (уравнение, чертеж)

x²/a²-y²/b²=2pz

№39 Уравнение в полных дифференциалах

Если коэффициенты P(x,y), Q(x,y) в уравнении

P (x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)удовлетворяют условию

δP/δy=δQ/δx, то левая часть (1) есть полный дифференциал

некоторой функции F (x,y). Общий интеграл уравнения (1)

будет: F (x,y) = C.

20