Дроби – коротко о главном
Определения:
Простая дробь (обыкновенная дробь) – запись рационального числа в виде отношения двух чисел (displaystylefrac{a}{b}).
Делимое (displaystyle a) – числитель дроби, а делитель (displaystyle b) – знаменатель дроби.
Правильная дробь – дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
Например: (displaystylefrac{2}{5}), (displaystylefrac{1}{7}) и так далее.
Неправильная дробь –дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.
Например: (displaystylefrac{9}{5}), (displaystylefrac{13}{2}) и так далее.
Смешанная дробь – дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дроби.
Например: (displaystyle2frac{2}{5})( displaystyle displaystyle=frac{2cdot 5}{5}+frac{2}{5}=frac{10}{5}+frac{2}{5}=frac{12}{5}).
Десятичная дробь – обыкновенная дробь со знаменателем (displaystyle10), (displaystyle100), (displaystyle1000) и так далее, (т.е. (displaystyle{{10}^{n}}), где (displaystyle n) — натуральное число).
Например: (displaystylefrac{9}{100}) в виде десятичной дроби записывается как (displaystyle0,09),
(displaystylefrac{225}{1000}) записывается как (displaystyle0,225).
Основное свойство дроби:
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, дробь не изменится, несмотря на то, что выглядеть она будет по-другому.
Например: (displaystylefrac{1}{5}=frac{1cdot 2}{5cdot 2}=frac{2}{10}).
Действия с дробями:
Сложение/вычитание дробей
- две дроби с одинаковыми знаменателями: складываем/вычитаем их числители, а знаменатель оставляем без изменений: (displaystylefrac{a}{c}+frac{b}{c}=frac{a+b}{c})
- две обыкновенные дроби с разными знаменателями:
- приводим дроби к наименьшему общему знаменателю;
- складываем/вычитаем числители дробей, а знаменатель оставляем без изменений;
- сокращаем полученную дробь
- две смешанные дроби с разными знаменателями:
- приводим дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;
- по-отдельности складываем/вычитаем целые части и дробные части;
- если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем целую часть из этой дроби и прибавляем ее к полученной целой части / если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превращаем ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу, целую часть;
- сокращаем полученную дробь.
Умножение дробей
- умножение дроби на натуральное число: числитель умножаем на число, а знаменатель оставляем неизменным
- умножение двух обыкновенных дробей:
- перемножаем числители и знаменатели дробей;
- сокращаем полученную дробь
- умножение двух смешанных чисел:
- преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
- перемножаем числители и знаменатели дробей;
- сокращаем полученную дробь;
- если получилась неправильная дробь преобразовываем ее в смешанную.
Деление дробей
- деление дроби на натуральное число: знаменатель дроби умножаем на число, а числитель оставляем неизменным
- деление натурального числа на дробь: число умножаем на дробь обратную данной
- деление обыкновенных дробей: умножаем первую обыкновенную дробь на дробь, обратную второй
- деление двух смешанных чисел:
- преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
- умножаем первую дробь на дробь, обратную второй; (3) сокращаем полученную дробь; (4) если получилась неправильная дробь преобразовываем ее в смешанную.
Сокращение дроби
Чтобы сократить дробь (displaystylefrac{a}{b}) нужно найти наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя. Если наибольший общий делитель равен (displaystyle1), то дробь сократить нельзя.
Например: (displaystylefrac{5}{15}=frac{5:5}{15:5}=frac{1}{3}).
Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю
- найдите наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей (наименьший общий знаменатель);
- разделите наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найдите для каждой дроби дополнительный множитель;
- умножьте числитель и знаменатели каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Например: (displaystylefrac{1}{3}) и (displaystylefrac{3}{4}). Наименьший общий знаменатель – (displaystyle12).
Дополнительный множитель первой дроби – (displaystyle12:3=4), дополнительный множитель второй дроби – (displaystyle12:4=3).
Следовательно: для первой дроби: (displaystylefrac{1cdot 4}{3cdot 4}=frac{4}{12}), для второй дроби: (displaystylefrac{3cdot 3}{4cdot 3}=frac{9}{12}).
Преобразования неправильной дроби в смешанную дробь
- поделите числитель дроби на ее знаменатель;
- остаток от деления запишите в числитель, знаменатель оставьте прежним;
- результат от деления запишите в качестве целой части.
Например: (displaystylefrac{17}{4}) = (displaystyle4frac{1}{4}).
Сравнение дробей:
- две дроби с одинаковыми знаменателями: больше та дробь, числитель которой больше
- две дроби с одинаковыми числителями: больше та дробь, знаменатель которой меньше
- две обыкновенные дроби: после приведения дробей к общему знаменателю, больше та дробь, числитель которой больше
Простые дроби
В данном случае от целого куска в сторонке отделенная одна доля, одна из четырех, одна четвертая.
Это простая дробь.
Простые дроби принято записывать одним из следующих способов: (displaystyle frac{1}{4}), (displaystyle {1}/{4};.)
Ты не поверишь, все эти записи означают одно и то же – одна четвертая. А что останется если забрать эту (displaystyle 1/4?) Было (displaystyle 4) из (displaystyle 4), или (displaystyle 4/4), забрали (displaystyle 1/4).
Верно, останется (displaystyle 3) дольки, (displaystyle 3) из (displaystyle 4). Запишем, как полагается, (displaystyle 3/4).
Можно даже вот так: (displaystyle 4/4-1/4=3/4)
То, что находится выше черты – это числитель (ну или слева от черты в такой записи как тут), то, что ниже – знаменатель.
Можно запомнить так: Ч – чердак. Числитель сверху 🙂
Примеры простых дробей: (displaystyle 1/5,text{ }2/4,text{ }3/10,text{ }17/3.)
Правильные и неправильные простые дроби
В этом ряду все дроби правильные, в них числитель меньше знаменателя. Кроме одной. Да-да, ты не ошибся, бывает и такое, что числитель больше знаменателя, как в этой дроби, например: (displaystyle 17/3).
Если числитель больше знаменателя, то дробь называется неправильной.
Вне зависимости от того правильная дробь или неправильная, она будет простой.
Давай остановимся на неправильной дроби (displaystyle 17/3). Что же это она неправильная?
Вспоминай пример с пирогом, там была (displaystyle 1/4) – одна часть из четырех, а тут что получается? (displaystyle 17) частей из (displaystyle 3)?
Бред какой-то! У нас в знаменателе число, которое означает, что весь пирог состоит из стольки частей! Берем (displaystyle 4) части и поучаем целый ровненький пирог. Но числитель говорит, что на данный момент у нас есть лишь одна из этих частей.
А (displaystyle 17/3)?
Что же, у нас есть (displaystyle 17) частей, а для целого пирога в данном случае надо (displaystyle 3) части. Ну так давай соберем из кусочков целые пироги и отдельно их поставим.
Как узнать сколько пирогов мы можем получить из (displaystyle 17) частей? Верно, надо на (displaystyle 3) как раз и поделить.
Если попробовать составить (displaystyle 6) пирогов, т.е. (displaystyle 3cdot 6=18), надо (displaystyle 18) частей. Не хватает. А (displaystyle 3cdot 5=15), о, хватило! Получается (displaystyle 5) целых пирогов собрали, положили в сторону. Осталось (displaystyle 17-3cdot 5=2,2), ( displaystyle 2) куска.
А для целого пирога надо ( displaystyle 3) части. В итоге у нас ( displaystyle 5) целых и ( displaystyle 2/3) (две третьих) пирога.
Много места занимает такое обозначение. А что если убрать лишние слова и оставить только ( displaystyle 5frac{2}{3}) (пять целых и две третьих).
Смешанная дробь
То, что у нас получилось (( displaystyle 5frac{2}{3})), называют смешанная дробь – дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дроби.
То, что между ( displaystyle 5) пирогами и ( displaystyle 2/3) пирога нет никакого знака не говорит о том, что там знак умножения, как если бы мы писали ( displaystyle 2x)!!!
Запомни, между целой и дробной частями можно поставить знак плюс, вот так: ( displaystyle 5frac{2}{3}=5+frac{2}{3}).
Так же можно проделать и обратное действие, т.е. преобразование из смешанной дроби в неправильную дробь.
Ты же знаешь, как это сделать?
Преобразование из смешанной дроби в неправильную дробь.
Конечно, нужно умножить знаменатель дроби (в случае с , (displaystyle5frac{2}{3}) знаменатель равен ( displaystyle 3)), умножить знаменатель…, верно, на (displaystyle5) и прибавить нецелую часть, а именно – ( displaystyle 2) .
В результате получим исходное ( displaystyle 17/3).
Десятичные дроби
Существует еще один вид дробей, уверен ты его знаешь. Бери калькулятор и дели ( displaystyle 11) на ( displaystyle 2), например. Что пишет, ( displaystyle 5,5)? Что за штука такая?
Читается это как пять целых и пять десятых, равносильно (displaystyle5frac{5}{10}). Иными словами ( displaystyle 11/2=5,5=5frac{5}{10}), все это одно и то же.
Дроби типа ( displaystyle 5,5;text{ }42,02;text{ }0,122) – все это десятичные дроби – это те же самые обыкновенные дроби, но в так называемой десятичной записи.
Десятичная запись используется для дробей со знаменателями ( displaystyle 10), ( displaystyle 100), ( displaystyle 1000) и т. д. В десятичных дробях так же есть целая и дробная части.
Для ясности возьмем вот такую дробь ( displaystyle 12,856):
- до запятой – целая часть (( displaystyle 12));
- первый знак после запятой – десятые доли (( displaystyle 8/10));
- второй – сотые доли (( displaystyle 5/100));
- третий – (( displaystyle 6/1000)).
И так далее. В зависимости от того на каком месте после запятой находится последний знак читается число. Читается так: ( displaystyle 1,2) – одна целая, две десятых; ( displaystyle 42,02)– сорок две целых, две сотых; ( displaystyle 0,122) – ноль целых сто двадцать две тысячных.
Сокращение дробей
Вот тебе дробь ( displaystyle 4/6) – при виде этой у тебя не возникает никаких мыслей? Ладно, давай так, и ( displaystyle 4) и ( displaystyle 6) делятся на… Да, делятся на ( displaystyle 2).
А что, если я скажу тебе, что ты можешь разделить ( displaystyle 4) на ( displaystyle 2) и разделить ( displaystyle 6) на ( displaystyle 2), и получившееся записать в таком виде как было до деления, а именно: (displaystylefrac{4:2}{6:2}=frac{2}{3}), а проще говоря, ( displaystyle 4/6=2/3).
Это еще не все, ты так же можешь умножить на ( displaystyle 3), например, и ( displaystyle 2) и ( displaystyle 3), а результат записать так (displaystylefrac{2cdot 3}{3cdot 3}=frac{6}{9}). По сути (displaystylefrac{2}{3}=frac{6}{9}).
Все это вытекает из основного свойства дроби:
Если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится.
С помощью основного свойства дроби можно заменить данную дробь другой, равной данной, но с меньшими числителем и знаменателем. Такая замена называется сокращением дроби.
Попробуй сократить дроби сам:
- ( displaystyle 4/8)
- ( displaystyle 12/9)
- ( displaystyle 10/100)
Ответы:
- ( displaystyle 4/8=1/2)
- ( displaystyle 12/9=4/3)
- ( displaystyle 1/10)
Приведение дробей к общему знаменателю
Представляешь, любые две дроби можно привести к общему знаменателю! Ну, если тебя это не поразило, ты, наверное, не понял о чем я. Вот смотри. Есть две дроби ( displaystyle 1/3) и ( displaystyle 3/5).
Тебе надо изменить эти дроби так, чтоб значение дробей не поменялось, но в знаменателе у обеих стало одно и то же число. Подскажу лишь, что для этого нужно воспользоваться основным свойством дроби.
Ладно, так и быть, покажу сам: ( displaystyle 1/3=5/15); ( displaystyle 3/5=9/15). Как ты видишь в знаменателе у обеих дробей ( displaystyle 15), и при этом, если сократить дроби, первую на ( displaystyle 5), а вторую на ( displaystyle 3), то получатся те же ( displaystyle 1/3) и ( displaystyle 3/5)!
Сказать, как это делается? Так и быть, тебе сегодня везет, читай ниже.
Алгоритм приведения дробей к общему знаменателю
- найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей (наименьший общий знаменатель);
- разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;
- умножить числитель и знаменатели каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Наименьшим общим знаменателем (наименьшее общее кратное) этих двух дробей является ( displaystyle 15), то есть наименьшее число, которое делится и на ( displaystyle 3) и на ( displaystyle 5) (их знаменатели).
В данном случае я просто перемножил их знаменатели – умножил ( displaystyle 3) на ( displaystyle 5), получив тем самым ( displaystyle 15).
Чтоб понять этот момент лучше, советую обратиться к теме Целые числа, там ты найдешь, что такое наименьшее общее кратное (НОК) и с чем его едят.
Далее, по основному свойству дроби мне нужно было умножить числитель на то же число, на которое я домножал знаменатель, чтоб получить ( displaystyle 15). В первом случае это число ( displaystyle 5), во втором ( displaystyle 3).
И, наконец, найдя для обеих дробей множители, умножение на которые приведет к нужному результату, я умножаю и числитель и знаменатель дробей на соответствующие множители.
(displaystylefrac{1cdot 5}{3cdot 5}=frac{5}{15}); (displaystylefrac{3cdot 3}{5cdot 3}=frac{9}{15})
Сложение дробей
Самый простой вариант, когда дроби, которые надо сложить, имеют одинаковый знаменатель.
Ты же еще не забыл, что это такое, правда?
Например, ( displaystyle 2/5+1/5). Вспомнив пример с кусочками пирога, думаю, ты без проблем догадаешься, что если складывать равные дольки одного пирога, то знаменатель меняться не будет, а складываются лишь числители.
Сложение будет выглядеть следующим образом: ( displaystyle frac{2}{5}+frac{1}{5}=frac{2+1}{5}=frac{3}{5}). Не сложно догадаться и как складывать смешанные дроби.
Отдельно складываются целые и дробные части:
( displaystyle 2frac{2}{3}+4frac{1}{3}=6frac{2+1}{3}=6frac{3}{3}=7).
А что, если знаменатели у дробей разные, а? Например, ( displaystyle 2/3+1/2).
И тут ты сразу вспоминаешь, что мы проходили приведение дробей к общему знаменателю, и, наконец, становится понятно, зачем это было учить!
В данном примере общим знаменателем будет число ( displaystyle 6), как наименьшее общее кратное чисел ( displaystyle 2) и ( displaystyle 3). ( displaystyle frac{2}{3}+frac{1}{2}=frac{4}{6}+frac{3}{6}=frac{7}{6}=1frac{1}{6}).
Поскольку ты теперь умеешь приводить неправильную дробь к смешанной дроби, то открою тебе секрет, что это является не просто хорошим тоном, но и обязательным действием при упрощении выражений, после получения ответа избавиться от неправильных дробей.
С десятичными дробями все еще проще.
Сложение делается, как и с обычными числами, только не забывай про запятую. Вот тебе пример: (displaystyle15,2+2,91).
Я предлагаю решать так: удобнее всего вычитать в столбик, расположив одну дробь под другой, но при этом запятая должна стоять строго под запятой вне зависимости от количества знаков до и после нее.
Как ты видишь, у второй дроби после запятой было на один знак больше. Для достижения одинакового количества знаков, я добавил еще один ноль в конце первой дроби.
Невероятно, но после последнего знака после запятой ты можешь добавить сколько угодно нулей, и это не изменит смысла дроби!
Вычитание дробей
Вычитание дробей практически ни чем не отличается от сложения, ну разве что знаком. А так, вычитается знаменатель из знаменателя, при сохранении общего числителя неизменным, а в случае если знаменатели разные, дроби приводятся к общему знаменателю.
Но куда же без специфики, тут она тоже присутствует.
Если ты вычитаешь одну смешанную дробь из другой, то в случае, если дробная часть уменьшаемой дроби меньше, чем у той, которую ты вычитаешь, то нужно уменьшить целую часть дроби на один и перенести в дробную часть, и вычитать из целой части целую, а из дробной дробную.
Что-нибудь понятно хоть чуточку? – Ладно, смотри пример, сейчас разберешься!
( displaystyle 4frac{1}{3}-2frac{2}{3}=3frac{4}{3}-2frac{2}{3}=1frac{2}{3}) – как ты видишь, в дробной части, тут из ( displaystyle 1/3) вычитается ( displaystyle 2/3).
Но, очевидно, что, не привлекая «кусочки» от целого пирога, вычитание совершить нельзя. Для этого один пирог режут на куски и добавляют их к дробной части.
Получается, что уже из ( displaystyle 4/3) вычитают ( displaystyle 2/3), а тут уж нет проблем.
А с десятичными дробями все то же самое, что и было при сложении.
Вот тебе пример:
Есть вопросы по нему? Думаю, все логично и понятно, если нет, то еще раз посмотри, как делали сложение.
Умножение дробей
Умножать дробь на число – элементарно! ( displaystyle 4cdot frac{2}{3} ) – вот пример, это произведение четырех и ( displaystyle 2/3), не путай с ( displaystyle 4frac{2}{3}) – это четыре целых, две третьих!!! Ну, так вот, ( displaystyle 4cdot frac{2}{3} =frac{4cdot 2}{3}=frac{8}{3}=2frac{2}{3}).
Просто умножаешь число на числитель, а знаменатель не трогаешь!
Умножение смешанной дроби на число: ( displaystyle 4cdot 2frac{2}{5}) . Умножаешь и целую, и дробную части на ( displaystyle 4). Вот как это выглядит: ( displaystyle 4cdot 3frac{2}{5}=12frac{8}{5}=13frac{3}{5}).
Все сложнее при умножении дроби на дробь.
Алгоритм умножения дроби на дробь
- Если дробь смешанная, привести ее к виду обыкновенной неправильной дроби;
- Перемножить числители дробей, перемножить знаменатели дробей;
- Записать результат умножения числителей в числитель, а знаменателей, в знаменатель.
Заметь, что для умножения дробей с разными знаменателями не нужно приводить их к общему знаменателю!
Вот как все делается: ( displaystyle 3frac{2}{5}cdot 2frac{1}{3}=frac{17}{5}cdot frac{7}{3}=frac{119}{15}=7frac{14}{15}).
Умножение десятичных дробей на число или на десятичную дробь делается просто в столбик, и без запятых. Главное не забыть что?
Правильно, после умножения поставить запятую, отсчитав справа столько знаков, сколько было в сумме у двух множителей до умножения.
Например: ( displaystyle 17,3cdot 5,1=88,23). В множителях было в сумме два знака справа от запятой, можно просто перемножить ( displaystyle 173) и ( displaystyle 51), а потом к результату дописать запятую, отсчитав два знака справа.
Деление дробей
Деление. А что деление? Деление это действие обратное умножению. Сейчас поясню, существует такое понятие, как «обратная дробь», или дробь обратная данной, иными словами, это попросту перевернутая дробь!
Деление дроби на дробь, по сути, это умножение на дробь обратную.
Смотри: ( displaystyle frac{1}{7}:frac{3}{5}=frac{1}{7}cdot frac{5}{3}=frac{5}{21})
Как ты видишь, дробь ( displaystyle 3/5) просто переворачивается, а знак деления меняется на умножение!
А деление дроби на число или наоборот особо не отличается от деления на дробь, ведь любое число можно представить виде дроби – как, спросишь ты?
А ты знаешь, сколько будет ( displaystyle 7/1), например? По сути это ( displaystyle 7) пирогов разделить на одного человека. Сколько пирогов получит он? Семь!
Таким образом, любое число можно представить в виде дроби, в которой это число разделено на (displaystyle1).
Значит, ( displaystyle 7:frac{3}{5}=frac{7}{1}cdot frac{5}{3}=frac{35}{3}=11frac{2}{3}).
Деление десятичных дробей производится ровно, так же как и умножение, с тем же главным правилом, не забывать после деления поставить в частном запятую, отсчитав справа столько знаков, сколько было в сумме у делимого и делителя до самого деления!
Основное свойство дроби
Если ad=bc, то две дроби frac{a}{b}и frac{c}{d} считаются равными. К примеру, равными будут дроби frac35и frac{9}{15}, так как 3 cdot 15 = 15 cdot 9, frac{12}{7}и frac{24}{14}, так как 12 cdot 14 = 7 cdot 24.
Из определения равенства дробей следует, что равными будут дроби frac{a}{b}и frac{am}{bm}, так как a(bm)=b(am) — наглядный пример применения сочетательного и переместительного свойств умножения натуральных чисел в действии.
Значит frac{a}{b} = frac{am}{bm} — так выглядит основное свойство дроби.
Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.
Сокращение дроби — это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.
Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.
Например, frac{45}{60}=frac{15}{20}(числитель и знаменатель делится на число 3); полученную дробь снова можно сократить, разделив на 5, то есть frac{15}{20}=frac 34.
Несократимая дробь — это дробь вида frac 34, где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.
Приведение дробей к общему знаменателю
Возьмем в качестве примера две дроби: frac{2}{3}и frac{5}{8} с разными знаменателями 3 и 8. Для того, чтобы привести данные дроби к общему знаменателю и сначала перемножим числитель и знаменатель дроби frac{2}{3}на 8. Получаем следующий результат: frac{2 cdot 8}{3 cdot 8} = frac{16}{24}. Затем умножаем числитель и знаменатель дроби frac{5}{8}на 3. Получаем в итоге: frac{5 cdot 3}{8 cdot 3} = frac{15}{24}. Итак, исходные дроби приведены к общему знаменателю 24.
Арифметические действия над обыкновенными дробями
Сложение обыкновенных дробей
а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:
frac{a}{b}+frac{c}{b}=frac{a+c}{b};
б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а):
frac{7}{3}+frac{1}{4}=frac{7 cdot 4}{3}+frac{1 cdot 3}{4}=frac{28}{12}+frac{3}{12}=frac{31}{12}.
Вычитание обыкновенных дробей
а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:
frac{a}{b}-frac{c}{b}=frac{a-c}{b};
б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а).
Умножение обыкновенных дробей
Умножение дробей подчиняется следующему правилу:
frac{a}{b} cdot frac{c}{d}=frac{a cdot c}{b cdot d},
то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.
Например:
frac{3}{5} cdot frac{4}{8} = frac{3 cdot 4}{5 cdot 8}=frac{12}{40}.
Деление обыкновенных дробей
Деление дробей производят следующим способом:
frac{a}{b} : frac{c}{d}= frac{ad}{bc},
то есть дробь frac{a}{b} умножается на дробь frac{d}{c}.
Пример: frac{7}{2} : frac{1}{8}=frac{7}{2} cdot frac{8}{1}=frac{7 cdot 8}{2 cdot 1}=frac{56}{2}.
Взаимно обратные числа
Если ab=1, то число b является обратным числом для числа a.
Пример: для числа 9 обратным является frac{1}{9}, так как 9 cdot frac{1}{9}=1, для числа 5 — frac{1}{5}, так как 5 cdot frac{1}{5}=1.
Десятичные дроби
Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10,000, …, 10^n.
Например: frac{6}{10}=0,6;enspace frac{44}{1000}=0,044.
Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.
Например: 5frac{1}{10}=5,1;enspace frac{763}{100}=7frac{63}{100}=7,63.
В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10.
Пример: 5 — делитель числа 100, поэтому дробь frac{1}{5}=frac{1 cdot 20}{5 cdot 20}=frac{20}{100}=0,2.
Арифметические действия над десятичными дробями
Сложение десятичных дробей
Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.
Вычитание десятичных дробей
Выполняется аналогично сложению.
Умножение десятичных дробей
При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.
Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3. Имеем 27 cdot 13=351. Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=2). В итоге получаем 2,7 cdot 1,3=3,51.
Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:
Для умножения на 10, 100, 1000, надо в десятичной дроби перенести запятую на 1, 2, 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).
Например: 1,47 cdot 10,000 = 14 700.
Деление десятичных дробей
Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.
Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:
.png)
Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12. Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100, то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112, то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:
.png)
Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.
2,8 : 0,09= frac{28}{10} : frac {9}{100}= frac{28 cdot 100}{10 cdot 9}=frac{280}{9}=31 frac{1}{9}.
Дроби
Правильные обыкновенные дроби — числитель меньше знаменателя
Пример:
${1}/{3}; {7}/{11}$
Неправильные обыкновенные дроби – числитель больше знаменателя.
Пример:
${7}/{5}; {11}/{6}$
Смешанные обыкновенные дроби – дроби, у которых имеется целая и дробная часть. Между целой и дробной частью стоит знак $+$, но его не пишут.
Пример:
$3{2}/{5}=3+{2}/{5}$
- Чтобы перейти из смешанной дроби в неправильную дробь надо знаменатель умножить на целое значение, к этому результату прибавить числитель и записать полученное число в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним.
Пример:
$3 {2}/{5}={3∙5+2}/{5}={17}/{5}$
- Чтобы в неправильной дроби выделить целую часть надо в столбик делить числитель на знаменатель до последнего остатка, далее:
- Результат деления – это целая часть новой дроби.
- Остаток — это числитель новой дроби.
- Знаменатель остается прежним.
Пример: Выделить целую часть ${22}/{3}$
При делении $22$ на $3$ получаем $7$ в результате и $(1)$ в остатке, следовательно, ${22}/{3}=7{1}/{3}$
- Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться следующими правилами.
- Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого найти наименьшее общее кратное знаменателей.
- Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этого наименьший общий знаменатель делим по очереди на знаменатель каждой дроби. Полученные числа и будут дополнительными множителями для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху.
- Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель. Если в результате получилась неправильная дробь, то выделяем целую часть. Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.
- При умножении и делении дробей их надо подписать под общей чертой и сократить.
- При делении дробей, вторую дробь переворачиваем.
- При умножении или делении смешанных дробей, дроби надо перевести в неправильные.
Десятичная дробь — это любая числовая дробь, в знаменателе которой стоит степень десятки.
Пример:
${34}/{100}=0.34; {45}/{10}=4.5$
Десятичная запись — это форма записи десятичных дробей, где целая часть отделяется от дробной с помощью обычной точки или запятой. При этом сам разделитель (точка или запятая) называется десятичной точкой.
- Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно. Удобно это выполнять в столбик. При этом десятичные дроби подписывают друг под другом так, чтобы запятая была под запятой. Добавляют или отнимают десятичные дроби, как натуральные числа, несмотря на запятую. В результате запятую ставят под запятыми.
Пример:
$0.36+0.2=0.56$
$0.36+0.20=0.56$
$0.03-0.0012=0.0288$
$0.0300-0.0012=0.0288$
- При умножении десятичных дробей надо:
- Выполнить умножение чисел, не обращая внимания на запятые.
- В результате с конца отделить количество знаков, равное сумме количества знаков у обоих множителей.
Пример:
Выполнить умножение $0.28·12.5$
- Умножим $28·125=3500$
- Отделим у $3500$ с конца три знака, так как у множителей было $2$ цифры после запятой и одна (вместе три), получаем $3.500$ или $3.5$.
- Деление десятичных дробей
- Перевести все десятичные дроби в обычные. (Как дробь читается, так и записывается в обыкновенном виде , например $3.14$ (Три целых четырнадцать сотых ) можем записать как $3 {14}/{100}$ или ${314}/{100}$)
- Разделить полученные дроби классическим способом. Другими словами, умножить первую дробь на «перевернутую» вторую
- Если возможно, результат снова представить в виде десятичной дроби.
Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, состоящие из чисел и букв, соединенные между собой знаками алгебраических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.
Рациональное выражение называется дробным, если оно содержит деление на буквенное выражение, например: ${2а}/{7с}$
Алгебраическое выражение, которое состоит только из действия умножения и возведения в степень, называется одночленом.
Пример:
$5а^5 ср^2$ — это одночлен, в котором $5$ — это коэффициент, а $а^5 ср^2$ — буквенная часть.
- Чтобы возвести в степень одночлен, надо возвести в эту степень каждый сомножитель и полученные результаты перемножить.
Пример:
$(2а^2 хс^5)^3=8а^6 х^3 с^{15}$
Несколько одночленов, соединенных знаками сложения и вычитания, образуют многочлен.
Например: $4x^3-3xy+8y^5$ — это многочлен. Многочлен может обозначаться записью $Р(х)$ — это означает, что многочлен зависит от «х», если записать $Р(х+1)$ — это означает, что в многочлене вместо «х» надо сделать замену на скобку (х+1)
Пример:
Найдите значение выражения: $4(p(2x)−2p(x+3))$, если $p(x)=x−6$
Решение:
В данном условии задан многочлен, зависящий от «х», как $p(x)=x−6$.
Чтобы было понятнее, назовем исходный многочлен основной формулой, тогда, чтобы записать $p(2x)$, в основной формуле заменим «х» на «2х».
$p(2x)=2х-6$
Аналогично $p(x+3)= (х+3)-6 = х+3-6 = х-3$
Соберем все выражение: $4(p(2x)−2p(x+3))=4((2х-6)-2(х-3))$
Далее осталось раскрыть скобки и привести подобные слагаемые
$4((2х-6)-2(х-3))=4(2х-6-2х+6)=4∙0=0$
Ответ: $0$
- В многочлене одинаковые или различные только коэффициентами одночлены называются подобными слагаемыми, только подобные слагаемые можно складывать или вычитать между собой. При сложении подобных слагаемых, складываются только коэффициенты, буквенная часть остается прежней. <
Пример:
Упростить выражение $2a^2 b-4ab^2-5a^2 b+10ab^2$
Решение:
В данном многочлене найдем слагаемые с одинаковой буквенной частью ($2a^2 b$ и $-5a^2 b; -4ab^2$ и $10ab^2$)- это и будут подобные слагаемые, которые можно сложить между собой.
При сложении подобных слагаемых, складываются только коэффициенты, буквенная часть остается прежней.
$2a^2 b-5a^2 b=-3a^2 b$
$-4ab^2+10ab^2=6ab^2$
В результате получаем $-3a^2 b+6ab^2$
Ответ: $-3a^2 b+6ab^2$
- Чтобы умножить (разделить) многочлен на одночлен, достаточно каждый член многочлена умножить (разделить) на одночлен и полученный результат сложить.
- Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить.
Пример:
Выполните умножение $(2xy-7xy^2)(4y^2+2x^2 y)$
Решение:
Умножение выполняем по схеме
Т.е. сначала берем первое слагаемое из первой скобки и умножаем по очереди на слагаемые из второй скобки, потом то же самое проделываем со вторым слагаемым из первой скобки
$2xy·4y^2+2xy·2x^2 y-7xy^2·4y^2-7xy^2·2x^2 y$
В каждом полученном слагаемом сначала умножаем коэффициенты, а потом буквенную часть по правилам степеней.
$2xy·4y^2+2xy·2x^2 y-7xy^2·4y^2-7xy^2·2x^2 y=8xy^3+4x^3 y^2-28xy^4-14x^3 y^3$
Подобных слагаемых при умножении не получили, поэтому данное выражение является результатом.
- Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, надо записать без скобок все слагаемые, стоящие в скобках, с их знаками. $a+(b-c)=a+b-c$
- Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, надо записать с противоположными знаками (уже без скобок) все слагаемые, ранее стоящие в скобках. $a-(b-c)=a-b+c$
Формулы сокращенного умножения
- Квадрат суммы раскладывается на квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
- Квадрат разности раскладывается на квадрат первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа. $(a-b)2=a^2-2ab+b^2$
- Разность квадратов раскладывается на произведение разности чисел и их сумму. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
- Куб суммы равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа плюс куб второго числа. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
- Куб разности равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа и минус куб второго числа. $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
- Сумма кубов равна произведению суммы чисел на неполный квадрат разности. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
- Разность кубов равна произведению разности чисел на неполный квадрат суммы. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Разложение многочленов на множители
Разложить многочлен на множители означает преобразовать его в произведение нескольких множителей (одночленов и скобок, в которых находятся многочлены).
Способы разложения на множители:
- Вынесение общего множителя за скобки.
Чтобы разложить многочлен на множители путем вынесения за скобки общего множителя надо:
- Определить общий множитель.
- Разделить на него данный многочлен.
- Записать произведение общего множителя и полученного частного (заключив это частное в скобки).
Пример:
Разложить на множители многочлен: $10a^3 b-8a^2 b^2+2a.$
Общий множитель у данного многочлена $2а$, так как на $2$ и на «а» делятся все члены. Далее найдем частное от деления исходного многочлена на «2а», получаем:
$10a^3 b-8a^2 b^2+2а=2a({10a^3 b}/{2a}-{8a^2 b^2}/{2a}+{2a}/{2a})=2a(5a^2 b-4ab^2+1)$
Это и есть конечный результат разложения на множители.
- Применение формул сокращенного умножения.
- Метод группировки.
Методом группировки удобно пользоваться, когда на множители необходимо разложить многочлен с четным количеством слагаемых. В данном способе необходимо собрать слагаемые по группам и вынести из каждой группы общий множитель за скобку. У нескольких групп после вынесения в скобках должны получиться одинаковые выражения, далее эту скобку как общий множитель выносим вперед и умножаем на скобку полученного частного.
Пример:
Разложить многочлен на множители $2a^3-a^2+4a-2$
Решение:
Для разложения данного многочлена применим метод группировки слагаемых, для этого сгруппируем первые два и последние два слагаемых, при этом важно правильно поставить знак перед второй группировкой, мы поставим знак $+$ и поэтому в скобках запишем слагаемые со своими знаками.
$2a^3-a^2+4a-2=(2a^3-a^2)+(4a-2)$
Далее из каждой группы вынесем общий множитель
$(2a^3-a^2 )+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$
После вынесения общих множителей получили пару одинаковых скобок. Теперь данную скобку выносим как общий множитель.
$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$
Произведение данных скобок — это конечный результат разложения на множители.
- С помощью формулы квадратного трехчлена.
Если имеется квадратный трехчлен вида $ax^2+bx+c$, то его можно разложить по формуле
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трехчлена
Рациональные дроби
Выражение, представляющее собой дробь, знаменатель которого буквенное выражение, называется рациональной дробью.
В рациональных дробях буквы, входящие в числитель могут принимать любые значения, а буквы, стоящие в знаменателе не должны обращать в ноль знаменатель, поэтому говорят, что знаменатель алгебраической дроби не равен нулю.
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля выражение или число, то дробь не изменится.
${а}/{с}={а·Р}/{с·Р}, Р≠0$
- Чтобы сократить рациональную дробь, обязательно нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то дробь несократима.
- Алгоритм сложения и вычитания рациональных дробей:
- Разложить знаменатель каждой дроби на множители.
- Найти НОЗ.
- Найти дополнительные множители, путем деления общего знаменателя, на знаменатель каждой дроби.
- Умножить числитель каждой дроби на свой дополнительный множитель.
- Привести подобные слагаемые в числителе.
- Разложить числитель на множители.
- Сократить дробь.
Пример:
Найдите значение выражения $(9x^2-25)·({1}/{3x-5}-{1}/{3x+5})$
Решение:
1. Выполним вычитание дробей в скобках, общий знаменатель $(3х-5)(3х+5)$, тогда к первой дроби дополнительный множитель $(3х+5)$, а ко второй дроби $(3х-5)$.
${1}/{3x-5}-{1}/{3x+5}={3х+5-(3х-5)}/{(3х-5)(3х+5)}={3х+5-3х+5}/{(3х-5)(3х+5)}={10}/{(3х-5)(3х+5)}$
2. Выполним умножение
${(9x^2-25)·10}/{(3х-5)(3х+5)}$, для этого первое выражение надо разложить на множители, выполнить умножение и сократить дробь.
${(3х-5)(3х+5)·10}/{(3х-5)(3х+5)}=10$
Ответ: $10$
- Алгоритм умножения рациональных дробей:
- Разложить числители и знаменатели всех дробей, участвующих в умножении, на множители.
- Перемножить отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем произведения.
- Сократить дробь.
- Алгоритм деления рациональных дробей:
- Разложить числители и знаменатели всех дробей, участвующих в умножении, на множители.
- Заменить деление умножением, при этом вторую дробь перевернуть.
- Перемножить отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем произведения.
- Сократить дробь.
Дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой. В принципе всё что можно делать с обычными числами, можно делать и с дробями.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение дробей бывает двух видов:
- Сложение дробей с одинаковыми знаменателями;
- Сложение дробей с разными знаменателями.
Сначала изýчим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.
Например, слóжим дроби 
и 
. Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится 
пиццы:
Пример 2. Сложить дроби 
и .
Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
В ответе получилась неправильная дробь 
. Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два будет один:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:
Пример 3. Сложить дроби 
и .
Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится 
пиццы:
Пример 4. Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к 
пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить 
пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.
Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями нет ничего сложного. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
Сложение дробей с разными знаменателями
Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.
Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.
А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.
Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.
Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1. Сложим дроби 
и
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6
НОК (2 и 3) = 6
Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.
Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.
Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:
Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Таким образом, пример завершается. К прибавить получается 
.
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:
Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби 
и 
. Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).
Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем 
(семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).
Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:
Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби?«.
Поэтому на первых этапах советуем записывать каждую мелочь. Хвастаться можно лишь в будущем, когда будут усвоены азы.
Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:
- Найти НОК знаменателей дробей;
- Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
- Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
- Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;
Пример 2. Найти значение выражения 
.
Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.
Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей
Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4
Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби
Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:
Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители
Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:
Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:
Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.
Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть
У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:
Получили ответ 
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Вычитание дробей бывает двух видов:
- Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
- Вычитание дробей с разными знаменателями
Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения.
Например, найдём значение выражения 
. Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения 
.
Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 3. Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
Вычитание дробей с разными знаменателями
Теперь научимся вычитать дроби у которых разные знаменатели. Когда вычитают дроби их знаменатели должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.
Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.
Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1. Найти значение выражения: 
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12
НОК (3 и 4) = 12
Теперь возвращаемся к дробям и
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:
Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Получили ответ 
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы
Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:
Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби 
и 
. Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):
Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь 
и описывает эти пять кусочков.
Пример 2. Найти значение выражения 
У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Найдём НОК знаменателей этих дробей.
Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30
НОК (10, 3, 5) = 30
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:
Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.
Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:
В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.
Чтобы сократить дробь 
, нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.
Итак, находим НОД чисел 20 и 30:
Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10
Получили ответ
Умножение дроби на число
Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.
Пример 1. Умножить дробь на число 1.
Умножим числитель дроби на число 1
Запись 
можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы
Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как 
, то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:
Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения 
Умножим числитель дроби на 4
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы
А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение 
. Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:
Число, которое умножается на дробь, и знаменатель дроби разрешается сокращать, если они имеют общий делитель, бóльший единицы.
Например, выражение 
можно вычислить двумя способами.
Первый способ. Умножить число 4 на числитель дроби, а знаменатель дроби оставить без изменений:
Второй способ. Умножаемую четвёрку и четвёрку, находящуюся в знаменателе дроби , можно сократить. Сократить эти четвёрки можно на 4, поскольку наибольший общий делитель для двух четвёрок есть сама четвёрка:
Получился тот же результат 3. После сокращения четвёрок, на их месте образуются новые числа: две единицы. Но перемножение единицы с тройкой, и далее деление на единицу ничего не меняет. Поэтому решение можно записать покороче:
Сокращение может быть выполнено даже тогда, когда мы решили воспользоваться первым способом, но на этапе перемножения числа 4 и числителя 3 решили воспользоваться сокращением:
А вот к примеру выражение 
можно вычислить только первым способом — умножить число 7 на числитель дроби 
, а знаменатель оставить без изменений:
Связано это с тем, что число 7 и знаменатель дроби не имеют общего делителя, бóльшего единицы, и соответственно не сокращаются.
Некоторые ученики по ошибке сокращают умножаемое число и числитель дроби. Делать этого нельзя. Например, следующая запись не является правильной:
Сокращение дроби подразумевает, что и числитель и знаменатель будет разделён на одно и тоже число. В ситуации с выражением 
деление выполнено только в числителе, поскольку записать это всё равно, что записать 
. Видим, что деление выполнено только в числителе, а в знаменателе никакого деления не происходит.
Умножение дробей
Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.
Пример 1. Найти значение выражения 
.
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
Получили ответ 
. Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:
Выражение 
можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:
Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:
И взять от этих трех кусочков два:
У нас получится 
пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:
Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:
Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно
Пример 2. Найти значение выражения 
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Пример 3. Найти значение выражения 
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.
Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:
Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15
Представление целого числа в виде дроби
Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как 
. От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:
Обратные числа
Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».
Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.
Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:
Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.
Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:
Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:
Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:
Значит обратным к числу 5, является число 
, поскольку при умножении 5 на получается единица.
Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.
Примеры:
- обратным числа 2 является дробь
- обратным числа 3 является дробь
- обратным числа 4 является дробь
Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.
Примеры:
Деление дроби на число
Допустим, у нас имеется половина пиццы:
Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?
Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.
Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.
Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.
Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.
Итак, требуется разделить дробь на число 2. Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.
Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на
Получили ответ . Значит при делении половины на две части получается четверть.
Попробуем понять механизм этого правила. Для этого рассмотрим следующий простейший пример. Пусть у нас имеется одна целая пицца:
Умножим её на 2. То есть повторим её два раза (или возьмём два раза). В результате будем иметь две пиццы:
Теперь угостим этими пиццами двоих друзей. То есть разделим две пиццы на 2. Тогда каждому достанется по одной пицце:
Разделить две пиццы на 2 это всё равно, что взять половину от этих пицц, то есть умножить число 2 на дробь
В обоих случаях получился один и тот же результат.
Тоже самое происходило, когда мы делили половину пиццы на две части. Чтобы разделить на 2, мы умножили эту дробь на число, обратное делителю 2. А обратное делителю 2 это дробь
Пример 2. Найти значение выражения 
Умножим первую дробь на число, обратное делителю:
Допустим, имеется четверть пиццы и нужно разделить её на двоих:
Если разделить эту четверть на две части, то каждая получившаяся часть будет одной восьмой частью целой пиццы:
Заменять деление умножением можно не только при работе с дробями, но и с обычными числами. Например, все мы знаем, что 10 разделить на 2 будет 5
10 : 2 = 5
Заменим в этом примере деление умножением. Чтобы разделить число 10 на число 2, можно умножить число 10 на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь
Как видно результат не изменился. Мы снова получили ответ 5.
Можно сделать вывод, что деление можно заменять умножением при условии, что вместо делителя будет подставлено обратное ему число.
Пример 3. Найти значение выражения 
Умножим первую дробь на число, обратное делителю. Обратное делителю число это дробь 
Допустим, имелось пиццы:
Как разделить такую пиццу на шестерых? Если каждый из трех кусков разделить пополам, то можно получить 6 равных кусков
Эти шесть кусков являются шестью кусками из двенадцати. А один из этих кусков составляет 
. Поэтому при делении на 6 получается
Деление числа на дробь
Правило деления числа на дробь такое же, как и правило деления дроби на число.
Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.
Например, разделим число 1 на .
Чтобы разделить число 1 на , нужно это число 1 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби это дробь 
Выражение 
можно понимать, как определение количества половин в одной целой пицце. Допустим, имеется одна целая пицца:
Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в этой пицце», то ответом будет 2. Действительно, половина содержится в одной целой пицце два раза
Пример 2. Найти значение выражения 
Умножим число 2 на дробь, обратную делителю. А обратная делителю дробь это дробь
Допустим, у нас имеются две целые пиццы:
Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в двух пиццах», то ответом будет 4. Действительно, половина содержится в двух пиццах четыре раза:
Деление дробей
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
Например, разделим на
Чтобы разделить на , нужно умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби это дробь 
Допустим, имеется половина пиццы:
Если зададим вопрос «сколько раз четверть пиццы содержится в этой половине», то ответом будет 2. Действительно, четверть пиццы содержится в половине пиццы два раза:
Пример 1. Найти значение выражения 
Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Грубо говоря, умножаем первую дробь на перевёрнутую вторую:
Пример 2. Найти значение выражения 
Умножаем первую дробь на дробь обратную второй:
Здесь советуем остановиться и потренироваться. Решите несколько примеров, приведенных ниже. Можете использовать материалы сайта, как справочник. Это позволит вам научиться работать с литературой.
Каждая следующая тема будет более сложной, поэтому нужно тренироваться.
Задания для самостоятельного решения:
Задание 1. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 2. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 3. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 4. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 5. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 6. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 7. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 8. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 9. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 10. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 11. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 12. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 13. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 14. Найдите значение выражения:
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
ОБЫКНОВЕННАЯ ДРОБЬ
Ключевые слова конспекта: дроби, обыкновенная дробь, правильные и неправильные дроби, основное свойство дроби, сравнение дробей, арифметические действия с дробями, нахождение части от целого и целого по его части.
Одна или несколько равных частей единицы называются обыкновенной дробью. Дробь 3/4 означает, что единицу разделили на 4 части и взяли 3 таких части.
Дробь можно рассматривать и как результат деления натуральных чисел. Частное от деления натуральных чисел а и b можно записать в виде дроби a/b — где делимое а — числитель, а делитель b — знаменатель.
Правильная и неправильная дробь
Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной, а дробь, где числитель больше или равен знаменателю, — неправильной.
Число, состоящее из целой и дробной частей, можно обратить в неправильную дробь. Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель и к произведению прибавить числитель данной дроби. Полученная сумма будет числителем дроби, а знаменателем остается знаменатель дробной части.
Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления — это целая часть, остаток — это числитель, делитель — это знаменатель.
Основное свойство дроби
Определение. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной.
Основное свойство дроби используют при сокращении дробей. Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дробей.
Сравнение дробей
- Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
- Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:
- привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
- сравнить полученные дроби.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:
- найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей (оно и будет их общим знаменателем);
- разделить общий знаменатель на знаменатель данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;
- умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Арифметические действия с обыкновенными дробями
Сложение и вычитание дробей
При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель. Полученную дробь, если возможно, сокращают и выделяют целую часть.
При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями нужно предварительно привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) полученные дроби, используя правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.
Особенно надо быть внимательным при сложении (вычитании) с участием смешанных чисел!
Общий случай сложения (вычитания) дробей.
Умножение дробей
- Произведение двух дробей a/b и c/d равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:
- При умножении чисел, состоящих из целой и дробной частей, их предварительно представляют в виде неправильных дробей, а затем умножают согласно п. 1.
Деление дробей
Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1, то есть дроби вида a/b и b/a являются взаимно обратными. Например 1/3 и 3. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное к делителю.
При делении чисел, состоящих из целой и дробной части, нужно предварительно представить их в виде неправильной дроби.
Нахождение части от целого (дроби от числа)
Чтобы найти часть от целого, нужно число, соответствующее целому, разделить на знаменатель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на числитель той же дроби.
Задача нахождения части от целого по существу является задачей нахождения дроби от числа. Чтобы найти дробь (часть) от числа, необходимо число умножить на эту дробь.
Нахождение целого по его части (числа по его дроби)
Чтобы найти целое по его части, нужно число, соответствующее этой части, разделить на числитель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на знаменатель той же дроби.
Задача нахождения целого по его части по существу является задачей нахождения числа по его дроби. Чтобы найти число по его дроби, необходимо данное значение разделить на эту дробь.
Это конспект по теме «Обыкновенная дробь». Выберите дальнейшие действия:
- Перейти к следующему конспекту: Десятичная дробь
- Вернуться к списку конспектов по Математике.
- Проверить знания по Математике.