Новые задания №1 ЕГЭ 2022 по математике профильного уровня — простейшие уравнения.
Для успешного результата необходимо уметь решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы.
Задание №1 ЕГЭ 2022 математика профильный уровень Прототипы
| Источник: math100.ru | → Рациональные уравнения
→ Иррациональные уравнения → Показательные уравнения → Логарифмические уравнения → Тригонометрические уравнения |
| time4math.ru | → скачать задания |
| vk.com/ekaterina_chekmareva | → задания |
При отработке данного задания будут полезны книги:
Купить ЕГЭ 2022 Математика. 100 баллов. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств
Купить Математика: уравнения и неравенства. Подготовка к ЕГЭ: профильный уровень
Купить Показательные и логарифмические уравнения. ЕГЭ. Математика
Купить Методы решения тригонометрических уравнений. ЕГЭ. Математика
Связанные страницы:
Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по математике профильного уровня
Решение 17 задания ЕГЭ по профильной математике
Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по математике базового уровня
Купить сборники типовых вариантов ЕГЭ по математике
Задание 9 профильного ЕГЭ по математике. Практика
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.
2
По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 16 рублей. Если на счету осталось меньше 16 рублей, то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счету было 700 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёт?
3
На одну порцию рисовой каши требуется 40 грамм риса и 0,12 литра молока. Какое наибольшее количество порций каши может приготовить столовая, если в ее распоряжении есть 900 грамм риса и 3 литра молока?
Источник: Добровольное тренировочное тестирование Санкт-Петербург 2013.
4
Ананасы стоят 85 руб. за штуку. Какое максимальное число ананасов можно купить на 500 руб., если их цена снизится на 20%?
Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 1.
5
Стоимость проезда в маршрутном такси составляет 20 руб. Какое наибольшее число поездок можно будет совершить в этом маршрутном такси на 150 руб., если цена проезда снизится на 10%?
Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 2.
Пройти тестирование по этим заданиям
Простейшие текстовые задачи
Раньше это задание было в вариантах Профильного ЕГЭ под номером 1 и считалось одним из самых легких. И тем не менее даже отличники часто ошибаются, решая такие задачи. Почему? – Потому что не прочитали условие или допустили арифметическую ошибку. Внимательно читайте условие и проверяйте решение. И не спешите.
Задачи в этой статье специально подобраны так, чтобы представить все возможные типы заданий с таким номером. Часть из них взяты из Банка заданий ФИПИ, другие – авторские.
Вычисления, простейшие уравнения и пропорции
1. Стоимость 1 килограмма тыквы составляет 75 рублей. Антон купил тыкву весом 4 кг 400 г. Сколько рублей сдачи он должен получить с 350 рублей?
Купленная тыква стоит 
рублей. Сдача с 350 рублей составит 
рублей.
2. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.
За 1 секунду бегун пробежит 10 метров. За 60 секунд (1 минуту) 600 метров. За 1 час он пробежал бы с той же скоростью в 60 раз больше, т.е. 
метров. Скорость бегуна 36 км/ч.
3. Самолет вылетает из Магадана в 15.15 и прилетает в Москву в 15.00 того же дня. Найдите среднюю скорость авиаперелета (в км/ч), если разница во времени между Москвой и Магаданом 8 часов, а длина воздушной трассы 6200 км.
Вылет и прилет всегда указываются по местному времени. Если бы самолет вылетел из Магадана ровно в 15.00 по местному времени, он бы находился в пути 8 часов. Поскольку время вылета 15.15, самолет был в полете 7 часов 45 минут, то есть 
часа.
Задачи на округление (с недостатком, с избытком)
Вспомним правила округления чисел.
Мы применяем их для десятичных дробей, заменяя число на его приближённое значение, записанное с меньшим количеством значащих цифр. Однако в задачах ЕГЭ мы руководствуемся не только правилами округления, но здравым смыслом.
4. Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?
Правильный ответ: 12 шлюпок. Делим 775 на 70, получаем 11 и 5 в остатке. Значит, одиннадцать шлюпок будут полностью загружены пассажирами, а в двенадцатой будет сидеть пять человек. И даже если бы там было два человека или один, все равно ответ — 12 шлюпок. Ответ «одиннадцать, а остальные как-нибудь доплывут» — не принимается, это не фильм «Титаник».
В этой задаче мы округлили с избытком. Так же, как и в следующей.
5. Для покраски 1 кв. м потолка требуется 240 г краски. Краска продаётся в банках по 2,5 кг. Какое наименьшее количество банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 50 кв. м?
Чтобы покрасить 50 кв. метров. потолка, нужно 
г = 12 кг краски. Разделив 12 на 2,5, получим 4,8. Округляем в сторону большего! Неполную банку краски вам не продадут.
Ответ: 5.
6. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
Больному нужно принять 
г лекарства. В одной упаковке содержится 
г лекарства. Разделив 31,5 на 5, получим 6,3. Округляем до большего.
Ответ: 7.
А в следующих двух задачах мы округляем до меньшего (с недостатком).
7. Павел Иванович купил американский автомобиль, на спидометре которого скорость измеряется в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 50 миль в час? Ответ округлите до целого числа.
По условию, 1 миля равна 1609 м, 50 миль/ч составляют 
м/ч = 80450 м/ч = 80,45 км/ч. Округляя найденную величину, получаем 80.
8. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Никиты есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Наташе на день рождения?
Разделив 500 на 30, получим 
Округлив до меньшего, получим 16. Принято, что букет должен состоять из нечетного числа тюльпанов. Значит, ответ: 15.
Задачи на проценты
Во многих задачах используется понятие — процент.
Вспомним, что 
— это одна сотая часть от чего-либо.
Что такое дробь (то есть часть) от числа? Когда мы говорим «одна четверть от 
» — это значит, что дробь 
умножается на величину . «
от 
минут» означают, что 
надо умножить на .
Чтобы найти дробь (или часть) от числа, надо дробь умножить на это число.
Итак, 
от какой-либо величины;
;
;
.
В задачах (да и в жизни) часто говорится об изменении какой-либо величины на определенный процент. Что это значит?
Повышение цены на 
означает, что к прежней цене прибавили 
. Наоборот, скидка на 
означает, что прежняя цена уменьшилась на . Если первоначальная цена равна , то новая цена составит 
.
9. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10 
?
Очевидно, что 10 от 40 — это 
.
Новая цена ручки составит 44 рубля. На 900 рублей можно купить 20 ручек.
Легко? Да, очень легко. Однако не будем слишком расслабляться. Даже среди детских задач под номером 1 встречаются интересные экземпляры.
Вот, например, задача №1, с которой справляются далеко не все выпускники:
10. Цена на электрический чайник была повышена на 16 и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
Запомним важное правило: за 
принимается та величина, с которой мы сравниваем. Цена была повышена на 
по сравнению с чем? — с прежней ценой. Значит, прежняя цена — это , новая цена — 
. Составляем пропорцию:
Решаем пропорцию. Получаем, что 
рублей.
Напомним, что пропорция — это равенство вида 
. Основное правило пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть 
.
Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее можно найти именно по этому правилу.
Например, из пропорции 
находим :
Еще одна задача на проценты. Обратите на нее внимание — она не так проста, как может показаться на первый взгляд.
11. Налог на доходы составляет 
от заработной платы. После удержания налога на доходы Марья Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марьи Константиновны?
Марья Константиновна получила 9570 рублей после удержания налога. Следовательно, у нее уже удержали, а выдали ей ее заработной платы. Составляем пропорцию:
Решаем пропорцию:
Получаем, что зарплата Марьи Константиновны составляет одиннадцать тысяч рублей. Возможно, эта печальная история бедной женщины поможет вам выбрать себе правильное будущее 
Следующая задача — самая сложная из тех, которые могут вам встретиться под номером 1.
12. В городе N живет 200000 жителей. Среди них 
детей и подростков. Среди взрослых 
не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?
В чем сложность этой задачи и почему ее редко решают правильно? Дело в том, что «
процентов» или «
процентов» — величины относительные. Каждый раз за сто процентов могут приниматься разные величины. Помните правило: за сто процентов принимается в каждом случае то, с чем мы сравниваем.
Получим, что дети и подростки составляют от жителей. Значит, их число — это от 
, то есть 
надо умножить на . Получим, что городе 
детей и подростков.
Следовательно, взрослых 170000.
Среди взрослых не работает. Теперь за мы принимаем число взрослых. Получается, что число работающих взрослых жителей равно 55 от 170000, то есть 93500.
Ответ: 93500.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Простейшие текстовые задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
08.03.2023
Задания первой части (1-11) профильного ЕГЭ по математике в новом формате 2022.
Все задачи для тестов взяты из открытого банка с сайта mathege.ru. Подборка группы vk.com/egeatom/
Предыдущие варианты:
4ege.ru/tr…
4ege.ru/tr…
ЕГЭ Профиль №1. Задачи на вычисления
| 3654 | В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC=5, Cos A=(2sqrt6)/5. Найдите длину отрезка AH Решение |
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC=5, Cos A= 2sqrt6 / 5 ! Статград 28-02-2023 11 класс Вариант МА2210309 Задание 1 |  |
| 3636 | Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 106°, угол CAD равен 69°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусахРешение |
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 106° ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 25 Задание 1 | |
| 3630 | Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные CA и CB. Угол CAB равен 39°. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусахРешение |
Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные CA и CB ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 24 Задание 1 | |
| 3624 | В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=13, CD=18. Найдите периметр четырёхугольника ABCDРешение |
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=13, CD=18 ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 23 Задание 1 | |
| 3613 | В треугольнике ABC высота CH равна 6, AB=BC, AC=8. Найдите синус угла ACBРешение |
Найдите синус угла ACB ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 22 Задание 1 | |
| 3602 | В треугольнике ABC угол С равен 46°, AD и BE – биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусахРешение |
В треугольнике ABC угол С равен 46°, AD и BE – биссектрисы, пересекающиеся в точке О ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 21 Задание 1 #Задача-аналог 2222 | |
| 3590 | Угол между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C треугольника ABC равен 10°. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусахРешение |
Угол между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C треугольника ABC равен 10° ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 18 Задание 1 | |
| 3584 | Острый угол B прямоугольного треугольника равен 50°. Найдите угол между высотой CH и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусахРешение |
Острый угол B прямоугольного треугольника равен 50°. Найдите угол между высотой CH и медианой CM ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 17 Задание 1 | |
| 3576 | Площадь параллелограмма ABCD равна 96. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь треугольника ABE
|
Площадь параллелограмма ABCD равна 96. Точка E — середина стороны AD ! Тренировочная работа по математике №2 СтатГрад 11 класс 13.12.2022 Задание 1 Вариант МА2210209 | |
| 3567 | Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 6. Найдите его большую сторонуРешение |
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 16 Задание 1 | |
За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 3 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 80.6%
Ответом к заданию 1 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Разбор сложных заданий в тг-канале
Задачи для практики
Задача 1
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=7$, $cos A={3} / {5}$
(см. рис.). Найдите $AB$.
Решение
$sin A = {BC}/{AB}$.
$sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 — {9}/{25}} = {4}/{5}$.
${4}/{5} = {7}/{AB}, AB = {35}/{4}=8.75$.
Ответ: 8.75
Задача 2
Угол $ACO$ равен $32^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $∠ AOC=90°-32°=58°$. $∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=58°$. Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-58°=122°$, так как дуга $DB=180°$.
Ответ: 122
Задача 3
Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Меньшая дуга $AB$ равна $48^°$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∠C AB = ∠C BA$, как углы между хордой и касательной, они измеряются половиной дуги $AB$, то есть $∠C AB = {1}/{2} ︶ AB$ и $∠C BA = {1}/{2} ︶ AB$.
Отсюда, $∠AC B = 180°- ︶AB = 180° — 48° = 132°$.
Ответ: 132
Задача 4
Периметр треугольника равен $73$, а радиус вписанной окружности равен $4$. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {73}/{2} · 4 = 146$.
Ответ: 146
Задача 5
Периметр треугольника равен $40$, а радиус вписанной окружности равен $3$. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {40}/{2} · 3 = 60$.
Ответ: 60
Задача 6
Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $AOM$ равен $28^°$. Найдите вписанный угол $MNB$. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∠AOM$ — центральный, он измеряется дугой $AM$, то есть $︶AM = 28°$. $AB$ — диаметр, значит $︶AB = 180°$, а $︶MB = 180° — 28° = 152°$. $∠MNB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠MNB = 76°$.
Ответ: 76
Задача 7
Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $MOB$ равен $116^°$. Найдите вписанный угол $MAB$. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∠ MOB$ — центральный, он измеряется дугой $MB$. $∠ MAB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠ MAB={116°} / {2}=58°$.
Ответ: 58
Задача 8
В треугольнике $ABC$ равны боковые стороны $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$,
$sin ∠ BAC=0{,}6$ (см. рис.). Найдите $BH$.
Решение
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
$∠BAC = ∠ABC, sin ∠ABC = {AH}/{AB}, AH = AB sin ∠ABC. AH = 15 · 0.6 = 9$.
Из $△AHB: HB = √{AB^2 — AH^2} = √{225 — 81} = √{144} = 12$.
Ответ: 12
Задача 9
В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $sin ∠ BAC={√ {5}} / {3}$ (см. рис.). Найдите $BH$.
Решение
В треугольнике напротив равных сторон лежат равные углы. $∠ BAC=∠ ABC$, $sin ∠ ABC={AH} / {AB}$, $AH=AB sin ∠ ABC$. $AH=15⋅ {√ {5}} / {3}=5√ {5}$. Из $▵ AHB:$ $HB=√ {AB^2-AH^2}=√ {225-125}=√ {100}=10$.
Ответ: 10
Задача 10
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=9$, $sin A={4} / {11}$ (см. рис.). Найдите $AB$.
Решение
$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {9}/{{4}/{11}} = {99}/{4} = 24.75$.
Ответ: 24.75
Задача 11
Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $224$, а отношение соседних сторон равно ${2} / {7}$.
Решение
Рассмотрим прямоугольник $ABCD$
$AD : AB = 2 : 7, S_{ABCD} = AD · AB$
$S_{ABCD} = 224$, тогда $224 = AD · AB$
Пусть $x$ — некоторое положительное действительное число, тогда $AD = 2x, AB = 7x$
Отсюда, $224 = 2x · 7x$
$224 = 14x^2$
$x^2 = {224}/{14}$
$x^2 = 16$
$x = 4$
Следовательно, $P = 2(AD+AB) = 2(2·4+7·4) = 2·4(2+7) = 8·9 = 72$.
Ответ: 72
Задача 12
Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $48$, а отношение соседних сторон равно $3:4$.
Решение
Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ (см. рис.). $AD:AB=3:4$, $S_{ABCD}=AD⋅ AB$; $S_{ABCD}=48$, тогда
$48=AD⋅ AB$. Пусть $k$ — некоторое положительное действительное число и
$AD=3k$, $AB=4k$. Отсюда $48=3k⋅ 4k$; $48=12k^2$; $k^2=4$, $k=2$. Следовательно, $P=2(AD+AB)=2(3⋅ 2+4⋅ 2)=28$.
Ответ: 28
Задача 13
Площадь прямоугольника равна $22$. Найдите его большую сторону, если она на $9$ длиннее меньшей стороны.
Решение
$S_{ABCD} = AB·CB$.
Обозначим большую сторону через $x$, тогда меньшая сторона $x — 9$. Итак, $22 = x(x — 9)$
$ x^2 — 9x — 22 = 0$
$D = 81 + 88 = 169 = 13^2$
$ x = {9±13}/{2}$
$ x_1 = 11$
$ x_2 = -2$ (не подходит).
Ответ: 11
Задача 14
Основания равнобедренной трапеции равны $15$ и $9$. Высота трапеции равна $6$. Найдите тангенс острого угла.
Решение
Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ — высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$.
$tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD — BC}/{2} = {15 — 9}/{2} = 3, BK = 6$ (по условию). $tg ∠BAD = {6}/{3} = 2$.
Ответ: 2
Задача 15
Основания равнобедренной трапеции равны $14$ и $6$. Высота трапеции равна $7$. Найдите тангенс острого угла.
Решение
Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$.
$tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD — BC}/{2} = {14 — 6}/{2} = 4, BK = 7$ (по условию). $tg ∠BAD = {7}/{4} = 1.75$.
Ответ: 1.75
Задача 16
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=6√ {3}$, $tg A={√ {3}} / {3}$ (см. рис.). Найдите $AB$.
Решение
$tgA = {BC}/{AC}, {√3}/{3} = {BC}/{6√3}, BC = {6√3·√3}/{3} = 6$.
Из $△ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2$;
$AB^2 = (6√3)^2 + 6^2 = 36·3 + 36 = 36·4 = 144, AB = 12$.
Ответ: 12
Задача 17
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны $5$ и $16$.
Решение
Рассмотрим ромб $ABCD$.
$S_{ABCD} = {1}/{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.
$S_{ABCD} = {1}/{2}·5·16 = 40$.
Ответ: 40
Задача 18
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $150^°$. Боковая сторона треугольника равна $12$. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Пусть в $△ABC ∠C = 150°, AC = CB$.
$S_{ACB} = {1}/{2}AC·CB·sin∠ACB = {1}/{2}·12·12·sin150° = 72·sin 30° =72·{1}/{2} = 36$.
Ответ: 36
Задача 19
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $30^°$. Боковая сторона треугольника равна $7$. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Пусть в $▵ ABC$ $∠ C=30°$, $AC=BC=7$ (см. рис.). $S_{ACB}={1} / {2} AC⋅ CB⋅ sin ∠ ACB={1} / {2}⋅ 7⋅ 7⋅ sin 30°={1} / {2}⋅ 49⋅ {1} / {2}={49} / {4}=12{,}25$.
Ответ: 12.25
Задача 20
Периметр прямоугольника равен $28$, а площадь $48$. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
Решение
Пусть $x$ и $y$ — две стороны прямоугольника. Из условия следует система уравнений:
${{table {2(x+y)=28{,}}; {xy=48{.}};}$
Из первого уравнения системы: $x+y=14$
$y=14-x$.
Подставляя выражение для переменной $y$ во второе уравнение системы, получим:
$x(14-x)=48$
$x^2-14x+48=0$
$x_1=8$
$x_2=6$
Тогда $y_1=14-8=6$
$y_2=14-6=8$
Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна $6$.
Ответ: 6