Все виды производных на егэ

Таблица производных и правила дифференцирования

О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

Для решения задач на исследование функции в вариантах ЕГЭ необходима таблица производных и правила дифференцирования, а также знания о том, как связана производная с поведением функции.

Смотри также, как решаются задачи ЕГЭ на применение производной: задача 7 и задача 11.

Прокомментируем несколько строк из таблицы производных.

1. Производная постоянной величины, то есть константы, равна ей самой. Так и должно быть. Ведь константа не меняется. Это постоянная величина, она всегда принимает одинаковые значения.

А производная функции, как мы знаем, – это скорость изменения функции. Подробнее об этом здесь:
Производная функции.
И поэтому производная константы равна нулю.

2. Производная функции у=х равна 1. Вспомним, что производная функции в точке – это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. График функции у=х образует угол 45 градусов с положительным направлением оси Х. А тангенс 45 градусов равен 1.

3. Производная функции равна самой этой функции. И действительно, чем больше значение х, тем больше значение функции … и тем круче вверх идет график по отношению к оси Х. Вот такая это функция, экспонента. Чем дальше, тем быстрее она растет.

4. Производная синуса и косинуса – тоже тригонометрические функции. Например, производная синуса – это косинус. Как это отражается в физике? Если координата тела меняется по закону синуса, то производная координаты, скорость, будет меняться по закону косинуса. Это описание гармонических колебаний: и координата, и скорость, и ускорение тела меняются по законам синуса и косинуса.

5. Производная логарифма в точке обратно пропорциональна . Чем дальше, тем медленнее растет логарифмическая функция.

Вспомним, как связаны производная и поведение функции.

Если производная   положительна, то функция   возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
	+	0	—	0	+

Разберем задачи ЕГЭ по теме «Таблица производных, нахождение наибольших и наименьших значений функции, нахождение точек максимума и минимума». Во всех этих примерах мы пользуемся формулами из таблицы производных.

Задача 1. Найдите точки максимумам функции

Решение:

Область определения функции:

Найдем производную функции, пользуясь формулой производной частного из таблицы.

если

Точки х = 5 и х = -5, а также точка ноль, разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Это метод интервалов.

Найдем знаки производной на каждом интервале.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Это точка 5 на рисунке.

Ответ: 5.

Задача 2. Найдите точки минимума функции 

Решение:

Применим формулу производной произведения.

Приравняем производную к нулю:

, если 

Если  то   функция убывает.

Если то  функция возрастает, значит,   – точка минимума функции 

В этой точке производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Ответ: 0,625.

Задача 3. Найдите значение функции  в точке максимума.

Решение:

Найдем производную функции: 

Мы применили формулы производной степени.

Решим уравнение: 

Получили критические точки, в которых производная равна нулю. Отметим их на оси Х и найдём знаки производной.

 – точка максимума.

Найдём значение функции в этой точке: 

Ответ: 16.

Рассмотрим задачи ЕГЭ на нахождение наибольших и наименьших значений функций.

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке:

Это значит, что у нас есть алгоритм для нахождения наибольших и наименьших значений функции на интервале.

Пусть функция f(x) определена на некотором интервале. Чтобы найти ее наибольшее или наименьшее значение, действуем следующим образом:

1. Находим производную функции.
2. Приравниваем производную к нулю, находим точки, в которых она равна нулю.
3. Если производная меняет знак с «плюса» на «минус» в точке , то – точка максимума функции.
4. Если производная меняет знак с «минуса» на «плюс» в точке , то – точка минимума функции.
5. Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке максимума и концах отрезка.
   Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке минимума и концах отрезка.

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

Решение:

Найдем производную: 

Приравняем производную к нулю:

Если  то 

Так как 

Точка  – точка максимума функции 

В этой точке функция принимает наибольшее значение на указанном отрезке.

Ответ: 4.

Задача 5. Найдите наименьшее значение функции на отрезке 

Решение:

Найдем производную функции:

при 

Найдем знаки производной слева и справа от точки

Если  то 

Если то 

Значит, – точка минимума. Наименьшее значение функции на отрезке  достигается при

Это значение равно 

Ответ: -1.

Задача 6. Найдите наибольшее значение функции на отрезке 

Решение:

Область  определения  функции: 

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

если

или  Второй корень не принадлежит отрезку 

Найдем знаки производной на отрезке:

В точке производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, это точка максимума, и  наибольшее значение функции на отрезке  достигается при  

Найдем значение функции  при 

Ответ: -5.

В следующих задачах наименьшее значение функции достигается на конце отрезка.

Задача 7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке 

Решение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

У этого уравнения нет решений, так как 

Это значит, что  при любых  то есть  а это означает, что  – убывает, наименьшее значение функции достигается в правом конце отрезка 

Ответ: -3.

Задача 8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке 

Решение:

Найдем производную функции: 

 Производная функции не равна нулю ни при каком .

Мы знаем, что  Тогда 

Прибавим  7 ко всем частям неравенства:

для всех

Значит, производная положительна при любом значении переменной, функция монотонно возрастает. Наибольшее значение функции будет достигаться в правом конце отрезка, то есть при

Ответ: 8.

Задача 9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке 

Решение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

тогда

На указанном отрезке это уравнение имеет единственное решение 

Слева от этой точки Если   производная отрицательна.

Справа от этой точки  производная положительна.

Значит,  – точка минимума функции,  и наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке.

Найдем значения функции в этой точке:

Ответ: 7.

В задачах ЕГЭ встречаются сложные функции. И найти нужно их точки максимума или минимума, наибольшие или наименьшие значения. Но производную сложной функции в школьной программе по-настоящему не проходят. Как же быть? Покажем полезные приемы, помогающие решить такие задания ЕГЭ.

Задача 10. Найдите наименьшее значение функции 

Решение:

Рассмотрим функцию

Так как функция  монотонно возрастает, точка  минимума функции  будет при том же значении , что и точка минимума функции  А ее найти легко:

при 

В точке  производная  меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит,  – единственная точка минимума функции  и функции 

Ответ: -2.

Задача 11. Найдите наибольшее значение функции   на отрезке

Решение:

Так как функция  монотонно возрастает при  точка минимума функции  соответствует точке минимума подкоренного выражения 

Заметим, что подкоренное выражение всегда положительно.

Функция  задает квадратичную параболу с ветвями вверх и точкой минимума в вершине параболы, то есть при 

Если  – монотонно убывает.

Если  – монотонно возрастает.

Значит, наибольшее значение функции  на отрезке  достигается в одном из концов этого отрезка.

Сравним  и 

Ответ: 6.

Задача 12. Найдите точку максимума функции 

Решение:

Рассмотрим функцию

Ее график – парабола с ветвями вниз, и точка максимума будет в вершине параболы, при Функция  монотонно возрастает, и значит, большему значению будет соответствовать большее значение

Точка максимума функции  будет такой же, как у функции  то есть 

Ответ: 1.

Читайте также: Задание 11 на ЕГЭ по математике.

1. Геометрический смысл производной

На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

2.1. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

2.2. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

2.3 Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

2.4 Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

2.5. Прямая является касательной к графику функции

 . Найдите абсциссу точки касания.

2.6 Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

2.7. Прямая является касательной к графику функции

. Найдите абсциссу точки касания.

2.8 Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

3. 1. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой  или совпадает с ней.

3.2. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка   принимает наименьшее значение.

Таблица производных в алгебре нужна для решения целого ряда различных прикладных задач. Поскольку смысл производной иначе интерпретируется как “скорость изменения”, то, каждый раз, беря производную, мы находим величину на ступеньку более “быструю”, чем та, от которой мы берем производную. Например, беря производную от y(x) по x, мы фактически находим скорость изменения координаты y в зависимости от изменения координаты x, а беря производную от скорости изменения координаты y в зависимости от координаты x, мы находим ускорение.

Что такое производная функции

Например, при использовании производной в физике, мы знаем, что производная расстояния s по времени – это скорость. Потому что скорость – это величина, характеризующая быстроту изменения расстояния в зависимости от времени. А производная скорости – ничто иное как ускорение, так как ускорение – это величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
Поскольку производная находится по формуле: , то бесконечное количество различных функций усложняют задачу дифференцирования, так как удобно функцию, которую можно представить из различных элементарных функций, дифференцировать основываясь на уже выведенных выражениях для производных этих элементарных функций.

Таблица производных

Таким образом, чтобы работать с производными, необходима таблица производных элементарных функций. Руководствуясь этой таблицей, можно взять производную от какой угодно функции. Но прежде чем работать с таблицей – нужно знать как брать производную функции, есть определенные правила дифференцирования, которые представим в таблице.

Правила дифференцирования

№ правила	Название правила	Правило дифференцирования
1	Производная постоянной величины	, С-постоянная
2	Производная суммы	.
3	Производная произведения постоянной на функцию	, С – постоянная
4	Производная переменной x
5	Производная произведения двух функций
6	Производная деления двух функций
7	Производная сложной функции

Таблица производных простых и сложных функций

Теперь таблица производных для элементарных и для сложных функций.

Номер формулы	Название производной	Основные элементарные функции	Сложные функции
1	Производная натурального логарифма по x
2	Производная логарифмической функции по основанию a
3	Производная по x в степени n
4	Производная квадратного корня
5	Производная a в степени x
6	Производная e в степени x
7	Производная синуса
8	Производная косинуса
9	Производная тангенса
10	Производная котангенса
11	Производная арксинуса
12	Производная арккосинуса
13	Производная арктангенса
14	Производная арккотангенса

Примеры нахождения производных

Пример 1

Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найти производную функции: .

Решение:

Мы использовали правило 2 дифференцирования суммы. Теперь найдем производную каждого слагаемого:

По формуле 3 “производная по x в степени n” (у нас в степени 2).

По правилам дифференцирования 3 и 4.

По первому правилу дифференцирования “производная постоянной равна нулю”

Итак, получим: .

Пример 2

Найти производную функции

Решение:

Находим производную, пользуясь правилам дифференцирования 6.

Ответ:

Пример 3

Найти производную функции

Решение: здесь все просто, мы возьмем производную из таблицы производных.

Ответ:

Пример 4

Найдите производную функции

Решение: Здесь мы уже имеем не простую функцию, а сложную функцию и брать производную мы будем по формуле 8 таблицы производных для сложных функций.

Ответ:

Пример 5

Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, найдите производную функции

Решение: У нас сложная функция, так как под корнем стоит не просто , а квадратная функция.

То есть мы имеем функцию вида .

Возьмем производную этой функции:

Ответ:

Пример 6

Найдите скорость тела, если траектория его движения задана уравнением м

Решение: скорость тела – это первая производная траектории по времени: . м/с.

Находим скорость тела:

Ответ: 3 м/с.

Итак, таблица производных и правила дифференцирования дают возможность легко брать производные и простых, и сложных функций.

Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает.

Если ось ( Ox) направить вдоль дороги горизонтально, а ( Oy) – вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:

Ось ( Ox) – это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря. Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз.

Также мы можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат).

А теперь давай подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина?

Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние.

Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).

Продвижение вперед обозначим ( displaystyle Delta x) (читается «дельта икс»).

Греческую букву ( displaystyle Delta ) (дельта) в математике обычно используют как приставку, означающую «изменение».

То есть ( displaystyle Delta x) – это изменение величины ( displaystyle x), ( displaystyle Delta y) – изменение ( displaystyle y); тогда что такое ( displaystyle Delta f)? Правильно, изменение величины ( displaystyle f).

Важно: выражение ( displaystyle Delta x) – это единое целое, одна переменная. Никогда нельзя отрывать «дельту» от «икса» или любой другой буквы!

То есть, например, ( displaystyle frac{Delta x}{Delta y}ne frac{x}{y})

Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на ( displaystyle Delta x). Если линию дороги мы сравниваем с графиком функции ( displaystyle fleft( x right)), то как мы обозначим подъем?

Конечно, ( displaystyle Delta f). То есть, при продвижении вперед на ( displaystyle Delta x) мы поднимаемся выше на ( displaystyle Delta f).

Величину ( displaystyle Delta f) посчитать легко: если в начале мы находились на высоте ( displaystyle {{f}_{1}}), а после перемещения оказались на высоте ( displaystyle {{f}_{2}}), то ( displaystyle Delta f={{f}_{2}}-{{f}_{1}}).

Если конечная точка оказалась ниже начальной, ( displaystyle Delta f) будет отрицательной – это означает, что мы не поднимаемся, а спускаемся.

Вернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:

( displaystyle K=frac{Delta f}{Delta x}).

Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на ( 1) км дорога поднимается вверх на ( 1) км. Тогда крутизна в этом месте равна ( 1).

А если дорога при продвижении на ( 100) м опустилась на ( 0,5)км?

Тогда крутизна равна ( displaystyle K=frac{-text{500м}}{text{100м}}=-5).

А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма.

Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец – через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая.

То есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности.

Просто на расстоянии в ( 1) км может очень многое поменяться.

Нужно рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки крутизны.

Например, если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно – ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить.

Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр?

Чем меньше, тем лучше!

В реальной жизни измерять расстояние с точностью до миллиметра – более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству.

Поэтому было придумано понятие бесконечно малого, то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать.

Например, ты скажешь: одна триллионная! Куда уж меньше?

А ты подели это число на ( 2) – и будет еще меньше. И так далее.

Если хотим написать, что величина ( x) бесконечно мала, пишем так: ( displaystyle xto 0) (читаем «икс стремится к нулю»).

Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.

Понятие, противоположное бесконечно малому – бесконечно большое (( displaystyle xto infty )).

Ты уже наверняка сталкивался с ним, когда занимался неравенствами: это число по модулю больше любого числа, которое только можешь придумать.

Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится еще больше. А бесконечность еще больше того, что получится.

Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при ( displaystyle xto 0:text{ }frac{1}{x}to infty ), и наоборот: при ( displaystyle xto infty :text{ }frac{1}{x}to 0).

Теперь вернемся к нашей дороге.

Идеально посчитанная крутизна – это крутизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:

( displaystyle K=frac{Delta f}{Delta x}text{ при }Delta xto 0).

Замечу, что при бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало.

Но напомню, бесконечно малое – не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число.

Например, ( displaystyle 2). То есть одна малая величина может быть ровно в ( displaystyle 2) раза больше другой.

К чему все это?

Дорога, крутизна… Мы ведь не в автопробег отправляемся, а математику учим. А в математике все точно так же, только называется по-другому.

Давай посмотрим как.

Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.

Приращением в математике называют изменение.

То, насколько изменился аргумент (( displaystyle x)) при продвижении вдоль оси ( displaystyle Ox), называется приращением аргумента и обозначается ( displaystyle Delta x.)

То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси ( displaystyle Ox) на расстояние ( displaystyle Delta x), называется приращением функции и обозначается ( displaystyle Delta f).

Итак, производная функции ( displaystyle fleft( x right)) – это отношение ( displaystyle Delta f) к ( displaystyle Delta x) при ( displaystyle Delta xto 0).

Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа: ( displaystyle {f}’left( x right)) или просто ( displaystyle {f}’).

Как и в аналогии с дорогой здесь при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.

так как приращение такой функции равно нулю при любом ( Delta x).

А еще?

Давай вспомним пример с вершиной холма. Там получалось, что можно так расположить концы отрезка по разные стороны от вершины, что высота на концах оказывается одинаковой, то есть отрезок располагается параллельно оси ( Ox):

Но большие отрезки – признак неточного измерения. Будем поднимать наш отрезок вверх параллельно самому себе, тогда его длина будет уменьшаться.

В конце концов, когда мы будем бесконечно близко к вершине, длина отрезка станет бесконечно малой.

Но при этом он остался параллелен оси ( Ox), то есть разность высот на его концах ( displaystyle Delta f) равна нулю (не стремится, а именно равна).

Значит, производная

( displaystyle {f}’left( {{x}_{text{вершины}}} right)=frac{Delta f}{Delta x}=frac{0}{Delta x}=0).

Понять это можно так: когда мы стоим на самой вершине, меленькое смещение влево или вправо изменяет нашу высоту ничтожно мало.

Есть и чисто алгебраическое объяснение: левее вершины функция возрастает, а правее – убывает.

Как мы уже выяснили ранее, при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.

Но меняется она плавно, без скачков (т.к. дорога нигде не меняет наклон резко).

Поэтому между отрицательными и положительными значениями обязательно должен быть ( displaystyle 0). Он и будет там, где функция ни возрастает, ни убывает – в точке вершины.

То же самое справедливо и для впадины (область, где функция слева убывает, а справа – возрастает):

Итак, мы меняем аргумент на величину ( Delta x).

Меняем от какого значения?

Каким он (аргумент) теперь стал?

Можем выбрать любую точку, и сейчас будем от нее плясать.

Рассмотрим точку с координатой ( displaystyle {{x}_{0}}). Значение функции в ней равно ( fleft( {{x}_{0}} right)).

Затем делаем то самое приращение: увеличиваем координату ( {{x}_{0}}) на ( Delta x).

Чему теперь равен аргумент?

Очень легко: ( {{x}_{0}}+Delta x).

А чему теперь равно значение функции?

Куда аргумент, туда и функция: ( fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)).

А что с приращением функции?

Ничего нового: это по-прежнему величина, на которую изменилась функция:

( Delta f=fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)-fleft( {{x}_{0}} right)).

Производные степенной функции

Степенной называют функцию, где аргумент в какой-то степени (логично, да?).

Причем – в любой степени: ( fleft( x right)={{x}^{a}},text{ }ain mathbb{R}).

Производная функции первой степени

Итак, аргумент меняется с ( {{x}_{0}}) до ( {{x}_{0}}+Delta x). Каково приращение функции?

Приращение – это ( Delta f=fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)-fleft( {{x}_{0}} right)). Но функция в любой точке равна своему аргументу.

Поэтому:

( Delta f=left( {{x}_{0}}+Delta x right)-{{x}_{0}}=Delta x).

Производная равна:

( {f}’left( {{x}_{0}} right)=frac{Delta f}{Delta x}=frac{Delta x}{Delta x}=1)

Производная от ( displaystyle x) равна ( displaystyle 1): ( displaystyle {x}’=1)

Производная функции больших степеней

Аналогичные правила можно получить и для больших степеней:

( begin{array}{l}{{left( {{x}^{4}} right)}^{prime }}=4{{x}^{3}}\{{left( {{x}^{5}} right)}^{prime }}=5{{x}^{4}}\{{left( {{x}^{6}} right)}^{prime }}=6{{x}^{5}}\…\{{left( {{x}^{n}} right)}^{prime }}=n{{x}^{n-1}}end{array})

Оказывается, это правило можно обобщить для степенной функции с произвольным показателем, даже не целым:

( {{left( {{x}^{a}} right)}^{prime }}=a{{x}^{a-1}},text{ }ain mathbb{R}) (2)

Можно сформулировать правило словами: «степень выносится вперед как коэффициент, а потом уменьшается на ( displaystyle 1)».

Докажем это правило позже (почти в самом конце). А сейчас рассмотрим несколько примеров.

Производная тригонометрических функций

Здесь будем использовать один факт из высшей математики:

При ( xto 0) выражение ( frac{sin x}{x}to 1).

Доказательство ты узнаешь на первом курсе института (а чтобы там оказаться, надо хорошо сдать ЕГЭ 😉 ).

Сейчас только покажу это графически:

Видим, что при ( displaystyle x=0) функция не существует – точка на графике выколота. Но чем ближе ( displaystyle x) к значению ( displaystyle0), тем ближе функция к ( displaystyle 1). Это и есть то самое «стремится».

Впредь будем считать, что при ( xto 0) это выражение равно ( displaystyle 1): ( frac{sin x}{x}=1).

Дополнительно можешь проверить это правило с помощью калькулятора. Да-да, не стесняйся, бери калькулятор, мы ведь не на ЕГЭ еще.

Итак, пробуем: ( x=0,1:text{ }frac{sin x}{x}=frac{sin 0,1}{0,1}approx 0,9983);

Не забудь перевести калькулятор в режим «Радианы»!

Попробуй теперь сам для ( displaystyle xtext{ }=text{ }0,01;text{ }0,001;text{ }0,0001) и так далее.

( frac{sin 0,01}{0,01}approx 0,999983…;text{ }frac{sin 0,001}{0,001}approx 0,99999983…) и т.д. Видим, что чем меньше ( displaystyle x), тем ближе значение отношения к ( displaystyle 1).

Убедился? Идем дальше.

Производная синуса

Рассмотрим функцию ( y=sin x). Как обычно, найдем ее приращение:

( Delta y=sin left( x+Delta x right)-sin x).

Превратим разность синусов в произведение.

Для этого используем формулу (вспоминаем тему «Формулы тригонометрии»): ( sin alpha -sin beta =2sin frac{alpha -beta }{2}cdot cos frac{alpha +beta }{2}).

( Delta y=sin left( x+Delta x right)-sin x=2sin frac{x+Delta {x} -x}{2}cdot cos frac{x+Delta x+x}{2}=2sin frac{Delta x}{2}cdot cos left( x+frac{Delta x}{2} right))

Теперь производная:

( {y}’=frac{Delta y}{Delta x}=frac{2sin frac{Delta x}{2}cdot cos left( x+frac{Delta x}{2} right)}{Delta x}=frac{sin frac{Delta x}{2}}{frac{Delta x}{2}}cdot cos left( x+frac{Delta x}{2} right)).

Сделаем замену: ( t=frac{Delta x}{2}).

Тогда при бесконечно малом ( Delta xtext{ }left( Delta xto 0 right)) ( displaystyle t) также бесконечно мало: ( tto 0). Выражение для ( displaystyle {y}’) принимает вид:

( {y}’=frac{sin frac{Delta x}{2}}{frac{Delta x}{2}}cdot cos left( x+frac{Delta x}{2} right)=frac{sin t}{t}cdot cos left( x+t right)).

А теперь вспоминаем, что при ( tto 0) выражение ( frac{sin t}{t}=1). А также, что если бесконечно малой величиной ( displaystyle t) можно пренебречь в сумме ( x+t) (то есть ( x+tto x) при ( tto 0)).

( {y}’=underbrace{frac{sin t}{t}}_{to text{1}}cdot cos underbrace{left( x+t right)}_{to x}=1cdot cos x=cos x).

Итак, получаем следующее правило:

Производная синуса равна косинусу: ( {{left( sin x right)}^{prime }}=cos x)

Производная экспоненты и натурального логарифма

Есть в математике такая функция, производная которой при любом ( displaystyle  x) равна значению самой функции при этом же ( displaystyle  x). Называется она «экспонента», и является показательной функцией

( displaystyle  fleft( x right)={{e}^{x}}).

Основание этой функции – константа ( displaystyle  eapprox 2,7183…) – это бесконечная десятичная дробь, то есть число иррациональное (такое как ( displaystyle  pi )). Его называют «число Эйлера», поэтому и обозначают буквой ( displaystyle  mathbf{e}).

Итак, правило:

( displaystyle  {{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}={{e}^{x}})

Запомнить очень легко.

Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:

Чему равен ( displaystyle  ln left( {{e}^{a}} right))? Конечно же, ( displaystyle  a).

Производная от натурального логарифма тоже очень простая:

( displaystyle  {{left( ln x right)}^{prime }}=frac{1}{x})

1. Константа выносится за знак производной

Если ( displaystyle  c) – какое-то постоянное число (константа), тогда.

( displaystyle  {{left( ccdot f right)}^{prime }}=ccdot {f}’)

Это правило употребляется чаще всех. Докажем его:

Пусть ( displaystyle  yleft( x right)=ccdot fleft( x right)), или проще ( displaystyle  y=cf).

( displaystyle  Delta y=yleft( x+Delta x right)-yleft( x right)=cfleft( x+Delta x right)-cfleft( x right)=cunderbrace{left( fleft( x+Delta x right)-fleft( x right) right)}_{text{Это} text{же}Delta f}=cDelta f).

( displaystyle  {y}’=frac{Delta y}{Delta x}=frac{cDelta f}{Delta x}=ccdot underbrace{frac{Delta f}{Delta x}}_{text{Это }{f}’}=ccdot {f}’), ч.т.д.

Пример 1

Найдите производную функции ( displaystyle  y=3{{x}^{2}}) в точке ( displaystyle  {{x}_{0}}=2).

Ты сперва сам попробуй решить, а потом посмотри решение:

3. Производная произведения

( displaystyle  {{left( fcdot y right)}^{prime }}={f}’cdot y+fcdot {y}’)

Хм, все сложнее и сложнее. Ну, давай разбираться.

Снова введем новую функцию: ( displaystyle  gleft( x right)=fleft( x right)cdot yleft( x right)), или проще ( displaystyle  g=fcdot y).

( displaystyle  Delta g=gleft( x+Delta x right)-gleft( x right)=fleft( x+Delta x right)cdot yleft( x+Delta x right)-fleft( x right)cdot yleft( x right)).

Вспомним, о чем говорили в самом начале этого раздела:

( displaystyle  {g}’={f}’y+f{y}’text{ }Rightarrow text{ }{{left( fy right)}^{prime }}={f}’y+f{y}’), ч.т.д.

5 Производная показательной функции

Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).

Итак, ( displaystyle fleft( x right)={{a}^{x}}), где ( displaystyle a) – это какое-то число ( displaystyle left( a>0,text{ }ane 1 right)).

Мы уже знаем производную функции ( displaystyle {{e}^{x}}), поэтому давай попробуем привести нашу функцию ( displaystyle {{a}^{x}}) к новому основанию ( displaystyle e):

Для этого воспользуемся простым правилом: ( displaystyle a={{e}^{ln a}}). Тогда:

( displaystyle {{a}^{x}}={{left( {{e}^{ln a}} right)}^{x}}={{e}^{xcdot ln a}}).

Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция – сложная.

Получилось?

Вот, проверь себя:

( displaystyle {{left( {{a}^{x}} right)}^{prime }}={{left( {{e}^{xcdot ln a}} right)}^{prime }}={{e}^{xcdot ln a}}cdot {{left( xcdot ln a right)}^{prime }}underset{т.к. ln a это константа}{mathop{=}},{{e}^{xcdot ln a}}cdot ln a={{a}^{x}}cdot ln a.).

( displaystyle {{left( {{a}^{x}} right)}^{prime }}={{a}^{x}}cdot ln a)

Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было ( displaystyle {{a}^{x}}), так и осталось, появился только множитель ( displaystyle na), который является просто числом, но не переменной.

6. Производная логарифмической функции

Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:

( displaystyle {{left( ln x right)}^{prime }}=frac{1}{x}),

Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, ( displaystyle a):

( displaystyle y={{log }_{a}}x),

Нужно привести этот логарифм к основанию ( displaystyle e). А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:

( displaystyle {{log }_{a}}b=frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}).

Только теперь вместо ( displaystyle {{log }_{c}}) будем писать ( displaystyle ln):

( displaystyle y={{log }_{a}}x=frac{ln x}{ln a}),

В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной ( displaystyle )). Производная получается очень просто:

( displaystyle {y}’={{left( {{log }_{a}}x right)}^{prime }}={{left( frac{ln x}{ln a} right)}^{prime }}=frac{1}{ln a}cdot {{left( ln x right)}^{prime }}=frac{1}{ln a}cdot frac{1}{x})

( displaystyle {{left( {{log }_{a}}x right)}^{prime }}=frac{1}{xcdot ln a})

Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.

7. Производная сложной функции

Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».

Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.

Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат.

Итак, нам дают число ( displaystyle  x) (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось?

Функция ( displaystyle  y={{cos }^{2}}x). Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.

Другими словами, сложная функция – это функция, аргументом которой является другая функция: ( displaystyle  yleft( fleft( x right) right)).

Для нашего примера ( displaystyle  fleft( x right)=cos x), ( displaystyle  yleft( x right)={{x}^{2}}).

Тогда ( displaystyle yleft( fleft( x right) right)={{left( fleft( x right) right)}^{2}}={{left( cos x right)}^{2}}={{cos }^{2}}x).

Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь ( displaystyle  x) в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: ( displaystyle  f=cos left( {{x}^{2}}right)). Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.

Второй пример: ( displaystyle  yleft( x right)={{x}^{2}};text{ }fleft( x right)=cos x)(то же самое). ( displaystyle  fleft( yleft( x right) right)=cos yleft( x right)=cos left({{x}^{2}}right)).

Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией, а действие, совершаемое первым – соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).

Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:

Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции

1. Первым будем выполнять какое действие? Сперва посчитаем синус, а только потом возведем в куб. 

Значит, внутренняя функция ( displaystyle  yleft( x right)=sin x), а внешняя ( displaystyle  fleft( x right)={{x}^{3}}).

А исходная функция является их композицией: ( displaystyle  fleft( yleft( x right) right)={{y}^{3}}left( x right)={{sin }^{3}}x).

1. Внутренняя: ( displaystyle  yleft( x right)=sqrt{x}); внешняя:( displaystyle  f(x)=tg x).

Проверка:( displaystyle  f(y(x))=tg(y(x))=tgsqrt{x}).

1. Внутренняя: ( displaystyle  yleft( x right)=cos x); внешняя: ( displaystyle  fleft( x right)=sqrt{x}).

Проверка: ( displaystyle  fleft( yleft( x right) right)=sqrt{yleft( x right)}=sqrt{cos x}).

1. Внутренняя: ( displaystyle  yleft( x right)={{x}^{3}}+2x+1); внешняя: ( displaystyle  fleft( x right)={{x}^{5}}).

Проверка: ( displaystyle  fleft( yleft( x right) right)={{left( yleft( x right) right)}^{5}}={{left( {{x}^{3}}+2x+1 right)}^{5}}).

1. Внутренняя: ( displaystyle  yleft( x right)=2{{x}^{2}}+3); внешняя: ( displaystyle  fleft( x right)=sqrt[3]{x}).

Проверка: ( displaystyle  fleft( yleft( x right) right)=sqrt[3]{yleft( x right)}=sqrt[3]{left( 2{{x}^{2}}+3 right)}).

( displaystyle  fleft( x right)=sqrt{cos x}) производим замену переменных ( displaystyle  y=cos x) и получаем функцию ( displaystyle  fleft( y right)=sqrt{y}).

Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку – искать производную.

Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции.

Применительно к исходному примеру это выглядит так:

( displaystyle  {{left[ fleft( yleft( x right) right) right]}^{prime }}={f}’left( yleft( x right) right)cdot {y}’left( x right))

или проще:

( displaystyle  {{left[ fleft( y right) right]}^{prime }}={f}’left( y right)cdot {y}’)

Алгоритм нахождения производной сложной функции:

Вроде бы всё просто, да?

Проверим на примерах:

Производная на ЕГЭ 2022. Урок 1 из 5. Геометрический смысл производной – основы

Знаете, с чего начнётся ваша учёба в универе? Я имею в виду не общагу, а первые лекции по математике. 

С производной (ну, почти сразу).

Но чтобы в этот самый универ поступить, нужно сдать ЕГЭ, в котором, оказывается, тоже есть производная. И если мы уже привыкли, что в первой части есть две задачи на неё, то во второй мы её не ожидаем увидеть.

Но она там частенько бывает нужна: в экономической задаче №16 (бывшая 17). А иногда и в 18 на параметр (бывшая 19).  Поэтому, плохо зная производную, вы рискуете лишиться 4 первичных баллов!

На этом курсе я вам очень просто и понятно расскажу, что такое производная, и вы научитесь решать задачи из ЕГЭ без ошибок!

Производная на ЕГЭ 2022. Урок 2 из 5. Более сложные задачи

На прошлом уроке мы познакомились с производной, узнали, что это такое, в чём её смысл и где она применяется.

А также мы научились решать один из самых распространённых типов задач № 6 из профильного ЕГЭ (бывший №7).

Теперь мы возьмёмся за более сложные типы задач, и увидим, что если мы поняли, что такое производная и в чём её “геометрический смысл” (если ещё не знаете – посмотрите первый урок), то любая задача №6 нам по зубам.

Производная на ЕГЭ 2022. Урок 3 из 5. Формулы производных и правила дифференцирования

Геометрический (а также физический) смысл производной мы с вами уже поняли, задачу №6 научились решать вдоль и поперёк. В основном это задачи с рисунками: по рандомному графику нужно определить, где функция возрастает, а где убывает.

Теперь же пришло время рассмотреть конкретные функции (заданные формулой, а не графиком) и научиться находить их производные. 

Мы с вами выучим формулы производных всех элементарных функций, а также все базовые правила дифференцирования. Это поможет нам научиться решать половину всех задач №11 (бывшая №12) из профиля.

Более того, вы узнаете, откуда все эти правила и формулы появились! Мало в какой школе это объясняют на уроках математики. Но это помогает очень хорошо понять и “почувствовать” производную, чтобы она уже никогда не казалась чем-то сложным и пугающим.

Производная на ЕГЭ 2022. Урок 5 из 5. Задача на оптимизацию с применением производной

Окей, вот мы и натренировались искать производные данных нам функций, понимаем, что это такое и как с их помощью находить минимумы и максимумы.

Но зачем?

Банальный ответ “чтобы решать задачи №6 и 11” звучит довольно глупо, если вспомнить, сколько я распрягал про смысл и понимание производной. Можно было бы просто зазубрить пару формул, запомнить схему решения задач и благополучно забыть их, выйдя с экзамена.

Но оказывается, что производная бывает нужна ещё и в других задачах, например – в экономической №15 (бывшая 17). А без понимания производной будет просто нереально догадаться, что её нужно в этой задаче применять!

Как не лишиться 2 первичных баллов – смотрите в этом видео на примере задачи №15 на оптимизацию.

ЕГЭ №6 (бывшая №7) Производная функции – геометрический смысл, дифференцирование (ЕГЭ – 2021)

На этом видео мы вспомним, что такое функция и её график, научимся искать производную некоторых функций, например, такой: y = 2×3 – 3×2 + x + 5. 

Мы разберём от А до Я все 7 типов задач, которые могут попасться в задаче №7 из ЕГЭ. Узнаем, на какие 3 фразы в условии задачи нужно обратить особое внимание, чтобы с лёгкостью решить задачу и не потерять баллы на ровном месте.  

Разберём все возможные ошибки, которые можно допустить в этих задачах. Мы поймём, что многие из этих задач решаются обычным подсчётом клеточек на графике! Главное – не перепутать, что нужно считать.

Экономическая задача на производную (ЕГЭ №15, бывшая 17-я задача)

В 2017 году, придя на экзамен, выпускники облегченно выдохнули: они увидели под 17 номером стандартную задачу на кредиты. Они боялись, что им попадется такая же задача, как на пробном ЕГЭ.

Задача-убийца, которая была чуть ли не сложнее, чем 18 и 19 вместе взятые. Кстати, те, кто сдавал в резервный день, халявы уже не получили, им тоже досталась сложная задача.

На ЕГЭ можно ожидать чего угодно, поэтому готовьтесь с нами к самым сложным задачам. Смотрите это видео и вы научитесь решать самую сложную задачу на оптимизацию и подобные ей.