Все виды задания 7 егэ профильного уровня по математике

Необходимая теория:

Производная функции

Таблица производных

Первообразная функции

Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.

Геометрический смысл производной 

Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.

1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке .

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

Ответ: 0,25.

2. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой
Найдите значение производной функции в точке

Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла , смежного с углом .

Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: Поскольку , имеем:

Ответ: −0, 25.

Касательная к графику функции

3. Прямая является касательной к графику функции

Найдите абсциссу точки касания.

Запишем условие касания функции и прямой в точке

При значения выражений и равны.

При этом производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть .

Из второго уравнения находим или Первому уравнению удовлетворяет только .

Физический смысл производной

Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.

Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.

Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета:

Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:

В момент времени получим:

.

Ответ: 3.

Применение производной к исследованию функций

Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.

Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.

Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.

И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.

Если , то функция возрастает.

Если , то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
		0		0

5. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Производная функции в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

6. На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

На отрезке производная функции положительна.

Значит, функция возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.

Ответ: 3.

7. На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой

Прямая параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.

Ответ: 7.

8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек максимума функции на отрезке

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке такая точка всего одна! Это

Ответ: 1.

9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите точку экстремума функции на отрезке

Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, является точкой экстремума.

Первообразная и формула Ньютона-Лейбница

Функция , для которой является производной, называется первообразной функции Функции вида образуют множество первообразных функции

10. На рисунке изображён график — одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке

Функция для которой является производной, называется первообразной функции

Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку , в которых производная функции равна нулю. Это точки максимума и минимума функции На отрезке таких точек 4.

Ответ: 4.

Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.

1

---

2

---

3

---

4

---

5

---

6

---

7

---

8

---

9

---

10

---

11

---

12

---

13

---

14

---

15

---

16

---

17

---

18

---

19

---

20

---

21

---

22

---

23

---

24

---

25

---

26

---

27

---

28

---

29

---

30

---

31

---

32

---

33

---

34

---

35

---

36

---

37

---

38

---

39

---

40

---

41

---

42

---

43

---

44

---

45

---

46

---

47

---

48

---

49

---

50

---

51

---

52

---

53

---

54

---

55

---

56

---

57

---

58

---

59

---

60

---

61

---

62

---

63

---

64

---

65

---

66

---

67

---

68

---

69

---

70

---

71

---

72

---

73

---

74

---

75

---

76

---

77

---

78

---

79

---

80

---

81

---

82

---

83

---

84

---

85

---

86

---

87

---

88

---

89

---

90

---

91

---

92

---

93

---

94

---

95

---

96

---

97

---

98

---

99

---

100

---

101

---

102

---

103

---

104

---

105

---

106

---

107

---

108

---

109

---

110

---

111

---

112

---

113

---

114

---

115

---

116

---

117

---

118

---

119

---

120

---

121

---

122

---

123

---

124

---

125

---

126

---

127

---

128

---

129

---

130

---

131

---

132

---

133

---

134

---

135

---

136

---

137

---

138

---

139

---

140

---

141

---

142

---

Производная и первообразные функции

---

В задании №7 профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо продемонстрировать знания функции производной и первообразной. В большинстве случаев достаточно просто определения понятий и понимания значений производной.

---

Разбор типовых вариантов заданий №7 ЕГЭ по математике профильного уровня

---

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂, …, x₉. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y = f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

[/su_note]

Алгоритм решения:

1. Рассматриваем график функции.
2. Ищем точки, в которых функция убывает.
3. Подсчитываем их количество.
4. Записываем ответ.

Решение:

1. На графике функция периодически возрастает, периодически убывает.

2. В тех интелвалах, где функция убывает, производная имеет отрицательные значения.

3. В этих интервалах лежат точки x₃, x₄, x₅, x₉. Таких точек 4.

Ответ: 4.

---

Второй вариант задания (из Ященко, №4)

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке изображён график функции у = f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

[/su_note]

Алгоритм решения:

1. Рассматриваем график функции.
2. Рассматриваем поведение функции в каждой из точек и знак производной в них.
3. Находим точки в наибольшим значением производной.
4. Записываем ответ.

Решение:

1. Функция имеет несколько промежутков убывания и возрастания.

2. Там, где функция убывает. Производная имеет знак минус. Такие точки есть среди указанных. Но на графике есть точки, в которых функция возрастает. В них производная положительная. Это точки с абсциссами -2 и 2.

3. Рассмотрим график в точках с х=-2 и х=2. В точке х=2 функция круче уходит вверх, значит касательная в этой точке имеет больший угловой коэффициент. Следовательно, в точке с абсциссой 2. Производная имеет наибольшее значение.

Ответ: 2.

---

Третий вариант задания (из Ященко, №21)

[su_note note_color=”#defae6″]

Прямая  является касательной к графику функции . Найдите а.

[/su_note]

Алгоритм решения:

1. Приравняем уравнения касательной и функции.
2. Упрощаем полученное равенство.
3. Находим дискриминант.
4. Определяем параметр а, при котором решение единственное.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Координаты точки касания удовлетворяют обоим уравнениям: касательной и функции. Поэтому мы можем приравнять уравнения. Получим:

2. Упрощаем равенство, перенеся все слагаемые в одну сторону:

3. В точке касания должно быть одно решение, поэтому дискриминант полученного уравнения должен равняться нулю. Таково условие единственности корня квадратного уравнения.

4. Получаем:

Ответ: 4.

Даниил Романович | Просмотров: 11.8k

Таблица производных некоторых элементарных функций

Функция	Производная
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^{n-1}$
${1}/{x}$	$-{1}/{x^2}$
$√x$	${1}/{2√x}$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	${1}/{x}$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	${1}/{cos^2x}$
$ctgx$	$-{1}/{sin^2x}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$

Физический смысл производной

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

$k = tgα$

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

$f'(x_0) = k$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f'(x_0) = k = tgα$

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

ЕГЭ по математике профиль

Разбор  задания № 7 по математике ЕГЭ профильный
уровень.

   Автор Багменова Т. А. учитель
математики МБОУ
СОШ № 14 г. Новочеркасска Ростовской области.

   При решении
заданий на применение производной при подготовке к ЕГЭ встречается большое разнообразие
заданий, что наталкивает на необходимость разбить задания на группы сопроводив
теоретическим материалом по теме «Производная».

   Хочу поделиться моими наработками при
подготовке учащихся к решению задания №7 профильного уровня.

    Рассмотрим примеры заданий № 7 по теме
«Производная» профильного уровня по математике, разбив их на группы.

  
 1. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]
и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда если производная функции больше
нуля для всех x принадлежащих [a;b],
то функция возрастает на [a;b],
а если производная функции  меньше нуля, то она  убывает на этом отрезке.

Примеры:

1)

Решение.

В точках  и точках  функция убывает,
следовательно производная функции в этих точках отрицательна.

Ответ: 2.

2)

Решение.

На промежутках (-2;2), (6;10) производная
функции отрицательна, следовательна функция на этих промежутках убывает. Длина
и того и другого промежутка 4.

Ответ: 4.

3)

Решение.

На отрезке [3;7]
производная функции положительна, следовательна функция на этом промежутке
возрастает, следовательно наименьшее значение функция принимает в точке 3.

Ответ: 3.

4)

Решение.

На отрезке [-2;3]
производная функции отрицательна, следовательна функция на этом промежутке
убывает, следовательно наибольшее значение функция принимает в точке -2.

Ответ:
-2.

    2.
Если в точке производная функции
меняется знак с «-» на «+», то это точка минимума функции; если в точке  производная функции
меняется знак с «+» на «-», то это точка максимума функции.

Пример:

Решение.

В точке х=3; х=13 производная функции
меняется знак с «-» на «+», следовательно это точки минимума функции.

Ответ:
2.

    
3. Условие(x)=0
является необходимым условием экстремума дифференцируемой функции f(x).
Так как в точках пересечения графика производной функции с осью Ох производная
функции равна нулю, то данные точки  являются точками экстремума.

Пример:

Решение.

Точек пересечения графика производной
функции с осью Ох на заданном отрезке 4, следовательно точек экстремума  4.

Ответ:
4.

      4.
Производная функции равна нулю в точках экстремума функции. В данной задаче это
точки где функция переходит с возрастания на убывания или наоборот.

Пример:

Решение.

В точках производная равна нулю.

Ответ: 4.

    5. Найти значение производной функции
в точке , это значит найти
тангенс угла наклона касательной к оси Ох или к прямой параллельной оси Ох.
Если угол наклона касательной к оси Ох острый, то тангенс угла положительный,
если угол наклона касательной к оси Ох тупой, то тангенс угла отрицательный.

Пример:

Решение.

Построим прямоугольный треугольник, у
которого гипотенуза будет лежать на касательной, а один из катетов лежит на оси
Ох или на прямой параллельной оси Ох, затем посчитаем длины катетов и вычислим
тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Противолежащий катет равен
2,  прилежащий катет равен 8, следовательно тангенс острого угла прямоугольного
треугольника равен 0,25. Угол наклона касательной к оси Ох тупой, следовательно
тангенс угла наклона касасательной отрицательный, следовательно значение производной
функции в точке  равно -0,25.

Ответ: — 0,25.

    6. 1) Угловые коэффициенты
параллельных прямых равны.

        2) Значение производной функции f(x)
в точке  равно угловому
коэффициенту касательной к графику функции y=
f(x)
в точке (; f()).

Пример.

Решение.

Угловой коэффициент прямой равен 2. Так
как значение производной функции f(x)
в точке  равно угловому
коэффициенту касательной к графику функции y=
f(x)
в точке (;f()), то  найдем точки, в
которых производная функции f(x)
равна 2. Таких точек на данном графике 4. Следовательно количество точек
в которых касательная к графику функции f(x)
параллельна данной прямой  или совпадает с ней равно 4.

Ответ: 4.

Используемая
литература:

1.    
Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н.
Е. и др.  Алгебра и начала математического анализа  (базовый и углубленный  
уровень). 10 кл. – Просвещение.  2014 г.

2.    
ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике.
Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровень. Под редакцией И.
В. Ященко.- М.: Издательство «Экзамен»,-2016.-640с.