Высшая математика 1 семестр подготовка к экзамену

1.
Матрица

Это
прямоугольная таблица, состоящая из
m×n
элементов и содержащая m
строк и n
столбцов.

Числовая
матрица
– все элементы матрицы числа.

Квадратная
матрица
– m=n.

Операции
над матрицами

Сложение
– складываются все элементы, стоящие
на одинаковых местах (только у
равноразмерных).

Произведение
– каждый элемент матрицы умножается
на число (с).

2
Транспонирование

Транспонированная
матрица – это матрица, полученная из
матрицы А заменой строк столбцами.

Умножение
матриц

Вводится
только для согласованных матриц (число
столбцов м-цы А должно совпадать со
строками м-цы В).

При
умножении матриц появляется новая
матрица, элементы которой вычисляются
по формуле: c₁₁=a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁+…(1
элемент 1 строки умножаем на 1 э-т 1
столбца + 2 э-т 1 с-ки на 2 э-т 2 с-ца, и т.д.)

3.
Определители
2 и 3 порядков

Определители
вводятся только для квадратных матриц.
Определителем (Δ) или детерминалом
матрицы А называется число det
A.

Для
2-го порядка Δ вычисляется по формуле:
a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁
(крест накрест).

Для
3-го порядка по правилу треугольников.

Свойства:
1)
Δ
единичной матрицы =1. 2) Δ треугольной
матрицы = произведению элементов,
стоящих на главной диагонали. 3)
det(A*B)=detA*detB.
4) если строка или столбец = 0, то Δ=0.

4.Определитель
n-го порядка

Определитель
n-го
порядка находится либо разложением по
элементам строки (столбца), либо
приведением определителя к треугольному
виду.

Миноры
и алгебраические дополнения

Минор
матрицы А соответствующей элементу
A_ij
– это Δ
(n-1)
порядка, получаемый путём вычёркивания
i-ой
строки или j-го
столбца. A_ij=(-1)­^i+jM_ij
называется алгебраическим дополнением
к элементу a_ij.

Разложение
определителя

Δ
раскладывается по элементам i-ой
строки или j-го
столбца по формуле:
Δ = a_i1A_i1+
a_i2A_i2+…+
a_inA_in

5.
Обратная
матрица. Теорема о существовании
обратной матрицы

Обратная
матрица существует только для квадратных
матриц.

Если
обратная матрица существует, то она
единственна.

Матрица
А^-1
обратная
А,
если выполняется условие: А^-1А=А
А^-1=Е
(единичная матрица).

Для
того чтобы матрица А была обратной,
необходимо чтобы она была невырожденной
(Δ не должен =0).

Матрица,
состоящая из алгебр. дополнений,
полученная путём транспонирования
называется союзной
(А^с).

Вычисление
обратной матрицы: 1) Находим Δ0,
2) Вычислем алгебр. доп., 3) Строим А^с
и
вычисляем:

А^-1=*
А^с
, 4) Делаем проверку А^-1А=Е

6.
Ранг
матрицы

Ранг
матрицы
– это максимальный порядок минора,
отличный от нуля. Способы вычисления:
1)Если существует минор M_k0
(k
— какой-то порядок минора) и все M_k+1=0,
то ранг М=k.
2) Метод элементарных преобразований
(матрицу приводят к треугольной и
трапециевидной форме).

Элементарные
преобразования

1)
сложение 2-х любых строк матрицы. 2)
Умножение элементов строки на число.

Теорема
о базисном миноре

Базисный
минор – это минор, не равный 0, порядок
которого равен рангу матрицы.

7.
СЛАУ
(система линейных алгебраических
уравнений)

Если
эта система имеет хотя бы одно решение,
то она называется совместной, в противном
случае несовместной. (b₁,
b_2,
b₃)
– столбец свободных членов. (x₁,
x_2,
x₃)
– решение системы, если при подстановке
их в систему получаются верные равенства.

Решение
систем по формулам Крамера

Сначала
находим Δ
и убеждаемся, что он не равен 0. Затем
по формулам Крамера находим определители
уже как бы новых матриц с заменой
определённого столбца на столбец
свободных членов. Находим переменные
(x,
y,
z)
по формулам Δx
Δ
и
т.д. Делаем проверку.

8.
СЛАУ
(система линейных алгебраических
уравнений)

Если
эта система имеет хотя бы одно решение,
то она называется совместной, в противном
случае несовместной. (b₁,
b_2,
b₃)
– столбец свободных членов. (x₁,
x_2,
x₃)
– решение системы, если при подстановке
их в систему получаются верные равенства.

Матричный
метод

Сначала
находим Δ
и убеждаемся, что он не равен 0. Находим
союзную матрицу, а затем обратную по
формуле А^-1=*
А^с.
Затем находим переменные (x,
y,
z)
и делаем проверку.

9.
Решение
произвольных СЛАУ

Берём
обычную систему уравнений, где А –
матрица системы, а добавление к матрице
А столбец свободных членов даёт нам
расширенную матрицу
.

Теорема
Кренекера-Капелли

Для
того, чтобы система уравнений была
совместна, необходимо чтобы ранг А =
рангу
.

Если:
1) r_A==n,
то система имеет единственное решение.
n
– последний член элемента (a_1n)

2)
r_A=,
то система имеет бесконечное кол-во
решений.

10.
Векторы
в пространстве

Вектор
– это направленный отрезок.

– свободный;

– имеющий точку приложения. Длина
вектора – модуль.

Линейные
операции над векторами

1)
сложение (по правилу треугольника и
параллелограмма). Суммой 2 векторов

и

явл.
,
начало которого совпадает с началом 1
вектора (),
а конец — с концом 2 вектора.

2)
вычитание (.
Разностью

и

явл.
,
конец которого совпадает с концом
,
а начало — с концом
.

3)
умножение на число (Условия: 1) существует
;
2)

и

направлены одинаково если с0.

11.
Координаты
вектора в пространстве.

3
вектора ()
образую
базис в пространстве если они взаимно
⊥
и имеют единичную длину.
=a_x+a_y+a_z

=
(x₂—x₁,
y₂—y₁,
z₂—z₁).

=
– длина
вектора

Направляющие
косинусы вектора

a_x
= Пр_Ox
=
*cosα; a_y
= Пр_Oy
=

cosβ;
a_z
= Пр_Oz
=

cosγ;
cosα=

Проекции
вектора на ось

образованный
с помощью осей Ox,
Oy,
Oz,
образует углы
α,
β, γ.

12.
Скалярное
произведение 2 векторов

Это
число, равное произведению длин этих
векторов на cos
угла между ними.
*
=
*cosφ

Свойство:
1)
*
=
*

2)
(*)
=
**)

3)
Скалярное произведение на число =
произведение числа на один из векторов
и * на 2 вектор.

4)
*=0,
если
вектора

и

явл. Ортогональными (
⊥
).

13.
Векторное
произведение 2 векторов

Векторным
произведением 2 векторов

и

явл.
,
который удовлетворяет условиям: 1)

⊥
,
;

2)
,
,

– правая тройка векторов. 3)

=
*sinφ
(модуль произв. 2 векторов – площадь
параллелограмма)

Свойство:

1)
=
—

2)

=
+

3)
=
0 если


//

14.
Смешанное
произведение 3 векторов

Это
число = скалярному произведению 3-го
вектора на векторное произведение 2-х
первых векторов.

**
= ()

—
объём параллелепипеда.

Свойство:

1)
От перемены мест множителей произведение
не меняется.

=

=

2)
Если умножить на число, то оно умножается
с одним из членов произведения.

3)
(α-
β)(
= α(+
β (

15.
Базис
в пространстве

Компланарные
векторы лежат в одной плоскости.

3
любых некомпланарных вектора образуют
базис в пространстве.

Разложение
вектора по базису

Любой
вектор можно разложить по базису таким
способом: допустим B
(,)
– базис, а (α,
β, γ)
координаты определённого вектора,
например
.
Тогда разложение

по базису имеет вид:
=
α+
β+
γ

16.
Прямая
на плоскости

Вектором
нормали
называется вектор перпендикулярный
плоскости. Пусть вектор

= (𝐴,
𝐵)
является вектором нормали к прямой 𝑙.
Произвольная точка плоскости 𝑀(𝑥,
𝑦)
принадлежит прямой 𝑙
тогда и только тогда, когда

⊥
,
т.е. скалярное произведение этих векторов
*
=
0

Её
уравнения

1)
Уравнение прямой, проходящей через
заданную точку и имеющей заданный
вектор нормали 𝐴(𝑥–𝑥₀)+𝐵(𝑦−𝑦₀)=0

2)
Общее уравнение прямой: 𝐴𝑥
+ 𝐵𝑦
+ 𝐶
= 0

17.
Различные
уравнения плоскости

а)
Общее уравнение плоскости: Ax
+ By + Cz + D = 0

б)
Уравнение проходящее через точку
M₀(x₀,y₀,z₀)
и ⊥
вектору нормали
(A,B,C):
A(x—x₀)
+ B(y—y₀)
+C(z—z₀)=0

в)
Уравнение плоскости, проходящей через
3 заданные точки.

г)
Уравнение плоскости в отрезках:

18.
Угол
между плоскостями

Допустим,
мы имеем 2 уравнения плоскости (α: A₁x
+ B₁y
+ C₁z
+ D₁
= 0
и β: A₂x
+ B₂y
+ C₂z
+ D₂
= 0)
и нам нужно вычислить угол между 2
плоскостями – двугранный
угол.
Он вычисляется по формуле: cos=
(отношение произведения
₁*₂
к произведению модулей векторов
нормали).

Взаимное
расположение плоскостей

Две
плоскости в пространстве либо
параллельны, либо пересекаются.

α₁//α₂
– коллинеарные ⇒
==
– условие
параллельности.

α₁⊥α₂
⇒
⊥
⇒
*=0.
=0
– условие
⊥.

19.
Прямая
в пространстве.
Различные
уравнения прямой в пространстве

1)
Параметрическое уравнение: x=x₀+mt,
y=y₀+nt,
z=z₀+pt

(m,n,p)
– направляющий вектор прямой (l),
который параллелен этой прямой. M₀(x₀,
y₀,
z₀)
∈l.

2)
Каноническое уравнение:

=

=

3)
Уравнение прямой проходящей через 2
точки:

=

=

4)
Общее уравнение прямой в пространстве:

20.
Угол
между прямыми и их взаимное расположение

Допустим,
мы имеем 2 (канонических) уравнения
прямых, а также их направляющие векторы
₁
и
₂.
Тогда угол между 2 прямыми

можно найти по формуле: cos=

Условие
//-ти:
₁
//₂
⇒

==

Условие
⊥—ти:

Расстояние
от точки до прямой в пространстве

У
нас есть уравнение прямой

=

=
,
её направляющий вектор

(m,n,p)
и точка не принадлежащая этой прямой
M(x₁,y₁,z₁).
Расстояние от точки до прямой определяется
по формуле:

21.
Угол
между прямой и плоскостью.

Допустим,
у нас есть каноническое уравнение
прямой

=

=

и уравнение плоскости Ax
+ By
+ Cz
+ D
= 0.
Тогда угол между прямой и плоскостью
можно найти по формуле: Sin
=

22.
Взаимное
расположение прямой и плоскости

Условие
//-ти:
Am+Bn+Cp
= 0

Условие
⊥—ти:

Плоскости
могут совпадать, быть параллельными
или пересекаться по прямой.

23.
Эллипс

Эллипс
– это геометрическое место точек
плоскости, расстоянием от которых до
2 заданных точек называется фокусами
есть величина постоянная.

Вывод
канонического уравнения

+

= 1

Геометрические
свойства

1)
Эллипс является кривой 2-го порядка.

2)
Является ограниченной фигурой.

3)
Является симметричной фигурой, оси
симметрии Ox,
Oy.

4)
a – большая ось; b
– малая ось; Вершины: А₁(а,0);
А₂(-а,0);
В₁(0,
b);
В₂(0,
—b);

5)

=

– эксцентриситет эллипса; 0
1.

6)
Прямые
x
=

– директриса эллипса. При

=1 ⇒
а=с; а=b
– уравнение окружности.
+=

24.
Гипербола

Гипербола
– геометрическое место точек на
плоскости, модуль разности расстояний
для 2 заданных точек называется фокусами
есть величина постоянная.

Вывод
канонического уравнения

—

= 1

Геометрические
свойства

1)
Является кривой 2-го порядка.

2)
Является неограниченной кривой.

3)
Является симметричной фигурой.

4)
Пересекает Ox
в 2 точках, не пересекает ось Oy.
a – действительная полуось; b
– мнимая полуось;

5)

=

– эксцентриситет эллипса;

1.

6)
x
=

– директриса.
1

7)
y
=
x
– асимптоты

25.
Парабола

Парабола
– геометрическое место точек плоскости,
расстояние каждой из которых до заданной
точки называется фокусом и до определённой
прямой L,
называемой директрисой. (F∉L)

Вывод
канонического уравнения

p-
(параметр) расстояние от F
до L.
F(;0)
– фокус параболы. x=.
Уравнение: y²=2px

Геометрические
свойства

1)
Является кривой 2-го порядка.

2)
Симметричная фигура, ось симметрии –
Ox.

3)
Неограниченная фигура

4)

= 1
– эксцентриситет

26.
Числовая
последовательность

Если
каждому натуральному числу из множества
N
поставлено в соответствие некоторое
число или величина, то множество
последних образует последовательность.
xⁿ
– числовая последовательность.

Предел

Число
a
называется пределом числовой
последовательности, если для любого
положительного числа существует
N-число,
такое, что для всех номеров N
последующий больше, чем это число по
модулю.

Теорема
о сходимости

Если
xⁿ
имеет
предел, то он единственный. xⁿ
наз.
ограниченной, если существует n
и все члены удовлетворяют
M,
nN

27.
Предел
функции

Если
к каждому числу из множества x
поставлено в соответствие одно число
и множество y,
то на множестве x
задана функция y=f(x)

Число
b
называется пределом функции f(x)
при x→a,
если для любого положительного

существует положительная дельта,
зависящая от

Теорема
о существовании предела функции

Для
того, чтобы f(x)
имела предел в точке a,
необходимо чтобы левый и правый пределы
были равны.

28.
Односторонние
пределы функции

Левый
и правый пределы называют односторонними
пределами.

1)
Число b
называется правым пределом функции
при x→a
справа если для всех
0
существует дельта от
,
такой что 0следовательно
модуль f(x)-b
,
следовательно x

2)
Число b
называется левым пределом функции при
x→a
слева если для всех
0
существует дельта от
,
такой что —b
следовательно модуль f(x)-b
,
следовательно x

Теорема
о существовании предела функции

Для
того, чтобы f(x)
имела предел в точке a,
необходимо чтобы левый и правый пределы
были равны.

29.
Бесконечно-малые
и их свойства.

Бесконечно
малая функция
– это функция, предел которой в
данной точке равен нулю. Функция
α(x)
– бесконечно-малая при x→a,
если lim
α(x)
= 0.

При
x→a
lim

=
предел не существует.

Основные
свойства

1°  
Сумма конечного числа б.м функций
является функцией б.м.

3°  
Произведение двух б.м функций есть
функция б.м.

4°  
Произведение б.м функции на константу
является б.м функцией.

5°  
Частное от деления б.м функции на
функцию, предел которой
не равен нулю, есть функция б.м.

6°  
Функция ,
обратная
к б.м функции α(x)

0,
есть функция бесконечно большая. Верно
и обратное.

30.
Бесконечно-большие
функции.

Бесконечно
большая функция
– это функция, предел которой
стремится к
.

Теорема
о связи бесконечно-большой и
бесконечно-малой функции

Теорема.
Функция обратная бесконечно малой,
является бесконечно большой и наоборот.
Доказательство: Пусть предел функции
равен 0, а сама функция не = 0, при x→a,
т.е. задаём бесконечно-малую функцию
.
Тогда для любого числа  существует
такое число дельта
,
что для всех x,
удовлетворяющих неравенству
 ,
выполняется неравенство ,
т.е.
 .
А из этого следует, что функция  —
бесконечно большая.

Курс лекций для студентов 1 курса по высшей математике любых форм обучения. Я собрала теорию и примеры с решениями к каждой теме, чтобы вы смогли подготовиться к экзамену или освежить память перед контрольной работой!

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Высшая математика

Высшая математика — это курс обучения в высших учебных заведениях, включающий высшую алгебру и математический анализ для 1 курса.

Высшая математика включает обычно аналитическую геометрию, элементы высшей и линейной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, теорию множеств, теорию вероятностей и элементы математической статистики.

Часто используется в экономике и технике. Является обязательным предметом в российских высших учебных заведениях, за исключением специальностей, в которых различные разделы математики разнесены по разным дисциплинам.

Линейная алгебра

Линейная алгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения[⇨], системы линейных уравнений[⇨], среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы[⇨], сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы[⇨], тензоры[⇨] и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.

Курс лекций на темы:

1. Матрицы, частные виды матриц: определение и примеры
2. Операции с матрицами: определения и пример с решением
3. Определители 2 и 3 порядков, вычисление, свойства
4. Минор, алгебраическое дополнение, разложение определителя по элементам ряда
5. Обратная матрица, её вычисление
6. Решение определенных систем с помощью обратной матрицы
7. Решение определенных систем с помощью правила Крамера
8. Решение систем с помощью метода Гаусса
9. Ранг матрицы. Критерий совместности систем линейных алгебраических уравнений

Векторная алгебра

Векторная алгебра в математике расположена по разделам:

• раздел векторного исчисления, изучающий линейные операции с векторами и их геометрические свойства;
• часть линейной алгебры, занимающаяся векторными пространствами;
• различные векторные алгебры XIX века (например, кватернионов, бикватернионов, сплит-кватернионов).

Курс лекций на темы:

1. Векторы. Линейные операции над векторами
2. Разложение вектора по базису: определение и пример с решением
3. Скалярное произведение векторов: определение и пример с решением
4. Векторное произведение векторов: определение и пример с решением
5. Смешанное произведение трёх векторов: определение и пример с решением

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры. В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом в 1637 году. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела. Такой метод «алгебраизации» геометрических свойств доказал свою универсальность и плодотворно применяется во многих естественных науках и в технике. В математике аналитическая геометрия является также основой для других разделов геометрии — например, дифференциальной, алгебраической, комбинаторной и вычислительной геометрии.

Курс лекций на темы:

1. Уравнения прямой линии на плоскости
2. Уравнения плоскости в пространстве
3. Эллипс, гипербола, парабола

Пределы, непрерывность функций

Понятие предела бесконечной числовой последовательности и предела функции лежит в основе всей теории дифференциального и интегрального исчисления.

Непрерывность функции. Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если: 1)эта функция определена в некоторой окрестности точки a; 2)существует предел lim f(x) ; →ax.

Курс лекций на темы:

1. Предел бесконечной числовой последовательности
2. Предел функции при x>a
3. Предел функции при x>∞
4. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин
5. Свойства пределов в высшей математике
6. Кратко о двух замечательных пределов
7. Сравнение бесконечно малых функций
8. Эквивалентные бесконечно малые величины: теоремы и таблица
9. Непрерывность функции

Производная функции

Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.

Курс лекций на темы:

1. Производная. Геометрический смысл производной
2. Правила дифференцирования и таблица производных основных функций
3. Дифференцирование логарифмических, параметрических и неявно заданных функций
4. Производные высших порядков: определение и пример с решением
5. Дифференциал функции, его свойства и применение
6. Применение 1-й и 2-й производной для исследования функций

Неопределенный интеграл

Неопределённый интеграл для функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.

Курс лекций на темы:

1. Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства
2. Таблица интегралов и табличное интегрирование
3. Интегрирование по частям
4. Интегрирование подстановкой
5. Интегрирование простейших рациональных дробей
6. Разложение многочлена на множители
7. Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей
8. Интегралы от иррациональных функций
9. Интегрирование тригонометрических функций
10. Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок

Определенный интеграл

Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм)[⇨]. Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции[⇨]. В терминах функционального анализа, определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Курс лекций на темы:

1. Задача о площади криволинейной трапеции, определение определенного интеграла
2. Все свойства определённого интеграла
3. Формула Ньютона — Лейбница
4. Способы вычисления определённого интеграла
5. Несобственные интегралы: определение и пример с решением

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Курс лекций на темы:

1. Функции нескольких переменных. Область определения, граница. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность
2. Частные приращения и частные производные. Теорема о равенстве частных смешанных производных
3. Полное приращение и полный дифференциал
4. Производная по направлению
5. Градиент и его свойства
6. Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Курс лекций на темы:

1. Основные определения о дифференциальных уравнениях
2. Дифференциальные уравнения первого порядка
3. Уравнения с разделяющимися переменными
4. Линейные уравнения первого порядка
5. Задача Коши для уравнения 1-го порядка
6. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
7. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

Двойные интегралы

Курс лекций на темы:

1. Двойной интеграл. Объём цилиндрического тела
2. Основные свойства и приложения двойного интеграла
3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Возможно эти страницы вам будут полезны:

• Предмет высшая математика
• Решение задач по высшей математике
• Помощь по высшей математике
• Заказать контрольную работу по высшей математике
• Решение высшей математики на заказ
• Готовые контрольные работы по высшей математике
• Готовые курсовые работы по высшей математике
• Высшая математика для заочников

Экзаменационные билеты, вопросы и задачи по курсу высшей математики для студентов 1 курса (1 и 2 учебный семестр) и 2 курса (3 и 4 семестр) очной и заочной форм обучения технических и гуманитарных специальностей ВУЗов.

Допуск к экзамену получают учащиеся, выполнившие и сдавшие все контрольные и расчетные работы, предусмотренные учебным планом кафедры математики.

Для успешной сдачи экзамена необходимо выполнить 60 или более процентов заданий указанных в билете, решив минимум одну задачу.

Ответы на теоретические вопросы экзамена должны включать точные определения и основные положения рассматриваемой темы с выводами соответствующих формул.

Если Вам требуется помощь в решении задач, наши специалисты готовы ответить на все вопросы по математике.

Экзаменационный билет по высшей математике

Билет для сдачи экзамена по высшей математике включает решение задач и ответы на вопросы по темам, изучавшимся в пройденном учебном семестре, и может содержать от трех до 5, а в некоторых случаях и до 10 пунктов.

Например, в билете могут быть три теоретических вопроса и две задачи, либо задание в виде теста.

Пример экзаменационного билета

Примерный билет содержит задачи и вопросы по разделам высшей математики:

1. Определители. Свойства определителей.

2. Угол между векторами. Проекция вектора на ось.

3. Векторное произведение двух векторов и его свойства.

4. Найти обратную матрицу A^-1, если:

5. Вычислить неопределенный интеграл

Вопросы к экзаменам по математике

Примерный перечень экзаменационных вопросов по теории курса высшей математики, включаемых в билет:

Раздел матрицы и векторы

1. Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами.
2. Алгебраические дополнения и миноры.
3. Вычисление определителей методом треугольников и разложением по элементам строки или столбца.
4. Невырожденная матрица. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы.
5. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Формулы Крамера.
6. Метод Гаусса решения систем алгебраических линейных уравнений.
7. Действия над векторами.
8. Линейная зависимость и независимость векторов.
9. Векторный базис. Координаты вектора.
10. Прямоугольная декартова система координат. Деление отрезка в заданном отношении. Определение расстояния между точками.
11. Скалярное произведение двух векторов и его свойства.
12. Смешанное произведение трех векторов и его свойства.

Неопределённый интеграл

1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.
2. Простейшие свойства неопределенного интеграла и его геометрический смысл.
3. Интегрирование методом разложения и методом замены переменной.
4. Метод интегрирования по частям.
5. Интегрирование простейших дробей.
6. Интегрирование дробно-рациональной функции.
7. Интегрирование тригонометрических функций.
8. Интегрирование иррациональных функций.

Определённый интеграл

1. Определение определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница.
3. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций.
5. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей фигур в декартовых и полярных координатах.
6. Длина дуги плоской кривой в декартовых и полярных координатах, объем тела вращения.
7. Решение физических задач с помощью определенных интегралов.

Кратные интегралы

1. Определение двойного интеграла. Его геометрический смысл
2. Свойства двойного интеграла
3. Понятие о правильных областях. Двукратный интеграл
4. Сведение двойного интеграла к двукратному
5. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла полярных координатах
6. Вычисление объемов тел и площадей плоских областей
7. Задачи механики
8. Определение тройного интеграла. Его механический смысл. Свойства
9. Вычисление тройного интеграла
10. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
11. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
12. Приложения тройных интегралов к задачам геометрии и механики
13. Вычисление объемов тел
14. Задачи механики

Криволинейные и поверхностные интегралы

1. Криволинейные интегралы первого рода (или по длине дуги)
2. Определение и физический смысл криволинейного интеграла первого рода. Свойства
3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода
4. Криволинейный интеграл для пространственного случая
5. Некоторые применения криволинейного интеграла первого рода
6. Криволинейный интеграл второго рода (или по координатам)
7. Задача о работе силового поля. Определение криволинейного интеграла второго рода
8. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго рода
9. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода
10. Формула Грина
11. Условия независимости интеграла от пути интегрирования
12. Поверхностный интеграл первого рода (или по площади поверхности). Теорема существования
13. Вычисление поверхностного интеграла первого рода
14. Некоторые применения поверхностного интеграла первого рода
15. Поверхностный интеграл второго рода или по координатам. Физический смысл
16. Применение поверхностного интеграла второго рода

Экзаменационные задачи по математике

Примеры экзаменационных задач по курсу высшей математики, которые могут быть включены в билет для сдачи экзамена:

1. Решить систему уравнений методом Гаусса

2. Используя признаки сходимости несобственных интегралов, исследовать на сходимость

3. Применяя основные правила дифференцирования, найти производную функции

Ответы на экзаменационные вопросы по математике

Ответы на некоторые теоретические вопросы в экзаменационных билетах по высшей математике:

• Однородные функции, однородные дифференциальные уравнения
• Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
• Уравнение Бернулли
• Уравнение в полных дифференциалах
• Интегрирующий множитель
• Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши
• Числовые ряды. Основные понятия
• Ряд геометрической прогрессии со знаменателем
• Остаток ряда
• Свойства, сходящихся числовых рядов
• Необходимый признак сходимости числового ряда
• Признак сравнения рядов с неотрицательными членами
• Признак Даламбера
• Признак Коши

Другие ответы можно найти, воспользовавшись поиском на нашем сайте.

Наш коллектив математиков желает Вам успешной подготовки и сдачи экзамена, и в случае необходимости готов оказать студентам всю необходимую помощь.

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее