Что такое параметр в математике егэ

Одна из сложных задач Профильного ЕГЭ по математике — задача с параметрами. В ЕГЭ 2022 года это №17. И даже в вариантах ОГЭ они есть. Что же означает это слово — параметр?

Толковый словарь (в который полезно время от времени заглядывать) дает ответ: «Параметр — это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса».

Хорошо, параметр — это какая-либо характеристика, свойство системы или процесса.

Вот, например, ракета выводит космический аппарат в околоземное пространство. Как вы думаете — какие параметры влияют на его полет?

Если корабль запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту.

Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, позволяет космическому кораблю преодолеть поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно равная 16,7 км/с, дает возможность преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы.

А если скорость меньше первой космической? Значит, тонны металла, топлива и дорогостоящей аппаратуры рухнут на землю, сопровождаемые репликой растерянного комментатора: «Кажется, что-то пошло не так».

Скорость космического корабля можно — параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба. Конечно, это не единственный параметр. В реальных задачах науки и техники, задействованы уравнения, включающие функции многих переменных и параметров, а также производные этих функций.

1. Теперь пример из школьной математики.

Все мы помним, что такое квадратное уравнение. Это уравнение вида , где коэффициент а не равен нулю.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения:

Если , квадратное уравнение имеет два корня: и

Если , квадратное уравнение имеет единственный корень

Если , квадратное уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим уравнение . Его дискриминант равен Если , то есть , это квадратное уравнение имеет два корня.

Если при , уравнение имеет единственный корень.

Если , то есть с > 1, корней нет.

В нашем уравнении с — параметр, величина, которая принимать любые значения. Но от этого параметра с зависит количество корней данного уравнения.

Для того чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отличное знание и алгебры, и планиметрии.

И еще две простые задачи с параметром.

2. Найдите значение параметра p, при котором уравнение имеет 2 различных корня.

Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда .

Найдем дискриминант уравнения

В нем

Т.к. , получим:

Вспомним, как решаются квадратичные неравенства (вы проходили это в 9 классе).

Найдем корни квадратного уравнения . Это и

Разложим левую часть неравенства на множители:

Значит,

Рисуем параболу с ветвями вверх. Она пересекает ось р в точках и

Записываем ответ:

3. При каких значениях параметра k система уравнений не имеет решений?

Оба уравнения системы — линейные. График линейного уравнения — прямая. Запишем уравнения системы в привычном для нас виде, выразив у через х:

Первое уравнение задает прямую с угловым коэффициентом . Второе уравнение — прямую с угловым коэффициентом -2.

Система уравнений не имеет решений, если эти прямые не пересекаются, то есть параллельны. Это значит, что и .

Действительно, в этом случае первое уравнение задает прямую , а второе — параллельную ей прямую

Ответ: 10

Читаем дальше:

Графический метод решения задач с параметрами.

Сразу оговорюсь — для того, чтобы научиться решать задачи с параметром, не выйдет просто прочитать краткую инструкцию с указаниями, что вам делать. Нужно потратить некоторое время, чтобы научиться решать такие задачи. Здесь необходимо развитое аналитическое мышление (задачи бывают совершенно разные и нужно уметь анализировать разные функции), отличное умение решать все типы уравнений и неравенств (если вы не можете решить любое задание С1 или С3, то для вас будет очень сложно решить и С6), знание, как ведут себя различные функции и умение строить их графики. Как видите, все не так уж просто, но и 4 первичных балла дают не просто так. Тем не менее, решить С6 более чем реально, нужно набраться терпения. На самом деле, не так уж и много материала, да и раз вы задумались о С6, скорее всего, большинство необходимых знаний у вас есть, в основном придется потратить время на отработку практических навыков и разбор различных методов решения. Материал разбит на несколько частей, и я рекомендую внимательно их изучить, разбирая представленные примеры.

Решение уравнения или неравенства с параметром обычно предполагает несколько случаев, и ни один из них нельзя потерять.
Для того, чтобы решить задачу с параметром, необходимо для начала преобразовать заданное выражение к более простому виду, если это, конечно, возможно. При этом необходимо понимать, какие преобразования являются равносильными, а какие нет. В противном случае могут появиться посторонние корни, которые будет нужно проверить (это не всегда просто, поэтому рекомендую стараться использовать равносильные преобразования).

Рекомендации к выполнению задания 18 ЕГЭ:

1. Надо избавиться от логарифмов, модулей, показательных степеней и т.д.
2. Еще раз внимательно прочитать задание. Понять, что от вас требуется.
3. Попытаться проанализировать получившееся после преобразований выражение на наличие каких-либо специальных свойств функции (периодичность, возрастание/убывание, четность/нечетность и т.д.)
4. Часто решить задачу с параметром можно и удобно при помощи графиков. Иногда удобно выполнять построения на обычной координатной плоскости (Х, У), а иногда удобно построить графики в плоскости (Х, а), где а – параметр. Данный способ решения возможен, если вы видите знакомые функции (параболы, прямые, гиперболы, окружности и т.д.). Разумеется, бывает несколько способов решения поставленной задачи, но графический, как правило, наименее громоздок и прост для понимания. Ведь графики показывают поведение функций, и весь необходимый анализ появится у вас перед глазами.
5. Важно помнить, что методы решения уравнения или неравенства зависят от степени многочлена. Для этого необходимо рассматривать те значения параметра, при которых (если это возможно) обращается в нуль коэффициент при старшей степени. Пример: (a*x^2-3*x+1=0), при (a=0) выражение принимает вид (-3*x+1=0), т.е. превращается в линейную функцию, а способы решения квадратного и линейного уравнений различны.

Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.

Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.

«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.

Чему нужно научиться, решая задачи с параметром

В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.

Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.

Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.

Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:

задачи, основанные на свойствах дискриминанта и старшего коэффициента квадратного трехчлена;

применение теоремы Виета в задачах с параметром;

расположение корней квадратного трехчлена относительно заданных точек;

более сложные задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена.

Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром

Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a). Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т.д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.

На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.

В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.

Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.

Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.

Регулярно тренируйтесь в решении задач

Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
Вы можете:

• Начать заниматься бесплатно.
• 
  Купить доступ к этой задаче в составе
  экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.

Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

Муниципальная учебно-исследовательская

конференция старшеклассников

«Ломоносовские чтения»

Направление математика

Параметр в заданиях ЕГЭ по математике.

Исследовательская работа

                                                                              Выполнена учеником 11  класса

                                                                                   МОУ «Средняя общеобразовательная

                                                                   школа № 7», МО «Котлас»,

                                                             Архангельской области

                                                                             Шергиным Тимуром Олеговичем

                                                                             Научный руководитель – учитель

                                                                                  МОУ «Средняя общеобразовательная

                                                                школа № 7», МО «Котлас»,

                                                           Архангельской области

                                                                      Курдюкова Ольга Васильевна

г. Котлас, 2015

Оглавление

Введение                                                                                                                                      3

Глава 1  Основные понятия                                                                                                       5

§1Что такое параметр                                                                                                                 5

§2 Что означает «решить задачу с параметром»                                                                      6

§3 Основные типы решения задач с параметрами                                                                   6

§4Основные способы  решения задач с параметрами                                                7

Глава 2  Основные способы  решения задач с параметрами                              8

§1 Аналитический способ                                                                                                           8

§2 Графический способ                                                                                                              12

§3 Решение относительно параметра                                                                                       15

Заключение                                                                                                                                  22

Литература                                                                                                                                   23

Приложение 1 Результаты социологического опроса в 9, 11 классах                                   24

Приложение 2 Список задач с параметром                                                                              25

Введение.

Задачи с параметром — одна из самых интересных и многогранных тем в математике. Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение.

Актуальность данной темы очевидна. Ведь уравнения и неравенства с параметром стали привычной частью вступительных экзаменов ЕГЭ (задание № 18), на ГИА (задание № 23) и на вступительных экзаменах в вузы. И хотя они нередко представлены в многочисленных пособиях для абитуриентов, в школьной практике такие задачи встречаются редко.

Осенью 2015 года мы провели социологический опрос. Решили выяснить, будут ли выпускники 2016 года решать на ГИА и ЕГЭ по математике задания с параметром (см.приложение 1). Результаты нашего исследования неутешительные. Из 80 респондентов 50 (т.е. 63%) сообщили, что не будут решать задания такого типа.  Учащиеся выпускных классов не до конца понимают, что каждое невыполненное задание на экзамене лишает их возможности получить высокие баллы и быть конкурентно способными на вступительных экзаменах в ВУЗы. В связи с этим мы и решили изучить задания последних лет  с параметрами на ЕГЭ по математике.

Цель данной работы:  изучение основных способов решения уравнений и неравенств с параметром.

 Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

 1)  сбор и обработка материала по данной теме;

 2)  систематизировать различные методы решения;

 3)  провести мастер-классы по решению уравнений с параметром в 11 классах;

4) разработать список заданий по данной теме ( в помощь учителю и ученику).

Объект исследования: уравнения и неравенства с параметром.

Предмет исследования: методы решения  уравнений и неравенств, содержащих параметр.

Методы исследования:

• Изучение специальной литературы по данному вопросу: энциклопедии, справочники и учебные пособия, Интернет-ресурсы
• Анкетирование
• Проведение мастер класса
• Обработка полученных данных(составление обобщающих таблиц, диаграмм,)
• Работа в компьютерных программах MicrosoftWord, Excel, MicrosoftPowerPoint

Глава 1  Основные понятия.

§1 Что такое параметр.

Толковый словарь определяет  параметр как величину, характеризующую какое — нибудь основное свойство машины, устройства, системы или  явления, процесса. (Ожегов С.И.  ,  Шведова Н.Ю.  Толковый словарь русского языка.Москва. 1999). Рассмотрение параметров — это  всегда выбор. Покупая какую-то вещь, мы внимательно изучаем ее основные характеристики. Так,  приобретая компьютер, мы обращаем внимание на следующие его параметры: производительность, габариты, состав комплектующих, цену и др. Перед выбором мы стоим  и в различных жизненных ситуациях. Вспомним сказку:  В  чистом поле стоит столб, а настолбу написаны слова: «Кто поедет от столба сего  прямо, тот будет голоден и холоден; кто  поедет в правую сторону, тот будет  здрав и жив, а конь его будет мертв; а кто поедет в левую сторону, тот сам будет убит, а конь его жив и здрав останется!» Иван-царевич прочел эту надпись и поехал в правую сторону, держа на уме: хоть конь его и убит будет, зато сам жив останется и со временем сможет достать себе другого коня. (“Иван-царевич и серый волк” Русская народная сказка). Здесь от выбора зависит жизнь Ивана-царевича.

Что такое параметр в математике?Если вы вспомните некоторые основные уравнения (например, kx+l=0, ax²+bx+c=0), то обратите внимание, что при поиске их корней значения остальных переменных, входящих в уравнения, считаются фиксированными и заданными. Все разночтения в существующей литературе связаны с толкованием того, какими фиксированными и заданными могут быть эти значения остальных переменных.

Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, возьмем за основу следующий его простейший вариант.

Определение: параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

 Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения |x|=a–1 не следует неотрицательность значений выражения a–1, и если a–1<0, то мы обязаны констатировать, что уравнение не имеет решений.

§2 Что означает «решить задачу с параметром».

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

§3. Основные типы задач с параметрами.

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

 2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

         Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

§4 Основные способы решения задач с параметром.

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

 Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром.

Глава 2. Основные способы решения задач с параметром

§1 Аналитический способ.

Универсальных методов решения уравнений и неравенств с параметрами не существует. Одно из немногих исключений – линейные уравнения и неравенства.

    Пример 1. Решить уравнение а(а – 2)х = а – 2.

Решение.Перед нами линейное уравнение, имеющее смысл при всех допустимых значениях а. Будем его решать «как обычно»: делим оби части уравнения на коэффициент при неизвестном. Но всегда ли возможно деление? Нет. Делить на ноль нельзя. Придется рассмотреть отдельно случай, когда коэффициент при неизвестном равен нулю. Получим:

       1).а= 2, тогда уравнение примет вид 0 ∙ х = 0, х – любое число;

       2).а = 0, тогда 0 ∙ х = -2, уравнение корней не имеет;

       3).а ≠ 0, а ≠ 2, тогда

а(а – 2)х = а – 2 ,

х = ,

               х = .  

    Ответ: 1) еслиа ≠ 0, а ≠ 2, то х = .

                  2) если  а = 2, то х – любое число;  

                  3) если а = 0, то корней нет.

    Отмечу сразу, что запись ответа – важнейший этап решения, отличающий задачу с параметром от других задач. Ответ в задаче с параметром – это описание множества ответов к задачам, полученным при конкретных значениях параметра.

    Пример 2. Решить неравенство (а + 3)х< 4а – 1.

Решение. Рассмотрим случаи:

    1) а + 3 = 0, а = -3, тогда неравенство примет вид 0 ∙ х< -13, неравенство решений не имеет;

    2) а + 3 > 0, а> -3, тогда

    3) а + 3 < 0, а< -3, тогда

Ответ: 1) если  а = -3, то решений нет;

                  2) если  а> -3, то

3) если  а< -3, то

Другое важное исключение — уравнения и неравенства, связанные с квадратичной функцией.

    Пример 3. Решить неравенство ах2< 4.

Решение. Здесь три случая:

       1).если а = 0, то получаем неравенство 0 ∙ х2< 4, решением которого является любое число;

       2).если а< 0, тогда ах2< 4 для всех х, поскольку ах2 ≤ 0;

       3).если а> 0, тогда х2<, откуда < 0, или иначе:

< 0; пользуясь методом интервалов, заключаем, что  

<х<.

Ответ: 1) еслиа ≤ 0, то х – любое число;

               2) еслиа> 0, то х; .

Пример 4. Решить неравенство (х – 4а)(х + а – 5) ≤ 0.

Решение. Решим неравенство методом интервалов. Для этого необходимо оставить на числовой оси два числа: 4а и 5 – а. Но в каком порядке? Рассмотрим случаи:

1. 4а = 5 – а, что возможно приа = 1; неравенство примет вид:

(х – 4)2≤ 0х = 4;

2) 4а> 5 – а, что возможно приа> 1; число 4а на координатной оси расположено правее числа 5 – а.

х [5 – a; 4a]

           3) 4а< 5 – а, что возможно при а< 1

х [4a; 5 – a]

Ответ: 1) еслиа = 1, то х = 4;

            2) еслиа> 1, то х [5 – a; 4a];

               3) еслиа< 1, то х  [4a; 5 – a].

    Пример 5. Решить уравнение (а – 2)х2 + (2а – 3)х + а + 2 = 0.

Решение. Рассмотрим два случая:

1. а = 2, получим линейное уравнение х + 4 = 0, откуда х = -4;
2. а ≠ 2, получим квадратное уравнение. Рассмотрим дискриминант:

D = (2а – 3)2 – 4(а – 2)(а + 2) = 4а2 – 12а + 9 – 4а2 – 8а + 8а + 16 =

= -12а + 25

Далее, если D< 0,  -12а + 25< 0, а>, тогда уравнение не имеет корней;

если же D ≥ 0, а ≤ , то .

Ответ: 1) еслиа = 2, то  х = -4;

        2) если а>, то корней нет;

              3) если а ≤ , то .  

При решении задач с параметрами нередко применяются те же самые приемы, что и при решении обычных задач. Так, в следующем примере  мы используем разложение на множители.

    Пример 6. Решить неравенство х + 9а ≥ 10.

Решение. Перепишем неравенство в виде: х + 9а — 10 ≥ 0. Рассмотрим случаи:

1. а = 0, тогда х ≥ 0;
2. а>0, тогда   ОДЗ: х ≥ 0

     Замена:

t2 —

    Учитывая, что х ≥ 0, имеем         

        

1. а< 0, тогда х ≤ 0 и х + 9а — 10< 0, что противоречит условию.

Ответ: 1) еслиа = 0, то х[0; + );

               2) если a> 0, то ;

             3) еслиа< 0, то решений нет.

    При решении примера 7 мы воспользовались преобразованиями модуля.

Пример 7.Решить уравнение x|x – 4| = a.

Решение. Воспользуемся равносильностью:

1. Пусть а > 0, тогда х > 0. Перепишем уравнение в виде:

Так как х> 0 и а> 0, то корень первого уравнения х = 2 – , посторонний. Корни второго уравнения определены и положительны при

0<а ≤ 4.

2) Пустьа< 0, тогда х< 0. Перепишем уравнение в виде:

3) Пустьа = 0, тогда х = 0 или х = 4.

Ответ: 1) еслиа = 0, то х = 0 и х = 4;

               2) если 0<а ≤ 4, то х = 2 +  и х = 2 ± ;

               3) еслиа> 4, то х = 2 + ;

               4) еслиа< 0, то х = 2 – .

Пример 8: Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение   имеет хотя бы один корень. (С5 ЕГЭ 2012г.)

Рассмотрим функции   и

 Функция

1.Пусть , тогда (раскрываем модуль со знаком минус) , . Получаем, что угловой  коэффициент функции  равен 4 либо 12, (так как может быть одинаковый знак в зависимости от числа х.)   При таких значениях график функции возрастает (так как коэффициент больше 0)

2.Пусть , тогда , Получаем, что угловой  коэффициент функции  равен  -4 либо -12. При таких значениях график функции убывает (так как коэффициент меньше 0)

3.При  х=0, тогда  Получаем, что =   Функция  возрастает при  и убывает при , поэтому =

Исходное уравнение имеет один корень, когда

 откуда  , либо   , где а=-5.

Ответ: -5,

§2 Графический способ.

Алгоритм графического решения уравнений с параметром:

-Находим область определения уравнения.

-Выражаем α как функцию от х.

-В системе координат строим график функции α (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

-Находим точки пересечения прямой α =с, с графиком функции α (х). Если прямая α =с пересекает график α(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение

 c = α(х) относительно х.

-Записываем ответ.

Рассмотрим на примерах:

        Пример1: Решить уравнение |x2 — 2x — 3| = a в зависимости от параметра а.

Решение. Понятно, что при а ≥ 0:

    Но все ли корни подходят? Чтобы выяснить это, построим график функцииа = |x2 — 2x — 3|. Количество корней можно увидеть на рисунке 1, мысленно проводя прямые линии, соответствующие значениям а. Получим:

1. если a< 0, то корней нет;
2. еслиа = 0 и а> 4, то два корня.

Найдем эти корни:

При а = 0 получим x2 — 2x — 3 = 0, и х1 = -1, х2 = 3; при а> 4 это корни уравнения x2 — 2x – 3 – а = 0.

3) если 0 <a< 4  – все четыре корня подходят;

4) приа = 4 – три корня:

x2— 2x— 3 = 4        x2 — 2x — 3 = — 4        

x2— 2x — 7 = 0        x2 — 2x + 1 = 0

        х = 1

Ответ: 1) если a< 0, то корней нет;

            2) если а = 0, то х1 = -1, х2 = 3;

  3) если 0 <a< 4, то х1,2,3,4 = 1;

  4) если а = 4, то х1 = 1, х2,3 = 1;

  5) если а> 4. то х1,2 = 1 .

Пример 2: Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение   имеет единственный корень. ( С5 ЕГЭ 2013г.)

 Запишем уравнение в виде  и рассмотрим две функции  и .

Рассмотрим функцию  , преобразовывая подкоренное выражение, получим:

.
Таким образом, получаем.функцию, графиком которой является полуокружность с радиусом 2 в центре с точкой (-1;0), лежащей в верхней полуплоскости.

Графиком функции  является прямая с угловым коэффициентом -а, проходящая через точку М (4;2)

Уравнение имеет единственный корень, если   графики функций имеют одну общую точку (т.е. прямая касается или пересекает полуокружность в единственной точке).

Рассмотрим  рисунок: 1. Прямая МС является касательной  к полуокружности, следовательно, МС и полуокружность пересекаются в единственной точке. Так как МС параллельна оси ОХ ( У точки М (4,2) и С(-1,2)), то  угловой коэффициент равен нулю. Таким образом, найдено первое значение  а=0,  при котором   уравнение имеет один единственный корень.

2. Проведем прямую  через точки М(4;2)  и  А(-3;0) ( так как координаты известны). Прямая МА   пересекает  график полуокружности  в двух  точках, но такая ситуация не удовлетворяет условию задачи. Поэтому надо найти значения углового коэффициента, при которых вышеназванное  условие не выполняется. Чтобы найти значения –а подставим координаты  точек М и А в функцию.

-4а+16а+2=2                            3а+4а+2=0

12а=0                                         7а=-2

а=0.                                             а=

Получаем, -а=0 и –а=.

 При условии   прямые имеют с графиком  две общие точки, а это  не удовлетворяет условию задачи.

3. Проведем  прямую МВ  через точки М(4;2) и В(1;0).  Чтобы найти значения –а подставим координаты  точек М и А в функцию.

3а+4а+2=0                                          -а+4а+2=0

7а=-2                                                         3а=-2

а=                                                          а =

Получаем –а= и –а=. При условии прямые имеют с графиком  одну  общие точки и это удовлетворяет условию задачи.
Ответ: а=0,

§3 Решение относительно параметра.

    Если  степень неизвестного слишком высока, а степень параметра не превосходит двух, то здесь эффективен метод решения уравнения (неравенства) относительно параметра.

    Пример 1.Решить уравнение 2х3 – (а + 2)х2– ах + а2 = 0.

Решение. Перепишем уравнение в виде

       2х3 – ах2 — 2х2 – ах + а2 = 0  

а2 – (х2 + х)а + 2х3 — 2х2 = 0  

 Решим уравнение относительно параметра а.

D = (х2 + х)2 – 4(2х3 — 2х2) = х2(х + 1)2 – 8х2(х – 1) = х2(х2 + 2х + 1 – 8х + = = х2(х2 – 6х + 9) = х2(х – 3)2

Тогда (а – х2 + х)(а – 2х) = 0

Осталось решить полученные уравнения относительно х.

х2 – х – а = 0                                      а – 2х = 0

       имеет корни при

D = 1 + 4а ≥ 0                                    х =.

               4а ≥ -1

а ≥ —

       т.е. при а ≥ —

приа< —  корней нет.

Ответ: 1) если  а< — , то корней нет; 2) если а ≥ —  , то ,      х3 =

Пример 2.Решить уравнение 3х4 + х3 – 2(а + 1)х2 + 3ах – а2 = 0.^[1]*

Решение. Заменим уравнение как квадратное по отношению к параметру а:

    3х4 + х3 – 2ах2 – 2х2 + 3ах – а2 = 0

    —а2 – (2х2 – 3х)а + 3х4 + х3 – 2х2 = 0

а2 + (2х2 – 3х)а – 3х4 – х3 + 2х2 = 0

D = (2х2 – 3х)2 – 4(2х2 – х3 – 3х4) = х2(2х – 3)2 – 4х2(2 – х– 3х2) =

    = х2(4х2 – 12х + 9 – 8 + 4х + 12х2) = х2(16х2 – 8х + 1) = х2(4х – 1)2

а1 = х2 + х

а2 = -3х2 + 2х                Тогда

    (а – х2 – х)(а + 3х2 – 2х) = 0

а – х2 – х = 0                                              3х2 – 2х + а = 0

х2 + х – а = 0                                              D = 4 – 12а

D = 1 + 4аD ≥ 0 при а ≤

D ≥ 0 при а ≥ —

    Произведя развертку по параметру а, получили

Ответ: 1) приа< — , ;

                  2) при, то , ;

                  3) приа >, то .

Приведем примеры решения еще нескольких заданий С5 из контрольно измерительных материалов ЕГЭ:

1.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно 4 решения.

 

Преобразуем данную систему:

Пусть t = y – 3, тогда система примет вид:

Количество решений полученной системы совпадает с количеством решений исходной системы.

Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oxt.График первого уравнения – ромб, диагонали которого, равные 8 и 6, лежат на осях Ох и Оt, а графиком второго уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом r = |a|.

Система имеет 4 решения, так как графики уравнений системы пересекаются в четырех  общих точках. Значит,  окружность либо вписана в ромб, либо ее радиус удовлетворяет условию 3 < r < 4.В первом случае радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, откуда

Во  втором случае получаем 3 <|a |< 4, откуда −4 < a < −3; 3 < a < 4.

Ответ: а = ± 2,4; −4 < a < −3; 3 < a < 4.

2.Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

Введем  замену  поэтому  

Перейдем к системе: 

При подстановке выясняется, что ни при одном значении  число  не является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию , графиком  является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено если выполняется одно из трех условий: Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции :

1) Трёхчлен имеет два различных корня, и только больший из них лежит на промежутке (0; 1])(см.рис. 1), то есть 

2) Трёхчлен имеет два различных корня, и только меньший из них лежит на промежутке (0; 1])(см.рис. 2), то есть 

3)Трёхчлен имеет два корня, возможно, совпадающих, и оба лежат на промежутке

(0; 1])(см.рис. 3), то есть 

Решим систему 1:

Решим систему 2:

Решим систему 3:

Ответ: 

3.Найдите все значения , при которых уравнение  на промежутке  имеет ровно два корня.

Рассмотрим функции  и  Проанализируем   на промежутке 

 При  все значения функции  на промежутке  не положительны, а все значения функции  — положительны, следовательно,  при  уравнение не имеет решений на промежутке 

 При  функция  возрастает на промежутке , Функция  убывает на этом промежутке, следовательно, уравнение всегда имеет ровно одно решение на промежутке , поскольку 

 На промежутке  уравнение  принимает вид  Это уравнение сводится к уравнению  Будем полагать, что , поскольку случай  был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения  поэтому при  это уравнение не имеет корней; при  уравнение имеет единственный корень, равный 2; при  уравнение имеет два корня.

 Пусть уравнение имеет два корня, то есть  Тогда оба корня меньше 5, поскольку при  значения функции не положительны, а значения функции  положительны. По теореме Виета сумма корней равна 4, а произведение равно Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку , а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда .

 Таким образом, уравнение  имеет следующее количество корней на промежутке :1) Нет корней при 2) Один корень при 3) Два корня при  и 4) Три корня при 

Ответ: ; 

4.Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

    имеет единственный корень.

Если  является корнем исходного уравнения, то и  является его корнем. Следовательно, уравнение имеет единственный корень, только если  то есть   Подставим значение  в исходное уравнение:

                                     

 откуда либо  либо  или 

При  исходное уравнение принимает вид:  Корнями этого уравнения являются числа  и   то есть исходное уравнение имеет более одного корня.

При  и при  уравнение принимает вид: 

При  это уравнение сводится к уравнению  которое не имеет корней. При  получаем уравнение  которое имеет единственный корень.При  получаем уравнение  которое не имеет корней.

При  и при  исходное уравнение имеет единственный корень. Ответ: 

Заключение.

В процессе проделанной работы в соответствии с ее целями и задачами были получены следующие выводы и результаты:

1. Рассмотрели основные способы решения уравнений и неравенств с параметром:

— аналитический способ;                                                                                                          

— графический способ;                                                                                                            

— решение относительно параметра;

2.   Графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и систем уравнений с параметрами, но нельзя полностью представить себе сложность и нестандартность решения каждой задачи с параметром, изучая только графический способ. Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, используя какой-то алгоритм или формулы.

3. В заданиях ГИА по математике в 9 классе уравнения, системы уравнений с параметром проще, удобнее и нагляднее решать графическим способом. В связи с этим разработали ряд задач с параметром в помощь учителю и ученику. ( см. приложение 2) Разработанный ряд задач можно использовать на факультативах по математике при подготовке к ГИА, при подготовке к олимпиадам  или для привития интереса к математике, совершенствования математической культуры, навыков дедуктивного мышления и  творческих исследовательских способностей. Данный справочник предложен 9 классникам.

  Без задач с параметрами, как правило, не обходятся олимпиады всех уровней, вступительные экзамены в наиболее престижные вузы, поэтому мы планируем продолжить работу над этой темой.

Литература

1. Алгебра. 9 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович.- М.:Мнемозина, 2013;

2.    Горнштейн П.И. «Задачи с параметрами. » Москва 2003г.;

3.  Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА – 2014: учебно-методические пособие/ Под ред.Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2013г.;

 4. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2013 : учебно-методические пособие/ Под ред.Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2012г.;

 5. Солуковцева Л. «Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами. Москва.2007г.;

 6.   Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. Пособие для 10 кл. сред.шк. – М.: Просвещение, 1989.;

7.ЯстребинецкийГ.А.«Уравнения и неравенства, содержащие параметры», 1972г.

Приложение 1

Результаты социологического опроса в 9, 11 классах                                  

1. Будут ли выпускники 2016 года решать на ГИА и ЕГЭ по математике задания с параметром.

2. Причина, по которой не будут решать задания с параметром.

Приложение 2

Задание 23

Подготовительные задания

1. Постройте график функции  и определите, при каких значениях параметра a                         прямая y = a не имеет с графиком общих точек.

2. Постройте график функции у = х² +1 и определите, при каких значениях параметра k                       прямая  y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

3. Постройте график функции у = |х – 1| + |х + 1| – 1 и определите, при каких значениях параметра k прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

4. Постройте график функции у = х² -2|х| и определите, при каких значениях параметра а прямая у = а имеет с графиком ровно две общих точки.

5. Постройте график функции

   и определите, при каких значениях параметра а прямая у = а имеет с графиком ровно                                        

две общие точки.

Тренировочные задания.

1. При каких отрицательных значениях с прямая у = сх – 9 имеет с параболой у = х² + 5х ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки и постройте данные графики в одной системе координат.

2. Постройте график функции

   Определите, при каких значениях k прямая у = k будет пересекать построенный график в трех точках.

Зачетные задания.

1.  Постройте график функции         . Определите, при каких значениях параметра k прямая у = kx имеет с этим графиком ровно одну общую точку.

2. Постройте график функции    и определите при каких значениях параметра а прямая у = а не имеет с графиком общих точек.

---

Основы работы с параметром

Параметр – это буквенный коэффициент в уравнении.

Параметр – это всегда число, а не переменная, но мы не знаем, чему конкретно равен параметр. Например,

(y = kx + b)

это уравнение прямой, в котором (x) – переменная, (y) – зависимая от неё функция, а (k) и (b) – коэффициенты. Это значит, что (k) и (b) – какие-то числа, параметры. Когда мы видим конкретное уравнение прямой, например,

(y = — 5x +

мы можем сказать, что в данном случае параметр (k = — 5), а параметр (b = . В зависимости от параметров функция может по-разному себя вести, но сам вид линейной функции не поменяется.

УРАВНЕНИЕ С ПАРАМЕТРОМ:

Существуют уравнения, где есть две неизвестных: (x) – корень уравнения и (a) (или любая другая буква) – параметр. Решение таких уравнений сводится не к поиску конкретных корней, а к анализу их количества. Для этого мы предполагаем, чему будут равны корни уравнения при определенных параметрах.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Рассмотрим примеры.

Пример №1:

Сколько корней имеет уравнение

(ax = 3a + 7)

1. Данное уравнение не имеет ограничений для (x), поэтому перейдем ко второму пункту.

2. Начнем рассуждать. В случае работы с параметром нужно предположить, как мы будем искать корень, если коэффициент при икс равен нулю и если не равен ему. В данном случае коэффициент при иксе и есть параметр. Допустим, (a = 0), тогда уравнение будет иметь вид:

(0 = 7)

Это невозможно, из чего делаем вывод, что при (a = 0) корней нет.

1. Теперь представим, что параметр не равен нулю, а равен любому другому числу (a neq 0), тогда выразим икс:

(x = frac{3a + 7}{a})

При условии, что (a neq 0), а равно обычному числу, (x) будет принимать одно единственное значение.

1. Так мы нашли, при каких параметрах уравнение будет иметь один корень, нужно проверить этот корень на ограничения. Этих ограничений из п.1 нет, значит мы полностью проанализировали уравнение и узнали, сколько корней оно будет иметь во всех возможных случаях изменения параметра:

({корней нет при a = 0 }{один корень frac{3a + 7}{a} при a neq 0 })

Ответ так и запишем.

Ответ: (корней нет при a = 0); (один корень frac{3a + 7}{a} при a neq 0).

При работе с линейными уравнениями нет ограничений для переменных и для параметра. Сейчас мы рассмотрим дробно-рациональное уравнение с параметром, где на каждом этапе нужно помнить об ограничениях в знаменателе.

Пример №2:

Сколько корней имеет уравнение

(frac{4}{x — 3} — frac{k}{2} = 2)

1. Для начала нужно выписать все ограничения для переменной. Знаменатель не может быть равен нулю, значит:

(x — 3 neq 0)

(x neq 3)

(frac{8}{2left( x — 3 right)} — frac{kleft( x — 3 right)}{2left( x — 3 right)} = frac{4left( x — 3 right)}{2(x — 3)})

(frac{8 — kx + k3}{2(x — 3)} = frac{4x — 12}{2(x — 3)})

Ограничение для переменной мы записали, поэтому смело можно убрать знаменатель и приравнять числители. Про ограничение не забывать!

(8 — kx + 3k = 4x — 12)

1. Вправо перенесем все с иксами, а влево перенесем все остальные числа:

(8 + 3k + 12 = 4x + kx)

(20 + 3k = xleft( 4 + k right))

1. Мы снова пришли к ситуации, когда (x) умножается на какое-то число ((4 + k)), значение которого мы не знаем, т. к. в нём есть параметр. Снова анализируем количество корней, если весь коэффициент перед (x) равен нулю, то есть:

(4 + k = 0)

(k = — 4)

тогда

(x = frac{20 + 3k}{0})

Чего не может быть, значит корней нет.

1. Рассмотрим случай, когда (4 + k neq 0):

(k neq — 4)

тогда

(x = frac{20 + 3k}{k})

Получается, что существует один единственный корень.

1. Мы не учли то, что единственным корнем может оказаться число 3, но в начале мы записали ограничение (x neq 3). Поэтому уравнение будет иметь один корень ( x = frac{20 + 3k}{k}) при (k neq — 4), если

(x = frac{20 + 3k}{k} neq 3)

Найдем такой параметр (k), при котором (x = 3). Нужно проверить, есть ли такой параметр, и если есть – исключить его:

(frac{20 + 3k}{k} = 3)

(20 + 3k = 3k)

(20 = 0)

Что невозможно, значит такого параметра не существует, и уравнение имеет ровно один корень без ограничений, кроме (k neq — 4). Запишем ответ.

Ответ: корней нет при (k = — 4); один корень (x = frac{20 + 3k}{k}) при (k neq — 4).

23 апреля 2017

В закладки

Обсудить

Жалоба

Параметры. От простого к сложному. Практикум по решению задач

Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики и требует большого количества времени на их изучение.

Теоретическое изучение физических процессов, решение экономических задач часто приводит к различным уравнениям или неравенствам, содержащим параметры, и необходимой частью их решения является исследование характера процесса в зависимости от значений параметров. Таким образом, задачи с параметрами представляют собой небольшие исследовательские задачи.

Автор: Агашкова Надежда Анатольевна.

pr-sl-p.pdf