Геометрическая прогрессия егэ профиль


Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

2

Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

3

Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

4

Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

5

Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

16
Июл 2013

Категория: 09 Текстовые задачиТекстовые задачи

09. Задачи на прогрессию

2013-07-16
2022-09-11

«Арифметическая прогрессия», геометрическая прогрессия

Задача 1. Бригада маляров красит забор длиной 630 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 140 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение: + показать

Задача 2. Олегу надо решить 315 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил 11 задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за 9 дней.

Решение: + показать

Задача 3. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 9 километров. Определите, сколько километров прошел турист за пятый день, если весь путь он прошел за 9 дней, а расстояние между городами составляет 189 километров.

Решение: + показать

Задача 4. Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере 1000000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 7% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?

Решение: + показать

Задача 5. Компания “Альфа” начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3500 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания “Бета” начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 300% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение: + показать

тест

Вы также можете пройти тест по задачам на прогрессию

Автор: egeMax |

комментария 2

Источник
Skip to content

ЕГЭ Профиль №18. Последовательности и прогрессии

ЕГЭ Профиль №18. Последовательности и прогрессииadmin2022-01-01T16:14:55+03:00

Используйте LaTeX для набора формулы
Источник

Геометрическая прогрессия. Задачи на прогрессии и последовательности.

В этой статье рассмотрены задачи на геометрические прогрессии, и последовательности, которые нельзя отнести ни к арифметическим, ни  к геометрическим прогрессиям.

Сначала вспомним, что мы знаем о последовательностях.

Последовательность — это ряд чисел, который подчиняется определенному правилу. Если каждое последующее больше (или же меньше) предыдущего на определенное число, то это арифметическая прогрессия. Если числа отличаются во сколько-то раз, то такой ряд — геометрическая прогрессия. Если правило получения последующих членов ряда сложнее — то это просто последовательность.

Числа в геометрической прогрессии можно получить умножением (или делением) на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Члены геометрической прогрессии обозначают обычно буквой b с индексом, указывающим на номер элемента в ряду. А знаменатель обозначают буквой q. Тогда, зная первый член прогрессии и знаменатель, можно найти n-ный член:

b_n=b_1q^{n-1}

Сумму нескольких членов прогрессии можно найти по формуле:

S_n=b_1{{1-q^{n}}/{1-q}}

Или еще можно использовать такую:

S_n={{b_n}q-b_1}/{q-1}

Свойства:

{b_1}{b_n}={b_2}{b_{n-1}}=...={b_{k+1}}{b_{n-k}}

delim{|}{{b_n}}{|}=sqrt{{b_{n-1}}{b_{n+1}}}

Ну, к бою! Решаем задачи.

1. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия  за­да­на усло­ви­я­ми:b_1=3, b_{n+1}=3b_n. Най­ди­те b_8.

Сначала определим знаменатель прогрессии: q=b_{n+1}/b_n=3

Теперь можем определить и восьмой член: b_n=b_1q^{n-1}=3*3^7=6561

2. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Какая из них — геометрическая прогрессия?

а) 1; 2; 3; 5;…              б) 1; 2; 4; 8;…                 в) 1; 3; 5; 7;…             г)1/2; 1/3; 1/4; 1/5;....

Нужно выбрать последовательность, в которой каждое последующее число больше или меньше предыдущего в определенное количество раз. Из всех представленных последовательностей только во второй каждое последующее число вдвое больше предыдущего. Именно она и является геометрической прогрессией. Такая закономерность более не наблюдается ни в одной из представленных последовательностей, поэтому ответ: б).

3. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, зна­ме­на­тель ко­то­рой равен 2, а b_1=-3/4. Най­ди­те сумму пер­вых шести её чле­нов.

Воспользуемся формулой суммы:

S_6=b_1{{1-q^{6}}/{1-q}}={-3/4}{{1-{2}^{6}}/{1-2}}=47,25

Ответ: 47,25

4. В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии сумма пер­во­го и вто­ро­го чле­нов равна 40, а сумма вто­ро­го и тре­тье­го чле­нов равна 120. Най­ди­те пер­вые три члена этой про­грес­сии.

Дано следующее:

b_1+b_2=40;  b_2+b_3=120

Запишем условие, применяя формулу n-ного члена:

b_1+b_1q=40

b_1q+b_1q^2=120

Во втором уравнении вынесем за скобку q:

q(b_1+b_1q)=120

Оказывается, можно заменить выражение в скобках, воспользовавшись первым уравнением, и это позволит найти знаменатель прогрессии:

q(40)=120

q=3

Тогда из первого уравнения 4b_1=40, b_1=10. Отсюда легко найти остальные члены: b_2=30, b_3=90.

Ответ: 10, 30, 90.

5. Биз­не­смен Руб­ли­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 50000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 200% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Руб­ли­ков за 2003 год?

С первого прочтения может быть не ясно сразу, что эта задача — на геометрическую прогрессию. Увидев слова «на 200%» некоторые могут ошибиться, подумав, что тут надо применять формулы арифметической прогрессии. Давайте разберемся, что же означает это условие задачи. Если бы прибыль бизнесмена выросла на 100 %, то это значило бы, что он получил столько, сколько в прошлом году, да еще столько же — то есть в два раза больше. Прибыль увеличилась на 200 % — значит, бизнесмен заработал столько же, сколько в прошлом году, да еще в 2 раза больше — то есть всего в три раза больше! А на следующий год — еще в три раза,  вот и вырисовывается геометрическая прогрессия со знаменателем 3. Первый ее член: b_1=50000. Всего бизнесмен трудился три года, поэтому искомое — b_3:

b_3=b_1q^3=50000*3^3=1350000 — был Рубликов —  стал Миллиончиков!

Рассмотрим теперь задачи на последовательности.

6. По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой  b_n=n^2+3. Какое из ука­зан­ных чисел яв­ля­ет­ся чле­ном этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

а)6                       б)16                 в)9              г)19

Чтобы выяснить, является ли какое-либо из чисел членом данной последовательности, нужно идти от обратного: подставить данное число в формулу и посмотреть, будут ли у полученного уравнения целые корни. Уравнение простое, решается устно. При вычитании 3 из 6, 16 и 9 квадрата целого числа не получится, а вот если вычесть 3 из 19 — получится 16, это и есть решение.

Ответ: 16

7. Последовательность задана формулой: c_n=12/{n+1}. Сколько членов в этой последовательности больше 2?

Можно перефразировать задачу: сколько членов данной последовательности удовлетворяют неравенству c_n>2? Поскольку неравенство строгое, то число 2 ему не удовлетворяет, поэтому знаменатель должен быть меньше 6. Решаем неравенство:

n+1<6

n<5

Получили n=4.

Можно было и сразу решать неравенство: 12/{n+1}>2.

1 комментарий

Григорий
✉️
24.01.2021 19:58:46

Я бы начал с определения геометрической прогрессии : b_n+1=b_n*g отсюда g=b_n+1/b_n
А еще бы добавил S=b1/(1-g) , ( при |g|<1)
Добавил бы задачу на свойства прогрессии,
Нахождению суммы бесконечно уб. прогрессии.

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Арифметические и геометрические прогрессии»

Открытый банк заданий по теме арифметические и геометрические прогрессии. Задания B11 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1106

Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Наташе надо изготовить 300 бумажных журавликов. Ежедневно она делает на одно и то же количество журавликов больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день Наташа сделала 6 журавликов. Сколько журавликов было сделано в последний день, если на всю работу потребовалось 15 дней?

Показать решение

Решение

Из условия следует, что количество бумажных «журавликов» ежедневно увеличивалось на одно и тоже число. Количество ежедневно сделанных бумажных «журавликов» образует арифметическую прогрессию, при этом первый член прогрессии равен 6. По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии имеем

a_1+a_2+a_3+…+a_{15}= frac{a_1+a_{15}}{2}cdot15= 300,

6+a_{15}=40,

a_{15}=40-6=34.

Наташа в последний день изготовила 34 бумажных «журавлика»

Ответ

34

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1104

Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Коле надо посадить 350 кустов роз. Ежедневно он сажает на одно и то же количество кустов больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день он посадил 8 кустов роз. Сколько кустов было посажено в последний день, если на всю работу потребовалось 20 дней?

Показать решение

Решение

Из условия следует, что количество посаженных кустов роз ежедневно увеличивалось на одно и тоже число. Количество ежедневно посаженных роз образует арифметическую прогрессию, при этом первый член равен 8. По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии получаем a_1+a_2+a_3+…+a_{20}= frac{a_1+a_{20}}{2}cdot20= 350,

8+a_{20}=35,

a_{20}=35-8=27.

Коля в последний день посадил 27 кустов роз.

Ответ

27

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №334

Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Плиточник должен уложить 320 м2 плитки. Если он будет укладывать на 6 м2 в день больше, чем запланировал, то работа будет выполнена на 12 дней раньше. Определите, сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник.

Показать решение

Решение

Пусть x (м2) — планируемая норма укладки в день. Тогда, согласно условию, получаем:

frac{320}{x}-frac{320}{x+6}=12,

frac{320(x+6)-320cdot x}{x(x+6)}=12,

frac{320cdot6}{x(x+6)}=12,

frac{160}{x(x+6)}=1,

x^2+6x-160=0.

x_{1,2}=-3pmsqrt{9+160}=-3pm13.

Так как x не является отрицательным числом, то x = 10.

Ответ

10

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №333

Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Грузовой автомобиль перевозит технику из одного города в другой, проезжая в каждый последующий день на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. В первый день пути водитель проехал расстояние 520 км. Известно, что расстояние между городами 3270 км и на весь путь потребовалось ровно 5 дней. Определите, сколько километров проехал водитель за третий день пути.

Показать решение

Решение

Расстояние увеличивается каждый день на одну и ту же величину d, а значит, последовательность таких расстояний — арифметическая прогрессия.

За 5 дней пройденный путь равен frac{(a_1+a_5)}{2}cdot5=3270, где a_1, a_3 и a_5 — путь, пройденный в первый, третий и пятый дни соответственно.

По свойству арифметической прогрессии a_3=a_1+2d, a_5=a_1+4d, значит, a_3=frac{a_1+a_5}{2}. Тогда a_3=3270:5=654 (км).

Ответ

654

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Новое и интересное на сайте:

  • Геометрическая оптика физика егэ 11 класс
  • Герои великой отечественной войны 1941 1945 для егэ
  • Геометрическая оптика егэ задания
  • Геометрическая вероятность на егэ
  • Геология спбгу егэ

    • Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: