Как найти наименьшее значение функции егэ профиль

Всего: 638    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Найдите наибольшее значение функции y=10 синус x минус дробь: числитель: 36, знаменатель: Пи конец дроби x плюс 7 на отрезке левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .

Найдите наименьшее значение функции y=5 синус x плюс дробь: числитель: 24, знаменатель: Пи конец дроби x плюс 6 на отрезке левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .

Найдите наименьшее значение функции y=4x минус 4 натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка плюс 6 на отрезке левая квадратная скобка минус 6,5;0 правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y = 12 синус x минус дробь: числитель: 66, знаменатель: Пи конец дроби x плюс 14 на отрезке левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y = 14 синус x минус дробь: числитель: 48, знаменатель: Пи конец дроби x плюс 22 на отрезке левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y=13 плюс 30x минус 4x корень из x на отрезке левая квадратная скобка 23;33 правая квадратная скобка .

Найдите наименьшее значение функции y= левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка на отрезке левая квадратная скобка 6;8 правая квадратная скобка .

Найдите наименьшее значение функции y=5 косинус x минус 6x плюс 4 на отрезке левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y= натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 5x на отрезке [−4,5; 0].

Найдите наибольшее значение функции y=8 натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка минус 8x плюс 3 на отрезке левая квадратная скобка минус 6,5;0 правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y= натуральный логарифм левая круглая скобка 11x правая круглая скобка минус 11x плюс 9 на отрезке левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 22 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 22 конец дроби правая квадратная скобка .

Найдите наименьшее значение функции y = левая круглая скобка x минус 24 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 23 правая круглая скобка на отрезке левая квадратная скобка 22;24 правая квадратная скобка .

Найдите наименьшее значение функции y = 14 синус x плюс дробь: числитель: 72, знаменатель: Пи конец дроби x плюс 26 на отрезке левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .

Найдите наименьшее значение функции y = 10x минус натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка на отрезке левая квадратная скобка минус 9,5;0 правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y = натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 11 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка минус 12x на отрезке левая квадратная скобка минус 10,5;0 правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y = 10 натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка минус 10x минус 21 на отрезке левая квадратная скобка минус 4,5;0 правая квадратная скобка .

Найдите наименьшее значение функции y = 6x минус натуральный логарифм левая круглая скобка 6x правая круглая скобка плюс 17 на отрезке левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y = натуральный логарифм левая круглая скобка 12x правая круглая скобка минус 12x плюс 16 на отрезке левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 24 конец дроби правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y = натуральный логарифм левая круглая скобка 19x правая круглая скобка минус 19x плюс 9 на отрезке левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 38 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 38 конец дроби правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y= минус 15x в квадрате минус x в кубе плюс 6 на отрезке левая квадратная скобка минус 0,5;10 правая квадратная скобка .

Всего: 638    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

  1. Найти производную функции $f'(х)$
  2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
  3. Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
  4. Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
  5. Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

  1. Найти производную функции $f'(х)$
  2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
  3. Разложить производную функции на множители.
  4. Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
  5. Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Функция Производная
$c$ $0$
$x$ $1$
$x^n, n∈N$ $nx^{n-1}, n∈N$
${1}/{x}$ $-{1}/{x^2}$
${1}/x{^n}, n∈N$ $-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$
$√^n{x}, n∈N$ ${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$
$sinx$ $cosx$
$cosx$ $-sinx$
$tgx$ ${1}/{cos^2x}$
$ctgx$ $-{1}/{sin^2x}$
$cos^2x$ $-sin2x$
$sin^2x$ $sin2x$
$e^x$ $e^x$
$a^x$ $a^xlna$
$lnx$ ${1}/{x}$
$log_{a}x$ ${1}/{xlna}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Пример:

Найти производную функции $f(x) = 3x^5 – cosx + {1}/{x}$

Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+({1}/{x})’=15x^4+sinx-{1}/{x^2}$

2. Производная произведения.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Пример:

Найти производную $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f^'(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)’}/{g^2(x)}$

Пример:

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)’∙e^x-5x^5∙(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4∙e^x-5x^5∙e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

Пример:

$f(x)= cos(5x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= — sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Пример:

Найдите точку минимума функции $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

Решение:

1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$

2. Найдем производную функции $y’=2-{1}/{x+11}={2x+22-1}/{x+11}={2x+21}/{x+11}$

3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю

${2x+21}/{x+11}=0$

Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю

$2x+21=0; x≠-11$

$2х=-21$

$х=-10,5$

4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.

$y'(0)={2∙0+21}/{0+11}={21}/{11}>0$

5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ — это точка минимума.

Ответ: $-10,5$

Пример:

Найдите наибольшее значение функции $y=6x^5-90x^3-5$ на отрезке $[-5;1]$

Решение:

1. Найдем производную функции $y′=30x^4-270x^2$

2. Приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки

$30x^4-270x^2=0$

Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(х-3)(х+3)=0$

Приравняем каждый множитель к нулю

$x^2=0 ; х-3=0; х+3=0$

$х=0;х=3;х=-3$

3. Выберем стационарные точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-5;1]$

Нам подходят стационарные точки $х=0$ и $х=-3$

4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3

$y(-5)= 6∙(-5)^5-90∙(-5)^3-5=6∙(-3125)+90∙125-5= -18750+11250-5=-7505$

$y(-3)= 6∙(-3)^5-90∙(-3)^3-5=-1458+2430-5=967$

$y(0)= -5$

$y(1)= 6∙1^5-90∙1^3-5=6-90-5= -89$

Наибольшее значение равно $967$

Ответ: $967$

Источник

Задача 1. Найдите точку максимума функции y=x^3-108x+11.

Решение: + показать

Задача 2. Найдите точку минимума функции y=21x^2-x^3+17.

Решение: + показать

Задача 3. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=x^3-15x^2+19 на от­рез­ке [5;15].

Решение: + показать

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции  y=2+9x-frac{x^3}{3} на отрезке [2;6].

Решение: + показать

Задача 5. Найдите наибольшее значение функции y=3x^5-20x^3-54 на отрезке [-4;-1].

Решение: + показать

Задача 6. Найдите наибольшее значение функции y=-3x^5-6x^3+14  на отрезке [-1;8].

Решение: + показать

Задача 7. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции y=6+12x-2x^{frac{3}{2}}.

Решение: + показать

Задача 8. Найдите наибольшее значение функции y=-frac{2}{3}xsqrt x+3x+8 на отрезке [1;9].

Решение: + показать

Задача 9. Най­ди­те точку минимума функ­ции y=-frac{x^2+25}{x}.

Решение: + показать

Задача 10. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=frac{x^2+900}{x} на [3;40].

 Решение: + показать

Задача 11. Найдите точку максимума функции y=frac{441}{x}+x+18.

Решение: + показать

Задача 12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции y=(3x^2-15x+15)e^{x-15}.

Решение: + показать

Задача 13. Найдите точку максимума функции y=(x+11)^2cdot e^{3-x}.

Решение: + показать

Задача 14. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=(x-3)^2(x-6)-1 на  отрезке [4;6].

Решение: + показать

Задача 15. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y=ln(x+4)^9-9x  на от­рез­ке [-3,5;0].

Решение: + показать

Задача 16. Найдите наименьшее значение функции y=6x-ln(6x)+17  на отрезке [frac{1}{12};frac{5}{12}].

Решение: + показать

Задача 17.  Найдите наименьшее значение функции y=2x^2-3x-lnx+13 на отрезке [frac{3}{4};frac{5}{4}].

Решение: + показать

Задача 18. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=e^{2x}-11e^x-1  на от­рез­ке [-1;2].

Решение: + показать

Задача 19. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y=12sqrt{2}cosx+12x-3pi+9  на от­рез­ке [0;frac{pi}{2}].

Решение: + показать

Задача 20. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=-4x+2tgx+pi+16 на от­рез­ке [-frac{pi}{3};frac{pi}{3}].

Решение: + показать

Задача 21. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y=9cosx+15x-4  на от­рез­ке [-frac{3pi}{2};0] .

Решение: + показать

Задача 22.  Найдите наименьшее значение функции y=4cosx+frac{15}{pi}x+9  на отрезке [-frac{2pi}{3};0].

Решение: + показать

Задача 23.  Найдите наименьшее значение функции y=5tgx-5x+6  на отрезке [0;frac{pi}{4}].

Решение: + показать

Задача 24. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции y=(3-2x)cosx+2sinx+19, при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку (0;frac{pi}{2}).

Решение: + показать

* Замечание. Важно!  

Не следует считать (могло сложиться такое мнение при разборе примеров выше), что наименьшее (наибольшее) значение функции на отрезке совпадает с минимумом (максимумом) на отрезке!

Например, на рисунке ниже наименьшее значение функции  на отрезке [a;b] достигается на конце отрезка [a;b], а именно, в точке x=b.

hj

То есть, вообще говоря, при нахождении наименьшего значения функции на отрезке [a;b] следует выбрать наименьшую из величин:

1) y(x_{min}) (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка [a;b]

2) y(a),  y(b).

При нахождении наибольшего значения функции на отрезке [a;b] следует выбрать большую из величин:

1) y(x_{max}) (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка [a;b]

2) y(a),  y(b).

Но, если, например, на рассматриваемом отрезке функция имеет только один экстремум – минимум и мы ищем наименьшее значение, то отпадает необходимость находить значения функции на концах отрезка.

Аналогично в случае с нахождением наибольшего значения функции на отрезке, на котором содержится только один экстремум – максимум.

В случае же, когда на отрезке рассматриваемом функция не имеет экстремумов, то для нахождения наибольшего/наименьшего значений требуется лишь сравнить эти самые значения функции на концах отрезка и взять наибольшее/наименьшее из них.

тест

Вы можете пройти тест  “Исследование функции при помощи производной”

Источник

1. Элементарные функции

2. Применение формул производной произведения и частного

2.1 Найдите точку минимума функции y=(3-x)cdot e^{3-x}. Смотреть видеоразбор
2.2 Найдите точку максимума функции y=(x^2-10x+10)cdot e^{5-x}. Смотреть видеоразбор
2.3 Найдите наименьшее значение функции y=(x-1)e^x на отрезке [-1;1]. Смотреть видеоразбор
2.4 Найдите наибольшее значение функции y=(10-x)sqrt{x+2} на отрезке [-1; 7]. Смотреть видеоразбор
2.5 Найдите наименьшее значение функции y=2xsqrt{x}-9x+11 на отрезке [2; 9]. Смотреть видеоразбор
2.6 Найдите наибольшее значение функции y=(x-2)^2(x-4)+5 на отрезке [1; 3]. Смотреть видеоразбор
2.7 Найдите точку максимума функции y=(x+5)e^{5-x}. Смотреть видеоразбор
2.8 Найдите точку минимума функции y=(10-x)e^{10-x}. Смотреть видеоразбор
2.9 Найдите наименьшее значение функции y=x^2+frac{25+x^2-x^3}{x} на отрезке [1; 10]. Смотреть видеоразбор

3. Применение формулы производной сложной функции

4. Тригонометрические функции

4.1 Найдите наибольшее значение функции y=8x-4tg;x-2pi+2 на отрезке [-frac{pi}{3}; frac{pi}{3}]. Смотреть видеоразбор
4.2 Найдите наименьшее значение функции y=4sin{x}+3cos{x} на отрезке [0; 7]. Смотреть видеоразбор
4.3 Найдите наибольшее значение функции y=2cos{x}-frac{18}{pi}x+4 на отрезке [-frac{2pi}{3}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.4 Найдите наименьшее значение функции y=5sin{x}+frac{24}{pi}x+6 на отрезке [-frac{5pi}{6}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.5 Найдите наибольшее значение функции y=3tg{x}-3x+5 на отрезке [-frac{pi}{4}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.6 Найдите наименьшее значение функции y=3cos{x}-frac{48}{pi}x+19 на отрезке [-frac{2pi}{3}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.7 Найдите наименьшее значение функции f(x)=sin{x}+sqrt{1+sin^2{x}}. Смотреть видеоразбор
4.8 Найдите наибольшее значение функции y=33x-30sin{x}+29 на отрезке [-frac{pi}{2}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.9 Найдите точку максимума функции y=(2x-3)cos{x}-2sin{x}+5, принадлежащую промежутку (0; frac{pi}{2}). Смотреть видеоразбор
4.10 Найдите точку максимума функции y=(2x-1)cos{x}-2sin{x}+5, на промежутке (0; frac{pi}{2}). Смотреть видеоразбор
4.11 Найдите наибольшее значение функции y=2sin{x}-frac{36}{pi}x+9 на отрезке [-frac{5pi}{6}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.12 Найдите наибольшее значение функции y=7sqrt{2}cos{x}+7x-frac{7pi}{4}+4 на отрезке [0; frac{pi}{2}]. Смотреть видеоразбор
4.13 Найдите наибольшее значение функции y=12cos{x}+6sqrt{3}x-2sqrt{3}pi+6 на отрезке [0; frac{pi}{2}]. Смотреть видеоразбор
4.14 Найдите наибольшее значение функции y=12tg;x -12x+3pi-7 на отрезке [-frac{pi}{4}; frac{pi}{4}]. Смотреть видеоразбор
4.15 Найдите наименьшее значение функции y=6cos{x}+frac{24x}{pi}+5 на промежутке [-frac{2pi}{3}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.16 Найдите наименьшее значение функции y=3+frac{5pi}{4}-5x-5sqrt{2}cos{x} на отрезке [0; frac{pi}{2}]. Смотреть видеоразбор
4.17 Найдите наименьшее значение функции y=5cos{x}-6x+4 на отрезке [-frac{3pi}{2}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.18 Найдите наибольшее значение функции y=15x-3sin{x}+5 на отрезке [-frac{pi}{2}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.19 Найдите наименьшее значение функции y=9cos{x}+14x+7 на отрезке [0; frac{3pi}{2}]. Смотреть видеоразбор
4.20 Найдите наименьшее значение функции y=7sin{x}-8x+9 на отрезке [-frac{3pi}{2}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.21 Найдите наименьшее значение функции y=6cos{x}+frac{24}{pi}x+5 на отрезке [-frac{2pi}{3}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.22 Найдите наибольшее значение функции y=10sin{x}-frac{36}{pi}x+7 на отрезке [-frac{5pi}{6}; 0]. Смотреть видеоразбор

5. Логарифмическая и показательная функции

5.1 Найдите наименьшее значение функции y=3x-ln(x+3)^3 на отрезке [-2,5; 0]. Смотреть видеоразбор
5.2 Найдите наименьшее значение функции y=9x-ln(9x)+3 на отрезке [frac{1}{18}; frac{5}{18}]. Смотреть видеоразбор
5.3 Найдите наибольшее значение функции y=2x^2-13x+9cdot ln{x}+8 на отрезке [frac{13}{14}; frac{15}{14}]. Смотреть видеоразбор
5.4 Найдите наименьшее значение функции y=5x-ln(x+5)^5 на отрезке [-4,5; 1]. Смотреть видеоразбор
5.5 Найдите наименьшее значение функции y=7x-ln(x-2)^7 на отрезке [-1,5; 0]. Смотреть видеоразбор
5.6 Найдите точку максимума функции y=ln(x+4)^2+2x+7. Смотреть видеоразбор
5.7 Найдите наименьшее значение функции y=log_{sqrt{3}}(x-4sqrt{x-2}+5) на отрезке [5; 10]. Смотреть видеоразбор
5.8 Найдите наименьшее значение функции y=4^x-2^{x+4}+100. Смотреть видеоразбор

6. Функции, в которых присутствует квадратичная в виде «вложенной»

6.1 Найдите наименьшее значение функции y=2^{x^2+100x+2503} Смотреть видеоразбор
6.2 Найдите наибольшее значение функции y=5^{-3x^2+18x-24}. Смотреть видеоразбор
6.3 Найдите точку максимума функции y=-sqrt{x^2-8x+17}. Смотреть видеоразбор
6.4 Найдите наибольшее значение функции y=3^{-7-6x-x^2}. Смотреть видеоразбор
6.5 Найдите наибольшее значение функции y=log_5(4-2x-x^2)+3. Смотреть видеоразбор
6.6 Найдите точку максимума функции y=sqrt{4-4x-x^2}. Смотреть видеоразбор

7. Задачи на первообразную (не входят в ЕГЭ этого года)

7.1 Найдите первообразную F(x) для функции f(x)=frac{3x+2}{5}, если F(4)=5. В ответе укажите значение F(1). Смотреть видеоразбор
7.2 Наименьшее значение первообразной F(x) для функции f(x)=x^2−2x−3 на отрезке [0;6] равно −9. Найдите наибольшее значение первообразной на этом отрезке. Смотреть видеоразбор
7.3 Наименьшее значение первообразной F(x) для функции f(x)=x^2-2x-3 на отрезке [0; 6] равно −9. Найдите наибольшее значение первообразной на этом отрезке. Смотреть видеоразбор
7.4 Найдите первообразную F(x) для функции f(x)=frac{3x+2}{5}, если F(4)=5. В ответе укажите значение F(1). Смотреть видеоразбор
7.5 Один из двух нулей первообразной F(x) для функции f(x)=5x-1 равен -3. Найдите второй нуль. Смотреть видеоразбор
Источник

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 10 минут. Уровень сложности: повышенный.
Средний процент выполнения: 60.8%
Ответом к заданию 11 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.

Разбор сложных заданий в тг-канале

Задачи для практики

Задача 1

Найдите наименьшее значение функции $y=-2ln(x+3)^5+10x$ на отрезке $[-2{,}5 ;-1]$.

Решение

Областью определения функции является интервал $(-3; +∞)$, на котором она дифференцируема. Отрезок $[-2.5; -1]$ принадлежит области определения.

Отметим, что по свойству логарифмов $ln(x + 3)^5 = 5 ln(x + 3)$, поэтому заданная функция имеет вид $y = -10 ln(x + 3) + 10x$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций:

$y′ = {-10}/{x+3} + 10 = {-10 + 10x + 30}/{x + 3} = {10 x + 20}/{x + 3} = {10(x + 2)}/{x + 3}, y′ = {10(x + 2)}/{x + 3}$.

2. Заметим, что $y′ = 0$ при $x = -2$. Получаем единственную стационарную точку. $-2 ∈ [-2.5; -1]$.

3. Так как $x + 3 > 0$ в области определения, то $y′ < 0$ при $-2.5 < x < -2, y′ > 0$ при $-2 < x < -1$. Производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку $x = -2$. Следовательно, эта точка является точкой минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.

$y(-2) = -10 ln(-2 + 3) + 10 · (-2) = -20$, так как $ln 1 = 0$.

Ответ: -20

Задача 2

Найдите наибольшее значение функции $y=ln(x+7)^3-3x$ на отрезке $[-6{,}5 ;-4]$.

Решение

Областью определения функции является промежуток $(-7;+∞ )$, на котором она дифференцируема

Отрезок $[-6{,}5 ;-4]$ принадлежит области определения

Отметим, что по свойству логарифмов в области определения функции выполняется равенство $ln(x+7)^3=3ln(x+7)$, поэтому заданная функция может быть представлена в виде $y=3ln(x+7)-3x$

1. Находим $y^′ $, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций: $y^′={3} / {x+7}-3={3-3x-21} / {x+7}={-3x-18} / {x+7}={-3(x+6)} / {x+7}$, $y^′={-3(x+6)} / {x+7}$

2. Заметим, что $y^′ =0$ при $x=-6$. Получаем единственную стационарную точку

3. Так как $x+7>0$ в области определения, то $y^′ >0$ при $x∈(-6,5;-6)$

$y^′ <0$ при $x∈(-6;-4)$. Производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x=-6$

Следовательно, эта точка является точкой максимума и в ней функция достигает наибольшего значения

$y(-6)=3ln(-6+7)-3⋅ (-6)=18$, так как $ln 1=0$.

Ответ: 18

Задача 3

Найдите наибольшее значение функции $y=ln(4-2x)+2x-7$ на отрезке $[0;1{,}7]$.

Решение

Областью определения этой функции будет интервал $(-∞; 2)$, в каждой точке которого функция дифференцируема, причём отрезок $[0; 1.7]$ целиком лежит в области определения.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной сложной и логарифмической функций:

$y′ = {1}/{4 — 2x} · (4 — 2x)′ + (2x)′ — (7)’ = {-2}/{4-2x} + 2 = {2x — 3}/{x — 2}$.

$y′ = {2x — 3}/{x — 2}$.

2. Находим стационарные точки из условия $y′ = 0. {2x — 3}/{x — 2} = 0,$

$2x — 3 = 0,$

$x = {3}/{2}$.

Получили одну стационарную точку $x = {3}/{2}$, которая принадлежит промежутку $(0; 1.7)$.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $(2x — 3)(x — 2) = 2x^2 — 7x + 6$. Его графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, и корнями являются числа ${3}/{2}$ и $2$. Поэтому при $0 < x < {3}/{2}$ его знак «плюс», а при ${3}/{2} < x < 1.7$ знак «минус».

При переходе через точку $x = {3}/{2}$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, $x = {3}/{2}$ является точкой максимума и в ней достигается наибольшее значение (так как других точек экстремума нет).

4. $y({3}/{2}) = ln (4 — 2 · {3}/{2}) + 2 · {3}/{2} — 7 = ln 1 + 3 — 7 = -4$.

Ответ: -4

Задача 4

Найдите точку максимума функции $y=-8√ x+12ln(x-4)-11$.

Решение

Областью определения этой функции является интервал $(4; +∞)$, на котором функция дифференцируема. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «плюса» на «минус».

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций.

$y′ = {-8}/{2√x} + {12}/{x — 4} = {-8(x — 4) + 24√x}/{2√x(x — 4)} = {-4x + 16 + 12√x}/{√x(x — 4)}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, -4x + 16 + 12√x = 0$.

Сделаем замену $√x = t$ $(t > 2)$. Получим уравнение $-4t^2 + 12t + 16 = 0; t^2 — 3t — 4 = 0$. По формуле корней квадратного уравнения получаем:

$t_{1,2} = {3± √{9 + 16}}/{2} = {3±2}/{5}$,

$t_1 = -1, t_2 = 4$.

$t = -1$ не удовлетворяет условию $t > 2$.

Уравнение $√x = 4$ имеет решение $x = 16$. Получили единственную стационарную точку $x = 16$, принадлежащую промежутку $(4; +∞)$.

При $x > 4$ знак производной совпадает со знаком функции $y_1 = -4x+16+12√x$. Для определения её знака на интервале $(4; +∞)$ достаточно найти её знак в двух точках, одна из которых меньше, чем $x = 16$, и другая, больше, чем $x = 16$.

$y_1 (9) = -4 · 9 + 16 + 12√9 = -36 + 16 + 36 > 0$, а $y_1 (25) = -4 · 25 + 16 + 12√25 = -100 + 16 + 60 < 0$.

3. Получаем, что производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через единственную экстремальную точку $x = 16$. Поэтому точка $x = 16$ будет точкой максимума.

Ответ: 16

Задача 5

Найдите точку максимума функции $y=2ln x-√ {x}-17$.

Решение

Областью определения этой функции является интервал $(0; +∞)$, в каждой точке которого она дифференцируема. Найдём стационарные точки в области определения и выберем ту из них, проходя через которую, производная меняет знак с «плюса» на «минус».

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производных степенной и логарифмической функций:

$y′ = {2}/{x} — {1}/{2√x} = {4 -√x}/{2x}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0; 4 — √x = 0. √x = 4, x = 16$.

Получили одну стационарную точку.

3. Так как $x > 0$ и $√x > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком функции $y_1 = 4 — √x$. Она обращается в ноль в единственной точке $x = 16$.

Находим знак этой функции при $x < 16$ и $x > 16$. Для этого достаточно найти её значения хотя бы в одной точке каждого из указанных промежутков: $y_1 (1) = 4 — √1 = 3 > 0$, а $y_1 (25) = 4 — √{25} = -1 < 0$

Тем самым, производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x = 16$, которая и будет точкой максимума.

Ответ: 16

Задача 6

Найдите наибольшее значение функции $y=√ {-2log_{0{,}5} (5x+1)}$ на отрезке $[12{,}6;51]$.

Решение

Найдём без применения производной, какие значения принимает функция на отрезке $[12.6; 51]$ и выберем из них наибольшее.

1. Пусть $x$ – произвольное число из отрезка $[12.6; 51]$. Тогда $12.6 ≤ x ≤ 51$. Отсюда по свойствам неравенств получаем: $63 ≤ 5x ≤ 255, 64 ≤ 5x + 1 ≤ 256$.

2. Из предыдущего неравенства, по свойству логарифмов с основанием $0.5$, меньшим $1$, получаем $log_{0.5} 64 ≥ log_{0.5}(5x + 1) ≥ log_{0.5}256$. Но, $log_{0.5}64 = log_{{1}/{2}}64 = log_{{1}/{2}}2^6 = log_{{1}/{2}}(({1}/{2})^{-1})^6 = log_{{1}/{2}}({1}/{2})^{-6} = -6$.

Аналогично, $log_{0.5}256 = -8$. Поэтому $-8 ≤ log_{0.5}(5x + 1) ≤ -6, 6 ≤- log_{0.5}(5x + 1) ≤ 8, 12 ≤ -2 log_{0.5}(5x + 1) ≤ 16$.

Теперь, по свойству квадратного корня получаем, $√12 ≤ √{-2log_{0.5}(5x + 1)} ≤ √{16} = 4$.

Но $√{-2 log_{0.5}(5x + 1)} = y$, поэтому $√{12} ≤ y ≤ 4$.

3. Таким образом, функция определена на всём отрезке $[12.6; 51]$ наибольшим значением является $4$ и получается это значение при $x = 51$.

Ответ: 4

Задача 7

Найдите точку минимума функции $y=x^2-21x+6+55ln x$.

Решение

Областью определения функции является промежуток $(0; +∞)$, на котором она дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «минуса» на «плюс».

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной логарифмической и степенной функций.

$y′ = 2x − 21 + {55}/{x}, y′ = {2x^2-21x+55}/{x}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0; 2x^2 -21x +55 = 0. x_{1,2} = {21 ± √{441 — 440}}/{4} = {21 ± 1}/{4}. x_1 = 5, x_2 = 5.5$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2x^2 -21x+55$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=5$ и $x_2=5.5$.

Поэтому при $x < 5$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $5 < x < 5.5$, и знак «плюс» при $x > 5.5$.

  (0;5) 5 (5; 5.5) 5.5 (5.5;+∞)
y′ + 0 — 0 +
y ↗ ↘ ↗

При переходе через точку $5.5$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.

Ответ: 5.5

Задача 8

Найдите точку максимума функции $y=x^2-11x-17+15ln x$.

Решение

Областью определения функции является промежуток $(0; +∞)$, на котором она дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «плюса» на «минус».

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной логарифмической и степенной функций.

$y′ = 2x − 11 + {15}/{x} = {2x^2-11x+15}/{x}, y′ = {2x^2-11x+15}/{x}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0; 2x^2- 11x +15 = 0. x_{1,2} = {11 ± √{121 — 120}}/{4} = {11 ± 1}/{4}. x_1 = 2.5, x_2 = 3$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2x^2 -11x+15$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=2.5$ и $x_2=3$.

Поэтому при $x < 2.5$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $2.5 < x < 3$, и знак «плюс» при $x > 3$.

  (0;2.5) 2.5 (2.5; 3) 3 (3;+∞)
y′ + 0 — 0 +
y ↗ ↘ ↗

При переходе через точку $2.5$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Ответ: 2.5

Задача 9

Найдите точку максимума функции $y=(5x^2-3x-3)e^{x+5}$.

Решение

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «плюса» на «минус».

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулой производной произведения двух функций, и производной степенной и показательной функции:

$y′ = (10x − 3)e^{x+5} + (5x^2 − 3x − 3)e^{x+5} = e^{x+5}(5x^2 + 7x − 6), y′ = e^{x+5}(5x^2 + 7x − 6)$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0$. Так как $e^{x+5} > 0$, то $5x^2 + 7x − 6 = 0. x_{1,2} = {−7 ± √{49 + 120}}/{10} = {−7 ± 13}/{10}. x_1 = −2, x_2 = 0.6$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $5x^2 +7x-6$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=-2$ и $x_2=0.6$.

Поэтому при $x < −2$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $−2 < x < 0.6$, и знак «плюс» при $x > 0.6$.

  (-∞;-2) -2 (-2; 0.6) 0.6 (0.6;+∞)
y′ + 0 — 0 +
y ↗ ↘ ↗

При переходе через точку $x_1 = −2$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Ответ: -2

Задача 10

Найдите наименьшее значение функции $y=-4x-4cos x+5$ на отрезке $[- {π} ;0]$.

Решение

Заметим, что заданная функция непрерывна на отрезке $[-π; 0]$ и дифференцируема на интервале $(-π; 0)$. Наименьшее её значение на отрезке $[-π; 0]$ равно наименьшему из всех значений функции в стационарных точках интервала $(-π; 0)$ и концах отрезка $[-π; 0]$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производных тригонометрических функций:

$y′ = -4 + 4 sin x = -4(1 — sin x), y′ = -4(1 — sin x)$.

2. Заметим, что $sin x < 0$ на интервале $(-π; 0)$. Поэтому $1 — sin x > 1$ и $-4(1 — sin x) < 0$. Следовательно, на нём $y′ < 0$ и функция $y=-4x — 4 cos x + 5$ убывает.

3. Наименьшее значение функции будет на правом конце промежутка, то есть в точке $x = 0$.

$y(0) = -4 · 0 — 4 cos 0 + 5 = -4 + 5 = 1$.

Ответ: 1

Задача 11

Найдите точку минимума функции $y=(12-5x)sin x-5cos x-10$, принадлежащую интервалу $({π} / {2};π)$.

Решение

Отметим, что функция дифференцируема на заданном интервале. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «минуса» на «плюс». 1. Находим $y^′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной произведения функций и производной линейной и тригонометрических функций. $y^′=(12-5x)^′⋅ sin x+(sin x)^′⋅(12-5x)+5sin x$, $y^′=-5sin x+cos x(12-5x)+5sin x=-cos x(5x-12)$, $y^′=-cos x(5x-12)$. 2. Решаем уравнение $y^′=0$. Так как $cos x<0$ на заданном интервале, то $5x-12=0$, $x=2{,}4$. ${π} / {2≈} 1{,} 57$, а $π ≈ 3{,} 14$, поэтому $2{,}4∈ ({π} / {2};π)$. Получили одну стационарную точку на заданном интервале. 3. $cos x<0$ на заданном интервале, поэтому знак производной совпадает со знаком функции $y_1=5x-12$. Эта функция является возрастающей, поэтому она имеет знак «минус» до точки $x=2{,}4$ и знак «плюс» после неё. Тем самым, точка $x=2{,}4$ будет точкой минимума.

Ответ: 2.4

Задача 12

Найдите точку минимума функции $y={x-8} / {x^2+225}$.

Решение

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «минуса» на «плюс».

1. Находим $y′$, пользуясь формулой производной частного двух функций и правилом дифференцирования степенной функции:

$y′ = {(x-8)′·(x^2+225)-(x^2+225)′·(x-8)}/{(x^2+225)^2}$.

$y′ = {x^2+225-2x·(x-8)}/{(x^2+225)^2}={x^2+225-2x^2+16x}/{(x^2+225)^2}$.

$y′ = {-x^2+16x+225}/{(x^2+225)^2}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, -x^2 + 16x+225 = 0, x^2-16x-225=0, x_{1,2} = 8±√{64+225}=8±√{289}=8±17, x_1=-9, x_2=25$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $-x^2 +16x+225$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вниз и корнями являются числа $-9$ и $25$.

Поэтому на промежутке $(-∞;-9)$ производная меньше нуля, на промежутке $(-9; 25)$ она больше нуля и на промежутке $(25;+∞)$ меньше нуля.

  (-∞;-9) -9 (-9; 25) 25 (25;+∞)
y′ — + —
y ↘ 0 ↗ 0 ↘

Тем самым производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку $x = -9$, которая и будет точкой минимума.

Ответ: -9

Задача 13

Найдите точку максимума функции $y={x-5} / {x^2+144}$.

Решение

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «плюса» на «минус».

1. Находим $y′$, пользуясь формулой производной частного двух функций и правилом дифференцирования степенной функции:

$y′ = {(x-5)′·(x^2+144)-(x^2+144)′·(x-5)}/{(x^2+144)^2}$.

$y′ = {x^2+144-2x·(x-5)}/{(x^2+144)^2}={x^2+144-2x^2+10x}/{(x^2+144)^2}$.

$y′ = {-x^2+10x+144}/{(x^2+144)^2}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, -x^2 + 10x+144 = 0, x^2-10x-144=0, x_{1,2} = 5±√{25+144}=5±√{169}=5±13, x_1=-8, x_2=18$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $-x^2 +10x+144$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вниз и корнями являются числа $-8$ и $18$.

Поэтому на промежутке $(-∞;-8)$ производная меньше нуля, на промежутке $(-8; 18)$ она больше нуля и на промежутке $(18;+∞)$ меньше нуля.

  (-∞;-8) -8 (-8; 18) 18 (18;+∞)
y′ — + —
y ↘ 0 ↗ 0 ↘

Тем самым производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x = 18$, которая и будет точкой максимума.

Ответ: 18

Задача 14

Найдите наименьшее значение функции $y={4x^2+256} / {x}$ на отрезке $[16;98]$.

Решение

Областью определения функции является множество $(-∞;0)∪ (0;+∞)$, в каждой точке которого функция дифференцируема

Промежуток $[16;98]$ содержится в области определения функции

1. Находим $y^′$, представив заданную функцию в виде $y=4x+{256} / {x}$

По правилам дифференцирования и по формуле производной степенной функции получаем: $y^′=4-{256} / {x^2}={4x^2-256} / {x^2}={4(x^2-64)} / {x^2}$, $y^′={4(x^2-64)} / {x^2}$

2. Решаем уравнение $ y^′=0 $, $ x^2-64=0 $, $ x_1=-8 $, $ x_2=8 $

Получаем две стационарные точки на множестве $(-∞;0)∪ (0;+∞)$, но ни одна из них не попадает на промежуток $[16;98]$. Значит, на заданном отрезке стационарных точек нет

3. Так как $x^2>0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $ x^2-64 $. Поэтому $ y^′ >0 $ при $ x>8$, а функция $y={4x^2+256} / {x}$ на отрезке $[16;98]$ возрастает

Наименьшее значение она принимает в точке $x=16$

$y(16)=4⋅ 16+{256} / {16}=64+16=80$.

Ответ: 80

Задача 15

Найдите точку минимума функции $y={25x^2+25} / {x}$.

Решение

Областью определения функции является множество $(-∞; 0) ∪ (0;+∞)$, в каждой точке которого функция дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «минуса» на «плюс».

1. Находим $y′$, представив заданную функцию в виде $y = 25x+{25}/{x}$. По правилам дифференцирования и формуле производной степенной функции получаем: $y′ = 25 — {25}/{x^2} = {25x^2 — 25}/{x^2} = {25(x^2 — 1)}/{x^2}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, x^2 — 1 = 0, x_1 = -1, x_2 = 1$. Получаем две стационарные точки.

3. Так как $x^2 > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $x^2 -1$, корнями которого являются числа $-1$ и $1$. Поэтому $y′ > 0$ при $x < -1, y′ < 0$ при $-1 < x < 0, y′ < 0$ при $0 < x < 1$ и $y′ > 0$ при $x > 1$.

  (-∞;-1) -1 (-1; 0) 0 (0; 1) 1 (0;+∞)
y′ + 0 — Не сущ. — 0 +
y ↗   ↘   ↘   ↗

При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.

Ответ: 1

Задача 16

Найдите наименьшее значение функции $y=x^5-5x^3-270x$ на отрезке $[0 ;5]$.

Решение

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной степенной функции: $y′ = 5x^4 — 15x^2 — 270$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0$. Сделаем подстановку $x^2 = t (t ≥ 0)$, получим уравнение $5t^2 — 15t — 270 = 0$ или $t^2 — 3t — 54 = 0$.

$t_1 = -6, t_2 = 9$.

$t_1 = -6$ не удовлетворяет условию $t ≥ 0$. Уравнение $x^2 = 9$ имеет два корня $x_1 = -3, x_2 = 3$. На промежуток (0; 5) попадает лишь одно число $x = 3$. Получаем единственную стационарную точку.

3. Найдем знак производной на двух промежутках (0; 3) и (3; 5), на которые точка $x = 3$ разбивает интервал (0; 5). Для этого найдем значения производной в точке $x = 1$ из первого интервала, и в точке $x = 4$ из другого интервала.

$y′(1) = 5·1^4 — 15·1^2 — 270 = 5 — 15 — 270 < 0$,

$y′(4) = 5·4^4 — 15·4^2 — 270 = 1280- 240 — 270 > 0$.

Производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку $x = 3$. Следовательно, эта точка является точкой минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.

$y(3) = 3^5 — 5·3^3 — 270·3 = 243-135-810 = -702$.

Ответ: -702

Задача 17

Найдите наибольшее значение функции $y=√ {240-8x-x^2}$ на отрезке $[-18;10]$.

Решение

Преобразуем подкоренное выражение: $240-8x-x^2 = -(x^2+8x-240) = -((x+4)^2-16-240) = 256-(x+4)^2$. Поэтому $y = √{256 — (x + 4)^2}$.

Так как $(x + 4)^2 ≥ 0$, то $y$ принимает наибольшее значение, если $(x + 4)^2 = 0$, то есть при $x = -4$. Точка $x = -4$ принадлежит заданному промежутку [-18; 10]. Это наибольшее значение равно $√{256} = 16$.

Ответ: 16

Задача 18

Найдите наименьшее значение функции $y=√ {x^2+2x+122}$ на отрезке $[-50;150]$.

Решение

Дискриминант квадратного трёхчлена, расположенного под знаком квадратного корня, меньше нуля ($D = 4 — 488$), значит трёхчлен корней не имеет. Ветви параболы, являющейся графиком этого трёхчлена направлены вверх, абсцисса вершины равна $-1$, а ордината $121$. Поэтому $x^2+2x+122 > 0$ при любых x и исходная функция определена при любом значении x из промежутка [-50; 150].

При $-50 ≤ x ≤ -1$ функция $y = x^2 + 2x + 122$ убывает, а значит убывает и функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$.

При $-1 ≤ x ≤ 150$ функция $y = x^2 + 2x + 122$ возрастает, а значит возрастает и функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$.

Из сказанного следует, что в точке $x = -1$ функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$ принимает наименьшее значение на указанном отрезке.

$y(-1) = √{121} = 11$.

Ответ: 11

Задача 19

Найдите точку максимума функции $y=√ {77+4x-x^2}$.

Решение

Дискриминант квадратного трёхчлена $-x^2+4x+77$, расположенного под знаком квадратного корня, больше нуля ($D = 16+308 = 324$), значит этот квадратный трёхчлен имеет два корня.

$x_{1,2} = {-2±√{4 + 77}}/{-1} = {-2±9}/{-1}, x_1 = -7, x_2 = 11$.

Ветви параболы, являющейся его графиком, направлены вниз, поэтому при $x∈[-7; 11]$ он принимает неотрицательные значения. Исходная функция определена и непрерывна на отрезке при любом значении $x ∈ [-7; 11]$, и дифференцируема на интервале (-7; 11).

Найдём стационарные точки на интервале (-7; 11) и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с плюса на минус.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.

$y′ = {1}/{2√{77 + 4x — x^2}}·(77 + 4x — x^2)′ = {-2x + 4}/{2√{77 + 4x — x^2}} = {-(x — 2)}/{√{77 + 4x — x^2}}, y′ = {-(x — 2)}/{√{77 + 4x — x^2}}$,

2. Решаем уравнение $y′ = 0, x — 2 = 0, x = 2$. Получаем одну стационарную точку.

3. Так как $√{77 + 4x — x^2} > 0$ на интервале (-7; 11), то знак производной совпадает со знаком выражения $-x +2$. Тогда $y′ > 0$ при $-x +2 > 0, x < 2; y′ < 0$ при $-x + 2 < 0, x> 2$.

Следовательно, при переходе через точку $x = 2$ производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Ответ: 2

Задача 20

Найдите точку минимума функции $y=√ {x^2-12x+40}$.

Решение

Дискриминант квадратного трёхчлена, расположенного под знаком квадратного корня, меньше нуля ($D=144-160$), значит, уравнение $x^2-12x+40=0$ корней не имеет. Ветви параболы, являющейся графиком этого трёхчлена, направлены вверх, поэтому все его значения больше нуля. Функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «минуса» на «плюс».

1. Находим $y^′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.

$y^′={1} / {2√ {x^2-12x+40}}⋅ (x^2-12x+40)^′={2x-12} / {2√ {x^2-12x+40}}=$
$={x-6} / {√ {x^2-12x+40}}$

$y^′={x-6} / {√ {x^2-12x+40}}$.

2. Решаем уравнение $y^′=0$, $x-6=0$, $x=6$. Получаем одну стационарную точку.

3. Так как $√ {x^2-12x+40}>0$, то знак производной совпадает со знаком выражения $x-6$. Тогда $y’>0$ при $x-6>0$, $x>6$; $y'<0$ при $x-6<0$, $x<6$.

Следовательно, при переходе через точку $x=6$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.

Ответ: 6

Рекомендуемые курсы подготовки

Источник

Как решать 11 задание в ЕГЭ по математике (профиль) правильно? Нужно определить тип: поиск точки экстремума функции или поиск наибольшего/наименьшего значения функции, а затем воспользоваться алгоритмом.

Общие правила

Задание номер 11 в ЕГЭ по математике (профиль) входит в первую часть экзамена и считается одним из самых сложных. Все дело в том, что здесь проверяется ваше умение решать задачи на производную – к сожалению, эта тема непонятна очень и очень многим.

Но ничего страшного – мы составили гайд с подсказками по решению задания 11 в ЕГЭ по математике (профиль). И первым делом расскажем о двух основных типах задач, которые можно встретить.

  1. Поиск точки минимума или точки максимума функции
  2. Поиск наибольшего значения функции или наименьшего значения функции

Чуть ниже мы поговорим об алгоритмах выполнения задания 11 ЕГЭ, но сначала приведем базовые термины, которые вам стоит знать. Если вы до сих пор не справлялись с решением задач на производную, нужно начать с изучения теории.

  • Точка максимума – такая точка x0 , если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)<f(x0);
  • Точка минимума – такая точка x0, если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)>f(x0);
  • Максимум функции – значение функции в точке максимума x0;
  • Минимум функции – значение функции в точке минимума x0.

Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума, а точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Экстремумы могут существовать только в критических точках. Однако, не все критические точки являются экстремумами.

Для успешного решения нужно запомнить несколько несложных формул для 11 задания ЕГЭ по математике (профиль): u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).

  • (c ⋅ f)′ = c ⋅ f′
  • (u + v)′ = u′ + v′
  • (u — v)′ = u′ — v′
  • (u ⋅ v)′ = u′v + v′u
  • (u/v)’ = (u’v — v’u)/v2

Еще немного теории для 11 задания ЕГЭ по профильной математике. Существуют и сложные функции – когда одна функция вложена в другую. Найти производную можно с помощью умножения производной внешней функции на производную внутренней функции – воспользуйтесь формулой (f(y))′ = f′(y) ⋅ y′.

Поиск точек экстремума

Первый тип задания номер 11 в ЕГЭ по математике профильного уровня – поиск точки минимума или точки максимума функции.

Алгоритм несложный, делаем следующее:

  • Сначала необходимо найти производную;
  • Второй шаг – поиск точек экстремума;
  • Далее необходимо приравнять производную к нулю и решить получившееся уравнение.

Теперь можно переходить к следующему этапу:

  • Нарисуйте ось и отметьте на ней корни: сверху опишите производную, снизу – саму функцию;
  • Найдите знаки производной в интервалах между корнями (подставьте удобные числа из интервалов в производную);
  • Определите вид каждого экстремума: если переход с «-» на «+», значит, точка минимума (или, наоборот, точка максимума, если переход с «+» на «-»).

Приводим разбор 11 задания ЕГЭ по математике (профиль). Это классический вариант!

Задание: найдите точку минимума функции y = x3 – 9×2 + 12.

Решение:

D(y) = R

?′(х) = 3?2 − 9⋅2? = 3?2 − 18? = 3? (?−6).

ּּּ?′(х) = 0,      3? (?−6) = 0,

?1 = 0; ?2 = 6.

Ответ: при переходе через точку х=6 производная меняет знак с «-» на «+», значит, эта точка минимума.

Важно – это лишь пример, которым можно руководствоваться. Нет никаких гарантий, что во время экзамена вам попадется именно это задание.

Так как мы хотим изучить все типы 11 задания ЕГЭ по математике (профиль), переходим к следующему возможному варианту.

Поиск значения функции

Второй вариант, который может попасться на экзамене – это поиск максимального или минимального значения функции. В 11 задаче ЕГЭ по математике (профиль) такое задание встречается довольно часто.

Здесь алгоритм еще проще – этой единой инструкцией можно пользоваться при решении любых подобных задач.

  • Сначала найдите производную;
  • Приравняйте ее к нулю и найдите точки экстремума.

Затем нужно будет посчитать значение исходной функции в:

  • Начале промежутка;
  • Конце промежутка;
  • В экстремумах, лежащих в [a; b], если есть.

Последний шаг – выбор нужного значения.

А теперь переходим к прототипу задания 11 ЕГЭ по математике (профиль). Еще раз напомним, это лишь пример, который поможет разобраться в тонкостях решения.

Задание: найдите наименьшее значение функции ? = ?? − 3? + 16 на отрезке [1;9].

Решение:

D(y) = [0; +∞]

y = x3/2 – 3х + 16

y’ (x) = 3/2×1/2 – 3 = 3/2√x – 3

y’ (x) = 0, 3/2√x – 3 = 0, √x = 3х2/3, √x = 2, х = 4

4 ∈ [1;9]

Ответ: в точке х = 4 заданная функция имеет минимум.

y (4) = 4√4 – 3 х 4 + 16 = 12.

Соответственно, ответ – 12.

Надеемся, с нашими подсказками вы сможете разобраться, как делать 11 задание в ЕГЭ по математике (профиль). Пусть оно и кажется очень сложным, нужно лишь правильно выстроить алгоритм решения – и тогда все получится!

Источник

На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно осуществить поиск и определить оптимальное значение какого-либо параметра или количество. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.

Обычно нами строится выражение этих значений в рамках некоторого интервала x, который может в свою очередь соответствовать всей области определения функции или ее части. Это может быть как отрезок [a; b], так и открытый интервал (a; b), (a; b], [a; b), бесконечный интервал (a; b), (a; b], [a; b) либо бесконечный промежуток -∞; a, (-∞; a], [a; +∞), (-∞; +∞).

В этом материале мы расскажем, как найти наибольшее и наименьшее значение явно заданной функции с одной  переменной y=f(x)y=f(x), чтобы вам не нужно было искать это самостоятельно онлайн.

Основные определения

Начнем, как всегда, с формулировки основных определений: какое значение называют максимальным и минимальным?.

Определение 1

Наибольшее значение функции y=f(x) на некотором промежутке x – это значение max y=f(x0)x∈X, которое при любом значении xx∈X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(x)≤f(x0).

Определение 2

Минимальное значение функции y=f(x) на некотором промежутке x– это значение minx∈Xy=f(x0), которое при любом значении x∈X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(Xf(x)≥f(x0).

Данные определения являются достаточно очевидными. Еще проще можно сказать так: наибольшее значение функции – это ее наибольшее число, которое она может принимать на известном интервале при абсциссе x0, а наименьшее – это самое маленькое принимаемое значение на том же интервале при x0.

Определение 3

Стационарными точками называются такие значения аргумента функции, при которых ее производная обращается в 0.

Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки?  Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или то, что больше всего, значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.

Еще  функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.

Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы можем определить наибольшее или найти наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с  границами области определения, или если мы имеем дело с интервалом, не имеющим конца. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения (мало и много). В этих случаях определить или найти наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.

Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения (max y и min y) в стационарных точках, расположенных на отрезке [-6;6].

Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [1;6] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.

На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка [-3;2]. Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.

Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале

Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале

Теперь посмотрим на четвертый рисунок. В нем функция принимает max y (наибольшее значение) и min y (наименьшее значение) в стационарных точках на открытом интервале (-6;6).

Если мы возьмем интервал [1;6), то можно сказать, что наименьшее значение функции на нем будет достигнуто в стационарной точке. Наибольшее значение нам будет неизвестно. Функция могла бы принять наибольшее значение при x, равном 6, если бы x=6 принадлежала интервалу. Именно этот случай нарисован на графике 5.

На графике 6 наименьшее значение данная функция приобретает в правой границе интервала (-3;2], а о наибольшем значении мы не можем сделать определенных выводов.

Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности

Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности

На рисунке 7 мы видим, что функция будет иметь max y в стационарной точке, имеющей абсциссу, равную 1. Наименьшего значения функция достигнет на границе интервала с правой стороны. На минус бесконечности значения функции будут асимптотически приближаться к y=3.

Если мы возьмем интервал x∈2; +∞, то увидим, что заданная функция не будет принимать на нем ни наименьшего, ни наибольшего значения. Если x стремится к 2, то значения функции будут стремиться к минус бесконечности, поскольку прямая x=2 – это вертикальная асимптота. Если же абсцисса стремится к плюс бесконечности, то значения функции будут асимптотически приближаться к y=3. Именно этот случай изображен на рисунке 8.

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке

Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?

В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить, чтобы найти наибольшее значение функции на некотором отрезке или как найти наименьшее значение функции.

  1. Для начала найдем область определения функции. Проверим, входит ли в нее заданный в условии отрезок.
  2. Теперь вычислим точки, содержащиеся в данном отрезке, в которых не существует первой производной. Чаще всего их можно встретить у функций, аргумент которых записан под знаком модуля, или у степенных функций, показатель которых является дробно рациональным числом.
  3. Далее выясним, какие стационарные точки попадут в заданный отрезок. Для этого надо вычислить производную функции, потом приравнять ее к 0 и решить получившееся в итоге уравнение, после чего выбрать подходящие корни. Если у нас не получится ни одной стационарной точки или они не будут попадать в заданный отрезок, то мы переходим к следующему шагу.
  4. Определим, какие значения будет принимать функция в заданных стационарных точках (если они есть), или в тех точках, в которых не существует первой производной (если они есть), либо же вычисляем значения для x=a и x=b.
  5. У нас получился ряд значений функции, из которых теперь нужно выбрать самое больше и самое маленькое. Это и будут наибольшее и наименьшее значения функции, которые нам нужно найти.

Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.

Пример 1

Условие: задана функция y=x3+4×2. Определите ее наибольшее и наименьшее значение на отрезках [1;4] и [-4;-1].

Решение:

Начнем с нахождения области определения данной функции. В этом случае ей будет множество всех действительных чисел, кроме 0. Иными словами, D(y): x∈(-∞; 0)∪0; +∞. оба отрезка, заданных в условии, будут находиться внутри области определения.

Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:

y’=x3+4×2’=x3+4’·x2-x3+4·x2’x4==3×2·x2-(x3-4)·2xx4=x3-8×3

Мы узнали, что производная функции будет существовать во всех точках отрезков [1;4] и [-4;-1].

Теперь нам надо определить стационарные точки функции. Сделаем это с помощью уравнения x3-8×3=0. У него есть только один действительный корень, равный 2. Он будет стационарной точкой функции и попадет в первый отрезок [1;4].

Вычислим значения функции на концах первого отрезка и в данной точке, т.е. для x=1, x=2 и x=4:

y(1)=13+412=5y(2)=23+422=3y(4)=43+442=414

Мы получили, что наибольшее значение функции max yx∈[1; 4]=y(2)=3 будет достигнуто при x=1, а наименьшее min yx∈[1; 4]=y(2)=3 – при x=2.

Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:

y(-1)=(-1)3+4(-1)2=3

Значит,  max yx∈[-4; -1]=y(-1)=3, min yx∈[-4; -1]=y(-4)=-334.

Ответ: Для отрезка [1;4] — max yx∈[1; 4]=y(2)=3, min yx∈[1; 4]=y(2)=3, для отрезка [-4;-1] — max yx∈[-4; -1]=y(-1)=3, min yx∈[-4; -1]=y(-4)=-334.

См. на рисунке:

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале

Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнавать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.

  1. Для начала нужно проверить, будет ли заданный интервал являться подмножеством области определения данной функции.
  2. Определим все точки, которые содержатся в нужном интервале и в которых не существует первой производной. Обычно они бывают у функций, где аргумент заключен в знаке модуля, и у степенных функций с дробно рациональным показателем. Если же эти точки отсутствуют, то можно переходить к следующему шагу.
  3. Теперь определим, какие стационарные точки попадут в заданный промежуток. Сначала приравняем производную к 0, решим уравнение и подберем подходящие корни. Если у нас нет ни одной стационарной точки или они не попадают в заданный интервал, то сразу переходим к дальнейшим действиям.  Их определяет вид интервала.
  • Если интервал имеет вид [a;b), то нам надо вычислить значение функции в точке x=a и односторонний предел limx→b-0f(x).
  • Если интервал имеет вид (a;b], то нам надо вычислить значение функции в точке x=b и односторонний предел limx→a+0f(x).
  • Если интервал имеет вид  (a;b), то нам надо вычислить односторонние пределы limx→b-0f(x),limx→a+0f(x).
  • Если интервал имеет вид [a; +∞), то надо вычислить значение в точке x=a и предел на плюс бесконечности limx→+∞f(x).
  • Если интервал выглядит как (-∞; b], вычисляем значение в точке x=b и предел на минус бесконечности limx→-∞f(x).
  • Если -∞; b, то считаем односторонний предел limx→b-0f(x) и предел на минус бесконечности limx→-∞f(x)
  • Если же -∞; +∞, то считаем пределы на минус и плюс бесконечности limx→+∞f(x),  limx→-∞f(x).
  1. В конце нужно сделать вывод на основе полученных значений функции и пределов. Здесь возможно множество вариантов. Так, если односторонний предел равен минус бесконечности или плюс бесконечности, то сразу понятно, что о наименьшем и наибольшем значении функции сказать ничего нельзя. Ниже мы разберем один типичный пример. Подробные описания помогут вам понять, что к чему. При необходимости можно вернуться к рисункам 4-8 в первой части материала.
Пример 2

Условие: дана функция y=3e1x2+x-6-4. Вычислите ее наибольшее  и наименьшее значение в интервалах  -∞; -4, -∞; -3, (-3;1], (-3;2), [1;2), 2; +∞, [4; +∞).

Решение

Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный (квадратичный) трехчлен, который не должен обращаться в 0:

x2+x-6=0D=12-4·1·(-6)=25×1=-1-52=-3×2=-1+52=2⇒D(y): x∈(-∞; -3)∪(-3; 2)∪(2; +∞)

Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.

Теперь выполним дифференцирование функции и получим:

y’=3e1x2+x-6-4’=3·e1x2+x-6’=3·e1x2+x-6·1×2+x-6’==3·e1x2+x-6·1’·x2+x-6-1·x2+x-6′(x2+x-6)2=-3·(2x+1)·e1x2+x-6×2+x-62

Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.

Перейдем к нахождению стационарных точек. Производная функции обращается в 0 при x=-12. Это стационарная точка, которая находится в интервалах (-3;1] и (-3;2).

Вычислим значение функции при x=-4 для промежутка (-∞; -4], а также предел на минус бесконечности:

y(-4)=3e1(-4)2+(-4)-6-4=3e16-4≈-0.456limx→-∞3e1x2+x-6=3e0-4=-1

Поскольку 3e16-4>-1, значит, max yx∈(-∞; -4]=y(-4)=3e16-4. Это не дает нам возможности однозначно определяться с наименьшим значением функции. Мы можем только сделать вывод, что внизу есть ограничение -1, поскольку именно к этому значению функция приближается асимптотически на минус бесконечности.

Особенностью второго интервала является то, что в нем нет ни одной стационарной точки и ни одной строгой границы. Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения функции мы вычислить не сможем. Определив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к -3 с левой стороны, мы получим только интервал значений:

limx→-3-03e1x2+x-6-4=limx→-3-03e1(x+3)(x-3)-4=3e1(-3-0+3)(-3-0-2)-4==3e1(+0)-4=3e+∞-4=+∞limx→-∞3e1x2+x-6-4=3e0-4=-1

Значит, значения функции будут расположены в интервале -1; +∞

Чтобы найти наибольшее значение функции в третьем промежутке, определим ее значение в стационарной точке  x=-12, если x=1. Также нам надо будет знать односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к -3 с правой стороны:

y-12=3e1-122+-12-6-4=3e425-4≈-1.444y(1)=3e112+1-6-4≈-1.644limx→-3+03e1x2+x-6-4=limx→-3+03e1(x+3)(x-2)-4=3e1-3+0+3(-3+0-2)-4==3e1(-0)-4=3e-∞-4=3·0-4=-4

У нас получилось, что наибольшее значение функция примет в стационарной точке max yx∈(3; 1]=y-12=3e-425-4. Что касается наименьшего значения, то его мы не можем определить. Все, что нам известно, – это наличие ограничения снизу до -4.

Для интервала (-3;2) возьмем результаты предыдущего вычисления и еще раз подсчитаем, чему равен односторонний предел при стремлении к 2 с левой стороны:

y-12=3e1-122+-12-6-4=3e-425-4≈-1.444limx→-3+03e1x2+x-6-4=-4limx→2-03e1x2+x-6-4=limx→-3+03e1(x+3)(x-2)-4=3e1(2-0+3)(2-0-2)-4==3e1-0-4=3e-∞-4=3·0-4=-4

Значит, max yx∈(-3; 2)=y-12=3e-425-4, а наименьшее значение определить невозможно, и значения функции ограничены снизу числом -4.

Исходя из того, что у нас получилось в двух предыдущих вычислениях, мы можем утверждать, что на интервале [1;2) наибольшее значение функция примет при x=1, а найти наименьшее невозможно.

На промежутке (2; +∞) функция не достигнет ни наибольшего, ни наименьшего значения, т.е. она будет принимать значения из промежутка -1; +∞.

limx→2+03e1x2+x-6-4=limx→-3+03e1(x+3)(x-2)-4=3e1(2+0+3)(2+0-2)-4==3e1(+0)-4=3e+∞-4=+∞limx→+∞3e1x2+x-6-4=3e0-4=-1

Вычислив, чему будет равно значение функции при x=4, выясним, что max yx∈[4; +∞)=y(4)=3e114-4 , и заданная функция на плюс бесконечности будет асимптотически приближаться к прямой y=-1.

Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале

Это все, что мы  хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Новое и интересное на сайте:

  • Как найти наибольшее значение функции егэ
  • Как называется человек который принимает экзамены в университете
  • Как найти а в гиперболе по графику егэ
  • Как найти мотивацию для подготовки к егэ
  • Как называется цитата перед сочинением

    • Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: