Ларин егэ математика профиль вариант 370

Задание 1

Решите уравнение $$log_2^2 x-log_2 40cdotlog_2 x+log_2 125=0.$$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите их произведение.

Ответ: 40

Скрыть

ОДЗ:

$$x>0$$

Замена: $$​log_2 x=t$$​

$$​t^2−(log_2 5+log_2 2^3)t+log_2 5^3​$$

Находим корни:

$$​t=frac{log_2 40pmsqrt{(3+log_2 5)^2−12log_2 5}}{2}​$$

​$$t=frac{log_2 40pmsqrt{(3−log_2 5)^2}}{2}$$​

$$​t=log_2 5​$$

$$​t=3​$$

Обратная замена:

$$log_2 x=log_2 5$$

$$log_2 x=3$$

Откуда ​$$x=5​$$ и $$​x=8$$​ оба подходят под ОДЗ

$$5cdot8=40$$

Задание 2

Сергей получает паспорт. Последние три цифры номера паспорта — случайные. Найдите вероятность того, что последние три цифры — это цифры 1, 2 и 3 в каком-то порядке.

Ответ: 0,006

Скрыть

Всего возможных вариантов ​$$10cdot10cdot10=1000​$$

Благоприятных вариантов всего $$3!=6$$​ (это комбинации: 123,132,213,231,321,312)

$$​P(A)=frac{6}{1000}=0,006$$

Задание 3

Ответ: 24

Скрыть

$$S=BCcdot CDcdotsinangle C=18cdot27cdotfrac{8}{9}=24cdot18​$$

С другой стороны

​$$S=CDcdot h=18cdot h=24cdot 18​$$

Откуда $$​h=24$$​ – это и есть большая высота (проверьте с $$S=BCcdot h$$)

Задание 4

Найдите значение выражения $$frac{2^{log_{sqrt[4]{2}}4}-3^{log_{27}17^3}-8}{7^{4log_{49}4}-5}$$

Ответ: 21

Скрыть

$$2^{log_{sqrt[4]{2}}4}=2^8$$

$$3^{log_{27}17^3}=17$$

$$7^{4log_{49}4}=16$$

$$frac{256-17-8}{16-5}=21$$

Задание 5

Ответ: 30

Скрыть

$$V=frac{1}{3}S_{осн}cdot h​$$

Высота h у SABC и всей пирамиды общая.

Значит отличаться они будут только площадями оснований.

Пусть сторона правильного шестиугольника равна ​$$a.$$​

$$S_{ABC}=0,5cdot acdot acdotsin120=frac{a^2sqrt{3}}{4}$$​ (т.к ABC — р.б., $$BC=AB=a$$ и $$angle CBA=120$$)

$$​S_{шестиуг}=6cdot S_{OBA}=6cdotfrac{a^2sqrt{3}}{4}$$​

Значит, ​$$V=6V_{SABC}=6cdot5=30$$

Задание 6

Ответ: 1

Скрыть

По геометрическому смыслу производной:

$$f​'(x_0)=k=2$$​

Значит мы ищем точку, где производная равна 2. Таких точек две, но т.к. просят целочисленную, то это ​$$x=1$$

Задание 7

Ответ: 62

Скрыть

$$v=frac{0,0006cdot3,14cdot46cdot2500}{3,706cdot0,941}approx62$$

Задание 8

Цифры некоторого трехзначного числа составляют геометрическую прогрессию. Если в этом числе переставить местами цифры сотен и единиц, то новое трехзначное число будет на 594 меньше искомого. Если же в искомом числе зачеркнуть цифру сотен и в полученном двузначном числе переставить его цифры, то новое двузначное число будет на 18 меньше числа, выраженного двумя последними цифрами искомого числа. Найти это число.

Ответ: 842

Скрыть

Пусть искомое число ​$$abc​$$

Тогда из условия

​$$b=b_0q$$​ и ​$$c=b_0q^2​,$$ где ​$$b_0$$​ – первый член геометрической прогрессии, а $$​q$$​ знаменатель

$$​abc=100b0+10b0q+b_0q^2​$$

Так же из условия

​$$abc=100b_0q^2+10b_0q+b_0+594​$$

Тогда приравнивая и преобразовывая

$$​99b_0q^2+594=99b_0​$$

$$​b_0q^2+6=b_0​$$

Еще одно уравнения также берем из условия

$$​10b_0q+b_0q^2=10b_0q^2+b_0q+18​$$

​$$b_0q^2+2=b_0q​$$

Теперь решая систему

$$​b_0q^2+6=b_0​$$

$$​b_0q^2+2=b_0q​$$

​$$q=0,5​$$ ($$q=1$$ нам не подходит, т.к будет деление на 0)

​$$b_0=8$$

$$abc=100cdot8+10cdot8cdot0,5+8cdot0,5^2=842$$

Задание 9

Ответ: 0,25

Скрыть

$$4=a^{1+b}​$$

$$​1=a^{-3+b}$$​

Откуда, логарифмируя, можно получить ​$$b=3​$$

​$$4=a^4$$​ пока так и оставим

$$​f(−7)=a^{−4}=frac{1}{a^4}=frac{1}{4}=0,25$$

Задание 10

Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».

Ответ: 0,12

Скрыть

$$P(A|B)=frac{P(AB)}{P(B)}​$$

​$$B$$ −​ “3” не выпало ни разу

​$$A$$ −​ сумма выпавших очков равна 8

$$​AB$$​ – {4,4}, {6,2},{2,6}

$$​P(B)=frac{5}{6}cdotfrac{5}{6}​$$

$$​P(AB)=frac{3}{36}$$​

$$​P(A|B)=frac{frac{3}{36}}{frac{5}{6}cdotfrac{5}{6}}=0,12$$

Задание 11

Найдите наименьшее значение функции $$y=x^3-3x^2-45x+7$$ на отрезке $$[5;7].$$

Ответ: -168

Скрыть

Найдем критические точки

​$$y’=0​$$

$$​3x^2−6x−45=0$$​

​$$x=−3​$$

$$​x=5​$$

По методу интервалов $$​x=5$$​ – точка минимума

​$$y(5)=−168$$

А) Решите уравнение $$frac{2tg^2 x+5tg x}{sin2x+5cos^2 x}=0$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[frac{4pi}{11};frac{11pi}{4}]$$

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 8. На ребрах ВС и A₁D₁ взяты соответственно точки К и L, а на ребре CD — точки М и N так, что BK=D₁L=CM=DN=2.

А) Докажите, что косинус угла между прямыми KN и ML равен $$frac{1}{sqrt{13}}$$

Б) Найдите расстояние между прямыми KN и ML

Высота ВН треугольника АВС в $$sqrt{2}$$ раз больше радиуса описанной около треугольника АВС окружности с центром О.

А) Доказать, что прямая, проходящая через точки К и М — основания перпендикуляров, опущенных из точки Н на стороны АВ и ВС соответственно, проходит через точку О.

Б) Найдите радиус описанной около треугольника АВС окружности, если $$АВ=6, ВС=3sqrt{2}$$

Найдите все значения параметра $$p,$$ при каждом из которых уравнение

$$36cdotsin(arcsinfrac{x}{36})=frac{(x-p)^2}{4}$$

имеет единственный корень

На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

А) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

Б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

В) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Канал видеоролика: Математикс

Смотреть видео:

Свежая информация для ЕГЭ и ОГЭ по Математике (листай):

С этим видео ученики смотрят следующие ролики:

Облегчи жизнь другим ученикам — поделись! (плюс тебе в карму):

28.11.2021