Ларин егэ математика профиль 12 задание

Задание 1

Около окружности, радиус которой равен 8, описан многоугольник, площадь которого равна 208. Найдите периметр этого многоугольника.

Ответ: 52

Скрыть

$$S=rp$$

$$p=frac{S}{r}$$

$$P=frac{2S}{r}=frac{2cdot208}{8}=52$$

Задание 2

В прямоугольном параллелепипеде $$АВСDА_1B_1C_1D_1$$ известны длины ребер: $$АВ = 11, AD = 20, AA_1 = 4.$$ Найдите расстояние от вершины $$С$$ до центра грани $$АА_1D_1D.$$

Ответ: 15

Скрыть

OC — искомое расстояние

$$A_1D=sqrt{416}=2sqrt{104}$$

$$BD=sqrt{104}$$

$$OC=sqrt{OD^2+DC^2}=sqrt{104+11^2}=15$$

Задание 3

Из лова «максимум» случайным образом выбирается одна буква. Найдите вероятность того, что будет выбрана буква, встречающаяся в этом слове только один раз.

Ответ: 0,625

Скрыть

Всего букв $$n= 8$$

Удовлетворяющих букв $$m= 5$$ — (а, к, с, и, у)

$$P(A) =frac{m}{n}=frac{5}{8} = 0,625$$

Задание 4

Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что извлечённый наугад кубик будет иметь хотя бы одну окрашенную грань.

Ответ: 0,488

Скрыть

Для того чтобы определить вероятность того, что извлеченный наугад кубик будет иметь окрашенную грань необходимо воспользоваться формулой классического определения вероятности:

$$P(A) = frac{m}{n},$$

Где P(A) – вероятность интересующего нас события A, то есть выбор кубика с окрашенной гранью, m – число исходов благоприятствующих событию, n – число всех равновозможных исходов испытания. Определим m и n:

$$n = 1000;$$

$$m = 100 + 100 + (100 – 20) + (100 – 20) + (100 – 20 – 16) + (100 – 20 – 16) = 488.$$

Тогда:

$$P(A) = frac{488}{1000} = 0,488.$$

Задание 5

Ответ: -3

Скрыть

$$2(1-sin^2frac{pi x}{18})+5sinfrac{pi x}{18}+1=0$$

$$-2sin^2frac{pi x}{18}+5sinfrac{pi x}{18}+3=0$$

$$2sin^2frac{pi x}{18}-5sinfrac{pi x}{18}-3=0$$

$$frac{5pmfrac{7}{125+24}}{4}$$

$$left[begin{matrix} sinfrac{pi x}{18}=3; н.р.\ sinfrac{pi x}{18}=-frac{1}{2} end{matrix}right.$$

$$frac{pi x}{18}=(-1)^{k+1}cdotfrac{frac{1}{pi}}{6}+pi k$$

$$x=(-1)^{k+1}cdotfrac{18}{6}+18k$$

$$x=(-1)^{k+1}cdot3+18k$$

при $$k=0$$ $$x=-3$$

Задание 6

Найдите значение выражения $$frac{6cos^234^{circ}-3}{cos 169^{circ}cdotcos 79^{circ}}.$$

Ответ: -6

Скрыть

$$frac{6cos^234^{circ}-3}{cos 169^{circ}cdotcos 79^{circ}}=frac{3(2cos^234^{circ}-1)cdot2}{-sin 79^{circ}cdotcos 79^{circ}cdot2}=-frac{(1+cos 68^{circ}-1)}{sin 158^{circ}}=-6$$

Задание 7

Ответ: 3

Скрыть

На отрезке $$[-2;3] f'(x)<0 Rightarrow$$ функция $$f(x)$$ монотонно убывает, достигая наименьшего значения при $$x=3.$$

Задание 8

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой $$m = 8$$ кг и радиуса $$R = 10$$ см, и двух боковых с массами $$M = 1$$ кг и с радиусами $$R+h.$$ При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в $$кгcdot см^2,$$ задаётся формулой $$I=frac{(m+2M)R^2}{2}+M(2Rh+h^2).$$ При каком максимальном значении $$h$$ момент инерции катушки не превышает предельного значения $$625 кгcdot см^2?$$ Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 5

Скрыть

$$frac{(8+2)cdot 10^2}{2}+1cdot (2cdot 10cdot h+h^2) le 625,$$

$$500+20h+h^2 le 625,$$

$$h^2+20h-125 le 0,$$

$$-25 le h le 5.$$

Значит, максимальное значение h, при котором момент инерции катушки не превышает предельного значения $$625 кг cdot см^2,$$ равно 5 см.

Задание 9

Имеется три одинаковых по массе сплава. Известно, что процентное содержание никеля во втором сплаве на 25 процентных пункта больше, чем в первом, а процентное содержание никеля в третьем сплаве на 4 процентных пункта больше, чем во втором. Из этих трёх сплавов получили четвертый сплав, содержащий 64% никеля. Сколько процентов никеля содержит первый сплав?

Ответ: 46

Скрыть

Пусть масса сплавов равна М, обозначим процентное содержание никеля в первом сплаве через х.

Масса никеля в первом сплаве равна $$0,01cdot хcdot М,$$ во втором сплаве — $$0,01cdot х+0,25cdot М,$$ в третьем — $$0,01cdot х+0,29cdot М$$ (25+4=29% процентов). Четвертый сплав имеет массу $$3cdot М$$ и масса никеля в нем $$0,64cdot3cdot М.$$

Получаем уравнение:

$$0,01cdot хcdot М + (0,01cdot х+0,25)cdot М + (0,01cdot х+0,29)cdot М = 0,64cdot3cdot М$$ $$| :M$$

$$0,03cdot х + 0,25 + 0,29 = 1,92 (0,64*3=1,92)$$ 

$$0,03cdot х=1,38$$

$$х=0,46$$ или $$46$$ процентов.

Задание 10

Ответ: -2,5

Скрыть

Точка $$(0;-1,5)$$:

$$acos 0+b=-1,5$$

Точка $$(pi;frac{7}{2})$$:

$$acospi+b=frac{7}{2}$$

$$-left{begin{matrix} a+b=-frac{3}{2}\ -a+b=frac{7}{2} end{matrix}right.$$

$$2a=-5Rightarrow a=-2,5$$

Задание 11

Найдите наибольшее значение функции $$y=(4x-3)^2cdot(x+6)-9$$ на отрезке $$[-6;3].$$

Ответ: 720

Скрыть

$$y=(4x-3)^2cdot(x+6)-9$$

$$y’=2(4x-3)cdot4cdot(x+6)+(4x-3)^2$$

$$y’=(4x-3)cdot(8x+48+4x-3)$$

$$y’=(4x-3)cdot(12x+45)$$

$$y’=12(4x-3)(x+frac{15}{4})$$

$$x_{max}=-frac{15}{4}$$ и $$x_{min}=frac{3}{4}$$

$$y(-frac{15}{4})=(frac{4cdot(-15)}{4}-3)^2(-frac{15}{4}+6)-9=289cdotfrac{9}{4}-9=frac{289cdot9-4cdot9}{4}=frac{9cdot285}{4}$$

$$y(3)=81cdot9-9=720$$

A)Решите уравнение $$sin(3x-frac{3pi}{2})+sin(x+frac{7pi}{2})=sqrt{3}cos(x+frac{3pi}{2})$$

Б)Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[7pi ;8pi]$$

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. Точка M лежит на ребре BC, причем BM = 1, точка K лежит на ребре SC, причем SK = 4.

А) Докажите, что плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

Б) Найдите объем пирамиды CDKM.

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. руб.;

— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платёж в 2029 году будет равен 417,6 тыс. руб. Какую сумму (в тыс. рублей) планируется взять в кредит?

Две окружности пересекаются в точках Р и Q. Через точку Р проведена прямая, пересекающая вторично первую из окружностей в точке А, а вторую – в точке В. Через точку Q также проведена прямая, пересекающая вторично первую окружность в точке С, а вторую – в точке D.

А) Докажите, что прямые АС и BD параллельны.

Б) Найдите наибольшее возможное значение суммы длин отрезков АВ и CD, если расстояние между центрами данных окружностей равно 1.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система:

$$left{begin{matrix} x^2-2xy-3y^2=8,\ 2x^2+4xy+5y^2=a^4-4a^3+4a^2-12+sqrt{105} end{matrix}right.$$

имеет хотя бы одно решение.

Задание 18

Ответ: да; да; 20

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!