Ларин егэ 381

Задание 1

Решите уравнение $$49^{10x+8}=0,07cdot10^{20x+17}.$$

Ответ: -0,75

Скрыть

$$7^{20x+16}=7cdot10^{20x+15​}$$

$$​7^{20x+15}=10^{20x+15​}$$

$$​(frac{7}{10})^{20x+15}=1​$$

$$​20x+15=0​$$

$$​x=−0,75$$

Задание 2

На отрезке [-3,8; 4,2] числовой оси случайным образом выбирают точку. Какова вероятность того, что координата отмеченной точки будет отрицательна?

Ответ: 0,475

Скрыть

По формуле геометрической вероятности

$$​P=frac{|A|}{|Ω|}​,$$ где

​$$A=[−3,8;0]​$$

$$​Ω=[−3,8;4,2]​$$

$$​|A|=3,8$$​ – длина отрезка $$[-3.8;0]$$

$$​|Ω|=8$$​ – длина отрезка $$[-3.8;4.2]$$

​$$P=frac{3,8}{8}=0,475$$

Задание 3

На стороне АВ параллелограмма ABCD взята точка Р так, что АР:РВ = 19:11. Найдите площадь треугольника APD, если площадь трапеции BCDP равна 131,2.

Ответ: 60,8

Скрыть

$$S_{BCDP}=frac{11x+30x}{2}cdot h=131,2​$$

​$$h=frac{131,2cdot2}{41x}=frac{6,4}{x}​$$

​$$S_{APD}=frac{1}{2}19xh​$$

Подставляя, получаем ответ

Задание 4

Вычислить: $$cosfrac{pi}{33}cosfrac{2pi}{33}cosfrac{4pi}{33}cosfrac{8pi}{33}cosfrac{16pi}{33}.$$

Ответ: 0,03125

Скрыть

$$cosfrac{pi}{33}cosfrac{2pi}{33}cosfrac{4pi}{33}cosfrac{8pi}{33}cosfrac{16pi}{33}=$$

$$=frac{1}{sinfrac{pi}{33}}cdotsinfrac{pi}{33}cosfrac{pi}{33}cosfrac{2pi}{33}cosfrac{4pi}{33}cosfrac{8pi}{33}cosfrac{16pi}{33}=$$

$$=frac{1}{sinfrac{pi}{33}}frac{1}{2}sinfrac{2pi}{33}cosfrac{2pi}{33}cosfrac{4pi}{33}cosfrac{8pi}{33}cosfrac{16pi}{33}=$$

$$=frac{1}{sinfrac{pi}{33}}frac{1}{4}sinfrac{4pi}{33}cosfrac{4pi}{33}cosfrac{8pi}{33}cosfrac{16pi}{33}=$$

$$=frac{1}{sinfrac{pi}{33}}frac{1}{8}sinfrac{8pi}{33}cosfrac{8pi}{33}cosfrac{16pi}{33}=$$

$$=frac{1}{sinfrac{pi}{33}}frac{1}{16}sinfrac{16pi}{33}cosfrac{16pi}{33}=$$

$$=frac{1}{sinfrac{pi}{33}}frac{1}{32}sinfrac{32pi}{33}=frac{1}{sinfrac{pi}{33}}frac{1}{32}sin(pi-frac{pi}{33})=$$

$$=frac{1}{sinfrac{pi}{33}}frac{1}{32}sinfrac{pi}{33}=frac{1}{32}=0,03125$$

Задание 5

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2, 3 и 6 см. Найдите длину ребра такого куба, чтобы объемы этих тел относились как их поверхности.

Ответ: 3

Скрыть

$$frac{V_{куб}}{V_{п-да}}=frac{S_{куб}}{S_{п-да}}$$

$$frac{V_{куб}}{S_{куб}}=frac{V_{п-да}}{S_{п-да}}$$

$$frac{V_{куб}}{S_{куб}}=frac{a^3}{6a^2}=frac{a}{6}$$

$$frac{V_{п-да}}{S_{п-да}}=frac{2cdot3cdot6}{2(6+18+12)}=frac{1}{2}$$

$$frac{a}{6}=frac{1}{2}$$

$$a=3$$

Задание 6

Ответ: 2

Скрыть

Точек максимума на графике всего лишь 2

Задание 7

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $$v(t)=3,2sinpi t$$ (см/с), где $$t$$ — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 1,6 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, округлив до сотых.

Ответ: 0,67

Скрыть

$$​3,2sinpi tgeq1,6​$$

$$sinpi tgeq0,5$$

$$frac{pi}{6}+2pi nleqpi tleqfrac{5pi}{6}+2pi n​$$

так как просят в течении первой секунды, то ​$$n=0​$$

$$frac{​1}{6}leq tleqfrac{5}{6}​$$

$$tau=frac{frac{5}{6}−frac{1}{6}}{1}=frac{2}{3}approx0,67$$

Задание 8

Путь от А до В пассажирский поезд проходит на 3 ч 12 мин быстрее товарного. За то время, что товарный поезд проходит путь от А до В, пассажирский проходит на 288 км больше. Если скорость каждого увеличить на 10 км/ч, то пассажирский пройдет от А до В на 2 ч 24 мин быстрее товарного. Найдите расстояние в км между А и В.

Ответ: 360

Скрыть

Составим систему исходя из условия, не забывая переводить минуты в часы

$$frac{​S}{V_т}=frac{S}{V_п}+frac{16}{5}​$$

​$$frac{S}{V_т}=frac{S+288}{V_п}$$​

​$$frac{S}{V_т+10}=frac{S}{V_п+10}+2,4​$$

Решаем систему и получаем ответ $$360$$

Задание 9

Ответ: 0,75

Скрыть

$$2=frac{k}{3}+a​$$

$$​−2=frac{k}{-1}+a​$$

Решая систему, получаем:

$$​f(x)=frac{3}{x}+1​$$

$$​f(-12)=0,75$$

Задание 10

В некоторой местности летнее утро бывает либо ясным, либо облачным. Наблюдения показали, что летнее утро бывает ясным с вероятностью 0,6, причем, если утро ясное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,3, а если утро облачное -вероятность дождя в этот день равна 0,95. Найдите вероятность того, что в случайно выбранный летний день дождя не будет.

Ответ: 0,44

Скрыть

Нас устраивает: утро ясное дождя не будет или утро облачное и дождя не будет

​$$P(A)=0,6cdot(1−0,3)+0,4cdot(1-0,95)=0,44$$

Задание 11

Найдите наибольшее значение функции: $$y=frac{sin 2x}{sin(frac{pi}{4}+x)}$$ на отрезке $$[0;frac{pi}{2}]$$

Ответ: 1

Скрыть

$$y=frac{2sin xcos x}{frac{sqrt{2}}{2}(cos x+sin x)}=frac{4}{sqrt{2}cdotfrac{sin x}{1+tg x}}​$$

​$$y’=frac{cos x(1+tg x)−sin xfrac{1}{cos^2x}}{(1+tg x)^2}=0​$$

$$cos x(1+tg x)-sin xfrac{1}{cos^2 x}$$

$$cos x(1+tg x)-sin x(1+tg^2 x)=0$$

$$cos x(1+tg x)=sin x(1+tg^2 x)$$

$$​1+tg x=tg x(1+tg^2x)​$$

​$$1+tg x=tg x+tg^3x​$$

$$tg^3x=1​$$

​$$tg x=1​$$

​$$x=frac{pi}{4}$$ – точка экстремума

$$​y(0)=0​$$

$$​y(frac{pi}{4})=1​$$

$$​y(frac{pi}{2})=0$$

А) Решите уравнение $$log_{sin x}(cos 2x-sin x+1)=2$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[frac{pi}{2};2pi]$$

В основании пирамиды ABCD лежит правильный треугольник АВС. Все боковые ребра наклонены к основанию под одним и тем же углом.

А) Докажите, что прямая АВ перпендикулярна плоскости, проходящей через середину ребра АВ и ребро DC.

Б) Найдите расстояние между прямыми AB и CD, если $$AB = 6sqrt{3}, AD = 5sqrt{3}.$$

В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы всех внутренних углов. Четырехугольник, образованный точками пересечения этих биссектрис, имеет площадь, равную двум третям площади параллелограмма ABCD.

А) Докажите, что четырехугольник, образованный точками пересечения биссектрис всех внутренних углов параллелограмма ABCD, является прямоугольником.

Б) Найдите отношение длин большей и меньшей сторон параллелограмма ABCD.

Найдите наибольшее значение параметра $$a,$$ при котором уравнение

$$ax^2=2|x-2|sqrt{0,5x-1}+|x-4|sqrt{x-1}$$

имеет хотя бы один корень.

Имеется уравнение $$ax^2+bx+c=0,$$ числа $$а, b$$ и $$с$$ — целые, $$aneq0.$$

А) Найдите все возможные значения b, если известно, что а = 10, с = 30, а уравнение имеет два различных целых корня?

Б) Найдите все возможные значения корней, если b = c и уравнение имеет либо два различных целых корня, либо один целый корень кратности 2.

В) Известно, что $$a^4+b^4+c^4=1568$$ и уравнение имеет корни, причем все корни являются целыми числами. Найдите все возможные значения корней.