Ларин егэ 368

Задание 1

Решите уравнение $$3log_8(x-2)=log_2sqrt{2x-1}.$$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из них.

Ответ: 5

Скрыть

ОДЗ:

$$left{begin{matrix} ​x>2​\ ​x>12​ end{matrix}right.$$

​$$3cdotfrac{1}{3}log_2(x−2)=log_2sqrt{2x-1}$$

​$$(x−2)=sqrt{2x-1}$$ возводим в квадрат

​$$x^2−6x+5=0​$$

$$​x=1$$​ – не подходит под ОДЗ

$$​x=5$$

Задание 2

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Ответ: 0,8836

Скрыть

Вероятность того, что одна батарейка исправна, равна $$1-0,06=0,94.$$ Тогда, вероятность исправности двух батареек в упаковке, равна произведению этих вероятностей (учитывая, что события исправности или неисправности батареек независимы):

$$P=0,94cdot0,94=0,8836$$

Задание 3

В треугольнике АВС сторона АВ равна 10, угол А-острый. Найдите медиану ВМ, если АС=20, а площадь треугольника АВС равна 96.

Ответ: 12

Скрыть

$$S=0,5cdot ABcdot ACcdotsinalpha=96​$$

Откуда $$sinalpha=frac{24}{25}$$

$$cosalpha=sqrt{1-frac{24^2}{25^2}}=frac{7}{25}$$

По теореме косинусов из треугольника ABM:

$$BM^2=AB^2+AM^2-2ABcdot AMcdotcosalpha$$​ $$(AM=10,AB=10)$$

$$BM=12$$

Задание 4

Найдите значение выражения $$sqrt{frac{7-4sqrt{3}}{5-2sqrt{6}}}-sqrt{frac{6-4sqrt{2}}{5+2sqrt{6}}}-4sqrt{2}$$

Ответ: -5

Скрыть

Учтём, что $$7-4sqrt{3}=(2-sqrt{3})^2$$

$$5-2sqrt{6}=frac{10-4sqrt{6}}{2}=frac{(2-sqrt{6})^2}{2}$$

$$6-4sqrt{2}=(2-sqrt{2})^2$$

$$5+2sqrt{6}=frac{(10+4sqrt{6})^2}{2}$$

Тогда: $$sqrt{frac{7-4sqrt{3}}{5-2sqrt{6}}}=frac{|2-sqrt{3}|sqrt{2}}{|2-sqrt{6}|}; sqrt{frac{6-4sqrt{2}}{5+2sqrt{6}}}=frac{|2-sqrt{2}|sqrt{2}}{|2+sqrt{6}|}$$

Получим: $$frac{(2-sqrt{3})^2}{sqrt{6}-2}-frac{(2-sqrt{2})sqrt{2}}{sqrt{6}+2}-4sqrt{2}=frac{(2sqrt{2}-sqrt{6})(sqrt{6}+2)-(2sqrt{2}-2)(sqrt{6}-2)}{6-4}-$$

$$-4sqrt{2}=frac{2sqrt{12}+4sqrt{2}-6-2sqrt{6}-2sqrt{12}+4sqrt{2}+2sqrt{6}-4}{2}-4sqrt{2}=$$

$$=4sqrt{2}-5-4sqrt{2}=-5$$

Задание 5

Ответ: 3,5

Скрыть

$$V=hcdot S_{осн}​$$

$$​S_{осн}=7^2cdotsin45=49sin45​$$ (площадь ромба $$​S=a^2sinalpha$$​)

$$sin45=frac{h}{7}$$​ – из красного прямоугольного треугольника

$$​h=7sin45​$$

$$​V=7sin45cdot1cdotsin45=3,5$$

Задание 6

Ответ: 3

Скрыть

$$f'(x_0)=tg150=tg(180−30)=−tg30=−frac{1}{sqrt{3}}$$​

Строим прямую $$​y=-frac{1}{sqrt{3}}$$ и считаем кол-во точек пересечения с графиком — 3

Задание 7

Автомобиль, масса которого равна $$m = 2160$$ кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение $$t$$ секунд остается неизменным, и проходит за это время путь $$S = 500$$ метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно $$F = frac{2mS}{t^2}.$$ Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, если известно, что сила $$F,$$ приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах.

Ответ: 30

Скрыть

$$2400=frac{2cdot2160cdot500}{t^2}$$

$$t=30 (t>0)$$

Задание 8

Два станка одновременно начали штамповать детали с производительностью 70 деталей в минуту каждый. Через час пустили в работу третий станок. В этот момент первый станок снизил свою производительность на 10 деталей в минуту. Через некоторое время на третьем станке было сделано столько деталей, сколько было к этому моменту на первом, а еще через 3,5 часа он сравнялся по числу сделанных деталей со вторым. Найти производительность работы третьего станка (в деталях в минуту).

Ответ: 80

Скрыть

Пусть $$p_3$$ — производительность работы третьего станка.

$$70cdot60=4200$$​ каждый напечатает за час.

Составим уравнение исходя из условия:

$$frac{4200}{p_3-70}-frac{4200}{p_3-60}=3,5cdot60$$

$$frac{4200}{p_3-70}​$$ – это время, через которое 3-ий станок сравняется со 2-ым.

$$frac{4200}{p_3-60}$$ – это время, через которое 3-ий станок сравняется с 1-ым.

Откуда ​$$p_3=80$$

Задание 9

Ответ: 6

Скрыть

$$3=4a+2b+c​$$

$$​−3=a−b+c​$$

$$​−1=4a−2b+c$$​

Откуда ​$$g(x)=x^2+x+1​$$

$$​f(x)=g(x)$$​

​$$5x+9=x^2+x−3​$$

​$$x=−2$$ – абсцисса точки А

​$$x=6​$$ – абсцисса точки В

Задание 10

Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши уже есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца?

Ответ: 0,192

Скрыть

Всего два благоприятных исхода

1) Маша купит 2 киндера, в первом не будет новой принцессы, а во второй будет новая принцесса

2) Маша купит 3 киндера, в первых двух не будет новой принцессы, а в третьем будет новая прицнесса

$$​P(A_1)=0,2$$ – нет новой принцессы

$$​P(A_2)=0,8$$ – выпала новая принцесса

​$$P(A+B)=P(A)+P(B)=0,2cdot0,8+0,2cdot0,2cdot0,8=0,192$$

Задание 11

Найдите наименьшее значение функции $$y=6x-3sin x-5pi$$ на отрезке $$[frac{5pi}{6};frac{3pi}{2}]$$

Ответ: -1,5

Скрыть

Найдём критические точки:

$$​y’=6-3cos x​$$

$$6-3cos x=0$$​

$$cos x=2$$ — нет решений, т.к. множество значений косинуса $$[-1;1]$$

Значит наименьшее значение будет достигаться на отрезке

$$y(frac{5pi}{6})=-1,5$$​ – наименьшее значение

А) Решите уравнение $$frac{cos x-1}{cos x}+2ctg xcdotsin x=0$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-frac{5pi}{2};-frac{pi}{2}]$$

В основании прямой призмы KBCDK₁B₁C₁D₁ лежит ромб KBCD со стороной, равной 4 и углом DKB, равным 60^o. Точки Е и F являются соответственно серединами сторон KD и КВ нижнего основания призмы. Прямые В₁Е и D₁F пересекаются в точке О так, что угол B₁OD₁ равен 90^o.

А) Докажите, что угол между плоскостями DD₁F и BB₁E равен 60^o

Б) Найдите объем пирамиды EFK₁C₁

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 3,6 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько тысяч рублей увеличится сумма всех выплат, если взять кредит с такими же условиями на 72 месяца?

В треугольнике АВС проведены ВК — медиана, ВЕ — биссектриса, AD — высота, известно, что прямые ВК и ВЕ делят отрезок AD на три равные части.

А) Докажите, что треугольник АВС — тупоугольный

Б) Найти длину стороны АС, если АВ=4

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых уравнение

$$picdotcos(pi^{2x-x^2})=a-sqrt{3}cdotpicdotsin(pi^{2x-x^2})$$

имеет ровно одно решение.

$$S_n$$ — сумма первых $$n$$ членов непостоянной бесконечной арифметической прогрессии $$a_1, a_2,…, a_n,…,$$ состоящей из натуральных чисел $$(S_1=a_1)$$

А) Существует ли такая арифметическая прогрессия указанного вида, что $$S_6 = 1980?$$

Б) Существует ли такая арифметическая прогрессия указанного вида, что для некоторого натурального числа $$n$$ имеют место равенства $$S_n=350$$ и $$S_{n+2}=625?$$

В) Сколько существует таких натуральных чисел $$n,$$ для каждого из которых существует такая арифметическая прогрессия указанного вида, что имеет место равенство $$S_n=625?$$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.